复习专题08 直角三角形（11重点+10考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪教版）

专题08 直角三角形 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 直角三角形 我们知道,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形(right triangle),直角三角形可以用符号“Rt△”表示,如图所示的三角形可记为Rt△ABC 知识点2 直角三角形全等的判定方法: HL 1.判定方法(斜边直角边) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或“HL” 1. 书写格式 在中， ∴ 2. 灵活选择判定方法证明两直角三角形全等 (1)判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等全部适用，至此我们可以根据SSS，SASASA，AAS和HL五种方法来判定两个直角三角形全等 (2)在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备直角相等的条件,所以只需找另外两个条件即可.证明中可根据已知条件灵活选用合适的方法 知识点3 判定两个三角形全等常用的思路方法 已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件 锐角三角形或钝角三角 形 两边(SS) SSS或SAS 第三边对应相等或两边的夹角对应相等 一边及其邻角 (SA) SAS或ASA或AAS 已知角的另一邻边对应相等或已知边的另一邻角对应相等或已知边的对角对应相等 一边及其对角(SA) AAS 另一角对应相等 两角(AA) ASA或AAS 两角的夹边对应相等或相等一角的对边对应相等 直角 三角 形 一锐角(A) ASA或AAS 直角与已知锐角的夹边对应相等或锐角(或直角)的对边对应相等 斜边(H) HL或AAS 一条直角边对应相等或一锐角对应相等 一直角边(L) HL或ASA或AAS或SAS 斜边对应相等或与已知边相邻的锐角对应相等或与已知边所对的锐角对应相等或另一直角边对应相等 知识点4 常见全等三角形的基本图形 1. 平移型全等 2. 翻折型全等 3. 旋转型全等 知识点5 直角三角形性质定理 （1） 直角三角形性质定理1 直角三角形的两个锐角互余 因为“三角形三个内角的和等于 180°”,直角三角形两个锐角的和为180-90°=90° （2） 直角三角形性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （3） 直角三角形性质定理3（含 30°角的直角三角形的性质） 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 知识点6 勾股定理 1.勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,是数学中最著名的定理之一,在图形研究和生活、生产实践中有广泛的应用. 2.符号语言 如果为直角三角形的两条直角边的长,为斜边的长，则. 3. 变式与应用 （1）变式 ， （2）应用 ，， 知识点7 勾股定理的应用 勾股定理把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数的关系.其主要应用如下： (1)已知直角三角形的任意两边求第三边; (2)已知直角三角形的任意一边和另两边的关系,求出未知的两边； (3)证明包含平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)构造方程(或方程组)计算有关线段的长度,解决生产、生活中的实际问题. 知识点8 勾股定理的证明 对于勾股定理的证明,现在世界上已找出很多种运用图形的割、移补、拼构造特殊图形,并根据面积之间的关系进行推导的方法,现摘取几种著名的证法 方法 图形 证明 赵爽“勾股圆方图”(“赵爽弦图”) 因为大正方形的边长为 ,所以大正方形的面积为，又大正方形的面积，所以 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为,则.根据“出入相补,以盈补虚”的原理,又有,所以 加菲尔德总统拼图 如图： 利用整体法，梯形的面积为，利用分割法，梯形的面积为，所以 毕达哥拉斯拼图 图1中拼成的正方形与图2中拼成的正方形面积相等，通过面积相等可以得到：，整理得． 欧几里得证法 注意： (1)勾股定理是通过等积法来验证的，同一个图形用不同的方法计算的面积相等. (2)勾股定理的验证,将“形’的问题转化为“数”的问题，体现了数形结合的思想 知识点9 勾股定理的逆定理 1.定义 如果三角形的三边长满足,那么这个三角形是直角三角形,我们称它为勾股定理的逆定理 2.运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤 (1)找:确定三角形的最长边； (2)算:分别计算出最长边的平方与另两边的平方和; (3)比:通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等； (4)判:作出结论,若相等,则说明这个三角形是直角三角形,否则不是直角三角形. 3.股定理与其逆定理的联系与区别 (1)勾股定理和勾股定理的逆定理的题设和结论互换; (2)勾股定理是直角三角形的性质，而其逆定理是直角三角形的判定 拓展 三角形的三边长分别是(其中是最长边) (1)若,则这个三角形是直角三角形; (2)若 ,则这个三角形是钝角三角形; (3)若,则这个三角形是锐角三角形. 知识点10 勾股数 1.勾股数的概念 能够成为直角三角形三条边长的三个,称为勾股数,即中,a,b,c为正整数时,称a,b,c 为一组勾股数【注意：小数（含分数）、无理数就算满足，也不能称为勾股数，因为它们不是正整数.】 2.常见的勾股数 ①3,4,5 ;②6,8,10 ;③ 8,15,17 ;④7,24,25 ;⑤ 5,12,13 ;⑥9.12,15 ;⑦9,40,41.这些勾股数同学们请背诵下来，我们熟悉了常见的勾股数之后，将有利于我们快速判断一个三角形是否为直角三角形. 3.勾股数的求法 (1)如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有 a2=b+c,那么a,b,c为一组勾股数.如3为大于1的奇数，4,5为两个连续自然数,且32=4+5,则3,4,5为一组勾股数,还有 5,12,13 ；7,24,25 ；9,40,41 ；11,60,61 …… (2)如果a,b,c为一组勾股数,则na,nb,nc也是一组勾股数,其中n(n≥1)为自然数. 例如3,4,5是一组勾股数,那么6,8,10也是一组勾股数,9,12,15 也是一组勾股数. 知识点11 两点的距离公式 1.两点的距离公式 如果直角坐标平面内有两点，,那么两点的距离. 2.特殊情况 (1)当轴时,;所以; (2)当轴时,;所以; (3)当点A或点B为原点时,因为其中一个点的坐标为(0,0),所以 考点剖析 【考点1 两点间的距离公式】 易混易错提示 (1) 平面内两点之间的距离与这两个点的坐标有关; (2) 运用直角坐标平面内两点的距离公式计算时,代入要准确，无论还是都可以，只是我们习惯性使用，亦是如此; (3) . 1．（2023秋•长宁区校级期末）在直角坐标平面内点与点的距离等于 　 　 2．（2023秋•松江区期末）如果点的坐标为，点的坐标为，那么、两点的距离等于 　 　． 3．（2023秋•虹口区校级期末）如果点的坐标为，点的坐标为，那么、两点的距离等于 　 　． 【考点2 直角三角形全等的判定】 【解题技巧总结】 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 4．（2017秋•闵行区校级期中）如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有　　 A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 5．（2023秋•普陀区校级月考）下列条件不能判定两个直角三角形全等的是　　 A．一个锐角和这个锐角的对应边相等 B．两直角边对应相等 C．一直角边和斜边对应相等 D．一个锐角和一条直角边分别相等 【考点3 直角三角形的性质】 6．（2023秋•静安区校级期末）中，是锐角，与的平分线交于点，过作交的延长线于点．当是直角三角形，且与中有一个锐角相等时，的度数是　 　． 7．（2022秋•浦东新区期中）如图，在中，，是的垂直平分线，交、于、，若，则　 　．（用含的代数式表示） 【考点4 含30度角的直角三角形】 8．（2023秋•闵行区校级期末）如图，在中，，，如果是的中点，，垂足是，那么的值等于　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于，若，则　 　． 10．（2023秋•崇明区期末）已知，在中，，，垂足为，，且，那么　 　． 11．（2023秋•虹口区校级期末）如果等腰三角形腰上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于 　 　． 12．（2023秋•青浦区校级期中）△中，，，，则　 　． 13．（2023秋•徐汇区校级期中）如图，在△中，，，于点，的垂直平分线交于点，交于点，若，则　 　． 14．（2023秋•普陀区校级月考）如图，在△中，，的平分线交于点，，，那么点到的距离等于 　 　． 【考点5 直角三角形斜边上的中线】 15．（2023秋•普陀区校级月考）如图，在△中，，如果、分别是斜边上的高和中线，那么下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在中，，、分别是的高和中线，如果，那么的度数等于 　 　． 17．（2023秋•嘉定区期末）如果直角三角形的面积是8，斜边上的高是2，那么斜边上的中线长是 　 　． 18．（2023秋•青浦区校级期中）△中，，为的中线，，则　 　． 19．（2023秋•黄浦区校级期中）如图，，是中点，，则的度数为 　 　． 20．（2023秋•杨浦区期末）若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角三角形的面积是 　 　． 21．（2023秋•宝山区校级月考）在中，若斜边的长为，则上的中线的长为 　 　． 【考点6 勾股定理】 22．（2023秋•宝山区期末）直角三角形的两条直角边分别为1和，那么它斜边上的中线长是　　 A． B． C．3 D． 23．（2024秋•徐汇区校级期中）如图，以△的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，且，，则的长为 　 　． 24．（2024秋•徐汇区校级期中）一个直角三角形两条直角边的比是，斜边长为，则此直角三角形的面积是 　 　． 【考点7 勾股定理的证明】 25．（2022秋•青浦区校级期末）美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形中，，，是边上一点，且，．如果的面积为1，且，那么的面积为　　 A．1 B．2 C．2.5 D．5 26．（2023秋•杨浦区期末）在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示，．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么 　 　． 27．（2022秋•宝山区期末）如图，直角三角形，直角顶点在直线上，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点和点． （1）求证：； （2）如果． ①求证：； ②若设的三边分别为、、，试用此图证明勾股定理． 【考点8 勾股定理的逆定理】 易混易错提醒 (1)如果用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是否为直角三角形，则其中最长边所对的角是直角，不能简单地认为边所对的角必是直角.例如:当时,则边所对的角是直角，我们一般记作：大边对大角或者大角对大边，不要简单地用字母对应边. (2)勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角形是直角三角形”,在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”较短的两边为“直角边”. 28．（2023秋•浦东新区校级期末）下列条件中，不能判定是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 29．（2023秋•嘉定区期末）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是　　 A．三边长之比为 B．三内角之比为 C．三内角之比为 D．三边长的平方之比为 30．（2023秋•静安区校级期末）用下列长度的三条线段为边能构成直角三角形是　　 A． B．4，5，6 C．17，8，15 D． 31．（2023秋•杨浦区期末）下列给出的三条线段中，不能构成直角三角形的是　　 A．4，8， B．4，8， C．7，24，25 D．7，14，15 32．（2023秋•浦东新区校级期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是　　 A．，， B．4，5，6 C．7，14，15 D．9，12，15 33．（2023秋•闵行区期末）在中，、、的对边分别是，，．下列条件中，不能说明是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 【考点9 勾股定理的应用】 【解题技巧总结】 常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 34．（2023秋•徐汇区校级月考）如图，一棵树在一次强台风中在离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成，这棵树在折断前的高度为　　 A．4米 B．6米 C．7米 D．8米 35．（2022秋•宝山区期末）机场入口处的铭牌上说明，飞机行李架是一个的长方体空间，有位旅客想购买一件画卷随身携带，现有4种长度的画卷①；②；③；④，请问这位旅客可以购买的尺寸是　　 A．①② B．①②③ C．①②③④ D．① 36．（2023秋•杨浦区期末）如图，走廊上有一梯子以的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子挪动位置，使其倾斜角变为，如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根号）． 【考点10 等腰直角三角形】 37．（2023秋•宝山区校级月考）如图，等腰直角三角形中，，是上一点，，则的度数是　　 A． B． C． D． 38．（2023秋•金山区校级月考）已知，如图，，，是上的高，是边上的中线，于点． （1）若，求线段的长； （2）求证：． 过关检测 1．（2023秋•杨浦区期末）若点在轴上，点坐标是，且，则点的坐标是 　 　． 2．（2023秋•徐汇区月考）若点的坐标为，点的坐标为，则线段的长为 　 　． 3．（2023秋•宝山区校级月考）在中，若，于，，，则　 　． 4．（2023秋•静安区校级期末）如图，已知中，，，平分，且交于点，，那么的长是 　 　． 5．（2023秋•崇明区期末）已知：如图．在中．．，．求证：． 6．（2023秋•静安区校级期末）如图，在和中，，联结与交于点，，分别是、的中点．求证：垂直平分． 7．（2023秋•青浦区校级期中）如图所示，一根长2.5米的木棍，斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角与木棍端的距离为1.5米，设木棍的中点为．此时木棍端沿墙下滑，端沿地面向右滑行． （1）木棍在滑动的过程中，线段的长度发生改变吗？说明理由；若不变，求的长； （2）如果木棍的底端向外滑出0.9米，那么木棍的顶端沿墙下滑多少距离？ 8．（2023秋•闵行区校级期末）已知：如图，在中，，点在上，点在上，，，点是的中点． （1）求证：； （2）求证：． 9．（2018秋•普陀区校级月考）若直角三角形的两边长为6和8，则第三边长为 　 　． 10．（2023秋•浦东新区校级期末）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则为 　 　，边上的高为 　　． 11．（2023秋•崇明区期末）下列条件中，不能判断是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 12．（2023秋•黄浦区期末）如图，是的中线，于点，是的中线，且，，． （1）求证：； （2）求的长． 13．（2023秋•闵行区期末）如图， 已知在中，于点，，，， （1） 求的长 ． （2） 求证：是直角三角形 ． 14．（2023秋•徐汇区月考）如图，学校的旗杆高为13米，距离旗杆20米处刚好有一棵高为3米的香樟树．小明发现在旗杆和香樟树之间的连线上有一个位置到旗杆顶部与到树顶的距离相等，请你求出该位置与旗杆底部之间的距离． 15．（2022秋•宝山区校级期末）如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．求此绿地的面积． 16．（2022秋•杨浦区校级期中）等边内接于等腰直角（直角边长为内，且平行斜边，那么的面积是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 直角三角形 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 直角三角形 我们知道,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形(right triangle),直角三角形可以用符号“Rt△”表示,如图所示的三角形可记为Rt△ABC 知识点2 直角三角形全等的判定方法: HL 1.判定方法(斜边直角边) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或“HL” 1. 书写格式 在中， ∴ 2. 灵活选择判定方法证明两直角三角形全等 (1)判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等全部适用，至此我们可以根据SSS，SASASA，AAS和HL五种方法来判定两个直角三角形全等 (2)在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备直角相等的条件,所以只需找另外两个条件即可.证明中可根据已知条件灵活选用合适的方法 知识点3 判定两个三角形全等常用的思路方法 已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件 锐角三角形或钝角三角 形 两边(SS) SSS或SAS 第三边对应相等或两边的夹角对应相等 一边及其邻角 (SA) SAS或ASA或AAS 已知角的另一邻边对应相等或已知边的另一邻角对应相等或已知边的对角对应相等 一边及其对角(SA) AAS 另一角对应相等 两角(AA) ASA或AAS 两角的夹边对应相等或相等一角的对边对应相等 直角 三角 形 一锐角(A) ASA或AAS 直角与已知锐角的夹边对应相等或锐角(或直角)的对边对应相等 斜边(H) HL或AAS 一条直角边对应相等或一锐角对应相等 一直角边(L) HL或ASA或AAS或SAS 斜边对应相等或与已知边相邻的锐角对应相等或与已知边所对的锐角对应相等或另一直角边对应相等 知识点4 常见全等三角形的基本图形 1. 平移型全等 2. 翻折型全等 3. 旋转型全等 知识点5 直角三角形性质定理 （1） 直角三角形性质定理1 直角三角形的两个锐角互余 因为“三角形三个内角的和等于 180°”,直角三角形两个锐角的和为180-90°=90° （2） 直角三角形性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （3） 直角三角形性质定理3（含 30°角的直角三角形的性质） 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 知识点6 勾股定理 1.勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,是数学中最著名的定理之一,在图形研究和生活、生产实践中有广泛的应用. 2.符号语言 如果为直角三角形的两条直角边的长,为斜边的长，则. 3. 变式与应用 （1）变式 ， （2）应用 ，， 知识点7 勾股定理的应用 勾股定理把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数的关系.其主要应用如下： (1)已知直角三角形的任意两边求第三边; (2)已知直角三角形的任意一边和另两边的关系,求出未知的两边； (3)证明包含平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)构造方程(或方程组)计算有关线段的长度,解决生产、生活中的实际问题. 知识点8 勾股定理的证明 对于勾股定理的证明,现在世界上已找出很多种运用图形的割、移补、拼构造特殊图形,并根据面积之间的关系进行推导的方法,现摘取几种著名的证法 方法 图形 证明 赵爽“勾股圆方图”(“赵爽弦图”) 因为大正方形的边长为 ,所以大正方形的面积为，又大正方形的面积，所以 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为,则.根据“出入相补,以盈补虚”的原理,又有,所以 加菲尔德总统拼图 如图： 利用整体法，梯形的面积为，利用分割法，梯形的面积为，所以 毕达哥拉斯拼图 图1中拼成的正方形与图2中拼成的正方形面积相等，通过面积相等可以得到：，整理得． 欧几里得证法 注意： (1)勾股定理是通过等积法来验证的，同一个图形用不同的方法计算的面积相等. (2)勾股定理的验证,将“形’的问题转化为“数”的问题，体现了数形结合的思想 知识点9 勾股定理的逆定理 1.定义 如果三角形的三边长满足,那么这个三角形是直角三角形,我们称它为勾股定理的逆定理 2.运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤 (1)找:确定三角形的最长边； (2)算:分别计算出最长边的平方与另两边的平方和; (3)比:通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等； (4)判:作出结论,若相等,则说明这个三角形是直角三角形,否则不是直角三角形. 3.股定理与其逆定理的联系与区别 (1)勾股定理和勾股定理的逆定理的题设和结论互换; (2)勾股定理是直角三角形的性质，而其逆定理是直角三角形的判定 拓展 三角形的三边长分别是(其中是最长边) (1)若,则这个三角形是直角三角形; (2)若 ,则这个三角形是钝角三角形; (3)若,则这个三角形是锐角三角形. 知识点10 勾股数 1.勾股数的概念 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数,即中,a,b,c为正整数时,称a,b,c 为一组勾股数【注意：小数（含分数）、无理数就算满足，也不能称为勾股数，因为它们不是正整数.】 2.常见的勾股数 ①3,4,5 ;②6,8,10 ;③ 8,15,17 ;④7,24,25 ;⑤ 5,12,13 ;⑥9.12,15 ;⑦9,40,41.这些勾股数同学们请背诵下来，我们熟悉了常见的勾股数之后，将有利于我们快速判断一个三角形是否为直角三角形. 3.勾股数的求法 (1)如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有 a2=b+c,那么a,b,c为一组勾股数.如3为大于1的奇数，4,5为两个连续自然数,且32=4+5,则3,4,5为一组勾股数,还有 5,12,13 ；7,24,25 ；9,40,41 ；11,60,61 …… (2)如果a,b,c为一组勾股数,则na,nb,nc也是一组勾股数,其中n(n≥1)为自然数. 例如3,4,5是一组勾股数,那么6,8,10也是一组勾股数,9,12,15 也是一组勾股数. 知识点11 两点的距离公式 1.两点的距离公式 如果直角坐标平面内有两点，,那么两点的距离. 2.特殊情况 (1)当轴时,;所以; (2)当轴时,;所以; (3)当点A或点B为原点时,因为其中一个点的坐标为(0,0),所以 考点剖析 【考点1 两点间的距离公式】 易混易错提示 (1) 平面内两点之间的距离与这两个点的坐标有关; (2) 运用直角坐标平面内两点的距离公式计算时,代入要准确，无论还是都可以，只是我们习惯性使用，亦是如此; (3) . 1．（2023秋•长宁区校级期末）在直角坐标平面内点与点的距离等于 　 　 【答案】． 【分析】直接利用两点间的距离公式求解． 【解答】解：、， 点和点的距离． 故答案为：． 【点评】本题考查两点间的距离公式：设有两点，，，，则这两点间的距离为． 2．（2023秋•松江区期末）如果点的坐标为，点的坐标为，那么、两点的距离等于 　 　． 【分析】根据两点间的距离公式计算即可． 【解答】解：由两点间的距离公式得，， 故答案为：5． 【点评】本题考查两点间的距离公式，两点，，，，则这两点间的距离为． 3．（2023秋•虹口区校级期末）如果点的坐标为，点的坐标为，那么、两点的距离等于 　 　． 【答案】5． 【分析】直接利用两点之间的距离公式计算． 【解答】解：，， ， 即、两点的距离等于5． 故答案为：5． 【点评】本题考查两点间的距离公式：设有两点，，，，则这两点间的距离为． 【考点2 直角三角形全等的判定】 【解题技巧总结】 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 4．（2017秋•闵行区校级期中）如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有　　 A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】 【分析】，，，，，，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证． 【解答】解：，， ， ， ， ； ， ， ， ， ； ， ， ， ； ， ； ， ， ，， ，， 故选：． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、．做题时要由易到难，不重不漏． 5．（2023秋•普陀区校级月考）下列条件不能判定两个直角三角形全等的是　　 A．一个锐角和这个锐角的对应边相等 B．两直角边对应相等 C．一直角边和斜边对应相等 D．一个锐角和一条直角边分别相等 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理，，，逐项判断即可． 【解答】解：．一个锐角和这个锐角的对应边相等，可根据得出两个直角三角形全等； ．两直角边对应相等，可根据得出两个直角三角形全等； ．一直角边和斜边对应相等，可根据得出两个直角三角形全等； ．一个锐角和一条直角边分别相等，不能说明锐角和直角边对应相等，不能满足判定三角形全等的条件或，故不能判定两个直角三角形全等； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定定理，，，解答． 【考点3 直角三角形的性质】 6．（2023秋•静安区校级期末）中，是锐角，与的平分线交于点，过作交的延长线于点．当是直角三角形，且与中有一个锐角相等时，的度数是　 　． 【答案】或． 【分析】根据题意，画出和两种三角形，利用角平分线的定义表示出相关角的数量关系．设，每个图形分两种情况讨论，根据三角形外角的性质表示出，列方程求出的值，的值即为的度数． 【解答】解：如图1所示，当时： 设，则． 和分别平分和， ，， ①当时： ， ； ②当时： ，， ， ， ． 如图2所示，当时： 设，则． 和分别平分和， ，． ①当时： ，， ， ， ； ②当时： ，， ， ， （不符合题意，舍去）． 综上，或， 故答案为：或． 【点评】本题考查直角三角形的性质，画出图形并熟练运用角平分线的定义是本题的关键． 7．（2022秋•浦东新区期中）如图，在中，，是的垂直平分线，交、于、，若，则　 　．（用含的代数式表示） 【答案】． 【分析】运用垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：线段的垂直平分线交于， ， ， 在中， ，， ，即， 是线段的垂直平分线， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 【考点4 含30度角的直角三角形】 8．（2023秋•闵行区校级期末）如图，在中，，，如果是的中点，，垂足是，那么的值等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，根据等腰三角形的性质得，，，进而可求出，然后直角三角形的性质可得，，据此即可得出的值． 【解答】解：连接，如图所示： 在中，，，点是的中点， ，，， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 9．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在中，，，边的垂直平分线交于，若，则　 　． 【答案】16． 【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用角的和差关系可得，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：16． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 10．（2023秋•崇明区期末）已知，在中，，，垂足为，，且，那么　 　． 【答案】． 【分析】根据直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：， ， ，， ，， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． 11．（2023秋•虹口区校级期末）如果等腰三角形腰上的高等于底边的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于 　 　． 【答案】． 【分析】画出图形，根据直角三角形中角所对直角边是斜边一半即可求得的大小，根据等腰三角形底角相等及三角形内角和定理即可解题． 【解答】解：如图，是边上高， ， 为直角三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了直角三角形中角所对直角边是斜边一半的性质，本题中画出图形并求得的大小是解题的关键． 12．（2023秋•青浦区校级期中）△中，，，，则　 　． 【答案】． 【分析】根据题意画出△图形，由所对直角边等于斜边的一半可知，斜边，进而勾股定理，即可求解． 【解答】解：如图所示，由题意可知，△中，，， 故， ， 又， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握含30度角的直角三角形的性质． 13．（2023秋•徐汇区校级期中）如图，在△中，，，于点，的垂直平分线交于点，交于点，若，则　 　． 【答案】． 【分析】先根据垂直平分得出，进而得出，再由即可解决问题． 【解答】解：，， ． 又垂直平分， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键． 14．（2023秋•普陀区校级月考）如图，在△中，，的平分线交于点，，，那么点到的距离等于 　 　． 【答案】． 【分析】过点作于，根据所对的直角边等于斜边的一半可得答案． 【解答】解：过点作于， ，， ， 即点到的距离等于， 故答案为：． 【点评】本题考查了含直角三角形的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【考点5 直角三角形斜边上的中线】 15．（2023秋•普陀区校级月考）如图，在△中，，如果、分别是斜边上的高和中线，那么下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由直角三角形斜边上的中线性质和直角三角形的性质得，，，再由等腰三角形的性质得，，则，即可解决问题． 【解答】解：，、分别是斜边上的高和中线， ，，， ，， ， 无法得出，，， 故选项、、不符合题意，选项符合题意， 故选：． 【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 16．（2023秋•长宁区校级期末）如图，在中，，、分别是的高和中线，如果，那么的度数等于 　 　． 【答案】． 【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出，得到，求出，由直角三角形的性质得到，因此，即可求出． 【解答】解：，是的中线， ， ， ， ， 是的高， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，直角三角形的性质，等腰三角形的性质， 17．（2023秋•嘉定区期末）如果直角三角形的面积是8，斜边上的高是2，那么斜边上的中线长是 　 　． 【答案】4． 【分析】设直角三角形的斜边长为，根据三角形的面积可得，从而可得：，然后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算，即可解答． 【解答】解：设直角三角形的斜边长为， 直角三角形的面积是8，斜边上的高是2， ， 解得：， 直角三角形的斜边长为8， 斜边上的中线长是4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 18．（2023秋•青浦区校级期中）△中，，为的中线，，则　 　． 【答案】6 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案． 【解答】解：在△中，，为的中线， ， ， ． 故答案为：6． 【点评】此题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键． 19．（2023秋•黄浦区校级期中）如图，，是中点，，则的度数为 　 　． 【答案】． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，，，从而利用三角形的外角性质和三角形内角和定理进行计算即可解答． 【解答】解：，是中点， ，， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质和三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 20．（2023秋•杨浦区期末）若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角三角形的面积是 　 　． 【分析】利用直角三角形斜边上的中线性质可求出斜边长，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答． 【解答】解：直角三角形斜边上的中线是6， 斜边长， 直角三角形斜边上的高是3， 这个直角三角形的面积， 故答案为：18． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 21．（2023秋•宝山区校级月考）在中，若斜边的长为，则上的中线的长为 　 　． 【答案】． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质进行计算，即可解答． 【解答】解：在中，斜边， 上的中线的长， 故答案为：． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 【考点6 勾股定理】 22．（2023秋•宝山区期末）直角三角形的两条直角边分别为1和，那么它斜边上的中线长是　　 A． B． C．3 D． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【解答】解：直角三角形的两条直角边分别为1和， 斜边长， 它斜边上的中线长是， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键 23．（2024秋•徐汇区校级期中）如图，以△的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，且，，则的长为 　 　． 【答案】17． 【分析】在△中，由勾股定理得，则，再求出，即，即可解决问题． 【解答】解：在△中，由勾股定理得：， ， ，， ， 即， ， 故答案为：17． 【点评】本题考查了勾股定理以及正方形的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 24．（2024秋•徐汇区校级期中）一个直角三角形两条直角边的比是，斜边长为，则此直角三角形的面积是 　 　． 【答案】120． 【分析】设两条直角边分别为、，根据勾股定理得，解得，则两条直角边分别为、，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【解答】解：设两条直角边分别为、， 根据勾股定理得：， 解得：（负值已舍去）， 两条直角边分别为、， 此直角三角形面积是， 故答案为：120． 【点评】本题考查了勾股定理以及三角形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【考点7 勾股定理的证明】 25．（2022秋•青浦区校级期末）美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形中，，，是边上一点，且，．如果的面积为1，且，那么的面积为　　 A．1 B．2 C．2.5 D．5 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得到，，推出是等腰直角三角形，求得的面积，根据完全平方公式和勾股定理即可得到结论． 【解答】解：，， ， ，， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 的面积， 的面积为1， ， ， ， ， ， 的面积， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 26．（2023秋•杨浦区期末）在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示，．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么 　 　． 【答案】． 【分析】首先求出小正方形的边长和大正方形的边长然后再求出和的长，进而可得的值． 【解答】解：小正方形的面积是25， ， ， ， 大正方形的面积为49， ， ， 设， 则， 在中：， 解得：，， 当时，， 当时，， ， ，， ， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了勾股定理和锐角三角函数，关键是掌握勾股定理的应用． 27．（2022秋•宝山区期末）如图，直角三角形，直角顶点在直线上，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点和点． （1）求证：； （2）如果． ①求证：； ②若设的三边分别为、、，试用此图证明勾股定理． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）①证明过程见解答； ②证明过程见解答． 【分析】（1）根据直角三角形的定义和垂直的定义，可以证明结论成立； （2）①根据可以证明结论成立； ②根据，代入字母计算即可证明结论成立． 【解答】证明：（1），于点， ，， ； （2）①于点，于点， ， 由（1）知：， 在和中， ， ， ； ②由图可知： ， ， 化简，得：． 【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【考点8 勾股定理的逆定理】 易混易错提醒 (1)如果用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是否为直角三角形，则其中最长边所对的角是直角，不能简单地认为边所对的角必是直角.例如:当时,则边所对的角是直角，我们一般记作：大边对大角或者大角对大边，不要简单地用字母对应边. (2)勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角形是直角三角形”,在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”较短的两边为“直角边”. 28．（2023秋•浦东新区校级期末）下列条件中，不能判定是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理可分析出、的正误；根据勾股定理逆定理可分析出、的正误． 【解答】解：、，， ， 为直角三角形，故此选项不合题意； 、， 能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、，即， ， 能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、设，，， ， 解得：， 则， 不是直角三角形，故此选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 29．（2023秋•嘉定区期末）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是　　 A．三边长之比为 B．三内角之比为 C．三内角之比为 D．三边长的平方之比为 【答案】 【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可． 【解答】解：、三边长之比为时，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故不符合题意； 、，， 最大角， 不是直角三角形，故本选项符合题意； 、，， ， 是直角三角形，故不符合题意； 、三边长的平方之比为时， 设三边的平方为，，，因为，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理，属于中考常考题型． 30．（2023秋•静安区校级期末）用下列长度的三条线段为边能构成直角三角形是　　 A． B．4，5，6 C．17，8，15 D． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【解答】解：．．，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意． ．，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； ．（8），能组成直角三角形，故本选项符合题意； （1）（3），不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 31．（2023秋•杨浦区期末）下列给出的三条线段中，不能构成直角三角形的是　　 A．4，8， B．4，8， C．7，24，25 D．7，14，15 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可． 【解答】解：、，能够成直角三角形，故本选项错误； 、，能够成直角三角形，故本选项错误； 、，能够成直角三角形，故本选项错误； 、，不能够成直角三角形，故本选项正确． 故选：． 【点评】本题考查的是如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 32．（2023秋•浦东新区校级期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是　　 A．，， B．4，5，6 C．7，14，15 D．9，12，15 【答案】 【分析】直接利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【解答】解：、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了用勾股定理逆定理判定直角三角形，解题关键是牢记判定方法：如果一个三角形的两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 33．（2023秋•闵行区期末）在中，、、的对边分别是，，．下列条件中，不能说明是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【解答】解：、，且，所以，故不是直角三角形； 、因为，即，且，所以，解得，故是直角三角形； 、因为，所以，故是直角三角形； 、因为，设，，，，故是直角三角形． 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理． 【考点9 勾股定理的应用】 【解题技巧总结】 常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 34．（2023秋•徐汇区校级月考）如图，一棵树在一次强台风中在离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成，这棵树在折断前的高度为　　 A．4米 B．6米 C．7米 D．8米 【答案】 【分析】根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度． 【解答】解：如图，根据题意米， ， 米， 米． 故选：． 【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键． 35．（2022秋•宝山区期末）机场入口处的铭牌上说明，飞机行李架是一个的长方体空间，有位旅客想购买一件画卷随身携带，现有4种长度的画卷①；②；③；④，请问这位旅客可以购买的尺寸是　　 A．①② B．①②③ C．①②③④ D．① 【答案】 【分析】首先根据勾股定理求得长方体的体对角线的长度，然后与画卷的长度进行比较即可． 【解答】解：由题意知：，，． 如图，连接，． 在直角△中，由勾股定理知：． 在直角△中，． 所以． 因为， ， ， ， 所以这位旅客可以购买的尺寸是①②③． 故选：． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 36．（2023秋•杨浦区期末）如图，走廊上有一梯子以的倾斜角斜靠在墙上，墙与地面垂直，梯子影响了行人的行走，工人将梯子挪动位置，使其倾斜角变为，如果梯子的长为4米，那么行走的通道拓宽了多少米？（结果保留根号）． 【答案】米． 【分析】根据勾股定理求出，再根据含角的直角三角形的性质求出，进而求出． 【解答】解：在中，， 则， 米， ， （米， 在中，， ， （米， 米， 答：行走的通道拓宽了米． 【点评】本题考查的是勾股定理、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质，灵活运用相关的定理是解题的关键． 【考点10 等腰直角三角形】 37．（2023秋•宝山区校级月考）如图，等腰直角三角形中，，是上一点，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设的中点为，连接，根据直角三角形的性质得，再根据得，由此可判定为等边三角形，则，进而得，然后根据等腰三角形的性质得，据此可得的度数． 【解答】解：设的中点为，连接，如图所示： 点为的中点，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 为等腰直角三角形，且， ， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键． 38．（2023秋•金山区校级月考）已知，如图，，，是上的高，是边上的中线，于点． （1）若，求线段的长； （2）求证：． 【答案】（1）4；（2）见解析． 【分析】（1）由，，可得； （2）连接，由直角三角形的性质可知，从而证得，即可得出结论． 【解答】（1）解：， ， ，， ， ， ； （2）证明：连接， ，， ， ，， ， ， ． 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 过关检测 1．（2023秋•杨浦区期末）若点在轴上，点坐标是，且，则点的坐标是 　 　． 【分析】设出的坐标，利用两点距离公式，求出的坐标． 【解答】解：由题意设，因为， ， 解得：或， 所以点的坐标是或， 故答案为：或， 【点评】此题考查点的坐标问题，关键是两点间距离公式的应用，考查计算能力． 2．（2023秋•徐汇区月考）若点的坐标为，点的坐标为，则线段的长为 　 　． 【答案】． 【分析】根据两点间距离公式计算可得答案． 【解答】解：点的坐标为，点的坐标为， 线段的长为． 【点评】本题主要考查了两点间距离公式、勾股定理，解题的关键是熟练掌握点，，，，则． 3．（2023秋•宝山区校级月考）在中，若，于，，，则　 　． 【答案】8． 【分析】先根据直角三角形两锐角互余计算出，，再根据含30度角的直角三角形的性质求解． 【解答】解：如图所示， 在中，，，， ，， 又在中，， ， ． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查直角三角形两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半． 4．（2023秋•静安区校级期末）如图，已知中，，，平分，且交于点，，那么的长是 　 　． 【答案】． 【分析】由直角三角形的性质和角平分线定义得，则，，得，再求出，即可得出结论． 【解答】解：，， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了含角的直角三角形的性质、角平分线定义以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键． 5．（2023秋•崇明区期末）已知：如图．在中．．，．求证：． 【分析】根据可知与的关系，由可知的度数，由，又由，可得的度数，由，可得与的关系，从而可以得到与的关系． 【解答】证明：在中．．， ，． 又， ． ． ，， ． ， ． ． 【点评】本题考查三角形的内角和和在直角三角形中角所对的直角边与斜边的关系，关键是明确题意，进行正确的分析，最终得出结论． 6．（2023秋•静安区校级期末）如图，在和中，，联结与交于点，，分别是、的中点．求证：垂直平分． 【答案】证明见解答过程． 【分析】连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证明，根据等腰三角形的性质进一步得出结论． 【解答】证明：如图， 连接，， ， ，， ， 点是的中点， ， 垂直平分． 【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线等知识，熟练运用直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 7．（2023秋•青浦区校级期中）如图所示，一根长2.5米的木棍，斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角与木棍端的距离为1.5米，设木棍的中点为．此时木棍端沿墙下滑，端沿地面向右滑行． （1）木棍在滑动的过程中，线段的长度发生改变吗？说明理由；若不变，求的长； （2）如果木棍的底端向外滑出0.9米，那么木棍的顶端沿墙下滑多少距离？ 【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线性质得出即可； （2）根据勾股定理求出，求出，即可得到结论． 【解答】解：（1）不变． 理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边不变，所以斜边上的中线不变； 米； （2）在直角中，已知，， ， 则由勾股定理得：，， ， 答：那么木棍的顶端沿墙下滑． 【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上中线性质的应用，能根据勾股定理求出各个边的长是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 8．（2023秋•闵行区校级期末）已知：如图，在中，，点在上，点在上，，，点是的中点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）连接，根据直角三角形的性质和等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）由（1）知，，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论． 【解答】证明：（1）连接， ，， ， ， ， 点是的中点， ； （2）由（1）知，， ， ， ， ． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键． 9．（2018秋•普陀区校级月考）若直角三角形的两边长为6和8，则第三边长为 　 　． 【分析】分情况考虑：当较大的数8是直角边时，根据勾股定理求得第三边长是10；当较大的数8是斜边时，根据勾股定理求得第三边的长是． 【解答】解：①当6和8为直角边时， 第三边长为； ②当8为斜边，6为直角边时， 第三边长为． 故答案为：10或． 【点评】一定要注意此题分情况讨论，很容易漏掉一些情况没考虑． 10．（2023秋•浦东新区校级期末）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则为 　 　，边上的高为 　　． 【答案】（1）见解析； （2）6，． 【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高． 【解答】解：（1）， ， ， ， ， 化简得：； （2）设边上的高为，则： ， ， ， ， 即边上的高是， 故答案为：6，． 【点评】本题考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题． 11．（2023秋•崇明区期末）下列条件中，不能判断是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理分别进行分析可得答案． 【解答】解：、根据三角形内角和定理可以计算出，，，可判定是直角三角形，故此选项不符合题意； 、，根据勾股定理的逆定理可判断是直角三角形，故此选项不合题意； 、根据三角形内角和定理可以计算出，，，可判定不是直角三角形，故此选项符合题意； 、可利用勾股定理逆定理判定为直角三角形，故此选项不合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，判断三角形是否为直角三角形可利用勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 12．（2023秋•黄浦区期末）如图，是的中线，于点，是的中线，且，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）5． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，即可得出是直角； （2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可． 【解答】证明：（1）于点， ， 在中，， ， 同理：， ， ， ， ， 是直角三角形， ； （2）是的中线，， 垂直平分， ， 在中，， 点是边的中点， ． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质与判定，熟记勾股定理与逆定理是解答本题的关键． 13．（2023秋•闵行区期末）如图， 已知在中，于点，，，， （1） 求的长 ． （2） 求证：是直角三角形 ． 【分析】（1） 直接根据勾股定理求出的长； （2） 根据勾股定理的逆定理即可得出结论 ． 【解答】解： （1） ， 在中，，， 根据勾股定理， 得， （2） 证明： 在中， ， ， 是直角三角形 ． 【点评】本题考查了勾股定理， 勾股定理逆定理， 求出是解本题的关键 ． 14．（2023秋•徐汇区月考）如图，学校的旗杆高为13米，距离旗杆20米处刚好有一棵高为3米的香樟树．小明发现在旗杆和香樟树之间的连线上有一个位置到旗杆顶部与到树顶的距离相等，请你求出该位置与旗杆底部之间的距离． 【答案】6米． 【分析】根据题意可得：，，，由于，根据勾股定理得到方程求解即可． 【解答】解：根据题意可得：，，． 如图，设该位置为点，且 ．， 由题意得：，则， ， 解得：， ， 由可知，该位置是存在的． 答：该位置与旗杆之间的距离为6米． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 15．（2022秋•宝山区校级期末）如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．求此绿地的面积． 【答案】绿地的面积为． 【分析】连接，先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判定为直角三角形，则四边形的面积直角的面积直角的面积． 【解答】解：连接．如图所示： ，，， ； 在中， ，，， ，即， 是直角三角形． ； 即绿地的面积为． 【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，正确分割四边形的面积是解题关键． 16．（2022秋•杨浦区校级期中）等边内接于等腰直角（直角边长为内，且平行斜边，那么的面积是多少？ 【答案】． 【分析】连接，过点作于点，易证是的垂直平分线，点为的中点，，，，可得，由勾股定理可得：，求得，，即可求得的面积． 【解答】解：如图，连接，过点作于点， 是等腰直角三角形，， 也是等腰直角三角形， ， 是等边三角形， ， 是的垂直平分线， ， 由三线合一可得：点为的中点， 的直角边长为， ， ， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理可得：， ， ， ， ，， 【点评】本题考查了等腰三角形和等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理解三角形，用含的式子表示出的长是解题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$