复习专题04 乘法公式与整式的除法（10重点+12考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（沪教版2024）

专题04 乘法公式与整式的除法 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 平方差公式 3.平方差公式的特征 （1）左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项（a）完全相同，另一项（b和-b）互为相反数. （2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）. 归纳:平方差公式的应用一般有下面几种变形: （1）位置变化: （2）符号变化: （3）系数变化: （4）指数变化: （5）增项变化: （6）增因式变化: （7）连用公式变化: 1.平方差公式的推导 2.平方差公式 （1）文字语言:两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差. （2）符号语言: 注意：公式中的a，b可以是任意的数或代数式. 知识点2 平方差公式的几何意义 一般地，若在边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，则剩余部分的面积为 剩余部分拼成一个长方形,这个长方形的长为(a+b）,宽为(ab),面积为(a+b)(a-b)计算化简得出左右两图剩余面积面积相等，因此，可以用拼图的方法验证平方差公式: 知识点3 完全平方公式的概念 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方的和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，即 知识点4 完全平方公式 1.完全平方公式的推导 注意：的符号取决于左边二项式中两项的符号. 2.完全平方公式 （1）文字语言:两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差. （2）符号语言: 注意：公式中的a，b可以是任意的数或代数式. 3.完全平方公式的特征 （1）文字语言: 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍. （2）符号语言: 4.公式的特征 （1）两个公式的左边都是一个二项式的平方的形式，二者仅有一个“符号”不同; （2）两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同; （3）公式中的可以是数，也可以是单项式或多项式. 归纳: 完全平方公式的应用一般有下面几种变形: 知识点5 完全平方公式的几何意义 一般地，可以通过从不同角度求几何图形的面积来验证完全平方公式 （1）验证 如图所示，一方面大正方形的面积为(a+b),另一方面大正方形的面积可看成四个部分的面积之和，则： （2）验证，同理，易得： 知识点6 同底数幂的除法 1.同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变,指数相减 2.同底数幂的除法运算法则的推导 推导1： 一般地，设， 推导2： 因为除法是乘法的逆运算，由,可以得到同底数幂的除法运算法则 知识点7 零指数幂 如果把公式(，推广到的情形,那么有.又,所以规定,即任何不等于零的数的零次幂为1 知识点8 幂的运算顺序 在含有乘方的同底数幂的乘除运算中，先算积的乘方、幂的乘方，再算同底数幂的乘除: 在只有乘除的运算中，应按从左到右的顺序进行,有括号的先算括号里面的 知识点9 单项式除以单项式 1.法则 两个单项式相除,把系数同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式 提示 单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为系数与系数相除，同底数幂分别相除 2.一般运算步骤 (1)系数:先确定商的系数，系数相除所得的商作为商的系数[注意系数的符号] (2)同底数幂：同底数幂相除，利用同底数幂的除法运算性质进行正确计算，所得的商作为商的一个因式 (3)只在被除式里含有的字母:只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，不能遗漏 知识点10 多项式除以单项式 1.法则 （1）多项式除以单项式,先把多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加 （2）式子表示： 2.实质 把“多项式除以单项式”转化为“单项除以单项式 注意： (1)在计算时，多项式里的各项要包括它前面的符号,还要注意各个运算结果的符号,不要将符号弄错; (2)多项式除以单项式要逐项相除，不要漏项，所得的商的项数与多项式的项数相同，多项式除以单项式商为 1的项不能漏掉. 考点剖析 【考点1 运用平方差公式进行运算】 1．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是关键．把原式变形为，再利用平方差公式计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：1． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若，，，则、、的大小关系是 （用“”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算，根据有理数的乘方法则求出a的值，根据平方差公式即可求出b的值，根据同底数幂乘法的逆运算法则与积的乘方的逆运算法则即可求出c的值，从而得出比较结果． 【详解】解：， ， ， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海·期中）计算 【答案】 【分析】本题考查的是乘法公式的应用；本题先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，积的乘方和幂的乘方计算，单项式乘以单项式： （1）先计算积的乘方和幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可得到答案； （2）利用乘法公式计算求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（24-25七年级上·上海·期中）使得是完全平方数的整数m的和等于多少？ 【答案】． 【分析】本题考查完全平方数的知识．将表示为的形式，然后转化可得出，从而讨论可得出的值，从而得到所有整数的和． 【详解】解：设， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，且与都为整数， 所以，，解得：，； ，，解得：，； ，，解得：，； ，，解得：，； ，，解得：，； ，，解得：，； ，，解得：，． ，，解得：，． 所以所有的和为． 【考点2 平方差公式与几何图形】 6．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）我们可以通过拼图、推演得到了整式的乘法法则和公式，通过逆向思考得到了多项式因式分解的方法．如图，将边长为的正方形剪去一个边长为的正方形，再将剩余图形沿虚线剪开，拼成一个长方形，依据这一过程可得到的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，左边一幅图剩下的图形面积等于边长为的正方形面积剪去一个边长为的正方形面积，右边一幅图的面积为一个长为，宽为的长方形面积，再根据左边一幅图剩下的图形面积与右边一幅图的面积相等即可得到结论． 【详解】解：左边一幅图剩下的图形面积为， 右边一幅图的面积为， ∵左边一幅图剩下的图形面积与右边一幅图的面积相等， ∴， 故选：D． 7．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形与正方形的面积之差为，那么阴影部分的面积 ． 【答案】4 【分析】本题考查平方差公式在几何图形中的应用．设正方形与正方形的边长分别为和，根据两者面积差为8，可得．利用含、的代数式表示出阴影部分的面积，将整体代入即可求解． 【详解】解：设正方形与正方形的边长分别为和， 由题意得：． 由图形可得： ． 故答案为：4． 8．（24-25七年级上·上海·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． (1)情境一：如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，直接写出由此可以得到的乘法公式； (2)情境二：如图3，乙同学用4块A木片、1块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形， ①请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示）：_________． ②直接写出所用C木片的数量：_________块． (3)情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片，2块A，4块B，7块C拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，至少需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【答案】(1)图中阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为，乘法公式为 (2)①；②4 (3)长为，宽为，图见解析 【分析】本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，等积转换，掌握等积转换的方法是解题的关键． （1）设等腰梯形的高为，可求，分别表示出图和图的面积，即可求解； （2）可得，由拼成了一个正方形可得，能用完全平方公式进行因式分解，求解①②即可； （3）能构成长方形，则要能进行分解，故去掉个后即可进行因式分解，从而可求解． 【详解】（1）解：如图，设等腰梯形的高为，   ， ， 图中阴影部分的面积： ， 图中阴影部分的面积：， ， ， 故可得到的乘法公式为：； （2）解：设乙同学用4块A木片、1块B木片和m块C木片拼成了一个正方形，则该正方形的面积为， 当时，， 所拼正方形的边长为，所用木片的数量为4， 故答案为：①；②4； （3）解：赞同丁同学的说法；去掉个以后， ， 该情况下所拼长方形的长为，宽为， 长方形如图： 【考点3 运用完全平方公式进行运算】 9．（24-25七年级上·上海·期中）请同学运用计算，解决问题：已知x、y、z满足，求的最大值是 ． 【答案】15 【分析】本题考查运用已知公式，及平方的非负性，掌握灵活运用题中给的公式是解题的关键．根据已知条件化简，根据完全平方公式的非负性求得原式的最大值，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ； ∵， ∴ ∴ = ， ， ∴原式． 故原式的最大值是15； 故答案为：15． 10．（24-25七年级上·上海·期中）式子，此时，叫做以为底的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则叫做以为底的对数，记为，则，同理，．由此可以得到下列式子：，根据以上的信息及运算关系，若，则 【答案】/ 【分析】本题考查新定义，同底数幂的乘法，设，，，则，，，再根据同底数幂的乘法及新定义得到，和的关系，求解即可．正确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：设，，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，先把原式变形为，然后根据平方差计算后，再根据完全平方公式计算，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 12．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式，根据乘法公式进行计算即可求解． 【详解】解： ． 13．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式的运用，首先将原式进行适当变形，然后应用平方差公式，再应用完全平方公式进行展开和化简． 【详解】解： ． 【考点4 通过对完全平方公式变形求值】 14．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1)13 (2)97 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）根据完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解： ，， ，， ； 15．（24-25七年级上·上海崇明·期中）已知，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了完全平方公式的应用及平方的非负性；解题的关键是掌握完全平方公式．根据完全平方公式求的，根据非负数的性质求出，，然后把变形为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 16．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）已知，，则 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．根据，结合，，进行求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：20． 17．（24-25七年级上·上海·期中）已知：，，则代数式的值为 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．根据题意得出，求得，将化简为，再整体代入，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【考点5 求完全平方式中的字母系数】 18．（24-25七年级上·上海·期中）如果是一个完全平方式，那么常数 ． 【答案】21或/或21 【分析】本题考查完全平方公式，熟记公式的形式，找出首项和尾项的底数是关键．根据完全平方式的形式可知，该式子首项为的平方，尾项为5的平方，则中间项为，可得结果． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得：或． 故答案为：21或． 19．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若关于的整式是某个关于的整式的平方，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据题意可知两平方项为，则一次项为，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的整式是某个关于的整式的平方，， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 20．（24-25七年级上·上海·期中）若是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定a的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得． 故答案为：． 21．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）已知是一个完全平方式，则k的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了求完全平方式，根据题意可知两平方项为、，据此可确定一次项，进而求出k的值即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 【考点6 整式的混合运算】 22．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，涉及多项式乘多项式，完全平方公式及平方差公式等知识，正确计算是解题的关键；先用平方差公式、多项式乘多项式展开，再用完全平方公式展开，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 23．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键． 先算乘方和除法，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 24．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式、多项式项式乘多项式及整式的加减，熟练掌握多项式项式乘多项式的运算法则是解题的关键，根据平方差公式、多项式项式乘多项式及整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解： ． 25．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，根据完全平方公式和平方差公式将原式展开，再合并同类项即可．掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 【详解】解： ． 【考点7 完全平方公式在几何图形中的应用】 26．（24-25七年级上·上海松江·期中）现有、、三种不同型号的卡片若干张（如图（1）），其中型卡片是边长为的正方形．型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，且．我们可以选取一些卡片，无重叠、无缝隙地拼成不同形状的长方形 (1)用型卡片1张，型卡片2张，型卡片1张可以拼成一个正方形如图（2），该正方形的边长为______，试根据该图形写出一个表示、数量关系的等式：______． (2)现有型卡片2张，型卡片2张，型卡片2张，从这6张卡片中去掉2张．用余下的4张卡片，拼出一个长方形，请画出大致的拼图，并写出拼成的长方形的边长（请给出所有可能的方案）． (3)如果要拼一个长为、宽为的长方形，设需要型卡片张，型卡片张，型卡片张，那么______． 【答案】(1)； (2)图见解析，长方形的长和宽分别为或或或或 (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，完全平方公式在几何图形中的应用： （1）根据图形之间的关系，结合图形面积之间的关系进行求解即可； （2）当2张A，2张B时，当2张B，2张C时，当1张A，2张B，1张C时，三种情况画出示意图求解即可； （3）根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，该正方形的边长为，则该正方形的面积为， ∵该正方形是由型卡片1张，型卡片2张，型卡片1张拼成的， ∴该正方形的面积为， ∴， 故答案为：；； （2）解：当2张A，2张B时，此时长方形的长和宽分别为或 当2张B，2张C时，此时长方形的长和宽分别为或 当1张A    ，2张B，1张C时，此时长方形的长和宽分别为； 综上所述，长方形的长和宽分别为或或或或； （3）解：， ∴需要A卡片2张，B卡片5张，C卡片2张， ∴， ∴． 27．（24-25七年级上·上海·期中）如图，点D是线段上一点，以为边向两边作正方形，面积分别是和，设，两个正方形的面积之和，则的面积为 ． 【答案】7 【分析】本题考查完全平方公式的几何应用，找到边与边关系是解答的关键．设，，根据题意得到，，利用完全公式求得，进而利用三角形的面积公式可求解． 【详解】解：设，， ∵，两个正方形的面积之和， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴， 故答案为：7． 28．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）我们知道，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题： (1)如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形的面积．可以得到代数恒等式：______； (2)若、满足：，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用，代数恒等式与图形的面积，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的几何背景． （1）利用面积相等求解即可； （2）利用（1）的结论，得到方程，求出t的值，再由，求符合条件的t的值即可． 【详解】（1）解：∵图中3个正方形的边长分别为a、b、c， ∴面积分别为， ∵边长为a、b的长方形有两个，边长为a、c的长方形有两个，边长为b、c的长方形有两个， ∴面积分别为， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 解得， ∵， ∴舍去， ∴． 29．（24-25七年级上·上海虹口·期中）如图3，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为的正方形卡片； 2号卡片：边长为的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为、的长方形卡片，其中． (1)填空：如图4，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_____． (2)填空：小明同学想用张1号卡片，张2号卡片，张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_____． (3)现有1号、2号、3号卡片各5张，请你设计：从这15张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图5放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图6放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 【答案】(1) (2)84 (3) (4) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征以及多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图形的面积即可； （2）根据多项式乘多项式的计算方法求出，再根据各种卡片的面积得出答案； （3）根据完全平方公式以及各个卡片的面积进行解答即可； （4）设长方形的长为，则宽为，分别求出与，再求得，从而得解． 【详解】（1）解：拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）解：1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为， 所以需要1号卡片20张，2号卡片21张，3号卡片43张， 即，，， ， 故答案为：84； （3）解：可以拼成边长为的正方形， 答：拼成最大面积的正方形边长为． （4）解：设长方形的长为，则宽为． 由题意：， ， ， ，即2号卡片的边长为． 30．（24-25七年级上·上海·期中）（1）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出之间的等量关系：_______ （2）若，则_______． （3）如图3，正方形的边长为，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式的变形应用． （1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积，可得答案； （2）将，代入（1）中公式即可； （3）由正方形的边长为x，则，得，设，得，则，代入即可． 【详解】解：（1）由图形知，大正方形的面积为，中间小正方形的面积为， 大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， 将代入得：， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵正方形的边长为x， ∴， ∴， 设， ∴， ∴ ， ∴图中阴影部分的面积为． 【考点8 同底数幂的除法运算】 31．（24-25七年级上·上海虹口·期中）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，故本选项错误，不符合题意； B．，故本选项正确，符合题意； C．和不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意； D．，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 32．（24-25七年级上·上海·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法以及同底数幂的除法．利用幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法以及同底数幂的除法法则求解即可求得答案． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 33．（24-25七年级上·上海·期中）下列计算正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，幂的乘方运算，同底数幂的除法，科学记数法，掌握基础运算法则是解本题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方运算，科学记数法的含义，逐项判断即可． 【详解】解：A．，不是同类项，，故选项不符合题意； B．，故选项不符合题意； C．，故选项不符合题意； D．，故选项符合题意； 故选：D． 34．（24-25七年级上·上海·期中）计算：（n是正整数）． 【答案】 【分析】本题考查的是同底数幂的除法，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则； 把看作一个整体，根据同底数幂的除法法则即可得到结果． 【详解】解： 35．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法和除法，根据运算法则和直接求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【考点9 同底数幂除法的逆用】 36．（24-25七年级上·上海·期中）已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的除法及幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 利用同底数幂的除法及幂的乘方的逆运算将原式变形，然后将已知的式子代入求解即可． 【详解】解：， ． 故选D． 37．（24-25七年级上·上海虹口·期中）已知，，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的混合运算，涉及幂的乘方的逆用和同底数幂的除法的逆用，运用相关公式的计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 38．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法逆用，熟练掌握同底数幂除法运算法则，是解题的关键．根据同底数幂除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 39．（24-25七年级上·上海·期中）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，先利用幂的乘方的逆运算法则和同底数幂的除法的逆运算法则将化简为，代入，求出，再利用幂的乘方的逆运算法则得到，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【考点10 幂的混合运算】 40．（24-25七年级上·上海·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的混合和运算及合并同类项．根据幂的运算法则，合并同类项法则逐一计算，即可得出答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 41．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则．根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【考点11 计算单项式除以单项式】 42．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）已知那么、的取值依次为（    ） A．2，3 B．4，3 C．1，3 D．4，1 【答案】B 【分析】本题考查了整式的除法．依据整式的除法法则得到，，即可求出m，n． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解方程组得，． 故选：B． 43．（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值：（为正整数），其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关的运算法则，把所求式子化简．先根据多项式除单项式和单项式除单项式法则算除法，再合并同类项，化简后将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 44．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，单项式除以单项式，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 45．（24-25七年级上·上海·期中）已知整式M，满足（n是正整数）， (1)求整式M； (2)当正整数x、z满足时，求M的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式除以单项式，幂的乘方的逆运算： （1）先计算等式左边的积的乘方计算，再计算等式右边的单项式除以单项式，再把等式两边同时除以左边的单项式即可得到答案； （2）先根据幂的乘方的逆运算法则把所给式子变形为，进而求出x、z的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴， ∴， ∴． 【考点12 多项式除以单项式】 46．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先根据单项式乘以单项式进行计算，再计算多项式除以单项式即可求解． 【详解】解： 47．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式运算，根据同底数幂相乘法则、积的乘方法则、多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解： 48．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查的是多项式除以单项式，把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的和相加即可． 【详解】解： ； 49．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键，根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【考点13 整式四则混合运算】 50．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算法，熟练掌握整式运算法则是解题的关键； 根据整式混合运算运算顺序计算即可. 【详解】解： 51．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了乘法公式和多项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 52．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘除混合运算，先算出积的乘方，再运算单项式除以单项式，以及多项式乘单项式，最后合并同类项，即可作答． 【详解】解： ． 53．（23-24七年级上·上海崇明·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握积的乘方和幂的乘方、单项式乘以单项式，多项式除以单项式法则是解题的关键； 先运算括号内的整式，再根据多项式除以单项式法则计算求解即可； 【详解】解： 过关检测 1．（24-25七年级上·上海·期中）化简： 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，以及完全平方公式．利用完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 2．（24-25七年级上·上海·期中）简便方法计算：． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平方差公式进行简便运算，熟练掌握知识点是解题的关键．将变形为，利用平方差公式即可求解． 【详解】解： ． 3．（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料： 已知：满足，求的值． 设，， 则，， 因此． 用上面的方法解下列问题： (1)已知：，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为，、分别是边、上的点，、，分别以、为边作正方形． ①______，______（用含的式子表示）； ②若长方形的面积是48，试求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)①；② 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，平方差公式．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． （1）设，则，再根据进行求解即可； （2）①正方形边长为x，则，再由结合图形可以表示出与； ②设，则，据此可得，则，阴影部分面积，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴ ； （2）解：①∵四边形是长方形、、四边形是正方形、 ， ，， 故答案为：． ②∵长方形的面积是4 8 ， ， 设， ∴，     ， ， 又， ， ∴阴影部分面积 即阴影部分的面积是 ． 4．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： 【答案】 【分析】此题考查了整式乘法公式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式乘法公式运算法则． 首先根据完全平方公式和平方差公式求解，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 5．（24-25七年级上·上海松江·期中）计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，先把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式进行求解即可． 【详解】解： ． 6．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，整式乘法的应用．先利用完全平方公式求得，再利用和结合即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ． 7．（24-25七年级上·上海·期中）已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：∵关于x的整式是某个关于x的整式的平方， ∴， ∴， 解得，或， 故答案为：或． 8．（24-25七年级上·上海·期中）设，是否存在有理数m，使得总是成立？若存在，求出满足条件的m；若不存在，说明理由． 【答案】存在， 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，整式的混合运算． 先化简，并把代入后得到，因此根据题意得到，求解即可解答． 【详解】解：当时， ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，总成立． 9．（24-25七年级上·上海·期中）【阅读材料】 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 类比应用： 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)已知正方形的边长为，、分别为、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边长作正方形和正方形，求正方形和正方形的面积和． 【答案】(1)3 (2) (3)正方形和正方形的面积和为． 【分析】本题主要考查乘法公式与图形的综合，掌握乘法公式中完全平方公式的变形，整式的混合运算方法是解题的关键． （1）根据材料提示，设，，则，，由此即可求解； （2）根据材料提示，设，，则，，再表示出，由此即可求解； （3）由题意可得，，，则，，，再根据材料提示方法即可求解． 【详解】（1）解：（1）设，， 则，， ∴ ； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴ ； （3）解：由题意可得，，， ∴，，， 设，，则，， ∴ ， 即正方形和正方形的面积和为． 10．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【答案】(1)1 (2)①2；②； 【分析】（1）根据新定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系，再计算即可． （2）①根据，，据此求出算式的值是多少即可． ②首先根据，，求出的值是多少；根据计算即可． 【详解】（1）解：由新定义可得，， ∴； （2）解：① ； ②∵， ∴； 由题意得， ． 【点睛】此题主要考查了幂的定义，同底数幂的乘法和除法．解答此题的关键还要明确劳格数的含义和应用，要熟练掌握． 11．（24-25七年级上·上海·期中）若，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆用和幂的乘方，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据同底数幂除法的逆用和幂的乘方可得，再把整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴将代入上式可得：， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先计算积的乘方，同底数幂的乘法，最后合并即可． 【详解】解：原式 ． 13．（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查单项式的乘除混合运算，运用积的乘方公式、单项式乘以单项式法则、单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 14．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式的除法，解题的关键是掌握单项式除以单项式的运算法则：单项式除以单项式运算法则：单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了多项式除以单项式，解答本题的根据在于掌握运算法则． 根据多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的除法，运用多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 17．（23-24七年级上·上海青浦·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、整式的混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．先计算积的乘方与幂的乘方、单项式乘单项式、单项式除以单项式，再计算整式的加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 乘法公式与整式的除法 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 平方差公式 3.平方差公式的特征 （1）左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项（a）完全相同，另一项（b和-b）互为相反数. （2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）. 归纳:平方差公式的应用一般有下面几种变形: 1.平方差公式的推导 2.平方差公式 （1）文字语言:两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差. （2）符号语言: 注意：公式中的a，b可以是任意的数或代数式. 知识点2 平方差公式的几何意义 一般地，若在边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，则剩余部分的面积为 剩余部分拼成一个长方形,这个长方形的长为(a+b）,宽为(ab),面积为(a+b)(a-b)计算化简得出左右两图剩余面积面积相等，因此，可以用拼图的方法验证平方差公式: 知识点3 完全平方公式的概念 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方的和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，即 知识点4 完全平方公式 1.完全平方公式的推导 注意：的符号取决于左边二项式中两项的符号. 2.完全平方公式 （1）文字语言:两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差. （2）符号语言: 注意：公式中的a，b可以是任意的数或代数式. 3.完全平方公式的特征 （1）文字语言: 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍. （2）符号语言: 4.公式的特征 （1）两个公式的左边都是一个二项式的平方的形式，二者仅有一个“符号”不同; （2）两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同; （3）公式中的可以是数，也可以是单项式或多项式. 归纳: 完全平方公式的应用一般有下面几种变形: 知识点5 完全平方公式的几何意义 一般地，可以通过从不同角度求几何图形的面积来验证完全平方公式 （1）验证 如图所示，一方面大正方形的面积为(a+b),另一方面大正方形的面积可看成四个部分的面积之和，则： （2）验证，同理，易得： 知识点6 同底数幂的除法 1.同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变,指数相减 2.同底数幂的除法运算法则的推导 推导1： 一般地，设， 推导2： 因为除法是乘法的逆运算，由,可以得到同底数幂的除法运算法则 知识点7 零指数幂 如果把公式(，推广到的情形,那么有.又,所以规定,即任何不等于零的数的零次幂为1 知识点8 幂的运算顺序 在含有乘方的同底数幂的乘除运算中，先算积的乘方、幂的乘方，再算同底数幂的乘除: 在只有乘除的运算中，应按从左到右的顺序进行,有括号的先算括号里面的 知识点9 单项式除以单项式 1.法则 两个单项式相除,把系数同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式 提示 单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为系数与系数相除，同底数幂分别相除 2.一般运算步骤 (1)系数:先确定商的系数，系数相除所得的商作为商的系数[注意系数的符号] (2)同底数幂：同底数幂相除，利用同底数幂的除法运算性质进行正确计算，所得的商作为商的一个因式 (3)只在被除式里含有的字母:只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，不能遗漏 知识点10 多项式除以单项式 1.法则 （1）多项式除以单项式,先把多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加 （2）式子表示： 2.实质 把“多项式除以单项式”转化为“单项除以单项式 注意： (1)在计算时，多项式里的各项要包括它前面的符号,还要注意各个运算结果的符号,不要将符号弄错; (2)多项式除以单项式要逐项相除，不要漏项，所得的商的项数与多项式的项数相同，多项式除以单项式商为 1的项不能漏掉. 考点剖析 【考点1 运用平方差公式进行运算】 1．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算： ． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若，，，则、、的大小关系是 （用“”连接）． 3．（24-25七年级上·上海·期中）计算 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算 (1)． (2)． 5．（24-25七年级上·上海·期中）使得是完全平方数的整数m的和等于多少？ 【考点2 平方差公式与几何图形】 6．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）我们可以通过拼图、推演得到了整式的乘法法则和公式，通过逆向思考得到了多项式因式分解的方法．如图，将边长为的正方形剪去一个边长为的正方形，再将剩余图形沿虚线剪开，拼成一个长方形，依据这一过程可得到的公式是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形与正方形的面积之差为，那么阴影部分的面积 ． 8．（24-25七年级上·上海·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． (1)情境一：如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，直接写出由此可以得到的乘法公式； (2)情境二：如图3，乙同学用4块A木片、1块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形， ①请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示）：_________． ②直接写出所用C木片的数量：_________块． (3)情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片，2块A，4块B，7块C拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，至少需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【考点3 运用完全平方公式进行运算】 9．（24-25七年级上·上海·期中）请同学运用计算，解决问题：已知x、y、z满足，求的最大值是 ． 10．（24-25七年级上·上海·期中）式子，此时，叫做以为底的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则叫做以为底的对数，记为，则，同理，．由此可以得到下列式子：，根据以上的信息及运算关系，若，则 11．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算： 12．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 13．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【考点4 通过对完全平方公式变形求值】 14．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 15．（24-25七年级上·上海崇明·期中）已知，求的值． 16．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）已知，，则 ． 17．（24-25七年级上·上海·期中）已知：，，则代数式的值为 【考点5 求完全平方式中的字母系数】 18．（24-25七年级上·上海·期中）如果是一个完全平方式，那么常数 ． 19．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若关于的整式是某个关于的整式的平方，则 ． 20．（24-25七年级上·上海·期中）若是一个完全平方式，则 ． 21．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）已知是一个完全平方式，则k的值为 ． 【考点6 整式的混合运算】 22．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）计算：． 23．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 24．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 25．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【考点7 完全平方公式在几何图形中的应用】 26．（24-25七年级上·上海松江·期中）现有、、三种不同型号的卡片若干张（如图（1）），其中型卡片是边长为的正方形．型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，且．我们可以选取一些卡片，无重叠、无缝隙地拼成不同形状的长方形 (1)用型卡片1张，型卡片2张，型卡片1张可以拼成一个正方形如图（2），该正方形的边长为______，试根据该图形写出一个表示、数量关系的等式：______． (2)现有型卡片2张，型卡片2张，型卡片2张，从这6张卡片中去掉2张．用余下的4张卡片，拼出一个长方形，请画出大致的拼图，并写出拼成的长方形的边长（请给出所有可能的方案）． (3)如果要拼一个长为、宽为的长方形，设需要型卡片张，型卡片张，型卡片张，那么______． 27．（24-25七年级上·上海·期中）如图，点D是线段上一点，以为边向两边作正方形，面积分别是和，设，两个正方形的面积之和，则的面积为 ． 28．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）我们知道，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题： (1)如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形的面积．可以得到代数恒等式：______； (2)若、满足：，，求的值． 29．（24-25七年级上·上海虹口·期中）如图3，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为的正方形卡片； 2号卡片：边长为的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为、的长方形卡片，其中． (1)填空：如图4，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_____． (2)填空：小明同学想用张1号卡片，张2号卡片，张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_____． (3)现有1号、2号、3号卡片各5张，请你设计：从这15张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图5放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图6放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 30．（24-25七年级上·上海·期中）（1）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出之间的等量关系：_______ （2）若，则_______． （3）如图3，正方形的边长为，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 【考点8 同底数幂的除法运算】 31．（24-25七年级上·上海虹口·期中）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25七年级上·上海·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25七年级上·上海·期中）下列计算正确的（   ） A． B． C． D． 34．（24-25七年级上·上海·期中）计算：（n是正整数）． 35．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【考点9 同底数幂除法的逆用】 36．（24-25七年级上·上海·期中）已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 37．（24-25七年级上·上海虹口·期中）已知，，那么的值为 ． 38．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）若，，则 ． 39．（24-25七年级上·上海·期中）若，，则的值为 ． 【考点10 幂的混合运算】 40．（24-25七年级上·上海·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 41．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算：． 【考点11 计算单项式除以单项式】 42．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）已知那么、的取值依次为（    ） A．2，3 B．4，3 C．1，3 D．4，1 43．（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值：（为正整数），其中． 44．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）计算：． 45．（24-25七年级上·上海·期中）已知整式M，满足（n是正整数）， (1)求整式M； (2)当正整数x、z满足时，求M的值． 【考点12 多项式除以单项式】 46．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： 47．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算： 48．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 49．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【考点13 整式四则混合运算】 50．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 51．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 52．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 53．（23-24七年级上·上海崇明·期末）计算：． 过关检测 1．（24-25七年级上·上海·期中）化简： 2．（24-25七年级上·上海·期中）简便方法计算：． 3．（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料： 已知：满足，求的值． 设，， 则，， 因此． 用上面的方法解下列问题： (1)已知：，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为，、分别是边、上的点，、，分别以、为边作正方形． ①______，______（用含的式子表示）； ②若长方形的面积是48，试求阴影部分的面积． 4．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： 5．（24-25七年级上·上海松江·期中）计算：； 6．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 7．（24-25七年级上·上海·期中）已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则 ． 8．（24-25七年级上·上海·期中）设，是否存在有理数m，使得总是成立？若存在，求出满足条件的m；若不存在，说明理由． 9．（24-25七年级上·上海·期中）【阅读材料】 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 类比应用： 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)已知正方形的边长为，、分别为、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边长作正方形和正方形，求正方形和正方形的面积和． 10．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 11．（24-25七年级上·上海·期中）若，那么 ． 12．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）计算： 13．（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算：． 14．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 15．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： ． 16．（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算：． 17．（23-24七年级上·上海青浦·期中）计算： 试卷第1页，共3页 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