复习专题05 反比例函数（6重点+9考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪教版）

专题05 反比例函数 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点一 反比例函数的概念 1.成反比例 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成反比例. 2.正比例函数基本概念 (1)概念：形如的函数叫做反比例函数，其中叫做比例系数. (2)定义域：不等于零的一切实数. (3)值域：不等于零的一切实数 易错易混提醒： （1）函数解析式右边是一个分式，分子是不为零的常数 (也叫做比例系数),分母是自变量; （2）因为,,所以反比例函数上的函数值也不等于零. (4)解析式表达形式： ①普通形式：; ②其他形式： 第一种： 第二种： 为什么？ 反比例函数解析式中的,成反比例,无论变量,怎样变化,的值始终等于与的乘积,因此人们习惯上称为比例系数.若,则恒成立,为一个常数函数，失去了反比例函数的意义. 知识点二 反比例函数的画法及图像 1.画反比例函数一般步骤 （1）列表:列出自变量的几对互为相反数的值,并算出对应的的值，注意:不能为0. （2）描点:以列表中每一组,的对应值作为点的横、纵坐标,在平面直角坐标系中描出这些坐标所对应的各点（描的点越多，画出的反比例函数图像越准确） （3）连线:在轴的每一侧,按照从左到右的顺序分别用一条光滑的曲线联结,再向两方伸展 2.反比函的图像 反比例函数的图像叫做双曲线,它有两支,每支都是向两方无限伸展,它的图像向轴轴无限接近，但永远都无法到达. 知识点三 反比例函数的性质 反比例函数 k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的两支都无限接近于轴和轴，不会与轴和轴相交 性质 图像的两支分别位于第一、三象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐减小 图像的两支分别位于第二、四象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 补充笔记 【反比例函数图象的对称性】 1、反比例函数图象本身既是轴对称图形又是中心对称图形.对称轴分别是:①二、四象限的角平分线y=-x;②一、三象限的角平分线 y=x;对称中心是:坐标原点. 2、若经过原点的直线与反比例函数交于两点，则这两点关于原点对称; 3、反比例函数与(k≠0)的图象关于x轴，y轴对称. 知识点四 比例系数k的几何意义 1.与两坐标轴围成的矩形的面积 如图，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线PM，PN，分别交轴、轴于点M，N，所得矩形PMON的面积 因为，所以所以，即过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 2.与坐标轴围成的三角形的面积 如图，过双曲线上任意一点E作EF垂直于轴，交轴于点F，联结EO，则＝，即过双曲线上任意一点坐标轴的垂线，则以这一点、原点和垂足为顶点的三角形的面积为. 知识点五 反比例函数解析式的确定 1.方法 待定系数法. 2.确定反比例函数解析式的一般步骤 （1）设:设反比例函数解析式为. （2）代:将已知条件代入函数解析式，建立关于的方程. （3）解:解关于的方程得到的值. （4）写:写出反比例函数解析式. 知识点六 利用反比例函数解决实际问题的步骤 （1）审:审清题意,找出题目中的常量、变量,并理清常量与变量之间的关系。 （2）设:根据常量与变量之间的关系,设出函数解析式,待定的系数用字母表示。 （3）列:由题目的已知条件列出方程,求出待定系数。 （4）写:写出函数解析式,并注意解析式中变量的取值范围。 （5）解:用函数的图象和性质解决实际问题。 考点剖析 【考点1 反比例函数的定义】 1．（2023秋•金山区期末）下列四个函数中，是反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义解答． 【解答】解：、是正比例函数，故本选项错误； 、符合反比例函数的定义，故本选项正确； 、是一次函数，故本选项错误； 、是二次函数，故本选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式． 2．（2023秋•青浦区校级期中）下列函数表达式中，表示反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】反比例函数解析式的一般形式，也可转化为的形式，特别注意不要忽略这个条件，据此判断即可． 【解答】解：、是正比例函数，故本选项错误； 、符合反比例函数的定义，故本选项正确； 、不符合反比例函数的定义，故本选项错误； 、是正比例函数，故本选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的定义和方程式的变形，涉及的知识面比较广，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【考点2 反比例函数的图象】 3．（2023秋•静安区校级期末）如果，那么函数与在同一坐标系中的图象是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据的符号可以确定函数与在同一坐标系中的图象所经过的象限． 【解答】解：， 函数经过第二、四象限，且过原点，故、错误； ， 函数经过第二、四象限，故错误； 故选：． 【点评】本题主要考查了正比例函数的图象性质和反比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 4．（2023秋•虹口区校级期末）设，那么函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正比例函数的性质：，图象经过原点，在第一、三象限；反比例函数的性质：，图象在第二、四象限的双曲线可得答案． 【解答】解：， ， 函数的图象经过原点，在第一、三象限， ， 的图象在第二、四象限， 故选：． 【点评】此题主要考查了正比例函数和反比例函数的性质，关键是掌握两个函数的性质． 【考点3 反比例函数的性质】 5．（2024秋•长宁区校级期中）下列函数中，随的增大而增大的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据反比例函数与一次函数的性质逐项分析判断即可． 【解答】解：、一次函数中，，随的增大而减小，不符合题意； 、一次函数中，，随的增大而增大，符合题意； 、反比例函数的增减性受自变量的限制，，在各象限内，随的增大而增大，不符合题意； 、反比例函数的增减性受自变量的限制，，在各象限内，随的增大而减小，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数与正比例函数的性质，熟练掌握反比例函数与正比例函数的性质是关键． 6．（2024秋•杨浦区期中）下列说法中，正确的是　　 A．长方形的面积为时，它的长与宽成正比例 B．若，则 C．若反比例函数，则随增大而减小 D．若与成反比例，与成反比例，则与也成反比例 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义和性质，求函数值即可得出答案． 【解答】解：、长方形的长与宽乘积为20，长与宽成反比例，不符合题意； 、当时，，符合题意； 、若反比例函数，则在每一象限内随增大而减小，不符合题意； 、若与成反比例，与成反比例，则可设，，此时，比值一定，则与成正比例，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查反比例函数的定义和性质，函数值，关键是熟练掌握这些知识点． 7．（2024秋•杨浦区期中）正比例函数中，如果随增大而增大，那么它和反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由正比例函数中，如果随增大而增大，可得，得到反比例函数过一、三象限，据此判断即可． 【解答】解：正比例函数中，随增大而增大， ，图象过第一、三象限， 反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查正比例函数与反比例函数的图象和性质，熟知以上知识是解答此题的关键． 8．（2023秋•浦东新区校级期末）下列函数中，函数值随的增大而增大的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由一次函数和反比例函数的增减性判断． 【解答】解：、， 函数的函数值随的增大而减小，故选项错误，不符合题意； 、， 函数的函数值随的增大而增大，故选项正确，符合题意； 、， 函数在第一象限和第三象限内的函数值随的增大而减小，故选项错误，不符合题意； 、， 函数在第二象限和第四象限内的函数值随的增大而增大，故选项错误，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的增减性，解题的关键是熟知一次函数和反比例函数的增减性和系数之间的关系． 9．（2023秋•崇明区期末）已知函数中，随的增大而减小，那么反比例函数图象在　　 A．第二、四象限内 B．第一、二象限内 C．第三、四象限内 D．第一、三象限内 【答案】 【分析】据“正比例函数中，随的增大而减小”可以确定的符号，然后由的符号确定反比例函数所在的象限． 【解答】解：在正比例函数中，随的增大而减小， ， 反比例函数图象在第二、四象限； 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的性质、正比例函数的性质，熟知自变量函数、反比例函数的性质是解题的关键． 10．（2024秋•浦东新区校级期中）若图象的一支位于第三象限，则的取值范围是　 　． 【答案】． 【分析】由反比例函数的图象的一支位于第三象限，可得，即可求解． 【解答】解：图象的一支位于第三象限， ， 解得：， 的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是本题的关键． 【考点4 反比例函数系数k的几何意义】 11．（2024秋•浦东新区校级期中）若函数与函数的图象相交于，两点，垂直轴于，则的面积为　　 A．1 B．2 C． D． 【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即． 【解答】解：设点的坐标为，则， 故的面积为， 又与同底等高， 的面积的面积． 故选：． 【点评】主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即． 12．（2023秋•杨浦区期末）如图，点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴，垂足为，设的面积是，那么与之间的数量关系是　　 A． B． C． D．不能确定 【分析】根据点在反比例函数图象上结合反比例函数系数的几何意义就可以求出与之间的数量关系． 【解答】解：点是反比例函数图象上一点，且轴于点， ， 解得：． 反比例函数在第一象限有图象， ．即 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数的几何意义，解题的关键是根据反比例函数系数的几何意义找出面积与的关系． 【考点5 反比例函数图象上点的坐标特征】 13．（2024秋•崇明区期中）在函数的图象上有三点，，，，，，已知，则下列各式中，正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】首先确定该反比例函数的图象在第二、四象限，再根据，得点，，，在第二象限，点，在第四象限，则，，，然后再根据反比例函数的性质即可得出答案． 【解答】解：函数，， 该反比例函数的图象在第二、四象限， 点，，，，，在该反比例函数的图象上，且， 点点，，，在第二象限，点，在第四象限， ，，， 又该反比例函数在每一象限内，随的增大而增大， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解决问题的关键． 14．（2023秋•松江区期末）若点、、都在反比例函数的图象上，则有　　 A． B． C． D． 【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限，再得出在每一象限内函数的增减性，再根据三点横坐标的值即可判断出，，的大小． 【解答】解：反比例函数中， 函数图象的两个分支位于二四象限，且在每一象限内随的增大而增大， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 15．（2023秋•浦东新区校级期末）已知三点，，，，都在反比例函数的图象上，若，则下列式子正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质求解即可． 【解答】解：点在反比例函数的图象上， ，解得， 反比例函数解析式为， 点，，，都在反比例函数的图象上，， ， 故选：． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 16．（2023秋•闵行区期末）已知反比例函数的图象上有两点，，，，如果，那么与的大小关系是　　 A． B． C． D．不能确定 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，利用分类讨论的数学思想即可解答本题． 【解答】解：， 反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 当时，， 故选：． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质和分类讨论的数学思想解答． 17．（2024秋•闵行区校级期中）已知三点、和在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 　 　．（用“”连接）． 【答案】． 【分析】由知，在第一象限、第三象限，随着的增大而减小，第一象限内，第三象限内，根据，，可得，，然后作答即可． 【解答】解：由条件可知：函数图象在第一象限、第三象限，随着的增大而减小，第一象限内，第三象限内， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了根据反比例函数的图象与性质比较函数值的大小．熟练掌握反比例函数的图象与性质比较函数值的大小是解题的关键． 18．（2023秋•虹口区校级期末）已知，，，是反比例函数图象上的两点．若，则　 　（填“”、“ ”或“” ． 【答案】． 【分析】根据反比例函数的图象和性质即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为反比例函数的解析式为， 所以该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一个象限内随的增大而增大． 又因为， 即，两点都在第二象限的同一支上， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【考点6 待定系数法求反比例函数解析式】 19．（2022秋•徐汇区校级期末）反比例函数在第二象限内的图象上有一点，过作轴于点，联结，已知的面积为4．则反比例函数的解析式为 　 　． 【答案】． 【分析】根据反比例函数系数的几何意义及图象所在的象限求出，即可求出反比例函数解析式． 【解答】解：根据题意可知：， 反比例函数的图象位于第二象限，， ， 反比例函数解析式为． 故答案为：． 【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解决问题的关键． 20．（2024秋•杨浦区期中）已知在反比例函数第一象限图象上，过点作轴，垂足为点，将射线绕点顺时针旋转，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点． （1）如图1，若，求反比例函数解析式及△面积． （2）点为线段中点，射线交轴于点，连接，当△面积为6时，求的值． （3）在（2）的条件下，若，求点坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为，； （2）； （3），或． 【分析】（1）直接把代入求解析式，再由旋转和垂直得到，最后根据计算即可； （2）设，由旋转和垂直得到，由点为线段中点，可得，最后根据计算即可； （3）在（2）的条件下，反比例函数解析式为，，，，然后根据当在第二象限或第象限分别画出图形，求出，再根据列方程计算即可． 【解答】解：（1）在反比例函数第一象限图象上， ， 解得， 反比例函数解析式为， 作轴，垂足为点，将射线绕点顺时针旋转，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点， ，，， ， ， ； （2）在反比例函数第一象限图象上， 设， 作轴，垂足为点，将射线绕点顺时针旋转，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点， ，，，， ， ， 点为线段中点， ， ， ， ， ； （3）在（2）的条件下，反比例函数解析式为，，， ， 当在第二象限时，如图1， ， 点为线段中点， ， ，即， 解得（负值舍去），此时，； 当在第一象限时，如图1， ， 点为线段中点， ， ，即， 解得（负值舍去），此时； 综上所述，，或． 【点评】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数上点的特征，反比例系数的几何意义，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键． 21．（2024秋•奉贤区期中）已知，与成正比例，与成反比例．并且当时，；当，求与之间的函数关系式． 【答案】． 【分析】设，待定系数法求出，，即可． 【解答】解：设， 则：， 由题意，得：， 解得：， ． 【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求正比例函数解析式，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 22．（2023秋•浦东新区校级期末）已知，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求关于的函数表达式． 【答案】． 【分析】首先根据题意，分别表示出应表示出与，与的函数关系式，再进一步表示出与的函数关系式，然后根据已知条件，得到方程组，即可求解． 【解答】解：与成正比例，与成反比例， ，． ， ， 当时，；当时，， ，， 解得，． ． 【点评】本题考查了待定系数法确定反比例函数和正比例函数的解析式的方法，解决本题的关键是得到与的函数关系式，需注意两个函数的比例系数是不同的． 23．（2023秋•虹口区校级期末）已知与成反比例，与成正比例．又当时，；当时，．试说明是的函数吗？当时，的值是多少？ 【分析】根据题意设，将，代入，利用待定系数法求出的值；设，将时，代入计算求出的值，即可确定出与的函数解析式；将代入，可求出与的函数解析式，再将代入，即可求出的值． 【解答】解：设， 当时，， ， ， ； 设， 当时，， ， ， ， ，即， 将代入，得． 【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数、正比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【考点7 反比例函数与一次函数的交点问题】 24．（2023秋•青浦区期中）已知反比例函数的图象与函数的图象没有交点．若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据两个函数没有交点，确定的符号，再根据函数的增减性，进行判断即可． 【解答】解：函数经过一、三象限，反比例函数的图象与函数的图象没有交点， 反比例函数的图象在二、四象限， 、、在这个反比例函数的图象上， 点、在第二象限，点在第四象限， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查反比例函数和正比例函数的图形与性质，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 25．（2024秋•静安区校级期中）正比例函数与反比例函数的图象相交于点、，若点的坐标为，则点坐标为 　 　． 【答案】． 【分析】已知点的坐标为，根据对称性即可求出点坐标． 【解答】解：正比例函数与反比例函数的图象相交于点、， 和关于原点对称， 点的坐标为， 点． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，掌握反比例函数的中心对称性是解题的关键． 26．（2024秋•长宁区校级期中）我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点． 在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于第一象限内的点，点在射线上，分别过点作轴、轴的垂线，交双曲线于点、，将线段、和函数的图象在、之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域．如果区域内恰有5个整点，那么点的横坐标的取值范围是 　 　． 【答案】． 【分析】由图可知点不可能在点下方，故点在点上方，结合函数图象列出不等式组求解即可． 【解答】解：区域内恰有5个整点，由图可知点只能位于的上方如图： 如图，当的纵坐标为5时，横坐标为， 结合图象可知，当时，区域内有5个整数点． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确画出函数图象是解题关键． 27．（2024秋•浦东新区校级期中）已知直线与双曲线交于点，则当时他们的纵坐标的大小关系为 　 　． 【答案】． 【分析】根据直线与双曲线的交点在第一象限，可根据各函数的增减性进行判断大小． 【解答】解：直线与双曲线的交点在第一象限， 直线随的增大而增大，反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 可知：当时，， 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． 28．（2024秋•杨浦区期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，过点作轴，垂足为点，若在反比例函数图象上有一点，使△的面积为10，则点的坐标是 　 　． 【答案】或． 【分析】先求出，得到，反比例函数解析式为，再设，最后由列方程求解即可． 【解答】解：由题意设，反比例函数解析式为， 过点作轴，垂足为点， ， ， ， 把代入反比例函数解析式得，解得， 反比例函数解析式为， 设， ， △的面积为10， ， 解得或， 或， 故答案为：或． 【点评】本题是反比例函数与一次函数交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得反比例函数的解析式是解题的关键． 29．（2024秋•奉贤区期中）如果直线的图象与的图象有公共点，那么的取值范围是 　 　． 【答案】． 【分析】联立两解析式，消去可得到关于的一元二次方程，由题意可知该方程有实数解，可得到关于的不等式，可求得答案． 【解答】解：联立两函数解析式可得，消去可得， 整理可得， 函数的图象与直线有交点， 有实数解， ，解得， 故答案为：． 【点评】本题主要考查函数图象的交点问题，掌握函数图象的交点坐标即为联立解析式构成的方程组的解是解题的关键，注意一元二次方程有实数解的条件． 【考点8 反比例函数的应用】 30．（2024秋•崇明区期中）已知矩形的面积为5，它的长与宽之间的关系用图象大致可表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据矩形的面积长宽，可得矩形的面积一定时，它的长与宽成反比例关系，据此判断出它的长与宽之间的关系用图象大致可表示为哪个即可． 【解答】解：矩形的面积一定， 它的长与宽成反比例关系． 它的长与宽之间的关系用图象大致可表示为： ， 故选：． 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握矩形的面积公式是解题的关键． 31．（2023秋•静安区校级期末）某科研团队在大棚中栽培新品种的蘑菇，发现其在的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚载培．某一天恒温系统从开启升温到保持恒温，及关闭降温的过程中，大棚内温度随时间（时变化的函数图象如图，其中段和段分别是正比例函数和反比例函数图象的一部分． （1）分别求出段和段所对应的与的函数关系式； （2）若该蘑菇适宜生长的温度不低于，则一天中该种蘑菇适宜生长的时间有多少个小时？ 【答案】（1）段所在的解析式为，段所在的曲线解析式为；（2）该蘑菇适宜生长的温度不低于，则一天中该种蘑菇适宜生长的时间有． 【分析】（1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）将分别代入两个函数解析式求出时间，再根据图象计算出一天中该种蘑菇适宜生长的时间即可． 【解答】解：（1）设段所在的解析式为， 在函数图象上， ，， 段所在的解析式为， 设段所在的曲线解析式为， 在函数图象上， ， 段所在的曲线解析式为， （2）当时，，， ，， 该蘑菇适宜生长的温度不低于，则一天中该种蘑菇适宜生长的时间有． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数性质是关键． 32．（2023秋•宝山区期末）越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为小时，平均速度为千米小时（骑行速度不超过40千米小时）．根据以往的骑行经验，、的一些对应值如下表： （千米小时） 15 20 25 30 （小时） 2 1.5 1.2 1 （1）根据表中的数据，求出平均速度（千米小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式； （2）如果这位骑行爱好者上午从家出发，能否在上午之前到达上海蟠龙天地？请说明理由； （3）若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间满足，求平均速度的取值范围． 【答案】（1）平均速度（千米小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式； （2）骑行者在上午之前不能到达上海蟠龙天地；理由见解答； （3）平均速度的取值范围为． 【分析】（1）由表中数据可得，从而得出结论； （2）把代入（1）中解析式，求出，从而得出结论； （3）根据和的取值范围得出结论． 【解答】解：（1）根据表中数据可知，， ， 平均速度（千米小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式； （2）骑行者在上午之前不能到达上海蟠龙天地，理由： 从上午到上午，骑行者用时40分钟，即小时， 当时，（千米小时）， 骑行速度不超过40千米小时， 骑行者在上午之前不能到达上海蟠龙天地； （3）， 当时，， 解得， 平均速度的取值范围为． 【点评】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式． 33．（2023秋•青浦区校级期中）反比例函数广泛应用于科学课中．比如在电学的某一电路中，电压不变时，电流（单位：安培）与电阻（单位；欧姆）成反比例关系．当电阻欧姆时，电流安培． （1）求出函数解析式． （2）当0.5安培时，求出的值． （3）如果电路中用电器的电流不得超过10安培，那么直接写出用电器的电阻控制在什么范围内？ 【答案】（1）与之间的函数关系式为； （2）（欧姆）； （3）（欧姆）． 【分析】（1）由题意可设，代入，即可求得的值，从而可得与之间的函数关系式； （2）将代入（1）中所得函数关系式即可求得对应的的值； （3）根据题意得，由此即可求得电阻控制的范围． 【解答】解：（1）由题意设， 当电阻欧姆时，电流安培， ， 与之间的函数关系式为：； （2）把代入得：， 解得：（欧姆）； （3）不得超过10安培， ， 的取值范围是：（欧姆）． 【点评】本题考查了反比例函数的应用．利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 34．（2023秋•浦东新区校级期末）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）求这天的温度与时间的函数关系式； （2）求恒温系统设定的恒定温度； （3）若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 【答案】（1）； （2）； （3）17.5小时． 【分析】（1）根据图象设正比例函数解析式为，根据图象可知函数解析式； （2）把代入解析式，即可求出恒定温度； （3）根据图象可知整个图象由三部分组成：正比例函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式；根据各时间段的函数解析式算出时的值，用24小时减去这些时间即可． 【解答】解：（1）设直线的函数解析式为：，根据题意， 可得方程， ， 正比例函数解析式为； 根据图象可知：； （2）； 当时，， 恒定温度为：． （3）设小时内函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ， 函数解析式为：， 小时函数解析式为：， 当时，， ， 当时，， ， 在20时时4小时之间是气温是低于的， 气温低于的总时间为：， 气温高于的适宜温度是：． 答：相对有利于水果生长的时间共17.5小时． 【点评】本题考查了一次函数、反比例函数和常函数解析式，解答本题的关键是找出临界点． 【考点9 反比例函数综合题】 35．（2024秋•宝山区校级期中）如图，已知直线与双曲线交第一象限于点． （1）求点的坐标和反比例函数的解析式； （2）将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式； （3）在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图象于点，交轴于点，且，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）直线的解析式为； （3），或，． 【分析】（1）联立直线与双曲线的解析式，可得出点的横坐标，再将点的坐标代入直线表达式即可求得的值； （2）根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，可证△△，由此可得点的坐标，由待定系数法求可求出直线的解析式； （3）根据题意作出图形，由面积比可得，设点的横坐标为，由此表达点，的坐标，进而可得和的长度，得出关于的方程，解之即可． 【解答】解：（1）点在直线， ， ， ， 将点代入直线， 反比例函数的解析式为； （2）根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，如图： ， ， ， 由旋转可知，， △△， ，， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为； （3）如图，，， ， ，即， 即， 设点的横坐标为，由（1）可知反比例的解析式为， ，，， ，， ， 解得或（负值舍去）， 点的坐标为，或，． 【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合题，涉及到全等三角形的判定与性质，三角形的面积、旋转的性质等知识，（2）证得三角形全等是解题关键，（3）中面积转化为线段的比值是解题关键． 36．（2024秋•长宁区校级期中）用函数观点看不等式，如何解不等式？ 分析：我们可以把不等号的左边看作正比例函数，右边看作反比例函数，那么这个不等式的解集就是直线在直线下方的所有点的横坐标的取值范围． 解：当时，解得，，可知函数与函数的公共点的坐标为和． 如图，直线在直线下方的所有点，就是直线在点的下方和直线在点和点之间的部分，横坐标的取值范围是或，所以不等式的解集为或． （1）模仿上述方法，解不等式：； （2）填空：如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是 　 　． 【答案】（1）或； （2）． 【分析】（1）参考题干左侧图，把不等号左边看作函数，不等号右边看作函数，那么不等式的解集就是函数图象在函数的图象下方所有点的横坐标，即可求解； （2）只有直线在一、三象限即，反比例函数在二、四象限即时，才符合题意，即可求解． 【解答】解：（1）参考题干左侧图， 把不等号左边看作函数，不等号右边看作函数，那么不等式的解集就是函数图象在函数的图象下方所有点的横坐标． 当时，解得，， 可知函数与函数的公共点的坐标为，和，． 直线在双曲线下方的所有点，就是直线在点的下方和直线在点和点之间的部分，横坐标的取值范围是或， 所以不等式的解集为：或； （2）当时，在一、三象限，则直线也在一、三象限，此时，不符合题意， 当时，在一、三象限，则直线可以在一、三象限，也可以在二、四象限， 只有直线在一、三象限即，反比例函数在二、四象限即时，才符合题意， 即，符合题意， 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数综合运用，涉及到解不等式，理解用函数观点看不等式是解题的关键． 37．（2024秋•长宁区校级期中）在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限内的图象上． （1）已知点也在反比例函数第一象限内的图象上，且点在点的下方，延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求△的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； （2）已知点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，联结，请问是否存在点，使得？如果存在，求点的坐标（用表示）；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）①△的面积为1；②的值为4； （2）点在射线上（点不与点重合），不存在点，使得；证明见解答． 【分析】（1）①过点作轴于点，利用角平分线的性质可得，再证得△△，即可求得答案； ②过点作轴于点，过点作轴于点，设，，可得，，再利用中点坐标可得出，即可求得答案； （2）分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别讨论即可． 【解答】解：（1）①当时，， 如图1，过点作轴于点， 则， ， ， 平分，，， ， 在△和△中， ， △△， ， △的面积为1； ②如图2，过点作轴于点，过点作轴于点， 设，， 则，， ，， 点是线段的中点， ， ， ； （2）点在射线上（点不与点重合），不存在点，使得；理由如下： 设， 则直线的解析式为， 设，则， 当点在线段上时，过点作于点，如图3， 则， ，， 点是的中点， ， ， 化简得：， ， 点不与点重合， ，此时不存在点，使得； 当点在线段的延长线上时，过点作于点，如图4， 同理可得：当点在线段的延长线上时，不存在点，使得； 综上所述，点在射线上（点不与点重合），不存在点，使得． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 38．（2024秋•杨浦区期中）（1）用“”，“ ”，“ ”填空： 　 　， 　　， 　　； （2）由（1）中各式猜想：对于任意正实数、， 　　（填“”、“ ”，“ ”或“” ； （3）问题解决：如图，已知点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，过点作轴于点，过点作轴于点．那么矩形的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并写出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1），，； （2）； （3）矩形的周长存在最小值；最小值为16，此时，． 【分析】（1）分别计算出左右两边，即可比较大小； （2）利用完全平方公式可得，即可得出答案； （3）设，，，根据矩形的性质表示出矩形的周长为，再利用（2）中的结论可得答案． 【解答】解：（1），， ， ，， ， ，， ， 故答案为：，，； （2）， ， 故答案为：； （3）矩形的周长存在最小值；理由如下： 设，，， 轴，轴， ，， 四边形的周长为， ， ， 当时，即时， 矩形的周长最小值为16，此时，． 【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，矩形的性质，完全平平方公式等知识点，熟练掌握矩形的性质是解答本题的关键． 39．（2024秋•杨浦区期中）已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图象于点、，点是直线上的一点． （1）请用含的代数式表示、、三点坐标． （2）在点的运动过程中，联结，三角形的面积是否变化，若不变，请求出三角形的面积，若改变，请说明理由． （3）在点运动过程中，是否存在以为直角边的三角形和三角形全等，如果存在，请求出关于的方程（不必求解）． 【答案】（1）点，点，点； （2）三角形的面积不变；； （3）存在以为直角边的三角形和三角形全等；或． 【分析】（1）根据题意可得点，由轴，轴，、在反比例函数的图象上即可求解； （2）由题意得，分别表示出，即可求解； （3）由题意分类讨论：①，；②，两种情况，求出点的坐标，代入即可得到关于的方程． 【解答】解：（1）点是反比例函数图形上的动点， ， 点， 轴，轴， ，， 、在反比例函数的图象上， ，， 即：点，点； （2）三角形的面积不变；理由如下： 轴，轴， ， ，，， ，， ； （3）存在以为直角边的三角形和三角形全等；理由如下： 若以为直角边的△和△全等， ①，，如图1所示： 此时， 即：点， 点是直线上的一点， ， 整理得：， 或（舍去）； ②，，如图2所示： 此时， 即：点， 点是直线上的一点， ， 整理得：， 或（舍去）， 综上所述：存在以为直角边的三角形和三角形全等；或． 【点评】本题考查了反比例函数和正比例函数综合问题，涉及了全等三角形的性质，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键． 过关检测 1．（2024秋•浦东新区校级期中）若是反比例函数，则的值为 　 　． 【答案】． 【分析】根据反比例函数的定义得且，由此解出的值即可． 【解答】解：函数是反比例函数， 且， 由，解得：，或， 由，解得：且， ， 即当时，是反比例函数． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，正确理解反比例函数的定义是解决问题的关键． 2．（2023秋•浦东新区校级期末）设，那么函数和函数在同一坐标系中的大致图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据反比例函数和正比例函数的性质判断即可． 【解答】解：， ， 函数过二，四象限，函数在一、三象限， 故选：． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的图象特点： ①反比例函数的图象是双曲线； ②当时，它的两个分支分别位于第一、三象限； ③当时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 3．（2024秋•松江区期中）如果反比例函数的图象经过第一、三象限，那么的取值范围是 　 　． 【分析】利用反比例函数的性质求解． 【解答】解：反比例函数的图象经过第一、三象限， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质． 4．（2022秋•长宁区校级期中）反比例函数（其中的图象在第　 　象限． 【分析】根据反比例函数的性质和的取值范围为，即可得到该函数的图象在哪个象限． 【解答】解：反比例函数（其中， 该函数的图象在第二象限， 故答案为：二． 【点评】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 5．（2023秋•长宁区校级期末）已知反比例函数的图象在每个象限内，随的值增大而减小，那么常数的取值范围是 　 　． 【答案】． 【分析】根据反比例函数的性质，可知，然后求解即可． 【解答】解：反比例函数的图象在每个象限内，随的值增大而减小， ， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 6．（2022秋•黄浦区月考）如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点，若，则的值是　 　． 【分析】设，，代入双曲线得到，，根据三角形的面积公式求出，即可得出答案． 【解答】解：设，， 代入得：，， ， ， ， ， 故答案为：8． 【点评】本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出是解此题的关键． 7．（2024秋•长宁区校级期中）如果点、分别在反比例函数、的第二象限的图象上，在的下方，那么　 　（填“”或“” ． 【答案】． 【分析】根据反比例函数系数的几何意义得出，，由图形可知，根据，，得出． 【解答】解：分别过点，向轴，轴作垂线，则，， ，，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键，即过反比例函数图象上任意一点引轴、轴的垂线，两垂线与坐标轴所围成的矩形面积为． 8．（2024秋•上海期中）若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为 　 　． 【分析】根据反比例函数的图象和已知条件，判断，，三点的位置，从而根据性质判断，，的大小即可． 【解答】解：在反比例函数中，， 函数图象在二、四象限，且每一象限随的增大而增大， 、、， 在第二象限，，在第四象限， ，，， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解题关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质与比例系数的关系． 9．（2024秋•杨浦区期中）若反比例函数图象上有、、三点，则，，从小到大排列 　 　． 【答案】． 【分析】根据，则函数图象在第一、象限内，且在每个象限内，随的增大而减小，进而得，，，且，由此即可得出答案． 【解答】解：， 函数图象在第一、象限内，且在每个象限内，随的增大而减小， 反比例函数图象上有、、三点， 点在第三象限，点，在第一象限， ，，， 又， ， ，，从小到大排列为：， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解决问题的关键． 10．（2023秋•青浦区校级期中）已知：，并且与成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求与之间的函数解析式． 【答案】． 【分析】设，则，然后利用待定系数法即可求得． 【解答】解：与成正比例，与成反比例， 设，， ， 当时，，当时，， ， 解得， 与之间的函数解析式为． 【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分． 11．（2023秋•静安区校级期中）如图，已知正方形的面积为9，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，点在函数图象上，点是函数图象上异于点的任意一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、．设矩形和正方形不重合部分的面积为． （1）点的坐标是 　 　，　　； （2）当，求点的坐标； （3）求出关于的函数关系式． 【答案】（1），9． （2）①，；②． （3）或． 【分析】（1）根据反比例函数中正方形的面积与反比例系数的关系，即可求得反比例函数解析式，进而求得的坐标； （2）分两种情形，用坐标表示出不重合的四边形的边长，进而表示出面积，求解即可； （3）分两种情形求解即可：①当点在点的左侧时；②当点在点或的右侧时． 【解答】解：（1）正方形的面积为9， ， ． 又点在函数的图象上， ． 故答案为：，9． （2）分两种情况：①当点在点的左侧时， 在函数上， ． 则， ， ． ，； ②当点在点或的右侧时， 在函数上， ． ， ， ． ． （3）当时，． 当，时，的纵坐标是， 由题意 【点评】本题主要考查了反比例函数的系数与矩形的面积的关系，把线段的长的问题转化为点的坐标问题是解决本题的关键． 12．（2023秋•虹口区校级期末）正比例函数和反比例函数的图象都经过，则正比例函数的解析式为 　 　． 【答案】． 【分析】由反比例函数解析式得出点的坐标，由点的坐标利用待定系数法即可得出正比例函数的解析式． 【解答】解：点在反比例函数的图象上， ，解得：． 即点的坐标为． 又点在一次函数的图象上， ，解得：． 正比例函数的解析式为． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出点的坐标． 13．（2023秋•虹口区校级期末）函数与图象没有交点，则的取值范围是 　 　． 【答案】． 【分析】根据反比例函数与一次函数图象的特征，得到小于0，即可确定出的范围． 【解答】解：函数图象过一、三象限，而函数与图象没有交点， 函数在二、四象限， ，即， 故答案为：． 【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握两函数的性质是解本题的关键． 14．（2024秋•闵行区校级期中）如图，已知直线与双曲线交于，两点，且点的横坐标为4． （1）求的值； （2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求△的面积； （3）过原点的另一条直线交双曲线于，两点点在第三象限），若由点，，为顶点组成的三角形面积为12，求点的坐标． 【答案】（1）8； （2）15； （3）或． 【分析】（1）根据一次函数与反比例函数相交于点，将点代入函数解析式即可求得的值， （2）利用已知点的坐标表示出围成图形的边长，运用反比例函数的几何意义即可求解． （3）由反比例函数正比例函数图象交点关于原点对称，可分情况设出点，的坐标，点在点的左面与右面表示出四边形的面积，即可求解． 【解答】解：（1）点横坐标为4， 把代入 得， ， 点是直线与双曲线的交点， ． （2）如图， 过点、轴的垂线交与．， 当时，， 点的坐标为．， ． ．； （3）由题意可得：，， ， ， 设点的横坐标为且， 得， 过点、分别作轴的垂线，垂足为、， ， 若，如图， ， ． ． ，（不符合题意，舍去）， ， ； 若，如图， ， ． ， 解得，（不符合题意，舍去）， ， ． 点的坐标是或． 【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的图象交点问题，反比例函数与坐标轴围成面积，反比例函数正比例函数图象结合问题，中心对称图形的性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 15．（2022秋•徐汇区校级期末）据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者按规定剂量服用这种抗生素，已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量（微克）与服用的时间成正比例药物浓度达到最高后，血液中的含药量（微克）与服用的时间成反比例，根据图中所提供的信息，回答下列问题： （1）抗生素服用　 　小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有　　微克； （2）根据图象求出药物浓度达到最高值之后，与之间的函数解析式及定义域； （3）求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量． 【答案】（1）4，6； （2）； （3）2.4微克． 【分析】（1）由图象可得到结论； （2）由待定系数法可求得与之间的函数解析式，由图象可得函数定义域； （3）把代入反比例函数解析式可求得． 【解答】解：（1）由图象可知，抗生素服用4小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有6微克， 故答案为：4，6； （2）设与之间的函数解析式为， 把时，代入上式得：， 解得：， 则； （3）当时，（微克）， 答：该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量为2.4微克． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，根据题意求出函数解析式是解决问题的关键． 16．（2022秋•宝山区期末）办公区域的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，水温到时停止加热．此后水温开始下降．水温与开机通电时间成反比例关系．若水温在时接通电源．一段时间内，水温与通电时间之间的函数关系如图所示． （1）水温从加热到，需要 　 　； （2）求水温下降过程中，与的函数关系式，并写出定义域； （3）如果上午8点接通电源，那么之前，不低于的时间有多少？ 【答案】（1）4； （2）水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）不低于的时间有2分钟． 【分析】（1）根据开机加热时水温每分钟上升即可求出水温从加热到所需时间； （2）根据反比例函数过点可求出解析式； （3）分别计算出水温达到前和达到后再降到所需时间即可． 【解答】解：（1）开机加热时水温每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：4； （2）由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ， 当时，， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）由计算可知，水温从开始加热到再冷却到需分钟， 水温从加热到所需要时间为：， 令，则， 水温不低于的时间为（分钟）， 答：不低于的时间有2分钟． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，数形结合，是解决本题的关键． 17．（2023秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）点在轴上，且，反比例函数图象上有一点，且，求点坐标． 【分析】（1）根据正比例函数图象上点的坐标特征求出，利用待定系数法求出反比例函数的解析式； （2）根据等腰三角形的性质分别求出、、，证明，根据相似三角形的性质列式计算求出，得到答案． 【解答】解：正比例函数的图象经过点， ， 点的坐标为，， ， 反比例函数的解析式为； （2）作轴于，轴于， 设点的坐标为， ，轴， ，， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得，， ， 解得，（舍去），， 则点的坐标为． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质、相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 18．（2023秋•长宁区校级期末）如图，直线与双曲线交于点，且点的横坐标是4．双曲线上有一动点，．过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为． （1）求的值； （2）若，求点坐标； （3）联结、，当与的重合部分的面积值为1时，求的面积． 【答案】（1）的值为8； （2），； （3）6． 【分析】（1）设点的坐标为，根据列方程组即可得到结论； （2）由（1）知，，得到，设点，求得，根据在直线上，得到，求得（舍去负值），于是得到结论； （3）设与的重合部分的面积值为，设点的坐标为，根据三角形的面积公式得到，求得，根据梯形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）设点的坐标为， 由题意得， 解得，， 的值为8； （2）由（1）知，， ， 设点， ， ， ， 在直线上， ， 解得（舍去负值）， ， ，； （3）如图，设与的重合部分的面积值为， 在直线上， 设点的坐标为， ， ， ， 解得或（舍去）， ， 点在函数的图象上， ， ， 梯形的面积， 由（1）知，， ， 梯形的面积， 梯形的面积． 【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，反比例函数系数的几何意义，正确地求得的值是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 反比例函数 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点一 反比例函数的概念 1.成反比例 如果两个变量的每一组对应值的__________是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成反比例. 2.正比例函数基本概念 (1)概念：形如的函数叫做__________函数，其中叫做__________. (2)定义域：__________. (3)值域：__________ 易错易混提醒： （1）函数解析式右边是一个分式，分子是不为零的常数 (也叫做比例系数),分母是自变量; （2）因为,,所以反比例函数上的函数值也不等于零. (4)解析式表达形式： ①普通形式：__________; ②其他形式： 第一种： 第二种：__________ 为什么？ 反比例函数解析式中的,成反比例,无论变量,怎样变化,的值始终等于与的乘积,因此人们习惯上称为比例系数.若,则恒成立,为一个常数函数，失去了反比例函数的意义. 知识点二 反比例函数的画法及图像 1.画反比例函数一般步骤 （1）列表:列出自变量的几对互为相反数的值,并算出对应的的值，注意:不能为0. （2）_____:以列表中每一组,的对应值作为点的横、纵坐标,在平面直角坐标系中描出这些坐标所对应的各点（描的点越多，画出的反比例函数图像越准确） （3）______:在轴的每一侧,按照从左到右的顺序分别用一条光滑的曲线联结,再向两方伸展 2.反比函的图像 反比例函数的图像叫做,它有,每支都是向两方_______,它的图像向轴轴______，但永远都______. 知识点三 反比例函数的性质 反比例函数 k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的两支都无限接近于轴和轴，不会与轴和轴相交 性质 图像的两支分别位于第一、三象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐减小 图像的两支分别位于第二、四象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 补充笔记 【反比例函数图象的对称性】 1、反比例函数图象本身既是轴对称图形又是中心对称图形.对称轴分别是:①二、四象限的角平分线y=-x;②一、三象限的角平分线 y=x;对称中心是:坐标原点. 2、若经过原点的直线与反比例函数交于两点，则这两点关于原点对称; 3、反比例函数与(k≠0)的图象关于x轴，y轴对称. 知识点四 比例系数k的几何意义 1.与两坐标轴围成的矩形的面积 如图，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线PM，PN，分别交轴、轴于点M，N，所得矩形PMON的面积 因为，所以所以，即过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为__________. 2.与坐标轴围成的三角形的面积 如图，过双曲线上任意一点E作EF垂直于轴，交轴于点F，联结EO，则＝，即过双曲线上任意一点坐标轴的垂线，则以这一点、原点和垂足为顶点的三角形的面积为__________. 知识点五 反比例函数解析式的确定 1.方法 __________法. 2.确定反比例函数解析式的一般步骤 （1）设:设反比例函数解析式为. （2）代:将已知条件代入函数解析式，建立关于的方程. （3）解:解关于的方程得到的值. （4）写:写出反比例函数解析式. 知识点六 利用反比例函数解决实际问题的步骤 （1）审:审清题意,找出题目中的常量、变量,并理清常量与变量之间的关系。 （2）设:根据常量与变量之间的关系,设出函数解析式,待定的系数用字母表示。 （3）列:由题目的已知条件列出方程,求出待定系数。 （4）写:写出函数解析式,并注意解析式中变量的取值范围。 （5）解:用函数的图象和性质解决实际问题。 考点剖析 【考点1 反比例函数的定义】 1．（2023秋•金山区期末）下列四个函数中，是反比例函数的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•青浦区校级期中）下列函数表达式中，表示反比例函数的是　　 A． B． C． D． 【考点2 反比例函数的图象】 3．（2023秋•静安区校级期末）如果，那么函数与在同一坐标系中的图象是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•虹口区校级期末）设，那么函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象是　　 A． B． C． D． 【考点3 反比例函数的性质】 5．（2024秋•长宁区校级期中）下列函数中，随的增大而增大的是　　 A． B． C． D． 6．（2024秋•杨浦区期中）下列说法中，正确的是　　 A．长方形的面积为时，它的长与宽成正比例 B．若，则 C．若反比例函数，则随增大而减小 D．若与成反比例，与成反比例，则与也成反比例 7．（2024秋•杨浦区期中）正比例函数中，如果随增大而增大，那么它和反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•浦东新区校级期末）下列函数中，函数值随的增大而增大的是　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•崇明区期末）已知函数中，随的增大而减小，那么反比例函数图象在　　 A．第二、四象限内 B．第一、二象限内 C．第三、四象限内 D．第一、三象限内 10．（2024秋•浦东新区校级期中）若图象的一支位于第三象限，则的取值范围是　 　． 【考点4 反比例函数系数k的几何意义】 11．（2024秋•浦东新区校级期中）若函数与函数的图象相交于，两点，垂直轴于，则的面积为　　 A．1 B．2 C． D． 12．（2023秋•杨浦区期末）如图，点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴，垂足为，设的面积是，那么与之间的数量关系是　　 A． B． C． D．不能确定 【考点5 反比例函数图象上点的坐标特征】 13．（2024秋•崇明区期中）在函数的图象上有三点，，，，，，已知，则下列各式中，正确的是　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•松江区期末）若点、、都在反比例函数的图象上，则有　　 A． B． C． D． 15．（2023秋•浦东新区校级期末）已知三点，，，，都在反比例函数的图象上，若，则下列式子正确的是　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•闵行区期末）已知反比例函数的图象上有两点，，，，如果，那么与的大小关系是　　 A． B． C． D．不能确定 17．（2024秋•闵行区校级期中）已知三点、和在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 　 　．（用“”连接）． 18．（2023秋•虹口区校级期末）已知，，，是反比例函数图象上的两点．若，则　 　（填“”、“ ”或“” ． 【考点6 待定系数法求反比例函数解析式】 19．（2022秋•徐汇区校级期末）反比例函数在第二象限内的图象上有一点，过作轴于点，联结，已知的面积为4．则反比例函数的解析式为 　 　． 20．（2024秋•杨浦区期中）已知在反比例函数第一象限图象上，过点作轴，垂足为点，将射线绕点顺时针旋转，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点． （1）如图1，若，求反比例函数解析式及△面积． （2）点为线段中点，射线交轴于点，连接，当△面积为6时，求的值． （3）在（2）的条件下，若，求点坐标． 21．（2024秋•奉贤区期中）已知，与成正比例，与成反比例．并且当时，；当，求与之间的函数关系式． 22．（2023秋•浦东新区校级期末）已知，与成正比例，与成反比例．当时，；当时，．求关于的函数表达式． 23．（2023秋•虹口区校级期末）已知与成反比例，与成正比例．又当时，；当时，．试说明是的函数吗？当时，的值是多少？ 【考点7 反比例函数与一次函数的交点问题】 24．（2023秋•青浦区期中）已知反比例函数的图象与函数的图象没有交点．若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 25．（2024秋•静安区校级期中）正比例函数与反比例函数的图象相交于点、，若点的坐标为，则点坐标为 　 　． 26．（2024秋•长宁区校级期中）我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点． 在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于第一象限内的点，点在射线上，分别过点作轴、轴的垂线，交双曲线于点、，将线段、和函数的图象在、之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域．如果区域内恰有5个整点，那么点的横坐标的取值范围是 　 　． 27．（2024秋•浦东新区校级期中）已知直线与双曲线交于点，则当时他们的纵坐标的大小关系为 　 　． 28．（2024秋•杨浦区期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，过点作轴，垂足为点，若在反比例函数图象上有一点，使△的面积为10，则点的坐标是 　 　． 29．（2024秋•奉贤区期中）如果直线的图象与的图象有公共点，那么的取值范围是 　 　． 【考点8 反比例函数的应用】 30．（2024秋•崇明区期中）已知矩形的面积为5，它的长与宽之间的关系用图象大致可表示为　　 A． B． C． D． 31．（2023秋•静安区校级期末）某科研团队在大棚中栽培新品种的蘑菇，发现其在的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚载培．某一天恒温系统从开启升温到保持恒温，及关闭降温的过程中，大棚内温度随时间（时变化的函数图象如图，其中段和段分别是正比例函数和反比例函数图象的一部分． （1）分别求出段和段所对应的与的函数关系式； （2）若该蘑菇适宜生长的温度不低于，则一天中该种蘑菇适宜生长的时间有多少个小时？ 32．（2023秋•宝山区期末）越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为小时，平均速度为千米小时（骑行速度不超过40千米小时）．根据以往的骑行经验，、的一些对应值如下表： （千米小时） 15 20 25 30 （小时） 2 1.5 1.2 1 （1）根据表中的数据，求出平均速度（千米小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式； （2）如果这位骑行爱好者上午从家出发，能否在上午之前到达上海蟠龙天地？请说明理由； （3）若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间满足，求平均速度的取值范围． 33．（2023秋•青浦区校级期中）反比例函数广泛应用于科学课中．比如在电学的某一电路中，电压不变时，电流（单位：安培）与电阻（单位；欧姆）成反比例关系．当电阻欧姆时，电流安培． （1）求出函数解析式． （2）当0.5安培时，求出的值． （3）如果电路中用电器的电流不得超过10安培，那么直接写出用电器的电阻控制在什么范围内？ 34．（2023秋•浦东新区校级期末）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）求这天的温度与时间的函数关系式； （2）求恒温系统设定的恒定温度； （3）若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 【考点9 反比例函数综合题】 35．（2024秋•宝山区校级期中）如图，已知直线与双曲线交第一象限于点． （1）求点的坐标和反比例函数的解析式； （2）将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式； （3）在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图象于点，交轴于点，且，求点的坐标． 36．（2024秋•长宁区校级期中）用函数观点看不等式，如何解不等式？ 分析：我们可以把不等号的左边看作正比例函数，右边看作反比例函数，那么这个不等式的解集就是直线在直线下方的所有点的横坐标的取值范围． 解：当时，解得，，可知函数与函数的公共点的坐标为和． 如图，直线在直线下方的所有点，就是直线在点的下方和直线在点和点之间的部分，横坐标的取值范围是或，所以不等式的解集为或． （1）模仿上述方法，解不等式：； （2）填空：如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是 　 　． 37．（2024秋•长宁区校级期中）在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限内的图象上． （1）已知点也在反比例函数第一象限内的图象上，且点在点的下方，延长与轴交于点． ①如图1，如果，，且平分，求△的面积； ②如图2，如果点是线段的中点，直线的表达式为，直线的表达式为，求的值； （2）已知点在射线上（点不与点重合），过点作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，联结，请问是否存在点，使得？如果存在，求点的坐标（用表示）；如果不存在，请说明理由． 38．（2024秋•杨浦区期中）（1）用“”，“ ”，“ ”填空： 　 　， 　　， 　　； （2）由（1）中各式猜想：对于任意正实数、， 　　（填“”、“ ”，“ ”或“” ； （3）问题解决：如图，已知点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，过点作轴于点，过点作轴于点．那么矩形的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并写出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 39．（2024秋•杨浦区期中）已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图象于点、，点是直线上的一点． （1）请用含的代数式表示、、三点坐标． （2）在点的运动过程中，联结，三角形的面积是否变化，若不变，请求出三角形的面积，若改变，请说明理由． （3）在点运动过程中，是否存在以为直角边的三角形和三角形全等，如果存在，请求出关于的方程（不必求解）． 过关检测 1．（2024秋•浦东新区校级期中）若是反比例函数，则的值为 　 　． 2．（2023秋•浦东新区校级期末）设，那么函数和函数在同一坐标系中的大致图象可能是　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•松江区期中）如果反比例函数的图象经过第一、三象限，那么的取值范围是 　 　． 4．（2022秋•长宁区校级期中）反比例函数（其中的图象在第　 　象限． 5．（2023秋•长宁区校级期末）已知反比例函数的图象在每个象限内，随的值增大而减小，那么常数的取值范围是 　 　． 6．（2022秋•黄浦区月考）如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点，若，则的值是　 　． 7．（2024秋•长宁区校级期中）如果点、分别在反比例函数、的第二象限的图象上，在的下方，那么　 　（填“”或“” ． 8．（2024秋•上海期中）若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为 　 　． 9．（2024秋•杨浦区期中）若反比例函数图象上有、、三点，则，，从小到大排列 　 　． 10．（2023秋•青浦区校级期中）已知：，并且与成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求与之间的函数解析式． 11．（2023秋•静安区校级期中）如图，已知正方形的面积为9，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，点在函数图象上，点是函数图象上异于点的任意一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、．设矩形和正方形不重合部分的面积为． （1）点的坐标是 　 　，　　； （2）当，求点的坐标； （3）求出关于的函数关系式． 12．（2023秋•虹口区校级期末）正比例函数和反比例函数的图象都经过，则正比例函数的解析式为 　 　． 13．（2023秋•虹口区校级期末）函数与图象没有交点，则的取值范围是 　 　． 14．（2024秋•闵行区校级期中）如图，已知直线与双曲线交于，两点，且点的横坐标为4． （1）求的值； （2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求△的面积； （3）过原点的另一条直线交双曲线于，两点点在第三象限），若由点，，为顶点组成的三角形面积为12，求点的坐标． 15．（2022秋•徐汇区校级期末）据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者按规定剂量服用这种抗生素，已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量（微克）与服用的时间成正比例药物浓度达到最高后，血液中的含药量（微克）与服用的时间成反比例，根据图中所提供的信息，回答下列问题： （1）抗生素服用　 　小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有　　微克； （2）根据图象求出药物浓度达到最高值之后，与之间的函数解析式及定义域； （3）求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量． 16．（2022秋•宝山区期末）办公区域的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，水温到时停止加热．此后水温开始下降．水温与开机通电时间成反比例关系．若水温在时接通电源．一段时间内，水温与通电时间之间的函数关系如图所示． （1）水温从加热到，需要 　 　； （2）求水温下降过程中，与的函数关系式，并写出定义域； （3）如果上午8点接通电源，那么之前，不低于的时间有多少？ 17．（2023秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）点在轴上，且，反比例函数图象上有一点，且，求点坐标． 18．（2023秋•长宁区校级期末）如图，直线与双曲线交于点，且点的横坐标是4．双曲线上有一动点，．过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为． （1）求的值； （2）若，求点坐标； （3）联结、，当与的重合部分的面积值为1时，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$