精品解析：河南省新乡市第一中学（少儿部）2024-2025学年2024级上学期第二次月考数学试题

新乡市一中2024-2025学年上期少儿部2024级第二次月考 数学试卷 命题人： 审题人： 分值：120分 时间：100分 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 将数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 2. 定义一种新的运算：，如，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 1 3. 已知，且， 则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 或 4. 下列说法正确的是（　　） A. 如果，则 B. 如果，则 C. 绝对值等于它本身的数是和正数 D. 不存在相反数等于它本身的数 5. 鲁班锁是我国古代传统建筑物的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具．如图1是六根鲁班锁，图2是六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸，这个面的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 数学老师根据○中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码a是（ ） A. 322448 B. 324824 C. 468468 D. 324880 7. 若代数式的值与x的取值无关，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 对于非负整数x，使得是一个正整数，则符合条件x的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 9. 将正整数的算术平方根按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对（m，n）表示第m排，从左到右第n个数，如（4，3）表示实数，则（8，6）表示的实数是（　　） A. B. C. D. 10. 已知实数x，y，z满足，且，则的值为（　　） A. 12 B. 14 C. D. 9 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 如图为张晓亮的答卷，每个小题判断正确得20分，他的得分应是______分． 姓名：张晓亮，得分？ 1、×； 2、是个无理数×； 3、√； 4、√； 5、数轴上没有无理数×； 13. 已知ab＝2，＝，则多项式a3b＋2a2b2＋ab3的值为______． 14. 下列说法：①若，则x为负数；②若不是负数，则a为非正数；③；④若，，则．其中正确的结论有________．（填序号） 15. 已知实数m、n满足，则代数式______． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 先化简，再求值： （1）已知，求的值． （2）先化简，再求值：，其中a与2，3构成的三边长，且a为整数． 18. 【阅读材料】 ∵，即23，∴11＜2，∴1的整数部分为1，∴1的小数部分为2 【解决问题】 （1）填空：的小数部分是　　　　 　　　　 ； （2）已知a是4的整数部分，b是4的小数部分，求代数式（﹣a）3+（b+4）2的值． 19. 先阅读下列解答过程：已知有一个因式，求m的值． 解：可以设为一个因式为，则，即 由此得：∴﹔也可以采用另一种方式：当时，， 解得．然后解答问题： （1）已知有一个因式，则另一个因式为___________； （2）已知有一个因式，求m的值； （3）已知多项式有一个因式，求k的值及直接写出此多项式分解因式的结果． 20. 阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： （1）化简：_____； （2）的有理化因式是______，______； （3）比较大小：______（填，，，或中的一种）； （4）若，求的值． 21. 【阅读材料】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有的多项式只用上述方法无法分解，如．观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为： ，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式______； （2）已知的三边a，b，c满足，请判断的形状，并说明理由． （3）已知，，求的值． 22. 【阅读材料】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛，如我们把看成一个整体，则． 【尝试应用】（1）已知，求的值； （2）已知，求的值； 【拓展探索】（3）把一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，已知，请观察图形，求图②中的阴影部分面积． 23. 已知：如图数轴上有A、B、C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）点A表示的有理数是________，点C表示的有理数是________，点P表示的数是________（用含t的式子表示）； （2）当________秒时，P、B两点之间相距10个单位长度？ （3）若点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得为一个定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新乡市一中2024-2025学年上期少儿部2024级第二次月考 数学试卷 命题人： 审题人： 分值：120分 时间：100分 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 将数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解： 故选C． 2. 定义一种新的运算：，如，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据定义公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 3. 已知，且， 则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，有理数的加法计算，绝对值的意义，先由绝对值的意义得到x、y的值，再根据已知条件确定x、y的值，进而代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4. 下列说法正确的是（　　） A. 如果，则 B. 如果，则 C. 绝对值等于它本身的数是和正数 D. 不存在相反数等于它本身的数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数，相反数，绝对值的知识，解题的关键是根据有理数的大小比较，绝对值的性质，相反数的定义，对选项分析判断，即可． 【详解】解：A、当，时，，错误，不符合题意； B、当，时，，错误，不符合题意； C、绝对值等于它本身的数是和正数，正确，符合题意； D、的相反数等于它的本身，错误，不符合题意； 故选：C． 5. 鲁班锁是我国古代传统建筑物的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具．如图1是六根鲁班锁，图2是六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸，这个面的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用代数式表示式，解题的关键是根据图形的特点求解；由大长方形面积减去小长方形的面积即可． 【详解】解：如图，这个面的面积为， 故选：A． 6. 数学老师根据○中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码a是（ ） A. 322448 B. 324824 C. 468468 D. 324880 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数字的变化规律的探索．根据所给密码可知，第一个数与最后一个数的乘积的结果是密码的前两位，第二个数与最后一个数的乘积的结果是密码的中间两位，第一个数与第二个数的和与最后一个数的乘积的结果是密码的最后两位，由此求解即可． 【详解】解：由前3个密码与三个数字的关系可以发现： 第1、2个数字为最上面的数与下面右边的数的积； 第3、4个数字为下面的两个数的积； 第5、6个数字为最上面的数与下面左边的数的和与右边的数的积． ∵， ∴该校的密码a是324880； 故选D． 7. 若代数式的值与x的取值无关，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把代数式去括号，合并为关于x的代数式，令含有字母x的项的系数为零，可求出m，n的值，从而求出的值． 【详解】解： ∵代数式的值与x的取值无关 ∴， ∴， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的加减运算，关键是正确理解题意：代数式的值与x无关，即合并同类项后的系数为0． 8. 对于非负整数x，使得是一个正整数，则符合条件x的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】将看作一个整体，把代数式中的分子运用完全平方公式进行变形，再根据正整数的特性即可得出答案． 【详解】， ， ， ， 为非负整数，是一个正整数， 的值只能为6， 即符合条件的个数有1个， 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用等知识点，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 9. 将正整数的算术平方根按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对（m，n）表示第m排，从左到右第n个数，如（4，3）表示实数，则（8，6）表示的实数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列规律解答．从图中可以发现，第m排的最后的数为：，据此即可求得答案. 【详解】从图中可以发现，第m排的最后的数为：， ∵第8排最后的数为：， ∴第8排第6个数为， 故选B. 【点睛】本题考查了规律题——数字的变化类，找到第m排的最后的数的表达式是解题的关键. 10. 已知实数x，y，z满足，且，则的值为（　　） A. 12 B. 14 C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】把两边加上3，通分得到，两边除以得到，则，从而得到的值． 【详解】解：， ， 即， ， 而， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．解决问题的关键是从后面的式子变形出． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，正确应用完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式将根号下部分变形开平方，然后计算加减即可． 【详解】 ． 故答案为：． 12. 如图为张晓亮的答卷，每个小题判断正确得20分，他的得分应是______分． 姓名：张晓亮，得分？ 1、×； 2、是个无理数×； 3、√； 4、√； 5、数轴上没有无理数×； 【答案】80 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简，二次根式的化简，无理数的概念，无理数的大小估算等知识点，根据分式的化简，二次根式的化简，无理数的概念，无理数的大小估算逐项求解判断即可． 【详解】1、，故错误； 2、是分数，属于有理数，不是无理数，故错误； 3、，故错误； 4、∵ ∴ ∴，故正确； 5、数轴上有无理数，故错误． 综上所述，一共对了4个小题， ∴他的得分应是分． 故答案为：80． 13. 已知ab＝2，＝，则多项式a3b＋2a2b2＋ab3的值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】已知第二个等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，把ab＝2代入求出a+b的值，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵ab=2，， ∴，即a+b=3， 则原式=ab（a2+2ab+b2） =ab（a+b）2 =2×32 =2×9 =18． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 14. 下列说法：①若，则x为负数；②若不是负数，则a为非正数；③；④若，，则．其中正确的结论有________．（填序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查绝对值的性质；理解绝对值的性质是解题的关键． 依据题意，根据绝对值的性质逐个分析判断可以得解． 【详解】解：若， ∴， ∴， ∴①的说法错误； 若不是负数， ∴． ∴，即a为非正数； ∴②的说法正确； ∵，， ∴， ∴③的说法正确； 若，， ∴． ∴． ∴④的说法正确． 综上所述：正确的结论有②③④． 15. 已知实数m、n满足，则代数式______． 【答案】-1 【解析】 【分析】由得，代入所求，再变形即可化简求解． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：-1． 【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知分式的运算法则． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用二次根式的性质化简，零指数幂等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （2）首先利用二次根式的性质化简，零指数幂，然后计算加减． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 17. 先化简，再求值： （1）已知，求的值． （2）先化简，再求值：，其中a与2，3构成的三边长，且a为整数． 【答案】（1）， （2），6 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，整式的加减运算以及代数求值，三角形三边关系，绝对值和平方的非负性，正确化简是解题关键． （1）根据平方和绝对值结果的非负性求a、b的值，然后根据整式的加减运算化简后代入计算． （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，确定出a的值，代入计算即可求出值． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解： ． ∵与2，3构成的三边长， ∴ ，即． ∵ 为整数， ∴ 为2或3或4． 当时，分母（舍去）； 当时，分母（舍去）． 故的值只能为3． ∴当时，． 18. 【阅读材料】 ∵，即23，∴11＜2，∴1的整数部分为1，∴1的小数部分为2 【解决问题】 （1）填空：的小数部分是　　　　 　　　　 ； （2）已知a是4的整数部分，b是4的小数部分，求代数式（﹣a）3+（b+4）2的值． 【答案】（1）；（2）21． 【解析】 【分析】（1）由于81＜91＜100，可求的整数部分，进一步得出的小数部分； （2）先求出4的整数部分和小数部分，再代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）∵81＜91＜100， ∴9＜＜10， ∴的整数部分是9， ∴的小数部分是9； （2）∵16＜21＜25， ∴4＜＜5， ∵a是4的整数部分，b是4的小数部分， ∴a=4﹣4=0，b4， ∴（﹣a）3+（b+4）2=0+21=21． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法和无理数整数部分和小数部分的表示方法是解题关键． 19. 先阅读下列解答过程：已知有一个因式，求m的值． 解：可以设为一个因式为，则，即 由此得：∴﹔也可以采用另一种方式：当时，， 解得．然后解答问题： （1）已知有一个因式，则另一个因式为___________； （2）已知有一个因式，求m的值； （3）已知多项式有一个因式，求k的值及直接写出此多项式分解因式的结果． 【答案】（1） （2）； （3）， 【解析】 【分析】此题主要考查因式分解，理解题意，设出因式，运用题目中的方法求解是解题关键． （1）利用题目中已知的方法求解即可； （2）利用题目中已知的方法列出二元一次方程组求解即可； （3）设另一个因式为，利用题目中已知的方法列出二元一次方程组求解即可． 【小问1详解】 解：设另一个因式为，则 ， 即（对任意实数x成立） 由此得， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 设另一个因式为，则 ， 即（对任意实数x成立） 由此得， 解得：； 【小问3详解】 设另一个因式为，则 ， 即（对任意实数x成立） 由此得， 解得：， ∴k的值为． ∴ 20. 阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： （1）化简：_____； （2）的有理化因式是______，______； （3）比较大小：______（填，，，或中的一种）； （4）若，求的值． 【答案】（1） （2）， （3） （4）9 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用二次根式的运算法则进行化简求解； （2）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； （3）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解； （4）先利用有理化因式的定义求出，再将所求值的代数式进行配方得到，再将代入求解． 【小问1详解】 解：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：的有理化因式是． ． 故答案为：， 【小问3详解】 解：因为 ，， 而， ． 和都是大于的数， ． 故答案为：． 【小问4详解】 解： ， ， ， ． 21. 【阅读材料】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有的多项式只用上述方法无法分解，如．观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为： ，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式______； （2）已知的三边a，b，c满足，请判断的形状，并说明理由． （3）已知，，求的值． 【答案】（1） （2） 解：是等边三角形，理由如下： 依题意，将方程变形得， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）2． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的方法和应用，灵活掌握分组分解法是解题的关键． （1）结合分组分解法因式分解即可； （2）依题意，分组分解可得：，进一步分析可得，可得解； （3）依题意，分组分解可得：，进一步分析可得解． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意，可得，代入可得： ， 即， ∴， ∴， ∴． 22. 【阅读材料】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛，如我们把看成一个整体，则． 【尝试应用】（1）已知，求的值； （2）已知，求的值； 【拓展探索】（3）把一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，已知，请观察图形，求图②中的阴影部分面积． 【答案】（1）（2）2019（3）128 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，求代数式的值，整体思想的运用是解答本题的关键． （1）把看成一个整体合并同类项即可； （2）由题意得，把，代入整理可得答案； （3）先求出大小正方形的边长，然后用大正方形的面积减去小正方形的面积即可． 【详解】（1）解：， ； （2）， ， 把，代入，得； （3）观察图形可知：大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∵， ∴． 23. 已知：如图数轴上有A、B、C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）点A表示的有理数是________，点C表示的有理数是________，点P表示的数是________（用含t的式子表示）； （2）当________秒时，P、B两点之间相距10个单位长度？ （3）若点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得为一个定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）5或15 （3）存在，，定值为 【解析】 【分析】对于（1），设点B表示的数为x，则点A表示的数为，再两点之间的距离可得，求出解即可，然后根据，可知点C表示的有理数，最后根据动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为t秒，可得点P表示的数； 对于（2），分两种情况：当点P在点B左边时和当点P在点B右边时，分别表示，再根据P、B两点之间相距10个单位长度，列出方程，求出解即可； 对于（3），分别表示出，再根据等于，结合题意求出答案即可． 【小问1详解】 解：设点B表示的数为x，则点A表示的数为， ∵点A和点B间距20个单位长度， ∴， 解得， ∴点A表示的有理数是；点B表示的有理数是10． ∵， ∴点C表示的有理数是． ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为t秒， ∴点P表示的数是． 故答案为：； 【小问2详解】 当点P在点B左边时，， ∵P、B两点之间相距10个单位长度， ∴， 解得； 当点P在点B右边时，， ∵P、B两点之间相距10个单位长度， ∴， 解得， ∴当或15秒时，P、B两点之间相距10个单位长度. 故答案为：5或15； 【小问3详解】 存在常数m，使得为一个定值． 理由如下： 由题意可知，点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为， ∴， ∴ ， ∵要使得为一个定值， ∴， 解得， ∴， ∴，这个定值为． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，相反数，数轴上的动点问题，弄清并表示线段的长是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $