精品解析：陕西省安康市2024-2025学年高二上学期第二次月考（12月）数学试题

陕西省安康市2024-2025学年上学期第二次月考 高二数学试卷 注意事项： 1考查范围：选择性必修第一册及选择性必修第二册4.1节. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，请将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，向量，若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标表示列式求解即可. 【详解】因为，，且， 则，解得. 故选：C. 2. 过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出交点坐标，再根据与直线 的位置关系求出斜率，运用点斜式方程求解. 【详解】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ； 直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ， 由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ； 故选：D 3. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出、的值，即可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】在双曲线中，，， 所以，该双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 4. 若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，椭圆焦点在轴，根据椭圆几何性质得解. 【详解】根据题意，椭圆焦点在轴， 所以，所以. 故选：B 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量对称性知识来判断A，利用空间四点共面的性质来判断B，利用直线方向向量与法向量垂直，结合线与面的位置关系来判断C，利用直线方向向量与法向量夹角来判断D. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误； 对于B ，已知为空间任意一点四点共面，且任意三点不共线，若， 则，B选项错误； 对于C，若直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为， 所以，则或，C选项错误； 对于D，若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为， 则直线与平面所成的角为，D选项正确； 故选：D. 6. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】 以为坐标原点，向量方向分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以异面直线与所成角的余弦值等于 . 故选：B 7. 抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，转化距离，利用数形结合，即可求解. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 设抛物线上的点到其准线的距离为，点到直线的距离为， 由抛物线的定义可知，则， 其最小值为焦点到直线的距离，距离， 即抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为. 故选：D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可求得，，，，因此分别为右顶点和左顶点，从而可求离心率. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，所以， 又，所以，， ，所以， 所以椭圆的离心率为. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与直线垂直，则 C. 当点到直线的距离取到最大时，此时 D. 直线与圆所截得的最短弦长为1 【答案】BC 【解析】 【分析】利用直线方程的特征可判定A，利用垂直的充要条件可判定B， 利用点到直线的距离公式结合直线与圆的位置关系及弦长公式可判定C、D. 【详解】对于A，由， 令，即直线恒过定点，故A错误； 对于B，若直线与直线垂直， 则有，所以，故B正确； 对于C，易知点到直线的距离 ，即， 解之得，故C正确； 对于D，， 即该圆圆心为，半径为， 则到的距离为， 所以直线与圆所截得的弦长为， 即越大，弦长越小，则弦长最小为，故D错误. 故选：BC. 10. 已知圆与圆交于，两点，则（ ） A. 两圆的公切线有2条 B. 直线方程为 C. D. 动点在圆上，则的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据圆心距与半径的关系可判断两圆相交，即可判断A，根据两圆方程相减即可判断B，根据弦长公式即可求解C，根据点点距离公式即可判断D. 【详解】由题意可知，， 故，故两圆相交，公切线有2条，A正确， 与圆相减可得， 故直线方程为，B正确， 到直线的距离为，故，故C错误， 可看作是圆上的一个点到点的距离的平方， 故最大值为，则的最大值为，D错误， 故选：AB 11. 椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为8 B. 若直线与恒有公共点，则的取值范围为 C. 若为上一点，，则的最小值为 D. 若上存在点，使得，则的取值范围为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A：根据椭圆的定义结合焦点所在的位置分析判断；对于B：因为直线过定点，可知定点在椭圆内或椭圆上，列式求解即可；对于C：设，根据两点间距离公式结合二次函数分析求解；对于D：分析可知当位于短轴顶点时，最大，此时，分类讨论焦点所在位置分析求解. 【详解】对于选项A：由椭圆定义可得的周长为 ， 但焦点不一定在轴上，故A错误； 对于选项B：因为直线过定点，则，即， 又因为，且，所以的取值范围为，故B错误； 对于选项C：若，即椭圆， 设，可得， 当时，，故C正确； 对于选项D：若，则， 当位于短轴顶点时，最大，此时， 可知，即， 当时，由，解得； 当时，由，解得； 综上所述：的取值范围为，故D正确； 故选：CD． 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法 （1）数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解； （2）构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解； （3）构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是数列的前项和，且，则的通项公式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用，可求数列的通项公式． 【详解】由题意时，， 又也满足上式，所以． 故答案为：. 13. 设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用双曲线定义，可得，又由勾股定理得，联立求得，即得的面积. 【详解】 如图，由可知， 由对称性不妨设，由定义， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以的面积为. 故答案为：3. 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据数量关系可得，即，又，进而由可得答案. 【详解】由为圆上一动点，得， 由为圆上一动点，得， 又. 因为，所以， 于是. 当共线且时取得最小值，即. 所以， 当共线时等号成立. 故答案为：9． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点，线段是圆的一条直径. （1）求圆的标准方程； （2）点是圆上任意一点，求点到直线的最大距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】由直径的两个端点，求出圆心和半径即可； 先判断直线与圆的位置关系，再通过位置关系，求出圆上任意一点到直线距离的最大. 【小问1详解】 因为，线段是为圆的直径， 所以圆心为线段的中点，圆心坐标为， 所以圆的半径， 所以圆的标准方程为： 【小问2详解】 圆心到直线的距离， 所以圆与直线相离 所以圆上任意一点到直线的距离的最大值为： 16. 如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则,， 故四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形判定和性质定理可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，因两两垂直，故可以为原点建立如图的空间直角坐标系， 由、、、、、， 则、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则，， 分别取，则、、，， 即得，， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为. 17. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2. （1）求的方程； （2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义求出，即可得解； （2）根据，将点的坐标用的坐标表示，再根据点在上，代入即可得解. 【小问1详解】 由抛物线的定义可知，焦点到准线的距离为，故， 所以的方程为； 【小问2详解】 由（1）知，设，则， 因为，所以，可得， 又点在抛物线上，所以，即， 化简得，则点的轨迹方程为． 18. 已知是双曲线的一条渐近线，点在上. （1）求的方程. （2）已知直线的斜率存在且不经过原点，与交于两点，的中点在直线上. （i）证明：的斜率为定值. （ii）若的面积为，求的方程. 【答案】（1）. （2）（i）证明：设， 由得， 由题意得， 设中点的坐标为，则 所以. 因为的中点在直线上，所以，即， 因为，所以，故的斜率为定值. （ii）. 【解析】 【分析】（1）由题可得，解该方程组即可得解. （2）（i）设，联立得，则由韦达定理结合中点坐标公式可求出的中点坐标，接着由的中点在直线上即可求解得证. （ii）由（i）结合弦长公式以及点到直线距离公式依次求出和的中点到直线的距离，再由即可求解. 【小问1详解】 由题可得， 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）得的方程为， 且， 又点到的距离， 所以， 解得，所以的方程为. 19. 极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应的极线为.已知椭圆的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线，，的斜率分别为，，（，，均存在）. （1）求极线的方程； （2）求证：； （3）已知过点且斜率为2的直线与椭圆交于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标. 【答案】（1） （2） 证明：设，由题意知过的直线的斜率必存在， 故设直线，， 联立方程，消去得， ， ，即， 所以，， 则 . 又，所以，得证. （3） 当中有横坐标为时，纵坐标为， 则或， 直线或与椭圆相切，不符合题意，所以的斜率都存在. 由（2）得，，又， 所以，所以是和的交点. 因为，所以，设， 则，所以，直线的方程为， 即， 令得，所以恒过定点. 【解析】 【分析】（1）由长轴长与抛物线焦点得，进而求出椭圆方程； （2）设直线，联立椭圆方程，由韦达定理可得，，利用将斜率坐标化，利用韦达定理代入坐标关系化简求证可得. （3）设，由（2）结论可先证三点共线得到，用表示，由点斜式方程得，再证明不受的影响恒过定点可得. 【小问1详解】 由椭圆的长轴长为， 则，解得， 又因为椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合， 所以，解得. 所以椭圆的方程为. 由题意可知，对于椭圆， 极点对应的极线的方程为，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：解决该题的关键点有三个.一是理解极点坐标与对应极线方程的关系，确定好极线；二是斜率坐标式的变形，将运算转化为即的对称形式，从而应用韦达定理证明斜率关系式成立；三是（2）问结论的应用，应用结论得到，用参数表达及直线的方程，从而解决直线过定点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省安康市2024-2025学年上学期第二次月考 高二数学试卷 注意事项： 1考查范围：选择性必修第一册及选择性必修第二册4.1节. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，请将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，向量，若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）． A. B. C. D. 3. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 6. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与直线垂直，则 C. 当点到直线的距离取到最大时，此时 D. 直线与圆所截得的最短弦长为1 10. 已知圆与圆交于，两点，则（ ） A. 两圆的公切线有2条 B. 直线方程为 C. D. 动点在圆上，则的最大值为 11. 椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为8 B. 若直线与恒有公共点，则的取值范围为 C. 若为上一点，，则的最小值为 D. 若上存在点，使得，则的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是数列的前项和，且，则的通项公式为__________. 13. 设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为__________. 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点，线段是圆的一条直径. （1）求圆的标准方程； （2）点是圆上任意一点，求点到直线的最大距离. 16. 如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 17. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2. （1）求的方程； （2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求点的轨迹方程. 18. 已知是双曲线的一条渐近线，点在上. （1）求的方程. （2）已知直线的斜率存在且不经过原点，与交于两点，的中点在直线上. （i）证明：的斜率为定值. （ii）若的面积为，求的方程. 19. 极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应的极线为.已知椭圆的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线，，的斜率分别为，，（，，均存在）. （1）求极线的方程； （2）求证：； （3）已知过点且斜率为2的直线与椭圆交于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $