复习07 圆锥曲线中的最值范围问题（六大题型）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

复习07 圆锥曲线中的最值范围问题 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 距离长度的最值范围】 【题型2 面积型的最值范围】 【题型3 坐标、截距型的最值范围】 【题型4 斜率、倾斜角型的最值范围】 【题型5 向量型的最值范围】 【题型6 参数型的最值范围】 知识点 1 ：最值范围问题的常见方法 1．几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解； 2．代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 知识点 2 ：最值范围问题的处理步骤 （1）设参数：依题意设出相关的参数，如设点坐标，设比例式的参数，设直线的方程等； （2）联立方程：常把直线方程与曲线方程联立，转化为关于x(或y)的一元二次方程； （3）建函数：根据题设条件中的关系，建立目标函数的关系式； （4）求最值：利用配方法、基本不等式法、单调性法等求其最值 难点 ：建立不等式关系的方法： 1．利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； 2．利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； 3．利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； 4．利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； 5．利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 题型归纳 【题型1 距离长度的最值范围】 【例1】已知抛物线Γ：与直线围成的封闭区域中有矩形，点A，B在抛物线上，点C，D在直线上，则矩形对角线长度的最大值是 . 【例2】在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点为椭圆的下顶点，点为直线：上一点． (1)若，线段的中点在轴上，求点的坐标； (2)已知直线交轴于点，直线经过点，若有一个内角的余弦值为，求的值； (3)若椭圆上存在点到直线的距离为，且满足，则当变化时，求的最小值． 【变式1-1】椭圆的离心率为，短轴长为2，点为椭圆的右顶点．，过点作的两条切线分别与椭圆交于两点（不同于点）． (1)求椭圆的方程； (2)当变化时，直线的斜率乘积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)给定一个，椭圆上的点到直线的距离的最大值为，当变化时，求的最大值，并求出此时的值． 【变式1-2】已知椭圆的短轴长为2，离心率，椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP，BP与直线分别交于G，H两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求线段GH的长度的最小值； (3)在线段GH的长度取得最小值时，椭圆C上是否存在一点T，使得△TPA的面积为1，若存在求出点T的坐标，若不存在，说明理由. 【变式1-3】已知是抛物线上一点，是轴上的点，以为圆心且过点的圆与轴分别交于点、，且当圆与轴相切时，到抛物线焦点的距离为． (1)求抛物线的标准方程； (2)设线段、长度分别为、，求的取值范围． 【题型2 面积型的最值范围】 【例3】已知椭圆的一个焦点，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形. (1)求椭圆的标准方程; (2)过焦点作轴的垂线交椭圆上半部分于点，过点作椭圆的弦在椭圆上且直线的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. (3)在第（2）问的条件下，当面积最大时，求直线MN的方程. 【例4】已知，且，点P的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)直线l：与C相交于M，N两点，第一象限上点T在轨迹C上． （ⅰ）若是等边三角形，求实数k的值； （ⅱ）若，求面积的取值范围． 【变式2-1】设圆D：与抛物线C：交于E，F两点，已知 (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l：与抛物线C交于A，B两点点A在第一象限，动点异于点A，在抛物线C上，连接MB，过点A作交抛物线C于点N，设直线AM与直线BN交于点P，当点P在直线l的左边时，求： ①点P的轨迹方程； ②面积的取值范围. 【变式2-2】已知椭圆左、右焦点分别为，，点在椭圆上，过的直线交椭圆于、两点，过的直线交椭圆于、两点，且，当直线的斜率为0时，. (1)求椭圆的方程； (2)若是该椭圆上的一个动点，求的取值范围； (3)求四边形的面积的最小值. 【变式2-3】已知点，、两点分别在轴、轴上运动，且满足，． (1)求的轨迹方程； (2)若一正方形的三个顶点在点的轨迹上，求其面积的最小值． 【题型3 坐标、截距型的最值范围】 【例5】已知点F为双曲线C：的右焦点，点N在x轴上（非双曲线顶点），若对于在双曲线C上（除顶点外）任一点P，恒是锐角，则点N的横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例6】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，．椭圆C的长轴长与焦距比为，过的直线l与C交于A、B两点． (1)当l的斜率为1时，求的面积； (2)当线段AB的垂直平分线在y轴上的截距最小时，求直线l的方程． 【变式3-1】已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点． (1)求p的值和抛物线的焦点坐标； (2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围． 【变式3-2】已知椭圆：过点，且的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设点，，是椭圆上关于轴对称的两点，交椭圆于另一点，是椭圆的左焦点，求的内切圆半径的取值范围； (3)若斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且中点恰在抛物线：上.记的横坐标为，求的最大值. 【变式3-3】已知点为椭圆内的两点，在椭圆上存在两点，满足，直线交椭圆于点（点异于点）． (1)当时，求点的纵坐标； (2)求点，横坐标乘积的最大值． 【题型4 斜率、倾斜角型的最值范围】 【例7】设双曲线：的离心率为，过左焦点作倾斜角为的直线依次交的左右两支于，，则有．若，为的中点，则直线斜率的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例8】已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3． (1)求E的方程； (2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值． 【变式4-1】已知抛物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求抛物线的标准方程． (2)已知过点且互相垂直的直线与分别交于点与点，线段与的中点分别为．若直线的斜率分别为，求的取值范围． 【变式4-2】已知椭圆C：的两焦点分别为，并且经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)过的直线交椭圆C于A，B两点，设直线与C的另一个交点分别为M，N，记直线AB，MN的倾斜角分别为，当取得最大值时，求直线AB的方程. 【变式4-3】若椭圆的右焦点为，且椭圆过点，焦距是短半轴长的倍. (1)求椭圆的标准方程； (2)若一条不过原点的直线与椭圆相交于、两点，线段的垂直平分线与直线 及轴和轴分别交于点、、，点满足，线段的延长线与椭圆交于点，与的面积之比为，求直线斜率的取值范围. 【题型5 向量型的最值范围】 【例9】已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 ． 【例10】已知椭圆的长轴长和短轴长分别等于双曲线的焦距和虚轴长，在椭圆上任取一点P，过点P作圆的两条切线PM，PN.切点分别为M，N，则的最小值为 . 【变式5-1】已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 【变式5-2】已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且被的准线截得的弦长为. (1)求的方程； (2)若过的直线与的上支交于，两点，设为坐标原点，求的取值范围. 【变式5-3】设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若为线段的中点，求直线的方程； (3)当直线过点时，求的取值范围． 【题型6 参数型的最值范围】 【例11】已知抛物线与直线相交于不同的、两点．记点、的横坐标分别为、且，若存在以、、为边长的三角形，则的取值范围是 ． 【例12】已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，O为坐标原点，且，的面积为. (1)求C的方程； (2)若，设P为C上一点，，若存在实数λ使得，求λ的取值范围. 【变式6-1】已知椭圆的半焦距，离心率，且过点为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与椭圆分别交于不同的两点，若，求的取值范围. 【变式6-2】已知双曲线：（，）的离心率为，点到其左右焦点，的距离的差为2． (1)求双曲线的方程； (2)在直线上存在一点，过作两条相互垂直的直线均与双曲线相切，求的取值范围． 【变式6-3】已知为抛物线：上的一点，直线交于A，B两点，且直线，的斜率之积为2. (1)求的准线方程； (2)求的最小值. 过关检测 1．已知椭圆的左右焦点分别为、，离心率为，点在椭圆上，且满足轴，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于、两点，求（为原点）面积的最大值． 2．在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点坐标是，且椭圆上的点到距离的最大值为，过点的直线交椭圆于点，． (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数取值范围． 3．已知点P为圆 上任意一点， 线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H. (1)求曲线H的方程; (2)若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点. (i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点； (ii)求 的取值范围. 4．已知双曲线的实轴长为4，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的左､右顶点分别为，过点作与轴不重合的直线与交于两点，直线与交于点S，直线与交于点. （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值； （ii）求的面积的取值范围. 5．在平面直角坐标系中，已知点，，，为动点，满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知过点的直线与曲线交于两点，，连接，. （ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求证：为定值； （ⅱ）直线，与直线分别交于，两点，求的最小值. 6．已知双曲线的中心为坐标原点，右顶点为，离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线右支于，两点，交轴于点，且，. （i）求证：为定值； （ii）记，，的面积分别为，，，若，当时，求实数的范围. 7．已知抛物线Γ：，A为第一象限内Γ上的一点，设A的纵坐标为. (1)若点A到Γ的准线的距离为3，求a的值； (2)若，B为x轴上的一点，且线段AB的中点在Γ上，求点B的坐标及原点O到直线AB的距离； (3)设直线l：，P是第一象限内Γ上异于A的动点，直线AP与直线l交于点Q，点H为点P在直线l上的投影，若点A满足性质“当点P变化时，恒成立”，求a的取值范围. 8．已知的周长为定值，、、，的最大值为． (1)求动点的轨迹的方程； (2)为的左顶点，过点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点，线段的中点为，记直线的斜率为，的外心为，求的最大值． 9．直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式； (2)若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程； (3)在（2）的条件下，过直线上的动点作曲线的两条切线，切点分别为，求原点到直线的距离的最大值. 10．已知抛物线的焦点为上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为2. (1)求抛物线的方程； (2)已知点是抛物线上不同的三点. （ⅰ）若直线过点，且交准线于点，求的值； （ⅱ）若直线的斜率分别为，且，求直线的斜率的取值范围. 11．已知焦点为的抛物线上存在不同的两点，（异于原点）． (1)若且，求直线的方程； (2)若，求线段的最小值； (3)若点，，三点共线，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习07 圆锥曲线中的最值范围问题 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 距离长度的最值范围】 【题型2 面积型的最值范围】 【题型3 坐标、截距型的最值范围】 【题型4 斜率、倾斜角型的最值范围】 【题型5 向量型的最值范围】 【题型6 参数型的最值范围】 知识点 1 ：最值范围问题的常见方法 1．几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解； 2．代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 知识点 2 ：最值范围问题的处理步骤 （1）设参数：依题意设出相关的参数，如设点坐标，设比例式的参数，设直线的方程等； （2）联立方程：常把直线方程与曲线方程联立，转化为关于x(或y)的一元二次方程； （3）建函数：根据题设条件中的关系，建立目标函数的关系式； （4）求最值：利用配方法、基本不等式法、单调性法等求其最值 难点 ：建立不等式关系的方法： 1．利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； 2．利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； 3．利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； 4．利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； 5．利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 题型归纳 【题型1 距离长度的最值范围】 【例1】已知抛物线Γ：与直线围成的封闭区域中有矩形，点A，B在抛物线上，点C，D在直线上，则矩形对角线长度的最大值是 . 【答案】4 【详解】如图所示： 联立，解得或， 得抛物线Γ与直线的两个交点分别为， 由题意四边形是矩形，故，且注意到 所以不妨设， 又，所以， 所以由图可知， 联立， 因此， 而， 由两平行线间的距离公式可知， 从而， 所以当且仅当时，长度取最大值是. 故答案为：4. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是合理设参，并通过数形结合求出参数的范围也是很重要的，至于求出目标函数表达式只需仔细计算即可. 【例2】在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点为椭圆的下顶点，点为直线：上一点． (1)若，线段的中点在轴上，求点的坐标； (2)已知直线交轴于点，直线经过点，若有一个内角的余弦值为，求的值； (3)若椭圆上存在点到直线的距离为，且满足，则当变化时，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）由题意可得， 因为的中点在轴上，则由中点坐标公式可知：A、M的纵坐标之和为0， 所以的纵坐标为，代入得：. （2） 由直线方程可知，由直线方程可知，故有如下两种情况： ①若，则，，即， . ②若，则， ， . 即， 综上或. （3） 设，则由题意得， 显然椭圆在直线的左下方，则， 即， ， 据此可得， 整理可得，即， 又， 从而.即的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第三小问的关键是设，燃烧后结合辅助角公式和正弦函数的值域导出含的不等式. 【变式1-1】椭圆的离心率为，短轴长为2，点为椭圆的右顶点．，过点作的两条切线分别与椭圆交于两点（不同于点）． (1)求椭圆的方程； (2)当变化时，直线的斜率乘积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)给定一个，椭圆上的点到直线的距离的最大值为，当变化时，求的最大值，并求出此时的值． 【答案】(1)； (2)为定值1； (3)当时，的最大值为． 【详解】（1）由题意可得，且，解得 故的方程为 （2）点，设直线的斜率分别为， 则直线的方程为， 由直线与圆相切知，圆心到直线的距离， 整理得， 同理 则为方程的两个根， 所以，即直线的斜率乘积为定值1． （3）设，由 得， 则，进一步可求得， 同理得， 直线的斜率， 则直线的方程为， 令，则， 所以直线过定点（可让无限趋近于0，猜得如果直线过定点，定点一定在轴上）． 设椭圆上任意一点，点到点的距离． 当时，有最大值 取，则直线的斜率为， 要使最大，则此时由直线和直线垂直， 可得直线的斜率， 解得． 取，则直线的斜率为，此时由直线和直线垂直可得直线的斜率，解得，舍去． 所以椭圆上存在点，当时，的最大值为． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 【变式1-2】已知椭圆的短轴长为2，离心率，椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP，BP与直线分别交于G，H两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求线段GH的长度的最小值； (3)在线段GH的长度取得最小值时，椭圆C上是否存在一点T，使得△TPA的面积为1，若存在求出点T的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)8 (3)存在，或 【详解】（1）由知，又，， 故， 故椭圆C的方程为 （2）直线AP的斜率k显然存在，且， 故可设直线AP的方程为，令得， 故 由 可得， 设，则，所以，， 即，又， 故直线的斜率为， 直线方程为中，令得， 故，， 又，由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立. 所以时，线段GH的长度取最小值8； （3）由（2）可知，当GH取最小值时，. 则直线AP的方程为，此时， 若椭圆C上存在点T，使得的面积等于1，设点T到直线AP的距离为， 则，解得， 则点T到直线AP的距离等于， 所以T在平行于AP且与AP距离等于的直线l上. 设直线， 则由 得， ，解得， 由平行线间距离公式得，解得或2（舍去）， 由得， 当时，，当时，， 可求得或. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 【变式1-3】已知是抛物线上一点，是轴上的点，以为圆心且过点的圆与轴分别交于点、，且当圆与轴相切时，到抛物线焦点的距离为． (1)求抛物线的标准方程； (2)设线段、长度分别为、，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：当轴时，圆A与轴相切，点为切点， 由题意可知此时点A的横坐标为， 因为A到抛物线焦点的距离为，所以A到抛物线准线的距离为， 故准线与轴之间的距离为，解得， 所以抛物线的标准方程为． （2）解：设A的坐标，由垂径定理可知，， 设，， 所以，． 所以， 当时，则； 当时，则，因为， 所以，当且仅当时，等号成立.此时． 综上所述，． 【题型2 面积型的最值范围】 【例3】已知椭圆的一个焦点，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形. (1)求椭圆的标准方程; (2)过焦点作轴的垂线交椭圆上半部分于点，过点作椭圆的弦在椭圆上且直线的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. (3)在第（2）问的条件下，当面积最大时，求直线MN的方程. 【答案】(1)； (2)是， (3)和 【详解】（1）由题意可知椭圆的半焦距， 由两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形得， ， 故椭圆的标准方程为. （2） 由已知得， 由图知，直线的倾斜角互补，即直线的斜率与的斜率互为相反数， 可设直线的方程为， 代入，消去得. 设， 所以，可得， 因直线PM的斜率与PN的斜率互为相反数， 所以在上式中以代替，可得， 所以直线的斜率， 即直线的斜率为定值. （3）由（1）已得， ,可设直线的方程为：， 代入，整理得：， 则，即， 设，则， 于是，， 点到直线的距离为， 则的面积为： ， 因，则，故当时，取得最大值， 此时直线的方程为, 即和. 【例4】已知，且，点P的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)直线l：与C相交于M，N两点，第一象限上点T在轨迹C上． （ⅰ）若是等边三角形，求实数k的值； （ⅱ）若，求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1） 根据双曲线的定义，可得C是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线， 设其方程为，则，可得， 故C的方程为； （2） （ⅰ）由题意知是等边三角形，点T在第一象限， 显然，直线的斜率均存在且不为0，设直线的斜率分别为， 如下图所示： 则直线MN的方程为，直线OT的方程为， 设，则由，得， 可得，所以，且， ， 同理可得：，且， 若为等边三角形，则， 即，可得； （ⅱ）若，则， ， 设，，故， 设，则，可得， 易知在上单调递增，上单调递减， ，∴， 即的面积的取值范围为． 【变式2-1】设圆D：与抛物线C：交于E，F两点，已知 (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l：与抛物线C交于A，B两点点A在第一象限，动点异于点A，在抛物线C上，连接MB，过点A作交抛物线C于点N，设直线AM与直线BN交于点P，当点P在直线l的左边时，求： ①点P的轨迹方程； ②面积的取值范围. 【答案】(1) (2)①且；② 【详解】（1）解：由圆，可化为标准方程， 所以圆心，半径为， 设与轴交于点，如图所示， 因为圆D和抛物线C都关于x轴对称，则E，F两点也关于x轴对称，且， 所以在直角中，，所以，则， 又由抛物线C过点，即，则， 所以抛物线C方程为. （2）联立方程组，解得点，，则， 设动点， 则直线的斜率为，直线， 直线的斜率为，直线， 将抛物线C代入直线AN得， 解得点，则直线BN的斜率为， 所以直线， ①联立方程组，整理得， 因为点P在直线l的左边，则，即， 所以，则， 又因为，且，由，可得且， 所以点P的轨迹方程为且. ②设，则P到直线l的距离， 因为，则， 则， 又因为且，所以，所以 【点睛】方法策略点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围； 3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用. 【变式2-2】已知椭圆左、右焦点分别为，，点在椭圆上，过的直线交椭圆于、两点，过的直线交椭圆于、两点，且，当直线的斜率为0时，. (1)求椭圆的方程； (2)若是该椭圆上的一个动点，求的取值范围； (3)求四边形的面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3). 【详解】（1）当直线的斜率为0时，直线垂直于轴， ，，即， 在上，所以， 解得：，，所以椭圆方程为； （2）由（1），，设， 则 因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值2 当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值3， 所以的取值范围为 （3）（i）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程， 并化简得，必有， 设，，则，， ； 因为与相交于点，且的斜率为， 所以. 四边形的面积 当时，上式取等号. （ii）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积6. 综上，四边形的面积的最小值为. 【点睛】方法点睛：（1）需要求弦长时，需要联立直线与椭圆的方程，得出韦达定理，带入弦长公式化简，进而可得四边形的面积表达式； （2）求出关于面积的表达式后，根据表达式特征选用基本不等式求解最值. 【变式2-3】已知点，、两点分别在轴、轴上运动，且满足，． (1)求的轨迹方程； (2)若一正方形的三个顶点在点的轨迹上，求其面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设点，因为，且点在轴上，所以， 又，则，， 由， 故点的轨迹方程为. （2）设该正方形为，其在上的三个顶点为、、， 不妨设，在轴的下方（包括轴），且， 则， 设直线的斜率为，则， 所以，，故，故. 又，所以， ，将，用表示， 得， 故， ，当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 结合，故，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 所以正方形面积，当时取最小值. 【题型3 坐标、截距型的最值范围】 【例5】已知点F为双曲线C：的右焦点，点N在x轴上（非双曲线顶点），若对于在双曲线C上（除顶点外）任一点P，恒是锐角，则点N的横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，所以， 设,，， 则，， 由恒是锐角，得， 又，， 不等式可化为：， 整理得：， 记， 要使恒成立，由二次函数性质可知， 当，即时， ，解得； 当或，即或时， ，解得， 综上，. 又点N与双曲线顶点不重合，所以， 所以的取值范围为. 故选：C． 【例6】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，．椭圆C的长轴长与焦距比为，过的直线l与C交于A、B两点． (1)当l的斜率为1时，求的面积； (2)当线段AB的垂直平分线在y轴上的截距最小时，求直线l的方程． 【答案】(1)12 (2) 【详解】（1）依题意，因，又，得， ∴椭圆C的方程为， 设、， 当时，直线l：， 将直线与椭圆方程联立，消去x得，， 解得，，， ∴． （2）设直线l的斜率为k，由题意可知，直线方程为， 由，消去y得， 恒成立，， 设线段AB的中点， 则，， 设线段AB的垂直平分线与y轴的交点为， 则，得， 整理得：， ， 等号成立时． 故当截距m最小为时，， 此时直线l的方程为． 【变式3-1】已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点． (1)求p的值和抛物线的焦点坐标； (2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为抛物线的准线是，所以抛物线的焦点坐标，所以； （2）因为点M是抛物线的准线上的动点，设． （ⅰ）若直线l的斜率不存在，则． 由得， 因为，所以， 即，所以， 因为，所以； 因为，所以， 即，所以， 所以因为，所以①． （ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k，则．设． 由得，所以， 且，所以（*）， 因为，所以，即，所以， 所以，得， 因为，所以， 即，所以， 所以 则 所以，得， 所以②， 代入（*）得，，所以③， 由②得，所以④， 所以，所以，⑤ 由④，⑤知， 综合（ⅰ）（ⅱ）知直线l在x轴上截距b的取值范围是． 【变式3-2】已知椭圆：过点，且的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设点，，是椭圆上关于轴对称的两点，交椭圆于另一点，是椭圆的左焦点，求的内切圆半径的取值范围； (3)若斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且中点恰在抛物线：上.记的横坐标为，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）依题意，解得， 所以椭圆的方程为. （2）因为直线斜率存在且不为0，可设的直线方程为， 设点，，则， 联立得， 则，， 因为点，，三点共线且斜率一定存在，所以， 所以， 将，代入，化简可得， 故，解得， 满足，所以直线过定点，且为椭圆右焦点. 设所求内切圆半径为，因为， 所以， 令， 所以，当且仅当即时等号成立，从而. 所以内切圆半径的范围为. （3）设，，，代入得， 作差整理得， 即，又因，， 整理得，即，即. 因为点在抛物线上，所以，又，即，即得， 由题中得，即得， 由，当时，上式为正； 当时，上式为负，即. 联立，得到其交点的横坐标为，所以， 因为且. 所以的最大值为. 【变式3-3】已知点为椭圆内的两点，在椭圆上存在两点，满足，直线交椭圆于点（点异于点）． (1)当时，求点的纵坐标； (2)求点，横坐标乘积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，由，即 有，从而 进一步，解得 故时，,所以点的纵坐标为. （2）由（1）可知，. 设 ①当斜率不存在时，重合，此时 ②当斜率存在时，设直线，则 则 ∵仅在椭圆内，与椭圆一定相交 当且仅当即时，等号成立 故 【题型4 斜率、倾斜角型的最值范围】 【例7】设双曲线：的离心率为，过左焦点作倾斜角为的直线依次交的左右两支于，，则有．若，为的中点，则直线斜率的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又， 所以，则， 所以， 设，，则，， 所以，即， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 即直线斜率的最小值是.    故选：C 【点睛】关键点睛：根据解答的关键是用含的式子表示，再利用点差法得到，从而表示出，最后利用基本不等式求出最小值. 【例8】已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3． (1)求E的方程； (2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设双曲线的半焦距为()， ， 由题可知， ，即， 又， 故E的方程为. （2）如图，    由题可知，且直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 将方程和联立，得， ， ， ，, 直线与的右支有交点，， 当时，取得最小值，且最小值为. 【变式4-1】已知抛物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求抛物线的标准方程． (2)已知过点且互相垂直的直线与分别交于点与点，线段与的中点分别为．若直线的斜率分别为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 设点到准线的距离为． 由抛物线的定义，得，解得， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以抛物线的标准方程为． （2）设， 由题意可知，的斜率存在且均不为0， 设直线的方程为， 将其代入，得，则有． 同理可得：设直线的方程为，则． 所以， 所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又易知， 所以的取值范围为． 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法： （1）数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解； （2）构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解； （3）构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域． 【变式4-2】已知椭圆C：的两焦点分别为，并且经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)过的直线交椭圆C于A，B两点，设直线与C的另一个交点分别为M，N，记直线AB，MN的倾斜角分别为，当取得最大值时，求直线AB的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由椭圆定义知， 解得. 又，所以， 故椭圆C的方程为. （2）①当时，由对称性得. ②当时，设直线AB的方程为，且， ，当时， 设直线的方程为，， 由得，易知， 则， 得. 同理，当时，设直线的方程为， 则. 则 . 当时，，解得， 由椭圆的对称性，不妨设， 由于，故， 此时直线，联立椭圆方程得， 解得或（舍去），当时，， 故，同理可得，， 则，满足. 所以. 当时，. 当时，， 此时，故， 所以，当且仅当时等号成立. 综上，当取得最大值时，直线AB的方程为. 【点睛】方法点睛：定值问题常见方法： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 【变式4-3】若椭圆的右焦点为，且椭圆过点，焦距是短半轴长的倍. (1)求椭圆的标准方程； (2)若一条不过原点的直线与椭圆相交于、两点，线段的垂直平分线与直线 及轴和轴分别交于点、、，点满足，线段的延长线与椭圆交于点，与的面积之比为，求直线斜率的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，解得， 因此，椭圆的标准方程为. （2）易知点，因为，则， 若直线的斜率不存在，则直线的垂直平分线为轴，不合乎题意， 若直线的斜率为零，则线段的垂直平分线为轴，不合乎题意， 设直线的方程为，其中，，设点、， 联立可得， 则，可得， 由韦达定理可得，则， 所以，线段的中点为， 所以，线段的垂直平分线所在直线的方程为， 即，故点，， 因为，，所以，为线段的中点， ，所以，， 设点，则，即， 所以，，即，即点， 将点的坐标代入椭圆方程可得，可得， 所以，，可得， 解得或. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 【题型5 向量型的最值范围】 【例9】已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径为. 因为 ． 又因为椭圆的，为椭圆的右焦点， 设，， ， ， 所以，， ∴． 故答案为： 【例10】已知椭圆的长轴长和短轴长分别等于双曲线的焦距和虚轴长，在椭圆上任取一点P，过点P作圆的两条切线PM，PN.切点分别为M，N，则的最小值为 . 【答案】0 【详解】依题意，椭圆的长轴长和短轴长分别等于双曲线的焦距和虚轴长， 故，，所以椭圆方程为. 设点，则，可得， 由圆，可得圆心， ， ∵，则，不妨设， 则 ， 令，，则， 由对勾函数的性质可知，在递增，故，此时， 故的最小值为0. 故答案为：0.    【点睛】关键点点睛：重点利用向量数量积的最值转化为函数的最值问题，通过构造函数的方法求最值，通过换元将几何问题代数化，利用函数单调性进行最值分析，充分展示了数学中的抽象与简化技巧. 【变式5-1】已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 【答案】(1) (2)16 【详解】（1）由题意， 如图， ∵， ∴， 又∵不在轴负半轴上， ∴与直线垂直， 又∵， ∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， ∴点的轨迹方程为. （2） 由得， ∵与交于两点， ∴， 设，，则， 又∵， ∴， ∵的斜率为， ∴直线的方程为， 设，，同理得，， ∴ ， 当且仅当即时取到“=”， ∴的最小值为16. 【变式5-2】已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且被的准线截得的弦长为. (1)求的方程； (2)若过的直线与的上支交于，两点，设为坐标原点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知，的坐标为， 则. 易知的方程为，不妨设与相交于点，， 则，整理得， 则， 可得 故的方程为. （2）由题可知，直线的斜率一定存在， 设：，，，则，. 联立方程组整理得， 则， ,. 由，在轴的上方，所以，， 可得. ，则. 由，得， 则， 故的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法： 一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙； 二是将圆锥曲线中最值和范围问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法. 本题（2）就是用的这种思路，利用函数的性质求的范围. 【变式5-3】设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若为线段的中点，求直线的方程； (3)当直线过点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可得：，解得：. 所以椭圆的方程为：. （2）设，因为在椭圆上， 所以，两式相减可得： ， 则，因为为线段的中点， 所以， 所以，所以直线的方程为：， 化简可得：. （3）当直线的斜率不存在时，，， 此时，所以， 当直线的斜率存在时，设，因为直线过点， 设直线的方程为：， 联立可得：， 当时，， ， ， 令，则， 令，在在上单调递减， 又，所以， 所以的取值范围为. 【题型6 参数型的最值范围】 【例11】已知抛物线与直线相交于不同的、两点．记点、的横坐标分别为、且，若存在以、、为边长的三角形，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由于存在以、、为边长的三角形，则、、都为正数， 联立可得， 由题意可知，关于的方程有两个不等的实根、， 则，可得， 将代入不等式，得，可得， 由得，可得， 由得，则，即，可得， 由可得，可得， 又因为，即，即，可得， 由于，可得， 显然，则显然成立， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 【例12】已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，O为坐标原点，且，的面积为. (1)求C的方程； (2)若，设P为C上一点，，若存在实数λ使得，求λ的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）在直角中，，， ，， ，. ，， 又， 联立，解得或 所以椭圆C的方程为或 （2），， 所以椭圆C的方程为. 设，则， 因为存在实数λ使得，即， 可得， 注意到函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 则， 可得. 所以λ的取值范围为. 【变式6-1】已知椭圆的半焦距，离心率，且过点为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与椭圆分别交于不同的两点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，整理得， 即，解得或. 当时，，此时C的离心率，符合题意； 当时，，此时C的离心率，不合题意，舍去， 所以椭圆C的方程为. （2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 联立得， 因为直线l与椭圆C分别交于不同的两点A，B， 所以，整理得. 设，则， 所以 ， 因为，所以令，则， 由，得，即， 因为，所以，解得， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 此时直线l与椭圆C的两交点分别为， 不妨取，则， 所以，所以，解得， 综上所述，的取值范围为. 【变式6-2】已知双曲线：（，）的离心率为，点到其左右焦点，的距离的差为2． (1)求双曲线的方程； (2)在直线上存在一点，过作两条相互垂直的直线均与双曲线相切，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意有双曲线的左、右焦点为，， 则，得， 则， 所以双曲线的方程为； （2）①若其中一条切线的斜率不存在，则另一条切线的斜率为0，则不满足条件； ②若切线的斜率存在，则设其斜率为，，则切线方程为， 联立，消并整理得， 则， 化简得，即， 化成关于的一元二次方程， 设该方程的两根为，，即为两切线的斜率，所以，即， 又点在直线上，所以直线与圆有交点， 所以，即，即， 故的取值范围为． 【点睛】直线与圆锥曲线的位置问题，常见思路是先讨论直线的斜率是否存在，再联立直线与圆锥曲线，必要时根据的情况得出相应的关系式，再根据题目中的其他条件，可求得参数的值或者参数之间的关系式，最后求解即可． 【变式6-3】已知为抛物线：上的一点，直线交于A，B两点，且直线，的斜率之积为2. (1)求的准线方程； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为点在：上， 所以，解得. 所以的准线方程为. （2）由（1）知：，设，. ，同理可得， 所以，即. 联立得， 由得.（*）， ，， 所以， 整理得. 所以， 当，时，等号成立，此时，满足（*）式， 故的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是化简斜率之积的式子得到，再将直线方程与抛物线方程联立得到韦达定理式，再代入得到，最后统一变量得到利用二次函数性质即可得到答案. 过关检测 1．已知椭圆的左右焦点分别为、，离心率为，点在椭圆上，且满足轴，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于、两点，求（为原点）面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由椭圆的对称性，不妨设点在第二象限， 则， 代入椭圆方程可得， 又椭圆的离心率， 则， 解得， 又， 则， 所以椭圆方程为； （2） 由（1）得椭圆方程为， 设直线与椭圆的交点，， 联立直线与椭圆，得， 则， 且，， 则， 又原点到直线的距离， 的面积， 令， 则， 当且仅当，即时，的面积取得最大值为． 2．在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点坐标是，且椭圆上的点到距离的最大值为，过点的直线交椭圆于点，． (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由焦点坐标可知， 又椭圆上的点到距离的最大值为，可知， 所以； 故椭圆方程是； （2）设，，， 显然直线斜率存在，设直线的方程为， 由，整理得， 则，解得， 又，， 因且，则， 于是有， 化简得，则， 即，所以， 由得， 则，， 而点在椭圆上，即，化简得， 从而有，而，即， 于是得，解得或， 故实数的取值范围为或.    3．已知点P为圆 上任意一点， 线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H. (1)求曲线H的方程; (2)若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点. (i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点； (ii)求 的取值范围. 【答案】(1) (2)( i )证明见解析，( ii) 【详解】（1）M为的垂直平分线上一点, 则 ， 则 ∴点M的轨迹为以为焦点的双曲线, 且，   故点M的轨迹方程为 （2）( i ) 设，双曲线的渐近线方程为：， 如图所示： 则①，②， ①+②得， ， ①-②得， ， 则，得 由题可知，则， 得，即， ∴直线的方程为，即， 又∵点M在曲线H上，则 ，得， 将方程联立，得， 得， 由，可知方程有且仅有一个解， 得直线l与曲线H有且仅有一个交点. （ii）由（i）联立 ，可得，同理可得， ， 则 ， 故， 当且仅当，即时取等号. 故的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：第二问中的第2小问中，先要计算，再由基本不等式求解范围． 4．已知双曲线的实轴长为4，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的左､右顶点分别为，过点作与轴不重合的直线与交于两点，直线与交于点S，直线与交于点. （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值； （ii）求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由题意知：，解得，双曲线方程为. （2） 因为直线斜率不为0，设直线方程为，易知， 设，联立，得， 则，且， （i） ； （ii）由题可得：. 联立可得：，即，同理. ， 故， 且， . 【点睛】关键点点睛：反设直线线并设点，联立双曲线方程后得出纵坐标的和积关系，为后面消元转化减轻计算量. 5．在平面直角坐标系中，已知点，，，为动点，满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知过点的直线与曲线交于两点，，连接，. （ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求证：为定值； （ⅱ）直线，与直线分别交于，两点，求的最小值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）因为， 所以根据双曲线的定义可知点的轨迹为以，为焦点，实轴长为2的双曲线， 由，，得，，所以的方程为. （2）（ⅰ）设直线：（） 因为直线过定点，所以. 变形可得，即 所以 整理得（*） 设，则（*）式除以得 此时，是方程的两根，所以， 所以，得证. （ⅱ）设直线：，由，可得； 设直线：，同理可得； . 由得， 所以， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为. 【点睛】关键点点睛：设直线：与联立求出，同理求出，由此表示出，由基本不等式求解即可. 6．已知双曲线的中心为坐标原点，右顶点为，离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线右支于，两点，交轴于点，且，. （i）求证：为定值； （ii）记，，的面积分别为，，，若，当时，求实数的范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）设双曲线C：，由题意得，， 则，， 所以双曲线的方程为. （2）（i）如图： 设，，， 由与，得， 即，， 将代入的方程得：， 整理得：①， 同理由可得②. 由①②知，，是关于的一元二次方程的两个不等实根. 显然，由韦达定理知，所以为定值. （ii）由，即， 整理得：， 又，不妨设，则， 整理得， 又，故， 而由（2）知，，故， 代入， 令，得， 由双勾函数性质可知，在上单调递增， 所以的取值范围是， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 7．已知抛物线Γ：，A为第一象限内Γ上的一点，设A的纵坐标为. (1)若点A到Γ的准线的距离为3，求a的值； (2)若，B为x轴上的一点，且线段AB的中点在Γ上，求点B的坐标及原点O到直线AB的距离； (3)设直线l：，P是第一象限内Γ上异于A的动点，直线AP与直线l交于点Q，点H为点P在直线l上的投影，若点A满足性质“当点P变化时，恒成立”，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)，； (3). 【详解】（1）曲线的准线为， 点到的准线的距离为，又在第一象限， 所以； （2）因为，所以，即， 设，则线段的中点为，依题意，解得， 即，直线为，即， 所以坐标原点到的距离. （3）设，，则，，， 直线，即， 令，所以，即， 对恒成立. 即， 即对恒成立. ①当，又，即时，恒成立； ②当时，则，也成立； ③当，即时，则当时满足，此时， ， 显然不成立，故时不成立. 综上，. . 【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是设，从而写出直线的方程，再得到，再转化为恒成立问题，分类讨论即可. 8．已知的周长为定值，、、，的最大值为． (1)求动点的轨迹的方程； (2)为的左顶点，过点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点，线段的中点为，记直线的斜率为，的外心为，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，，设，即，且， 由三角形的三边关系可得，则， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，等号成立， 因为余弦函数在上为减函数，且， 故当取最大值时，取最小值，所以，，解得， 所以，， 因此，曲线是除去长轴端点的椭圆，且其长轴长为，焦距为， 所以，， 因此，动点的轨迹的方程为. （2）易知点，根据题意，设直线的方程为，其中， 设点、， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 则， 故点，所以，， 线段的中点为，， 所以，线段的中垂线方程为， 同理可得，线段的中垂线方程为， 其中，， 联立，可得， 所以，， 要求的最大值，只需考虑即可， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 9．直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式； (2)若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程； (3)在（2）的条件下，过直线上的动点作曲线的两条切线，切点分别为，求原点到直线的距离的最大值. 【答案】(1)； (2)，曲线的方程为； (3). 【详解】（1）由题可得，直线族为圆M的切线， 故满足， 所以满足． （2）将点代入，可得关于的方程， 因为点不在直线族上， 故方程无实数解， 所以，那么，故， 因为区域的边界为抛物线， 下证：是的包络曲线． 证明：联立直线与，可得， 所以， 故直线族：为抛物线的切线. 因此直线族的包络曲线的方程为. （3）由（2）得曲线的方程为， 设在直线上， 则，即. 设， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立，可得， 即. 因为直线与相切， 所以，即. 因为，所以，，解得. 所以直线的方程为，化简得， 同理可得直线的方程为. 因为点在切线上，所以， 所以直线的方程为，即. 将代入， 得，化简得. 则原点到直线的距离. 设，则, 所以， 所以. 当时，，则重合，不符合题意， 所以， 所以. 令，则. 对于二次函数，其对称轴为， 则时，的最小值为， 所以有最大值，则的最大值为. 【点睛】关键点点睛： 本题第三问的关键是通过相切得到直线的方程. 10．已知抛物线的焦点为上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为2. (1)求抛物线的方程； (2)已知点是抛物线上不同的三点. （ⅰ）若直线过点，且交准线于点，求的值； （ⅱ）若直线的斜率分别为，且，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）0；（ⅱ） 【详解】（1）抛物线的焦点，准线为：， 设点，动点到其准线的距离为， 由拋物线定义得，，则，当且仅当时取等号， 依题意，，所以抛物线的方程为. （2）（i）显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为：， 设，又， 由消去得，， ， 由，得，整理得，同理得， 所以. （ii）设直线的方程为：， 点是抛物线上，所以，所以，所以，    由消去得，则， 又，由，得， 即，则，解得， 由，得，解得或，则 所以直线的斜率的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 11．已知焦点为的抛物线上存在不同的两点，（异于原点）． (1)若且，求直线的方程； (2)若，求线段的最小值； (3)若点，，三点共线，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设直线的方程为，由，整理可得， 则， 所以，则， 依题意可得，解得，满足， 所以直线的方程为，即； （2）由（1）可得，则， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以，， 所以， 当且仅当时取等号， 所以线段的最小值； （3）因为、、三点共线，而抛物线的焦点， 所以直线AB的方程为，，， 联立有， 故，，，， 所以， ，， 所以 所以，即 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$