第一章 直角三角形的边角关系（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记.巧练（北师大版，贵州专用）

第一章 直角三角形的边角关系（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB，则BC的长是（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 2．在△ABC中，若，则∠C为（　　） A．120° B．90° C．60° D．30° 3．如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接BA，CA，则∠BAC的正弦值为（　　） A． B． C． D．2 4．一个测量技术队员在一个高为h（忽略身高），观测一根高出此建筑物的旗杆，测出与旗杆的顶端的仰角为30°，测出与旗杆地面接触点的俯角为60°，那么该旗杆的高度是（　　） A． B． C． D． 5．图1是2002年世界数学大会（ICM）的会徽，其主体图案（如图2）是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若∠ABC＝α，AB＝1，则CD的长为（　　） A．sinα﹣cosα B． C．cosα﹣sinα D． 6．如图，在海面上有两个疑似漂浮目标A、B，接到消息后，两艘搜救艇同时从港口O出发赶往目的地．一艘搜救艇以6海里/时的速度沿北偏东60°的方向向目标A前进，同时另一艘搜救艇以8海里/时的速度向目标B前进，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B，此时，他们相距15海里，则第二艘搜救艇的航行方向是北偏西的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 7．董铺水库位于合肥市西北近郊，是一座以合肥城市防洪为主，结合城市供水、郊区农菜灌溉及发展水产养殖等综合利用的大型水库．如图，水库某段横截面迎水坡AB的坡度i＝1：2，若坡高BC＝20m，则坡面AB的长度为（　　） A． B． C． D． 8．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”．某数学兴趣小组用无人机测量超然楼AB的高度，测量方案如图2：先将无人机垂直上升至距水平地面142m的P点，测得超然楼顶端A的俯角为37°，再将无人机面向超然楼沿水平方向飞行210m到达Q点，测得超然楼顶端A的俯角为45°，则超然楼AB的高度约为（　　） （参考数据：，， A．48m B．50m C．52m D．54m 9．某一时刻，与地面垂直的长2m的木杆在地面上的影长为1m．同一时刻，树AB的影子一部分落在地面上，一部分落在坡角为45°的斜坡上，如图所示．已知落在地面上的影长AC为2m，落在斜坡上的影长CD为2m．根据以上条件，可求出树高AB为（　　）（结果精确到0.1m） A．4.0m B．4.2m C．8.0m D．8.2m 10．综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝40cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面2m，到树EG的距离AF＝10m，BH＝30cm．则树EG的高度为（　　） A．7.5 B．8.3 C．9.5 D．7.9 11．为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯AB可伸缩，也可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．若∠ABD＝α，则此时云梯顶端A离地面的高度AE的长是（　　） A．9sinα+2 B．9tanα+2 C． D． 12．题目：“如图，∠MON＝60°，点B在射线OM上，，射线OA在∠MON的内部，∠AOM＝45°，点P在射线OA上，且∠OBP＝∠AON．Q是射线PA上的动点，当△BPQ是钝角三角形时，求PQ的取值范围．”对于其答案，甲答：0＜PQ＜2，乙答：2＜PQ＜8，丙答：PQ＞8，则正确的是（　　） A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．已知α为锐角，且，那么α的余弦值为 　 　． 14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，BC＝6，则AB＝　 　． 15．如图，坡角为30°的斜坡上有一棵大树MN（MN垂直于水平地面），当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上树影NT的长为30米，则大树MN的高为 　 　． 16．如图，在△ABC中，AB＝2AC，AD是角平分线，E是BC边的中点，EF⊥AD于点F，CG⊥AD于点G，若tan∠CAD，AB＝20，则线段EF的长为　 　． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）计算：（1）cos60°﹣sin245°60°； （2）sin45°•cos45°+tan30°•sin60°． 18．（10分）如图，△ABC中，AD⊥BC，AE为BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 19．（10分）已知直角三角形的两条直角边分别是a，b，斜边是c． （1）如果a1，b1，求c； （2）如果a＝8，c＝2，求b及直角三角形的面积． 20．如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60（10分）°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上． （1）求∠BAD的度数； （2）如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 21．（10分）阅读理解：如图，为计算15°角的正切值，我们可以构建Rt△ABC，使得∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至点D，使BD＝AB，连接AD，可得到∠D＝15°，所以，tan15°2． 类比迁移：请根据阅读理解中的方法，计算tan67.5°的值． 22．（12分）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下： 对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如M{1，2，9}＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1．请结合上述材料，解决下列问题： （1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝　 　， ②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝　 　； （2）如果M{2，1+x，2x}＝min{2，1+x，2x}，求x的值． 23．（12分）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长1米，AH与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行． （1）如图2，当道闸打开至∠ADC＝45°时，边CD上一点P，P到D的距离PD为米，P到地面的距离PE为1.2米，求点D到地面的距离DH的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至∠ADC＝36°时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73） 24．（11分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：． 证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：在Rt△BCD中，CD＝asinB，在Rt△ACD中，CD＝bsinA， ∴asinB＝bsinA， ∴． 根据上面的材料解决下列问题： （1）如图2，在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若b＝6，c＝3，∠B＝45°，求∠A的度数； （2）如图3，一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．（结果保留根号，参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9） 25．（13分）图1是某品牌电动单人沙发的实物图，在电动沙发调节过程中沙发的座深BC与水平地面是平行的．图2是电动沙发在初始状态时的侧面示意图，靠背AB与座垫BC的夹角∠ABC＝110°，座垫BC与脚托CD垂直，即BC⊥CD，且点D恰好落在水平地面EF上．为满足不同使用功能的需要，通过控制开关可以电动调节AB和CD分别绕点B和点C旋转合适的角度，其侧面示意图如图3所示．已知电动沙发的产品尺寸为：AB＝50cm，BC＝50cm，CD＝40cm．在电动调节过程中始终满足∠A′BA：∠DCD′＝5：8，且110°≤∠A′BC≤160°． （1）在电动沙发的初始状态时，求靠背的最高点A到水平地面的距离； （2）在电动调节的过程中，求出此电动沙发可伸展的最大水平距离． （参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，结果精确到1cm） 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 直角三角形的边角关系（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB，则BC的长是（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M， 在Rt△ABM中， sinB， ∴AM4， ∴BM． 又∵AB＝AC， ∴BC＝2BM＝6． 故选：B． 2．在△ABC中，若，则∠C为（　　） A．120° B．90° C．60° D．30° 【解答】解：由题意得： sinA0，cosB＝0， ∴sinA，cosB， ∴∠A＝30°，∠B＝30°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝120°， 故选：A． 3．如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接BA，CA，则∠BAC的正弦值为（　　） A． B． C． D．2 【解答】解：连接CB，如图所示： 设小正方形边长为1， ∴，，， ∴AC2＝AB2+BC2， ∴△ABC是直角三角形， 在Rt△ABC中，， 故选：B． 4．一个测量技术队员在一个高为h（忽略身高），观测一根高出此建筑物的旗杆，测出与旗杆的顶端的仰角为30°，测出与旗杆地面接触点的俯角为60°，那么该旗杆的高度是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，过A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE是矩形，CE＝AD＝h． ∵在Rt△ACE中，CE＝h，∠CAE＝60°， ∴AEh． ∵在Rt△AEB中，AEh，∠BAE＝30°， ∴BE＝AE•tan30°h•h． ∴BC＝BE+CEh+hh． 即旗杆的高度为h． 故选：C． 5．图1是2002年世界数学大会（ICM）的会徽，其主体图案（如图2）是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若∠ABC＝α，AB＝1，则CD的长为（　　） A．sinα﹣cosα B． C．cosα﹣sinα D． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝α，AB＝1， ∴AC＝ABsinα＝sinα，BC＝ABcosα＝cosα， 由题意得： AC＝BD＝tanα， ∴CD＝BD﹣BC＝sinα﹣cosα， 故选：A． 6．如图，在海面上有两个疑似漂浮目标A、B，接到消息后，两艘搜救艇同时从港口O出发赶往目的地．一艘搜救艇以6海里/时的速度沿北偏东60°的方向向目标A前进，同时另一艘搜救艇以8海里/时的速度向目标B前进，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B，此时，他们相距15海里，则第二艘搜救艇的航行方向是北偏西的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【解答】解：根据题意得，OA＝6×1.5＝9（海里），OB＝8×1.5＝12（海里）， ∴OB2+OA2＝122+92＝225， ∵AB＝15海里， ∴AB2＝152＝225， ∴OB2+OA2＝AB2， ∴∠AOB＝90°． ∵∠AOD＝60°， ∴∠BOD＝30°， 即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西30°． 故选：B． 7．董铺水库位于合肥市西北近郊，是一座以合肥城市防洪为主，结合城市供水、郊区农菜灌溉及发展水产养殖等综合利用的大型水库．如图，水库某段横截面迎水坡AB的坡度i＝1：2，若坡高BC＝20m，则坡面AB的长度为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵迎水坡AB的坡度i＝1：2，坡高BC＝20m， ∴AC＝20×2＝40（m）， 由勾股定理得：AB20（m）， 故选：C． 8．济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”．某数学兴趣小组用无人机测量超然楼AB的高度，测量方案如图2：先将无人机垂直上升至距水平地面142m的P点，测得超然楼顶端A的俯角为37°，再将无人机面向超然楼沿水平方向飞行210m到达Q点，测得超然楼顶端A的俯角为45°，则超然楼AB的高度约为（　　） （参考数据：，， A．48m B．50m C．52m D．54m 【解答】解：延长BA交PQ于点C， 由题意得：BC＝142m，PQ＝210m，BC⊥PQ， 设PC＝x m， ∴CQ＝PQ﹣PC＝（210﹣x）m， 在Rt△APC中，∠APC＝37°， ∴AC＝PC•tan37°x（m）， 在Rt△ACQ中，∠AQC＝45°， ∴AC＝CQ•tan45°＝（210﹣x）m， ∴x＝210﹣x， 解得：x＝120， ∴AC＝210﹣x＝90（m）， ∴AB＝BC﹣AC＝142﹣90＝52（m）， ∴超然楼AB的高度约为52m， 故选：C． 9．某一时刻，与地面垂直的长2m的木杆在地面上的影长为1m．同一时刻，树AB的影子一部分落在地面上，一部分落在坡角为45°的斜坡上，如图所示．已知落在地面上的影长AC为2m，落在斜坡上的影长CD为2m．根据以上条件，可求出树高AB为（　　）（结果精确到0.1m） A．4.0m B．4.2m C．8.0m D．8.2m 【解答】解：如图，延长BD交AC的延长线于点E，过点D作DF⊥AE于点F， 在Rt△DCF中，CD＝2m，∠DCF＝45°， ∴CF＝DFCD（m）， ∵长2m的木杆在地面上的影长为1m， ∴FEDFm， ∴AE＝AC+CF+FE＝2（2）m， ∵长2m的木杆在地面上的影长为1m， ∴AB＝2×（2）＝（4+3）≈8.2（m）， 故选：D． 10．综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝40cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面2m，到树EG的距离AF＝10m，BH＝30cm．则树EG的高度为（　　） A．7.5 B．8.3 C．9.5 D．7.9 【解答】解：由题意可知，∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，FG＝2m， 则∠EAF+∠BAF＝∠BAF+∠BAH＝90°， ∴∠EAF＝∠BAH， ∵AB＝40cm，BH＝30cm， 则tan∠EAF， ∴tan∠EAFtan∠BAH， ∵AF＝10m， 则， ∴EFm， ∴EG＝EF+FG2（m）． 答：树EG的高度为m， 故选：C． 11．为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯AB可伸缩，也可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．若∠ABD＝α，则此时云梯顶端A离地面的高度AE的长是（　　） A．9sinα+2 B．9tanα+2 C． D． 【解答】解：在直角三角形ABD中，， ∴AD＝BD•tanα＝9tanα， 根据题意可得：DE＝BC＝2， ∴AE＝AD+DE＝9•tanα+2； 故选：B． 12．题目：“如图，∠MON＝60°，点B在射线OM上，，射线OA在∠MON的内部，∠AOM＝45°，点P在射线OA上，且∠OBP＝∠AON．Q是射线PA上的动点，当△BPQ是钝角三角形时，求PQ的取值范围．”对于其答案，甲答：0＜PQ＜2，乙答：2＜PQ＜8，丙答：PQ＞8，则正确的是（　　） A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【解答】解：∵∠OBP＝∠AON， ∴∠BPA＝∠OBP+∠BOP＝∠AON+∠BOP＝∠MON＝60°， ①当∠BQP为钝角时，如图所示，过点B作BH⊥OA于点H， 在Rt△OHB中，BH⊥OA，∠AOM＝45°， 则OH＝BH， 在Rt△PHB中，BH⊥OA，∠PBH＝90°﹣∠BPA＝30°， 则PH，BP＝2PH＝4， 由图可知，当点P在线段PH上时，可满足∠BQP为钝角， ∴0＜PQ＜2． ②当∠PBQ为钝角时，如图所示，过点B作BE⊥BP交射线OA于点E， 在Rt△PBE中，BE⊥BP，∠PEB＝90°﹣∠BPA＝30°， 则PE＝2BP＝8， 由图可知，当点Q在线段PE的延长线上时，可满足∠PBQ为钝角， ∴PQ＞8． 综上，0＜PQ＜2或PQ＞8，则甲、丙答案合在一起才完整． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．已知α为锐角，且，那么α的余弦值为 　　． 【解答】解：如图， ∵tanα，可设BC＝x，AC＝2x， ∴ABx， ∴cosα． 故答案为：． 14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，BC＝6，则AB＝　10　． 【解答】解：∵∠C＝90°，sinA，BC＝6， ∴ABBC6＝10； 故答案为：10． 15．如图，坡角为30°的斜坡上有一棵大树MN（MN垂直于水平地面），当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上树影NT的长为30米，则大树MN的高为 　米　． 【解答】解：如图，过点T作TA⊥MN，交MN的延长线于A， ， 则∠NTA＝30°， ∵TN＝30米， ∴（米），米， 在Rt△MTA中，∠MTA＝45°， ∴米， ∴米， 故答案为：米． 16．如图，在△ABC中，AB＝2AC，AD是角平分线，E是BC边的中点，EF⊥AD于点F，CG⊥AD于点G，若tan∠CAD，AB＝20，则线段EF的长为　3　． 【解答】解：如图，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N． ∵AD平分∠BAC， ∴DM＝DN， ∵，AB＝2AC， ∴BD＝2CD， ∵BE＝CE， ∴ED：CD＝1：2， 在Rt△ACG中，∵∠AGC＝90°，AC＝10，tan∠CAD， ∴CG＝6， ∵EF⊥AF，CG⊥AF， ∴EF∥CG， ∴， ∴EFCG＝3． 故答案为3． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．计算：（1）cos60°﹣sin245°60°； （2）sin45°•cos45°+tan30°•sin60°． 【解答】解：（1）cos60°﹣sin245°60° （）2 ； （2）sin45°•cos45°+tan30°•sin60° ＝1． 18．如图，△ABC中，AD⊥BC，AE为BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 【解答】解：（1）∵在△ABC中，AD⊥BC，AB＝10，AD＝6， ∴BD8， ∵sinC， ∴∠C＝∠CAD＝45°， ∴CD＝AD＝6， ∴BC＝BD+CD＝8+6＝14； （2）∵AE是BC边上的中线， ∴CE7， ∴DE＝CE﹣CD＝7﹣6＝1， ∵AD⊥BC， ∴， ∴sin∠DAE． 19．已知直角三角形的两条直角边分别是a，b，斜边是c． （1）如果a1，b1，求c； （2）如果a＝8，c＝2，求b及直角三角形的面积． 【解答】解：（1）由勾股定理得， c2； （2）根据勾股定理得， b2， ∴Sab8×28． 20．如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上． （1）求∠BAD的度数； （2）如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 【解答】解：（1）过点D作DE∥AC， ∴∠EAD＝DAC， ∵∠EAD＝30° ∴∠DAC＝30°，∠CAB＝60°，∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°． （2）过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离． ∵∠ABD＝90°﹣60°＝30°． ∴∠ABD＝∠BAD． ∴BD＝AD＝12海里． ∵Rt△ACD中，∠CAD＝30°， ∴AC＝AD•cos∠CAD10.392＞8， 即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险． 21．阅读理解：如图，为计算15°角的正切值，我们可以构建Rt△ABC，使得∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至点D，使BD＝AB，连接AD，可得到∠D＝15°，所以，tan15°2． 类比迁移：请根据阅读理解中的方法，计算tan67.5°的值． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到点D，使BD＝BA，连接AD， ∵∠ABC＝45°，AB＝DB， ∴∠D＝∠DAB＝22.5°， ∴∠DAC＝67.5°， 令AC＝x，则BC＝x，ABx， ∴BD＝ABx， ∴CD＝CB+DB＝xx， 在Rt△ACD中， tan∠DAC1， ∴tan67.5°＝1． 22．某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下： 对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如M{1，2，9}＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1．请结合上述材料，解决下列问题： （1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝　　， ②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝　　； （2）如果M{2，1+x，2x}＝min{2，1+x，2x}，求x的值． 【解答】解：（1）①∵（﹣2）2＝4，22＝4，﹣22＝﹣4，而， ∴M{（﹣2）2，22，﹣22}， 故答案为：； ②∵sin30°，cos60°，tan45°＝1，而1， ∴min{sin30°，cos60°，tan45°}， 故答案为：； （2）由于M{2，1+x，2x}＝min{2，1+x，2x}， 当2最小时，有2， 解得x＝1， 此时这三个数分别为2，2，2； 当1+x最小时，有1+x， 此时x的值为任意实数， 所以不符合题意； 当2x最小时，有2x， 解得x＝1， 此时这三个数分别为2，2，2； 综上所述，x＝1． 23．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长1米，AH与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行． （1）如图2，当道闸打开至∠ADC＝45°时，边CD上一点P，P到D的距离PD为米，P到地面的距离PE为1.2米，求点D到地面的距离DH的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至∠ADC＝36°时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73） 【解答】解：（1）过点D作DQ⊥PE，垂足为Q， 由题意得：DH＝QE，AD∥PQ， ∴∠DPQ＝∠ADP＝45°， 在Rt△DPQ中，PD米， ∴PQ＝PD•cos45°1（米）， ∵PE＝1.2米， ∴DH＝QE＝PE﹣PQ＝1.2﹣1＝0.2（米）， ∴点D到地面的距离DH的长为0.2米； （2）轿车能驶入小区， 理由：当∠ADC＝36°，PE＝1.6米时， ∵AD∥PQ， ∴∠ADP＝∠DPQ＝36°， ∵QE＝0.2米， ∴PQ＝PE﹣QE＝1.6﹣0.2＝1.4（米）， 在Rt△DPQ中，DQ＝PQ•tan36°≈1.4×0.73＝1.022（米）， ∴PF＝3﹣1.022＝1.978（米）， ∵1.978＞1.8， ∴轿车能驶入小区． 24．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：． 证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：在Rt△BCD中，CD＝asinB，在Rt△ACD中，CD＝bsinA， ∴asinB＝bsinA， ∴． 根据上面的材料解决下列问题： （1）如图2，在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若b＝6，c＝3，∠B＝45°，求∠A的度数； （2）如图3，一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．（结果保留根号，参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9） 【解答】解：（1）如图2，过点A作AD⊥BC于点D， 在Rt△ABD中，AD＝AB•sinB＝csinB， 在Rt△ACD中，AD＝AC•sinC＝bsinC， ∴csinB＝bsinC， ∴， 即， 解得：sinC， ∴∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°， 答：∠BAC的度数为75°； （2）如图3，过点A作AE⊥BC于点E， ∵∠BAC＝67°，∠B＝53°， ∴∠C＝180°﹣67°﹣53°＝60°， 在Rt△ACE中，AE＝AC•sin60°＝8040（米）， 又∵， 即， 解得：BC＝90（米）， ∴S△ABCBC•AE90×401800（平方米）． 25．图1是某品牌电动单人沙发的实物图，在电动沙发调节过程中沙发的座深BC与水平地面是平行的．图2是电动沙发在初始状态时的侧面示意图，靠背AB与座垫BC的夹角∠ABC＝110°，座垫BC与脚托CD垂直，即BC⊥CD，且点D恰好落在水平地面EF上．为满足不同使用功能的需要，通过控制开关可以电动调节AB和CD分别绕点B和点C旋转合适的角度，其侧面示意图如图3所示．已知电动沙发的产品尺寸为：AB＝50cm，BC＝50cm，CD＝40cm．在电动调节过程中始终满足∠A′BA：∠DCD′＝5：8，且110°≤∠A′BC≤160°． （1）在电动沙发的初始状态时，求靠背的最高点A到水平地面的距离； （2）在电动调节的过程中，求出此电动沙发可伸展的最大水平距离． （参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，结果精确到1cm） 【解答】解：（1）延长CB至点H，过点A作AQ⊥EF，交EF于点Q，交CH于点P， ∵∠ABC＝110°， ∴∠ABP＝180°﹣110°＝70°， ∵在Rt△ABP中，AB＝50cm， ∴AP＝AB•sin70°＝50×0.94＝47（cm）， ∵PC∥DQ，PQ⊥DQ，CD⊥DQ， ∴PQ＝CD＝40cm， ∵AQ＝AP+PQ＝47+40＝87（cm）， ∴靠背的最高点A到水平地面的距离为87cm； （2）l为BC所在直线，过点A′作A′S⊥l，垂直为点S，过点D′作D′T⊥l，垂足为点T， 当电动沙发伸展的最大水平距离时，即∠A′BC＝160°， ∴∠A′BS＝180°﹣∠A′BC＝180°﹣160°＝20°，∠BA′S＝90°﹣∠A′BS＝70°， 由题意可知，A′B＝AB＝50cm，CD′＝CD＝40cm， 在Rt△A′BS中， ∴BS＝A′B•sin70°＝50×0.94＝47（cm）， 又∵∠A′BA＝∠A′BC﹣∠ABC＝160°﹣110°＝50°， ∵∠A′BA：∠DCD′＝5：8， ∴∠DCD′＝80°， ∠CD′T＝∠DCD′＝70°， 在Rt△CD′T中， ∴CT＝CD′•sin80°＝40×0.98＝39.2（cm）， ∴ST＝BS+BC+CT＝47+50+39.2＝136.2≈136（cm）， 则电动沙发伸展的最大水平距离为136cm． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$