【寒假衔接】专题2-2 求离心率和轨迹方程【12类题型】- 2024-2025学年高二数学寒假精品讲义

【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 专题2-2 求离心率和轨迹方程 模块一 题型·解读 【题型1】利用几何性质求解离心率 【题型2】利用对称性补成平行四边形 【题型3】双焦点三角形模型：导边 【题型4】双用余弦定理求解离心率 【题型5】与斜率乘积相关求解离心率 【题型6】利用坐标法求解离心率 【题型7】利用不等关系求解离心率范围 【题型9】利用函数的值域求解离心率范围 【题型10】直接法求轨迹方程 【题型11】定义法求轨迹方程 【题型12】相关点法求轨迹方程 【重点题型回顾】 模块二 基础知识·梳理 知识点01 利用图形的几何性质求离心率 （1）特殊三角形与离心率:一般有边角相等、三角形相似、面积公式、正余弦定理、角平分线性质、高的性质、中线的性质等,通常数形结合,用几何法进行运算 （2）平行四边形与离心率:可能存在四边形也可能利用圆锥曲线的对称性构造四边形,一般有:对边平行相等;两条对角线长度的平方和等于两倍的两个邻边的平方和等. （3）圆与离心率:一般利用弦的中点与圆心的连线与弦垂直,直径所对的圆周角是,半径相等,圆与圆的位置关系等. 知识点02 利用坐标运算求离心率 要点注释：如果从题目中的条件难以发掘几何关系,那么可考虑将点的坐标用进行表示,再利用条件列出等式求解 知识点03 求离心率范围 1.借助题目中给出的不等信息或者平面几何图形中的不等关系: （1）题目中某点的横坐标(或纵坐标)是否有范围要求:例如圆与双曲线对横坐标的范围有要求. （2）根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系即可 2.借助函数的值域求解范围：若题目中有一个核心变量,则可以考虑将离心率表示为某个变量的函数,从而求该函数的值域即可 知识点04 求轨迹方程 1.直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就可得到轨迹方程，且要注意等量关系中的限制条件（三角形、斜率等） 2.定义法：动点满足的几何条件符合基本轨迹（如圆、椭圆、抛物线和双曲线）的定义条件时，我们可以根据基本轨迹的方程写出轨迹方程，或设出标准方程，然后利用待定系数法求解 3.相关点法：如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点坐标满足某已知曲线方程，则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。 4.点差法：圆雉曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法,其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆雉曲线方程,然而相减,利用平方差公式可得等关系式,由于弦的中点的坐标满足且直线的斜率为,由此可求得弦中点的轨迹方程. 模块三 核心题型·训练 【题型1】利用几何性质求解离心率 【例题1】已知椭圆的右焦点为F，过F点作圆的一条切线，切点为T，延长FT交椭圆C于点A，若T为线段AF的中点，则椭圆C的离心率为 ． 【例题2】如图所示，椭圆的左焦点为F，A，B两点在椭圆上，且四边形为菱形，则该椭圆的离心率为 ． 【巩固练习1】设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，，则C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【巩固练习2】如图，椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上任意一点（与，不共线），M在的延长线上，PN是的角平分线，过作垂直于PN，垂足为Q，则 ． 【巩固练习3】（2024深高级高二期末）椭圆中，为上顶点，为左焦点，过原点作的平行线与椭圆在第一象限交于点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【题型2】利用对称性补成平行四边形 椭圆具有中心对称性，若遇到焦点三角形为直角三角形或者两条焦点弦平行时可以考虑通过对称性补成平行四边形来解题 【例题1】已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 【例题2】已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于，两点．在中，，且满足，则椭圆的离心率为 ． 【巩固练习1】已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（高二下·广东深圳·期末）已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【题型3】双焦点三角形模型：导边 【例题1】已知双曲线方程为，，两焦点分别为，，直线经过与双曲线交于两点，其中且，则此双曲线离心率为 . 【例题2】、分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若是等边三角形，则该双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 【巩固练习1】已知分别为双曲线的左､右焦点，过左焦点的直线交双曲线左支于两点，且，则该双曲线的离心率 . 【巩固练习2】已知，为双曲线的左、右焦点，斜率为的直线过分别交双曲线左、右支于、点，，则双曲线的离心率为______________. 【巩固练习3】已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与双曲线的左､右支分别交于点，，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【题型4】双用余弦定理求解离心率 【例题1】椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，且．若，则双曲线的离心率为　　 A． B．2 C． D．4 【巩固练习1】已知椭圆的两个焦点为，过作直线与椭圆相交于两点，若且，则椭圆上的离心率为 （ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的2倍，则双曲线C的离心率为 . 【巩固练习3】已知双曲线E：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与E交于A，B两点（B在x轴的上方），且满足．若直线的倾斜角为120°，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【巩固练习4】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【题型5】与斜率乘积相关求解离心率 【例题1】已知双曲线的左顶点为，点均在双曲线上且关于轴对称，若直线的斜率之积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知双曲线的两个顶点分别为，点P在双曲线上且异于点，若直线的斜率之积为8，则双曲线的率心率为 . 【巩固练习1】已知点是椭圆上一点，过点作椭圆的切线，则的方程为．若与（为坐标原点）的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】椭圆：的左顶点为，点，是上的任意两点，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【题型6】利用坐标法求解离心率 【例题1】（2024深圳罗湖区高二期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，点P为E的上顶点，点Q在E上且满足，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知双曲线的左焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，并与双曲线C交于点B，且有，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【巩固练习1】已知A、F分别为椭圆的左顶点和左焦点，B、C是椭圆上关于原点对称的点，若直线平分线段，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】如图，椭圆C：的右顶点为A，上顶点为B，直线且在第一象限交椭圆于P点，设OP与AB的交点为M，若，则椭圆的离心率为 ． 【巩固练习3】已知椭圆C：的左、右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2且斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，若满足，则椭圆的离心率为 ． 【题型7】利用不等关系求解离心率范围 【例题1】已知过点可作出双曲线的两条切线，切点都在双曲线的同一支上，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】点M是椭圆上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为 . 【巩固练习2】已知椭圆的两个焦点为，，点，为上关于坐标原点对称的两点，，的面积记为，且，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知是双曲线的左右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是______． 【题型9】利用函数的值域求解离心率范围 【例题1】已知椭圆与双曲线，椭圆的短轴长与长轴长之比大于，则双曲线离心率的取值范围为 . 【例题2】已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点，是以为底边的等腰三角形，且，则该椭圆的离心率的取值范围是 ． 【巩固练习1】已知双曲线（其中），若，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为 【题型10】直接法求轨迹方程 【例题1】动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是 ． 【例题2】已知点，，点满足直线，的斜率之积为，则的面积的最大值为 ． 【巩固练习1】已知点与点，是动点，且直线与的斜率之积等于求动点的轨迹方程; 【巩固练习2】平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【题型11】定义法求轨迹方程 【例题1】的坐标满足方程：，则M的轨迹方程为 . 【例题2】已知动圆与圆外切，同时与圆内切；则动圆圆心的轨迹方程为 . 【巩固练习1】平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为 . 【巩固练习3】（广东深圳·高二校考期末）如图，已知动点P在上，点，线段的垂直平分线和相交于点M，求点M的轨迹方程. 【题型12】相关点法求轨迹方程 【例题1】已知椭圆上有一点，是轴上的定点，若有一点满足，则的轨迹方程为 ． 【例题2】已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知P是圆C：上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足，记点M的轨迹为E，求E的方程 【巩固练习2】已知点在曲线上，为坐标原点，若点满足，记动点的轨迹为，求的方程 【重点题型回顾】 1． 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是C上的一点，，的平分线与x轴交于点A，记，的面积分别为，，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 2． 如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（    ）    A．圆 B．射线 C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆 3． 已知椭圆的左，右焦点分别为，，椭圆C在第一象限存在点M，使得，直线与y轴交于点A，且是的角平分线，则椭圆C的离心率为 . 4． 已知椭圆：的左､右焦点分别为，，是椭圆的上顶点，直线与直线交于点A，若，则椭圆的离心率为 . 5． 动圆M与圆：，圆：，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6． （广东深圳·高二统考期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线E的左、右两支分别交于A，B两点，若，则的面积为 ． 7． 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若，则双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 8． （2024·河北沧州·二模）已知为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率为 . 9． 椭圆：的左顶点为，点，是上的任意两点，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 10． 已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则 ；当取最小值时，的面积为 ． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 专题2-2 求离心率和轨迹方程 模块一 题型·解读 【题型1】利用几何性质求解离心率 【题型2】利用对称性补成平行四边形 【题型3】双焦点三角形模型：导边 【题型4】双用余弦定理求解离心率 【题型5】与斜率乘积相关求解离心率 【题型6】利用坐标法求解离心率 【题型7】利用不等关系求解离心率范围 【题型9】利用函数的值域求解离心率范围 【题型10】直接法求轨迹方程 【题型11】定义法求轨迹方程 【题型12】相关点法求轨迹方程 【重点题型回顾】 模块二 基础知识·梳理 知识点01 利用图形的几何性质求离心率 （1）特殊三角形与离心率:一般有边角相等、三角形相似、面积公式、正余弦定理、角平分线性质、高的性质、中线的性质等,通常数形结合,用几何法进行运算 （2）平行四边形与离心率:可能存在四边形也可能利用圆锥曲线的对称性构造四边形,一般有:对边平行相等;两条对角线长度的平方和等于两倍的两个邻边的平方和等. （3）圆与离心率:一般利用弦的中点与圆心的连线与弦垂直,直径所对的圆周角是,半径相等,圆与圆的位置关系等. 知识点02 利用坐标运算求离心率 要点注释：如果从题目中的条件难以发掘几何关系,那么可考虑将点的坐标用进行表示,再利用条件列出等式求解 知识点03 求离心率范围 1.借助题目中给出的不等信息或者平面几何图形中的不等关系: （1）题目中某点的横坐标(或纵坐标)是否有范围要求:例如圆与双曲线对横坐标的范围有要求. （2）根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系即可 2.借助函数的值域求解范围：若题目中有一个核心变量,则可以考虑将离心率表示为某个变量的函数,从而求该函数的值域即可 知识点04 求轨迹方程 1.直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就可得到轨迹方程，且要注意等量关系中的限制条件（三角形、斜率等） 2.定义法：动点满足的几何条件符合基本轨迹（如圆、椭圆、抛物线和双曲线）的定义条件时，我们可以根据基本轨迹的方程写出轨迹方程，或设出标准方程，然后利用待定系数法求解 3.相关点法：如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点坐标满足某已知曲线方程，则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。 4.点差法：圆雉曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法,其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆雉曲线方程,然而相减,利用平方差公式可得等关系式,由于弦的中点的坐标满足且直线的斜率为,由此可求得弦中点的轨迹方程. 模块三 核心题型·训练 【题型1】利用几何性质求解离心率 【例题1】已知椭圆的右焦点为F，过F点作圆的一条切线，切点为T，延长FT交椭圆C于点A，若T为线段AF的中点，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】 【详解】设椭圆的左焦点为,连接，, 由几何关系可知，则， 即， 由椭圆的定义可知，即且， 整理得，解得， . 故答案为：. 【例题2】如图所示，椭圆的左焦点为F，A，B两点在椭圆上，且四边形为菱形，则该椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合椭圆的对称性，用椭圆的半焦距c表示出点的坐标，再代入椭圆方程求解即得. 【详解】由四边形为菱形，得轴，由椭圆对称性得点关于y轴对称，连接， 令椭圆半焦距为c，则，因此是正三角形，即， 则点，即有，于是，即， 整理得，而，解得， 所以该椭圆的离心率为. 【巩固练习1】设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，，则C的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意求出；再根据及椭圆的定义建立等式得出，即可得出答案. 【详解】如图所示，    由题意得：. 因为，把代入椭圆方程可得，解得. 取. 则在中，. 因为， 所以， 由椭圆定义可得：，整理得：， 所以，即. 则椭圆的离心率 ． 【巩固练习2】如图，椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上任意一点（与，不共线），M在的延长线上，PN是的角平分线，过作垂直于PN，垂足为Q，则 ． 【答案】2 【分析】由题意作图，根据角平分线的性质以及椭圆的定义，可得的长，利用三角形中位线，可得答案. 【详解】由题意，延长交于，连接，如下图： 因为为的角平分线且，所以， 则，即， 在中，易知分别为的中点，即为中位线， 所以. 【巩固练习3】（2024深高级高二期末）椭圆中，为上顶点，为左焦点，过原点作的平行线与椭圆在第一象限交于点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的坐标，计算即可. 【详解】结合题意可得：，，所以， 因为,所以直线为， 设，联立，可得， 因为，所以， 整理得：，即， 因为椭圆的离心率，所以. 故选：B. 法二：如图，作BH垂直x轴，则，故，易知， ，将代入椭圆方程可得，解得，即 ，令，则有 【题型2】利用对称性补成平行四边形 椭圆具有中心对称性，若遇到焦点三角形为直角三角形或者两条焦点弦平行时可以考虑通过对称性补成平行四边形来解题 【例题1】已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：设椭圆的右焦点，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形， 则，且由，可得， 所以，则， 由余弦定理可得， 即， 椭圆的离心率， 【例题2】已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于，两点．在中，，且满足，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】设椭圆的左焦点为，连接，，根据对称性可知四边形为平行四边形，即可得到，再由余弦定理及椭圆的定义求出，即可求出，最后由得到关于的方程，解得即可. 【详解】设椭圆的左焦点为，连接，，根据对称性可知四边形为平行四边形， 又，所以， 又， 又，， 即， ， 所以， 所以， 即， 所以，解得或． 又因为，所以． 故答案为： 【巩固练习1】已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的对称性可知，就是到椭圆左焦点的距离；再根据椭圆的定义和“焦点三角形”求的值. 【详解】设，如图，记为的左焦点，连接， 则由椭圆的对称性可知，由，设，则. 又轴，所以，即， 所以，解得. 所以的长轴长为. 【巩固练习2】（高二下·广东深圳·期末）已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，再根据椭圆的定义求出，再利用勾股定理构造齐次式即可得解. 【详解】如图，设椭圆的左焦点为， 由椭圆的对称性可得， 所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为矩形，所以， 由，得， 又，所以， 在中，由， 得，即，所以， 即的离心率为. 故选：A.    【巩固练习3】已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的对称性可知，就是到椭圆左焦点的距离；再根据椭圆的定义和“焦点三角形”求的值. 【详解】设，如图，记为的左焦点，连接， 则由椭圆的对称性可知，由，设，则. 又轴，所以，即， 所以，解得. 所以的长轴长为. 【题型3】双焦点三角形模型：导边 【例题1】已知双曲线方程为，，两焦点分别为，，直线经过与双曲线交于两点，其中且，则此双曲线离心率为 . 【答案】 【分析】连接，设利用双曲线的定义得到利用直角和直角构造的关系，即可求出答案 【详解】连接， 设则， 由双曲线的定义可得 在直角中，，即， 化简可得， 在直角中，，即， 将代入上式可得整理可得，所以 【例题2】、分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若是等边三角形，则该双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为为等边三角形，不妨设， 为双曲线上一点，， 为双曲线上一点，则，，， 由，则， 在△中应用余弦定理得：， 得，则，解得． 【巩固练习1】已知分别为双曲线的左､右焦点，过左焦点的直线交双曲线左支于两点，且，则该双曲线的离心率 . 【答案】 【详解】设，则，因为, 所以，即，由勾股可得 即离心率. 【巩固练习2】已知，为双曲线的左、右焦点，斜率为的直线过分别交双曲线左、右支于、点，，则双曲线的离心率为______________. 【解答】解：设，由双曲线定义得：，， 所以， 作，△中，，可得， △中，勾股定理得：①， △中，勾股定理得：， 可得②， 由①②可得，整理可得，即 【巩固练习3】已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与双曲线的左､右支分别交于点，，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过作于点，设，因为直线的倾斜角为，所以在直角三角形中，，，由双曲线的定义可得，所以，同理可得，所以，即，所以，因此，在直角三角形中，，所以，所以，则.故选：A. 【题型4】双用余弦定理求解离心率 【例题1】椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，由椭圆定义知， 又，所以，再由椭圆定义， 因为，所以， 所以由余弦定理可得， 即， 化简可得，即， 解得或（舍去） 【例题2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，且．若，则双曲线的离心率为　　 A． B．2 C． D．4 【答案】D 【解答】解：设，因为，则， 由双曲线的定义可得，， 因为， 所以，，，， 因为，所以， 由余弦定理可得， 即，解得． 故选：． 【巩固练习1】已知椭圆的两个焦点为，过作直线与椭圆相交于两点，若且，则椭圆上的离心率为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 解析：设，则，， 由椭圆定义：，，，， ，，化简,，故选C 【巩固练习2】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的2倍，则双曲线C的离心率为 . 【答案】或 【分析】由双曲线的定义和等腰三角形的定义，结合三角形的余弦定理和离心率公式，计算可得所求值． 【详解】设，， 由双曲线的定义可得，， 由的面积是的面积的2倍，可得， 又为等腰三角形，可得，或， 当，即，可得，，，， 在中，， 在中，， 化为，即； 当，即，可得，，，， 在中，， 在中，， 化为，即． 故答案为：或． 【巩固练习3】已知双曲线E：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与E交于A，B两点（B在x轴的上方），且满足．若直线的倾斜角为120°，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】设则,由双曲线的定义知,， 在和中分别利用余弦定理,然后两式相减即可求解. 【详解】设则,则, 由双曲线的定义知,, 在中,由余弦定理可得, ， 即， 在中,由余弦定理可得, 即 两式相减可得,,所以离心率. 【巩固练习4】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而再得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而利用余弦定理求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为， 所以，由双曲线的定义可得， 所以， 在中，由余弦定理得， 在中，，设，则， 由得 ，解得，所以， 所以. 故选：D . 【题型5】与斜率乘积相关求解离心率 【例题1】已知双曲线的左顶点为，点均在双曲线上且关于轴对称，若直线的斜率之积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出坐标后结合题意表示出斜率之积，计算可得，由即可得离心率. 【详解】 设，则，， 则， 由在双曲线上，故， 即有，故， 即有，即， 故. 【例题2】已知双曲线的两个顶点分别为，点P在双曲线上且异于点，若直线的斜率之积为8，则双曲线的率心率为 . 【答案】3 【分析】设，，应用斜率两点式得，结合点P在双曲线上、即可求离心率. 【详解】设，，则， 又，则，故双曲线的率心率为. 【巩固练习1】已知点是椭圆上一点，过点作椭圆的切线，则的方程为．若与（为坐标原点）的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，求得斜率建立方程，结合离心率的计算公式，可得答案. 【详解】由的方程为，得的斜率为． 又因为直线的斜率为，所以，即， 所以椭圆的离心率为． 【巩固练习2】椭圆：的左顶点为，点，是上的任意两点，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再结合可求出离心率. 【详解】由题意得，设， 因为点，是上的任意两点，且关于轴对称， 所以，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以离心率， 故选：C    【题型6】利用坐标法求解离心率 【例题1】（2024深圳罗湖区高二期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，点P为E的上顶点，点Q在E上且满足，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】向量坐标化得Q坐标，代入椭圆方程计算求解离心率. 【详解】由题意,其中. 设，由，得，即， 代入椭圆得，解得离心率. 【例题2】已知双曲线的左焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，并与双曲线C交于点B，且有，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】计算出点坐标，然后带入椭圆方程，化简即可得到关系的方程，进而得出. 【详解】不妨设双曲线的一条渐近线为, 因为左焦点,所以直线的方程为,与 两式联立可得, 设，因为, 即，所以, 将点坐标代入双曲线方程得：, 上式整理得,即离心率. 【巩固练习1】已知A、F分别为椭圆的左顶点和左焦点，B、C是椭圆上关于原点对称的点，若直线平分线段，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，可得的中点的坐标，由三点共线得，即可求解. 【详解】由题意得， 设，则的中点， ∵三点共线，∴，即， 整理得，∴． 故选：A. 【巩固练习2】如图，椭圆C：的右顶点为A，上顶点为B，直线且在第一象限交椭圆于P点，设OP与AB的交点为M，若，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】联立方程求出点的坐标，再由可得点的坐标，代入椭圆方程，化简整理，由椭圆的离心率公式可得所求值. 【详解】由题意，， 则，且直线的方程为， 由可得，所以直线的方程为， 联立，解得，即， 因为，所以， 将代入椭圆方程化简得， 即，所以或（舍去）， 所以，即，所以离心率. 【巩固练习3】已知椭圆C：的左、右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2且斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，若满足，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】根据平面向量共线的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数、椭圆的离心率公式进行求解即可. 【解答】设， 由， 设A（x1，y1），B（x2，y2），F2（c，0）， 设直线的方程为，代入椭圆的方程中， 得， 因为， 所以有，而， 所以有， 于是有 【题型7】利用不等关系求解离心率范围 【例题1】已知过点可作出双曲线的两条切线，切点都在双曲线的同一支上，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，点必须在渐近线轴和双曲线围成的区域内（不包括边界），可得，结合的关系求解即可. 【详解】要满足题意，点必须在渐近线轴和双曲线围成的区域内（不包括边界），如图， 所以，得，∴，∴，，即． 故选：D． 【例题2】点M是椭圆上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题目条件可知圆的半径为，画出图形由是钝角三角形可得，即可求得椭圆离心率的取值范围. 【详解】依题意，不妨设为右焦点，则， 由圆Ｍ与x轴相切于焦点F，M在椭圆上，易得或，则圆的半径为. 过M作轴垂足为N，则，，如下图所示： ，均为半径，则为等腰三角形，∴， ∵为钝角，∴， 即，所以得，即，得，得， 故有，从而解得. 【巩固练习1】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用双曲线的性质及余弦定理计算即可. 【详解】 因为倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点， 可知直线的倾斜角大于双曲线的一条渐近线的倾斜角， 即， 设，则，根据可知， 在中，由余弦定理可知， 即， 则， 故 【巩固练习2】已知椭圆的两个焦点为，，点，为上关于坐标原点对称的两点，，的面积记为，且，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，根据题意得到四边形为矩形，故，求出，再根据，利用勾股定理得到，得到，再根据上存在关于坐标原点对称的两点，使得，得到，计算即可得到离心率范围. 【详解】连接，，由题意得，，， 又，所以四边形为矩形，故， 所以，故， 又，由勾股定理得， 即，则， 故，即， 故，， 解得， 又上存在关于坐标原点对称的两点，，使得， 故，所以，即， 所以，，解得， 综上，的离心率的取值范围是. 故选：C. 【巩固练习3】已知是双曲线的左右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是______． 【答案】 【分析】表示出，建立关于的齐次式，即可求出离心率的范围. 【详解】，是双曲线的左右焦点，以圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点， 则焦点到渐近线的距离：， 所以， ， ， 可得， 即：，可得， 所以，所以，又，所以双曲线的离心率的取值范围是： 【题型9】利用函数的值域求解离心率范围 【例题1】已知椭圆与双曲线，椭圆的短轴长与长轴长之比大于，则双曲线离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据椭圆方程和题设条件得到将双曲线的离心率表达式整理成的形式，换元成，研究函数的单调性并求得其值域即可得到离心率的范围. 【详解】依题意，对于椭圆方程，对于双曲线方程，. 不妨设，则，于是，由复合函数的单调性可得函数在区间上单调递增， 故，即，故双曲线离心率的取值范围为. 故答案为：. 【例题2】已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点，是以为底边的等腰三角形，且，则该椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用余弦定理将角度的范围转化为关于椭圆离心率的不等式即可. 【详解】因为是以为底边的等腰三角形， 所以，所以， ，， 在中，由余弦定理得：， 故，即， 即， 不等式，即， 解得(舍去)或 不等式，即 所以. 【巩固练习1】已知双曲线（其中），若，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将双曲线方程化为标准方程，再根据离心率的定义，用表示出离心率，进而可得其取值范围. 【详解】由双曲线（其中）， 得， 则双曲线离心率， 因为，所以，则， 所以， 所以，即双曲线离心率的取值范围为. 【巩固练习2】设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为 【答案】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理进行、椭圆和双曲线的离心率公式进行求解即可. 【详解】设， 因为两个曲线在第一象限内交于点， 所以有， 解得， 因为， 所以由余弦定理可知：， 因为，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，所以设， 于是有，化简得： ， 因为，所以， 所以， 故答案为： 【题型10】直接法求轨迹方程 【例题1】动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】利用直接法建立等式，化简即可. 【详解】解：动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数， 所以，即， 展开整理得． 【例题2】已知点，，点满足直线，的斜率之积为，则的面积的最大值为 ． 【答案】20 【分析】根据条件，运用斜率公式求出P点的轨迹方程，再根据轨迹确定 面积的最大值. 【详解】设，由题意可知，， 整理得； 得动点的轨迹为以，为长轴顶点的椭圆除去，两点， 显然当点位于上下顶点时面积取得最大值， 因为，，所以 【巩固练习1】已知点与点，是动点，且直线与的斜率之积等于求动点的轨迹方程; 【答案】 【分析】设点的坐标为，进而利用得到动点的轨迹方程. 【详解】设点的坐标为， 因为， 所以，化简得. 故动点的轨迹方程为. 【巩固练习2】平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设点，可得出，分、两种情况讨论，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】设点，因为平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大， 则， 当时，则有，即， 等式两边平方整理可得； 当时，则有，即， 等式两边平方可得. 综上所述，点的轨迹方程为或. 【题型11】定义法求轨迹方程 【例题1】的坐标满足方程：，则M的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】由题意，结合双曲线的定义即可求解. 【详解】设，， 由于动点的轨迹方程为 则， 故点M到定点与到定点的距离差的绝对值为8， 则动点的轨迹是以为焦点的双曲线， 由于，，则， 故M的轨迹方程为： 【例题2】已知动圆与圆外切，同时与圆内切；则动圆圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】结合圆与圆的位置关系与椭圆定义即可得. 【详解】由，即，半径为， ，即，半径为， 有， 故圆与圆为内含关系， 设动圆半径为，由动圆与圆外切，故， 由动圆与圆内切，故， 又圆与圆为内含关系，故点在圆内部，故， 有， 故动圆圆心的轨迹为以、为焦点，为长轴长的椭圆， 则半长轴长为，半短轴长为， 故动圆圆心的轨迹方程为. 【巩固练习1】平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数， 故根据椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，， 故，故椭圆的标准方程为. 【巩固练习2】已知圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】由题可得，然后根据双曲线的定义即得. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 由于动圆E与圆，都外切， 设动圆E的半径为，则， 所以， 所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 设方程为，则， 所以E的轨迹方程为. 【巩固练习3】（广东深圳·高二校考期末）如图，已知动点P在上，点，线段的垂直平分线和相交于点M，求点M的轨迹方程. 【答案】 【详解】，圆心，半径. 由 连接，由点Q在圆内，又由点M在线段的垂直平分线上. ，， 由椭圆的定义知，点M的轨迹是以，Q为焦点的椭圆，其中，. ，点M的轨迹方程为. 【题型12】相关点法求轨迹方程 【例题1】已知椭圆上有一点，是轴上的定点，若有一点满足，则的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，，根据题意，得到，代入椭圆方程，即可求解. 【详解】解：设是所求轨迹上的一点，且， 因为，且，可得， 即，可得， 代入椭圆，可得，整理得， 所以点的轨迹方程为. 【例题2】已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用三角形的重心坐标公式可得，将其代入可得结果. 【详解】分别为椭圆的左、右焦点， 设，G点是三角形的重心 则，得， 又是椭圆E上一动点，，即，又G点是三角形的重心， 所以点G的轨迹方程为 【巩固练习1】已知P是圆C：上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足，记点M的轨迹为E，求E的方程 【答案】 【详解】（1）设，则， 因为，则， 因为P在圆C上，所以，故E的方程为 【巩固练习2】已知点在曲线上，为坐标原点，若点满足，记动点的轨迹为，求的方程 【答案】 【详解】设，因为点在曲线上， 所以，因为，所以， 代入可得，即，即的方程为 【重点题型回顾】 1． 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是C上的一点，，的平分线与x轴交于点A，记，的面积分别为，，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意分析可得，利用角平分线定理得，再根据双曲线的定义结合通径得到关于的齐次方程，从而得解. 【详解】因为，则，可得， 由题意知是的平分线，所以， 又，所以，则， 所以，整理得，故，得，即， 所以. 2． 如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（    ）    A．圆 B．射线 C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆 【答案】C 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质结合圆的性质可得，再由椭圆的定义可得其轨迹. 【详解】连接， 因为线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，所以， 因为，所以， 所以点的轨迹是以为焦点，4为长轴长，焦距为2的椭圆 3． 已知椭圆的左，右焦点分别为，，椭圆C在第一象限存在点M，使得，直线与y轴交于点A，且是的角平分线，则椭圆C的离心率为 . 【答案】 【分析】首先设，再根据题意和椭圆的定义求得，转化为关于的等式，进而求得椭圆的离心率. 【详解】由题意得， 又由椭圆的定义得， 记，则，， 则，所以， 故， 则，则，即 等价于，得：或（舍） 故答案为： 4． 已知椭圆：的左､右焦点分别为，，是椭圆的上顶点，直线与直线交于点A，若，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】根据，坐标，写出直线的方程，再求得点A，由求解即可. 【详解】   根据题意知，，，， 则直线的方程为，联立， 得， 设直线与x轴交于点M， 因为，， 所以， 所以， 所以离心率. 5． 动圆M与圆：，圆：，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先设，半径为，根据动圆与圆，都外切得到，从而得到的轨迹为以为焦点，的双曲线左支，再求轨迹方程即可. 【详解】圆：，圆心，半径 . 圆：，圆心，半径 . 设，半径为，因为动圆与圆，都外切， 所以， 所以的轨迹为以为焦点，的双曲线左支. 所以，，解得， 即的轨迹方程为：. 6． （广东深圳·高二统考期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线E的左、右两支分别交于A，B两点，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义以及焦点三角形即可根据勾股定理求解，由直角三角形的面积公式即可得解. 【详解】如图， 因为，所以． 设，，得， 由，得 所以，则， 由，得， 又 ，所以，，， 故的面形. 7． 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若，则双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：， 设，，，则，， 根据双曲线的定义，得， 即， 解得，， 即，，， △中， ， 在三角形中， ，， ，可得， 因此，该双曲线的离心率． 8． （2024·河北沧州·二模）已知为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率为 . 【答案】 【分析】利用给定条件，结合椭圆的定义、余弦定理建立关于的等式，即可求出离心率. 【详解】由及，得，， 又，则，设， 在中，由余弦定理得，， 在中，由余弦定理得，， 于是，且， 整理得，且，因此， 所以的离心率为. 故答案为：    9． 椭圆：的左顶点为，点，是上的任意两点，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再结合可求出离心率. 【详解】由题意得，设， 因为点，是上的任意两点，且关于轴对称， 所以，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以离心率， 故选：C    10． 已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则 ；当取最小值时，的面积为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的几何性质，斜率公式，以及基本不等式，即可分别求解. 【详解】设，则，可得， 又因为分别为双曲线的左右顶点，可得， 所以； 又由，所以， 当且仅当时，等号成立，所以，解得， 所以，所以， 所以的面积为. 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $$