河南省漯河市高级中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试卷

2024-2025学年(上)高二年级第二次月考 数学月考题 考试时间:120分钟 试卷满分:150分 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若直线l1:(m+3)x+4y+3m-5=0与l2:2x+(m+5)y-8=0平行，则m的值为( ) A.-7 B.-1或-7 C.-6. D.- 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2023>0,S2024<0，则当Sn最大时,n=( ) A.1010 B.1011 C. 1012 D.1013 3.已知A(-2,0),B(2,0),动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则△MAB面积的最 大值( ) A.8 B.8 C.4 D.8π 4.如图甲，在边长为4的正方形ABCD中,E,F分别是AB，BC的中点，将△AED,△BEF,△DCF 分别沿DE,EF,DF折起，使得A,B,C三点重合于点A′,如图乙,若三棱锥A′-EFD的所有顶点均在球0的球面上，则球0的体积为( ) A.π B.6π C.8π D.8π 5.椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，斜率为1的直线l过焦点F1,交 C于A、B两点,且△ABF2,的内切圆的面积是π，若椭圆C的离心率的取值范围为[，] 则线段AB的长度的取值范围是( ) A.[6,12] B.[6.12] C.[4,8] D.[4,8] 6.已知在数列{an}中,a1=2,an+1=,bn=(-1)n(2n+1)anan+1，数列{bn}的前n项和为Sn, 则S100=( ) A.- B. C. D.- 7.小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问:平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢?又具备哪些性质呢?老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的;这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设F1(-1,0),F2(1,0)是平面直角坐标系xOy内的两个定点，满足|PF1|•|PF2|=2的动点P的轨迹为曲线C,从而得到以下4个结论:①曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形；②动点P的横坐标的取值范围是[-，]；③|OP|的取值范围是[1,]；④△PF1F2的面积的最大值为1.其中正确结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1,中，点M为CC1上的动点，0为正方体内一点,则以下命题错误的是( ) A.B1M+DM取得最小值2 B.四面体ABMD的外接球的表面积为5π时，CM=1 C.当M为中点时，平面BMD1截正方体所得的截面为平行四边形 D.若AO=CO,A10=2，则点0的轨迹长为π 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列结论正确的是( ) A.已知向量a=(9,4,-4),b=(1,2,2)，则a在b上的投影向量为(1,2,2) B.若对空间中任意一点0，有=++,则P,A,B,C四点共面 C.已知{a,b,c}是空间的一组基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一组基底 D.若直线1的方向向量为e=(1,0,3),平面α的法向量n=(-2,0,)，则直线l⊥α 10.已知椭圆C:+=1(a>b>0),F1,F2,分别为C的左、右焦点，A,B分别为C的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点,且点P到F2距离的最大值和最小值分别为3和1,则下列结论正确的是( ) A.椭圆C的离心率为 B.存在点P，使得PF1⊥PF2 C.若|PF1|•|PF2|=,则△PF1F2外接圆的面积为π D.+的最小值为 11.数列{an}满足an+1+2anan+1-an=0(n∈N*).a1=1，则下列结论正确的是( ) A.bn=,则{bn}的前n项和为 B.++…+= C.数列{}的前项和为(-1)n•n D.数列{()n•最大项为第10项 三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分. 12.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=25，S17=S9,,若Sm=S14，则m的值为 . 13.已知F1,F2是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，P是它们的一个公共点，且PF1⊥PF2，若C1和C2的离心率分别为e1,e2,则+的取值范围是 . 14.已知函数f(x) =λsin(x+)(λ>0,0<<π)的部分图象如图1所示，A.B分别为图象的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于A′，点C为该部分图象与x轴的交点,将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角,如图2所示，此时|AB|=,则下列结论正确的有 . ①λ=②=π③图2中,•=5 ④图2中，S是△A′BC及其内部的点构成的集合,设集合T={Q∈S||AQ|≤2}，则T表示的区域的面积大于. 四、解答題:本題共5小题，共77分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15.在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=-2x上，且圆M与直线x-y-5=0相切于点P(2,-3). (1)求圆M的方程； (2)过坐标原点0的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程. 16.设数列{an}是首项为1的等比数列，已知a1,a2+,4a3,成等差数列，数列{bn}满足bn=. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式: (2)记Sn和Tn分别为数列{an}和{bn}的前n项和，证明:Tn<Sn. 17.椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上，两焦点F1，F2之间的距离为2，椭圆上第一象限 内的点满足PF1⊥PF2,且△PF1F2的面积为1. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若椭圆C的右顶点为A，直线l1:y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且满足 AM⊥AN，求证:直线过定点,并求出定点的坐标. 18.如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC,,AB=AD=BC=2,E是BC的中点，AE∩BD=M,将△BAE沿着AE翻折成△B1AE，使B1M⊥平面AECD. (1)求证:CD⊥平面BDM. (2)求平面B,MD与平面BAD夹角的余弦值: 19.已知点Mn(bn,- bn}在椭圆Cn:+=1(an>bn>0)上,An,Bn分别为Cn的左、右顶点, Pn,Qn为Cn上不同于An,Bn的两动点,Cn的长半轴长an的取值组成的数列{an}满足以下性质:当 直线AnPn的斜率与直线BnQn的斜率恒满足=3时,直线PnQn与x轴交于点Dn(-an+1,0). (1)求椭圆Cn的离心率. (2)证明:数列{an}是等比数列， (3)定义:无穷等比递减数列{dn}的所有项之和为S==,其中d1为{dn}的首项,q为{dn}的公比,且0<q<1,设0为坐标原点,a1=2,Sn为凹四边形BnPnOQn的面积,求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年（上)高二年级第二次月考 数学参考答案 愿号 2 3 4 5 9 10 11 答案 B D B ABC ACD ACD 12.12 13. (22 14.①②③ 15.【详解】(1)易知过点P(2,-3)且与直线x~y-5=0垂直的直线斜率为-1， x=1 故圆心M与切点连线方程为x+y+1=0,联立 x+y+1=0 y=-2x 解得 y=-2' 所以M(1,-2): 所以圆M的半径为MP=V(2-1+(-3+2)=V2,所以圆M的方程为(x-1)2+0+2=2: (2)如图，由(1)可知圆M的方程为(x-1)+(0+2)2+2,因为直线1被圆M 截得的弦长为√，所以M到直线I的距离为( 6 若直线！的斜率不存在，则方程为x=0,此时圆心到直线的距离为1，不符合题意： 若直线1的斜率存在，设方程为y=:,则d= k+2- ,即k2+8k+7=0,解得k=-1或k=-7, Vk2+12 所以直线1的方程为x+y=0或7x+y=0. 16【详解1)因为口}是首项为1的等比数列且4，马+分妈成等差数列， 设{a,}的公比为9(g≠0)，由2(a,+月=a+4a,可得2g+宁=1+4g, 解得：9=或9=0（舍去）故a,=白，6-=片 22 1x0-2 (2)由(1)可得S。= =20- 1- 2 12 数列{也}的前n项和T= 222 —十 2# 第1页共4页 即7=2-2空”由万-成22艺”-20-宁号2号<0，可得元<成，得证 2 2 17.【详解】(1)解：设椭圆的标准方程为 a+京1a>h>0 因为FE=25,所以c=5,由Sam=l,得PFR=2,又由P所⊥P形： 得PF+PR=E=12,即(PF+P-2 PE IPF,=12, 即4a2-4=12,。2=4,62=a2-3=1,所以椭圆C的标准方程为二+少=1。 (2)由方程组 4+少=l得+4状2)2+86mr+4m2-4=0, y=女+m, △=(86m-41+4k2）4m2-4)>0,整理得4k2-m2+1>0. 8km 4m2-4 故M,y).N(22小则x+=1+4报，6=1+41 由4M1AN且椭圆的右顶点为A(2,0),得(：-2(：-2)+丛=0， 因为5=(+m)(c,+m)=k'x+m(3+x)+m2, 所0-2+4-0，em-2,040 屋理得：5m2+16mk+12=0,解得m=-2达或m=-G,均满足4状2-m2+1>0 当m=-2k时，直线的1的方程为y=:-2k,过定点(2,0)，与题意矛盾，舍去： 当网=一等时，直线的方程为y=引过定点〔得 符合题意. 故直线1过定点，且定点的坐标为 18.【详解】(1)如图，在梯形ABCD中，连接DB,因为E是BC的中点，所以BE=BC, 又D=号BC=2,所以AD=BE,又因为AD1/BE,所以四边形4BED 是平行四边形，因为AB=AD,所以四边形ABED是菱形，从而AE⊥BD, △BAE沿着AE翻折成△B,AE后，有AE⊥BM,AE⊥DM 又B,M∩DM=M,B,M,DMc平面BDM,所以AE⊥平面B,DM, 由题意，易知AD1ICE,AD=CE,所以四边形AECD是平行四边形， 第2页共4页 故AE/CD,所以CD⊥平面BDM, (2)因为&M1平面ABCD,DMc平面AECD,则有BM⊥DM, 由(I)知AE⊥RM、AE⊥DM,故AE,B,M,DM两两垂直， 以M为坐标原点，ME,MD,MB,所在直线分别为，y,2轴，建立空间直角坐标系， 因为AB=BE=AE,所以△ABE为等边三角形，同理△ADE也为等边三角形， 则8(0，Q5A(-l0,0,D(0,v5,0,设平面84D的一个法向量为 m=(化水小 m而=，y,小5,0x+=0 m8D=y,05-5-e=0 令y=1得x=-5,z=1,故m=(-5,1, 又平面80的-个法向量为=40叭，则m低或-上a0夏正 同 3+1+1 故平面4MD与平面8,4D夹角的余弦值为 5 62 a46 所以, 故椭圆C,的离心率为的 2)由D及题意，知C二+ +兰，4,8a0 设P(x,y,2(,小.当直线P0的斜率为0时，点P,2,关于y轴对称， 此时直线4，P的斜率与直线B0,的斜率互为相反数，不合题意。 设直线P2的方程为x=my+1, x=闭+( 因为直线P2,不过顶点A,B,所以t≠±a,:联立得方程组 x24y2 第3页共4页 消去x并整理，得(m2+4)y2+2m+'-a=0, 则Aaa+r-）-4mG-+.男+⅓ - m2+4′y m+4 所以4=- 4.为-0,4-凸 +⅓)小则+。为“m1+a历 +-丛。2+0-a2马a++43 ++,M(+++a, 60,+1(a-00%+%)+2ga,+7 所以1=-4.代入4=4(ma-+4@)中验证，得△>0， 则直线RQ的方程为x=心0，所以直线P见，经过点00 因直线B2与锁交于点D(o0叭，所以g=-,则号 故数列{a,}是以为公比的等比数列。 ma。 3a 3》由(2)知，⅓+%m4以 4(m2+4 所以四边形B,POQ,的面积 &-3a-Sea-=B,D-0D.04-X ma） 号+-4 1a,2 2Vm2+3 a' = 4m2+4】 √m2+3+ √m2+3 没z=m+3(:2),则函数f(a)=z+上在[V5,+∞)上单调递增， 所烈25：方5，所以9，当组仅当=0时，等号支立 又4=2，则由a)可知=2，所以G=4得， 数题到问是省项方4会比为时的等化数列所孕空女-9子9 41-3 4 故∑、，的最大值为45， 3， 当且仅当m=0时，等号成立， 第4页共4页 消去x并整理，得(m2+4)y2+2my+2-a=0, 则a4-小-4%器m景 所以m为=- 丛=》-a=1-0出 +%小则a“+。为2m*+a为 +小6 my++a,及a-t .0,++2=83, 20(0+4+t+a, 。a,+1（a,-00y+y)+2g,a.+7 所以t=-0.代入△=4(m-4+4a)中验证，得△>0， 则直战22的方程为x=网-，所以直战P见经过点(，小 因为直线P2与特交于点D,(仁a0.所以-a=8,则。 4.2 故数列{a,}是以)为公比的等比数列。 3)由2》知，⅓+%=24 m2+4 3a 4m2+4' 所以四边形B,PO2的面积 .m(D.-OD.),-xl 12 Vm2+3 4(m2+4】 m2+48= m2+3+ m2+3 设z=m+322),则函数f()=z+上在[V5,+∞)上单调递增， 烈)25：有华，所以9，当且双汉当=0时，等号数 又4=2，则由2)可知a,=2”,所以心-得， 所服数列问是指到方公比为的等世乳所包字碍空马9 41- 3， 故了S,的最大值为，当且仅当m=0时，等号成立 第4页共4页