19.1 命题和证明（9大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪教版）

19.1 命题和证明 知识点一 演绎证明 1演绎证明的概念 从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则,推导出某结论为正确的过程叫演绎证明 演绎证明不用想的太过复杂，它只是一种严格的数学证明,七年级学习额的平行线、三角形全等证明一样，核心是由因为推出所以，每一句推理有理有据，本书中的演绎证明简称证明 注意：①证明中的每一步推理都要有依据,不能想当然②具体问题具体分析，并不是所有真理都可以进行演绎证明 2.证明几何问题的方法 (1)综合法:由题设逐步推导到结论的一种证明方法 (2)分析法:由结论逐步追溯到题设的一种方法 提示： ①几何证明时,一般先用分析法找到思路,然后改用综合法写出证明过程 ②在几何证明中,有时需要添加辅助线,添加辅助线的过程要在证明过程中写出来，交代清楚，辅助线通常画虑线即可 (3)证明过程中,前一段的“果”为后一段提供了“因”,一连串连贯有序的因果关系组成了完整的证明 知识点二 定义、命题、真命题及假命题的概念 1.定义:能界定某个对象含义的子叫做定义 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题 注意： (1)命题必须是一个完整的句子,通常是一个陈述句或否定句，问句、祈使句、感叹句都不是命题;问句、祈使句、感叹句都不是命题;问句、祈使句、感叹句都不是命题！ (2)命题是判断性语句，必须是对某件事情作出肯定或否定的判断 3.真命题：判断为正确的命题叫做真命题 注意： 判断一个命题是真命题,往往需要从命题的题设出发,通过证明步一步推得结论成立. 4.假命题:判断为错误的命题叫做假命题 5.[补充]反例:符合命题的题设，但不符合命题结论的例子称为反例.判断一个命题是假命题,通常只要举出反例即可 如何判断命题真假？ 判断命题的真假，关键在于题设成立的前提下,看结论是否正确,可先举“特例”验证,特例成立,还不能说明命题为真命题，要将特殊形式转化成一般形式,用推理的方法说明结论正确; 若特例不成立,则命题一定是假命题. 知识点三 命题的结构 数学命题通常由题设和结论两部分组成. 题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项 这样的命题可以写成“如果…,那么…”的形式.用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论 注意： 存在一些命题的题设和结论不是很分明，我们可以先把命题改写成“如果…,那么…”的形式,这样就更加清楚地找出命题的题设和结论. 知识点四 公理和定理的概念 1.公理:人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理 2.定理:从公理或其他真命题出发,用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.定理是需要证明的. 题型一 命题的判断与改写 解题技巧提炼 判断一件事情的句子叫做命题，根据定义即可判断. 1．下列句子中，不是命题的是（    ） A．三角形的内角和等于180度 B．对顶角相等 C．过一点作已知直线的垂线 D．两点确定一条直线 2．“有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等”是 命题．（填“真”或“假”） 3．将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为 . 题型二 真假命题的判断 解题技巧提炼 判断一个命题是真命题,往往需要从命题的题设出发,通过证明步一步推得结论成立. 1．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．“把两个图形叠合”是命题； B．每一个命题一定有逆命题 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．每一个定理一定有逆定理 2．（23-24八年级上·上海·期末）下列命题中，真命题的有（    ）个． 到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线； 以为底边的等腰三角形顶点的轨迹是线段的垂直平分线； 反比例函数，随着的增大而增大； 过原点的一条直线一定是正比例函数的图象． A． B． C． D． 3．（21-22八年级上·上海宝山·期末）下列四个命题中，真命题是（    ） A．斜边上的中线相等的两个直角三角形全等； B．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； C．面积相等的两个直角三角形全等； D．周长相等的两个直角三角形全等． 4．下列命题是真命题的个数为（    ） ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等． ②三角形的内角和是180°． ③在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行． ④相等的角是对顶角． ⑤两点之间，线段最短． A．2 B．3 C．4 D．5 5. 下列命题中，为真命题的是（） A．同位角相等； B．三角形两边之和大于第三边； C．直角三角形“三线合一”； D．三角形面积为其某一边a和该边上的高h之积； 6．（上海嘉定·期末）下列四个命题：（1）三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分；（2）有两边及其中一边的对角对应相等的两三角形全等；（3）点关于原点的对称点坐标为；（4）若，则；其中真命题的有 （     ） A．（1）、（2） B．（1）、（3） C．（2）、（3） D．（3）、（4） 7．（上海青浦·期末）下列命题中，真命题是（　　） A．当路程一定时，时间与速度成正比例 B．“全等三角形的面积相等”的逆命题是真命题 C．是最简二次根式 D．到直线AB的距离等于1厘米的点的轨迹是平行于直线AB且和AB距离为1cm的一条直线 8．（上海长宁·期末）下列命题中，假命题是（　　） A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 D．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等 题型三 逆命题的真假性 解题技巧提炼 先确定每个命题的逆命题，再对每个逆命题进行真假判断. 1．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．关于某一条直线对称的两个三角形全等 B．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 C．在一个角的内部，在角平分线上的点到这个角两边的距离相等 D．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 2．（上海浦东新·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．全等三角形的面积相等； B．等腰三角形两个底角相等； C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； D．在角的平分线上任意一点到这个角的两边的距离相等. 3．下列定理中，其逆命题是假命题的是(   ) A．两直线平行，内错角相等 B．对顶角相等 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等边三角形的三个内角都是 题型四、公理与定理 解题技巧提炼 公认的真命题称之为公理，经过证明的真命题称之为定理 1．下列说法正确的是（    ） A．命题是定理，但定理未必是命题 B．公理和定理都是真命题 C．定理和命题一样，有真有假 D．“取线段AB的中点C”是一个真命题 2．下面关于公理和定理的联系，说法不正确的是（    ） A．公理和定理都是真命题 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 3．下列命题中，假命题是（    ） A．命题都是定理 B．定理都是命题 C．公理都是命题 D．推理过程叫证明 4．下列说法正确的是（　　） A．所有命题都是定理 B．三角形的一个外角大于它的任一内角 C．三角形的外角和等于180° D．公理和定理都是真命题 5．下列语句中属于定理的是（    ） A．在直线上任取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是同位角 C．对顶角相等 D．直线和垂直吗？ 题型五、逆定理 解题技巧提炼 （1）每个定理的逆命题不一定正确，所以不一定都有逆定理. （2）每个命题都有逆命题. 1．下列说法正确的是（　　） A．每个定理都有逆定理 B．每个命题都有逆命题 C．假命题没有逆命题 D．真命题的逆命题是真命题 2．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．对顶角相等 C．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 D．直角三角形两个锐角的和等于 3．给出下列四个结论：任意命题均有逆命题当逆命题为真命题时，它统称为逆定理任何定理均有逆定理定理总是正确的，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 4．下面定理中，没有逆定理的是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．对顶角相等 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 5．下列命题为真命题的是（   ） A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．等腰三角形的底角必为锐角 C．等腰三角形的顶角一定是锐角 D．每个定理都有逆定理 6．找出下列定理有哪些存在逆定理，把它填在横线上 ． ①矩形是平行四边形． ②内错角相等，两直线平行． ③如果，那么． ④全等三角形的对应角相等． 题型六、已知证明过程填写理论依据 解题技巧提炼 证明补充条件，要根据条件及结论逐个写明理由，因果关系要有条理性、逻辑性，按照教材定理、性质和判定定理等书写，做到严谨，不能凭感觉随意书写. 1．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 2．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 3．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 题型七、写出一个命题的已知、求证及证明过程 解题技巧提炼 一个因为对应一个所以，证明的前后逻辑关系清晰，不要随意的跳步、毫无逻辑证明. 1．证明命题“三角形的外角和等于”是真命题． 已知： 求证： 证明： 2．证明命题“全等三角形的对应角角平分线相等”是真命题．（请补全图形、填空并证明）    已知：如图________和分别是和的平分线． 求证：_________． 证明： 3．命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 4．（1）证明三角形内角和定理（画图并写出已知、求证、证明） （2）证明全等三角形的对应边上的高一定相等．（画图并写出已知、求证、证明） 题型八、写出命题的题设与结论 解题技巧提炼 这样的命题可以写成“如果…,那么…”的形式.用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论. 1．将命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写为“如果…那么…”的形式，可写为 ． 2．把命题“互为相反的两个数的和为零”改写成“如果…，那么…”的形式为 ． 3．将命题“对顶角相等”改写成“如果．．．．那么．．．．”的形式： ． 4．将命题“同角的补角相等”改写成“如果．．．．，那么．．．．”的形式为：如果 ，那么 ． 题型九、选条件证明命题真假 解题技巧提炼 选择条件证明命题真假，我们要先去判断命题的真假并去辨别它们之间的逻辑关系。思考哪些条件容易推出剩下的条件， 按照“先易后难”，选择条件时“易证最优化”，再去进行证明. 1．如图，①，②平分，③平分，④． (1)若以①②③为条件，④为结论组成一个命题，则这个命题是________（“真”或“假”）命题； (2)若（1）为真命题，证明（1）中的结论：若（1）为假命题，请举出反例． 2．如图，已知，．现有3个条件：①；②；③． (1)请在上述3个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 ；（填序号） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 3．如图，有三个论断： ① ； ② ； ③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（）中的一个真命题加以证明． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.1 命题和证明 知识点一 演绎证明 1演绎证明的概念 从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则,推导出某结论为正确的过程叫演绎证明 演绎证明不用想的太过复杂，它只是一种严格的数学证明,七年级学习额的平行线、三角形全等证明一样，核心是由因为推出所以，每一句推理有理有据，本书中的演绎证明简称证明 注意：①证明中的每一步推理都要有依据,不能想当然②具体问题具体分析，并不是所有真理都可以进行演绎证明 2.证明几何问题的方法 (1)综合法:由题设逐步推导到结论的一种证明方法 (2)分析法:由结论逐步追溯到题设的一种方法 提示： ①几何证明时,一般先用分析法找到思路,然后改用综合法写出证明过程 ②在几何证明中,有时需要添加辅助线,添加辅助线的过程要在证明过程中写出来，交代清楚，辅助线通常画虑线即可 (3)证明过程中,前一段的“果”为后一段提供了“因”,一连串连贯有序的因果关系组成了完整的证明 知识点二 定义、命题、真命题及假命题的概念 1.定义:能界定某个对象含义的子叫做定义 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题 注意： (1)命题必须是一个完整的句子,通常是一个陈述句或否定句，问句、祈使句、感叹句都不是命题;问句、祈使句、感叹句都不是命题;问句、祈使句、感叹句都不是命题！ (2)命题是判断性语句，必须是对某件事情作出肯定或否定的判断 3.真命题：判断为正确的命题叫做真命题 注意： 判断一个命题是真命题,往往需要从命题的题设出发,通过证明步一步推得结论成立. 4.假命题:判断为错误的命题叫做假命题 5.[补充]反例:符合命题的题设，但不符合命题结论的例子称为反例.判断一个命题是假命题,通常只要举出反例即可 如何判断命题真假？ 判断命题的真假，关键在于题设成立的前提下,看结论是否正确,可先举“特例”验证,特例成立,还不能说明命题为真命题，要将特殊形式转化成一般形式,用推理的方法说明结论正确; 若特例不成立,则命题一定是假命题. 知识点三 命题的结构 数学命题通常由题设和结论两部分组成. 题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项 这样的命题可以写成“如果…,那么…”的形式.用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论 注意： 存在一些命题的题设和结论不是很分明，我们可以先把命题改写成“如果…,那么…”的形式,这样就更加清楚地找出命题的题设和结论. 知识点四 公理和定理的概念 1.公理:人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理 2.定理:从公理或其他真命题出发,用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.定理是需要证明的. 题型一 命题的判断与改写 解题技巧提炼 判断一件事情的句子叫做命题，根据定义即可判断. 1．下列句子中，不是命题的是（    ） A．三角形的内角和等于180度 B．对顶角相等 C．过一点作已知直线的垂线 D．两点确定一条直线 【答案】C 【分析】判断一件事情的句子叫做命题，根据定义即可判断. 【详解】解：C选项不能进行判断，所以其不是命题. 故选C 【点睛】本题考查了命题，判断命题关键掌握两点：①能够进行判断；②句子一般是陈述句. 2．“有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】将原命题写出已知和求证，然后进行证明后即可得到该命题为真命题． 【详解】已知：△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠B、∠B′的角平分线,BD=B′D′， 求证：△ABC≌△A′B′C′. 证明：∵∠B=∠B′且∠B、∠B′的角平分线分别为BD和B′D′， ∴∠ABD=∠A′B′D′=∠B， ∵BD=B′D′,∠A=∠A′， ∴△ABD≌△A′B′D′， ∴AB=A′B′， ∵∠A=∠A′,∠B=∠B′， ∴△ABC≌△A′B′C′. ∴“有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等”是真命题， 故答案为真. 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握命题证明的基本步骤. 3．将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为 . 【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行 【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论． 【详解】命题可以改写为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行 【点睛】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意． 题型二 真假命题的判断 解题技巧提炼 判断一个命题是真命题,往往需要从命题的题设出发,通过证明步一步推得结论成立. 1．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．“把两个图形叠合”是命题； B．每一个命题一定有逆命题 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．每一个定理一定有逆定理 【答案】B 【分析】本题考查了命题，根据命题的定义及有关概念逐项判断即可求解，掌握命题的定义及有关概念是解题的关键． 【详解】解：、“把两个图形叠合”不是命题，不符合题意； 、每一个命题一定有逆命题，正确，符合题意； 、真命题的逆命题不一定是真命题，故错误，不符合题意； 、每一个定理一定有逆命题，但不一定是逆定理，故错误，不符合题意； 故选：． 2．（23-24八年级上·上海·期末）下列命题中，真命题的有（    ）个． 到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线； 以为底边的等腰三角形顶点的轨迹是线段的垂直平分线； 反比例函数，随着的增大而增大； 过原点的一条直线一定是正比例函数的图象． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了命题，根据命题的概念判断真假即可，解题的关键是熟练掌握掌握知识点的应用和正确理解命题． 【详解】在角的的内部且到这个角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的的平分线（端点除外），故该命题是假命题； 底边为定长的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是底边的垂直平分线，底边的中点除外，故该命题是假命题； 反比例函数，在每一象限内，随着的增大而增大，故该命题是假命题； 过原点的一条直线不一定是正比例函数的图象，经过原点的可能是或轴，故该命题是假命题； 所以真命题的有个， 故选：． 3．（21-22八年级上·上海宝山·期末）下列四个命题中，真命题是（    ） A．斜边上的中线相等的两个直角三角形全等； B．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； C．面积相等的两个直角三角形全等； D．周长相等的两个直角三角形全等． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定分别判断即可． 【详解】A：斜边上的中线相等，只能判断两斜边相等，不能判定全等，故A是假命题； B：可利用来判定全等，故B是真命题； C：面积相等的两个直角三角形对应边不一定相等，所以不一定全等，故C是假命题； D：周长相等的两个直角三角形对应边不一定相等，所以不一定全等，故D是假命题； 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 4．下列命题是真命题的个数为（    ） ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等． ②三角形的内角和是180°． ③在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行． ④相等的角是对顶角． ⑤两点之间，线段最短． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】首先判断所给命题的真假，再选出正确的选项． 【详解】解：∵两条直线被第三条直线所截，两直线平行，内错角相等， ∴①错误； ∵三角形的内角和是180°，∴②正确； ∵在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行，∴③正确； ∵相等的角可以是对顶角，也可以是内错角、同位角等等，∴④错误； ∵连接两点的所有连线中，线段最短，∴⑤正确； ∴真命题为②③⑤， 故选B ． 【点睛】本题考查命题的真假判断，根据所学知识判断一个命题条件成立的情况下，结论是否一定成立来判断命题是真命题还是假命题是解题关键． 5. 下列命题中，为真命题的是（） A．同位角相等； B．三角形两边之和大于第三边； C．直角三角形“三线合一”； D．三角形面积为其某一边a和该边上的高h之积； 【答案】B 【分析】由判断正确的命题为真命题即可确定. 【详解】解：A选项只有当两条平行直线被第三条直线所截时形成的同位角才相等，A错误，为假命题； B选项根据三角形三边之间的关系可知三角形两边之和大于第三边，B正确，为真命题； C选项等腰三角形“三线合一”，一般的直角三角形不具有“三线合一”的性质，C错误，为假命题； D选项三角形面积为其某一边a和该边上的高h之积的二分之一，D错误，为假命题. 故选：B 【点睛】本题考查了命题的真假，熟练掌握判断真命题与假命题的方法是解题的关键. 6．（上海嘉定·期末）下列四个命题：（1）三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分；（2）有两边及其中一边的对角对应相等的两三角形全等；（3）点关于原点的对称点坐标为；（4）若，则；其中真命题的有 （     ） A．（1）、（2） B．（1）、（3） C．（2）、（3） D．（3）、（4） 【答案】B 【分析】根据三角形的面积，全等三角形的判定，关于原点对称的点的坐标特征，二次根式的性质对各小题分析判断即可得解 【详解】解：（1）三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分，正确； （2）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，错误； （3）点P（1，2）关于原点的对称点坐标为（-1，-2），正确； （4）若，则，错误． 综上所述，正确的是（1）、（3）． 故选B． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉掌握相关的性质定理． 7．（上海青浦·期末）下列命题中，真命题是（　　） A．当路程一定时，时间与速度成正比例 B．“全等三角形的面积相等”的逆命题是真命题 C．是最简二次根式 D．到直线AB的距离等于1厘米的点的轨迹是平行于直线AB且和AB距离为1cm的一条直线 【答案】C 【分析】利用路程、速度、时间的关系、全等三角形的性质、最简二次根式的定义及轨迹的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】A、当路程一定时，时间与速度成反比例，故本选项错误； B、“全等三角形的面积相等”的逆命题是面积相等的三角形全等，是假命题，故本选项错误； C、是最简二次根式，故本选项正确； D、空间内与直线AB距离等于1厘米的点的轨迹是平行于直线AB且和AB距离为1cm的无数条直线，故本选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是根据相关知识点判断每个命题的真假. 8．（上海长宁·期末）下列命题中，假命题是（　　） A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 D．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】分别判断后，找到错误的命题就是假命题． 【详解】A、对顶角相等，正确，是真命题； B、等角的补角相等，正确，是真命题； C、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，正确，是真命题； D、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故错误，是假命题． 故选D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义、平行线的性质等知识，难度不大． 题型三 逆命题的真假性 解题技巧提炼 先确定每个命题的逆命题，再对每个逆命题进行真假判断. 1．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．关于某一条直线对称的两个三角形全等 B．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 C．在一个角的内部，在角平分线上的点到这个角两边的距离相等 D．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 【答案】A 【分析】本题考查了逆命题，命题真假，熟练掌握判定是解题的关键． 【详解】A. 关于某一条直线对称的两个三角形全等的逆命题是两个全等的三角形关于某条直线对称，不正确，符合题意； B. 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上逆命题是垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，正确，不符合题意； C. 在一个角的内部，在角平分线上的点到这个角两边的距离相等的逆命题，在一个角的内部，到这个角两边的距离相等的点在角平分线上，正确，不符合题意； D. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方的逆命题是如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，正确，不符合题意， 故选A． 2．（上海浦东新·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．全等三角形的面积相等； B．等腰三角形两个底角相等； C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； D．在角的平分线上任意一点到这个角的两边的距离相等. 【答案】A 【分析】先确定每个命题的逆命题，再对每个选项依次判定即可解答. 【详解】A.逆命题为：面积相等的三角形是全等三角形，是假命题，符合题意； B.逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，不符合题意； C.逆命题为：一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意； D.在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，是真命题，不符合题意. 故选：A. 【点睛】此题考查命题，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，正确确定每个命题的逆命题是解此题的关键. 3．下列定理中，其逆命题是假命题的是(   ) A．两直线平行，内错角相等 B．对顶角相等 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等边三角形的三个内角都是 【答案】B 【详解】解：A．两直线平行，内错角相等的逆命题为“内错角相等，两直线平行”，逆命题为真命题，故此选项不符合题意； B．对顶角相等的逆命题为“相等的两角是对顶角”，逆命题为假命题，符合题意； C．等腰三角形的两个底角相等的逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，逆命题为真命题，故此选项不符合题意； D． 等边三角形的三个内角都是的逆命题是“三个内角都等于的三角形是等边三角形”，逆命题为真命题，故此选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，注意掌握逆命题的书写方法，及真假命题的判断，属于基础题． 题型四、公理与定理 解题技巧提炼 公认的真命题称之为公理，经过证明的真命题称之为定理 1．下列说法正确的是（    ） A．命题是定理，但定理未必是命题 B．公理和定理都是真命题 C．定理和命题一样，有真有假 D．“取线段AB的中点C”是一个真命题 【答案】B 【分析】命题是判断一件事情的句子，可分为真命题和假命题；公认的真命题称之为公理，经过证明的真命题称之为定理；命题的结构必须有条件和结论，由此进行分析判断即可得到答案． 【详解】解：A、说法错误，定理是经过证明的真命题，但是命题不一定是定理； B、说法正确，公理和定理都是真命题； C、说法错误，定理是经过证明的真命题，命题有真假之分； D、说法错误，取线段AB的中点C是描述性语言，不是命题，更不是真命题． 故选：B 【点睛】本题考查命题的定义、公理和定理的概念等相关知识点，牢记定义内容是解此类题的关键． 2．下面关于公理和定理的联系，说法不正确的是（    ） A．公理和定理都是真命题 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 【答案】B 【解析】略 3．下列命题中，假命题是（    ） A．命题都是定理 B．定理都是命题 C．公理都是命题 D．推理过程叫证明 【答案】A 【分析】根据“经过证明得到的正确的命题叫定理，人们公认为正确的命题叫公理”直接判定即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 定理一定是命题，命题不一定是定理即可得到A错误，B正确， 人们公认为正确的命题叫公理故C正确， 推理过程叫证明故D正确 故选A． 【点睛】本题考查命题真假的判定，解题的关键是熟练掌握经过证明得到的命题叫定理，人们公共认为的命题叫公理． 4．下列说法正确的是（　　） A．所有命题都是定理 B．三角形的一个外角大于它的任一内角 C．三角形的外角和等于180° D．公理和定理都是真命题 【答案】D 【分析】直接利用命题与定理的定义以及三角形的外角的性质分析得出答案． 【详解】解：A、命题不一定都是定理，故此选项错误； B、三角形的一个外角大于它不相邻的内角，故此选项错误； C、三角形的外角和等于360°，故此选项错误； D、公理和定理都是真命题，正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了三角形外角的性质以及命题与定理，正确掌握相关定义是解题关键． 5．下列语句中属于定理的是（    ） A．在直线上任取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是同位角 C．对顶角相等 D．直线和垂直吗？ 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，同位角、内错角、同旁内角，垂线，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据定理的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、在直线上任取一点E，不是命题，所以不是定理，故A不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角是同位角，是假命题，故B不符合题意； C、对顶角相等，是定理，故C符合题意； D、直线和垂直吗？不是命题，所以不是定理，故D不符合题意； 故选：C． 题型五、逆定理 解题技巧提炼 （1）每个定理的逆命题不一定正确，所以不一定都有逆定理. （2）每个命题都有逆命题. 1．下列说法正确的是（　　） A．每个定理都有逆定理 B．每个命题都有逆命题 C．假命题没有逆命题 D．真命题的逆命题是真命题 【答案】B 【分析】利用逆定理、逆命题的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、每个定理的逆命题不一定正确，所以不一定都有逆定理，此选项说法错误，不符合题意； B、每个命题都有逆命题，此说法正确，符合题意； C、假命题也有逆命题，此选项说法错误，不符合题意； D、真命题的逆命题不一定是真命题，此选项说法错误，不符合题意 故选B． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题、逆命题、互逆命题的定义，难度不大． 2．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．对顶角相等 C．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 D．直角三角形两个锐角的和等于 【答案】B 【分析】本题考查了命题、定理和证明，熟练掌握它们的定义是解题的关键，根据题意分别找到各定理的逆命题，再判断真假，逆命题为假命题的即符合题意． 【详解】解：A．此选项的逆命题是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，逆命题是真命题，此选项不符合题意； B．此选项的逆命题是“相等的两个角是对顶角”，逆命题是假命题，此选项符合题意； C．此选项的逆命题是“等边三角形有一个角等于，且三角形是等腰三角形”，逆命题是真命题，此选项不符合题意； D．此选项的逆命题是“两个角的和等于的三角形是直角三角形”，逆命题是真命题，此选项不符合题意． 故选：B． 3．给出下列四个结论：任意命题均有逆命题当逆命题为真命题时，它统称为逆定理任何定理均有逆定理定理总是正确的，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题与定理，掌握命题与逆命题、定理与逆定理的概念和它们的关系是解题的关键．根据命题与逆命题、定理与逆定理的概念逐项判断即可解答． 【详解】解：①任何一个命题都有逆命题，故①正确； ②当逆命题为真命题时，它的原命题可能是假命题，也可能是真命题，故②错误； ③只有一个定理的逆命题是真命题时，这个定理才有逆定理，故③错误； ④定理总是正确的，故④正确， 所以正确的有：①④． 故选：D． 4．下面定理中，没有逆定理的是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．对顶角相等 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理的知识，平行线的性质和判定，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大． 写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：A、逆命题为两直线平行，内错角相等，成立，不符合题意； B、逆命题为相等的角为对顶角，不成立，符合题意； C、逆命题为两直线平行，同旁内角互补，成立，不符合题意； D、逆命题为内错角相等，两直线平行，成立，不符合题意． 故选：B． 5．下列命题为真命题的是（   ） A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．等腰三角形的底角必为锐角 C．等腰三角形的顶角一定是锐角 D．每个定理都有逆定理 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理，定理的定义，根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理，定理的定义，逐一判断各个选项即可． 【详解】解：A. 三个角对应相等的两个三角形不一定全等，是假命题； B. 等腰三角形的底角必为锐角，是真命题； C. 等腰三角形的顶角不一定是锐角，是假命题； D. 每个定理不一定有逆定理，是假命题； 故选：B． 6．找出下列定理有哪些存在逆定理，把它填在横线上 ． ①矩形是平行四边形． ②内错角相等，两直线平行． ③如果，那么． ④全等三角形的对应角相等． 【答案】② 【分析】本题考查了命题与定理的知识，矩形的判定，平行线的性质与判定，全等三角形的判定，不等式的性质，熟练掌握以上知识点并写出原命题的逆命题是解答本题的关键．先写出逆命题，然后判断真假即可． 【详解】①逆命题为：平行四边形是矩形，为假命题； ②逆命题为：两直线平行，内错角相等，为真命题； ③逆命题为：如果，则，为假命题． ④逆命题为：对应角相等的两个三角形是全等三角形，为假命题． 则存在逆定理的有：②． 故答案为：②． 题型六、已知证明过程填写理论依据 解题技巧提炼 证明补充条件，要根据条件及结论逐个写明理由，因果关系要有条理性、逻辑性，按照教材定理、性质和判定定理等书写，做到严谨，不能凭感觉随意书写. 1．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理． 2．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 3．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 题型七、写出一个命题的已知、求证及证明过程 解题技巧提炼 一个因为对应一个所以，证明的前后逻辑关系清晰，不要随意的跳步、毫无逻辑证明. 1．证明命题“三角形的外角和等于”是真命题． 已知： 求证： 证明： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理及邻补角，熟练运用三角形内角和定理是解题的关键．根据命题证明的解题方法，写出已知、求证，再证明即可． 【详解】已知：如图所示，分别为三个外角， 求证：． 证明：∵，，， ∴ ∵， ∴． 2．证明命题“全等三角形的对应角角平分线相等”是真命题．（请补全图形、填空并证明）    已知：如图________和分别是和的平分线． 求证：_________． 证明： 【答案】，，证明见解析。 【分析】根据，可得，，再根据和分别是边的角平分线，可证，即可证明． 【详解】解：已知：如图，，AD和分别是∠BAC和的平分线． 求证：． 故答案为：，，   证明：∵， ∴， ∵和分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明线段相等的问题，基本的思路是转化成三角形全等． 3．命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题与证明，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，属于中考常考题型． 写出已知，求证，根据同位角相等两直线平行即可证明． 【详解】解：已知：，， 求证：， 证明：， ． ， ， ， ． 4．（1）证明三角形内角和定理（画图并写出已知、求证、证明） （2）证明全等三角形的对应边上的高一定相等．（画图并写出已知、求证、证明） 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】本题考查证明： （1）利用平行线的性质，将三角形的三个内角集中到同一个顶点，再由平角为，证明解题即可． （2）先画出图形，写出已知、求证，然后根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：（1）已知：如图，为平面内任一三角形， 求证： 证明：过点作，如图， 三角形内角和． （2） 已知：如图，． 求证：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型八、写出命题的题设与结论 解题技巧提炼 这样的命题可以写成“如果…,那么…”的形式.用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论. 1．将命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写为“如果…那么…”的形式，可写为 ． 【答案】如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，命题由题设和结论两部分组成；准确找出题设和结论是解题关键．根据命题题设为：在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线；结论为这两条直线互相平行得出即可． 【详解】解：因为命题题设为：在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线；结论为：这两条直线互相平行； 所以“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：“如果，在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行”； 故答案为：如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． 2．把命题“互为相反的两个数的和为零”改写成“如果…，那么…”的形式为 ． 【答案】如果两个数的和为零，那么它们互为相反数， 【分析】本题考查命题与定理、命题写成“如果…，那么…”的形式，熟练掌握“如果”后面接的部分是条件，“那么”后面接的部分是结论是解题的关键．找出命题中的条件和结论，再改写成“如果…，那么…”的形式即可． 【详解】解：把“互为相反的两个数的和为零”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个数的和为零，那么它们互为相反数， 故答案为：如果两个数的和为零，那么它们互为相反数． 3．将命题“对顶角相等”改写成“如果．．．．那么．．．．”的形式： ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，原命题的题设是两个角是对顶角，放在“如果的后面”，结论是这两个角相等，放在“那么”的后面，据此可得答案． 【详解】解：将命题“对顶角相等”改写成“如果．．．．那么．．．．”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 4．将命题“同角的补角相等”改写成“如果．．．．，那么．．．．”的形式为：如果 ，那么 ． 【答案】 两个角是同一个角的补角 这两个角相等 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，把一个命题写成“如果…那么…”形式是解决问题的关键．把命题的题设和结论，写成“如果…那么…”的形式即可． 【详解】解：把命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式为： 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等； 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 题型九、选条件证明命题真假 解题技巧提炼 选择条件证明命题真假，我们要先去判断命题的真假并去辨别它们之间的逻辑关系。思考哪些条件容易推出剩下的条件， 按照“先易后难”，选择条件时“易证最优化”，再去进行证明. 1．如图，①，②平分，③平分，④． (1)若以①②③为条件，④为结论组成一个命题，则这个命题是________（“真”或“假”）命题； (2)若（1）为真命题，证明（1）中的结论：若（1）为假命题，请举出反例． 【答案】(1)真 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，平行线的性质，角平分线的性质， （1）根据命题的真假即可判断； （2）根据得，根据平分得，根据平分得，根据可得，等量代换，进行计算即可得； 掌握命题，平行线的性质，角平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：即若以①②③为条件，④为结论组成一个命题，则这个命题是真命题， 故答案为：真； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ， ， ． 2．如图，已知，．现有3个条件：①；②；③． (1)请在上述3个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 ；（填序号） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 【答案】(1)①，③（或③，①） (2)见解析 【分析】本题考查平行线的判定及性质． （1）根据题意即可解答； （2）根据垂直的定义与平行线的判定及性质即可解答． 【详解】（1）解：选择的条件是①，结论是③； 或：选择的条件是③，结论是①． 故答案为：①，③（或③，①） （2）解：选择的条件是①，结论是③，则证明如下： 证明：（已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． ，且（已知）， （等量代换）． （等角的余角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 选择的条件是③，结论是①，则证明如下： 证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等） （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． （已知）， ∴（等角的余角性质）． 3．如图，有三个论断： ① ； ② ； ③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（）中的一个真命题加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定： （1）任选两个条件作为题设，另外一个条件作为结论写出对应的明天，再判断真假即可； （2）根据（1）所求结合平行线的性质与判定条件证明即可． 【详解】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； （2）证明：选择①②为题设，③为结论， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择①③为题设，②为结论， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择②③为题设，①为结论 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$