复习专题07 线段的垂直平分线与角的平分线（7重点+8考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪教版）

专题07 线段的垂直平分线与角的平分线 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点一 线段垂直平分线的性质定理 1.线段垂直平分线的定义 经过线段的__________，并且__________于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线 2.性质定理 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段__________的__________相等 3.符号语言 4.应用 证明线段相等 注意： (1) 联结线段垂直平分线上的点和线段两个端点,构造等腰三角形是常用的解题方法 (2) 由于线段垂直平分线上的点可能在线段上也可能在线段外,故证明定理时必须对点 P的位置分情况讨论 知识点二 线段垂直平分线的性质定理的逆定理 1.逆定理 和一条线段__________距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 2.符号语言 3.应用 确定点在线段的垂直平分线上 注意： (1)组成线段的垂直平分线的所有点和线段两端点的距离都相等;(2)和线段两端点距离相等的所有点组成该线段的垂直平分线 知识点三 三角形三边垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形__________的距离相等 注意： ①锐角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形内部;②直角三角形三边的垂直平分线的交点恰好是斜边的中点;③钝角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形外部. 知识点四 作已知角的平分线 1.用尺规作已知角的平分线 已知:∠AOB.求:∠AOB的平分线. 作法:如图所示 (1)以点 0为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB 于点N (2)分别以点 M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧∠AOB的内部相交于点 C (3)画射线OC,射线OC即为所求. 2.作图依据 构造，根据全等三角形的对应角相等,找到角的平分线. 注意： (1)画“射线 OC”不能叙述为“连接 OC”因为角的平分线是一条射线，而不是线段 (2)两弧的交点应在角的内部找,因为要作的是角的平分线 知识点五 角的平分线的性质 1. 角的平分线的性质 角的平分线上的点到__________ 2. 书写格式 易错易混提示: (1)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,不需要再通过证全等三角形得到相等线段; (2)已知角的平分线及其上一点到角一边的垂线段,常添加辅助线由角平分线上的已知点向另一边作垂线段，即构造“角的平分线性质”的基本图形,得到相等的两条垂线段. 知识点六 角平分线性质定理的逆定理 1.逆定理 在一个角的__________且到角的__________相等的点，在这个角的平分线上 2.书写格式 如图所示, 知识点七 三角形角平分线的性质 三角形三条内__________相交于__________，这点到三角形__________的距离相等 考点剖析 【考点1 写出命题的逆命题】 1．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．在一个三角形中，等边对等角 C．全等三角形三条对应边相等 D．对顶角相等 2．（23-24八年级上·上海金山·期末）下列命题的逆命题是真命题的命题有（ ） ①全等三角形的对应角相等；②对顶角相等；③等角对等边；④两直线平行，同位角相等；⑤全等三角形面积相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级上·上海普陀·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．如果，那么； B．如果，那么； C．对顶角相等； D．同位角相等，两直线平行． 【考点2 互逆定理】 4．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）下列定理中，没有逆定理的是（    ）． A．两直线平行，同旁内角互补 B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 C．等腰三角形两个底角相等 D．同角的余角相等 5．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）定理“全等三角形的对应角相等” （填“有”或“没有”）逆定理． 【考点3 线段垂直平分线的性质】 6．（24-25八年级上·上海·期中）下列说法中正确的是（    ） A．“对顶角相等”没有逆命题； B．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等； C．以为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是线段的垂直平分线； D．有两组边分别相等的两个直角三角形全等． 7．（24-25八年级上·上海·期中）已知：如图，在梯形中，，M是AB的中点，，，，长为 ． 8．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）如图，在中，分别作、的垂直平分线，交于点D、E，垂足为F、G，若，则 度． 9．（22-23八年级上·上海·期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交边于点E、F，如果，那么 ． 10．（23-24八年级上·上海松江·期末）如图，等腰的周长为13，底边，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为 ． 11．（23-24八年级上·上海宝山·期末）等腰中，，垂直平分，交所在的直线于点E，若与直线所夹的锐角是，则等腰三角形的顶角度数是 ． 12．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图，△ACE中，，交EA的延长线于点D，若，，，则的长为 ． 【考点4 线段垂直平分线的判定】 13．(23-24八年级上·上海宝山·期末)下列命题中，逆命题是假命题的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．关于某个点成中心对称的两个三角形全等 D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 14．(23-24八年级上·上海松江·期末)下列命题为真命题的是（    ） A．由三角形一个内角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线是三角形的角平分线 B．和线段两个端点的距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 C．三角形的外角等于两个内角之和 D．面积相等的两个三角形全等 15．(23-24八年级上·上海宝山·期末)如图，在中，是钝角，以点C为圆心、的长为半径画弧，再以点A为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点D，连接，延长交于点E．下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 16．(23-24八年级上·上海宝山·期末)以为底边的等腰三角形，它的两腰上的中线交点的轨迹是 ． 17．(23-24八年级上·上海奉贤·期末)经过定点的圆的圆心的轨迹是 ． 18．（22-23八年级上·上海静安·期中）到线段两端距离相等的点的轨迹是 ． 【考点5 角平分线性质定理及证明】 19．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=84°，三条角平分线交于点O，D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，则∠BCA的度数为 ． 20．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC与∠ACD互补，CD=8，则BC的长为 ． 【考点6 角平分线的性质定理】 21．（24-25八年级上·上海·期中）如图，是的平分线，点、分别在、上，点为直线上的一个动点，如果，的面积为9，那么线段的长不可能是（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5.5 22．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图，在中，，角平分线BD，CE交于点O，于点F．下列结论：①BE；②；③；④；其中正确结论是（  ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①③ 平分，， 23．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）如图，已知中，，是的平分线，是边上的高，与交于点F，过点D作交边于点G，联结交于点H，则下列结论中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 24．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是（   ） A．6 B．5 C．7 D．8 25．（23-24八年级上·上海静安·期中）如图，的平分线与外角的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点，，则 ． 26．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，四边形中，，，，，那么的面积是 ． 27．（22-23八年级上·上海静安·期中）如图，已知平分，垂直平分，，垂足分别为点G，F.求证：    (1)； (2). 【考点7 角平分线的判定定理】 28．（23-24八年级上·上海青浦·期中）下列说法正确的是（        ） A．任何定理都有逆定理 B．真命题的逆命题一定是真命题 C．任何命题都有逆命题 D．“到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上”是真命题 29．（22-23八年级上·上海·期中）①到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上； ②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等； ③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等； ④线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形ABCD中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 31．（21-22八年级上·上海·期末）如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为 .（用含的式子表示） 【考点8 作角平分线(尺规作图)】 32．（22-23八年级上·上海长宁·期中）如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于、两点，连接； ②分别以点、为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接、； ③连接交于点． 下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．． 33．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，已知，求作点I，使点I到三边的距离相等． 34．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知及线段，求一点P使点P到、的距离相等，且．（不写画法，要有结论） 过关检测 1．（23-24八年级上·上海·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形是等边三角形 B．如果两个三角形关于某个点成中心对称，那么这两个三角形全等 C．如果一个三角形的两个锐角的和为，那么这个三角形是直角三角形 D．如果两个三角形能够互相重合，那么这两个三角形是全等三角形 2．（24-25八年级上·上海闵行·期中)已知等腰中，，的垂直平分线分别交底边于点和点，若，那么 度． 3．(24-25八年级上·上海徐汇·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图像上的两点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 4．(24-25八年级上·上海闵行·期中)如图，在中，平分，，交延长线于F．求证：． 5．（23-24八年级上·上海崇明·期末）经过已知线段的两个端点的圆的圆心轨迹是 ． 6．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点．若，则 ．    7．（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知，如图，点是上的一点，． (1)求证：； (2)连接并延长交于，求证：． 8．（23-24八年级上·上海静安·期中）如图，在中，是的平分线． (1)在线段上任意取一点，过点作，交于点，交于点，通过这样的作图能得到结论，那么依据是_________． (2)如果，平分交于点，且、相交于点，求证：． (3)如果，在边上截取一点，连接，使，连接．请直接写出的度数． 9．（22-23八年级上·上海普陀·期中）如图，在中，是的平分线． (1)在线段上任意取一点，过点作，交于点，交于点，通过这样的作图能得到结论，那么依据是_________． (2)如果，平分交于点，且、相交于点，求证：． (3)如果，在边上截取一点，连接，使，连接．请直接写出的度数． 10．（22-23八年级上·上海闵行·期中）已知：如图，在中，，的平分线交于点E，交于点F，，垂足为点D． (1)求证：； (2)过点E作交于点G，过点F作，垂足为点H． ①请判断与的数量关系，并说明理由； ②当时，设，试用含有x的式子表示的长． 11．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知的面积为平方厘米，求的长度． 12．（21-22八年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点E．则 ． 13．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）如图，已知在的边外侧作等边三角形，连接交于点    (1)求证：≌ (2)为的角平分线 14．（21-22八年级上·上海静安·期末）如图，在△ABC中，AC=6，BC=10． (1)用尺规在AB边上求作点P，使点P到∠ACB两边的距离相等； （不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论） (2)如果△ACP的面积为15，那么△BCP的面积是多少． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 线段的垂直平分线与角的平分线 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点一 线段垂直平分线的性质定理 1.线段垂直平分线的定义 经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线 2.性质定理 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 3.符号语言 4.应用 证明线段相等 注意： (1) 联结线段垂直平分线上的点和线段两个端点,构造等腰三角形是常用的解题方法 (2) 由于线段垂直平分线上的点可能在线段上也可能在线段外,故证明定理时必须对点 P的位置分情况讨论 知识点二 线段垂直平分线的性质定理的逆定理 1.逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 2.符号语言 3.应用 确定点在线段的垂直平分线上 注意： (1)组成线段的垂直平分线的所有点和线段两端点的距离都相等;(2)和线段两端点距离相等的所有点组成该线段的垂直平分线 知识点三 三角形三边垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等 注意： ①锐角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形内部;②直角三角形三边的垂直平分线的交点恰好是斜边的中点;③钝角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形外部. 知识点四 作已知角的平分线 1.用尺规作已知角的平分线 已知:∠AOB.求:∠AOB的平分线. 作法:如图所示 (1)以点 0为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB 于点N (2)分别以点 M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧∠AOB的内部相交于点 C (3)画射线OC,射线OC即为所求. 2.作图依据 构造，根据全等三角形的对应角相等,找到角的平分线. 注意： (1)画“射线 OC”不能叙述为“连接 OC”因为角的平分线是一条射线，而不是线段 (2)两弧的交点应在角的内部找,因为要作的是角的平分线 知识点五 角的平分线的性质 1. 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2. 书写格式 易错易混提示: (1)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,不需要再通过证全等三角形得到相等线段; (2)已知角的平分线及其上一点到角一边的垂线段,常添加辅助线由角平分线上的已知点向另一边作垂线段，即构造“角的平分线性质”的基本图形,得到相等的两条垂线段. 知识点六 角平分线性质定理的逆定理 1.逆定理 在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 2.书写格式 如图所示, 知识点七 三角形角平分线的性质 三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等 考点剖析 【考点1 写出命题的逆命题】 1．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．在一个三角形中，等边对等角 C．全等三角形三条对应边相等 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可． 【详解】解：A、逆命题为两直线平行，同位角相等，正确，为真命题； B、逆命题为：在一个三角形中等角对等边，正确，是真命题； C、逆命题为：三条边对应相等的三角形全等，正确，是真命题； D、逆命题为：相等的角为对顶角，错误，是假命题． 故选：D． 2．（23-24八年级上·上海金山·期末）下列命题的逆命题是真命题的命题有（ ） ①全等三角形的对应角相等；②对顶角相等；③等角对等边；④两直线平行，同位角相等；⑤全等三角形面积相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了逆命题的定义及真假性，首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【详解】①逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，假命题； ②逆命题是：相等的角是对顶角，假命题； ③逆命题是等边对等角，真命题； ④逆命题是同位角相等，两条直线平行，真命题； ⑤逆命题是面积相等两三角形全等，假命题． 故选：B． 3．（23-24八年级上·上海普陀·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．如果，那么； B．如果，那么； C．对顶角相等； D．同位角相等，两直线平行． 【答案】C 【分析】本题主要考查逆命题和真假命题，能够写出命题的逆命题是解题的关键． 【详解】解：A. 逆命题为：如果，那么，是真命题，不符合题意； B. 逆命题为：如果，那么，真命题，不符合题意； C. 逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，符合题意； D. 两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意； 故选C． 【考点2 互逆定理】 4．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）下列定理中，没有逆定理的是（    ）． A．两直线平行，同旁内角互补 B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 C．等腰三角形两个底角相等 D．同角的余角相等 【答案】D 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．再分析逆命题是否为真命题． 【详解】解：A、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故本选项不符合题意； B、逆命题是：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，故本选项不符合题意； C、逆命题是：如果三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题，故本选项不符合题意； D、逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，是假命题，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了互逆定理的知识，如果一个定理的逆命题是假命题，那这个定理就没有逆定理． 5．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）定理“全等三角形的对应角相等” （填“有”或“没有”）逆定理． 【答案】没有 【分析】本题考查了定理和逆定理之间的关系，要注意，一个命题肯定有逆命题，但一个定理不一定有逆定理，只有当一个定理的逆命题经过推理是正确的命题，这个定理的逆命题才是逆定理，据此写出命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题，再判断真假即可得到答案． 【详解】解：命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，这是一个假命题， ∴定理“全等三角形的对应角相等”没有逆定理， 故答案为：没有． 【考点3 线段垂直平分线的性质】 6．（24-25八年级上·上海·期中）下列说法中正确的是（    ） A．“对顶角相等”没有逆命题； B．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等； C．以为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是线段的垂直平分线； D．有两组边分别相等的两个直角三角形全等． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，逆命题，线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A. “对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，原说法错误； B. 有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，说法正确； C. 以为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是线段的垂直平分线（线段的中点除外），原说法错误； D. 有两组边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原说法错误； 故选B． 7．（24-25八年级上·上海·期中）已知：如图，在梯形中，，M是AB的中点，，，，长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．延长交延长线于点，证明，得，，又由，得垂直平分，得，即可求解． 【详解】解：延长交延长线于点， ∵， ∴，， 又∵点是的中点，即， ∴， ∴，， ∵，，即垂直平分， ∴， 故答案为：6． 8．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）如图，在中，分别作、的垂直平分线，交于点D、E，垂足为F、G，若，则 度． 【答案】40 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． 【详解】解：∵垂直平分、垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（22-23八年级上·上海·期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交边于点E、F，如果，那么 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质求得，，再根据线段垂直平分线的性质得到，进而求得即可求解．熟练掌握等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解答的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵边的垂直平分线分别交边于点E、F， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·上海松江·期末）如图，等腰的周长为13，底边，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查垂直平分线的性质，利用性质将线段进行等量代换是解题的关键．由垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，根据题目条件求出，再根据的周长，求出结果即可． 【详解】解：∵等腰的周长为13，底边， ∴， ∴， 是的垂直平分线， ， 的周长． 故答案为：8． 11．（23-24八年级上·上海宝山·期末）等腰中，，垂直平分，交所在的直线于点E，若与直线所夹的锐角是，则等腰三角形的顶角度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质．分情况求解是解题的关键． 由题意知，分是锐角三角形，是钝角三角形，两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分是锐角三角形，是钝角三角形，两种情况求解； 当是锐角三角形，如图1， ∵垂直平分，与直线所夹的锐角是， ∴， ∴； 当是钝角三角形，如图2， 同理，∴， ∴； 综上所述，等腰三角形的顶角度数是或， 故答案为：或． 12．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图，△ACE中，，交EA的延长线于点D，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、平行的判定与性质、等角对等边以及等边对等角的知识，延长至点，使得，连接，即有垂直平分，则有，再证明，则有，根据，有，进而有，则，即可求解，构造辅助线，证明是解答本题的关键． 【详解】解：延长至点，使得，连接，如图， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，有， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：． 【考点4 线段垂直平分线的判定】 13．(23-24八年级上·上海宝山·期末)下列命题中，逆命题是假命题的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．关于某个点成中心对称的两个三角形全等 D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】C 【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据平行线的判定、直角三角形的判定、中心对称、线段垂直平分线的判定定理判断即可． 本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【详解】A、两直线平行，内错角相等，逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意； B、直角三角形的两个锐角互余，逆命题是有两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意； C、关于某个点成中心对称的两个三角形全等，逆命题是两个全等三角形关于某个点成中心对称，是假命题，符合题意； D、线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，逆命题是到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，是真命题，不符合题意； 故选：C． 14．(23-24八年级上·上海松江·期末)下列命题为真命题的是（    ） A．由三角形一个内角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线是三角形的角平分线 B．和线段两个端点的距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 C．三角形的外角等于两个内角之和 D．面积相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查判断命题的真假，涉及三角形的角平分线定义、线段垂直平分线的判定、三角形的外角性质、全等三角形的判定，根据相关知识逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由三角形一个内角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线与对边的交点和这个顶点确定的线段是三角形的角平分线，故此选项结论错误，是假命题，不符合题意； B、和线段两个端点的距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线，故此选项结论正确，是真命题，符合题意； C、三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和，故此选项结论错误，是假命题，不符合题意； D、面积相等的两个三角形不一定全等，故此选项结论错误，是假命题，不符合题意； 故选：B． 15．(23-24八年级上·上海宝山·期末)如图，在中，是钝角，以点C为圆心、的长为半径画弧，再以点A为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点D，连接，延长交于点E．下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图、垂直平分线的判定与性质等知识点，掌握5种基本作图是解决问题的关键． 根据作图过程可得，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断垂直平分，进而即可得到答案 【详解】解：由作法得， ∴垂直平分， ∴． 故选：C． 16．(23-24八年级上·上海宝山·期末)以为底边的等腰三角形，它的两腰上的中线交点的轨迹是 ． 【答案】线段的垂直平分线（底边中点除外） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质，线段垂直平分线的逆定理．根据三角形的三条中线交于一个，和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵，分别是的中点，点是的交点， 连接并延长交于点， ∴是底边的中线，也是的垂线， ∴点在底边的垂直平分线上（底边中点除外）， 故答案为：线段的垂直平分线（底边中点除外）． 17．(23-24八年级上·上海奉贤·期末)经过定点的圆的圆心的轨迹是 ． 【答案】直线 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，由于该圆圆心到点P和到点Q的距离相等，则到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，据此可得经过定点的圆的圆心的轨迹是直线． 【详解】解：∵一个圆经过定点， ∴该圆圆心到点P和到点Q的距离相等， ∴该圆圆心在线段的垂直平分线上， ∴经过定点的圆的圆心的轨迹是直线， 故答案为：直线． 18．（22-23八年级上·上海静安·期中）到线段两端距离相等的点的轨迹是 ． 【答案】线段的中垂线 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，两点间的距离，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是关键．利用垂直平分线的判定定理可以得到答案． 【详解】解：∵到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上， ∴到线段两个端点距离相等的点的轨迹是线段的中垂线． 故答案为：线段的中垂线． 【考点5 角平分线性质定理及证明】 19．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=84°，三条角平分线交于点O，D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，则∠BCA的度数为 ． 【答案】54° 【分析】由角平分线的定义得∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝∠DCO，边角边证明△BCO≌△DCO，其性质求得∠CBO＝∠D；等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理求得∠BCA的度数为54°． 【详解】解：∵AO、BO、CO是△ABC三个内角的平分线， ∴∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝∠DCO， 在△BCO和△DCO中， ∴△BCO≌△DCO（SAS）， ∴∠CBO＝∠D， 又∵∠BAC＝84°， ∴∠CAO＝∠BAC＝×84°＝42°， 又∵AD＝AO， ∴∠D＝∠AOD， 又∵∠CAO＝∠D＋∠AOD， ∴∠D＝∠CAO＝×42°＝21°， ∴∠CBO＝21°， ∴∠CBA＝42°， 又∵∠BAC＋∠ABC＋∠BCA＝180°， ∴∠BCA＝180°−84°−42°＝54°， 故答案为：54°． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等相关知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质． 20．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC与∠ACD互补，CD=8，则BC的长为 ． 【答案】16 【分析】延长AB交CD的延长线于点E，由题意易得CD=DE，进而可证CE=CB，然后进行求解即可． 【详解】解：延长AB交CD的延长线于点E，如图所示： ∵AD平分∠BAC，CD⊥AD， ∴∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC=90°， ∵AD=AD， ∴△ADE≌△ADC， ∴∠E=∠ACD，ED=DC， 又∵∠ABC+∠ACD=180°，∠ABC+∠EBC=180°， ∴∠E=∠ACD=∠EBC， ∴BC=EC=2DC， ∵DC=8， ∴BC=EC=16； 故答案为16． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 【考点6 角平分线的性质定理】 21．（24-25八年级上·上海·期中）如图，是的平分线，点、分别在、上，点为直线上的一个动点，如果，的面积为9，那么线段的长不可能是（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5.5 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质与三角形的面积计算公式．作出辅助线是正确解答本题的关键． 根据三角形的面积得出的长，进而利用角平分线的性质解答即可． 【详解】解：过点D作于E，于F，    ∵，的面积为9， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴线段的长不可能是2， 故选：A． 22．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图，在中，，角平分线BD，CE交于点O，于点F．下列结论：①BE；②；③；④；其中正确结论是（  ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①③ 【答案】A 【分析】如图1过作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式得到，故①正确；根据角平分线的定义得到，，求得，于是得到，故②错误；在上截取，连接，根据全等三角形的性质得到，，，于是得到，故③正确；根据全等三角形的性质得到，，于是得到，故④正确． 【详解】解：如图1过作于， 平分，， ， ，故①正确； ， ， 、分别平分、，且、相交于点， ，， ， ， ， ， ， ，故②错误； 在上截取，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故③正确； ，， ，， ， ， 故④正确， 故选：A． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理及其推论等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造全等三角形，再利用全等三角形的判定与性质解决问题． 23．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）如图，已知中，，是的平分线，是边上的高，与交于点F，过点D作交边于点G，联结交于点H，则下列结论中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，根据角平分线的性质可判断，根据全等三角形的性质可判断，，进而可得出答案． 【解答】解：是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵，是的平分线， ∴，故A结论正确； ， ， ， ∴垂直平分， ， ， ， ， ，故C结论正确； ，故B结论正确； ∴D结论不一定正确． 故选：D． 24．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是（   ） A．6 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】先利用角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】是中的角平分线，于点，于点，， ∴， ，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 25．（23-24八年级上·上海静安·期中）如图，的平分线与外角的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点，，则 ． 【答案】2 【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义证明得到，证明 得到，然后计算即可； 本题考查了角平分线的定义：角的平分线把角分成相等的两部分；也考查了平行线的性质和等腰三角形的判定与性质． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 26．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，四边形中，，，，，那么的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到．过作于，由角平分线的性质得到，而，即可求出的面积． 【详解】解：过作于， ，， ， ， 的面积． 故答案为：24． 27．（22-23八年级上·上海静安·期中）如图，已知平分，垂直平分，，垂足分别为点G，F.求证：    (1)； (2). 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用角平分线的性质可得，利用线段垂直平分线的性质可得，通过证即可求证； （2）证即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵， 由（1）得， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判断和性质．通过证全等将线段进行等量代换是解题关键． 【考点7 角平分线的判定定理】 28．（23-24八年级上·上海青浦·期中）下列说法正确的是（        ） A．任何定理都有逆定理 B．真命题的逆命题一定是真命题 C．任何命题都有逆命题 D．“到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上”是真命题 【答案】C 【分析】根据逆定理、逆命题、真命题、角平分线的判定定理，对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：不是每个定理都有逆定理，A错误，故不符合要求； 真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，B错误，故不符合要求； 任何命题都有逆命题，C正确，故符合要求； “在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上”是真命题，D错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了逆定理、逆命题、真命题、角平分线的判定定理等知识．熟练掌握各知识是解题的关键． 29．（22-23八年级上·上海·期中）①到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上； ②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等； ③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等； ④线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角平分线的判定定理，垂直平分线的性质定理，全等三角形的判断定理逐项判断即可． 【详解】解：①角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，故该项错误； ②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等，故该说法正确； ③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，故该项错误； ④线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等，故该项正确． 故选：B． 【点睛】此题主要考查角平分线的判定定理，垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定定理，正确理解判定定理是解题关键． 30．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形ABCD中，，，垂足为点E．如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形性质，角平分线判定及性质，三角形内角和定理．根据题意过点作，再利用已知条件得到平分，再利用等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：过点作， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 31．（21-22八年级上·上海·期末）如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为 .（用含的式子表示） 【答案】 【分析】如图，过点E作三边的垂线，垂足分别为D，F，G，先根据角平分线的性质证得EF=DE，然后根据角平分线的判定证得，再根据三角形外角的性质和角平分线的性质求得∠EBA=，∠BAE=，最后根据三角形内角和求解． 【详解】解：过点E作于点D，于点F，于点G， ∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABC的外角， ∴， ∴AE也是∠BAC外角的平分线， ∴∠EBA=，∠BAE=， ∴∠EBA+∠BAE==， ∴∠AEB==． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质和判定，正确理解三角形的有关性质是解本题的关键． 【考点8 作角平分线(尺规作图)】 32．（22-23八年级上·上海长宁·期中）如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于、两点，连接； ②分别以点、为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接、； ③连接交于点． 下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．． 【答案】D 【分析】利用基本作图可知，为的平分线，又，可得出，从而可得出；由，得出垂直平分，根据等腰三角形的性质可得出；根据已知条件不能判断． 【详解】解：由作图步骤可得：是的角平分线，则， 又 ∴， ∴，，故A正确； ∵， ∴垂直平分，则，， 故B，C选项正确， 没有条件能得出， 故选：D． 【点睛】本题考查了基本作图-作已知角的角平分线，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图的步骤是解题的关键． 33．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，已知，求作点I，使点I到三边的距离相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线作图，以及角平分线性质，根据角平分线上的点到两边的距离相等，作出与的角平分线，角平分线交点，即为所求点I． 【详解】解：所作点I如下图所示： 34．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知及线段，求一点P使点P到、的距离相等，且．（不写画法，要有结论） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和尺规作图，线段垂直平分线的性质和尺规作图，点到、的距离相等，则点在的角平分线上，，则点在线段的垂直平分线上，据此作出的角平分线和线段的垂直平分线，二者的交点即为点． 【详解】解：如图所示，点P即为所求． 过关检测 1．（23-24八年级上·上海·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形是等边三角形 B．如果两个三角形关于某个点成中心对称，那么这两个三角形全等 C．如果一个三角形的两个锐角的和为，那么这个三角形是直角三角形 D．如果两个三角形能够互相重合，那么这两个三角形是全等三角形 【答案】B 【分析】本题考查了互逆命题及真假命题的判断，熟练掌握直角三角形，等边三角形及全等三角形等知识是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，即可求解． 【详解】A、逆命题：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形是轴对称图形，正确，为真命题； B、逆命题：如果两个三角形全等，那么这两个三角形关于某个点成中心对称，错误，为假命题； C、逆命题：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形的两个锐角的和为，正确，为真命题； D、逆命题：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形能够互相重合，正确，为真命题． 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海闵行·期中)已知等腰中，，的垂直平分线分别交底边于点和点，若，那么 度． 【答案】50或40 【分析】本题考查了等边对等角，线段的垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，解题关键是正确画出图形，分类讨论求解，本题根据点E在点D左边或右边两种情况，根据三角形内角和为，得到或，再利用等边对等角即可求解． 【详解】解：如图1，点E在点D左边时， ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵等腰中，， ∴， 如图2中，点E在点D右边时， ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵等腰中，， ∴， 故答案为：50或40． 3．(24-25八年级上·上海徐汇·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知、是反比例函数的图像上的两点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，线段垂直平分线的性质，熟练掌握待定系数法以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求得即可； （2）由反比例函数的解析式求得点的坐标，设点的坐标为，根据垂直平分线的性质得出，即可得出，解方程即可． 【详解】（1）解：是反比例函数的图像上的点， ， 反比例函数的解析式为； （2）把代入得，， ， 设点的坐标为， 线段的垂直平分线交轴于点， ， ， 解得， 点的坐标为． 4．(24-25八年级上·上海闵行·期中)如图，在中，平分，，交延长线于F．求证：． 【答案】见解析 【分析】由平分，，可得，证明，则，垂直平分，则，，由，可得． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，等边对等角，三角形外角的性质．熟练掌握角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，等边对等角，三角形外角的性质是解题的关键． 5．（23-24八年级上·上海崇明·期末）经过已知线段的两个端点的圆的圆心轨迹是 ． 【答案】线段的垂直平分线 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理；由题意知，圆心到线段的两个端点的距离相等，由线段垂直平分线的判定定理即可求解． 【详解】解：由题意知，圆心到线段的两个端点的距离相等， 表明圆心在线段的垂直平分线上； 故答案为：线段的垂直平分线． 6．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点．若，则 ．    【答案】2 【分析】根据可知，再根据是的中点可求出，利用可得， 可得，，结合已知可得是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质判断出即可证得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握线段的垂直平分线的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键． 7．（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知，如图，点是上的一点，． (1)求证：； (2)连接并延长交于，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，熟记判定方法是解本题的关键； （1）先证明，可得，再结合已知条件可得结论； （2）先证明，可得，结合，从而可得结论. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）连接并延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴； 8．（23-24八年级上·上海静安·期中）如图，在中，是的平分线． (1)在线段上任意取一点，过点作，交于点，交于点，通过这样的作图能得到结论，那么依据是_________． (2)如果，平分交于点，且、相交于点，求证：． (3)如果，在边上截取一点，连接，使，连接．请直接写出的度数． 【答案】(1)三线合一 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意可得，得出，根据等腰三角形的性质即可求解； （2）过点作，垂足分别为，连接，证明，即可得证； （3）设，，根据三角形的外角的性质得出， ，延长至，过点分别作的垂线，垂直分别为，证明平分，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴（三线合一）， 故答案为：三线合一； （2）过点作，垂足分别为，连接 ∵平分，是的平分线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （3） ∵是的平分线， ∴， 设， ∵， ∵， ∴， ∴ ， 如图，延长至，过点分别作的垂线，垂直分别为， ∵， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴是的角平分线， 又， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 9．（22-23八年级上·上海普陀·期中）如图，在中，是的平分线． (1)在线段上任意取一点，过点作，交于点，交于点，通过这样的作图能得到结论，那么依据是_________． (2)如果，平分交于点，且、相交于点，求证：． (3)如果，在边上截取一点，连接，使，连接．请直接写出的度数． 【答案】(1)三线合一 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意可得，得出，根据等腰三角形的性质即可求解； （2）过点作，垂足分别为，连接，证明，即可得证； （3）设，，根据三角形的外角的性质得出， ，延长至，过点分别作的垂线，垂直分别为，证明平分，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴（三线合一）， 故答案为：三线合一； （2）过点作，垂足分别为，连接 ∵平分，是的平分线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （3） ∵是的平分线， ∴， 设， ∵， ∵， ∴， ∴ ， 如图，延长至，过点分别作的垂线，垂直分别为， ∵， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴是的角平分线， 又， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 10．（22-23八年级上·上海闵行·期中）已知：如图，在中，，的平分线交于点E，交于点F，，垂足为点D． (1)求证：； (2)过点E作交于点G，过点F作，垂足为点H． ①请判断与的数量关系，并说明理由； ②当时，设，试用含有x的式子表示的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②． 【分析】（1）根据，，得，从而； （2）①由角平分线的性质知，由（1）知，则，再利用证明，得，即可证明； ②由等腰三角形的性质可得，可证，可得结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵平分，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，得到是解题的关键． 11．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知的面积为平方厘米，求的长度． 【答案】厘米 【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形面积的求法． 由角平分线的性质可得，，又，据此求解． 【详解】解：平分，于，于， ， ，厘米，厘米， ， 解得 即的长度为3厘米． 12．（21-22八年级上·上海浦东新·期末）如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点E．则 ． 【答案】26°/26度 【分析】根据题意过点作三边的垂线段，根据角平分线的性质可得，，进而判定是的角平分线，根据角平分线的定义即可求得 【详解】解：如图，过点作三边的垂线段， 三角形的两个外角和的平分线交于点E 在的角平分线上，即是的角平分线 故答案为： 【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，证明是的角平分线是解题的关键． 13．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）如图，已知在的边外侧作等边三角形，连接交于点    (1)求证：≌ (2)为的角平分线 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等边三角形的性质、角平分线的判定定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题的关键． （1）先根据等边三角形的性质可得，，， 再根据角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）过点分别作于点，于点Q，先根据三角形全等的性质可得，，再根据三角形的面积公式可得，由此即可得证． 【详解】（1）证明：和是等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ≌ （2）证明：过点分别作与点，于点，    ≌， ， 而， ， 为的角平分线． 14．（21-22八年级上·上海静安·期末）如图，在△ABC中，AC=6，BC=10． (1)用尺规在AB边上求作点P，使点P到∠ACB两边的距离相等； （不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论） (2)如果△ACP的面积为15，那么△BCP的面积是多少． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】（1）作∠ACB的角平分线与AB的交点即为点P； （2）如图：过点P作PE⊥CA延长线于点E，PF⊥BC于点F，然后证得，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：如图：点P即为所求； （2）解：如图：过点P作PE⊥CA延长线于点E，PF⊥BC于点F ∵CP平分∠ACB， ∴PE=PF， ∴ ∵=15 ∴ ∴=25． 【点睛】本题主要考查了作角平分线、角平分线的性质定理等知识点，解题的关键是灵活运用角平分线的性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$