专题10 数列前n项和公式的求法（思维导图+知识串讲+七大题型+过关检测）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

专题10 数列前n项和公式的求法 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 考点要求 （1）熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式． （2）掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法． 知识点01：公式法 （1）等差数列的前n项和 （2）等比数列的前n项和 （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 知识点02：几种数列求和的常用方法 （1）分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 策略方法 分组转化法求和的常见类型 （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （1）基本步骤 （2）裂项原则 一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （3）消项规律 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． （4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 策略方法 错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； （5）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 策略方法 将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）． 知识点03：裂项技巧 ①等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） ②根式型 （1） （2） （3） ③指数型 （1） （2） （3） ④三角型 （1） （2） （3） 考点剖析 【题型一：分组求和】 一、解答题 1．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知数列满足． (1)证明：数列是等比数列： (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意得，即可证明结论. （2）由（1）计算数列的通项公式，分组求和即可得到结果. 【详解】（1）∵， ∴，即，且， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，， ∴， ∴ . 2．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知数列为等差数列，首项，公差，. (1)证明是等比数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先得到数列的通项公式，利用等比数列的定义证明数列是等比数列； （2）由（1）得数列的通项公式，再利用分组求和可得. 【详解】（1）因为数列为等差数列，首项，公差，所以， 当时，，且， 所以数列是以9为首项，以9为公比的等比数列. （2）由（1）得：， 所以 . 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的公差为正数，，其前项和为，数列为等比数列，，且，. (1)求数列与的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）设出公差和公比，利用等差数列和等比数列的性质得到方程组，求出公差和公比，得到公差和公比，得到通项公式； （2）由等差数列求和公式，变形得到，分组求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为. 由，，，， 可得，， 所以，.则，. （2）由（1）可得， 故. 则数列的前项和 . 故数列的前2n项和为. 4．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等比数列的前项和为，且． (1)求； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用等比数列的通项公式和前项和公式求解； （2）由（1）求得数列的通项，再综合运用分组求和与错位相减法求得前项和. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题意，得，解得， ∴或 （2）∵，由（1）知，，， 令  ① 则      ② 得 即 所以. 5．（24-25高二上·重庆·期中）已知数列的前项和满足：,． (1)求； (2)若，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，求出的值，当时，由可得，作差可得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）对任意的，计算出，问题转化为求数列的前项和，利用错位相减法结合分组求和可求得. 【详解】（1）因为数列的前项和满足：， 则，则，可得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，可得， 令，可得，则，解得， 所以，，且， 所以，数列为等比数列，首项为，公比为， 所以，，故. （2）因为， 对任意的，， 问题转化为求数列的前项和，记数列的前项和为， ， 则， 上式下式得 ， 化简得， 因此，. 【题型二：并项求和】 一、解答题 1．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知公差的等差数列满足，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）根据等差数列的通项公式表达和成等比数列，解出，即可求解； （2）求出，再并项求和即可. 【详解】（1）解：由题设， 因为成等比数列，即， 所以， 由，可解得 所以 （2）解：因为， 所以 . 2．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用 来求得的通项公式. （2）利用分组求和法、裂项求和法等求和方法来求得数列的前2n项和． 【详解】（1）依题意，，， 当时，，解得，（舍去）. 当时，由得， 两式相减得， 即，由于， 所以，所以数列是首项为， 公差为的等差数列，所以（也符合）. （2）由（1）得， 所以 . 3．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）设数列的前n项和为，已知 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和… 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用数列前n项和与数列通项的关系求出数列的通项公式； （2）数列前3项都小于0，第4项等于0，从第5项开始都大于0，当时求和，和时，利用分组法求出数列的和． 【详解】（1）当时， 当时， 所以. （2）数列前3项都小于0，第4项等于0，从第5项开始都大于0， 当时，， ， 当时， 所以 【题型三：裂项相消】 一、解答题 1．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证； （2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 即，，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）可得，则， 所以， 所以 . 2．（24-25高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知在数列中，且，记. (1)证明：数列是等差数列； (2)记求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用等差数列的定义并结合对数的运算证明，即可证明数列是等差数列； （2）求出数列的通项，利用裂项相消求出数列的前n项和. 【详解】（1），， 又，， ， 又, 数列是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）知  ， 则 ， . 3．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知数列前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前100项和. 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由已知写出时，，与已知式相减得递推式，再求得后可得通项公式； （2）用裂项相消法求和． 【详解】（1）∵，∴时，， 两式相减得，即， ， 又，即， 所以，∴，也适用． ∴； （2）由（1）， ∴ ． 4．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知等差数列的首项，且满足. (1)求数列的通项； (2)若，记数列的前项的和为，求满足的最小整数. 【答案】(1) (2)40 【分析】（1）方法1：将化为，代入计算，即可得到结果；方法2：将原式裂项，然后计算，即可得到结果； （2）根据题意，由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设公差为， 方法1.，， ，. 方法2.. ，，. （2）由（1）知， . ， 即， ，. 5．（24-25高二上·重庆·期中）已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，． (1)求公差和； (2)记，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分析可得，由此可得，利用等比数列的求和公式可求出的值，即可得出的值，计算出的值，根据可得出关于的方程，即可解出的值； （2）利用裂项相消法求出数列的前项和，即可证得结论成立. 【详解】（1）因为为等差数列，其公差为，前项和为，则， 又因为，，则， 因为，即，可得，解得，故， 所以，，则，可得. 综上所述，. （2）由（1）可得， 所以，， 因此， . 【题型四：错位相减】 一、解答题 1．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知公差为的等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的性质得到，是方程的两根，从而求得，进而求得的通项公式即可得解； （2）利用（1）中结论，结合错位相减法即可得解. 【详解】（1）是等差数列，， 又，，是方程的两根， 解，得或， 又，，，， ，，. （2）由（1）得， 所以， 则， 两式相减，得 ， . 2．（2022·山东临沂·二模）已知数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知与的关系求解通项公式即可； （2）由（1）得，从而得到，利用错位相减法求其前n项和即可. 【详解】（1）由，得（，）， ，（，）． 又，，，整理得． 数列是首项为1，公比为2的等比数列， 数列的通项公式为． （2）由（1）得，．， 即，， 两式相减，得，． 3．（24-25高三上·江苏连云港·期中）已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列为等比数列； (2)求和：. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用得出数列的递推关系，再由等比数列的定义得证； （2）用错位相减法求和． 【详解】（1）时，， 有，又时，，有， 所以数列是以1为首项，公比为2的等比数列． （2）由（1）得数列的通项公式， 设 则① ② ①②得： . 4．（24-25高三上·四川遂宁·期中）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，，． (1)求，的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， ，，； (2) 【分析】（1）先设等差数列的公差为，等比数列的公比为，再根据题干已知条件列出关于公差与公比的方程组，解出与的值，即可计算出等差数列与等比数列的通项公式； （2）表示出数列的通项，然后利用错位相减法求该数列的前项和． 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则， 化简，得， 整理，得， 解得（舍去），或， 则， 故， ，，； （2）因为，则根据错位相减法得 ，            ① ，     ② 由①②得， 故. 5．（2024高三·全国·专题练习）已知各项均为正数的数列满足，且. (1)写出，并求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)3，5 ， (2) 【分析】（1）分别令，依次求出，再根据数列的递推关系求通项公式； （2）由（1）求出分段数列的通项公式，进而得的通项，再利用错位相减法求和即可 【详解】（1）因为，，， 所以当时，，，解得； 当时，，，解得． 当时， ， 所以． 当时，也符合上式． 综上，． （2）由（1）得，， 又∵ ，∴. ∴， 则， 即，① ，② 由①②得， ， 故. 【题型五：倒序相加】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 【答案】C 【分析】利用倒叙相加法求和即可. 【详解】①， ②， ①+②得 ， 所以. 故选：C. 2．（24-25高三上·山东济宁·开学考试），利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用求解即可. 【详解】，故， 故……， 故. 故选：D 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（   ） A．2022 B．4036 C．2023 D．4038 【答案】C 【分析】根据题意结合等比数列的性质可得，根据函数解析式可得，利用倒序相加法运算求解. 【详解】因为正项数列是公比不等于1的等比数列， 且，则，即， 结合等比数列性质可得， 又因为函数，则， 令，则， 可得， 所以． 故选：C. 二、解答题 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）直接代入化简即可； （2）由（1），结合等比数列性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 5．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，当时，可得，两式相减，求得，再由，得到，即可求得数列的通项公式. （2）由（1）得，结合指数幂的运算法则，即可求得的值；. （3）由（2）知，结合倒序相加法，即可求解. 【详解】（1）由数列满足：， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由数列满足， 则. （3）由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 【题型六：等差数列含绝对值求和】 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏徐州·期中）在等差数列中，，，设，则（） A．281 B．651 C．701 D．791 【答案】C 【分析】根据给定条件,求出等差数列的公差及通项公式,判断正数、负数项,再求出. 【详解】等差数列中,由,得公差, 则, 显然当时,,当时,, 所以 故选：C 2．（23-24高三下·北京·开学考试）已知数列的通项公式为，若满足的整数恰有2个，则可取到的值有（    ） A．有3个 B．有2个 C．有1个 D．不存在 【答案】A 【分析】本题首先可讨论当时，根据得出，然后讨论当时，通过等差数列求和公式得出，通过计算即可得出结果. 【详解】当时， ， 解得，此时保证等式成立的每个值，只有一个值，不符合题意； 当时， ， 即， 若整数恰有2个，则首先，解得， 设该方程有两实数根，则，若，显然不合题意，则，则， 若，此时，解得，满足，符合题意； 若，此时，解得，满足，符合题意； 若，此时，解得，满足，符合题意， 故可取到的值有或或. 故选：A. 二、解答题 3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 . (1)求数列 的通项公式 ； (2)求数列 的前 项和 . 【答案】(1)或 (2)答案见解析. 【分析】（1）设首项为，公差为，然后由题意及等差数列通项公式及前n项和公式可得答案. （2）由（1），易得时，；当，由正负性结合表达式可得答案. 【详解】（1）设首项为，公差为，因， 则或. 则或； （2）当时，； 当时，注意到时，， 则此时； 当时，， 则. 综上，当时， 当时，. 【题型七：放缩后裂项相消】 一、解答题 1．（21-22高二·湖南郴州·阶段练习）已知数列中，，当时，，记． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)根据递推公式可得，累加法可得数列的通项公式 (2)先验证时不等式成立，再根据时，， 利用放缩法结合裂项相消可证得结论. 【详解】（1）解：由题意得， 所以，即． 当时， ． 当时，也符合． 综上，． （2）证明：由（1）得， 当时； 当时，， 故当时， ． 综上，． 2．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若． (1)求数列和的通项公式； (2)证明：； (3)求使得成立的最大整数． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)6 【分析】（1）根据与的关系，结合等差数列的定义、等比数列的通项公式进行求解即可； （2）对的表达式进行放缩，利用裂项相消法进行求解即可； （3）利用作差比较法，结合数列的单调性进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 作差得， 两边同时除以得， 又，所以，得， 所以，故对， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，则． 设等比数列的公比为， 因为，所以由，或 又因以数列是递增数列，所以． （2）因为， 所以 ． （3）由（1）知，即，令，则， ， 所以当时，，当时，，当时，， 即有，， 又， 故当时，，所以，， 又， 所以，当时，，故使得成立的最大整数为6． 【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是，之二是利用作差比较法判断数列的单调性. 3．（22-23高三上·山东滨州·期中）设正项数列满足，且. (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，求证：数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）将题设条件变形得到，从而证得是等差数列，进而求得； （2）由（1）得，分类讨论与两种情况，利用放缩法与裂项法即可证得. 【详解】（1）因为， 所以， 又，故， 所以是首项为，公差为的等差数列， 故，则， 因为数列是正项数列，所以. （2）由（1）得， 当时，； 当时，， 所以； 综上：. 4．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知等差数列为单调递增数列，成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足. （i）求数列的通项公式； （ii）设为非零常数，若数列是等差数列，证明：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据等差数列定义及等比中项联立等式求解即可； （2）（i）将题干条件化成，根据裂项相消化简即可； （ii）根据题意求出数列的通项公式后，利用放缩法即可证明不等式成立. 【详解】（1）设数列的公差为，由题知： 所以，所以，所以， 解得，所以 （2）（i）由得， 所以 所以 叠加得：， 所以 又因为，所以 （ii）因为是等差数列，所以， 所以，解得，所以 因为 当时， 当时，显然成立， 所以，. 过关检测 一、解答题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据取倒数，结合等差数列的定义可得为等差，即可根据等差数列的通项求解， （2）利用分组求和，结合等差等比求和公式即可求解. 【详解】（1）因为，假设，则结合已知得， 所以，． 因为，所以， 所以数列是首项为3，公差为2的等差数列， 即， 所以． （2）由（1）得，所以， 所以 ． 所以． 2．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知数列是以为首项，为公比的等比数列，且. (1)证明：是等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等比数列的定义可得出，在等式两边同时除以，结合等差数列的定义可得结论； （2）根据（1）中的结论求出数列的通项公式，然后利用错位相减法可求得. 【详解】（1）因为是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以，即， 又，所以是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）知， 所以， 所以，。 则， 上述两个等式作差可得 ， 故. 3．（24-25高三上·江西·期中）已知各项全不为零的数列的前n项和为，且，其中 . (1)求数列的通项公式； (2)令，设数列的前n项和为，求证: . 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据递推式可得、，讨论奇偶性求通项公式即可； （2）由（1）得，应用分组、裂项求和及等比数列前n项和求，即可证结论. 【详解】（1）当时，由及，得， 当时，由，得， 因为，所以， 从而，，， 综上. （2）由，则，又， 所以， . 4．（广东省江门市普通高中2024-2025学年高二上学期调研测试（一）数学试卷）已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：设等比数列的公比为，代入求得的关系求解即可； 解法二：根据递推公式可得，进而可得通项公式； （2）由题意可得，再根据错位相减法求解即可. 【详解】（1）解法一：设等比数列的公比为， ∵， ∴时，， 时，. ∴，∴， ∴，∴， ∴. 解法二：∵， ∴， 两式相减得： 即. ∵为等比数列，设公比为，则. ∵， ∴时，，即， ∴ ∴. ∴. （2）由（1）得，由题得， ∴. ∴， ， 两式相减得 . 所以. 5．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，公差为，若为函数的两个零点，且． (1)求数列的通项公式； (2)若求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用零点概念，结合等差数列的求和公式和通项公式计算即可；（2）运用裂项相消计算即可. 【详解】（1）因为为函数的两个零点，且， 所以，又因为， 所以，解得，所以是首项为3，公差为2的等差数列， 所以． （2）因为 所以 6．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前10项和. 【答案】(1) (2)50 【分析】 （1）首先变形递推公式，证明数列是等比数列，即可求通项公式； （2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再分和两种情况讨论数列的和. 【详解】（1） 证明：由知， 由知：，∴数列是以512为首项，为公比的等比数列， ∴，∴； （2） 由（1）知， 设的前项和为，，∴ 当时，， ， 故 7．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式． (2)已知，求数列的最大项，以及取得最大项时的值． (3)已知，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2)当时，取最大值； (3). 【分析】（1）根据给定条件，结合变形等式，再利用等比数列定义求出通项. （2）求出，作差并探讨数列的单调性求出最大项. （3）求出，利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）数列中，，当时，， 两式相减得，即，由，得， 因此数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式. （2）由（1）知，， 则， 当时，，即，当时，，即， 所以当时，取得最大值. （3）由（1）知，， 所以. 8．（23-24高三上·辽宁丹东·阶段练习）已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质即可求解公差，进而可求解， （2）分类讨论，即可根据等差数列求和公式求解. 【详解】（1）设的公差为，依题意得， 所以，即， 化简得，解得或（舍去）， ， 所以经检验满足题意. （2）依题意得，，， 其前项和， 当时，，， 故， 当时，， 故 所以. 9．（24-25高三上·广东·阶段练习）设数列的前项和为，已知. (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列满足，，求数列的前项的和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据，作差得到，从而得到，即可得证； （2）由（1）可得，从而得到，则当为偶数时 ，再利用并项求和法计算可得. 【详解】（1）因为， 当时，得，解得； 由题意①，得②， ②①得， 即， 又 所以，即 所以是首项为1，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，则， 又，所以， 且， 又因为当为偶数时，，即， 所以 . 10．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知函数满足，数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用倒序相加法可求得； （2）利用错位相减法求出，由已知条件结合参变量分离法可得出，利用对勾函数的单调性求出的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：函数满足，数列满足， 则， 所以，， 故. （2）解：由（1）可得， 则， 所以，， 上式下式可得， 所以，，则， 所以，， 由可得，则， 因为， 因为函数在上单调递增， 且，故当时，取最大值，故. 因此，实数的取值范围是. 11．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）已知数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求并证明：. 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】（1）利用与的关系式，分类讨论与两种情况，分析得是常数列，从而得解； （2）由裂项相消法求出，再结合数列的增减性即可得证； 【详解】（1）因为，， 当时，，故， 当时，， 两式作差可得，整理可得， 则，又， 所以是各项为的常数列， 则，故. （2）由（1）可得， 所以， 类比复合函数的单调性可知为递增数列，又， 所以的最小值为， 又，所以， 综上，. 12．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知数列满足，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)求数列的前99项的和的值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用数列的前项和，求通项； （2）根据（1）的结果，利用错位相减法求和； （3）观察数列的形式，求得，再利用倒序相加法求和. 【详解】（1）由 ① 得 ② ①－②得：， 在①式中令得，合适上式，所以对任意的正整数n都有： （2）， 两式相减得： 整理得： （3）， 所以 所以，为定值，则 且，两式相加得，因此 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 数列前n项和公式的求法 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 考点要求 （1）熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式． （2）掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法． 知识点01：公式法 （1）等差数列的前n项和 （2）等比数列的前n项和 （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 知识点02：几种数列求和的常用方法 （1）分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 策略方法 分组转化法求和的常见类型 （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （1）基本步骤 （2）裂项原则 一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （3）消项规律 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． （4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 策略方法 错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； （5）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 策略方法 将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）． 知识点03：裂项技巧 ①等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） ②根式型 （1） （2） （3） ③指数型 （1） （2） （3） ④三角型 （1） （2） （3） 考点剖析 【题型一：分组求和】 一、解答题 1．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知数列满足． (1)证明：数列是等比数列： (2)求数列的前n项和． 2．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知数列为等差数列，首项，公差，. (1)证明是等比数列； (2)求数列的前n项和. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的公差为正数，，其前项和为，数列为等比数列，，且，. (1)求数列与的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 4．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等比数列的前项和为，且． (1)求； (2)若，求数列的前项和． 5．（24-25高二上·重庆·期中）已知数列的前项和满足：,． (1)求； (2)若，求的前项和． 【题型二：并项求和】 一、解答题 1．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知公差的等差数列满足，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求 2．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2n项和． 3．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）设数列的前n项和为，已知 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和… 【题型三：裂项相消】 一、解答题 1．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)求数列的前项和. 2．（24-25高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知在数列中，且，记. (1)证明：数列是等差数列； (2)记求数列的前n项和. 3．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知数列前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前100项和. 4．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知等差数列的首项，且满足. (1)求数列的通项； (2)若，记数列的前项的和为，求满足的最小整数. 5．（24-25高二上·重庆·期中）已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，． (1)求公差和； (2)记，证明：． 【题型四：错位相减】 一、解答题 1．（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知公差为的等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和. 2．（2022·山东临沂·二模）已知数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 3．（24-25高三上·江苏连云港·期中）已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列为等比数列； (2)求和：. 4．（24-25高三上·四川遂宁·期中）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，，． (1)求，的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 5．（2024高三·全国·专题练习）已知各项均为正数的数列满足，且. (1)写出，并求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【题型五：倒序相加】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 2．（24-25高三上·山东济宁·开学考试），利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（   ） A．2022 B．4036 C．2023 D．4038 二、解答题 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 5．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【题型六：等差数列含绝对值求和】 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏徐州·期中）在等差数列中，，，设，则（） A．281 B．651 C．701 D．791 2．（23-24高三下·北京·开学考试）已知数列的通项公式为，若满足的整数恰有2个，则可取到的值有（    ） A．有3个 B．有2个 C．有1个 D．不存在 二、解答题 3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 . (1)求数列 的通项公式 ； (2)求数列 的前 项和 . 【题型七：放缩后裂项相消】 一、解答题 1．（21-22高二·湖南郴州·阶段练习）已知数列中，，当时，，记． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，证明：． 2．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若． (1)求数列和的通项公式； (2)证明：； (3)求使得成立的最大整数． 3．（22-23高三上·山东滨州·期中）设正项数列满足，且. (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，求证：数列的前项和. 4．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知等差数列为单调递增数列，成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足. （i）求数列的通项公式； （ii）设为非零常数，若数列是等差数列，证明：. 过关检测 一、解答题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 2．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知数列是以为首项，为公比的等比数列，且. (1)证明：是等差数列； (2)求数列的前项和. 3．（24-25高三上·江西·期中）已知各项全不为零的数列的前n项和为，且，其中 . (1)求数列的通项公式； (2)令，设数列的前n项和为，求证: . 4．（广东省江门市普通高中2024-2025学年高二上学期调研测试（一）数学试卷）已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若数列满足，求数列的前项和. 5．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，公差为，若为函数的两个零点，且． (1)求数列的通项公式； (2)若求数列的前项和． 6．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前10项和. 7．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式． (2)已知，求数列的最大项，以及取得最大项时的值． (3)已知，求数列的前项和． 8．（23-24高三上·辽宁丹东·阶段练习）已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 9．（24-25高三上·广东·阶段练习）设数列的前项和为，已知. (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列满足，，求数列的前项的和． 10．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知函数满足，数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 11．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）已知数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求并证明：. 12．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知数列满足，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)求数列的前99项的和的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$