精品解析：河南省南阳市宛城区南阳市第一中学校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

河南省南阳市宛城区南阳市第一中学校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题 一.单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知直线与直线相互平行，则实数的值是（ ） A. B. 1或 C. D. 6 2. 在下列条件中，使与一定共面的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆的标准方程是，圆关于直线对称，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 内含 4. 已知抛物线：，则过抛物线的焦点，弦长为整数且不超过的直线的条数是（ ） A. B. C. D. 5. 现要安排六名志愿者去四个不同的场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆最少安排一名志愿者，则不同的分配方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 已知正方体棱长为2，E为棱的中点，则经过三点的正方体的截面面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别，.A是C上一点（在第一象限），直线与轴y交于点B，若，且，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，若P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当P在平面内运动时，四棱锥的体积变化 B. 当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 使直线与平面所成的角为45°的点P的轨迹长度为 D. 若F是棱的中点，当P在底面内运动，且满足平面时，长度的最小值是 二.多选题（每小题6分，共18分） 9. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是 B. 已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 已知正方体棱长为2，点在线段上运动，则的最小值为 10. 已知曲线的方程为，则（ ） A. 曲线围成的图形面积为 B. 若点在曲线上，则 C. 若圆包含曲线，则的最小值为 D. 若点在曲线上，点，则的最大值为 11. 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，平面，，点在棱EC上，且，平面MBD与平面ABCD的夹角为，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面EFC B. C. 点到平面BCF的距离为 D. 多面体ABCDEF的体积为 三.填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知的底边长为，其中点，，其他两边，上的中线之和为，则三角形重心的轨迹方程为______． 13. 将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不相同，则共有________种不同的放法. 14. 如图，在平行六面体中，，，，，．则____________；该平行六面体的体积为__________． 四.解答题 15. （1）某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人.求不同选派方法的种数. （2）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数； 16. 已知半径小于10的圆与两坐标轴相切，且是圆上一点，过的直线与圆交于另外一点. （1）求的标准方程； （2）若，求直线的方程. 17. 如图，在四棱锥中，平面，且，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 18. 已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点坐标是，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过作直线交椭圆于A，B两点，是椭圆的另一个焦点，若时，求直线AB的方程. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形， （1）求证：平面； （2）求PB与平面PCD所成角的正弦值； （3）在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省南阳市宛城区南阳市第一中学校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题 一.单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知直线与直线相互平行，则实数的值是（ ） A. B. 1或 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行列方程求解即可. 【详解】由题意，，解得或， 当时，，，满足； 当时，，即，， 两直线重合，不符合题意. 综上所述，. 故选：A. 2. 在下列条件中，使与一定共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间共面向量定理的应用，依次判断选项即可. 【详解】对于A，，由于， 所以不能得出共面.故A不符合题意； 对于B，由于，则为共面向量， 所以共面. 故B符合题意； 对于C，，由于， 所以不能得出共面. 故C不符合题意； 对于D，由得， 而，所以不能得出共面. 故D不符合题意； 故选：B 3. 已知圆的标准方程是，圆关于直线对称，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 内含 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆关于直线对称求出，进而求得圆的圆心和半径，利用两圆心的距离与半径和和差比较即可判断. 【详解】由题意可得，圆的圆心为，半径为5. 因为圆关于直线对称， 又的圆心为， 所以，解得， 所以圆，圆心为，半径为2， 则两圆圆心距， 因为， 所以圆与圆的位置关系是相交. 故选：C. 4. 已知抛物线：，则过抛物线的焦点，弦长为整数且不超过的直线的条数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质，焦点弦为通径最短，即可求解. 【详解】由抛物线：，可得焦点， 又根据抛物线几何性质得通径长为， 又，根据对称性， 所以弦长为整数且不超过的直线的条数是. 故选：C 5. 现要安排六名志愿者去四个不同的场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆最少安排一名志愿者，则不同的分配方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】先对志愿者进行分组，然后安排到四个场馆，由此计算出正确答案. 【详解】根据题意，若名志愿者以形式分为四个服务小组， 共有种分配方法； 若名志愿者以形式分为四个服务小组， 共有种分配方法. 故共有种分配方法. 故选：C 6. 已知正方体棱长为2，E为棱的中点，则经过三点的正方体的截面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，确定四边形为经过三点的正方体的截面，结合梯形的面积公式计算即可求解. 【详解】正方体中，平面， 则平面与平面的唯一交线与平行. 取BC中点，连接， 则四边形即为经过三点的正方体的截面， 梯形中，， 则梯形的高为， 所以梯形的面积为， 故选：A. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别，.A是C上一点（在第一象限），直线与轴y交于点B，若，且，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和勾股定理，结合余弦定理和建立关于，的方程，即可求解. 【详解】如图： 设，则，因为， 所以，根据双曲线的定义：， 因为，由勾股定理得：， 所以，则，，. 在中，. 在中，. 因为，，所以， 从而， 即， 所以， 所以双曲线渐近线的方程为：. 故选：C. 8. 如图，若P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当P在平面内运动时，四棱锥的体积变化 B. 当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 使直线与平面所成的角为45°的点P的轨迹长度为 D. 若F是棱的中点，当P在底面内运动，且满足平面时，长度的最小值是 【答案】D 【解析】 【分析】对A，点P在平面内运动时，四棱锥的底面积和高均不变，所以体积不变；对B，D，建系利用向量法求解；对C，根据线面角的定义，讨论点在各个表面的情况求解得答案. 【详解】对于A，因为底面正方形的面积不变，点P到平面的距离为正方体棱长， 所以四棱锥的体积不变，故A错误； 对于B，如图①，以D为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 可得，，.设，， 则，. 设直线与所成角为θ，则， 因为，当时，可得，所以； 当时，，所以， 所以异面直线与所成角的取值范围是，所以B错误； 对于C，已知直线与平面所成的角为45°，若点P在平面和平面内， 因为，最大，点P仅在点；若点P在平面内， 则点P的轨迹长度是；若点P在平面内，则点P的轨迹长度是； 若点P在平面内，作平面，如图②所示， 因为，所以. 因为，所以，所以， 所以点P的轨迹是以点A1为圆心，以2为半径的四分之一圆， 所以点P的轨迹长度为. 综上，点P的轨迹总长度为，故C错误； 对于D，如图③，由前面建系得，，，， 设，，， 则，，. 设平面的法向量为， 则，令，则，所以. 因为平面，所以，可得， 所以， 当时，等号成立，故D正确． 故选：D. 二.多选题（每小题6分，共18分） 9. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是 B. 已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 已知正方体棱长为2，点在线段上运动，则的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间点对称特征求解判断A；根据空间向量基本定理求解判断B；利用空间向量投影向量的运算法则及数量积的坐标运算求解判断C；将放在同一个平面上，利用余弦定理求解最小值判断D. 【详解】点关于轴对称点的坐标是，故选项A为假命题； 由题意不共面，， 故选项B为真命题； 向量在向量上的投影向量为，故选项C为真命题； 由题可得示意图图一，将放在同一个平面上得图二， 当三点共线的时候有最小值为BD， 由题可知，， 由余弦定理可知，， 故选项D为假命题. 故选：BC. 10. 已知曲线的方程为，则（ ） A. 曲线围成的图形面积为 B. 若点在曲线上，则 C. 若圆包含曲线，则的最小值为 D. 若点在曲线上，点，则的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】作出曲线的图象，数形结合可判断A选项；由题意可得，则有，解此不等式可判断B选项；求出曲线上的点到原点距离的最大值，可得出的最小值，即可判断C选项；利用圆的几何性质求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A，若点在曲线上，， ，， 点、、也都在曲线上， 则曲线关于轴、轴、原点对称， 当，时，曲线的方程为， 表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆（含端点）， 因此，曲线是四个顶点为、、、 的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如图， 所以曲线围成的图形面积是，故A正确； 对于B，点在曲线上，则等价于， 则有，可得，解得，故B正确； 对于C，曲线上的点到原点距离最大值为， 圆能覆盖曲线，则，故C不正确. 对于D，曲线在第三象限部分的圆弧是以点为圆心，半径长为的半圆， 所以，，故D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：利用二次曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法： （1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题； （2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解. 11. 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，平面，，点在棱EC上，且，平面MBD与平面ABCD的夹角为，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面EFC B. C. 点到平面BCF的距离为 D. 多面体ABCDEF的体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到四边形BNGF是平行四边形，所以，结合⊥，，得到⊥平面EAC，从而得到面面垂直；B选项，建立空间直角坐标系，设，所以，当时，重合，不合题意，当时，求出平面DBM的一个法向量，结合夹角为得到方程，求出答案；C选项，在B选项基础上，得到，求出平面BCF的法向量，由点到平面距离公式求出答案；D选项，求出和，相加得到答案. 【详解】对于A选项，取EC的中点，连接BD交AC于，连接， 因为四边形ABCD是菱形，所以⊥，且是AC的中点， 所以且，又， 所以且， 所以四边形BNGF是平行四边形，所以， 又平面平面ABCD，所以， 又因为平面EAC，所以⊥平面EAC， 所以平面EAC，又平面EFC， 所以平面平面EAC，故A正确； 对于B，取CD的中点，由四边形ABCD是菱形，，则， 所以是正三角形，所以，所以，又平面ABCD， 平面，故，，故两两垂直， 以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， ，所以， 所以， ， 当时，重合， 此时平面MBD与平面ABCD的夹角为，不合题意，舍去; 当时，设平面DBM的一个法向量，， 两式相减得：，令，得， 故，平面ABCD的法向量可取， 所以， 解得，故B正确； 对于C，结合B，所以，则， ， 设平面BCF的一个法向量，则， 解得:，取，得，故， 所以点到平面BCF的距离， 故C正确； 对于，平面， 故， 梯形ABFE的面积为， 由B选项知，点到平面的距离为， 故， 故多面体ABCDEF的体积，故D错误. 故选：ABC. 三.填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知的底边长为，其中点，，其他两边，上的中线之和为，则三角形重心的轨迹方程为______． 【答案】（） 【解析】 【分析】根据重心的性质以及椭圆的定义可求得轨迹方程. 【详解】设边，的中点分别为，， 故， 所以， 所以点的轨迹为椭圆，且其两个焦点分别为点和， 所以轨迹方程为且， 故答案为：（） 13. 将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不相同，则共有________种不同的放法. 【答案】18 【解析】 【分析】先确定盒子球数分配方法，再进行排列. 【详解】由题意得三个盒子球数为（1，2，6），（1，3，5），（2，3，4）这三种，所以共有种不同的放法. 【点睛】本题考查排列应用题，考查基本分析与求解能力，属中档题. 14. 如图，在平行六面体中，，，，，．则____________；该平行六面体的体积为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用空间向量的数量积求向量模长可得第一空，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算点面距离求体积即可. 【详解】由题意易知， ； 如图所示，建立空间直角坐标系，则，设， 由题意可知， 不妨取，则， 易知是底面的一个法向量， 所以到底面的距离为. 四.解答题 15. （1）某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人.求不同选派方法的种数. （2）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数； 【答案】（1）42; （2）1260 【解析】 【分析】（1）先求出派往甲的选派种数，再算出派往乙、丙的选派种数，然后由分步计数得出总的选派种数； （2）先讨论选取数中有0，得出可以组成的数的个数；再讨论选取数中没有0，得出可以组成的数的个数，然后相加即可得出结果. 【详解】（1）根据题意，甲地需要选派2人且至少有1名女生，若甲地派2名女生，有种情况；若甲地分配1名女生，有种情况，则甲地的分派方法有种方法； 甲地安排好后，在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，有种安排方法，由分步计数原理，可得不同的选派方法共有种. （2）有0时，可以组成没有重复数字的四位数有. 无0时，可以组成没有重复数字的四位数有 一共可以组成没有重复数字的四位数有 16. 已知半径小于10的圆与两坐标轴相切，且是圆上一点，过的直线与圆交于另外一点. （1）求的标准方程； （2）若，求直线的方程. 【答案】（1）圆的标准方程为； （2）直线的方程为或. 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程，列方程求出圆心坐标和半径可得圆的标准方程； （2）结合条件求圆心到直线的距离，验证的斜率不存在时满足要求，当的斜率存在时，由点到直线距离公式求出直线斜率，由此可得直线方程. 【小问1详解】 因为圆与两坐标轴相切，且是圆上一点，且点在第一象限，所以圆的圆心在第一象限，设圆的标准方程为，，由已知可得， ，化简可得，所以，故或，解得或，因为，所以，故不合题意，舍去，所以，所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为，则，由，解得. 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离，即直线被圆所截得的弦长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 则，解得：， 故的方程是， 综上所述，直线的方程为或. 17. 如图，在四棱锥中，平面，且，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）过作于点，则，， 由于平面，平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 因为为的中点，所以， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以平面的法向量为， 因为，所以， 又因为平面，所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面. （2）利用向量法求得平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 故可设， 所以， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 18. 已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点坐标是，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过作直线交椭圆于A，B两点，是椭圆的另一个焦点，若时，求直线AB的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件可得半焦距，由离心率求出长半轴长，从而求出短半轴长，进而得椭圆的标准方程； （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示三角形的面积，即可求解. 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为， 由题意，半焦距，离心率，解得，则， 所以椭圆的标准方程是. 【小问2详解】 由题意，直线AB的斜率存在，设其方程为，而， 由，得，， 设，由韦达定理得， ， 解得，即， 所以直线AB的方程为或. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形， （1）求证：平面； （2）求PB与平面PCD所成角的正弦值； （3）在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 平面平面ABCD，平面平面 平面ABCD，， 平面PAD， 平面， 又且，PA、平面平面PAB； （2） （3） 存在， 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面PAD，再由线面垂直的判定定理可得证； （2）利用空间向量法求线面角； （3）设利用空间向量的数量积，求解，推出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取AD中点为O，连接PO、CO， 又， 则， ，则， 以O为坐标原点，分别以所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ， 设为平面PCD的一个法向量， 由，得，令，则， 设PB与平面PCD所成角的角为， 【小问3详解】 假设在棱PB上存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为， 由可知，， ，设 ， 设为平面ADM的一个法向量， 由得， 则， 易知平面ABCD的一个法向量为， 设平面ADM与平面ABCD的夹角为 ， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $