专项练习1：与三角形角平分线有关的角（原卷+答案）-2024-2025学年八年级上册数学期末专题训练

专项练习一：与三角形角平分线有关的角 · 知识回顾：角的平分线： 如图，BD是∠BAC的角平分线，注意在此角度之间的半倍关系 · 知识引申：与三角形有关的内外角平分线所成的角 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，CH平分∠ACI，BG平分∠EBC，CG平分∠BCF， 结论： 此外，在四边形DBGC中，还存在如下结论： (1)∠DBG=∠GCD=90°；（2）∠BDC+∠BGC=180°. · 典型练习 1．如图，在△ABC中，∠B=50°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=____°. 【答案】65 2．如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB∶∠CNB＝3∶2，那么∠CAB＝ ． 【解答】由题意得：∠NCM=∠MBN=×180°=90°，∴可得∠CMB+∠CNB=180°， 又∠CMB∶∠CNB=3∶2，∴∠CMB=108°． ∴（∠ACB+∠ABC）=180°-∠CMB=72°，∴∠CAB=180°-（∠ACB+∠ABC）=36°． 3．如图，∠ABC ∠ACB ，BD ，CD 分别平分△ABC 的内角 ∠ABC ，外角 ∠ACP ，BE平分外角 ∠MBC 交 DC 的延长线于点 E ．以下结论：①∠BDE ∠BAC ；② DB⊥BE ；③∠BDC ∠ACB 90 ；④∠BAC 2∠BEC 180 .其中正确的结论是 （ 填写正确结论的序号）. 【解答】① ∵BD，CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACP， ∴∠ACP=2∠DCP，∠ABC=2∠DBC． 又∵∠ACP=∠BAC+∠ABC，∠DCP=∠DBC+∠BDC， ∴∠BAC=2∠BDE，∴BDE BAC．∴①正确； ②∵BD，BE分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠MBC， ∴∠DBE=∠DBC+∠EBC= ∠ABC+∠MBC=×180°=90°，∴EB⊥DB，故②正确， ③∵∠DCP=∠BDC+∠CBD，2∠DCP=∠BAC+2∠DBC，∴2(∠BDC+∠CBD)=∠BAC+2∠DBC，∴∠BDC=∠BAC，∵∠BAC+2∠ACB=180°，∴∠BAC+∠ACB=90°，∴∠BDC+∠ACB=90°，故③正确， ④∵∠BEC=180°− (∠MBC+∠NCB) =180°− (∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC) =180°− (180°+∠BAC)∴∠BEC=90°−∠BAC， ∴∠BAC+2∠BEC=180°，故④正确，故答案填：①②③④ 4. 如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． (1)如果∠A＝80°，求∠BPC的度数； (2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系． (3)如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数． 【解答】(1)∵△ABC的角平分线BD、CE相交于点P，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB， ∵∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°， ∴∠PBC＋∠PCB= (∠ABC+∠ACB)=×100°=50°， ∴∠BPC=180°－(∠PBC＋∠PCB)=180°-50°=130°. (2)∵△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q， ∴∠QBC= (∠A+∠ACB)，∠PCB= (∠A+∠ABC)， ∴∠QBC＋∠QCB= (∠A+∠A+∠ABC+∠ACB)= (∠A+180°)=∠A+90°. 又∵∠QBC＋∠QCB=180°-∠Q，∴∠A+90°=180°-∠Q，∴∠Q=90°-∠A. (3)如图，连接BC并延长到点F． ∵CQ为△ABC的外角的角平分线， ∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF=2∠ECF， ∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBC， ∵∠ECF=∠EBC+∠E，∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，即∠ACF=∠ABC+2∠E， 又∵∠ACF=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠E，即∠E=∠A； ∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=∠ABC+∠MBC= (∠ABC+∠A+∠ACB)=90°． 如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°； ②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°； ③∠Q=2∠E，则90°-∠A=∠A，解得∠A=60°； ④∠E=2∠Q，则∠A=2(90°-∠A)，解得∠A=120°． 综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项练习一：与三角形角平分线有关的角 · 知识回顾：角的平分线： 如图，BD是∠BAC的角平分线，注意在此角度之间的半倍关系 · 知识引申：与三角形有关的内外角平分线所成的角 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，CH平分∠ACI，BG平分∠EBC，CG平分∠BCF， 结论： 此外，在四边形DBGC中，还存在如下结论： (1)∠DBG=∠GCD=90°；（2）∠BDC+∠BGC=180°. · 典型练习 1.如图1，在△ABC中，∠B=50°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=____°. 图1 图2 2．如图2，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB∶∠CNB＝3∶2，那么∠CAB＝ ． 3．如图，∠ABC ∠ACB ，BD ，CD 分别平分△ABC 的内角 ∠ABC ，外角 ∠ACP ，BE平分外角 ∠MBC 交 DC 的延长线于点 E ．以下结论：①∠BDE ∠BAC ；② DB⊥BE ；③∠BDC ∠ACB 90 ；④∠BAC 2∠BEC 180 .其中正确的结论是 （ 填写正确结论的序号）. 4. 如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． (1)如果∠A＝80°，求∠BPC的度数； (2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系． (3)如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$