专项练习5：与角平分线性质有关的解答题（原卷+答案）-2024-2025学年八年级上册数学期末专题训练

专项练习五：与角平分线性质有关的解答题 1. （2024秋•武昌区期中）如图，△ABC的外角∠CBD，∠BCH的平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AD于点E，PF⊥AC于点F． （1）求证：PE=PF； （2）连接AP，若∠ABC=40°，求∠APC的度数． 2.（2024秋•闽清县期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=40°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50°，连接DE． （1）求证：DE平分∠ADC； （2）若AB=7，AD=4，CD=8，且S△ACD=15，求△ABE的面积． 3.（2022秋•渑池县期末）如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，连接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB． （1）求证：OP平分∠AOB； （2）若MN=8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和． 4. （2023春•昌江区校级期中）如图，在△ABC中，点D在边BC的延长线上，∠ACB=106°，∠ABC的平分线BE与外角∠CAF的平分线AD交于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H． （1）求∠AEB的度数． （2）若AB+BD=16，AC=6，且S△ACE=12，求△ABD的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项练习五：与角平分线性质有关的解答题 1. （2024秋•武昌区期中）如图，△ABC的外角∠CBD，∠BCH的平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AD于点E，PF⊥AC于点F． （1）求证：PE=PF； （2）连接AP，若∠ABC=40°，求∠APC的度数． 【解答】（1）如图，过P作PH⊥BC于H， ∵PB平分∠CBD，PE⊥BD，∴PE=PH，同理：PF=PH，∴PE=PF； （2）解：∵PE⊥AD，PF⊥AC，PE=PF， ∴AP平分∠BAC， ∴∠CAP=∠BAC，∵CP平分∠BCH，∴∠PCH=∠BCH，∵∠PCH=∠CAP+∠APC， ∴∠BCH=∠BAC+∠APC， ∵∠BCH=∠BAC+∠ABC， ∴（∠BAC+∠ABC）=∠BAC+∠APC，∴∠APC=∠ABC=×40°=20°． 2.（2024秋•闽清县期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=40°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50°，连接DE． （1）求证：DE平分∠ADC； （2）若AB=7，AD=4，CD=8，且S△ACD=15，求△ABE的面积． 【解答】（1）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，如图： ∵EF⊥AB，∠AEF=50°，∴∠FAE=90°-50°=40°，∵∠DAC=40°， ∴∠FAE=∠CAD=40，即CA为∠DAF的平分线， 又EF⊥AB，EG⊥AD，∴EF=EG，∵BE是∠ABC的平分线，∴EF=EH，∴EG=EH， ∴点E在∠ADC的平分线上，∴DE平分∠ADC； （2）设EG=x,由（1）得：EF=EH=EG=x,∵S△ACD=15，AD=4，CD=8， ∴AD•EG+CD•EH=15，即：4x+8x=30，解得：x=2.5，∴EF=x=2.5， ∴S△ABE=AB•EF=×7×2.5=． 3.（2022秋•渑池县期末）如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，连接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB． （1）求证：OP平分∠AOB； （2）若MN=8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和． 解（1）证明：过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E， ∵MP平分∠AMN，PC⊥OA，PD⊥MN，∴PC=PD， ∵NP平分∠MNB，PD⊥MN，PE⊥OB，∴PD=PE，∴PC=PE，∴OP平分∠AOB； （2）∵△PMN的面积是16，MN=8， ∴MN•PD=16，∴×8•PD=16，∴PD=4， ∴PD=PC=PE=4，∵△OMN的面积是24， ∴四边形MONP的面积=△PMN的面积+△OMN的面积=16+24=40， ∴△POM的面积+△PON的面积=40， ∴OM•PC+ON•PE=40，∴OM•4+ON•4=40，∴OM+ON=20， ∴线段OM与ON的长度之和为20． 4. （2023春•昌江区校级期中）如图，在△ABC中，点D在边BC的延长线上，∠ACB=106°，∠ABC的平分线BE与外角∠CAF的平分线AD交于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H． （1）求∠AEB的度数． （2）若AB+BD=16，AC=6，且S△ACE=12，求△ABD的面积． 解：（1）如图所示，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N， ∵CE是∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线，∴EN=EH，EH=EN，∴EM=EN， ∴AE是∠CAF的角平分线，∴∠EAM=∠EAN，∴∠FBE=∠ABC，∠FAE=∠FAC， ∵∠FAE=∠FBE+∠AEB，∠ACD=∠ABC+∠ACB， ∴∠ACD=∠ABC+∠ACB，即∠FAE=∠FBE+∠ACB， ∴∠AEB=∠ACB=×106°=53°． （2）如图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N， 由（1）可知：EM=EH=EN，∵AC=6，且S△ACE=12，则 S△ACE=AC×EN=6•EN=12， ∴EN=4，∴EN=4，∴EM=EH=4， ∴S△ABD=S△ABE+S△BDE=AB•EM+BD•EH=AB•EM+BD•EM=•EM（AB+BD）=×4×16=32． 学科网（北京）股份有限公司 $$