专项练习3：含30度的直角3角形（原卷+答案）-2024-2025学年八年级上册数学期末专题训练

专项练习三：含30度的直角三角形 · 知识提点： 定理：在含30°的直角三角中，30°所对的直角边是斜边的一半 · 几何语言表述 在Rt△ABD中，∠BAD=30°，∴BD=AB · 典型练习 1.（2023秋•包河区期末）如图1，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD=3AE，CF=6，则AC的长为 ． 图1 图2 2.（2023秋•平果市期末）如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，线段AB的垂直平分线DF交BC于点F，交AB于点E，交CA的延长线于点D，若AE=4，则CD= ． 3.如图3，在等边△ABC中，作点C关于直线AB的对称点P，过点P作PQ⊥BC，交CB的延长线于点Q，BQ=5，则AC的长为 图3 图4 4.（2024秋•海安市期中）如图4，△ABC中，∠B=30°，∠C=90°，等边三角形DEF的三个顶点分别落在AC，AB，BC上，若CD=5，BE=8，则AB的长为 ． 5.如图，已知△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE． （1）求证：AD=BE； （2）若∠CAE=15°，AD=5，求AB的长． 6.（2023秋•海珠区期末）如图，△ABC是等边三角形，AB=2，BD=3，BD⊥AC，延长BC至E，使BD=DE，连接DE． （1）求证：CD=CE； （2）求△CDE的面积； （3）点M，N分别是线段BC，BD上的动点，连接MN，求MN+DN的最小值． 7.（2023秋•越秀区期末）如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，∠ABD=30°，M为BD上的动点，连结AM，MC． （1）当AM⊥BD时，求AM； （2）当AB=BM时，求证：AM=CM； （3）求BM+2CM的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项练习三：含30度的直角三角形 · 知识提点： 定理：在含30°的直角三角中，30°所对的直角边是斜边的一半 · 几何语言表述 在Rt△ABD中，∠BAD=30°，∴BD=AB · 典型练习 1.（2023秋•包河区期末）如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD=3AE，CF=6，则AC的长为 ． 【解答】AC与DE相交于G，如图， ∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°， ∵DE⊥AE，∴∠AGE=30°，∴∠CGD=30°， ∵∠ACB=∠CGD+∠D，∴∠D=30°，∴CG=CD， 设AE=x,则CD=3x,CG=3x,在Rt△AEG中，AG=2AE=2x, ∴AB=BC=AC=5x,∴BE=4x,BF=5x-6， 在Rt△BEF中，BE=2BF，即4x=2（5x-6），解得x=2，∴AC=5x=10． 故答案为10． 2.（2023秋•平果市期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，线段AB的垂直平分线DF交BC于点F，交AB于点E，交CA的延长线于点D，若AE=4，则CD= ． 【解答】如图，连接AF，BD， ∵DF是AB的垂直平分线，∴BF=AF，BD=AD，∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）=30°，∠DAB=180°-∠BAC=60°， ∴△ABD是等边三角形，∴AD=AB=AC，∵AE=4，∴AB=2AE=8， ∴CD=AD=AC=2AB=16，故答案为：16． 3.如图，在等边△ABC中，作点C关于直线AB的对称点P，过点P作PQ⊥BC，交CB的延长线于点Q，BQ=5，则AC的长为 【解答】如图，连接PB， ∵△ABC是等边三角形，点C关于直线AB的对称点P，∴BP=BC，∠PCB=∠BPC=30°，∠PBC=120°，∴∠PBQ=60°，∴∠QPB=30°， ∵PQ⊥BC，BQ=5，∴BP=2BQ=2×5=10，∴AC=BC=PB=10， 4.（2024秋•海安市期中）如图，△ABC中，∠B=30°，∠C=90°，等边三角形DEF的三个顶点分别落在AC，AB，BC上，若CD=5，BE=8，则AB的长为 ． 【解答】过点D作DH⊥AB于点H，如图所示： 则∠DHE=∠C=90°，在△ABC中，∠B=30°，∠C=90°， ∴∠A=60°，AB=2AC，∴∠2+∠ADE=120°， ∵△DEF是等边三角形，∴DE=DF，∠EDF=60°， ∴∠1+∠ADE=120°，∴∠2=∠1， 在△DHE和△FCD中，∴△DHE≌△FCD（AAS）， ∴HE=CD=5，∴HB=HE+BE=5+8=13，∴AB=BH+AH=13+AH， 在Rt△ADH中，∠A=60°，∴∠ADH=30°，∴AD=2AH， ∴AC=CD+AD=5+2AH，∵AB=2AC，∴13+AH=2（5+2AH），∴AH=1， ∴AB=13+AH=14． 故答案为：14． 5.如图，已知△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE． （1）求证：AD=BE； （2）若∠CAE=15°，AD=5，求AB的长． 【解答】（1）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴AC=BC，CD=CE， ∵∠ACD+∠DCB=∠BCE+∠DCB=90°， ∴∠ACD=∠BCE（同角的余角相等）， 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE（全等三角形的对应边相等）． （2）解：∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC=∠BEC（全等三角形的对应角相等）， ∵∠ADC=∠DCE+∠DEC，∠BEC=∠DEB+∠DEC， ∴∠DCE=∠DEB=90°， ∵△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°， ∴∠CAB=∠CBA=45°， ∵∠CAE=15°， ∴∠EAB=∠CAB-∠CAE=45°-15°=30°， 在Rt△ABE中，∠EAB=30°，∵AD=BE=5， ∴AB=2BE=10 6.（2023秋•海珠区期末）如图，△ABC是等边三角形，AB=2，BD=3，BD⊥AC，延长BC至E，使BD=DE，连接DE． （1）求证：CD=CE； （2）求△CDE的面积； （3）点M，N分别是线段BC，BD上的动点，连接MN，求MN+DN的最小值． 【解答】（1）∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠ACB=60°，∠CBD=30°， ∵BD=DE，∴∠E=∠CBD=30°，∵∠ACB=∠CDE+∠E， ∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°， ∴∠CDE=∠E，∴CD=CE； （2）解：如图，过点D作DH⊥BC于H， ∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AB=2， ∴∠DCH=60°，∠CBD=30°，CD=AC=AB=， ∴BC=2CD=2，CE=CD=， ∵∠BHD=90°，∠DBH=30°，∴DH=BD=×3=，∴S△CDE=CE•DH=××=； （3）过点D作DF∥BC，过点N作NF⊥DF于F， 则∠NDF=∠CBD=30°，∵∠F=90°，∴FN=DN，∴MN+DN=MN+FN， 当且仅当F、N、M在同一条直线上时，MN+DN=MN+FN的值最小， ∵NF⊥DF，DF∥BC，∴MN⊥BC，∵∠CBD=30°，∴MN=BN， ∴MN+DN=BN+DN=BD=×3=，∴MN+DN的最小值为． 7.（2023秋•越秀区期末）如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，∠ABD=30°，M为BD上的动点，连结AM，MC． （1）当AM⊥BD时，求AM； （2）当AB=BM时，求证：AM=CM； （3）求BM+2CM的最小值． 【解答】（1）证明：∵AM⊥BD，∴∠AMB=90°， ∵∠ABM=30°，∴AM=AB=2； （2）证明：过点A作AE⊥BM于点E，MF⊥AC于点F， ∵AB=BM，∠ABD=30°，∴∠BAM=∠BMA=75°，AE=AB， ∴∠EAM=15°，∵∠BAD=90°，∴∠DAM=90°-75°=15°，∴∠EAM=∠DAM， 又∵∠AEM=∠AFM，AM=AM， ∴△AEM≌△AFM（AAS），∴AE=AF，∵AB=AC，∴AF=AC，∴AF=CF， 又∵MF⊥AC，∴AM=CM； （3）如图，过点M作MG⊥AB于G， ∵MG⊥AB，∠ABD=30°，∴MG=BM，∴BM+2CM=2（BM+CM）=2（MG+CM）， ∴当M，A，C三点共线时，即CM+MG=AC，BM+2CM有最小值． ∴BM+2CM=2AC=2×4=8． 学科网（北京）股份有限公司 $$