专题06 勾股定理综合应用（12大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（辽宁专用）

专题06 勾股定理综合应用 题型一 勾股数 1．（23-243八年级上·辽宁锦州·期末）在中，的对边分别记为a，b，c，下列条件能够判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直角三角形的定义，只要验证最大角是否是；由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、由无法判定哪个角是直角，故此条件不能够判定为直角三角形； B、∵，∴，∴故此条件不能够判定为直角三角形； C、∵，∴，∴以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D.∵，∴，∴此条件能够判定为直角三角形，故符合题意， 故选：D 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形． 2．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）下列四组数，是勾股数的是（    ） A． B． C． D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数．熟练掌握三个数都是整数，且满足的一组数是勾股数是解题的关键． 根据勾股数的定义进行判断作答即可． 【详解】解：A中不是整数，不是勾股数，故不符合要求； B中，是勾股数，故符合要求； C中，不是勾股数，故不符合要求； D中，不是勾股数，故不符合要求； 故选：B． 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（    ） A．2，4，6 B．1，2，3 C．8，15，17 D．0.3，0.4，0.5 【答案】C 【分析】此题考查了勾股数．根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，据此判断即可． 【详解】解：A、，所以2，4，6不能构成勾股数，不符合题意； B、，所以1，2，3不能构成勾股数，不符合题意； C、，所以8，15，17能构成勾股数，符合题意． D、0.3，0.4，0.5不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意； 故选：C． 4．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点，都在格点上，则线段的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，建立格点三角形，利用勾股定理求解的长度即可． 【详解】解：如图所示： ， 故选：C． 题型二 勾股定理解决实际问题 5．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）如图，将长为6cm的橡皮筋水平放置，固定两端A和B，然后把中点C竖直向上拉升至D点，使得橡皮筋被拉长了4cm，则橡皮筋竖直升高的距离为（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线性质及勾股定理，根据题意得到，，证明出垂直平分，求出，然后利用勾股定理求解即可．解题的关键是从题目中提取出垂直平分线． 【详解】∵将长为6cm的橡皮筋水平放置，固定两端A和B， ∴ ∵点C为的中点 ∴ ∵把中点C竖直向上拉升至D点，使得橡皮筋被拉长了4cm， ∴ ∵， ∴垂直平分 ∴ ∴． 故选：B． 6．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设绳索的长是x，则，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】设绳索的长是，则， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即绳索的长是， 故选：B． 7．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，点A与点B的高度差米，水平距离米，则点C与点B的高度差CE为 米． 【答案】2.25 【分析】作于F， 于G，根据可证，根据全等三角形的性质，可得米，在中，根据勾股定理可求出,即可求 ，再根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B 的高度差． 【详解】解：如图所示：作于F， 于G， 由题可知： ,， ， 在和中， ， ， 米， 设米， 在中， 根据勾股定理得，即， 解得， 则米， 故答案为：2.25． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，解题的关键是能正确作出辅助线证明三角形全等，采用数形结合的思想来解决问题． 8．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，是的中点，于，若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，线段的中点，等量代换思想，连接，利用勾股定理计算即可． 【详解】连接， ∵，， ∴, , ∴, ∵，， ∴, 故答案为：． 9．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成图形的面积 ． 【答案】50 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，由观察理解得：，，利用全等三角形的性质得出，，，，则可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， 又， ∴， ∴，， 同理，， ∴， ∴， ∴， =50． 故答案为：50． 题型三 赵爽弦图 10．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形围成，在中，，， ，若图中大正方形的面积为60，一个直角三角形的面积为10，则的值为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的应用，根据代入即可 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴， 故答案为：20． 题型四 勾股定理求最短距离 11．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．现有一段葛藤绕树干盘旋3圈升高为3.6m，如果把树干看成圆柱体，其底面周长是0.5m，如图是葛藤盘旋1圈的示意图，则这段葛藤绕树干盘绕3圈的长是 m． 【答案】3.9 【分析】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图是解答此题的关键．先把树干当作圆柱体从侧面展开，求出葛藤绕树干盘旋1圈时的长度，进而可得出结论． 【详解】解：∵葛藤绕树干盘旋3圈升高为3.6m， ∴葛藤绕树干盘旋1圈升高为1.2m， 如图所示： 在，根据勾股定理得：． ∴这段葛藤的长． 故答案为：3.9． 12．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）有一个圆柱体礼盒，高，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在处，另一端绕礼盒侧面周后粘贴在处（为的中点），则彩带最短为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和平面展开-最短路线问题，将圆柱侧面展开后，可得绕礼盒侧面周后彩带最短为，根据图形找到最短的线段是解题的关键． 【详解】解：圆柱侧面展开后图形是： ∵底面周长为，高， ∴， ∴绕礼盒侧面周后彩带最短为， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是 米．（精确到0.1米） 【答案】2.6 【分析】将木块展开，根据两点之间线段最短及勾股定理即可求出答案． 【详解】如图，将木块展开， 可知蚂蚁从A点到达C点时，在横向上移动的距离为：（米）， 在纵向上移动的距离为：（米）， 由两点之间线段最短可知，从点A处到达C处需要走的最短路程为：（米）． 故答案为：2.6 【点睛】本题考查两点间最短距离，需要想象着将木块展开再进行计算，对空间想象能力要求较高，有一定难度． 14．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）如图，长方体的长为4cm，宽为4cm，高为3cm，cm，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点C，则需要爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D．6cm 【答案】C 【分析】本题考查平面展开—最短路线问题，勾股定理，无理数的大小比较．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：按照正面和右面展开，如下， ∴， ∴； 按照上面和左面展开，如下， ∴， ∴； 按照正面和上面展开，如图3， ∴，， ∴ ∵， ∴需要爬行的最短距离是， 故选：C． 题型五 勾股定理的压轴小题 15．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）如图，在中，，，，点是边上的一个动点，连接，将沿折叠，得到，当与的直角边垂直时，的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，分和两种情况进行求解即可得到答案，根据题意，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，延长交于点，与相交于点， ∵， ∴， ∴， 由折叠得，，，， ∴， ∴， 即， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴； 当时，如图，设与相交于点， 由折叠可得，，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长是或， 故答案为：或． 16．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，M，N分别为锐角边，上的点，把沿折叠，点O落在所在平面内的点C处．若折叠后，直线与交于点E，且，垂足为点E，且，，则此时的长为 . 【答案】5或20 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键的分两种情况进行讨论．分点N在线段上，点N在线段的延长线上，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：①若折叠后，直线于点E， ∵， ∴， 若点N在线段上，如图所示： 由折叠的性质可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得； ②若点N在线段的延长线上，如图所示， 由折叠可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得． 综上所述，或． 故答案为：5或20． 17．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，，，点为边上的动点，连接，将沿直线翻折，得到，点的对应点为，当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理，矩形的判定和性质．画出图形，并过点作交的延长线于点，过点作交延长线与点，先求出的长，进而求出，，的长，再在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：分两种情况： ①在内部时，如图， 过点作交的延长线于点，过点作交延长线与点，   ，，， ， 由勾股定理，得， 四边形是矩形， ，， 设， 在中， 由勾股定理，得， 在中， 由勾股定理，得， ， 解得， ，， ，， 在中， 由勾股定理，得， ②在的外部时，如图，    过点作交的延长线于点，过点作交延长线与点， 类似①的方法可求出， 故答案为：或． 18．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在正方形中，，点E是边上的点，且，点F是对角线所在直线上一点且．过点F作，边交直线于点G，则的长为 ． 【答案】 【分析】分两种情况讨论，一是点F在线段上，作交于点H，由正方形的性质得，，则，，所以，则，可求得，由，得，则，可求得，则，于是得，则，求得；二是点F在的延长线上，作交的延长线于点L，可证明，则，可求得，则，由，得，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点F在线段上，作交于点H，则， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2，点F在的延长线上，作交的延长线于点L，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、二次根式的运算等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 19．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，点是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点． 当是直角三角形时，的长为 ．    【答案】1或 【分析】本题考查了翻折变换 (折叠问题)，等腰三角形的性质，勾股定理；分两种情况：当时，当；然后分别利用等腰三角形的性质，勾股定理以及折叠的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：当时，如图   ， 设， ，， ， ， 由折叠性质得：， ， ， 在中，， ， 解得：， ； 当，如图    过点C作，垂足为H， ， ，， ， ， ， 由折叠得：， ，， ， ， ， ， ， 是一个外角，， ， ， ， ， ， ， 综上所述的长为1或 故答案为：1或． 题型六 梯子靠墙问题 20．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一图书馆的两个书柜相对平行摆放，当把一架梯子斜靠在左侧书柜时，梯子底端到左侧书柜底角的距离0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右侧书柜上时，顶端距离地面2米，那么两个书柜的距离是多少米？ 【答案】2.2米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法．根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：依题意可知，在中， ，，， 由勾股定理，得． 依题意， ， 在中， ，，， ， ， ， ， （米）． 答：两个书柜的距离是2.2米． 21．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到米（即米），消防车高米，救人时云梯伸长至最长，在完成从米（即米）高的处救人后，还要从米（即米）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长，即可解决问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得米， ∵米，米， ∴（米），（米）， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 答：这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 题型七 台风影响问题 22．（23-24八年级上·陕西西安·期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析； (2) 【分析】（1）作，中，根据勾股定理，求出的长，进而求得的长，即可求解， （2）假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，根据勾股定理求出的长，即可， 此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：会受到台风的影响. 理由：如图，过点A作，垂足为D， 在中，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， 答：农场A会受到台风的影响， （2）解：如图， 假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，，由勾股定理，可得 ∵台风的速度是， ∴受台风影响的时间为， 答：台风影响该农场持续时间为． 题型八 构造直角三角形解决问题 23．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)2.5千米 【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：是， 理由是：在中， ∵ ∴ ∴， ∴是从村庄C到河边的最近路； （2）解：设，则， 由勾股定理得： ∴ 解得 答：原来的路线的长为2.5千米． 24．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，为边上的高，平分外角，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形的外角性质、勾股定理等知识： （1）由，得，由平分，得，则，所以； （2）由为边上的高，证明，由勾股定理得，则的长为． 【详解】（1）∵， ∴， ∵平分外角， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵为边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 25．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，已知是边上的高，过点B作于点E，交于点F，且，，． (1)求的长； (2)求证：； (3)连接，过点B作，交的延长线于点H，补全图形，并求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)补全图形见解析， 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）先利用勾股定理求出，再利用等面积法求出的长即可； （2）先利用勾股定理求出，进而证明，再证明，即可证明； （3）如图所示，过点E作于G，先利用等面积法求出，则由勾股定理得到，，求出，即可利用等面积法得到． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点E作于G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型九 折叠问题与勾股定理 26．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)； 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)． 【答案】(1；(2；(3)的长为或10 【分析】（1）求出，再由折叠的性质得，然后由勾股定理求出的长即可； （2）由长方形的性质得，，，再证，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1），， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即的长为； （2）四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）解：四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或． 【点评】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 题型十 手拉手全等与勾股定理 27．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）【问题建立】 （1）如图1，和都是等边三角形，当点在一条直线上时，把沿直线折叠，点的对应点恰好落在线段上． 判断线段的数量关系，并说明理由； （2）如图2，在等腰直角三角形中，，若于点，且点在直线下方，把沿直线折叠，点的对应点恰好落在线段上． 【问题应用】 若，求的长； 【问题迁移】 若，求的面积． 【答案】（1）；（2）问题应用：；问题迁移： 【分析】（1）通过证明，得出，结合等边三角形的性质，即可得出结论； （2）问题应用：过点B作于点H，根据折叠的性质得出，则为等腰直角三角形，，求出，，根据勾股定理求出，最后根据即可求解； 问题迁移：过点F作于点G，设，则，，根据，，求出，，进而得出，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：问题应用：过点B作于点H， ∵沿直线折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，则， 根据勾股定理可得：， 则， 整理得：， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 同理可得：， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴； 问题迁移：过点F作于点G， 设， ∵，沿直线折叠得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 28．（23-24八年级上·辽宁本溪·期末）如图，分别以的两边为腰向外作等腰直角和等腰直角，其中． (1)如图1，连接．若，求的长； (2)如图2，M为的中点，连接，过点M作与的反向延长线交于点N，连接，试猜想之间有何等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由已知易得，则；在中由勾股定理即可求得，从而求得结果； （2）延长到G，使，分别连接；易证，则有，可得；由（1）知，，设交于点F，则可得，由平行可得，则由勾股定理及线段垂直平分线的性质可得之间等量关系． 【详解】（1）解：∵和均是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴，； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得； ∴； （2）解：； 证明如下：如图，延长到G，使，分别连接； ∵M为的中点， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； 由（1）知， ∴； 设交于点F， ∵ ， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得； ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题是全等三角形的综合，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识，构造全等三角形是本题的关键． 题型十一 含半角模型与勾股定理 29．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）仍然成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）延长到点G，使，连接，可判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根据，推导得到，利用，推导出的度数，即可得出结论． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 在和中， ， ≌， ； （3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 即， ，， ， 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 题型十二 倍长中线与勾股定理 30．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）【发现】如图①，点为线段的中点，连接，我们易得，进而可以得到，且． 【应用】如图②，在中，，点为线段上一点，以为斜边作等腰直角（点按顺时针顺序排列），即，，取中点，连接． （1）求的度数； （2）求证：； 【拓展】 （3）若将（2）中的点改为直线上一点，其他条件不变，设直线与直线相交于点，当时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3）5 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，平行线的性质． (1)根据，，得到，结合计算即可． (2)连接，过点C作，交的延长线于点N，连接，先证明 得到，，，结合， 得到，得到，结合，得到，证明即可得证． (3)当点D在线段上时，在上截取，连接，证明，继而得到，根据，得到， 设，则，，根据勾股定理，得到，求解即可．当点D在线段得延长线上时，都不成立． 【详解】(1)∵，， ∴， ∴． (2) 过点C作，交的延长线于点N，连接， ∴， ∵中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，故， ∵，， ∴． (3)当点D在线段上时，在上截取，连接，， 根据(2)得，, ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故． 【点睛】老师延长线上时，BF小于BC是不可能的，您说是吗？ 31．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）【问题初探】 （1）数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，，为的中点，求中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下解题思路： 如图2，延长至点，使，连接．依据可以判定，在中，利用三角形的三边关系，可先求出边的取值范围，进而求出中线的取值范围是__________． 【类比分析】 （2）老师发现小明的解法运用了转化思想，当题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的条件集中到同一个三角形中．为了帮助学生更好地感语转化思想，老师在图1条件不变的情况下，增加如下条件，并提出新问题，请你写出解答过程． 如图3，点在上，连接．若，求证：． 【学以致用】 （3）如图4，在图1条件不变的情况下，，，交边于点，交边于点，连接．若，求的长． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，勾股定理以及三角形三边关系等知识： （1）延长至点，使，连接．依据可以判定，在中，利用三角形的三边关系，可先求出边的取值范围，进而求出中线的取值范围； （2）延长至点，使，连接．证明得,从而可得结论； （3）延长到点G，使，连结，证明,得，推出，由勾股定理得,设，则代入上式求出x的值即可解决问题 【详解】（1）如图2，延长至点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴ 又 ∴， ∴ 在中，，即， ∴， ∴， 故答案为： （2）延长至点，使，连接 同（1）可证, ∴, ∵ ∴ ∴ ∴； （3）延长到点G，使，连结， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴中，， ∴, 设，则， ∴， 解得，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 勾股定理综合应用 题型一 勾股数 1．（23-24八年级上·辽宁锦州·期末）在中，的对边分别记为a，b，c，下列条件能够判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）下列四组数，是勾股数的是（    ） A． B． C． D．，， 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（    ） A．2，4，6 B．1，2，3 C．8，15，17 D．0.3，0.4，0.5 4．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点，都在格点上，则线段的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型二 勾股定理解决实际问题 5．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）如图，将长为6cm的橡皮筋水平放置，固定两端A和B，然后把中点C竖直向上拉升至D点，使得橡皮筋被拉长了4cm，则橡皮筋竖直升高的距离为（    ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 6．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C．6 D． 7．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，点A与点B的高度差米，水平距离米，则点C与点B的高度差CE为 米． 8．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，是的中点，于，若，，则的长度为 ． 9．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成图形的面积 ． 题型三 赵爽弦图 10．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形围成，在中，，， ，若图中大正方形的面积为60，一个直角三角形的面积为10，则的值为 ． 题型四 勾股定理求最短距离 11．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．现有一段葛藤绕树干盘旋3圈升高为3.6m，如果把树干看成圆柱体，其底面周长是0.5m，如图是葛藤盘旋1圈的示意图，则这段葛藤绕树干盘绕3圈的长是 m． 12．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）有一个圆柱体礼盒，高，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在处，另一端绕礼盒侧面周后粘贴在处（为的中点），则彩带最短为 ． 13．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是 米．（精确到0.1米） 14．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）如图，长方体的长为4cm，宽为4cm，高为3cm，cm，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点C，则需要爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D．6cm 题型五 勾股定理的压轴小题 15．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）如图，在中，，，，点是边上的一个动点，连接，将沿折叠，得到，当与的直角边垂直时，的长是 ． 16．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，M，N分别为锐角边，上的点，把沿折叠，点O落在所在平面内的点C处．若折叠后，直线与交于点E，且，垂足为点E，且，，则此时的长为 . 17．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，，，点为边上的动点，连接，将沿直线翻折，得到，点的对应点为，当时，的长为 ． 18．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在正方形中，，点E是边上的点，且，点F是对角线所在直线上一点且．过点F作，边交直线于点G，则的长为 ． 19．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，点是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点． 当是直角三角形时，的长为 ．    题型六 梯子靠墙问题 20．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一图书馆的两个书柜相对平行摆放，当把一架梯子斜靠在左侧书柜时，梯子底端到左侧书柜底角的距离0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右侧书柜上时，顶端距离地面2米，那么两个书柜的距离是多少米？ 21．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到米（即米），消防车高米，救人时云梯伸长至最长，在完成从米（即米）高的处救人后，还要从米（即米）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 题型七 台风影响问题 22．（23-24八年级上·陕西西安·期中）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 题型八 构造直角三角形解决问题 23．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 24．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，为边上的高，平分外角，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 25．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，已知是边上的高，过点B作于点E，交于点F，且，，． (1)求的长； (2)求证：； (3)连接，过点B作，交的延长线于点H，补全图形，并求的长． 题型九 折叠问题与勾股定理 26．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)； 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)． 题型十 手拉手全等与勾股定理 27．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）【问题建立】 （1）如图1，和都是等边三角形，当点在一条直线上时，把沿直线折叠，点的对应点恰好落在线段上． 判断线段的数量关系，并说明理由； （2）如图2，在等腰直角三角形中，，若于点，且点在直线下方，把沿直线折叠，点的对应点恰好落在线段上． 【问题应用】 若，求的长； 【问题迁移】 若，求的面积． 28．（23-24八年级上·辽宁本溪·期末）如图，分别以的两边为腰向外作等腰直角和等腰直角，其中． (1)如图1，连接．若，求的长； (2)如图2，M为的中点，连接，过点M作与的反向延长线交于点N，连接，试猜想之间有何等量关系，并证明你的结论． 题型十一 含半角模型与勾股定理 29．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数． 题型十二 倍长中线与勾股定理 30．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）【发现】如图①，点为线段的中点，连接，我们易得，进而可以得到，且． 【应用】如图②，在中，，点为线段上一点，以为斜边作等腰直角（点按顺时针顺序排列），即，，取中点，连接． （1）求的度数； （2）求证：； 【拓展】 （3）若将（2）中的点改为直线上一点，其他条件不变，设直线与直线相交于点，当时，请直接写出的长． 31．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）【问题初探】 （1）数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，，为的中点，求中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下解题思路： 如图2，延长至点，使，连接．依据可以判定，在中，利用三角形的三边关系，可先求出边的取值范围，进而求出中线的取值范围是__________． 【类比分析】 （2）老师发现小明的解法运用了转化思想，当题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的条件集中到同一个三角形中．为了帮助学生更好地感语转化思想，老师在图1条件不变的情况下，增加如下条件，并提出新问题，请你写出解答过程． 如图3，点在上，连接．若，求证：． 【学以致用】 （3）如图4，在图1条件不变的情况下，，，交边于点，交边于点，连接．若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$