精品解析：河南省南阳市卧龙区南阳市第十九中学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024秋九年级数学第二次素质调研作业 一．选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. “买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B. “汽车累积行驶，从未出现故障”是不可能事件 C. 天气预报说“明天的降水概率为”，意味着明天一定下雨 D. “清明时节雨纷纷”为随机事件 2. 方程配方后可化成的形式，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 3. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 4. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 5. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是(　　　) A. B. C. D. 6. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 7. 六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 若，，为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园，其中一边靠墙，的长不能超过，其余的三边用总长为40米的栅栏围成．有下列结论：①的长可以为；②有两个不同的值满足菜园的面积为；③菜园面积的最大值为．正确结论的个数是（ ）     A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二．填空题（共5小题，每题3分） 11. 计算：﹣=__． 12. 方程的解是______． 13. 如图所示的电路图，同时闭合两个开关小灯泡不亮的概率是______． 14. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，当时，测得，，点到的距离是，则到的距离是________． 15. 已知矩形纸片，，，点P在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为______． 三．解答题（共8小题） 16. 计算和解方程： （1）计算：； （2）解方程：； 17. 为丰富学生课外活动，各校积极开展各类社团活动．某校开设了“健美操”社团项目，某班级4名有舞蹈基础的学生准备报名参加“健美操”社团，其中2名男生，2名女生，由于该社团名额有限，只能从中随机选取部分学生进入“健美操”社团． （1）若只能从这4名学生中随机选取1人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为　　　　； （2）若从这4名学生中随机选取2人进入“健美操”社团，请用画树状图或列表格的方法，求选中的2名学生中恰好是1男1女的概率． （3）若从这4名学生中随机选取2人进入“健美操”社团，选中的2名学生中至少有1名男生的概率是　　　　． 18. 在学习锐角三角函数时，下边是小豫和小宛的对话， 小豫：如果那么． 小宛：不对，用下边的问题可以验证这种说法错误． 如图，在中，，求出和的值，就可以验证这种说法是错误．请你按照小宛的方法，完成上边的验证． 19. 如图，已知函数 （1）把函数关系式配方成顶点式； （2）在图中的坐标系中画出函数图象； （3）当时，y的取值范围是　　　　； （4）画出直线，记作直线a，过直线a上一点作x轴的平行线，交直线a和抛物线于点A、B、C，则A、B、C三点横坐标的和是　　　　． 20. 某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年，共种植288亩． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低2元，每天可多售出30千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则每千克橙子售价应降低多少元？ 21. 陕甘边革命根据地照金纪念馆广场上屹立着三位革命家的塑像，某数学兴趣小组计划在假期前往照金纪念馆学习，并测量塑像高度，测量方案如下： 如图，点B、E、F、D四点在同一条直线上，先在点E处放置平面镜，小明从点E处沿方向移动到点B处，视线刚好在平面镜内看到塑像顶端C的像，再在点F处安装测倾器，测得塑像顶端C的仰角为测得眼睛离地面高度米，米，米，米，，，.求塑像的高度.平面镜大小忽略不计，参考数据：，， 22. 如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路线为抛物线的一部分．甲在点O正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为．当羽毛球在水平方向上运动4m时，达到最大高度2m． （1）求羽毛球经过的路线对应的函数表达式． （2）通过计算判断此球能否过网． （3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m的Q处时，乙击球成功，求此时乙与球网的水平距离． 23. 【阅读理解】 在一个三角形中，如果有两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“亚直角三角形”．根据这个定义，显然，则这个三角形的第三个角为，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形． 【尝试运用】 （1）若某三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为，请直接写出它的两个锐角的度数； （2）如图1，在钝角中，，的面积为42，求证：是“亚直角三角形”．（提示：作，垂足是点D） 【素养提升】 （3）如图2，在中，，点D在边上，连接，若是“亚直角三角形”，直接写出线段的长； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024秋九年级数学第二次素质调研作业 一．选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. “买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B. “汽车累积行驶，从未出现故障”是不可能事件 C. 天气预报说“明天的降水概率为”，意味着明天一定下雨 D. “清明时节雨纷纷”为随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机事件的定义，对选项中的事件进行判断即可． 【详解】解：A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是随机事件，故原选项判断错误，不合题意； B．“汽车累积行驶，从未出现故障”是随机事件，故原选项判断错误，不合题意； C．“明天的降水概率为”，是说明天降水的可能性是，是随机事件，故原选项判断错误，不合题意； D．“清明时节雨纷纷”为随机事件，故原选项判断正确，符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了“不可能事件、随机事件、必然事件”的判断，熟知三种事件的定义并根据实际情况准确判断是解题关键． 2. 方程配方后可化成的形式，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程的方法—配方法．先将常数移项到右边，再在左边配成完全平方即可． 【详解】解： ． 故选：C． 3. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故选A． 4. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的平移特征“左加右减，上加下减”即可进行解答． 【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键． 5. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是(　　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得AC，再说明△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可． 【详解】解：∵， ∴AC=1.2m+12.8m=14m ∵标杆和建筑物CD均垂直于地面 ∴BE//CD ∴△ABE∽△ACD ∴,即,解得CD=17.5m． 故答案为A． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键． 6. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握二次函数的图象与性质并能灵活运用是关键．依据题意，根据的图象与性质即可逐个判断进而得解． 【详解】解：根据可得对称轴是直线，顶点为， 故选项B错误和选项C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 故选项A和选项D错误； 故选：C． 7. 六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，分别用A、B、C、D表示篮球、足球、排球、羽毛球，根据题意画树状图求解即可． 【详解】解：分别用A、B、C、D表示篮球、足球、排球、羽毛球， 列树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能情况，其中甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的情况有种， 即甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是， 故选：C． 8. 二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的综合判断，根据一次函数和二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知：，由抛物线的开口方向可知：，不符合题意； B、由一次函数的图象可知：，由抛物线的开口方向和对称轴的位置可知：，符合题意； C、由一次函数的图象可知：，由抛物线的开口方向和对称轴的位置可知：，不符合题意； D、由一次函数的图象可知：，由抛物线的开口方向可知：，不符合题意； 故选B． 9. 若，，为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出各点到对称轴的距离是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性以及点到对称轴的距离解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，且开口向上， ∵，，， ∴点距离对称轴最近，点距离对称轴最远， ∴， 故选：． 10. 如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园，其中一边靠墙，的长不能超过，其余的三边用总长为40米的栅栏围成．有下列结论：①的长可以为；②有两个不同的值满足菜园的面积为；③菜园面积的最大值为．正确结论的个数是（ ）     A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，设边长为，则边长为，根据列出方程，解方程求出x的值，根据x取值范围判断①；根据矩形的面积，解方程求出x的值可以判断②；设矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③. 【详解】解：设边长为，则边长为， 当时，， 解得 ∵的长不能超过， ∴， 故①不正确； ∵菜园面积为， ∴， 整理得： 解得或 ∵， ∴， ∴的长只有一个值满足菜园面积为，故②错误； 设矩形菜园的面积为，　　 根据题意得：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为200. 故③正确； ∴正确的有１个， 故选：B． 二．填空题（共5小题，每题3分） 11. 计算：﹣=__． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次根式化简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】原式=3-2 =． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题得关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 12. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，移项后，进行因式分解，再进行计算即可． 【详解】解：， ∴； 故答案为：． 13. 如图所示的电路图，同时闭合两个开关小灯泡不亮的概率是______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，根据题意画出树状图，根据树状图求出总的情况数及同时闭合两个开关小灯泡不亮的情况数，利用概率公式计算即可求解，掌握列表法或树状图法是解题的关键． 【详解】解：由题意，可画树状图如下： 由树状图可得，共有种情况，其中同时闭合两个开关小灯泡不亮的有种， ∴同时闭合两个开关小灯泡不亮的概率是， 故答案为：． 14. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，当时，测得，，点到的距离是，则到的距离是________． 【答案】64 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离，平行线间的距离，相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． 过点O作于M，延长交于N，先证明，再证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”求出，然后由计算即可求解． 【详解】解：过点O作于M，延长交于N，如图， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：64． 15. 已知矩形纸片，，，点P在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为______． 【答案】或2 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，分两种情况进行讨论：当时，当，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 当时，如图所示： ∵， ∴点在上， 根据折叠可知：，， 设，则， ∴， ， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 当，如图所示： 根据折叠可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上分析可知：或2． 故答案为：或2， 三．解答题（共8小题） 16. 计算和解方程： （1）计算：； （2）解方程：； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解一元二次方程： （1）先进行乘法公式的运算，再合并同类项即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 ∴． 17. 为丰富学生课外活动，各校积极开展各类社团活动．某校开设了“健美操”社团项目，某班级4名有舞蹈基础的学生准备报名参加“健美操”社团，其中2名男生，2名女生，由于该社团名额有限，只能从中随机选取部分学生进入“健美操”社团． （1）若只能从这4名学生中随机选取1人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为　　　　； （2）若从这4名学生中随机选取2人进入“健美操”社团，请用画树状图或列表格的方法，求选中的2名学生中恰好是1男1女的概率． （3）若从这4名学生中随机选取2人进入“健美操”社团，选中的2名学生中至少有1名男生的概率是　　　　． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查树状图或列表法求概率： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行求解即可； （3）借助（2）中的树状图，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意，选中的学生是男生的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 画出树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中一男一女的情况有8种， ∴； 故答案为：； 【小问3详解】 由（2）中树状图可知，共12种等可能的结果，其中至少有1名男生的结果有10种， ∴； 故答案为：． 18. 在学习锐角三角函数时，下边是小豫和小宛的对话， 小豫：如果那么． 小宛：不对，用下边的问题可以验证这种说法错误． 如图，在中，，求出和的值，就可以验证这种说法是错误．请你按照小宛的方法，完成上边的验证． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查求角的正弦值，过点作，三线合一，结合勾股定理求出的长，等积法求出的长，再利用正弦的定义，求出和的值，即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴，， 在中，，， ∵，， ∴，即：， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴小豫的说法是错误的． 19. 如图，已知函数 （1）把函数关系式配方成顶点式； （2）在图中的坐标系中画出函数图象； （3）当时，y的取值范围是　　　　； （4）画出直线，记作直线a，过直线a上一点作x轴的平行线，交直线a和抛物线于点A、B、C，则A、B、C三点横坐标的和是　　　　． 【答案】（1） （2）图见解析 （3） （4）1 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，正确的画出函数图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）利用配方法，进行求解即可； （2）利用五点作图法，画出函数图象即可； （3）根据图象，进行作答即可； （4）根据抛物线的对称性，进行求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 列表如下： 0 1 2 3 4 0 1 0 描点，作图如下： 【小问3详解】 由图可知，当时： 当时，，最小 当时，最大， ∴； 【小问4详解】 如图， 由图可知：点的横坐标为，两点关于对称轴对称，对称轴为直线， ∴， ∴，三点的横坐标的和为：； 故答案为：1． 20. 某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年，共种植288亩． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低2元，每天可多售出30千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则每千克橙子售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）6元 【解析】 【分析】本题考查了增长率，最大利润问题， （1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，由题意得：，求解即可； （2）设降价y元，则每千克橙子盈利元，每天可售出千克，利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造方程，解之即可． 【小问1详解】 设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x， 由题意得：， ∴， ∴（舍去负值）， ∴， 答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率是 【小问2详解】 设降价y元，则每千克橙子盈利元，每天可售出千克， 根据题意，得 整理，得， 解得(舍去)， 答：每千克售价应降低6元． 21. 陕甘边革命根据地照金纪念馆广场上屹立着三位革命家的塑像，某数学兴趣小组计划在假期前往照金纪念馆学习，并测量塑像高度，测量方案如下： 如图，点B、E、F、D四点在同一条直线上，先在点E处放置平面镜，小明从点E处沿方向移动到点B处，视线刚好在平面镜内看到塑像顶端C的像，再在点F处安装测倾器，测得塑像顶端C的仰角为测得眼睛离地面高度米，米，米，米，，，.求塑像的高度.平面镜大小忽略不计，参考数据：，， 【答案】塑像的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用． 过点G作，垂足为H，根据题意可得：，米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再根据垂直定义可得，从而可证∽，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：过点G作，垂足为H， 由题意得：，米，， 设米， 米， 米， 在中，， 米， 米， ，， ， ∽， ， ， 解得：， 经检验：是原方程的根， 米， 塑像的高度约为米． 22. 如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路线为抛物线的一部分．甲在点O正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为．当羽毛球在水平方向上运动4m时，达到最大高度2m． （1）求羽毛球经过的路线对应的函数表达式． （2）通过计算判断此球能否过网． （3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m的Q处时，乙击球成功，求此时乙与球网的水平距离． 【答案】（1）y= （2）能 （3）2米 【解析】 【分析】（1）根据题意，抛物线顶点坐标为，与轴交点坐标为，用待定系数法即可求得； （2）将代入所求解析式中，求出的值与比较大小即可判断出结果； （3）把代入所求解析式中，对方程求解，再减去5即可得到答案． 本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数的函数关系式． 【小问1详解】 解：根据题意，抛物线顶点坐标为，与轴交点坐标为， 设羽毛球经过的路线对应的函数表达式为， 把代入得：， 解得， ； ∴羽毛球经过的路线对应的函数表达式为 【小问2详解】 解：在中， 令得 ， ∴此球能过网； 【小问3详解】 解：在中， 令得： 解得（舍去）或， （米）， ∴乙与球网的水平距离为2米． 23. 【阅读理解】 在一个三角形中，如果有两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“亚直角三角形”．根据这个定义，显然，则这个三角形的第三个角为，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形． 【尝试运用】 （1）若某三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为，请直接写出它的两个锐角的度数； （2）如图1，在钝角中，，的面积为42，求证：是“亚直角三角形”．（提示：作，垂足是点D） 【素养提升】 （3）如图2，在中，，点D在边上，连接，若是“亚直角三角形”，直接写出线段的长； 【答案】（1）和（2）见解析（3）或 【解析】 【分析】（1）根据新定义结合三角形的内角和定理得到，进行求解即可； （2）作，垂足是点D，三角形的面积公式求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，推出，证明，得到，进而推出，即可得证； （3）分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为， ∴，解得：， ∴两个锐角的度数分别为：和； （2）作，垂足是点D， 则：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“亚直角三角形”； （3）∵， ∴， 由题意，，且是“亚直角三角形”，分两种情况： ①当， ∵， ∴， ∴， ∴为的角平分线， 作，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，，即：，解得：， ∴， 在中，； ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，三角形的内角和等知识点，熟练掌握相关知识点和新定义，以及分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $