阶段测评4图形的认识-2025年中考数学真题分类必刷

　 　 36　 阶段测评四　 图形的认识 一、选择题 1.(2024 陕西省)如图,在△ABC 中,∠BAC = 90°,AD 是 BC 边上 的高,E 是 BC 的中点,连接 AE,则图中的直角三角形有 (　 　 ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 第 2 题图 2.(2024 福建省)在同一平面内,将直尺、含 30°角的三角尺和木 工角尺(CD⊥DE)按如图所示方式摆放,若 AB∥CD,则∠1 的 大小为 (　 　 ) A.30° B.45° C.60° D.75° 3.(2024 黑龙江绥化)下列叙述正确的是 (　 　 ) A.顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形 B.平分弦的直径垂直于弦 C.物体在灯泡发出的光的照射下形成的影子是中心投影 D.相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距 也相等 4.(2024 辽宁省)如图,▱ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,DE ∥AC,CE∥BD,若 AC= 3,BD= 5,则四边形 OCED 的周长为 (　 　 ) A.4 B.6 C.8 D.16 第 4 题图 　 　 　 　 　 　 第 5 题图 5.(2024 四川凉山)数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残 缺圆形工件的半径,小明的解决方案是在工件圆弧上任取两点 A,B,连接 AB,作 AB 的垂直平分线 CD 交 AB 于点 D,交AB ( 于点 C,测出 AB= 40 cm,CD= 10 cm,则圆形工件的半径为 (　 　 ) A.50 cm B.35 cm C.25 cm D.20 cm 6.(2024 河北省)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程: 已知:如图,△ABC 中,AB=AC,AE 平分△ABC 的外角∠CAN,点 M 是 AC 的中点,连接 BM 并延长交 AE 于点 D,连接 CD. 求证:四边形 ABCD 是平行四边形. 证明:∵ AB=AC,∴ ∠ABC=∠3, ∵ ∠CAN=∠ABC +∠3,∠CAN=∠1 +∠2,∠1=∠2, ∴ ①　 　 　 　 , 又∵ ∠4=∠5,MA=MC, ∴ △MAD≌△MCB(②　 　 　 　 ), ∴ MD=MB,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 若以上解答过程正确,①,②应分别为 (　 　 ) A.∠1=∠3,AAS B.∠1=∠3,ASA C.∠2=∠3,AAS D.∠2=∠3,ASA 7.(2024 河南南阳)光线在不同介质中的传播速度不同,从一种介 质射向另一种介质时会发生折射.如图是一块玻璃的 a,b 两面, 且 a∥b,现有一束光线 CD 从玻璃中射向空气时发生折射,光线 变成 DE,F 为射线 CD 上一点,已知∠1= 135°,∠2= 23°,则∠3 的度数为 (　 　 ) A.20° B.22° C.32° D.35° 第 7 题图 　 　 　 　 　 　 第 8 题图 8.(2024 山东泰安)如图,Rt△ABC 中,∠ABC = 90°,分别以顶点 A,C 为圆心,大于 1 2 AC 的长为半径画弧,两弧分别相交于点 M, N,作直线 MN 分别与 BC,AC 交于点 E,F;以点 A 为圆心,任意 长为半径画弧,分别交 AB,AC 于点 H,G,再分别以点 H,G 为圆 心,大于 1 2 HG 的长为半径画弧,两弧交于点 P,作射线 AP,若射 线 AP 恰好经过点 E,则下列四个结论:①∠C = 30°;②AP 垂直 平分线段 BF;③CE= 2BE;④S△BEF = 1 6 S△ABC .其中,正确结论有 (　 　 ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 9.(2024 四川宜宾)如图,△ABC 内接于☉O,BC 为☉O 的直径, AD 平分∠BAC,交☉O 于点 D.则AB +AC AD 的值为 (　 　 ) A. 2 B. 3 C.2 2 D.2 3 第 9 题图 　 　 　 　 　 　 第 10 题图 10.(2024 四川乐山)如图,在菱形 ABCD 中,∠ABC = 60°,AB = 1, 点 P 是 BC 边上的一个动点,在 BC 的延长线上找一点 Q,使得 点 P 和点 Q 关于点 C 对称,连接 DP,AQ 交于点M.当点 P 从 B 点运动到 C 点时,点 M 的运动路径长为 (　 　 ) A. 3 6 B. 3 3 C. 3 2 D. 3 二、填空题 11.(2024 江苏连云港)如图,直线 a∥b,直线 l⊥a,∠1 = 120°,则 ∠2= 　 　 　 　 °. 第 11 题图 　 　 　 　 　 　 第 12 题图 12.(2024 重庆 B 卷)如图,在△ABC 中,AB = AC,∠A = 36°,BD 平 分∠ABC 交 AC 于点 D.若 BC= 2,则 AD 的长度为　 　 　 　 . 13.(2024 山东烟台)如图,在边长为 6 的正六边 形 ABCDEF 中,以点 F 为圆心,FB 的长为半径 作BD ( ,剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面, 则这个圆锥的底面半径为　 　 　 　 . 14.(2024 四川德阳)如图,四边形 ABCD 是矩形,△ADG 是正三角 形,点 F 是 GD 的中点,点 P 是矩形 ABCD 内一点,且△PBC 是 以 BC 为底的等腰三角形,则△PCD 的面积与△FCD 的面积的 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 37　 比值是　 　 　 　 . 第 14 题图 　 　 　 　 　 　 第 15 题图 15.(2024 四川遂宁)如图,在正方形纸片 ABCD 中,E 是 AB 边的 中点,将正方形纸片沿 EC 折叠,点 B 落在点 P 处,延长 CP 交 AD 于点 Q,连接 AP 并延长交 CD 于点 F.给出以下结论: ①△AEP为等腰三角形;②F 为 CD 的中点;③AP ∶PF = 2 ∶ 3; ④cos∠DCQ= 3 4 .其中正确结论是　 　 　 　 (填序号) . 三、解答题 16.(2024 四川自贡)如图,在△ABC 中,DE∥BC,∠EDF=∠C. (1)求证:∠BDF=∠A; (2)若∠A= 45°,DF 平分∠BDE,请直接写出△ABC 的形状. 17.(2024 湖南省)如图,在四边形 ABCD 中,AB∥CD,点 E 在边 AB 上,　 　 　 　 .请从“①∠B =∠AED;②AE =BE,AE =CD”这 两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再 解决下列问题: (1)求证:四边形 BCDE 为平行四边形; (2)若 AD⊥AB,AD= 8,BC= 10,求线段 AE 的长. 18.(2024 天津市)综合与实践活动中,要用测角仪测量天津海河 上一座桥的桥塔 AB 的高度(如图 1) .某学习小组设计了一个 方案:如图 2,点 C,D,E 依次在同一条水平直线上,DE= 36 m, EC⊥AB,垂足为 C.在 D 处测得桥塔顶部 B 的仰角(∠CDB)为 45°,测得桥塔底部 A 的俯角(∠CDA)为 6°,又在 E 处测得桥 塔顶部 B 的仰角(∠CEB)为 31°. (1)求线段 CD 的长;(结果取整数) (2)求桥塔 AB 的高度.(结果取整数,参考数据:tan31°≈0.6, tan6°≈0.1) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 38　 19.(2024 广东深圳)如图,在△ABD 中,AB =BD,☉O 为△ABD 的 外接圆,BE 为☉O 的切线,AC 为☉O 的直径,连接 DC 并延长 交 BE 于点 E. (1)求证:DE⊥BE; (2)若 AB= 5 6 ,BE= 5,求☉O 的半径. 20.(2024 内蒙古呼伦贝尔)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 F 在 边 AD 上,AB = AF,连接 BF,点 O 为 BF 的中点,AO 的延长线 交边 BC 于点 E,连接 EF. (1)求证:四边形 ABEF 是菱形; (2)若平行四边形 ABCD 的周长为 22,CE= 1,∠BAD= 120°,求 AE 的长. 21.(2024 甘肃武威)【模型建立】 (1)如图 1,已知△ABE 和△BCD,AB⊥BC,AB =BC,CD⊥BD, AE⊥BD.用等式写出线段 AE,DE,CD 的数量关系,并说明 理由; 【模型应用】 (2)如图 2,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在对角线 BD 和边 CD 上,AE⊥EF,AE=EF.用等式写出线段 BE,AD,DF 的数 量关系,并说明理由; 【模型迁移】 (3)如图 3,在正方形 ABCD 中,点 E 在对角线 BD 上,点 F 在 边 CD 的延长线上,AE⊥EF,AE=EF.用等式写出线段 BE, AD,DF 的数量关系,并说明理由. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 阶段测评四　 图形的认识 一、选择题 1.C 2.A　 【解析】∵ AB∥CD,∴ ∠CDB= 60°,∵ CD⊥DE,∴ ∠CDE= 90°,∴ ∠1 = 180° -∠CDB -∠CDE = 30°.故 选 A. 3.C　 【解析】顺次连接平行四边形各边中点不一定能 得到一个矩形,A 项错误;平分弦(非直径)的直径垂 直于弦,B 项错误;物体在灯泡发出的光的照射下形 成的影子是中心投影,C 项正确;在同圆或等圆中,相 等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦 心距也相等,D 项错误.故选 C. 4.C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ OD = 1 2 BD= 2.5,OC = 1 2 AC = 1.5,∵ DE∥AC,CE∥BD,∴ 四边形 OCED 是平行四边形,∴ DE = OC = 1.5,CE = OD = 2.5,∴ 四边形 OCED 的周长为 2×(1.5+2.5)= 8. 故选 C. 5.C　 【解析】∵ CD 是线段 AB 的垂直平分线,∴ 直线 CD 经过圆心,如图,设圆心为 O,连接 OB,则 BD = 1 2 AB= 20,OD=OC -CD=OB - 10,∵ 在 Rt△OBD 中, OD2+BD2 =OB2,∴ (OB - 10) 2+ 202 =OB2,解得 OB = 25,∴ 圆形工件的半径为 25 cm.故选 C. 6.D 　 【解析】 ∵ AB = AC,∴ ∠ABC = ∠3,∵ ∠CAN = ∠ABC+∠3,∠CAN=∠1 +∠2,∠1=∠2,∴ ∠2=∠3, 又∵ ∠4=∠5,MA =MC,∴ △MAD≌△MCB(ASA),∴ MD=MB,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ ①,②应分 别为∠2=∠3,ASA.故选 D. 7.B　 【解析】如图,标记∠4,∵ a∥ b,∴ ∠4 + ∠1 = 180°,∵ ∠1 = 135°,∴ ∠4 = 180° - ∠1 = 45°,又∵ ∠2+∠3=∠4,∠2 = 23°,∴ ∠3 =∠4 - ∠2 = 22°.故 选 B. 8.D　 【解析】由作图可知,MN 垂直平分线段 AC,∴ EA=EC,AF = FC,∴ ∠CAE =∠C,由作图可知,AE 平 分∠BAC,∴ ∠BAE =∠CAE,∵ ∠ABC = 90°,∴ ∠C = ∠CAE=∠BAE= 30°,∴ AC= 2AB,∴ AB = AF,∴ AP 垂 直平分线段 BF,①②正确;∵ AE = 2BE,EA = EC,∴ EC= 2BE,∴ S△BEF = 1 3 S△BCF,∵ AF = FC,∴ S△BCF = 1 2 S△ABC,∴ S△BEF = 1 6 S△ABC,③④正确.综上,正确结论 有①②③④,共 4 个.故选 D. 9.A　 【解析】如图,连接 BD,CD,∵ BC 是☉O 的直径, ∴ ∠BAC=∠BDC = 90°,∴ ∠ACD +∠ABD = 180°,∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠BAD = ∠CAD,∴ BD = CD,将 △ADC 绕 D 点逆时针旋转 90°,则 A,B,A′三点共线, ∴ AB+AC=AB+A′B=AA′,A′D=AD,∠A′DA =∠BDC = 90°,∴ △A′DA 为等腰直角三角形,∴ AA′ = 2 AD,∴ AA′ AD =AB +AC AD = 2 .故选 A. 10.B　 【解析】如图,过点 C 作 CH⊥AD 交 AD 于点 H, ∵ ∠ABC = 60°,四边形 ABCD 是菱形, AB = 1,∴ ∠ADC= 60°,CD = BC = AB = 1,∴ ∠DCH = 30°,∴ DH= 1 2 CD= 1 2 ,∴ AH = AD - DH = 1 2 ,∴ AH = DH,∴ CH 垂直平分 AD,∵ 点 P 和点 Q 关于点 C 对称,∴ PC = QC, ∵ ∠PCM = ∠QCM = 90°, CM = CM, ∴ △PCM≌△QCM(SAS),∴ PM = QM,∴ CM 垂直平 分 PQ,∴ 点 M 在 CH 上运动,当点 P 与点 B 重合 时,点 M 位于点 M′处,∵ ∠ABC = 60°,四边形 ABCD 是菱形,AB= 1,∴ ∠M′BC = 1 2 ∠ABC = 30°,∴ CM′ = BC· tan30° = 3 3 ,∴ 点 M 的运动路径长为 CM′的 长,为 3 3 .故选 B. 二、填空题 11.30　 【解析】如图,标记图形,∵ a∥b,∴ ∠3 =∠1 = 120°,∵ l⊥a,∴ ∠3=∠2+ 90°,∴ ∠2= 30°. 12.2　 【解析】∵ 在△ABC 中,AB=AC,∠A= 36°,∴ ∠C= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·33· ∠ABC = 180° -∠A 2 = 72°, ∵ BD 平 分 ∠ABC, ∴ ∠ABD = ∠CBD = 1 2 ∠ABC = 36°,∴ ∠A = ∠ABD, ∠BDC=∠A + ∠ABD = 72° = ∠C,∴ AD = BD,BD = BC,∴ AD=BC= 2. 13. 3 　 【解析】∵ 六边形 ABCDEF 为正六边形,且边长 为 6,∴ ∠A = ∠AFE = ∠E = (6 - 2) × 180° 6 = 120°, AB=AF=EF =DE = 6,∴ ∠AFB =∠ABF = 1 2 (180° - ∠A)= 30°,∠EFD =∠EDF = 1 2 (180° -∠E)= 30°, ∴ ∠BFD=∠AFE-∠AFB-∠EFD=60°,如图,过点 A 作 AG⊥BF 于点 G,则 BF=2FG=2AF·cos30°=2×6× 3 2 = 6 3,设圆锥的底面圆的半径为 r,则 2πr = 60π×6 3 180 ,∴ r= 3 ,即圆锥的底面半径为 3 . 14.2　 【解析】如图,分别找 BC,AD 的中点 M,N,连接 MN,GN,PD,FC,过点 F 作 FR⊥CD 交 CD 的延长线 于点 R,延长 RF,与 GN 交于点Q,则∠GQF=∠DRF= 90°,设 BC=a,CD= b,∵ △PBC 是以 BC 为底的等腰 三角形,∴ 点 P 在 MN 上,∴ 点 P 到 CD 的距离为 1 2 a,∴ S△PCD = 1 2 b × 1 2 a = 1 4 ab,∴ 点 F 是 GD 的中 点,∴ GF = DF,又∵ ∠GFQ = ∠DFR,∴ △GQF≌ △DRF(AAS),∴ QF=RF = 1 2 × 1 2 a = 1 4 a,∴ S△FCD = 1 2 CD·RF= 1 2 b × 1 4 a= 1 8 ab,∴ S△PCD S△FCD = 1 4 ab 1 8 ab = 2. 15.①②③　 【解析】如图,连接 BP,并标记角度,∵ E 为 AB 的中点,∴ AE = BE,设正方形的边长为 2a,则 AB=BC=CD= AD = 2a,AE = BE = a,由折叠得,∠1 = ∠2,BP⊥EC,PE=BE = a,∴ AE =PE,∴ △AEP 是等 腰三角形,①正确;设∠1=∠2=α,∴ ∠AEP = 180° - 2α,∴ ∠3=∠4=α,∴ ∠2=∠3,∴ AF∥EC,∴ BP⊥ AF,又∵ AE∥FC,∴ 四边形 AECF 是平行四边形,∴ CF=AE=a,∴ CF =DF = a,即 F 是 CD 的中点,∴ 在 Rt△ADF 中,AF = AD2+DF2 = 5 a,∵ tanα= tan∠1= BC BE =2a a = 2,∴ tan∠4 = BP AP = 2,∴ 设 AP = x,则 BP = 2x,∴ 在 Rt△ABP 中,AB = 5 x = 2a,∴ x = 2 5 a 5 ,∴ AP= 2 5 5 a,∴ PF = AF - AP = 3 5 5 a,∴ AP ∶PF = 2 ∶3, ②③正确;连接 EQ,∵ ∠QAE = ∠EPC= ∠QPE = 90°,AE=PE,EQ=EQ,∴ Rt△AEQ≌Rt△PEQ(HL), ∴ AQ = PQ,∴ EQ⊥AP,∴ ∠AEQ + ∠4 = 90°,又∵ ∠AQE + ∠AEQ = 90°, ∴ ∠AQE = ∠4 = α, ∴ tan∠AQE= AE AQ = 2,∴ AQ = a 2 ,∴ QD = AD - AQ = 3 2 a, ∴ 在 Rt△QDC 中,QC= QD2+CD2 = 5 2 a,∴ cos∠DCQ= CD QC = 4 5 ,④错误.综上,正确结论是①②③. 三、解答题 16.(1)证明:∵ DE∥BC,∴ ∠AED=∠C, ∵ ∠EDF=∠C,∴ ∠EDF=∠AED, ∴ DF∥AC,∴ ∠BDF=∠A; (2)△ABC 是等腰直角三角形. 【解析】∵ ∠BDF =∠A,∠A = 45°,∴ ∠BDF =∠A = 45°,∵ DF 平分∠BDE,∴ ∠BDE = 2∠BDF = 90°,∵ DE∥BC,∴ ∠B = 180° -∠BDE = 90°,∴ ∠C = 180° - ∠A-∠B=45° =∠A,∴ △ABC 是等腰直角三角形. 17.解:(1)选择①, 证明:∵ ∠B=∠AED,∴ DE∥CB, ∵ AB∥CD,∴ 四边形 BCDE 为平行四边形; 选择②, 证明:∵ AE=BE,AE=CD,∴ CD=BE, ∵ AB∥CD,∴ 四边形 BCDE 为平行四边形; (2)由(1)可知,DE=BC= 10, ∵ AD⊥AB,AD= 8, ∴ AE= DE2-AD2 = 6. 18.解:(1)设 CD= x,则 CE=CD +DE= x + 36, ∵ 在 Rt△BCD 中,∠CDB= 45°, ∴ BC=CD= x, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·43· ∵ 在 Rt△BCE 中,∠CEB= 31°, ∴ BC=CE·tan∠CEB=(x + 36)·tan31°, ∴ x=(x + 36)·tan31°,解得 x≈54. 答:线段 CD 的长约为 54 m; (2)∵ 在 Rt△ACD 中,tan∠CDA= AC CD ,∠CDA= 6°, ∴ AC=CD·tan∠CDA≈54 × tan6°≈5.4, ∴ AB=AC +BC≈5.4 + 54≈59. 答:桥塔 AB 的高度约为 59 m. 19.(1)证明:连接 BO 并延长,交 AD 于点 H,连接 OD, 如图所示: ∵ AB=BD,OA=OD, ∴ BO 垂直平分 AD, ∴ BH⊥AD,AH=DH, ∵ BE 为☉O 的切线,∴ BH⊥BE, ∵ AC 为☉O 的直径,∴ ∠ADC= 90°, ∴ 四边形 BHDE 为矩形,∴ DE⊥BE; (2) 解:由 (1) 可知,四边形 BHDE 为矩形,BH⊥ AD,AH=DH, ∴ AH=DH=BE= 5, ∴ BH= AB2-AH2 = 5 5 , 设☉O 的半径为 r,则 OA=OB= r,OH= 5 5 - r, ∴ 在 Rt△AOH 中,r2 = 52+(5 5 - r) 2 , 解得 r= 3 5 ,即☉O 的半径为 3 5 . 20.(1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,即 AF∥BE, ∴ ∠AFB=∠EBF,∠FAE=∠BEA, ∵ O 为 BF 的中点, ∴ FO=BO, ∴ △AOF≌△EOB(AAS), ∴ FA=BE, ∴ 四边形 ABEF 是平行四边形, 又∵ AB=AF, ∴ 四边形 ABEF 是菱形; (2)解:∵ 平行四边形 ABCD 中,AD=BC,AF=BE, ∴ DF=CE= 1, ∵ 平行四边形 ABCD 的周长为 22, ∴ 菱形 ABEF 的周长为 22 - 2= 20, ∴ AB= 20 ÷ 4= 5, ∵ 四边形 ABEF 是菱形, ∴ ∠BAE= 1 2 ∠BAD= 1 2 × 120° = 60°,AB=BE, ∴ △ABE 是等边三角形,∴ AE=AB= 5. 21.解:(1)DE +CD=AE.理由如下: ∵ CD⊥BD,AE⊥BD,AB⊥BC, ∴ ∠ABC=∠D=∠AEB= 90°, ∴ ∠ABE +∠CBD=∠C +∠CBD= 90°, ∴ ∠ABE=∠C, ∵ AB=BC,∴ △ABE≌△BCD(AAS), ∴ BE=CD,AE=BD, ∴ DE=BD -BE=AE -CD, ∴ DE +CD=AE; (2)AD= 2BE +DF.理由如下: 如图 2,过点 E 分别作 EM⊥AD 于点 M,EN⊥CD 于 点 N, ∵ BD 是正方形 ABCD 的对角线, ∴ ∠ADB=∠CDB=45°,BD 平分∠ADC,∠ADC=90°, ∴ 2AD= 2CD=BD,即 DE=BD -BE= 2AD -BE, ∵ EN⊥CD,EM⊥AD,∴ EM=EN, ∵ AE=EF,∴ Rt△AEM≌Rt△FEN(HL), ∴ AM=FN, ∵ EM=EN,EN⊥CD,EM⊥AD,∠ADC= 90°, ∴ 四边形 EMDN 是正方形, ∴ DE 是正方形 EMDN 的对角线,MD=ND, ∴ MD=ND= 2 2 DE,NF=ND -DF=MD -DF, ∴ NF=AM=AD -MD=AD - 2 2 DE,NF= 2 2 DE -DF, ∴ AD - 2 2 DE= 2 2 DE -DF,即 AD= 2DE -DF, ∵ DE= 2AD -BE, ∴ AD= 2 ( 2AD -BE) -DF,即 AD= 2BE +DF; (3)AD= 2BE -DF.理由如下: 如图 3,过点 A 作 AH⊥BD 于点 H,过点 F 作 FG⊥ BD,交 BD 的延长线于点 G, 则∠AHE=∠G=∠AEF= 90°, ∴ ∠AEH +∠HAE=∠AEH +∠GEF= 90°, ∴ ∠HAE=∠GEF, 又∵ AE=EF,∴ △HAE≌△GEF(AAS), ∴ HE=GF, ∵ 在正方形 ABCD 中,∠BDC= 45°, ∴ ∠FDG=∠BDC= 45°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·53· ∴ △DFG 是等腰直角三角形, ∴ FG= 2 2 DF,∴ HE=FG= 2 2 DF, 同理 HD= 2 2 AD, ∴ DE=HD -HE= 2 2 AD - 2 2 DF, ∴ BD -BE=DE= 2 2 AD - 2 2 DF, ∵ BD= 2AD,∴ 2AD -BE= 2 2 AD - 2 2 DF, ∴ AD= 2BE -DF. 专题十六　 尺规作图、视图和投影 考点 1　 尺规作图 1.D　 【解析】根据作图可知,∠AOM =∠B,A 项不符合 题意;∵ ∠AOM =∠B,∴ OM∥BC,∴ ∠OMC +∠C = 180°,B 项不符合题意;∵ O 是边 AB 的中点,∴ AO = BO,∵ OM∥BC,∴ AM CM = AO BO = 1,∴ AM =CM,C 项不符 合题意;OM = 1 2 AB 不一定成立,D 项符合题意.故 选 D. 2.D　 【解析】第一个图为尺规作角平分线的方法,OP 为 ∠AOB 的平分线;第二个图中,由作图可知,OC =OD, OA= OB,∴ AC = BD,∵ ∠AOD = ∠BOC,∴ △AOD≌ △BOC( SAS ), ∴ ∠OAD = ∠OBC, 又 ∵ AC = BD, ∠APC = ∠BPD,∴ △APC≌△BPD (AAS),∴ AP = BP,又∵ OA=OB,OP =OP,∴ △AOP≌△BOP(SSS), ∴ ∠AOP=∠BOP,∴ OP 为∠AOB 的平分线;第三个 图中,由作图可知,∠ACP =∠AOB,OC = CP,∴ CP∥ BO,∠COP = ∠CPO,∴ ∠CPO = ∠BOP,∴ ∠COP = ∠BOP,∴ OP 为∠AOB 的平分线;第四个图中,由作 图可知,OP⊥CD,OC=OD,∴ OP 为∠AOB 的平分线. 综上,射线 OP 为∠AOB 的平分线的有 4 个.故选 D. 3.6　 【解析】由作图可知,BP 平分∠ABC,∵ AD 是边 BC 上的高,MN⊥AB,MN = 2,∴ MD =MN = 2,∵ AD = 4MD,∴ AD= 8,∴ AM=AD -MD= 6. 4.2　 【解析】由作图可知,点 H 在第一象限的角平分线 上,∴ 点 H 的横、纵坐标相等且为正数,∴ 2a - 1 = a + 1,解得 a= 2. 5.解:等腰直角△ABC 如图所示: 6.解:(1)如图 1,BD 即为所求; 图 1 (2)如图 2,BM 即为所求. 图 2 7.(1)解:如图,射线 CM 及 CM 与 BE 的交点 F 即为 所求; (2)证明:由(1)可知,∠ECF=∠A,∴ CF∥AB, ∵ BE∥DC, ∴ 四边形 CDBF 是平行四边形, ∵ CD 是 Rt△ABC 中斜边 AB 上的中线, ∴ CD=BD, ∴ 四边形 CDBF 是菱形. 8.(1)解:如图 1,AD 即为所求; (2)证明:如图 2,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E, ∵ AD 是∠CAB 的平分线, DC⊥AC,DE⊥AB, ∴ DE=DC, ∵ DC 为半径 ∴ DE 是半径, ∴ AB 与☉D 相切. 考点 2　 三视图的判定与还原 1.A 2.D　 【解析】从左边看可以确定左视图一共有 3 列,每 列上小正方体的个数从左往右依次分别为 3、1、1.故 选 D. 3.B　 【解析】由题意可知,图 3 是从“四角亭”上方看到 的,即为俯视图.故选 B. 4.D 5.B　 【解析】由图可知,该几何体的底层的小正方体的 个数最少为 1 + 1 + 1= 3,第二层的小正方体的个数为 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·63·