【寒假衔接】专题2-1 圆锥曲线基础知识点与常考题型回顾【10大题型】- 2024-2025学年高二数学寒假精品讲义

【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 专题2-1 椭圆与双曲线常考题型回顾 模块一 题型·解读 【题型1】椭圆及双曲线的定义 【题型2】求椭圆、双曲线的方程 【题型3】根据椭圆、双曲线的方程求参数范围 【题型4】焦点三角形 【题型5】距离之和（差）的最值问题 【题型6】椭圆、双曲线的简单几何性质 【题型7】求离心率 【题型8】渐近线问题 【题型9】轨迹方程问题 【题型10】求离心率的取值范围 【课后巩固训练】 模块二 基础知识·梳理 知识点01 椭圆的定义与标准方程 一、椭圆的定义 平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作. 定义式：. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 二、椭圆的标准方程 焦点在轴上，；焦点在轴上，. 说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：. 知识点02 椭圆的图形及其简单几何性质 标准方程 图形 焦点位置 几何性质 范围 顶点 焦点 对称性 离心率 在轴上 ， 对称轴：轴，轴，对称中心： 原点 ， 在轴上 ， 注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程. 必记结论： 1．设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，P点在短轴端点处；当时，有最大值a，P点在长轴端点处． 2．已知过焦点F1的弦AB，则的周长为 知识点03 双曲线的定义和标准方程 1．双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于且大于零)的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距． （2）符号语言：. （3）当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，轨迹为分别以为端点的两条射线； 当时，动点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程有两种形式： （1）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图1所示； （2）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图2所示． 图1 图2 注：双曲线方程中的大小关系是不确定的，但必有． 3．必记结论 （1）焦点到渐近线的距离为. （2）与双曲线(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为． （3）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为或． （4）与双曲线(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线方程可设为 ． （5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为． （6）与椭圆有共同焦点的双曲线方程可设为． 知识点04 双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质 标准方程 图形 范围 ， ， 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 焦点 左焦点，右焦点 下焦点，上焦点 顶点 轴 线段是双曲线的实轴，线段是双曲线的虚轴； 实轴长，虚轴长 渐近线 离心率 2．等轴双曲线的概念和性质 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质： （1）方程形式为； （2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； （3）实轴长和虚轴长都等于，离心率． 知识点05 同底数幂的乘法的逆用公式 模块三 核心题型·训练 【题型1】椭圆及双曲线的定义 【解题思路】椭圆的定义：平面内动点到两定点的距离的和为常数，即， 当时，动点的轨迹是椭圆；当时，动点的轨迹是一条线段；当时，动点的轨迹不存在. 双曲线定义中，距离的差要加绝对值，否则只有双曲线的一支，若分别表示双曲线的左、右焦点，则有以下两种情形：①若点满足，则点在左支上； ②若点满足，则点在右支上. 【例题1】已知，是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题2】（多选）已知、，下列说法中正确的是（    ） A．平面内到、两点的距离相等的点的轨迹是直线 B．平面内到、两点的距离之差等于的点的轨迹是双曲线的一支 C．平面内到、两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 D．平面内到、两点距离的平方和为的点的轨迹是圆 【巩固练习1】已知，下列命题正确的是（    ） A．若到距离之和为，则点的轨迹为椭圆 B．若到距离之差为，则点的轨迹为双曲线 C．椭圆上任意一点（长轴端点除外）与连线斜率之积是 D．渐近线为且过点的双曲线的焦点是 【巩固练习2】设满足：，则的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．不存在 【巩固练习3】（多选）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（    ） A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 【题型2】求椭圆、双曲线的方程 【解题思路】用待定系数法求椭圆方程：根据焦点位置设方程为或，若焦点位置不确定，则可设椭圆的方程为，，用待定系数法求椭圆方程：根据焦点位置,设方程为或,焦点不定时,亦可设为 【例题1】焦点在轴上的椭圆过点，且点到两焦点的距离之和为8，则该椭圆标准方程为 . 【例题2】求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线的渐近线方程为，焦点在轴上，两顶点之间的距离为2； (2)与双曲线有共同的渐近线，并且经过点． 【巩固练习1】已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为2，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】求满足下列条件的双曲线的方程： (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点； (2)渐近线方程为，且经过点． 【题型3】根据椭圆、双曲线的方程求参数范围 【解题思路】给出方程，①当时，方程表示圆； ②当时，方程表示椭圆.若，则焦点在轴上；若，则焦点在轴上. ①当时，方程表示双曲线.若，则焦点在轴上；若，则焦点在轴上. 【例题1】若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知方程对应的图形是双曲线，那么的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【巩固练习1】（多选）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习2】（多选）若方程所表示的曲线为，则下列说法错误的是（    ） A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或 C．若为椭圆，则焦距为定值 D．若为双曲线，则焦距为定值 【题型4】焦点三角形 焦点三角形：圆锥曲线上一点P与两个焦点、连线所成的三角形称为焦点三角形。 解焦点三角形： ①曲线定义：椭圆中： 双曲线中： ②直角三角形：勾股定理列方程 ③特殊角：正弦定理十余弦定理 【二级结论】如图，P为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为，若是双曲线则焦点三角形面积为 【例题1】已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【巩固练习2】已知双曲线的左、右焦点分别是，．若双曲线上一点P使得，则的面积为 ． 【巩固练习3】已知，为双曲线的左，右焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，设的内切圆半径为，圆心为，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型5】距离之和（差）的最值问题 【解题思路】设为椭圆或双曲线上一点，为椭圆的焦点．与的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解． 【例题1】已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【例题2】已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 【巩固练习1】已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【巩固练习3】已知椭圆的左、右焦有分别为，离心率为为C上任意一点，且的周长为6，则椭圆方程为 ；若直线经过定点N，则的最小值为 . 【题型6】椭圆、双曲线的简单几何性质 【解题思路】由标准方程求有关性质，首先要将方程化为标准形式确定的值，进而求出，再根据几何性质得到相应的答案. 【例题1】焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（多选）已知曲线，，则（    ） A．的长轴长为4 B．的渐近线方程为 C．与的焦点坐标相同 D．与的离心率互为倒数 【巩固练习1】椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【巩固练习2】（多选）已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线的说法正确的是（    ） A．实轴长为6 B．虚轴长为2 C．焦距为 D．离心率为 【巩固练习3】若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为，则下列结论正确的是序号是 . ①的焦点到渐近线的距离为4；②的离心率为； ③上的点到距离的最小值为2；④过的最短的弦长为. 【题型7】求离心率 【解题思路】求离心率的值，一般先将已知条件转化为关于的方程，再求解： （1）若已知可直接代入求得；（2）若已知则使用椭圆的或双曲线求解.；（3）若已知，则先求，再利用（1）求解；（4）若已知的关系，可转化为关于离心率的方程求值 【例题1】设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【例题2】己知是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得，则椭圆的离心率为 ． 【例题3】（高二下·广东深圳·期末）已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上的一点，且，双曲线的离心率是 ． 【巩固练习2】已知双曲线的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的离心率是（    ） A．3 B． C． D． 【巩固练习3】已知椭圆的左，右焦点分别为，过原点的直线与相交于，两点，若且，则椭圆的离心率为 ． 【题型8】渐近线问题 【解题思路】根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中，最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了此双曲线的渐近线方程． 与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为； 若已知双曲线的渐近线方程或，则双曲线方程可设为.(当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上.) 【例题1】在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，点是左支上一点，且，，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知双曲线：的左、右焦点分别为，点在轴上，点在的渐近线上.若，，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】若双曲线经过点，则此双曲线的渐近线夹角的余弦值为 ． 【巩固练习2】已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M（异于坐标原点O），若线段交双曲线于点P，且，则该双曲线的渐近线方程为 ． 【巩固练习3】已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为.若，则点的坐标为 ；双曲线的渐近线方程为 . 【题型9】轨迹方程问题 一、相关点法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程 二、斜率之积为定值：即椭圆的第三定义，可以通过设点表示斜率得出等式，进而得出椭圆方 三、到定距离与到定直线距离之比为定值：即椭圆的第二定义，可以通过设点表示距离进而得出椭圆方程 【例题1】已知曲线，过上任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（23-24高二上·重庆·期末）已知是圆上的动点，为定点，线段的垂直平分线交线段于点，点的轨迹为曲线，求曲线的方程. 【例题3】已知圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为 . 【巩固练习1】已知点是椭圆上的动点，于点，若，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知点，，点满足直线，的斜率之积为，则的面积的最大值为 ． 【巩固练习3】已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（广东深圳·高二校考期末）如图，已知动点P在上，点，线段的垂直平分线和相交于点M，求点M的轨迹方程. 【题型10】求离心率的取值范围 【例题1】已知，分别是椭圆：的左、右焦点，若椭圆上存得线段的中垂线恰好经过焦点，则椭圆离心率的取值范围是 【例题2】设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知双曲线的左､右焦点分别为. (1)该双曲线虚轴的一个端点为，若直线与它的一条渐近线垂直，求双曲线的离心率. (2)若右支上存在点，满足，求双曲线的离心率的取值范围. 【课后巩固训练】 1． 已知P是圆C：上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足，记点M的轨迹为E，求E的方程 2． （多选）若曲线的方程为：，则下列说法不正确的是（    ） A．当曲线为直线时， B．当时，曲线为焦点在轴的双曲线 C．当时，曲线不存在 D．当曲线表示焦点在轴上的椭圆时， 3． 已知椭圆的焦点分别为，点在椭圆上，若，则三角形的面枳为 A． B． C． D． 4． 若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（    ） A． B． C． D． 5． 已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（       ） A． B．13 C．3 D．5 6． 已知为椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，点为圆上一动点，则的最大值是 . 7． 已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 15 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 专题2-1 椭圆与双曲线常考题型回顾 模块一 题型·解读 【题型1】椭圆及双曲线的定义 【题型2】求椭圆、双曲线的方程 【题型3】根据椭圆、双曲线的方程求参数范围 【题型4】焦点三角形 【题型5】距离之和（差）的最值问题 【题型6】椭圆、双曲线的简单几何性质 【题型7】求离心率 【题型8】渐近线问题 【题型9】轨迹方程问题 【题型10】求离心率的取值范围 【课后巩固训练】 模块二 基础知识·梳理 知识点01 椭圆的定义与标准方程 一、椭圆的定义 平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作. 定义式：. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 二、椭圆的标准方程 焦点在轴上，；焦点在轴上，. 说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：. 知识点02 椭圆的图形及其简单几何性质 标准方程 图形 焦点位置 几何性质 范围 顶点 焦点 对称性 离心率 在轴上 ， 对称轴：轴，轴，对称中心： 原点 ， 在轴上 ， 注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程. 必记结论： 1．设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，P点在短轴端点处；当时，有最大值a，P点在长轴端点处． 2．已知过焦点F1的弦AB，则的周长为 知识点03 双曲线的定义和标准方程 1．双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于且大于零)的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距． （2）符号语言：. （3）当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，轨迹为分别以为端点的两条射线； 当时，动点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程有两种形式： （1）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图1所示； （2）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图2所示． 图1 图2 注：双曲线方程中的大小关系是不确定的，但必有． 3．必记结论 （1）焦点到渐近线的距离为. （2）与双曲线(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为． （3）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为或． （4）与双曲线(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线方程可设为 ． （5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为． （6）与椭圆有共同焦点的双曲线方程可设为． 知识点04 双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质 标准方程 图形 范围 ， ， 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 焦点 左焦点，右焦点 下焦点，上焦点 顶点 轴 线段是双曲线的实轴，线段是双曲线的虚轴； 实轴长，虚轴长 渐近线 离心率 2．等轴双曲线的概念和性质 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质： （1）方程形式为； （2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； （3）实轴长和虚轴长都等于，离心率． 知识点05 同底数幂的乘法的逆用公式 模块三 核心题型·训练 【题型1】椭圆及双曲线的定义 【解题思路】椭圆的定义：平面内动点到两定点的距离的和为常数，即， 当时，动点的轨迹是椭圆；当时，动点的轨迹是一条线段；当时，动点的轨迹不存在. 双曲线定义中，距离的差要加绝对值，否则只有双曲线的一支，若分别表示双曲线的左、右焦点，则有以下两种情形：①若点满足，则点在左支上； ②若点满足，则点在右支上. 【例题1】已知，是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】充分、必要条件的判断，一方面需要判断充分性，另一方面要判断必要性，结合双曲线的定义，只有“为定值”且“”时才成立，即可做出判断． 【详解】充分性：当“为定值”，但“”时，“动点的轨迹不是双曲线”，不满足充分性； 必要性：双曲线上的动点满足“为定值”，满足必要性； 因此“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的必要不充分条件． 【例题2】（多选）已知、，下列说法中正确的是（    ） A．平面内到、两点的距离相等的点的轨迹是直线 B．平面内到、两点的距离之差等于的点的轨迹是双曲线的一支 C．平面内到、两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆 D．平面内到、两点距离的平方和为的点的轨迹是圆 【答案】AB 【分析】根据中垂线的定义可判断A选项；利用双曲线的定义可判断B选项；根据椭圆的定义可判断C选项；求出动点的轨迹方程可判断D选项. 【详解】设所求动点为，由题意可得. 对于A选项，由题意可知，，则点的轨迹为线段的垂直平分线，A对； 对于B选项，由题意可知，， 所以，点的轨迹是以、为焦点的双曲线的一支，B对； 对于C选项，，所以，点的轨迹为线段，C错； 对于D选项，设点，则，可得， 满足条件的点不存在，D错. 【巩固练习1】已知，下列命题正确的是（    ） A．若到距离之和为，则点的轨迹为椭圆 B．若到距离之差为，则点的轨迹为双曲线 C．椭圆上任意一点（长轴端点除外）与连线斜率之积是 D．渐近线为且过点的双曲线的焦点是 【答案】C 【分析】直接利用椭圆定义和双曲线定义，直线的斜率，渐近线的应用逐个判断选项即可. 【详解】对于A，若到距离之和为， 即， 则点的轨迹为线段，A错误； 对于B，若到距离之差为， 即，又， 则点的轨迹为双曲线的一支，故B错误； 对于C，椭圆上任意一点（长轴端点除外）与连线斜率之积： ，C正确； 对于D，渐近线为且过点的双曲线方程为， 双曲线过点，则， 故双曲线方程为， 故焦点坐标为和，故D错误. 【巩固练习2】设满足：，则的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．不存在 【答案】B 【分析】设，，即可得到，根据椭圆的定义判断即可. 【详解】设，，则，， 由，即， 又，所以， 根据椭圆的定义可知点的轨迹是以，为焦点的椭圆 【巩固练习3】（多选）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（    ） A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 【答案】BC 【分析】根据椭圆的定义求解. 【详解】由题意知，定点，，可得， 因为，可得， 当且仅当，即时取得等号， 当时，可得的，此时点的轨迹是线段； 当时，可得，此时点的轨迹是椭圆. 故选：BC. 【题型2】求椭圆、双曲线的方程 【解题思路】用待定系数法求椭圆方程：根据焦点位置设方程为或，若焦点位置不确定，则可设椭圆的方程为，，用待定系数法求椭圆方程：根据焦点位置,设方程为或,焦点不定时,亦可设为 【例题1】焦点在轴上的椭圆过点，且点到两焦点的距离之和为8，则该椭圆标准方程为 . 【答案】 【分析】由椭圆的定义得到，再把点代入椭圆标准方程，求出即可. 【详解】设椭圆方程为， 因为点到两焦点的距离之和为8，所以， 又焦点在轴上的椭圆过点， 所以，所以该椭圆标准方程为：. 【例题2】求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线的渐近线方程为，焦点在轴上，两顶点之间的距离为2； (2)与双曲线有共同的渐近线，并且经过点． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）由题意设满足题意的双曲线的标准方程为，且，由此即可得解. （2）由题意设满足题意的双曲线的标准方程为，将点代入即可得解. 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 故设满足题意的双曲线的标准方程为， 又因为双曲线的渐近线方程为，两顶点之间的距离为2， 所以，解得， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. （2）因为所求双曲线方程与双曲线有共同的渐近线， 故设满足题意的双曲线的标准方程为， 又因为所求双曲线经过点， 所以，解得， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. 【巩固练习1】已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为2，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件列方程组求出方程中参数即可. 【详解】椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为2， 则有，解得， 椭圆的方程是. 【巩固练习2】与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设出双曲线方程，求出的值即焦点坐标，然后根据双曲线的定义、平方关系求出的值即可求解. 【详解】由题意不妨设所求双曲线的标准方程为， 则，即椭圆与所求双曲线的公共焦点为， 由双曲线的定义可知， 所以， 所以所求双曲线的标准方程为. 【巩固练习3】求满足下列条件的双曲线的方程： (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点； (2)渐近线方程为，且经过点． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）设双曲线方程为，代入双曲线方程结合，求出，即得双曲线方程； （2）法一：分焦点在x轴和y轴设双曲线方程，结合渐近线方程为，且经过点，列方程得到双曲线方程；法二：结合渐近线方程设双曲线为，代入点，得到的值，进而得到双曲线方程. 【详解】（1）设所求双曲线方程为． ∵，∴，∴. 由题意得解得， ∴所求的双曲线方程为． （2）法一：∵双曲线的渐近线方程为． 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为，则①． ∵点在双曲线上，∴②． ①②联立，无解． 当焦点在y轴上时，设所求方程为，则③． ∵点在双曲线上，∴④． 联立③④，解得，． ∴所求双曲线的标准方程为． 法二：由双曲线的渐近线方程为， 可设双曲线方程为， ∵点在双曲线上， ∴，即． ∴所求双曲线的标准方程为． 【题型3】根据椭圆、双曲线的方程求参数范围 【解题思路】给出方程，①当时，方程表示圆； ②当时，方程表示椭圆.若，则焦点在轴上；若，则焦点在轴上. ①当时，方程表示双曲线.若，则焦点在轴上；若，则焦点在轴上. 【例题1】若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由方程表示椭圆得系数满足的不等式组，解不等式组可得. 【详解】因为方程表示椭圆， 则，解得，则实数的取值范围是. 【例题2】已知方程对应的图形是双曲线，那么的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据双曲线定义求的取值范围. 【详解】因为方程对应的图形是双曲线，则， 即或，解得或． 【巩固练习1】（多选）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【分析】由双曲线定义求出，的不等关系，由焦距可以求出，由此可确定的取值范围. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得， 又由该双曲线两焦点间的距离为4，得，即， 所以． 【巩固练习2】（多选）若方程所表示的曲线为，则下列说法错误的是（    ） A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或 C．若为椭圆，则焦距为定值 D．若为双曲线，则焦距为定值 【答案】ACD 【分析】根据椭圆以及双曲线的标准方程，即可结合选项逐一求解. 【详解】方程，由，解得,,，此时曲线是椭圆，所以A不正确．   由得或，此时表示的曲线是双曲线，所以B正确， 当，解得，此时曲线表示焦点在轴上的椭圆， 故焦距为，不为定值，故C错误， 当，解得时，此时曲线表示焦点在轴上的双曲线， 则焦距为，不为定值，故D错误 【题型4】焦点三角形 焦点三角形：圆锥曲线上一点P与两个焦点、连线所成的三角形称为焦点三角形。 解焦点三角形： ①曲线定义：椭圆中： 双曲线中： ②直角三角形：勾股定理列方程 ③特殊角：正弦定理十余弦定理 【二级结论】如图，P为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为，若是双曲线则焦点三角形面积为 【例题1】已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合椭圆定义，有，即可得各边长与的关系，得到，结合即可求解. 【详解】设，则，所以， 因为，即，故， 所以， 所以，故，即， 所以. 【例题2】已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， ，又，解得， . 【巩固练习1】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出三角形周长即可. 【详解】椭圆：的长半轴长，显然，， 所以的周长为. 【巩固练习2】已知双曲线的左、右焦点分别是，．若双曲线上一点P使得，则的面积为 ． 【答案】 【分析】在焦点三角形中，由余弦定理与双曲线定义求得，然后代入三角形面积公式求得答案． 【详解】由，得． 由双曲线的定义和余弦定理，得， ， 所以，所以， 所以 【巩固练习3】已知，为双曲线的左，右焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，设的内切圆半径为，圆心为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线的性质及双曲线的定义，确定M的横坐标，即得出圆心的横坐标，再由勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】 设的内切圆分别与，切于N，B，与切于H，如图， 则, 又点在双曲线右支上， 所以， 故，而， 设H的坐标为，可得: ， 解得， 设内切圆半径为，则内切圆圆心为， 又，即， 解得. 【题型5】距离之和（差）的最值问题 【解题思路】设为椭圆或双曲线上一点，为椭圆的焦点．与的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解． 【例题1】已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，将转化为，当三点共线时，取最大值即，再利用两点距离公式就可求解. 【详解】如图，    设椭圆C的左焦点为，由由椭圆定义可得，， 所以 . 【例题2】已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，及，当且仅当三点共线时取等号，再结合双曲线的定义可得． 【详解】由已知，是双曲线的左焦点，它也是圆的圆心，， 圆半径为， ，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号， 所以，又由双曲线的定义，， 所以，即的最小值为， 故答案为：． 【巩固练习1】已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义，结合圆的几何性质进行求解即可. 【详解】 在双曲线中，，， ，， 设双曲线的右焦点为，则， 在双曲线的右支上， ，即， 由题知，圆心，半径，在圆上， ， 则， 当，，三点共线且Q位于另两点之间时，取得最小值为， 此时， 的最小值为. 【巩固练习2】已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义以及三点共线来确定正确答案.. 【详解】依题意，下焦点，设上焦点， 双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为， 所以延长时，与双曲线没有交点，， 设延长，交双曲线上支于， 依题意，是双曲线上支上的动点， 根据双曲线的定义可知， ，当在点时等号成立，则， 所以，所以， 所以，所以的最大值不存在. 故选：A 【巩固练习3】已知椭圆的左、右焦有分别为，离心率为为C上任意一点，且的周长为6，则椭圆方程为 ；若直线经过定点N，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据的周长为以及离心率求解出的值，则可求，由此椭圆方程可知；先确定出过的定点为，然后利用椭圆定义将表示为，再根据三点共线求解出结果. 【详解】因为的周长等于，又， 所以，所以，所以， 所以椭圆方程为； 因为过定点，且， 所以在椭圆内部，如下图：    因为， 当且仅当三点共线且时取等号，即与重合时， 又因为， 所以， 所以的最小值为， 故答案为：；. 【题型6】椭圆、双曲线的简单几何性质 【解题思路】由标准方程求有关性质，首先要将方程化为标准形式确定的值，进而求出，再根据几何性质得到相应的答案. 【例题1】焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到方程组，求出，结合焦点位置，得到椭圆方程. 【详解】由题意得，，又， 解得， 故椭圆方程为. 【例题2】（多选）已知曲线，，则（    ） A．的长轴长为4 B．的渐近线方程为 C．与的焦点坐标相同 D．与的离心率互为倒数 【答案】BD 【分析】根据椭圆与双曲线的标准方程，结合它们的几何性质逐项判断即可得. 【详解】由，即为：，故焦点在轴上， 长轴长为，故A错误； 焦点坐标为，离心率为， 对，渐近线方程为，故B正确； 焦点坐标为，与的焦点坐标不相同，故C错误； 离心率为，与的离心率互为倒数，故D正确. 【巩固练习1】椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】由椭圆方程即可求得，进而即可求解. 【详解】因为第一个椭圆的，则焦距为， 所以长轴长为10，短轴长为8,离心率为， 第二个椭圆的， 则焦距为， 所以长轴长为，短轴长为，离心率为， 所以A，B，C错误，D正确 【巩固练习2】（多选）已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线的说法正确的是（    ） A．实轴长为6 B．虚轴长为2 C．焦距为 D．离心率为 【答案】AB 【分析】对含参数的双曲线方程，一般先考虑焦点位置，再确定的值，利用条件求出各个基本量，再逐一判断选项即可. 【详解】由双曲线方程可知，且，由题意，，代入解得：， 故实轴长为，虚轴长为，故A项，B项都正确； 焦距，故C项错误；离心率为，故D项错误. 【巩固练习3】若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为，则下列结论正确的是序号是 . ①的焦点到渐近线的距离为4；②的离心率为； ③上的点到距离的最小值为2；④过的最短的弦长为. 【答案】①③ 【分析】根据题意，可知，再根据求得，从而得出双曲线的右焦点为，渐近线方程为，根据点到直线的距离公式即可求出焦点到渐近线的距离，即可判断A选项；直接求出离心率可知B选项错误；当双曲线上的点为其右顶点时，此时双曲线上的点到的距离最小，即可判断C选项；过点且斜率为零的直线与双曲线的交点为，可得出过的最短的弦长，即可判断D选项. 【详解】由题意知，即， 因为，所以，解得， 所以右焦点为，双曲线的渐近线方程为， 对于①：到渐近线的距离为，故①正确； 对于②：因为，所以双曲线的离心率为，故②错误； 对于③：当双曲线上的点为其右顶点时，此时双曲线上的点到的距离最小为，故③正确； 对于④：过点且斜率为零的直线与双曲线的交点为，此时为过点的最短弦为，故④错误. 故选：①③. 【题型7】求离心率 【解题思路】求离心率的值，一般先将已知条件转化为关于的方程，再求解： （1）若已知可直接代入求得；（2）若已知则使用椭圆的或双曲线求解.；（3）若已知，则先求，再利用（1）求解；（4）若已知的关系，可转化为关于离心率的方程求值 【例题1】设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰直角三角形的性质得到三条边的长度关于的表达式，再利用椭圆的定义求得的关系式，进而得到离心率. 【详解】依题意，设椭圆的长轴为，半焦距为， 则，则，， 于是， . 【例题2】己知是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】求出，由椭圆定义得到，求出离心率. 【详解】因为，所以， 由椭圆定义得，即， 故离心率. 【例题3】（高二下·广东深圳·期末）已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，再根据椭圆的定义求出，再利用勾股定理构造齐次式即可得解. 【详解】如图，设椭圆的左焦点为， 由椭圆的对称性可得， 所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为矩形，所以， 由，得， 又，所以， 在中，由， 得，即，所以， 即的离心率为. 故选：A.    【巩固练习1】已知分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上的一点，且，双曲线的离心率是 ． 【答案】 【分析】根据求出，进而可得的值，再根据的关系求出，则离心率可求. 【详解】，，则， 即，，又，，. 【巩固练习2】已知双曲线的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的离心率是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，得到，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】由双曲线，可得右焦点，右顶点， 其中一条渐近线的方程为，即， 则顶点到的距离为， 焦点到的距离为， 由题可得，即，所以 【巩固练习3】已知椭圆的左，右焦点分别为，过原点的直线与相交于，两点，若且，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【详解】因为过原点的直线与相交于，两点，,故四边形为矩形，故，又，， 所以，则， 又， 即，且， 解得，（由于，故舍去） 结合，故，即 又， 因此，故，解得， 故答案为： 【题型8】渐近线问题 【解题思路】根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中，最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了此双曲线的渐近线方程． 与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为； 若已知双曲线的渐近线方程或，则双曲线方程可设为.(当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上.) 【例题1】在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，点是左支上一点，且，，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义结合，求得，再在中，利用勾股定理求得之间的关系，从而得解. 【详解】因为在双曲线中，因为， 所以， 则，    在中，，，所以，即，所以， 所以，则，所以双曲线的渐近线方程为. 【例题2】已知双曲线：的左、右焦点分别为，点在轴上，点在的渐近线上.若，，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出所在直线方程，然后与渐近线联立求出点坐标，然后利用，从而可求解. 【详解】由题意得，，设所在直线方程，则， 与双曲线渐近线联立得：，得，得， 由，得，得， 由，得，化简得，得， 所以，所以，故B项正确. 故选：B. 【巩固练习1】若双曲线经过点，则此双曲线的渐近线夹角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】将点代入双曲线，求出，然后求出渐近线方程，根据渐近线的斜率判断 【详解】将点代入双曲线得，解得， 所以双曲线，所以双曲线的渐近线为， 设的倾斜角为且，则，， 所以两条渐近线的夹角为，所以， 所以由得. 故答案为： 【巩固练习2】已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M（异于坐标原点O），若线段交双曲线于点P，且，则该双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】联立渐近线与圆的方程求解出点坐标，然后根据中点关系求解出的坐标，将的坐标代入双曲线可求得关系式，由此可求渐近线方程. 【详解】设，圆的方程为， 由可得， 又因为，且为中点，所以为中点， 所以，可得， 将代入双曲线方程可得， 化简可得，所以，即， 所以渐近线方程为， 故答案为：. 【巩固练习3】已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为.若，则点的坐标为 ；双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 或 【分析】根据抛物线定义求出P点坐标，代入双曲线方程结合求出可得渐近线方程. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 设双曲线的方程为，故， 设， 则，解得， 代入抛物线方程可得，解得， 所以的坐标为； 因为，解得，， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：或； 【题型9】轨迹方程问题 一、相关点法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程 二、斜率之积为定值：即椭圆的第三定义，可以通过设点表示斜率得出等式，进而得出椭圆方 三、到定距离与到定直线距离之比为定值：即椭圆的第二定义，可以通过设点表示距离进而得出椭圆方程 【例题1】已知曲线，过上任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，，则， 由题意可知，即， 将点代入， 得，即 【例题2】（23-24高二上·重庆·期末）已知是圆上的动点，为定点，线段的垂直平分线交线段于点，点的轨迹为曲线，求曲线的方程. 【答案】 【分析】由中垂线的性质及椭圆定义可得结果； 【详解】如图，易知圆E的半径为4，线段的垂直平分线交线段于点， 由中垂线的性质可知：，所以， 即动点Q到定点的距离和为定值4，且, 根据椭圆定义可知：，所以， 即曲线C的方程为：. 【例题3】已知圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】由题可得，然后根据双曲线的定义即得. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 由于动圆E与圆，都外切， 设动圆E的半径为，则， 所以， 所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 设方程为，则， 所以E的轨迹方程为. 【巩固练习1】已知点是椭圆上的动点，于点，若，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据点在椭圆上可得，继而根据，设，求出，代入中，即可求得答案. 【详解】由于点是椭圆上的动点，设，则， 又于点，则； 设，由，得， 则，代入，得， 即点的轨迹方程为 【巩固练习2】（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知点，，点满足直线，的斜率之积为，则的面积的最大值为 ． 【答案】20 【分析】根据条件，运用斜率公式求出P点的轨迹方程，再根据轨迹确定 面积的最大值. 【详解】设，由题意可知，， 整理得； 得动点的轨迹为以，为长轴顶点的椭圆除去，两点， 显然当点位于上下顶点时面积取得最大值， 因为，，所以 【巩固练习3】已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则有，设， 则，由，则有， 即，故有，即. 【巩固练习4】（广东深圳·高二校考期末）如图，已知动点P在上，点，线段的垂直平分线和相交于点M，求点M的轨迹方程. 【答案】 【详解】，圆心，半径. 由 连接，由点Q在圆内，又由点M在线段的垂直平分线上. ，， 由椭圆的定义知，点M的轨迹是以，Q为焦点的椭圆，其中，. ，点M的轨迹方程为. 【题型10】求离心率的取值范围 【例题1】已知，分别是椭圆：的左、右焦点，若椭圆上存得线段的中垂线恰好经过焦点，则椭圆离心率的取值范围是 【答案】 【分析】根据数形结合可知椭圆上存在一点，使得，而椭圆中，但，所以，由此即可求得离心率的范围. 【详解】 如图，线段的中垂线经过， ，即椭圆上存在一点，使得． ， . 故答案为：. 【例题2】设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得，.进而在中，由余弦定理变形可得，.根据不等式的性质，结合已知，求解即可得出答案. 【详解】 根据椭圆及双曲线的定义可得， 所以. 在中，，由余弦定理可得 ， 整理可得，，两边同时除以可得，. 又，，所以有，所以，. 因为，所以，所以，所以，，， 所以，. 则，故. 【巩固练习1】设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由椭圆定义和勾股定理得到，换元后得到，根据二次函数单调性求出，得到离心率的取值范围. 【详解】设，，由椭圆的定义可得，， 可设，可得，即有，① 由，可得，即为，② 由，可得，令，可得， 即有，由， 可得，即， 则时，取得最小值；或4时，取得最大值. 即有，得. 【巩固练习2】已知双曲线的左､右焦点分别为. (1)该双曲线虚轴的一个端点为，若直线与它的一条渐近线垂直，求双曲线的离心率. (2)若右支上存在点，满足，求双曲线的离心率的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据两点表示斜率和两直线的位置关系可得，，建立关于离心率的方程，解之即可； （2）由题意设，根据双曲线的定义可得，利用余弦定理可得，结合建立不等式，解之即可求解. 【详解】（1）依题意，则；渐近线斜率：， 直线与该双曲线的一条渐近线垂直， ，， 而， ，解得，又， 所以； （2）设. 依题意，解得， 由余弦定理得， 即，得. 【课后巩固训练】 1． 已知P是圆C：上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足，记点M的轨迹为E，求E的方程 【答案】 【详解】（1）设，则， 因为，则， 因为P在圆C上，所以，故E的方程为 2． （多选）若曲线的方程为：，则下列说法不正确的是（    ） A．当曲线为直线时， B．当时，曲线为焦点在轴的双曲线 C．当时，曲线不存在 D．当曲线表示焦点在轴上的椭圆时， 【答案】BD 【分析】利用二元二次方程与曲线的关系，分类讨论的取值即可得解. 【详解】对于曲线的方程：， 当，即或时，则或，此时曲线为直线； 当，即或时，则， 若，则，，则， 又必然成立，此时曲线为焦点在轴上的椭圆； 若，则，， 显然不成立，此时曲线不存在； 当，即时，，， 由可知曲线为焦点在轴上的双曲线； 综上，AC正确，BD错误. 3． 已知椭圆的焦点分别为，点在椭圆上，若，则三角形的面枳为 A． B． C． D． 【解答】解：椭圆的焦点分别为，点在椭圆上， 则：，若，所以，． 利用余弦定理：， 所以，则： 4． 若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在使用余弦定理后用椭圆的基本定义化简即可计算出结果. 【详解】首先我们需要确定椭圆的基本参数，对于椭圆 故. 根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点 有： ……①，……② 由题知……③ 在中使用余弦定理有： ……④ 将①②③代入④式得到：……⑤ 现在我们可以计算三角形的面积： 因此， 的面积是 . 5． 已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（       ） A． B．13 C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义求解. 【详解】如图所示： ， 故选：B 6． 已知为椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，点为圆上一动点，则的最大值是 . 【答案】10 【分析】利用点与圆的位置关系，结合椭圆的定义，转化，利用数形结合，即可求的最大值. 【详解】设点为椭圆的左焦点，点为圆的圆心， 点为圆外的点，的最大值为,,即， 的最大值为， 如图，当四点共线时,“=”成立， ，,, 所以的最大值为. 7． 已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的对称性可知，就是到椭圆左焦点的距离；再根据椭圆的定义和“焦点三角形”求的值. 【详解】设，如图，记为的左焦点，连接， 则由椭圆的对称性可知，由，设，则. 又轴，所以，即， 所以，解得. 所以的长轴长为. 1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$