复习专题06 几何证明（8重点+6考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪教版）

专题06 几何证明 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点一 演绎证明 1演绎证明的概念 从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则,推导出某结论为正确的过程叫__________ 演绎证明不用想的太过复杂，它只是一种严格的数学证明,七年级学习额的平行线、三角形全等证明一样，核心是由因为推出所以，每一句推理有理有据，本书中的演绎证明简称证明 注意：①证明中的每一步推理都要有依据,不能想当然②具体问题具体分析，并不是所有真理都可以进行演绎证明 2.证明几何问题的方法 (1)综合法:由__________逐步推导到__________的一种证明方法 (2)分析法:由__________逐步追溯到__________的一种方法 易错易混提示： ①几何证明时,一般先用分析法找到思路,然后改用综合法写出证明过程 ②在几何证明中,有时需要添加辅助线,添加辅助线的过程要在证明过程中写出来，交代清楚，辅助线通常画虑线即可 (3)证明过程中,前一段的“果”为后一段提供了“因”,一连串连贯有序的因果关系组成了完整的证明 知识点二 定义、命题、真命题及假命题的概念 1.定义:能界定某个对象含义的句子叫做定义 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题 注意： (1)命题必须是一个完整的句子,通常是一个陈述句或否定句，问句、祈使句、感叹句都不是命题;问句、祈使句、感叹句都不是命题;问句、祈使句、感叹句都不是命题！ (2)命题是判断性语句，必须是对某件事情作出肯定或否定的判断 3.真命题：判断为__________的命题叫做真命题 注意： 判断一个命题是真命题,往往需要从命题的题设出发,通过证明步一步推得结论成立. 4.假命题:判断为__________的命题叫做假命题 5.[补充]反例:符合命题的题设，但不符合命题结论的例子称为反例.判断一个命题是假命题,通常只要举出反例即可 答疑解惑：如何判断命题真假？ 判断命题的真假，关键在于题设成立的前提下,看结论是否正确,可先举“特例”验证,特例成立,还不能说明命题为真命题，要将特殊形式转化成一般形式,用推理的方法说明结论正确; 若特例不成立,则命题一定是假命题. 知识点三 命题的结构 数学命题通常由__________和__________两部分组成. 题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项 这样的命题可以写成“如果…,那么…”的形式.用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论 注意： 存在一些命题的题设和结论不是很分明，我们可以先把命题改写成“如果…,那么…”的形式,这样就更加清楚地找出命题的题设和结论. 知识点四 公理和定理的概念 1.公理:人们从长期的实践中总结出来的__________题叫做公理 2.定理:从公理或其他真命题出发,用__________为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做__________.定理是需要证明的. 知识点五 证明思路的分析 1.证明思路 要想证明一个命题是否正确,我们在思考时,可以由最后的结论反着向前追溯证明 2.证明思路的分析方法 先定位清楚题目“要证什么？”，然后再罗列出我们“需知什么”也就是要准备哪些条件,由此再考虑“只要证什么”,一直追溯到“已知”而证明的表述 证明逻辑顺序：“已知”→“可知”→“结论”. 3.证明的一般步骤 (1)分清命题的题设和结论; 如果问题与图形有关，要根据条件画出图形，并在图形上标出有关的字母与符号. 注意：无图几何、“射线”或“直线”等几何问题，我们可能还需要进行分类讨论. (2)结合图形,写出已知求证; (3)分析因果关系找出证明途径; (4)有条理地写出证明过程(每一步推理都要有推理的依据). 注意： （1） 在证明的表述中，符号“∵”读作因为，“∴”读作所以. （2） 如果已知中给出图形,给出了已知和求证，这时我们只要写出“证明”这一步即可 知识点六 几何证明中常用的证明方法 证明类型 证明方法 证明两直线平行 利用平行线性质判定定理和公理 证明两线段相等 证法1：如果两线段分别在两个三角形中可证两个三角形全等 证法2：如果两线段在一个三角形中，可证它们所对的角 证法3：可以借助一条线段证明两线段都等于第二条 证明两角相等 证法1:利用平行线的性质证两角相等; 证法2：如果两角分别在两个三角形中,可证这两个三角形全等; 证法3：如果两角在一个三角形中，可证它们所对的边相等(等腰三角形的性质) 证明两直线互相垂直 证法1：利用垂直定义; 证法2：利用等腰三角形“三线合一” 知识点七 互逆命题、原命题、逆命题 1. 概念 在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题 如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的逆命题 (1) 原命题与逆命题是相对的,每个命题都有逆命题. (2) 原命题是真命题,逆命题不一定是真命题;原命题是假命题，逆命题不一定是假命题 拓展:符号语言表示原命题:如果p,那么q;逆命题:如果q,那么p. 2.方法 写原命题的逆命题时,首先要分清这个命题的题设和结论，最好先将原命题改写成“如果…,那么…”的形式，“如果”引出的部分是题设，“那么”引出的部分是结论，再根据改写后的命题写出原命题的逆命题. 知识点八 互逆定理、逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明也是定理,那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理 注意： ①互逆定理，其题设与结论互换，说明问题时,其推理的方向正好相反 ②每一个命题都有逆命题，而每一个定理不一定都有逆定理.定理和逆定理都是真命题，而命题和逆命题却不一定都是真命题. 考点剖析 【考点1 平行线的判定与性质】 1．（2023春•浦东新区校级期末）若两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是　　 A．一对同位角的平分线互相平行 B．一对内错角的平分线互相平行 C．一对同旁内角的平分线互相平行 D．一对同旁内角的平分线互相垂直 2．（2023秋•浦东新区期中）如图，点，在直线上，，． （1）求证：． （2）的角平分线交于点，过点作交的延长线于点．若，再求的度数． ， ， ， ． 【考点2 三角形内角和定理】 3．（2022秋•庐阳区校级月考）如图，，分别是的高线和角平分线，且相交于点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 4．（2022秋•长宁区校级期中）已知的三个内角满足，则该三角形是　　 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．（2024秋•浦东新区期中）如图，已知△中，，是边上一点，，垂足为点，，垂足为点，交边于点，当，则 　 　度． 6．（2023秋•松江区期末）如图，在中，已知是的角平分线，点是内一点，且，，，那么　 　． 7．（2023秋•黄浦区期末）如果一个直角三角形的一个内角等于，其中一条较长的直角边长为3，那么斜边的长为　 　． 【考点3 三角形的外角性质】 8．（2023秋•徐汇区月考）和是两个外角的平分线，则为　　 A． B． C． D． 9.（2024春•西安校级期中）如图所示，为的三条角平分线的交点，， 则　 　 度． 10．（2023秋•松江区校级月考）如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点，则　 　度． 【考点4 全等三角形的判定与性质】 11．（2024秋•闵行区期中）如图，在△中，于点，于点，、交于点，且，那么下列结论中错误的是　　 A． B． C． D． 12．（2022秋•奉贤区校级期中）在锐角中，，，垂足分别为、，与交于点，，那么等于　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•闵行区期末）如图，在中，，是高，平分交于点，过作交边于点，交边于点，联结．下列结论中，不一定成立的是　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•黄浦区期末）如图，、两点分别在射线，上，点在的内部，且，，，垂足分别为点、，且，若，，则的长为　　 A．10 B．13 C．15 D．17 15．（2024秋•徐汇区校级期中）如图，是△中边上的中线，若，，则的取值范围为　 　． 16．（2024秋•闵行区校级期中）如图，△中，是边的中点，过作直线交于点，交的延长线于点，且．若，，则　 　． 17．（2024秋•闵行区期中）如图，在四边形中，连接、．已知，，，，那么△的面积是 　 　． 18．（2023秋•浦东新区期末）在中，是边上的中线，，如果，，那么的长是 　 　． 【考点5 等腰三角形的判定与性质】 19．（2023秋•徐汇区校级月考）如图，△中，，，，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且．则△的周长等于　　 A．17 B．15 C．12 D．11 20．（2024秋•闵行区校级期中）如图，在△中，平分，于点，，，，，则 　 　． 21．（2023秋•金山区校级月考）在△中，，于，且，那么的度数是 　 　． 【考点6 命题与定理】 22．（2024秋•徐汇区校级期中）下列说法中，正确的是　　 A．每个命题不一定都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．真命题的逆命题仍是真命题 D．假命题的逆命题未必是假命题 23．（2024秋•闵行区校级期中）下列命题中，真命题是　　 A．内错角相等 B．方程没有实数根 C．对顶角相等 D．若，则 24．（2024秋•徐汇区校级期中）下列命题中，真命题是　　 A．所有定理都有逆命题 B．三角形的一个外角等于两个内角的和 C．同位角相等 D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 25．（2024秋•闵行区校级期中）下列命题中，真命题是　　 A．两个等边三角形全等 B．底边及一个内角相等的两个等腰三角形全等 C．两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 D．两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 26．（2024秋•浦东新区期中）下列命题中，其逆命题是真命题的是　　 A．对顶角相等 B．全等三角形对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．两直线平行，内错角相等 27．（2024秋•普陀区期中）下列命题中，是真命题的是　　 A．如果一元二次方程有两个实数根，那么 B．如果，那么 C．两腰及一腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等 D．底边及一个内角相等的两个等腰三角形全等 28．（2024秋•闵行区期中）下列命题中，真命题的是　　 A．两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 B．两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等 C．两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 D．两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 29．（2023秋•杨浦区期末）已知下列命题中： ①有两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等； ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等； ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等． 其中真命题的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 过关检测 1．（2022秋•宝山区校级期中）在中，平分，，若，，那么　 　． 2．（2023秋•徐汇区月考）已知：如图，在中，平分，点是的中点，，交的延长线于点．求证：． 3．（2022秋•黄浦区校级月考）将一副三角尺按如图所示的位置摆放，则　 　度． 4．（2023秋•金山区期末）如图，中，是高、的交点，且，则　 　． 5．（2024秋•浦东新区期中）已知：如图，，，，与相于点．求证：． 6．（2024秋•杨浦区校级月考）如图，点、、、在一直线上，，，．求证：．（本题要写依据） 7．（2024秋•浦东新区期中）如图，已知在△中，平分，，交延长线交于点，是的中点，求证：． 8．（2023秋•普陀区校级月考）如图，在三角形中，是边上的一点，过点作，交的平分线于点，交的邻补角的平分线于点，求证：． 9．（2024秋•静安区校级期中）下列命题中，真命题的个数是　　 （1）等角的补角相等； （2）两边及其中一边的对角对应相等的三角形是全等三角形； （3）一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等； （4）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； （5）等腰三角形，两腰上的高相等． A．2 B．3 C．4 D．5 10．（2023秋•虹口区校级期末）下列命题的逆命题是真命题的是　　 A．若，，则 B．全等三角形的对应角相等 C．对顶角相等 D．若，则 11．（2023秋•浦东新区校级期末）下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数．它们的逆命题成立的个数是　　 A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 几何证明 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点一 演绎证明 1演绎证明的概念 从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则,推导出某结论为正确的过程叫演绎证明 演绎证明不用想的太过复杂，它只是一种严格的数学证明,七年级学习额的平行线、三角形全等证明一样，核心是由因为推出所以，每一句推理有理有据，本书中的演绎证明简称证明 注意：①证明中的每一步推理都要有依据,不能想当然②具体问题具体分析，并不是所有真理都可以进行演绎证明 2.证明几何问题的方法 (1)综合法:由题设逐步推导到结论的一种证明方法 (2)分析法:由结论逐步追溯到题设的一种方法 易错易混提示： ①几何证明时,一般先用分析法找到思路,然后改用综合法写出证明过程 ②在几何证明中,有时需要添加辅助线,添加辅助线的过程要在证明过程中写出来，交代清楚，辅助线通常画虑线即可 (3)证明过程中,前一段的“果”为后一段提供了“因”,一连串连贯有序的因果关系组成了完整的证明 知识点二 定义、命题、真命题及假命题的概念 1.定义:能界定某个对象含义的子叫做定义 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题 注意： (1)命题必须是一个完整的句子,通常是一个陈述句或否定句，问句、祈使句、感叹句都不是命题;问句、祈使句、感叹句都不是命题;问句、祈使句、感叹句都不是命题！ (2)命题是判断性语句，必须是对某件事情作出肯定或否定的判断 3.真命题：判断为正确的命题叫做真命题 注意： 判断一个命题是真命题,往往需要从命题的题设出发,通过证明步一步推得结论成立. 4.假命题:判断为错误的命题叫做假命题 5.[补充]反例:符合命题的题设，但不符合命题结论的例子称为反例.判断一个命题是假命题,通常只要举出反例即可 答疑解惑：如何判断命题真假？ 判断命题的真假，关键在于题设成立的前提下,看结论是否正确,可先举“特例”验证,特例成立,还不能说明命题为真命题，要将特殊形式转化成一般形式,用推理的方法说明结论正确; 若特例不成立,则命题一定是假命题. 知识点三 命题的结构 数学命题通常由题设和结论两部分组成. 题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项 这样的命题可以写成“如果…,那么…”的形式.用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论 注意： 存在一些命题的题设和结论不是很分明，我们可以先把命题改写成“如果…,那么…”的形式,这样就更加清楚地找出命题的题设和结论. 知识点四 公理和定理的概念 1.公理:人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理 2.定理:从公理或其他真命题出发,用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.定理是需要证明的. 知识点五 证明思路的分析 1.证明思路 要想证明一个命题是否正确,我们在思考时,可以由最后的结论反着向前追溯证明 2.证明思路的分析方法 先定位清楚题目“要证什么？”，然后再罗列出我们“需知什么”也就是要准备哪些条件,由此再考虑“只要证什么”,一直追溯到“已知”而证明的表述 证明逻辑顺序：“已知”→“可知”→“结论”. 3.证明的一般步骤 (1)分清命题的题设和结论; 如果问题与图形有关，要根据条件画出图形，并在图形上标出有关的字母与符号. 注意：无图几何、“射线”或“直线”等几何问题，我们可能还需要进行分类讨论. (2)结合图形,写出已知求证; (3)分析因果关系找出证明途径; (4)有条理地写出证明过程(每一步推理都要有推理的依据). 注意： （1） 在证明的表述中，符号“∵”读作因为，“∴”读作所以. （2） 如果已知中给出图形,给出了已知和求证，这时我们只要写出“证明”这一步即可 知识点六 几何证明中常用的证明方法 证明类型 证明方法 证明两直线平行 利用平行线性质判定定理和公理 证明两线段相等 证法1：如果两线段分别在两个三角形中可证两个三角形全等 证法2：如果两线段在一个三角形中，可证它们所对的角 证法3：可以借助一条线段证明两线段都等于第二条 证明两角相等 证法1:利用平行线的性质证两角相等; 证法2：如果两角分别在两个三角形中,可证这两个三角形全等; 证法3：如果两角在一个三角形中，可证它们所对的边相等(等腰三角形的性质) 证明两直线互相垂直 证法1：利用垂直定义; 证法2：利用等腰三角形“三线合一” 知识点七 互逆命题、原命题、逆命题 1. 概念 在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题 如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的逆命题 (1) 原命题与逆命题是相对的,每个命题都有逆命题. (2) 原命题是真命题,逆命题不一定是真命题;原命题是假命题，逆命题不一定是假命题 拓展:符号语言表示原命题:如果p,那么q;逆命题:如果q,那么p. 2.方法 写原命题的逆命题时,首先要分清这个命题的题设和结论，最好先将原命题改写成“如果…,那么…”的形式，“如果”引出的部分是题设，“那么”引出的部分是结论，再根据改写后的命题写出原命题的逆命题. 知识点八 互逆定理、逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明也是定理,那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理 注意： ①互逆定理，其题设与结论互换，说明问题时,其推理的方向正好相反 ②每一个命题都有逆命题，而每一个定理不一定都有逆定理.定理和逆定理都是真命题，而命题和逆命题却不一定都是真命题. 考点剖析 【考点1 平行线的判定与性质】 1．（2023春•浦东新区校级期末）若两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是　　 A．一对同位角的平分线互相平行 B．一对内错角的平分线互相平行 C．一对同旁内角的平分线互相平行 D．一对同旁内角的平分线互相垂直 【分析】结合角平分线的定义，根据平行线的性质与判定进行分析，从而得到答案． 【解答】解：如图所示： 若两条平行线被第三条直线所截，一对同位角和内错角的平分线互相平行，一对同旁内角的平分线互相垂直， 所以错误．故选． 【点评】本题考查两条平行线被第三条直线所截得的角的角平分线之间的关系，可结合图形进行分析． 2．（2023秋•浦东新区期中）如图，点，在直线上，，． （1）求证：． （2）的角平分线交于点，过点作交的延长线于点．若，再求的度数． 【分析】（1）根据平角的性质进行等量代换，得到，利用同位角相等两直线平行即可得答案； （2）根据两直线平行，同旁内角互补得到，进而得到，再根据角平分线的定义，得到，最后利用平行线的性质，即可求出的度数． 【解答】（1）证明：，， ， ； （2）解：， 即， ， ， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． 【考点2 三角形内角和定理】 3．（2022秋•庐阳区校级月考）如图，，分别是的高线和角平分线，且相交于点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论． 【解答】解：， ， 平分，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． 4．（2022秋•长宁区校级期中）已知的三个内角满足，则该三角形是　　 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理，即可求解． 【解答】解：，， ， 解得：， 该三角形是直角三角形． 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和等于是解题的关键． 5．（2024秋•浦东新区期中）如图，已知△中，，是边上一点，，垂足为点，，垂足为点，交边于点，当，则 　 　度． 【答案】160． 【分析】由三角形的内角和求得，由垂直可得，再次利用三角形的内角和可求的度数，由平角的定义即可求的度数． 【解答】解：，， ， ， ， ， ． 故答案为：160． 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为． 6．（2023秋•松江区期末）如图，在中，已知是的角平分线，点是内一点，且，，，那么　 　． 【答案】58． 【分析】先根据得出，故可得出，再由三角形内角和定理得出的度数，由角平分线的定义得出的度数，进而得出的度数． 【解答】解：，，， ， ， ，即， ，即， ， 是的角平分线， ， ． 故答案为：58． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键． 7．（2023秋•黄浦区期末）如果一个直角三角形的一个内角等于，其中一条较长的直角边长为3，那么斜边的长为　 　． 【分析】设斜边长为，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解答】解：设斜边长为， 直角三角形的一个内角等于，其中一条较长的直角边长为3， ，即，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 【考点3 三角形的外角性质】 8．（2023秋•徐汇区月考）和是两个外角的平分线，则为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意得，，由三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，求得与的关系，从而计算出的度数． 【解答】解：如图，、是的外角平分线， ，， 又， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形外角的性质以及三角形的内角和定理．解决问题的关键是掌握：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 9.（2024春•西安校级期中）如图所示，为的三条角平分线的交点，， 则　 　 度． 【分析】利用角平分线的定义和三角形内角和定理计算的度数，从而得出的度数． 【解答】解：由已知可得， ， ． 【点评】此题主要考查角平分线性质，三角形内角和定理． 10．（2023秋•松江区校级月考）如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点，则　 　度． 【答案】25． 【分析】根据题意过点作三边的垂线段，，，根据角平分线的性质可得，，进而判定是的角平分线，根据角平分线的定义即可求得． 【解答】解：如图，过点作三边的垂线段，，， 三角形的两个外角和的平分线交于点， ，， ， 在的角平分线上，即是的角平分线， ． 故答案为：25． 【点评】本题考查了角平分线的性质与判定，证明是的角平分线是解题的关键． 【考点4 全等三角形的判定与性质】 11．（2024秋•闵行区期中）如图，在△中，于点，于点，、交于点，且，那么下列结论中错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据直角三角形的性质可判断，选项，证明△△，可判断，选项． 【解答】解：、，， ， ，， ， 不符合题意； 、， ， ， 不符合题意； 、在△和△中， ， △△， ， 不符合题意； 、由选项知，△△， 故△和△不可能全等， ， 符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 12．（2022秋•奉贤区校级期中）在锐角中，，，垂足分别为、，与交于点，，那么等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由“”可证，根据全等三角形的性质得出，求出． 【解答】解：如图， ，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解此题的关键． 13．（2023秋•闵行区期末）如图，在中，，是高，平分交于点，过作交边于点，交边于点，联结．下列结论中，不一定成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后根据等角的余角相等即可求出，利用“角角边”证明和全等，然后根据全等三角形对应边相等可得． 【解答】解：，， ， ， 又是高， ， （对顶角相等）， ，故正确； 平分， ， 在和中， ， ， ，故正确， ， ， ， ， ， ，故正确； 无法得出， 无法得出，故错误； 故选：． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键． 14．（2023秋•黄浦区期末）如图，、两点分别在射线，上，点在的内部，且，，，垂足分别为点、，且，若，，则的长为　　 A．10 B．13 C．15 D．17 【答案】 【分析】利用全等三角形的判定与性质求出，再根据线段的和差求解即可． 【解答】解：，， 、、、是直角三角形， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， 故选：． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 15．（2024秋•徐汇区校级期中）如图，是△中边上的中线，若，，则的取值范围为　 　． 【答案】． 【分析】如图，延长到，使，连接，证明△△，则，由，可得，计算求解即可． 【解答】解：延长到，使，连接，如图， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用是解题的关键． 16．（2024秋•闵行区校级期中）如图，△中，是边的中点，过作直线交于点，交的延长线于点，且．若，，则　 　． 【答案】6． 【分析】，由“”可证△△，可得，可得，可得，即可求解． 【解答】解：如图，过点作交的延长线于点， ，且，， △△， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 17．（2024秋•闵行区期中）如图，在四边形中，连接、．已知，，，，那么△的面积是 　 　． 【答案】． 【分析】设，交于点，延长，交于点，过点作于点，过点作于点，首先证明△△，由全等三角形的性质可得，，进而可知；再证明△△，易得，，进而推导，结合△和△等底等高，利用求解即可． 【解答】解：如图，设，交于点，延长，交于点，过点作于点，过点作于点， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ， ， 又， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， ，，且， ， 在△和△中，，， 即△和△等底等高， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形的面积等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 18．（2023秋•浦东新区期末）在中，是边上的中线，，如果，，那么的长是 　 　． 【答案】3 【分析】过点作交的延长线于，利用证明，得，，再利用勾股定理即可得出答案． 【解答】解：如图，过点作交的延长线于， 是边上的中线， ， ，， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， 在中，， ， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【考点5 等腰三角形的判定与性质】 19．（2023秋•徐汇区校级月考）如图，△中，，，，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且．则△的周长等于　　 A．17 B．15 C．12 D．11 【答案】 【分析】根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，即可推出结果． 【解答】解：， ，， 又平分，平分， ，， ，， △的周长， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，证明，是解题的关键． 20．（2024秋•闵行区校级期中）如图，在△中，平分，于点，，，，，则 　 　． 【答案】54． 【分析】延长交于点，先证明△和△全等得，，，进而得，则，进而得，由此可得的度数． 【解答】解：延长交于点，如图所示： ， ， 平分， ， 在△和△中， ， △△， ，，， ，，， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角的性质．解决问题的关键是理解等腰三角形的判定和性质、三角形外角的性质，正确地作出辅助线构造全等三角形． 21．（2023秋•金山区校级月考）在△中，，于，且，那么的度数是 　 　． 【答案】 【分析】通过构造△△，然后由，即可求出答案． 【解答】解：如图，在上截取，连接，则． 在△和△中，，，， △△． ，． ， ， ， ，． ． 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，涉及到三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理等．构造△△是解答本题的关键． 【考点6 命题与定理】 22．（2024秋•徐汇区校级期中）下列说法中，正确的是　　 A．每个命题不一定都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．真命题的逆命题仍是真命题 D．假命题的逆命题未必是假命题 【答案】 【分析】根据命题、逆命题、定理、逆定理的概念判断即可． 【解答】解：、每个命题一定都有逆命题，故本选项说法不正确，不符合题意； 、每个定理不一定都有逆定理，故本选项说法不正确，不符合题意； 、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法不正确，不符合题意； 、假命题的逆命题未必是假命题，说法正确，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 23．（2024秋•闵行区校级期中）下列命题中，真命题是　　 A．内错角相等 B．方程没有实数根 C．对顶角相等 D．若，则 【答案】 【分析】利用平行线的性质，利用平方根解方程，对顶角相等，二次根式的性质对各选项进行判断作答即可． 【解答】解：．由题意知，两直线平行，内错角相等，原说法是假命题，故不符合题意； ．方程有实数根，原说法是假命题，故不符合题意； ．对顶角相等，原说法是真命题，故符合题意； ．若，则，原说法是假命题，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了真命题，平行线的性质，利用平方根解方程，对顶角相等，二次根式的性质．熟练掌握真命题，平行线的性质，利用平方根解方程，对顶角相等，二次根式的性质是解题的关键． 24．（2024秋•徐汇区校级期中）下列命题中，真命题是　　 A．所有定理都有逆命题 B．三角形的一个外角等于两个内角的和 C．同位角相等 D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 【答案】 【分析】由命题逆命题的概念，同位角的定义，三角形外角的性质，轴对称图形，中心对称图形的定义，即可判断． 【解答】解：、命题是真命题，故符合题意； 、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故不符合题意； 、两直线平行，同位角相等，故不符合题意； 、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查命题与定理，同位角，等边三角形的性质，三角形外角的性质，轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握任何命题都有逆命题，同位角的定义，三角形的外角性质，轴对称图形，中心对称图形的定义． 25．（2024秋•闵行区校级期中）下列命题中，真命题是　　 A．两个等边三角形全等 B．底边及一个内角相等的两个等腰三角形全等 C．两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 D．两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 【答案】 【分析】根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，本题得以解决． 【解答】解：两个等边三角形不一定全等，如两个等边三角形的边不相等，则这两个两个等边三角形不全等，故选项错误，不符合题意； 底边及一个内角相等的两个等腰三角形不一定全等，如一个等腰三角形的底角与另一个等腰三角形的顶角相等，都是，则这两个三角形不全等，故选项错误，不符合题意； 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故选项不符合题意； 两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，故选项正确，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查命题和定理、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，可以判断出各个命题的真假． 26．（2024秋•浦东新区期中）下列命题中，其逆命题是真命题的是　　 A．对顶角相等 B．全等三角形对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．两直线平行，内错角相等 【答案】 【分析】分别写出原命题的逆命题，再判断真假即可． 【解答】解：、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意； 、全等三角形对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，逆命题是假命题，不符合题意； 、两个全等三角形的面积相等的逆命题是面积相等的三角形是全等三角形，逆命题是假命题，不符合题意； 、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是真命题，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，正确写出一个命题的逆命题是解题的关键． 27．（2024秋•普陀区期中）下列命题中，是真命题的是　　 A．如果一元二次方程有两个实数根，那么 B．如果，那么 C．两腰及一腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等 D．底边及一个内角相等的两个等腰三角形全等 【答案】 【分析】根据根的判别式，等腰三角形的性质，算术平方根定义，三角形全等的判定方法，逐项进行判断即可． 【解答】解：．如果一元二次方程有两个实数根，那么，原命题不是真命题，故不符合题意； ．如果，那么，此命题为真命题，故符合题意； ．如图1，△和△都是等腰三角形，且，且腰上的高，从图形中显然可看出这两个三角形不全等，原命题是假命题，故不符合题意； ．如图2，等腰△和△中，，但△与△不全等，因此原命题是假命题，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 28．（2024秋•闵行区期中）下列命题中，真命题的是　　 A．两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 B．两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等 C．两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 D．两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 【答案】 【分析】利用全等三角形的判定方法，将各选项逐一证明判定即可． 【解答】解：、如图，，，、是中线，且则．理由： 延长、，使，，则． ，，， △△， ， 同理可证， ， 在△和△中， ，，， △△， ， 同理可证， ， 又，， ，是真命题；故该选项符合题意； 、两边和第三边上的高对应相等，不能判断两个三角形全等，理由如图： ，，第三边上的高都是，△和△不全等，是假命题，故该选项不符合题意； 、两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等，是假命题，故不符合题意；如图： ，，高，△和△不全等； 、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，是假命题，故该选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的真命题和假命题判断，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 29．（2023秋•杨浦区期末）已知下列命题中： ①有两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等； ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等； ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等． 其中真命题的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质分别对每一项进行分析即可． 【解答】解：①有两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题； ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等，是真命题； ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题； ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题． 其中真命题的个数是2个； 故选：． 【点评】本题考查了命题与定理，用到的知识点是全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，是一道比较容易出错的题目． 过关检测 1．（2022秋•宝山区校级期中）在中，平分，，若，，那么　 　． 【答案】25． 【分析】根据三角形内角和的性质求得的度数，再根据角平分线和平行线的性质，求解即可． 【解答】解：由三角形内角和的性质可得：， 又平分， ， 又， ， 故答案为：25． 【点评】此题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 2．（2023秋•徐汇区月考）已知：如图，在中，平分，点是的中点，，交的延长线于点．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】先证明得到，再证明，得到，结合三角形内角和定理即可证明． 【解答】证明：， ， 平分， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理和角平分线的定义，熟记以上知识点是解题的关键． 3．（2022秋•黄浦区校级月考）将一副三角尺按如图所示的位置摆放，则　 　度． 【答案】45． 【分析】利用的外角性质求出，利用的外角性质求出，即可求解． 【解答】解：如图， ，， ， ， ， ， 故答案为：45． 【点评】本题考查三角形外角性质，解题的关键是明确三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 4．（2023秋•金山区期末）如图，中，是高、的交点，且，则　 　． 【分析】求出，推出，根据等腰三角形性质得出，根据三角形内角和定理求出即可． 【解答】解：、是的高， ，， ，， ， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，．全等三角形的对应边相等，对应角相等． 5．（2024秋•浦东新区期中）已知：如图，，，，与相于点．求证：． 【答案】证明见解答． 【分析】连接，由推导出，而，，即可根据“”证明△△，得，因为，所以，则，所以． 【解答】证明：连接， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ， ． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出，进而证明△△是解题的关键． 6．（2024秋•杨浦区校级月考）如图，点、、、在一直线上，，，．求证：．（本题要写依据） 【答案】见解析． 【分析】通过证明△△，得到，再由，得到，从而可以证明△△，得到，即可得出结论． 【解答】证明：在△和△中， ， △△， ，（全等三角形的性质）， ，（已知）， ，即，（线段的和差）， 在△和△中， ， △△， ，（全等三角形的性质）， ．（内错角相等，两直线平行）． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 7．（2024秋•浦东新区期中）如图，已知在△中，平分，，交延长线交于点，是的中点，求证：． 【分析】由平分，得到，根据平行线的性质得到，，等量代换得到，于是得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】证明：平分， ， ， ，， ， ， 是的中点， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 8．（2023秋•普陀区校级月考）如图，在三角形中，是边上的一点，过点作，交的平分线于点，交的邻补角的平分线于点，求证：． 【答案】见解析． 【分析】由是的角平分线结合平行线的性质得出，从而得出，同理可得：，即可得证． 【解答】证明：是的角平分线， ， ， ， ， ， 同理可得：， ． 【点评】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边是解此题的关键． 9．（2024秋•静安区校级期中）下列命题中，真命题的个数是　　 （1）等角的补角相等； （2）两边及其中一边的对角对应相等的三角形是全等三角形； （3）一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等； （4）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； （5）等腰三角形，两腰上的高相等． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【解答】解：（1）等角的补角相等，正确； （2）无法证明全等，故错误； （3）一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故错误； （4）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误； （5）等腰三角形，两腰上的高相等，正确； 故选：． 【点评】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题． 10．（2023秋•虹口区校级期末）下列命题的逆命题是真命题的是　　 A．若，，则 B．全等三角形的对应角相等 C．对顶角相等 D．若，则 【答案】 【分析】分别写出原命题的逆命题，然后判断正误即可． 【解答】解：、逆命题为若，则，，错误，是假命题，不符合题意； 、逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，不符合题意； 、逆命题为：相等的角是对顶角，错误，是假命题，不符合题意； 、逆命题为：若，则，正确，是真命题，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大． 11．（2023秋•浦东新区校级期末）下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数．它们的逆命题成立的个数是　　 A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【解答】解：①对顶角相等逆命题是相等的角是对顶角，不成立； ②全等三角形的对应边相等逆命题是对应边相等的三角形是全等三角形，成立； ③如果两个实数是正数，它们的积是正数逆命题是如果两个数的积是正数，那么这两个数是正数，不成立． 故选：． 【点评】本题主要考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$