19.2 第1课时 证明举例（平行线的性质与求角问题）（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪教版）

19.2 第1课时 证明举例（平行线的性质与求角问题） 知识点一 证明思路的分析 1.证明思路 要想证明一个命题是否正确,我们在思考时,可以由最后的结论反着向前追溯证明 2.证明思路的分析方法 先定位清楚题目“要证什么？”，然后再罗列出我们“需知什么”也就是要准备哪些条件,由此再考虑“只要证什么”,一直追溯到“已知”而证明的表述 证明逻辑顺序：“已知”→“可知”→“结论”. 3.证明的一般步骤 (1)分清命题的题设和结论; 如果问题与图形有关，要根据条件画出图形，并在图形上标出有关的字母与符号. 注意：无图几何、“射线”或“直线”等几何问题，我们可能还需要进行分类讨论. (2)结合图形,写出已知求证; (3)分析因果关系找出证明途径; (4)有条理地写出证明过程(每一步推理都要有推理的依据). 注意： （1） 在证明的表述中，符号“∵”读作因为，“∴”读作所以. （2） 如果已知中给出图形,给出了已知和求证，这时我们只要写出“证明”这一步即可 知识点二 几何证明中常用的证明方法 证明类型 证明方法 证明两直线平行 利用平行线性质判定定理和公理 证明两线段相等 证法1：如果两线段分别在两个三角形中可证两个三角形全等 证法2：如果两线段在一个三角形中，可证它们所对的角 证法3：可以借助一条线段证明两线段都等于第二条 证明两角相等 证法1:利用平行线的性质证两角相等; 证法2：如果两角分别在两个三角形中,可证这两个三角形全等; 证法3：如果两角在一个三角形中，可证它们所对的边相等(等腰三角形的性质) 证明两直线互相垂直 证法1：利用垂直定义; 证法2：利用等腰三角形“三线合一” 题型一、选择平行线的判定条件 解题技巧提炼 根据内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，以及同旁内角互补两直线平行来判定. 1．如图，给出四个条件：①；②；③；④，其中能判定的是（   ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 2．如图，，能判定的条件是（    ）    A． B． C． D． 3．如图，下列能判定的条件有（   ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5；②∠4＝∠7；③∠2＋∠7＝180°；④∠3＝∠5.其中能判定a∥b的条件的序号是 . 5．如图，下列条件中：①；②；③；④，其中能判定的条件有 （填写序号） 题型二、证明平行线 解题技巧提炼 根据内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，以及同旁内角互补两直线平行来判定. 6．如图，已知，，，与平行吗？ 7．如图，在三角形中，，点分别在边的延长线上，作射线，如果平分，那么与平行吗？为什么？ 8．已知：和点，求作：直线．使．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）    题型三、利用平行线的性质求角 解题技巧提炼 两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补. 9．如图，DE∥AB，∠CAE=∠CAB，∠CDE=75，∠B=65，则∠AEB是(      ) A．65 B．60 C．55 D．50 10．如图，中，，，点D，E分别在边，上，若，则的度数为 ． 11．如图，，，，则 ． 12．如图，直线，若，，则∠B的度数为 ． 题型四、直角三角板求角问题 解题技巧提炼 直角三角板中要注意两个锐角互余，这是我们解题的关键. 13．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数为(   ) A． B． C． D． 14．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果 ，那么的度数为（　　）   A． B． C． D． 15．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，有下列结论： （1）；（2）；（3）；（4） 其中正确的个数为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 16．将两个直角三角尺按如图所示方式摆放，点A、D分别在边、上，，，，与交于点M．若，则的大小为 度． 题型五、折叠问题求角问题 解题技巧提炼 翻折问题一般用到翻折变换的性质，以及平行线的性质（内错角相等、同位角相等）来求解. 17．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在的位置．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．如图折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 19．如图所示，将长方形纸片进行折叠，如果，那么 度． 题型六、旋转求角问题 解题技巧提炼 三角形在旋转的过程中，我们要注意旋转中心以及对应边所形成的夹角及旋转角.我们把对应边连接起来所形成的三角形是等腰三角形，旋转问题中等腰三角形往往是解题的突破口. 20．如图，在中，，现将绕点A逆时针旋转30°，至的位置．则 度 21．如图，将绕直角顶点逆时针旋转得到，若点恰好落在的中点处，则 ． 22．如图，ABC中，∠C＝70°，∠B＝40°，将ABC绕点A顺时针旋转后，得到，且在边BC上，则的度数为（    ） A．30° B．40° C．46° D．35° 23．如图，矩形的顶点O与原点重合，点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为，点D为边上一动点，连接，若将线段绕点D逆时针旋转后，点O恰好落在边上的点E处，则点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型七、分类讨论求角度问题 解题技巧提炼 如果几何题目一般没有图形，我们一定要画图分类讨论.几何题不给图，一般会出现两种情况. 24．已知的两边与的两边分别平行，且，则 ． 25．等腰三角形的一个外角等于，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（　　） A．、 B．、 C．、 D．、或、 26．若等腰三角形一条腰上的高与另一腰的夹角为，则其顶角的度数是 ． 27．如果两个角的两边分别平行，其中一个角是，则另一个角是（　  　） A． B． C．或 D．或 题型八、飞镖模型、角平分线与平行线的性质综合应用 解题技巧提炼 飞镖模型是平行线性质的问题中的一种常考模型，往往会结合角平分线出现在压轴题.在解决此类问题的时候，我们要充分利用好平行线的性质，再结合题目中的已知条件进行推理证明. 28．如图（1），直线AB∥CD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连结PE，PF． （1）∠PEB，∠PFD，∠EPF满足的数量关系是 ，并说明理由． （2）如图（2），若点P在直线AB上侧时，∠PEB，∠PFD，∠EPF满足的数量关系是 （不需说明理由） （3）如图（3），在图（1）基础上，PE平分∠PEB，PF平分∠PFD，若设∠PEB=x°，∠PFD=y°．则∠P=______（用x，y的代数式表示），若PE平分∠PEB，PF平分∠PFD，可得∠P，PE平分∠PEB，PF平分∠PFD，可得∠P…，依次平分下去，则∠P=______． （4）科技活动课上，雨轩同学制作了一个图（5）的“飞旋镖”，经测量发现∠PAC=28°， ∠PBC=30°，他很想知道∠APB与∠ACB的数量关系，你能告诉他吗？说明理由． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.2 第1课时 证明举例（平行线的性质与求角问题） 知识点一 证明思路的分析 1.证明思路 要想证明一个命题是否正确,我们在思考时,可以由最后的结论反着向前追溯证明 2.证明思路的分析方法 先定位清楚题目“要证什么？”，然后再罗列出我们“需知什么”也就是要准备哪些条件,由此再考虑“只要证什么”,一直追溯到“已知”而证明的表述 证明逻辑顺序：“已知”→“可知”→“结论”. 3.证明的一般步骤 (1)分清命题的题设和结论; 如果问题与图形有关，要根据条件画出图形，并在图形上标出有关的字母与符号. 注意：无图几何、“射线”或“直线”等几何问题，我们可能还需要进行分类讨论. (2)结合图形,写出已知求证; (3)分析因果关系找出证明途径; (4)有条理地写出证明过程(每一步推理都要有推理的依据). 注意： （1） 在证明的表述中，符号“∵”读作因为，“∴”读作所以. （2） 如果已知中给出图形,给出了已知和求证，这时我们只要写出“证明”这一步即可 知识点二 几何证明中常用的证明方法 证明类型 证明方法 证明两直线平行 利用平行线性质判定定理和公理 证明两线段相等 证法1：如果两线段分别在两个三角形中可证两个三角形全等 证法2：如果两线段在一个三角形中，可证它们所对的角 证法3：可以借助一条线段证明两线段都等于第二条 证明两角相等 证法1:利用平行线的性质证两角相等; 证法2：如果两角分别在两个三角形中,可证这两个三角形全等; 证法3：如果两角在一个三角形中，可证它们所对的边相等(等腰三角形的性质) 证明两直线互相垂直 证法1：利用垂直定义; 证法2：利用等腰三角形“三线合一” 题型一、选择平行线的判定条件 解题技巧提炼 根据内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，以及同旁内角互补两直线平行来判定. 1．如图，给出四个条件：①；②；③；④，其中能判定的是（   ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定定理．根据内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，以及同旁内角互补两直线平行，逐个分析即可． 【详解】①，能判定，不能判定，不符合题意； ②，能判定，符合题意； ③，能判定，不能判定，不符合题意； ④，能判定，符合题意，故②④正确． 故选：D． 2．如图，，能判定的条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，同旁内角互补，两直线平行；根据，即可判定；其它条件均不能判定． 【详解】解：当时，， 则有； 而添加其它条件无法得到； 故选：C． 3．如图，下列能判定的条件有（   ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据题目中的条件，可以写出各个小题中的条件可以得到哪两条线平行，从而可以解答本题； 【详解】解：（1）， ，符合题意； （2）， ，不符合题意； （3）， ，符合题意； （4）， ，符合题意； 综上所述，能判定的条件有3个， 故选：； 4．如图，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5；②∠4＝∠7；③∠2＋∠7＝180°；④∠3＝∠5.其中能判定a∥b的条件的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一分析即可． 【详解】①∵∠1=∠5，∴a∥b，故本小题正确； ②∠4=∠7不符合平行线的判定定理，故本小题错误； ③∵∠2=∠4，∠2=∠4，∠7=∠5，∠2＋∠7＝180°， ∴∠4＋∠5＝180°，∴a∥b，符合平行线的判定定理，故本小题正确； ∠2+∠3=180°不符合平行线的判定定理，故本小题错误； ④∵∠3=∠5，∴a∥b，符合平行线的判定定理，故本小题正确． 故答案为①③④． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行． 5．如图，下列条件中：①；②；③；④，其中能判定的条件有 （填写序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故①不符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意； 故答案为：③④． 题型二、证明平行线 解题技巧提炼 根据内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，以及同旁内角互补两直线平行来判定. 6．如图，已知，，，与平行吗？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，得到是解题的关键．由，得到，继而，即可求证． 【详解】解：，理由如下， 证明，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图，在三角形中，，点分别在边的延长线上，作射线，如果平分，那么与平行吗？为什么？ 【答案】，见解析 【分析】此题考查了平行线的判定．根据角平分线得到，对顶角相等得到，利用等量代换得到，即可证明． 【详解】解：． 证明：∵平分， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴． ∴ 8．已知：和点，求作：直线．使．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）    【答案】见解析 【分析】本题考查作图一复杂作图、平行线的判定，结合平行线的判定，在射线的右侧作，再作直线即可； 【详解】如图，在射线的右侧作    再作直线 则 则直线即为所求； 题型三、利用平行线的性质求角 解题技巧提炼 两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补. 9．如图，DE∥AB，∠CAE=∠CAB，∠CDE=75，∠B=65，则∠AEB是(      ) A．65 B．60 C．55 D．50 【答案】A 【分析】由题意结合平行线的性质求出，在中，利用内角和性质计算即可． 【详解】，， ， 又， ， 在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和性质，能够利用平行线的性质表示出，并转换到中利用内角和性质进行计算是解决本题的关键． 10．如图，中，，，点D，E分别在边，上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与平行线有关的三角形的内角和问题，先根据三角形的内角和定理求出∠B，再根据两直线平行，同位角相等可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 11．如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的以及角的和差计算，连接，设，，，，由平行线的性质得，进一步得出，从而可得结论 【详解】解：连接，如图， ， 设，，，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ， ∴ 故答案为： 12．如图，直线，若，，则∠B的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了平行线和三角形内角和；解题的关键是熟练掌握平行线和对顶角的性质，从而完成求解． 根据平行线的性质得，再根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】， ， ，， ， 故答案为：． 题型四、直角三角板求角问题 解题技巧提炼 直角三角板中要注意两个锐角互余，这是我们解题的关键. 13．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据，，即可得到，再根据，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选D． 【点睛】此题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 14．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果 ，那么的度数为（　　）   A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质，三角板中角度的计算是解题的关键，根据平行线的性质可得答案． 【详解】解：如图， 由平行线的性质可得，， ∵， ∴， 故答案为：C． 15．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，有下列结论： （1）；（2）；（3）；（4） 其中正确的个数为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，平角等于，邻补角的定义，熟记性质与概念并准确识图是解题的关键． 根据平行线的性质，平角等于180°对各小题进行验证即可得解． 【详解】解：∵纸条的两边互相平行， ∴，．故（1）（2）正确： ∵三角板是直角三角板， ∴．故（3）正确； ∵． ∴，故（4）正确， 综上所述，正确的个数是4． 故选：D． 16．将两个直角三角尺按如图所示方式摆放，点A、D分别在边、上，，，，与交于点M．若，则的大小为 度． 【答案】 【分析】利用平行线的性质求出的度数，利用平角定义和三角形内角和定理分别求出和的度数，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解∶∵，， ∴， 又，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理等知识，正确求出和的度数是解题的关键． 题型五、折叠问题求角问题 解题技巧提炼 翻折问题一般用到翻折变换的性质，以及平行线的性质（内错角相等、同位角相等）来求解. 17．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在的位置．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行线的性质，翻折变换的性质，根据平行线的性质可得，再根据折叠可得，据此即可求得． 【详解】解：由折叠知， 四边形为矩形， ， ， ， ． 故选：D． 18．如图折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，先根据折叠得出，根据平行线的性质得出，，求出结果即可． 【详解】解：根据折叠可知，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：D． 19．如图所示，将长方形纸片进行折叠，如果，那么 度． 【答案】55 【分析】利用平行线的性质可得∠1＝70°，利用折叠及平行线的性质，三角形的内角和定理可得∠BHE=∠2＝∠FEH，即可求的度数． 【详解】解：由题意得EF//GH， ∵， ∴∠1＝∠BHG＝70°， ∴∠FEH＋∠BHE＝180°－70°=110°， 由折叠可得∠2＝∠FEH， ∵AD//BC ∴∠2＝∠BHE， ∴∠BHE=∠2＝∠FEH＝55°． 故答案为55． 【点睛】考查折叠问题；综合利用平行线的性质，三角形的内角和定理及折叠的性质解题是解决本题的思路． 题型六、旋转求角问题 解题技巧提炼 三角形在旋转的过程中，我们要注意旋转中心以及对应边所形成的夹角及旋转角.我们把对应边连接起来所形成的三角形是等腰三角形，旋转问题中等腰三角形往往是解题的突破口. 20．如图，在中，，现将绕点A逆时针旋转30°，至的位置．则 度 【答案】15 【分析】由题意知，绕点A逆时针旋转30°至的位置，由此可求出，又因为与是对应角，故度数可求． 【详解】解：∵的对应边，即旋转的角度，即30°， ∴， ∵与是对应角， ∴， ∴． 故答案为：15 【点睛】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．解题的关键是正确找出对应角． 21．如图，将绕直角顶点逆时针旋转得到，若点恰好落在的中点处，则 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查斜边上的中线，等边三角形的与性质，旋转的性质．根据旋转的性质，得到，，根据斜边上的中线，得到，进而得到为等边三角形，得到，进一步求出即可． 【详解】解：∵将绕直角顶点逆时针旋转得到， ∴，， ∵点恰好落在的中点处， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 22．如图，ABC中，∠C＝70°，∠B＝40°，将ABC绕点A顺时针旋转后，得到，且在边BC上，则的度数为（    ） A．30° B．40° C．46° D．35° 【答案】A 【分析】由旋转的性质得AC＝AC'，结合等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠CAC'，由三角形的内角和可求解∠BAC的度数，进而可求解． 【详解】解：由旋转可知：AC＝AC'， ∴∠AC'C＝∠C＝70°， ∵∠C+∠AC'C+∠CAC'＝180°， ∴∠CAC'＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∵∠B＝40°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°， ∴∠BAC'＝∠BAC﹣∠CAC'＝70°﹣40°＝30°， 故选：A． 【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握旋转性质是解答的关键． 23．如图，矩形的顶点O与原点重合，点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为，点D为边上一动点，连接，若将线段绕点D逆时针旋转后，点O恰好落在边上的点E处，则点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质以及旋转的性质的运用，先判定，可得，设，则，依据，可得，进而得到，即可解答，熟练掌握知识点是解题的关键．解题时注意：全等三角形的对应边相等． 【详解】解：由题可得， ，， 由旋转可得，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， ， 故选：A． 题型七、分类讨论求角度问题 解题技巧提炼 如果几何题目一般没有图形，我们一定要画图分类讨论.几何题不给图，一般会出现两种情况. 24．已知的两边与的两边分别平行，且，则 ． 【答案】53或127 【分析】本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．作出图形，根据两边互相平行的两个角相等或互补解答． 【详解】解：如图1， ∵的两边与的两边分别平行，且， ∴ ∴； 如图2， ∵的两边与的两边分别平行，且， ∴， ∴， 综上所述，的度数等于或． 故答案为：53或127． 25．等腰三角形的一个外角等于，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（　　） A．、 B．、 C．、 D．、或、 【答案】D 【分析】根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质求解． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角等于， ∴与其不相邻的两个内角之和是， ∵与外角相邻的那个内角的度数为，是锐角 ∴与外角相邻的那个内角是等腰三角形的顶角或者底角， ①当与外角相邻的那个内角是等腰三角形的顶角时，与它不相邻的两个内角的度数分别为，， ②当与外角相邻的那个内角是等腰三角形的底角时，与外角不相邻的两个内角的度数为，， 综上所述：与它不相邻的两个内角的度数分别为、或、， 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质和等腰三角形的性质，三角形的任意一个外角，等于两个不相邻内角之和，掌握这个知识点是解题的关键． 26．若等腰三角形一条腰上的高与另一腰的夹角为，则其顶角的度数是 ． 【答案】或 【分析】首先根据题意画出图形，一种情况是等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为；另一种情况是等腰三角形为钝角三角形，即可推出顶角的度数为； 【详解】解：如图1，当该等腰三角形为锐角三角形时，    ∵，， ∴； 如图2，当该等腰三角形为钝角三角形时，    ∵，， ∴， ∴； 综上所述，该等腰三角形顶角的度数是或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，正确的画出图形，结合图形利用数形结合的思想求解是解题的关键． 27．如果两个角的两边分别平行，其中一个角是，则另一个角是（　  　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据题意可分两种情况，进而画出图形，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】解：由题意得： ①如图， ∵，，， ∴； ②如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 题型八、飞镖模型、角平分线与平行线的性质综合应用 解题技巧提炼 飞镖模型是平行线性质的问题中的一种常考模型，往往会结合角平分线出现在压轴题.在解决此类问题的时候，我们要充分利用好平行线的性质，再结合题目中的已知条件进行推理证明. 28．如图（1），直线AB∥CD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连结PE，PF． （1）∠PEB，∠PFD，∠EPF满足的数量关系是 ，并说明理由． （2）如图（2），若点P在直线AB上侧时，∠PEB，∠PFD，∠EPF满足的数量关系是 （不需说明理由） （3）如图（3），在图（1）基础上，PE平分∠PEB，PF平分∠PFD，若设∠PEB=x°，∠PFD=y°．则∠P=______（用x，y的代数式表示），若PE平分∠PEB，PF平分∠PFD，可得∠P，PE平分∠PEB，PF平分∠PFD，可得∠P…，依次平分下去，则∠P=______． （4）科技活动课上，雨轩同学制作了一个图（5）的“飞旋镖”，经测量发现∠PAC=28°， ∠PBC=30°，他很想知道∠APB与∠ACB的数量关系，你能告诉他吗？说明理由． 【答案】（1）∠PEB，∠PFD，∠P满足的数量关系是∠P=∠PEB+∠PFD，理由见解析； （2）∠PFD=∠PEB+∠P （3）∠P1= ，∠Pn= （4）∠APB=∠C+58° 【详解】试题分析：（1）过点P作PH∥AB∥CD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得； （2）若点P在直线AB上时，过P作AB的平行线，同理依据两直线平行，内错角相等即可证得； （3）利用（1）的结论和角平分线的性质即可写出结论； （4）过A、B分别作直线AE、BF，使AE∥BF，利用（1）的结论即可求解． 试题解析：(1)∠PEB，∠PFD，∠P满足的数量关系是∠P=∠PEB+∠PFD 理由如下：过点P作PH∥AB∥CD ∴∠PEB=∠EPH，∠PFD=∠FPH 而∠EPF=∠EPH+∠FPH ∴∠EPF=∠PEB+∠PFD (2)如图(2)，若点P在直线AB上时， ∠PEB，∠PFD，∠P满足的数量关系是∠PFD=∠PEB+∠P (不需说明理由) (3)∠P1= (x+y)°(用x,y的代数式表示) ∠Pn=()n(x+y)°. (4)∠APB=∠C+58∘.理由如下： 过A. B分别作直线AE、BF,使AE∥BF. 如图,由(1)规律可知∠C=∠1+∠2. ∠APB=∠PAE+∠PBF=(∠PAC+∠1)+(∠PBC+∠2)=∠PAC+∠PBC+(∠1+∠2)=∠C+58° 点睛：本题考查了平行线性质的应用，关键是正确作辅助线，利用性质解决问题. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$