复习专题04 正比例函数（4重点+7考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪教版）

专题04 正比例函数 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点一 函数的概念 1.函数的定义 （1）设在一个变化过程中有两个__________x与y，对于x的每一个确定的值，y都有__________的值与其对应，那么就说y是x的__________，x是__________． （2）对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 2.函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取__________．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使__________．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使__________． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 3.函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应__________的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 4.函数的图象 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 知识点二 正比例函数的概念 1.正比例函数的定义： 一般地，形如__________的函数叫做正比例函数，其中k叫做__________． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 知识点三 正比例函数的图象和概念 1.正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点__________和定点__________两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条__________． 2.正比例函数的性质 （1）单调性：正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的__________； 当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的__________． （2）对称性： ①对称点：关于原点成__________对称． ②对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 知识点四 待定系数法求正比例函数解析式 步骤：①__________有__________；②把已知条件代入，得到关于待定系数的__________；③__________，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 考点剖析 【考点1 函数的概念】 1．（2024秋•静安区校级期中）下列各图象中，不是的函数的是　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•奉贤区期中）下列所述不属于函数关系的是　　 A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．与的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 【考点2 函数自变量的取值范围】 3．（2024秋•长宁区校级期中）函数的定义域为 　 　． 4．（2024秋•浦东新区校级期中）函数的定义域为 　 　． 5．（2023秋•崇明区期末）函数的定义域是　 　． 6．（2024秋•松江区期中）函数的定义域是 　 　． 7．（2024秋•奉贤区期中）函数的定义域是 　 　． 【考点3 函数值】 8．（2024秋•静安区校级期中）已知，则　 　． 9．（2024秋•长宁区校级期中）已知，那么 　 　． 10．（2024秋•崇明区期中）已知，则 　 　． 11．（2024秋•杨浦区期中）函数的定义域是　 　． 【考点4 函数的图象】 12．（2024秋•宝山区校级期中）甲、乙俩人在同一笔直的公路上步行从地去往地，已知甲、乙俩人保持各自的速度匀速步行，且甲先出发，甲、乙俩人的距离（千米）与甲步行的时间（小时）的函数关系图象如图所示，下列说法正确的个数是　　 ①乙的速度为7千米时； ②乙到终点时甲、乙相距8千米； ③当乙追上甲时，两人距地21千米； ④、两地距离27千米． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（2023秋•闵行区校级期末）小杰与爸爸骑车从家到公园先上坡后下坡，在这段路上小杰骑车的路程（千米）与骑车的时间（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空： （1）小杰去公园时下坡路长 　 　千米； （2）小杰下坡的速度为 　　千米分钟； （3）如果小杰回家时按原路返回，且上坡与下坡的速度不变，那么从公园骑车到家用的时间是 　　分钟． 【考点5 正比例函数的定义】 14．（2024秋•浦东新区校级期中）圆面积公式中，下面叙述正确的是　　 A．，是变量，是的函数 B．，是变量，是的函数 C．是常量，与成正比例 D．是常量，与成正比例 15．（2024秋•松江区校级月考）如果是关于的正比例函数，则的值为　　 A． B．2 C．0 D．1 16．（2023秋•杨浦区期末）下面各组变量的关系中，成正比例关系的有　　 A．人的身高与年龄 B．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 C．正方形的面积与它的边长 D．圆的周长与它的半径 【考点6 正比例函数的性质】 17．（2024秋•奉贤区期中）已知，和点，是直线上的两个点，如果，那么和的大小关系正确的是　　 A． B． C． D．无法判断 18．（2024秋•浦东新区校级期中）若函数，当自变量取值增加1的时候，函数值减少2，那么的值是 　 　． 19．（2024秋•崇明区期中）已知函数是正比例函数，且随的增大而减小，则　 　． 20．（2024秋•杨浦区期中）函数是正比例函数，且图象经过第二、四象限，则　 　． 21．（2024秋•奉贤区期中）如果正比例函数的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数是 　 　． 22．（2022秋•静安区期中）正比例函数的图象经过第　 　象限． 【考点7 待定系数法求正比例函数解析式】 23．（2023秋•青浦区校级期中）正比例函数图象经过点，这个函数的解析式是 　 　． 24．（2023秋•黄浦区期中）已知是的正比例函数，且当时，；那么关于的函数解析式为 　 　． 25．（2022秋•宝山区校级期末）正比例函数经过点，则此函数的解析式为 　 　． 过关检测 1．（2022秋•青浦区校级期中）下列各图象中，不能表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•松江区期末）函数中自变量的取值范围是 　 　． 3．（2023秋•闵行区期末）函数的定义域是 　 　． 4．（2023秋•浦东新区校级期末）已知：，那么（5）　 　． 5．（2023秋•松江区期末）已知函数，那么（6）　 　． 5．（2022秋•嘉定区期中）甲、乙两同学骑自行车从地沿同一条路到地，已知乙比甲先出发，他们离出发地的距离和骑行时间之间的函数关系如图所示． （1）乙比甲先出发 　 　小时． （2）甲骑行的速度是每小时 　　千米． （3）相遇后，甲的速度 　 　乙的速度（填“大于”、“小于”或“等于” ． （4）甲比乙少用了 　　小时． 6．（2022秋•金山区校级月考）、两地相距25千米，甲于某日12时30分骑自行车从地出发前往地，乙也于同日下午骑摩托车从地出发前往地．图中的折线和线段分别反映了甲和乙所行驶的路程与该日下午的时间的函数关系．根据图象提供的信息回答下列问题： （1）甲出发后几小时乙才出发？ （2）乙行驶多少分钟后追上甲？这时两人离地还有多少千米？ （3）甲乙两人分别在下午几点到达地？ （4）甲从下午1时到2时半的速度是每小时多少千米？ （5）乙的速度是每小时多少千米？ 7．（2023秋•静安区校级期末）已知是正比例函数，则　 　． 8．（2024秋•浦东新区校级期中）阅读材料，回答问题：如果对于任意一个三角形，只要它的三边长，，（不妨设都在某个函数的定义域内，并且（a），（b），（c）也能构成一个三角形，我们就称这样的函数为“保三角函数”． （1）试证明：任意一个比例系数大于零的正比例函数都是“保三角函数”． （2）试判断：是否是“保三角函数”？如果是，请给出证明：如果不是，请举出反例． （3）试判断：是否是“保三角函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例． 9．（2023秋•静安区校级期末）函数为常数）中，的值随的增大而减小，那么的取值范围是 　 　． 10．（2023秋•黄浦区期末）在正比例函数中，当时，，那么　 　． 11．（2022秋•浦东新区校级期中）已知与成正比例，若时，，则与的函数关系式是 　 　． 12．（2023秋•黄浦区校级期中）已知与成正比例关系，当时，，求：当时的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 正比例函数 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点一 函数的概念 1.函数的定义 （1）设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． （2）对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 2.函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 3.函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 4.函数的图象 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 知识点二 正比例函数的概念 1.正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 知识点三 正比例函数的图象和概念 1.正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 2.正比例函数的性质 （1）单调性：正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （2）对称性： ①对称点：关于原点成中心对称． ②对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 知识点四 待定系数法求正比例函数解析式 步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 考点剖析 【考点1 函数的概念】 1．（2024秋•静安区校级期中）下列各图象中，不是的函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据函数的定义，每一个的值，只能有一个的值与之对应，反映在函数图象上，就是任何一条与轴垂直的竖线，与函数图象最多只有一个交点．根据这个条件逐一判断． 【解答】解：选项，根据图象，当时，有两个值与之对应，因此不是函数，符合题目要求． 选项、、，根据图象，每一个的值，都有唯一的值与之对应，因此是函数，不符合题目要求． 故选：． 【点评】本题考查函数的定义．理解函数图象的特点是解题关键． 2．（2022秋•奉贤区期中）下列所述不属于函数关系的是　　 A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．与的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 【答案】 【分析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、，矩形的长和宽成反比例，故本选项正确，不符合题意； 、中随的变化而变化是函数，故本选项正确，不符合题意； 、，速度固定时，路程和时间是正比例关系，故本选项正确，不符合题意； 、身高和体重不是函数，故本选项错误，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查函数的定义，掌握函数的定义是解题的关键． 【考点2 函数自变量的取值范围】 3．（2024秋•长宁区校级期中）函数的定义域为 　 　． 【分析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．当函数的表达式是二次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． 【解答】解：由题可得，， 解得， 函数的定义域为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了函数自变量取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． 4．（2024秋•浦东新区校级期中）函数的定义域为 　 　． 【答案】且． 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件求出的取值范围即可． 【解答】解：当时，无意义， 移项，得， 两边平方，得， 移项，得， 分解因式，得， 或， 将代入，得， 是方程的增根， ， 当时，， 又， ， 且， 函数的定义域为且． 故答案为：且． 【点评】本题考查函数自变量的取值范围，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键． 5．（2023秋•崇明区期末）函数的定义域是　 　． 【分析】让被开方数为非负数列式求值即可． 【解答】解：由题意得， 解得， 故答案为． 【点评】考查求函数自变量的取值；用到的知识点为：二次根式有意义，被开方数是非负数． 6．（2024秋•松江区期中）函数的定义域是 　 　． 【分析】根据分母不为0可得：，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键． 7．（2024秋•奉贤区期中）函数的定义域是 　 　． 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列出式子，求解即可． 【解答】解：由题意可得：， 解得， 函数的定义域为． 故答案为：． 【点评】本题考查函数自变量的取值范围．正确判断式子有意义的条件是解题关键． 【考点3 函数值】 8．（2024秋•静安区校级期中）已知，则　 　． 【答案】． 【分析】直接把代入到中，计算求出结果即可得到答案． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数值，掌握的含义是关键． 9．（2024秋•长宁区校级期中）已知，那么 　 　． 【答案】． 【分析】将代入函数表达式，化简即可． 【解答】解：由题意将代入函数表达式， 则有：． 故答案为：． 【点评】本题考查函数求值问题，只需将自变量的取值代入函数表达式． 10．（2024秋•崇明区期中）已知，则 　 　． 【答案】． 【分析】直接将对应的自变量代入函数关系式计算可得函数值． 【解答】解：， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查根据给定的函数关系式求函数值：直接将对应的自变量代入函数关系式计算可得函数值． 11．（2024秋•杨浦区期中）函数的定义域是　 　． 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，， 解得． 故答案为：． 【点评】本题用到的知识点：分式的分母不等于0，被开方数大于等于0． 【考点4 函数的图象】 12．（2024秋•宝山区校级期中）甲、乙俩人在同一笔直的公路上步行从地去往地，已知甲、乙俩人保持各自的速度匀速步行，且甲先出发，甲、乙俩人的距离（千米）与甲步行的时间（小时）的函数关系图象如图所示，下列说法正确的个数是　　 ①乙的速度为7千米时； ②乙到终点时甲、乙相距8千米； ③当乙追上甲时，两人距地21千米； ④、两地距离27千米． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】①由函数图象数据可以求出甲的速度，再由追击问题的数量关系建立方程就可以求出乙的速度；②由函数图象的数据由乙到达终点时走的路程甲走的路程就可以求出结论；③乙或甲行驶的路程就是乙追上甲时，两人距地的距离；④求出乙到达终点的路程就是，两地距离． 【解答】解：①由题意得，甲的速度为：（千米时）； 设乙的速度为千米时，由题意，得， 解得：． 即乙的速度为7千米时， 故①正确； ②乙到终点时甲、乙相距的距离为： （千米），故②正确； ③当乙追上甲时，两人距地距离为： （千米）．故③正确； ④，两地距离为： （千米），故④错误． 综上所述，正确的有：①②③． 故选：． 【点评】本题主要考查了函数图象，解题时要熟练掌握并能学会分析清楚函数图象的数据之间的关系是关键． 13．（2023秋•闵行区校级期末）小杰与爸爸骑车从家到公园先上坡后下坡，在这段路上小杰骑车的路程（千米）与骑车的时间（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空： （1）小杰去公园时下坡路长 　 　千米； （2）小杰下坡的速度为 　　千米分钟； （3）如果小杰回家时按原路返回，且上坡与下坡的速度不变，那么从公园骑车到家用的时间是 　　分钟． 【答案】（1）3； （2）0.6； （3）． 【分析】（1）根据函数图象可以得到小杰去学校时下坡路的长； （2）根据函数图象中的数据可以求得小杰下坡的速度； （3）根据函数图象中的数据可以求得上坡和下坡的速度，从而可以得到小杰回家骑车走这段路的时间． 【解答】解：（1）由图象可得， 小杰去学校时下坡路长：（千米）， 故答案为：3； （2）小杰下坡的速度为：（千米分钟）， 故答案为：0.6； （3）小杰上坡的速度为：（千米分钟）， 小杰下坡的速度为：0.6千米分钟， 则小杰回家骑车走这段路的时间是：（分钟）， 故答案为：． 【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【考点5 正比例函数的定义】 14．（2024秋•浦东新区校级期中）圆面积公式中，下面叙述正确的是　　 A．，是变量，是的函数 B．，是变量，是的函数 C．是常量，与成正比例 D．是常量，与成正比例 【答案】 【分析】根据函数的概念及正比例函数的定义对各选项逐一进行判断即可得出答案． 【解答】解：在圆面积公式中，是常量，与成正比例，是的函数， 选项，，均不正确，选项正确， 故选． 【点评】此题主要考查了函数的基本概念，正比例函数的定义，正确理解函数的概念，正比例函数的定义是解决问题的关键． 15．（2024秋•松江区校级月考）如果是关于的正比例函数，则的值为　　 A． B．2 C．0 D．1 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义，求出的值即可． 【解答】解：函数是正比例函数， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查的是正比例函数的定义，一般地形如是常数，的函数叫做正比例函数． 16．（2023秋•杨浦区期末）下面各组变量的关系中，成正比例关系的有　　 A．人的身高与年龄 B．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 C．正方形的面积与它的边长 D．圆的周长与它的半径 【答案】 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 【解答】解：、人的身高与年龄不成比例，故此选项不符合题意； 、汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度成反比例关系，故此选项不符合题意； 、正方形的面积与它的边长的平方成正比例，故此选项不符合题意； 、圆的周长与它的半径成正比例关系，故此选项符合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断． 【考点6 正比例函数的性质】 17．（2024秋•奉贤区期中）已知，和点，是直线上的两个点，如果，那么和的大小关系正确的是　　 A． B． C． D．无法判断 【答案】 【分析】先根据题意判断出函数的增减性，再由即可得出结论． 【解答】解：直线中，， 随的增大而减小， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解题的关键． 18．（2024秋•浦东新区校级期中）若函数，当自变量取值增加1的时候，函数值减少2，那么的值是 　 　． 【答案】． 【分析】由于自变量取值增加1，函数值就相应减少2，则，然后把代入可求出的值． 【解答】解：根据题意得， 而， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 19．（2024秋•崇明区期中）已知函数是正比例函数，且随的增大而减小，则　 　． 【答案】． 【分析】根据正比例函数定义可得，再根据正比例函数的性质可得，再求解． 【解答】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了正比例函数的性质和定义，熟记基础知识点是解题的关键． 20．（2024秋•杨浦区期中）函数是正比例函数，且图象经过第二、四象限，则　 　． 【答案】． 【分析】根据题意，得且，解答即可． 【解答】解：根据题意，得且， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，图象分布，熟练掌握定义和图象分布是解题的关键． 21．（2024秋•奉贤区期中）如果正比例函数的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数是 　 　． 【答案】1或2． 【分析】根据题意得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【解答】解：正比例函数的图象位于第二、四象限内， ， 解得， 满足条件的正整数是1或2． 故答案为：1或2． 【点评】本题考查的是正比例函数的图象和性质，根据题意得出关于的不等式是解题的关键． 22．（2022秋•静安区期中）正比例函数的图象经过第　 　象限． 【分析】由题目可知，该正比例函数过原点，且系数为正，故函数图象过一、三象限． 【解答】解：由题意可知函数的图象过一、三象限． 故答案为一、三． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，根据函数式判断出函数图象的位置是解题的关键． 【考点7 待定系数法求正比例函数解析式】 23．（2023秋•青浦区校级期中）正比例函数图象经过点，这个函数的解析式是 　 　． 【答案】． 【分析】设正比例函数解析式为，然后把已知点的坐标代入求出即可． 【解答】解：设正比例函数解析式为， 把代入得，解得， 所以设正比例函数解析式为． 故答案为． 【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 24．（2023秋•黄浦区期中）已知是的正比例函数，且当时，；那么关于的函数解析式为 　 　． 【答案】． 【分析】设，然后把已知的一组对应值代入求出即可． 【解答】解：设， 把，代入得， 解得， 所以与的函数关系式为． 故答案为：． 【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式：求正比例函数，则需要一组，的值． 25．（2022秋•宝山区校级期末）正比例函数经过点，则此函数的解析式为 　 　． 【分析】把点代入正比例函数的解析式，列出关于系数的方程，通过解方程即可求得的值． 【解答】解：正比例函数经过点， ， 解得． 所以该函数解析式为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式．此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题． 过关检测 1．（2022秋•青浦区校级期中）下列各图象中，不能表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据函数的概念：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【解答】解：、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以能表示是的函数，故不符合题意； 、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以能表示是的函数，故不符合题意； 、对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示是的函数，故符合题意； 、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以能表示是的函数，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 2．（2023秋•松江区期末）函数中自变量的取值范围是 　 　． 【答案】． 【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键． 3．（2023秋•闵行区期末）函数的定义域是 　 　． 【答案】且． 【分析】根据分母不等于零分式有意义和被开方数为非负数，可得答案． 【解答】解：由题意，得：且， 解得且． 故答案为：且． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不等于零分式有意义得出不等式是解题关键． 4．（2023秋•浦东新区校级期末）已知：，那么（5）　 　． 【答案】5． 【分析】令，代入式子即可求出结果． 【解答】解：（5）， 故答案为：5． 【点评】本题考查了函数值的问题，解题的关键是将数值代入来求出结果． 5．（2023秋•松江区期末）已知函数，那么（6）　 　． 【答案】． 【分析】将代入该函数解析式进行计算可得此题结果． 【解答】解：， （6）． 故答案为：． 【点评】本题考查求函数值，理解题中函数关系式是解答的关键． 5．（2022秋•嘉定区期中）甲、乙两同学骑自行车从地沿同一条路到地，已知乙比甲先出发，他们离出发地的距离和骑行时间之间的函数关系如图所示． （1）乙比甲先出发 　 　小时． （2）甲骑行的速度是每小时 　　千米． （3）相遇后，甲的速度 　 　乙的速度（填“大于”、“小于”或“等于” ． （4）甲比乙少用了 　　小时． 【答案】（1）0.5；（2）；（3）大于；（4）1． 【分析】根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得答案． 【解答】解：由题意可得： （1）乙比甲先出发0.5小时． 故答案为：0.5； （2）甲骑行的速度为：（千米小时）． 故答案为：； （3）相遇后，甲的速度大于乙的速度（填“大于”、“小于”或“等于” ． 故答案为：大于； （4）甲比乙少用了1小时． 【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象获得有效信息是解题关键． 6．（2022秋•金山区校级月考）、两地相距25千米，甲于某日12时30分骑自行车从地出发前往地，乙也于同日下午骑摩托车从地出发前往地．图中的折线和线段分别反映了甲和乙所行驶的路程与该日下午的时间的函数关系．根据图象提供的信息回答下列问题： （1）甲出发后几小时乙才出发？ （2）乙行驶多少分钟后追上甲？这时两人离地还有多少千米？ （3）甲乙两人分别在下午几点到达地？ （4）甲从下午1时到2时半的速度是每小时多少千米？ （5）乙的速度是每小时多少千米？ 【答案】（1）甲出发半小时后乙才出发； （2）千米； （3）甲在下午2时30分到达地，乙在下午2时到达地． （4）甲下午1时到2时半的速度是10千米时． （5）25千米时． 【分析】利用图象信息，一一判断即可． 【解答】解：（1）从图中信息可知，甲出发半小时后乙才出发． （2）从图中信息可知，当乙出发小时（即40分钟）后追上甲， 这时两人离地的路程是（千米）． （3）从图中信息可知，甲在下午2时30分到达地，乙在下午2时到达地． （4）（千米时） 所以，甲下午1时到2时半的速度是10千米时． （5）（千米时） 所以乙的速度是25千米时． 【点评】本题考查函数图象，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 7．（2023秋•静安区校级期末）已知是正比例函数，则　 　． 【答案】． 【分析】利用正比例函数的定义得到且，然后解不等式和方程可得到满足条件的的值． 【解答】解：根据题意得且， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了正比例函数的定义：一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． 8．（2024秋•浦东新区校级期中）阅读材料，回答问题：如果对于任意一个三角形，只要它的三边长，，（不妨设都在某个函数的定义域内，并且（a），（b），（c）也能构成一个三角形，我们就称这样的函数为“保三角函数”． （1）试证明：任意一个比例系数大于零的正比例函数都是“保三角函数”． （2）试判断：是否是“保三角函数”？如果是，请给出证明：如果不是，请举出反例． （3）试判断：是否是“保三角函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据“保三角函数”的定义判断即可； （2）根据“保三角函数”的定义判断即可； （3）根据“保三角函数”的定义判断即可． 【解答】解：（1）设， 则（a）（b），（c）， ，， ， （a）（b）（c）， 为“保三角函数”； （2）对于，设，，，，，能够成三角形， （a），（b），（c）， ， （a），（b），（c）不能构成一个三角形，故不是“保三角函数”； （3）对于，由，可得， ， 是“保三角函数”． 【点评】本题考查了正比例函数，三角形的三边关系，正确的理解“保三角函数”的定义是解题的关键． 9．（2023秋•静安区校级期末）函数为常数）中，的值随的增大而减小，那么的取值范围是 　 　． 【分析】根据正比例函数性质解答即可． 【解答】解：，时，的值随的增大而减小， ，即， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数性质是解答本题的关键． 10．（2023秋•黄浦区期末）在正比例函数中，当时，，那么　 　． 【答案】2． 【分析】直接把，代入正比例函数，求出的值即可． 【解答】解：正比例函数中，当时，， ，解得． 故答案为：．2 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 11．（2022秋•浦东新区校级期中）已知与成正比例，若时，，则与的函数关系式是 　 　． 【答案】． 【分析】设，把，代入即可得到一个关于的方程，求得的值，从而得到答案． 【解答】解：设， 时，， ， 解得， 与的函数关系式是； 故答案为：． 【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确理解正比例的定义是关键． 12．（2023秋•黄浦区校级期中）已知与成正比例关系，当时，，求：当时的值． 【分析】设，将，代入可求得的值，继而可得出函数解析式，再将代入可求出的值． 【解答】解：，将，代入得：， 解得：， 函数解析式为：， 当时，． 【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，属于基础题，注意掌握待定系数法的运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$