阶段测评5图形的变化-2025年中考数学真题分类必刷

45　 阶段测评五　 图形的变化 一、选择题 1.(2024 广东省)下列几何图形中,既是中心对称图形也是轴对称 图形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 2.(2024 湖南省)如图,该纸杯的主视图是 (　 　 ) A. B. C. D. 第 2 题图 　 　 　 　 　 　 第 4 题图 3.(2024 四川雅安) 在平面直角坐标系中,将点 P(1, - 1)向右平 移 2 个单位长度后,得到的点 P1关于 x 轴的对称点的坐标是 (　 　 ) A.(1,1) B.(3,1) C.(3, - 1) D.(1,- 1) 4.(2024 江苏盐城)正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的 一种平面展开图,那么在原正方体中,与“盐”字所在面相对的 面上的汉字是 (　 　 ) A.湿 B.地 C.之 D.都 5.(2024 广东广州)下列图案中,点 O 为正方形的中心,阴影部 分的两个三角形全等,则阴影部分的两个三角形关于点 O 对 称的是 (　 　 ) A. B. C. D. 6.(2024 四川广元)如图,将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 90°得到 △ADE,点 B,C 的对应点分别为点 D,E,连接 CE,点 D 恰好落 在线段 CE 上,若 CD= 3,BC= 1,则 AD 的长为 (　 　 ) A. 5 B. 10 C.2 D.2 2 第 6 题图 　 　 　 　 　 　 第 7 题图 7.(2024 黑龙江齐齐哈尔)如图,若几何体是由 5 个棱长为 1 的小 正方体组合而成的,则该几何体的左视图与俯视图的面积和是 (　 　 ) A.6 B.7 C.8 D.9 8.(2024 四川成都)如图,在▱ABCD 中,按以下步骤作图:①以点 B 为圆心,适当长为半径画弧,分别交 BA,BC 于点 M,N;②分别 以点 M,N 为圆心,大于 1 2 MN 的长为半径画弧,两弧在∠ABC 内交于点 O;③作射线 BO,交 AD 于点 E,交 CD 的延长线于点 F.若 CD= 3,DE= 2,下列结论错误的是 (　 　 ) A.∠ABE=∠CBE B.BC= 5 C.DE=DF D.BE FE = 5 3 第 8 题图 　 　 　 　 　 　 第 9 题图 9.(2024 山东烟台)如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别为对角 线 BD,AC 的三等分点,连接 AE 并延长交 CD 于点 G,连接 EF, FG,若∠AGF=α,则∠FAG 用含 α 的代数式表示为 (　 　 ) A.45° -α 2 B.90° -α 2 C.45° +α 2 D. α 2 10.(2024 黑龙江牡丹江)小明同学手中有一张矩形纸片 ABCD, AD= 12 cm,CD= 10 cm,他进行了如下操作: 第一步,如图 1,将矩形纸片对折,使 AD 与 BC 重合,得到折痕 MN,将纸片展平; 第二步,如图 2,再一次折叠纸片,把△ADN 沿 AN 折叠得到 △AD′N,AD′交折痕 MN 于点 E,则线段 EN 的长为 (　 　 ) 　 A.8 cm B.169 24 cm C.167 24 cm D.55 8 cm 二、填空题 11.(2024 辽宁省)如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD>AB,AD=a, AB=10.以点 A 为圆心,AB 长为半径画弧,与 BC 相交于点 E,连 接 AE.以点 E 为圆心,适当长为半径画弧,分别与 EA,EC相交于 点 M,N,再分别以点 M,N 为圆心,大于 1 2 MN 的长为半径画弧, 两弧在∠AEC 的内部相交于点 P,作射线 EP,与 AD 相交于点 F,则 FD 的长为　 　 　 　 (用含 a 的代数式表示) . 第 11 题图 　 　 　 　 　 　 第 12 题图 12.(2024 四川成都)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(3, 0),B(0,2),过点 B 作 y 轴的垂线 l,P 为直线 l 上一动点,连 接 PO,PA,则 PO +PA 的最小值为　 　 　 　 . 13.(2024 湖北省)如图,△DEF 为等边三角形,分别延长 FD, DE,EF 到点 A,B,C,使 DA = EB = FC,连接 AB,AC,BC,连接 BF 并延长交 AC 于点 G.若 DA=DF= 2,则∠DBF= 　 　 　 　 , FG= . 第 13 题图 　 　 第 14 题图 　 　 第 15 题图 14.(2024 山东潍坊)如图,在直角坐标系中,等边三角形 ABC 的 顶点 A 的坐标为(0,4),点 B,C 均在 x 轴上.将△ABC 绕顶点 A 逆时针旋转 30°得到△AB′C′,则点 C′的坐标为　 　 　 　 . 15.(2024 江苏连云港)如图,将一张矩形纸片 ABCD 上下对折,使 之完全重合,打开后,得到折痕 EF,连接 BF.再将矩形纸片折 叠,使点 B 落在 BF 上的点 H 处,折痕为 AG.若点 G 恰好为线 段 BC 上最靠近点 B 的一个五等分点,AB = 4,则 BC 的长 为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 46　 三、解答题 16.(2024 山东济宁)如图,△ABC 三个顶点的坐标分别是 A(1, 3),B(3,4),C(1,4) . (1)将△ABC 向下平移 2 个单位长度得到△A1B1C1,画出平移 后的图形,并直接写出点 B1的坐标; (2)将△A1B1C1绕点 B1逆时针旋转 90°得到△A2B1C2,画出旋 转后的图形,并求点 C1运动到点 C2所经过的路径长. 17.(2024 山东潍坊)如图,在矩形 ABCD 中,AB > 2AD,点 E,F 分 别在边 AB,CD 上.将△ADF 沿 AF 折叠,点 D 的对应点 G 恰好 落在对角线 AC 上;将△CBE 沿 CE 折叠,点 B 的对应点 H 恰 好也落在对角线 AC 上.连接 GE,FH.求证: (1)△AEH≌△CFG; (2)四边形 EGFH 为平行四边形. 18.(2024 黑龙江大庆)如图,平行四边形 ABCD 中,AE,CF 分别是 ∠BAD,∠BCD 的平分线,且 E,F 分别在边 BC,AD 上. (1)求证:四边形 AECF 是平行四边形; (2)若∠ADC= 60°,DF= 2AF= 2,求△GDF 的面积. 19.(2024 山东烟台)在等腰直角△ABC 中,∠ACB = 90°,AC =BC, D 为直线 BC 上任意一点,连接 AD.将线段 AD 绕点 D 按顺时 针方向旋转 90°得线段 ED,连接 BE. 【尝试发现】 (1)如图 1,当点 D 在线段 BC 上时,线段 BE 与 CD 的数量关 系为　 　 　 　 ; 【类比探究】 (2)当点 D 在线段 BC 的延长线上时,先在图 2 中补全图形,再 探究线段 BE 与 CD 的数量关系并证明; 【联系拓广】 (3)若 AC=BC= 1,CD= 2,请直接写出 sin∠ECD 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 47　 20.(2024 河南焦作)在综合实践课上,老师设计了下面问题,请你 解答. 【观察发现】 (1)如图 1,在平面直角坐标系中,过点 A(1, - 3)作 y 轴的对 称点 A1,再分别作点 A1 关于直线 y= x 和 x 轴的对称点 A2, A3,则点 A2 可以看作是点 A 绕点 O 顺时针旋转得到的,旋 转角的度数为 　 　 　 　 ;点 A3 可以看作是点 A 关于点 　 　 　 　 的对称点; 【探究迁移】 (2)如图 2,正方形 ABCD 中,P 为直线 AD 下方一点,作点 P 关 于直线 CD 的对称点 P1,再分别作点 P1 关于直线 BD 和直 线 AD 的对称点 P2 和 P3,连接 PD,P2D,请仅就图 2 的情 形解决以下问题: ①请判断∠PDP2 的度数,并说明理由; ②若 PD=m,求 P2,P3 两点间的距离; 【拓展应用】 (3)在(2)的条件下,若 PD = 2 ,∠PDC = 30°,请直接写出 P1P2 的长. 　 21.(2024 江苏宿迁)在综合实践活动课上,同学们以折叠正方形 纸片展开数学探究活动. 【操作判断】 操作一:如图 1,对折正方形纸片 ABCD,得到折痕 AC,把纸片 展平; 操作二:如图 2,在边 AD 上选一点 E,沿 BE 折叠,使点 A 落在 正方形内部,得到折痕 BE; 操作三:如图 3,在边 CD 上选一点 F,沿 BF 折叠,使边 BC 与 边 BA 重合,得到折痕 BF. 把正方形纸片展平,得图 4,折痕 BE,BF 与 AC 的交点分别为 G,H. (1)根据以上操作,得∠EBF= 　 　 　 　 °; 　 　 　 【探究证明】 (2)如图 5,连接 GF,试判断△BFG 的形状并证明; (3)如图 6,连接 EF,过点 G 作 CD 的垂线,分别与 AB,CD,EF 交于点 P,Q,M.求证:ME=MF; 【深入研究】 (4)若AG AC = 1 k ,请求出GH CH 的值.(用含 k 的代数式表示) 　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ∠OAB + ∠EAD = 90°, ∵ ∠OAB + ∠OBA = 90°, ∴ ∠OBA=∠EAD,∵ ∠AOB =∠DEA = 90°,∴ △OAB∽ △EDA,∴ OA ED = AB DA =OB EA ,∵ A(0,-2),B(1,0),∴ OA= 2,OB= 1,AB= 5 ,∴ 2 ED = 5 DA = 1 EA ,设 EA = a,则 ED = 2a,DA= 5 a,∴ 5 a = 2 5 ,解得 a = 2,∴ EA = 2,ED = 4,∴ OE=OA +EA = 4,∵ 点 D 在第四象限,∴ 点 D 的 坐标为(4,- 4) . 10.证明:∵ BE= 3,EC= 6, ∴ BC= 9, ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=BC= 9,∠B=∠C= 90°, ∵ AB EC = 9 6 = 3 2 ,BE CF = 3 2 , ∴ AB EC =BE CF , ∴ △ABE∽△ECF. 考点 3　 图形位似和应用 1.D 2.D　 【解析】由题意可知,△ABC∽△A1B1C1,∵ OB ∶ BB1 = 2 ∶3,∴ OB OB1 = 2 5 ,∴ △ABC 和△A1B1C1的相似比 为 2 ∶ 5, ∴ S△ABC S△A1B1C1 = 2 5 æ è çç ö ø ÷÷ 2 = 4 25 , ∵ 三 角 形 硬 纸 板 (△ABC) 的面积为 60 cm2,∴ △A1B1C1 的 面积为 375 cm2 .故选 D. 3.A　 【解析】∵ △ABC 与△A′B′C′是位似图形,点 A( -3, 1)的对应点的坐标为 A′( - 6,2),∴ △ABC 与△A′B′C′ 的位似比为 2,∴ 点 B( - 2,4)的对应点 B′的坐标为 ( - 2 × 2,4 × 2),即( - 4,8) .故选 A. 阶段测评五　 图形的变化 一、选择题 1.C　 2.A　 3.B　 4.C　 5.C 6.A　 【解析】如图,过点 A 作 AH⊥CE 于点 H,由旋转 得,AC= AE,∠CAE = 90°,DE = BC = 1,∴ △ACE 是等 腰直角三角形,CE = CD +DE = 4,∴ AH = 1 2 CE = CH = HE = 2,∴ HD = HE - DE = 1,∴ 在 Rt△ADH 中,AD = AH2+HD2 = 5 .故选 A. 7.B 　 【解析】 由图可知,左视图为 ,俯视图为 ,∴ 该几何体的左视图与俯视图的面积 和是 7 × 1 × 1= 7.故选 B. 8.D　 【解析】由作图可知,BF 为∠ABC 的平分线,∴ ∠ABE=∠CBE,A 项正确;∵ 四边形 ABCD 为平行四 边形,∴ AD = BC, AB = CD, AD∥ BC, AB∥ CD, ∴ ∠AEB= ∠CBE,∴ ∠AEB = ∠ABE,∴ AE = AB = 3,∴ BC=AD=AE+DE=5,B 项正确;∵ AB∥CD,∴ ∠ABE= ∠F,∵ ∠AEB = ∠DEF, ∠AEB = ∠ABE, ∴ ∠F = ∠DEF,∴ DE=DF,C 项正确;∵ AB∥CD,∴ △AEB∽ △DEF,∴ BE FE = AB DF ,∴ BE FE = 3 2 ,D 项错误.故选 D. 9.B　 【解析】设 AC 与 BD 的交点为 O,∵ 正方形 ABCD 中,点 E,F 分别为对角线 BD,AC 的三等分点,∴ BE = 2DE,OD=OC,∠ODC=∠OCD= 45°,DE=CF,∴ OE = OF,∴ ∠OFE = ∠OCD = 45°,∴ DE BE = 1 2 ,∵ 正方形 ABCD 中,AB∥CD,AB=CD,∴ △ABE∽△GDE,∴ AB GD = BE DE = 2,∴ GD = 1 2 CD =CG,∴ △DEG≌△CFG(SAS), ∴ GE=GF,∴ ∠GEF= 1 2 (180° -∠AGF)= 90° - 1 2 α, ∴ ∠FAG=∠GEF-∠OFE=90°- 1 2 α-45°=45°- 1 2 α= 90° -α 2 .故选 B. 10.B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AB =CD = 10, 由折叠得,AM = 1 2 AB = 5,AD = AD′ = 12,MN⊥AB, ∠DAN = ∠D′ AN, ∴ 四 边 形 AMND 是 矩 形, ∴ MN∥AD,MN=AD=12,∴ ∠DAN=∠ANM,∴ ∠ANM= ∠D′AN,∴ EA=EN,设 EA=EN= x,则 EM= 12 - x,∵ 在 Rt△AME 中,AM2 + EM2 = EA2,∴ 52 + (12 - x) 2 = x2,解得 x= 169 24 ,即 EN= 169 24 cm.故选 B. 二、填空题 11.a - 10 　 【解析】由作图得,AE = AB = 10,EF 平分 ∠AEC,∴ ∠AEF = ∠CEF,∵ AD∥BC,∴ ∠AFE = ∠CEF,∴ ∠AEF = ∠AFE,∴ AF = AE = 10,∴ FD = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·24· AD -AF=a - 10. 12.5　 【解析】如图,作点 A 关于直线 l 的对称点 A′,连 接 A′O 交直线 l 于点 C,连接 AC,PA′,则 AC = A′C, PA=PA′,A′A⊥l,∴ PO + PA = PO + PA′≥ A′O,∴ 当 O,P,A′三点共线,即点 P 与点 C 重合时,PO +PA 的 最小值为 A′O,∵ 直线 l 垂直于 y 轴,∴ A′A⊥x 轴,∵ A(3,0),B(0,2),∴ AO = 3,AA′ = 4,∴ 在 Rt△A′AO 中,A′O= OA2+AA′2 = 32+ 42 = 5. 13.30°;4 3 5 　 【解析】 ∵ △DEF 为等边三角形,DA = EB=FC,∴ DA =DF = EB = EF = 2,∠DEF =∠DFE = 60°,∴ ∠DBF =∠EFB = 1 2 ∠DEF = 30°;∵ ∠EFB = 30°,∠DFE = 60°,∴ ∠AFB =∠EFB +∠DFE = 90°, ∠EFB=∠GFC = 30°,如图,过点 C 作 CH⊥BG 交 BG 的延长线于点 H,则 CH= 1 2 FC= 1,∴ 在Rt△CHF 中,FH = FC2-CH2 = 3 ,∵ ∠AFB = ∠H = 90°,∴ AF∥ CH, ∴ △AGF∽△CGH, ∴ AF CH = FG HG , 即 4 1 = FG 3 -FG ,解得 FG= 4 3 5 . 14. 4,4 - 4 3 3 æ è ç ç ö ø ÷ ÷ 　 【解析】如图,过点 C′作 C′F⊥AO,交 y 轴于点 F,∵ △ABC 是等边三角形,AO⊥BC,∴ AO 是∠BAC 的平分线,∠BAC = 60°,∴ ∠OAC = 30°,由 旋转得,AC′ = AC,∠CAC′ = 30°,∠B′AC′ = ∠BAC = 60°,∵ 顶点 A 的坐标为 ( 0, 4),∴ AO = 4,∴ 在 Rt△OAC中,AC= AO cos∠OAC = 8 3 3 ,∴ AC′= AC = 8 3 3 , ∴ 在Rt△AC′F中,FC′ = AC′·sin60° = 4,AF = AC′· cos60° = 4 3 3 ,∴ OF=AO - AF = 4 - 4 3 3 ,∴ 点 C′的坐 标为 4,4 - 4 3 3 æ è ç ç ö ø ÷ ÷ . 15.2 10 　 【解析】如图,设 AG 与 BF 交于点 M,∵ 四 边形 ABCD 为矩形,∴ ∠ABC =∠C = 90°,AB = CD = 4,由折叠得,CF = 1 2 CD = 2,AG⊥BH,设 BG = a,则 BC = 5a, ∴ AG = AB2+BG2 = a2+ 16 , BF = BC2+CF2 = 25a2+4,∵ S△ABG = 1 2 AB·BG = 1 2 AG· BM,∴ BM = AB·BG AG = 4a a2+ 16 ,∵ ∠BMG = ∠C = 90°,∴ cos∠FBC = BM BG = BC BF ,∴ 4 a2+ 16 = 5a 25a2+ 4 , 解得 a = 2 10 5 ,经检验 a = 2 10 5 是原方程的解,∴ BC= 5a= 2 10 . 三、解答题 16.解:(1)如图,△A1B1C1即为所求, 点 B1的坐标为(3,2); (2)如图,△A2B1C2即为所求, 由图可知,B1C1 = 2,∠C1B1C2 = 90°, ∴ 点 C1运动到点 C2所经过的路径长为 90π·B1C1 180 =π. 17.证明:(1)∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD=BC,∠B=∠D= 90°,AB∥CD, ∴ ∠EAH=∠FCG, 由折叠得, AG = AD,HC = BC,∠CHE = ∠B = 90°, ∠AGF=∠D= 90°, ∴ CH=AG,∠AHE=∠CGF= 90°, ∴ AG +GH=CH +GH,即 AH=CG, ∴ △AEH≌△CFG(ASA); (2)由(1)知∠AHE=∠CGF= 90°,△AEH≌△CFG, ∴ EH∥FG,EH=FG, ∴ 四边形 EGFH 为平行四边形. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·34· 18.(1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ ∠BAD=∠BCD,AD∥BC, ∵ AE,CF 分别是∠BAD,∠BCD 的平分线, ∴ ∠DAE= 1 2 ∠BAD,∠BCF= 1 2 ∠BCD, ∴ ∠DAE=∠BCF, ∵ AD∥BC, ∴ ∠DFC=∠BCF, ∴ ∠DAE=∠DFC, ∴ AE∥FC, ∴ 四边形 AECF 是平行四边形; (2)解:如图,过点 G 作 GH⊥DF 于点 H, 由(1)可知, ∠DFC=∠BCF,∠BCF=∠DCF= 1 2 ∠BCD, ∴ ∠DFC=∠DCF, ∵ ∠ADC= 60°, ∴ △DFC 是等边三角形, ∴ ∠DFC= 60°, ∵ DF= 2AF= 2,四边形 AECF 是平行四边形, ∴ DF=DC=CF= 2,CE=AF= 1, ∵ AD∥BC,∴ △DFG∽△ECG, ∴ FG CG =DF EC = 2,∴ FG= 2 3 CF= 4 3 , ∴ 在 Rt△FGH 中,GH=FG·sin60° = 2 3 3 , ∴ S△GDF = 1 2 DF·GH= 2 3 3 . 19.解:(1)BE= 2CD; 【解析】如图 1,过点 E 作 EM⊥CB 交 CB 的延长线 于点 M,由旋转得,AD=ED,∠ADE = 90°,∴ ∠ADC + ∠MDE = 90°,∵ ∠ACB = 90°,∴ ∠ACD = ∠DME, ∠ADC + ∠CAD = 90°,∴ ∠CAD = ∠MDE,∴ △ACD ≌△DME(AAS),∴ CD =ME,AC = DM,∵ AC = BC, ∴ BM = DM -BD = AC - BD = BC - BD = CD,∴ BM = ME,∴ BE= 2ME= 2CD. 图 1 (2)补全图形,如图 2 所示: 图 2 BE= 2CD. 证明:如图 2,过点 E 作 EM⊥BC 交 BC 于点 M, 由旋转得,AD=ED,∠ADE= 90°, ∴ ∠ADC +∠MDE= 90°, ∵ ∠ACB= 90°, ∴ ∠ACD=∠DME= 90°, ∴ ∠ADC +∠CAD= 90°, ∴ ∠CAD=∠MDE, ∴ △ACD≌△DME(AAS), ∴ CD=ME,AC=DM, ∵ AC=BC, ∴ BM=BC -CM=DM -CM=CD, ∴ BM=ME, ∴ BE= 2ME= 2CD; (3)2 13 13 或 2 5 5 . 【解析】①如图 3,当点 D 在 BC 的延长线上时,过点 E 作 EM⊥BC 交 BC 的延长线于点 M,连接 CE,由 (2)可知,△DME≌△ACD,∴ DM=AC= 1,ME=CD= 2,∴ CM = CD - DM = 1,∴ 在 Rt△CME 中, CE = ME2+CM2 = 5 ,∴ sin∠ECD=ME CE = 2 5 = 2 5 5 ; 图 3 　 图 4 ②如图 4,当点 D 在 CB 的延长线上时,过点 E 作 EM ⊥CB 交 CB 的延长线于点 M,连接 CE,同理可知, △DME≌△ACD,∴ DM =AC = 1,ME =CD = 2,∴ CM = CD+ DM = 3,∴ 在 Rt△CME 中,CE = CM2+ME2 = 13 , ∴ sin∠ECD = ME CE = 2 13 = 2 13 13 . 综 上, sin∠ECD的值为2 13 13 或 2 5 5 . 20.解:(1)90°;O; (2)①∠PDP2 = 90°.理由如下: 如图 2,连接 P1D, 则∠P1DC=∠PDC,∠P1DB=∠P2DB, ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠BDC= 45°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·44· ∴ ∠PDP2 = 2(∠P1DB +∠P1DC)= 2∠BDC= 90°; ②如图 2,连接 P3D,P2P3,则 P3D=P2D=P1D=PD= m,∠P1DC=∠PDC,∠P3DA=∠P1DA, ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠ADC= 90°, ∴ ∠PDP3 = 2(∠P1DA +∠P1DC)= 2∠ADC= 180°, ∴ P,D,P3 三点共线, ∵ ∠PDP2 = 90°,∴ ∠P2DP3 = 90°, ∴ 在 Rt△DP2P3 中,P2P3 = 2P2D= 2m; (3) 3 - 1 或 3 + 1. 【解析】(ⅰ)如图 3,当点 P 在正方形外部时,连接 PD,P1D,P2D,P1P2,过点 P1 作 P1E⊥P2D,垂足为 E,则∠P1DP2 = 90°-2∠PDC= 30°,P2D=P1D=PD= 2 ,∴ P1E = 2 2 ,DE = 6 2 ,∴ P2E = P2D - DE = 2 - 6 2 , ∴ 在 Rt△EP1P2 中, P1P2 = P2E2+P1E2 = 3 - 1; (ⅱ)如图 4,当点 P 在正方形内部时,连接 PD, P1D,P2D,P1P2,过点 P1 作 P1F⊥P2D,垂足为 F,则 ∠P1DP2 = 2(∠BDC +∠P1DC)= 150°,P2D = P1D = PD= 2,∴ ∠P1DF = 30°,∴ P1F = 2 2 ,DF = 6 2 ,∴ P2F=P2D+DF= 2 + 6 2 ,∴ 在 Rt△FP1P2 中,P1P2 = P2F2+P1F2 = 3 + 1.综上,P1P2 的长为 3 - 1 或 3 +1. 21.(1)45; (2)解:△BFG 是等腰直角三角形. 证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠BCD= 90°,∠BCA=∠DCA= 45°, ∵ ∠EBF= 45°,∴ ∠EBF=∠DCA, ∵ ∠GHB=∠FHC,∴ △GHB∽△FHC, ∴ GH BH =FH CH , 又∵ ∠GHF=∠BHC, ∴ △GHF∽△BHC, ∴ ∠GFH=∠BCH= 45°, ∴ ∠GFH=∠EBF= 45°, ∴ GB=GF,∠BGF= 90°, ∴ △BFG 是等腰直角三角形; (3)证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠D= 90°,即 AD⊥DC, ∵ PQ⊥CD,∴ PQ∥AD, ∴ ∠AEB=∠EGM, 由折叠得,∠AEB=∠FEB, ∴ ∠FEB=∠EGM,∴ ME=MG, ∵ ∠BGF= 90°,∴ ∠EGF= 90°, ∴ ∠EGM +∠MGF=∠FEB +∠EFG= 90°, ∴ ∠MGF=∠EFG,∴ MG=MF, ∴ ME = MF; (4)解:如图 3,连接 BD,并标记角度, 图 3 ∵ 正方形 ABCD 中,AC,BD 是对角线, ∴ AB=AD=BC,AD∥BC,∠4=∠5=∠CBD= 45°, ∵ ∠EBF= 45°, ∴ ∠2 +∠3=∠1+∠2, ∴ ∠1=∠3, ∴ △BED∽△BHC, ∴ DE CH =BD BC = 2 , 设 AG= 1,AC= k,则 CG= k - 1, ∴ AD=AB=BC= 2 2 AC= 2 k 2 , ∵ AD∥BC, ∴ △AEG∽△CBG, ∴ AE CB = AG CG ,即 AE 2 2 k = 1 k - 1 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·54· ∴ AE= 2 k 2k - 2 , ∴ DE=AD -AE= 2 k 2 - 2 k 2k - 2 = 2 k(k - 2) 2k - 2 , ∴ CH= 2 2 DE= k 2- 2k 2k - 2 , ∴ GH=CG -CH= k 2- 2k + 2 2k - 2 , ∴ GH CH = k 2- 2k + 2 k2- 2k . 专题十九　 统计 考点 1　 数据的代表和波动 1.B　 2.A　 3.C　 4.B 5.B　 【解析】数据 - 10,0,11,17,17,31 的平均数为 1 6 × ( - 10 + 0 + 11 + 17 + 17 + 31)= 11,中位数为11 + 17 2 = 14,众数为 17,极差为 31 - ( - 10)= 41,去掉数据 11 后,数据为 - 10,0,17,17,31,平均数为 1 5 ×( - 10 + 0 + 17+17+31)= 11,中位数为 17,众数为 17,极差为31 - ( - 10)= 41,∴ 中位数发生变化.故选 B. 6.B　 【解析】这组数据的平均数为 1 10 × (65 + 67 + 75 + 65 +75 + 80 + 75 + 88 + 78 + 80)= 74.8,D 项错误;方差 为 s2 = 1 10 ×[(65 - 74.8) 2+ (67 - 74.8)2+(75 - 74.8)2+ (65-74.8)2+(75-74.8)2+(80-74.8)2+(75 - 74.8)2+ (88-74.8)2+(78-74.8)2+(80-74.8)2] = 1 10 ×(96.04+ 60.84 + 0.04 + 96.04 + 0.04 + 27.04 + 0.04 + 174.24 + 10.24 + 27.04)= 1 10 × 491.6 = 49.16,A 项错误;这组数 据中,75 出现次数最多,故众数是 75,B 项正确;这组 数据按从小到大的顺序排列为 65,65,67,75,75,75, 78,80,80,88,最中间的两个数是 75,75,故中位数为 75+75 2 =75,C 项错误.故选 B. 7.A　 【解析】当数据都加上一个数(或减去一个数)时, 平均数也加(或减)这个数,设原平均数为 x,则现在 的平均数为 x+ 3,原来的方差 s21 = 1 n [(x1- x)2+ (x2- x)2+…+(xn-x)2] = 2,∴ 现在的方差 s22 = 1 n [(x1+ 3 - x-3)2+(x2+3-x-3)2+…+(xn+3-x-3)2] = 1 n [(x1- x) 2+(x2- x) 2+… +(xn- x) 2] = 2.故选 A. 8.89　 【解析】∵ 数据中 89 出现的次数最多,∴ 众数 为 89. 考点 2　 分析统计图 1.D　 【解析】由图可知,五月份空气质量为优的天数是 16 天,A 项正确;15 出现了 3 次,次数最多,∴ 众数是 15 天,B 项正确;把数据按从低到高的顺序排列,位 于中间的两个数是 15,15,∴ 中位数为 15 天,C 项正 确;这组数据的平均数为 1 6 × (12 + 14 + 15 × 3 + 16)= 14.5(天),D 项错误.故选 D. 2.B　 【解析】由题意可知,a = 50 - 4 - 16 - 12 - 8 = 10,A 项错误;由图可知,用地面积在 8 < x≤12 这一组的公 园个数有 16 个,数量最多,B 项正确;用地面积在 0 < x≤4 这一组的公园个数最少,C 项错误;这 50 个公 园中用地面积超过 12 公顷的有 12 + 8= 20(个),不到 一半,D 项错误.故选 B. 3.A 4.D　 【解析】∵ 全班共 50 名学生,班主任对 50 名学生 进行了问卷调查,∴ 班主任采用的是全面调查,A 项 错误;由图可知,喜爱娱乐节目的同学所占的百分比 最多,∴ 喜爱娱乐节目的同学最多,B 项错误;喜爱戏 曲节目的同学有 50 × 6% = 3(名),C 项错误;“体育” 对应扇形的圆心角为 360° × 20% = 72°,D 项正确.故 选 D. 5.9 6.2 000　 【解析】∵ 博物馆共回收有效问卷 1 000 张, 其中 700 人没有讲解需求,剩余 300 人有需求讲解, ∴ 需求讲解的人数占有效问卷的百分比为 300 1 000 × 100% = 30% ,由条形统计图可知,需要 AR 增强讲解 的人数为 100 人,∴ 需要 AR 增强讲解的人数占有需 求讲解的人数的 100 300 = 1 3 ,∴ 在总共 2 万人的参观中, 需要 AR 增强讲解的人数约有 20 000 × 30% × 1 3 = 2 000(人) . 7.解:(1)甲;29; (2)∵ 甲队员的平均每场得分大于乙队员的平均每 场得分,且甲队员的得分更稳定, ∴ 甲队员的表现更好;(注:答案不唯一,合理即可) (3)甲队员的综合得分为 26.5 × 1 + 8 × 1.5 + 2 ×( - 1)= 36.5(分), 乙队员的综合得分为 26 × 1 + 10 × 1.5 + 3 ×( - 1)= 38(分), ∵ 38 > 36.5, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·64·