阶段测评2方程与不等式-2025年中考数学真题分类必刷

　 　 12　 阶段测评二　 方程与不等式 一、选择题 1.(2024 贵州省)小红学习了等式的性质后,在甲、乙两台天平的 左右两边分别放入“ ”“ ”“ ”三种物体,如图所示,天平都保 持平衡.若设“ ”与“ ”的质量分别为 x,y,则下列关系式正确 的是 (　 　 ) A.x= y　 　 　 　 B.x= 2y　 　 　 　 C.x= 4y　 　 　 　 D.x= 5y 2.(2024 内蒙古赤峰)解不等式组 3x - 2 < 2x ① 2(x + 1) ≥ x - 1 ②{ 时,不等 式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是 (　 　 ) A. B. C. D. 3.(2024 黑龙江龙东)关于 x 的一元二次方程(m- 2)x2+ 4x+ 2= 0 有两个实数根,则 m 的取值范围是 (　 　 ) A.m≤4 B.m≥4 C.m≥ -4 且 m≠2 D.m≤4 且 m≠2 4.(2024 山东威海) 《九章算术》是我国古老的数学经典著作,书 中提到这样一道题目:以绳测井,若将绳三折测之,绳多四尺; 若将绳四折测之,绳多一尺.绳长、井深各几何? 题目大意是:用 绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份,一份绳长比井深 多 4 尺;如果将绳子折成四等份,一份绳长比井深多 1 尺.绳长、 井深各是多少尺? 若设绳长 x 尺,井深 y 尺,则符合题意的方程 组是 (　 　 ) A. 3x - y= 4 4x - y= 1{ B. 3x + 4= y 4x + 1= y{ C. x 3 - y= 4 x 4 - y= 1 ì î í ï ï ï ï ïï D. x 3 + 4= y x 4 + 1= y ì î í ï ï ï ï ïï 5.(2024 四川泸州)分式方程 1 x - 2 - 3= 2 2 - x 的解是 (　 　 ) A.x= - 7 3 B.x= - 1 C.x= 5 3 D.x= 3 6.(2024 四川遂宁)关于 x 的分式方程 2 x - 1 = 1 - m x - 1 的解为正数, 则 m 的取值范围 (　 　 ) A.m> - 3 B.m> - 3 且 m≠-2 C.m< 3 D.m< 3 且 m≠-2 7.(2024 四川乐山)若关于 x 的一元二次方程 x2+2x+p= 0 的两根 为 x1,x2,且 1 x1 + 1 x2 = 3,则 p 的值为 (　 　 ) A. - 2 3 B. 2 3 C. - 6 D.6 8.(2024 四川宜宾)某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售, 其中每个大箱装 4 千克荔枝,每个小箱装 3 千克荔枝.该果农现 采摘有 32 千克荔枝,根据市场销售需求,大、小箱都要装满,则 所装的箱数最多为 (　 　 ) A.8 箱 B.9 箱 C.10 箱 D.11 箱 9.(2024 内蒙古通辽)如图,小程的爸爸用一段 10 m 长的铁丝网 围成一个一边靠墙(墙长 5.5 m)的矩形鸭舍,其面积为 15 m2, 在鸭舍侧面中间位置留一个 1 m 宽的门(由其他材料制成),则 BC 的长为 (　 　 ) A.5 m 或 6 m B.2.5 m 或 3 m C.5 m D.3 m 二、填空题 10.(2024 浙江省)若 2 x - 1 = 1,则 x= 　 　 　 　 . 11.(2024 山东烟台)关于 x 的不等式m- x 2 ≤1-x 有正数解,m 的 值可以是　 　 　 　 (写出一个即可) . 12.(2024 四川凉山)已知 y2 - x = 0,x2 - 3y2 + x - 3 = 0,则 x 的值 为　 　 　 　 . 13.(2024 江苏盐城)中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载 的“绳索量竿”问题,大意是:现有一根竿子和一条绳索,用绳 索去量竿子,绳索比竿子长 5 尺;若将绳索对折去量竿子,绳 索就比竿子短 5 尺,问绳索、竿子各有多长? 该问题中的竿子 长为　 　 　 　 尺. 14.(2024 四川成都)若 m,n 是一元二次方程 x2- 5x+ 2= 0 的两个 实数根,则 m+(n - 2) 2 的值为　 　 　 　 . 三、解答题 15.(2024 江苏常州)解方程组和不等式组: (1) x - y= 0 3x + y= 4{ ; (2) 3x - 6 < 0 x - 1 2 < x ì î í ï ï ï ï . 16.(2024 广东广州)关于 x 的方程 x2-2x+4-m= 0 有两个不相等 的实数根. (1)求 m 的取值范围; (2)化简: 1 -m2 m- 3 ÷m- 1 2 ·m - 3 m+ 1 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 13　 17.(2024 四川泸州)某商场购进 A,B 两种商品,已知购进 3 件 A 商品比购进 4 件 B 商品的费用多 60 元;购进 5 件 A 商品和 2 件 B 商品的总费用为 620 元. (1)A,B 两种商品每件的进价各为多少元? (2)该商场计划购进 A,B 两种商品共 60 件,且购进 B 商品的 件数不少于 A 商品件数的 2 倍.若 A 商品按每件 150 元销 售,B 商品按每件 80 元销售,为满足销售完 A,B 两种商品 后获得的总利润不低于 1 770 元,则购进 A 商品的件数最 多为多少? 18.(2023 湖南郴州)随旅游旺季的到来,某景区游客人数逐月增 加,2 月份游客人数为 1.6 万人,4 月份游客人数为 2.5 万人. (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率; (2)预计 5 月份该景区游客人数会继续增长,但增长率不会超 过前两个月的月平均增长率.已知该景区 5 月 1 日至 5 月 21 日已接待游客 2.125 万人,则 5 月份后 10 天日均接待 游客人数最多是多少万人? 19.(2024 广西)综合与实践 在综合与实践课上,数学兴趣小组通过洗一套夏季校服,探索 清洗衣物的节约用水策略. 【洗衣过程】 步骤一:将校服放进清水中,加入洗衣液,充分浸泡揉搓后 拧干; 步骤二:将拧干后的校服放进清水中,充分漂洗后拧干.重复操 作步骤二,直至校服上残留的洗衣液浓度达到洗衣目标. 假设第一次漂洗前校服上残留的洗衣液浓度为 0.2% ,每次拧 干后校服上都残留 0.5 kg 水. 浓度关系式:d后 = 0.5d前 0.5 +w .其中 d前、d后 分别为单次漂洗前、后校 服上残留的洗衣液浓度;w 为单次漂洗所加清水量(单位:kg) . 【洗衣目标】 经过漂洗使校服上残留的洗衣液浓度不高于 0.01% . 【动手操作】 请按要求完成下列任务: (1)如果只经过一次漂洗,使校服上残留的洗衣液浓度降为 0.01% ,需要多少清水? (2)如果把 4 kg 清水均分,进行两次漂洗,是否能达到洗衣 目标? (3)比较(1)和(2)的漂洗结果,从洗衣用水策略方面,说说你 的想法. 20.(2024 山东威海)定义:我们把数轴上表示数 a 的点与原点的 距离叫做数 a 的绝对值.数轴上表示数 a,b 的点 A,B 之间的距 离 AB=a - b(a≥b) .特别的,当 a≥0 时,表示数 a 的点与原点 的距离等于 a - 0.当 a < 0 时,表示数 a 的点与原点的距离等于 0 - a. 应用:如图,在数轴上,动点 A 从表示 - 3 的点出发,以 1 个单 位 /秒的速度沿着数轴的正方向运动.同时,动点 B 从表示 12 的点出发,以 2 个单位 /秒的速度沿着数轴的负方向运动. (1)经过多长时间,点 A,B 之间的距离等于 3 个单位长度? (2)求点 A,B 到原点的距离之和的最小值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 x)本, 由题意,得 0.8x + 1.2(90 - x)= 84, 解得 x= 60, ∴ 90 - x= 30. 答:书架上有数学书 60 本,语文书 30 本; (2)设数学书还可以摆 m 本, 根据题意,得 1.2 × 10 + 0.8m≤84, 解得 m≤90, ∴ 数学书最多还可以摆 90 本. 5.解:(1) 设 A 种水果购进 x 千克,B 种水果购进 y 千克, 根据题意,得 x + y= 1 500 10x + 15y= 17 500{ ,解得 x= 1 000 y= 500{ . 答:A 种水果购进 1 000 千克, B 种水果购进 500 千克; (2)设 A 种水果的销售单价为 a 元 / kg, 根据题意,得 1 000 ×(1 - 4% )a≥(1 + 20% ) × 1 000 × 10, 解得 a≥12.5, ∴ A 种水果的最低销售单价为 12.5 元 / kg. 6.解:(1)设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的 进价分别是 x 元和 y 元, 则 3x + 2y= 420 4x + 5y= 910{ ,解得 x= 40 y= 150{ . 答:特级鲜品猴头菇每箱的进价为 40 元,特级干品猴 头菇每箱的进价为 150 元; (2)设商店计划购进特级鲜品猴头菇 m 箱,则购进特 级干品猴头菇(80 -m)箱, 由题意,得 (50 - 40)m +(80 -m)(180 - 150) ≥1 560 80 -m≤40{ , 解得 40≤m≤42, ∵ m 为正整数,∴ m 的值为 40,41,42, ∴ 该商店有三种进货方案: ①购进特级鲜品猴头菇 40 箱,则购进特级干品猴头 菇 40 箱; ②购进特级鲜品猴头菇 41 箱,则购进特级干品猴头 菇 39 箱; ③购进特级鲜品猴头菇 42 箱,则购进特级干品猴头 菇 38 箱; (3)进货方案是购进特级鲜品猴头菇 40 箱,特级干 品猴头菇 40 箱. 【解析】当购进特级鲜品猴头菇 40 箱,特级干品猴头 菇 40 箱时,根据题意,得(40 - 1) × (50 - 40) + (40 - 1) × (180 - 150) + 50· a 10 - 40 æ è çç ö ø ÷÷ + 180· a 10 - 150 æ è çç ö ø ÷÷ = 1 577,解得 a=9;当购进特级鲜品猴头菇 41 箱,特级干 品猴头菇 39 箱时,根据题意,得(41 - 1) × (50 - 40) + (39-1) ×(180-150) + 50· a 10 -40 æ è çç ö ø ÷÷ + 180· a 10 -150 æ è çç ö ø ÷÷ = 1 577,解得 a≈9.9(舍去);当购进特级鲜品猴头菇 42 箱,特级干品猴头菇 38 箱时,根据题意,得(42 - 1) × (50 - 40) + (38 - 1) × (180 - 150) + 50· a 10 -40 æ è çç ö ø ÷÷ + 180· a 10 - 150 æ è çç ö ø ÷÷ = 1 577,解得 a≈10.7(舍去) .∴ 商店 的进货方案是购进特级鲜品猴头菇 40 箱,特级干品 猴头菇 40 箱. 阶段测评二　 方程与不等式 一、选择题 1.C　 2.C　 3.D　 4.C　 5.D 6.B　 【解析】方程两边同时乘以 x-1,得 2= x-1-m,解 得 x=m + 3,∵ 关于 x 的分式方程 2 x - 1 = 1 - m x - 1 的解 为正数,∴ m + 3>0,∴ m> -3,又∵ x≠1,即 m+3≠1, ∴ m≠- 2,∴ m 的取值范围为 m > - 3 且 m≠- 2.故 选 B. 7.A　 【解析】∵ x1 + x2 = - 2 1 = - 2,x1x2 = p,∴ 1 x1 + 1 x2 = x1+ x2 x1x2 = - 2 p ,∵ 1 x1 + 1 x2 = 3,∴ - 2 p = 3,∴ p = - 2 3 .故 选 A. 8.C　 【解析】设用 x 个大箱,y 个小箱,则 4x + 3y = 32, ∴ x= 8 - 3 4 y,∴ 方程的正整数解为 x= 5 y= 4{ 或 x= 2 y= 8{ ,∴ 所 装的箱数最多为 2 + 8= 10(箱) .故选 C. 9.C　 【解析】设 CD 的长为 x,则 BC 的长为 10 - 2x + 1, 由题意,得 x(10 - 2x + 1)= 15,解得 x = 3 或 x = 5 2 ,当 x= 5 2 时,BC 的长为 10 - 2 × 5 2 + 1 = 6 > 5.5,不符合题 意;当 x= 3 时,BC 的长为 10 - 2 × 3 + 1 = 5 < 5.5,∴ BC 的长为 5 m.故选 C. 二、填空题 10.3 11.0(答案不唯一)　 【解析】移项并合并同类项,得 x 2 ≤ 1 -m,系数化为 1,得 x≤2 - 2m,∵ 关于 x 的不等式 m - x 2 ≤1 - x有正数解,∴ 2- 2m > 0,解得 m < 1,∴ m 的值可以是 0. 12.3　 【解析】∵ y2-x=0,∴ y2 =x,将 y2 =x 代入 x2- 3y2+ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·7· x-3=0,得 x2-3x+x-3= 0,即 x2-2x-3= 0,解得x= 3 或 x= - 1,∵ y2 = x≥0,∴ x= 3. 13.15　 【解析】设绳索长 x 尺,竿子长 y 尺,由题意,得 x= y + 5 x 2 = y - 5 ì î í ï ï ï ï ,解得 x= 20 y= 15{ ,∴ 竿子的长为 15 尺. 14.7　 【解析】∵ m,n 是一元二次方程 x2 - 5x + 2 = 0 的 两个实数根,∴ m +n= 5,n2- 5n + 2= 0,∴ n2 = 5n - 2, ∴ m+(n - 2) 2 =m+n2-4n+4=m+5n-2-4n+4=m+ n + 2= 5 + 2= 7. 三、解答题 15.解:(1) x - y= 0① 3x + y= 4②{ , ①+②,得 4x= 4,解得 x= 1, 将 x= 1 代入①,得 1 - y= 0,解得 y= 1, ∴ 方程组的解为 x= 1 y= 1{ ; (2)解不等式 3x - 6 < 0,得 x < 2, 解不等式 x - 1 2 < x,得 x > - 1, ∴ 不等式组的解集为 - 1 < x < 2. 16.解:(1)∵ 关于 x 的方程 x2- 2x + 4 -m = 0 有两个不 相等的实数根, ∴ Δ=( - 2) 2- 4 × 1 ×(4 -m) > 0,解得 m > 3, ∴ m 的取值范围为 m > 3; (2)∵ m > 3, ∴ 1 -m2 m - 3 ÷m - 1 2 ·m - 3 m + 1 = -(m + 1)(m - 1) m - 3 · 2 m - 1 · m - 3 m + 1 = - 2. 17.解:(1)设 A,B 两种商品每件的进价各为 x 元,y 元, 由题意,得 3x - 4y= 60 5x + 2y= 620{ , 解得 x= 100 y= 60{ . 答:A,B 两种商品每件的进价各为 100 元,60 元; (2)设购进 A 商品 m 件,则购进 B 商品(60 -m)件, 由题意,得 (150 - 100)m +(80 - 60)(60 -m) ≥1 770 60 -m≥2m{ , 解得 19≤m≤20, ∵ m 为整数,∴ m 的最大值为 20. 答:购进 A 商品的件数最多为 20 件. 18.解:(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增 长率为 x, 由题意,得 1.6(1 + x) 2 = 2.5, 解得 x= 0.25= 25% (负值舍去) . 答:这两个月中该景区游客人数的月平均增长率 为 25% ; (2)设 5 月份后 10 天日均接待游客人数是 y 万人, 由题意,得 2.125+10y≤2.5×(1+25% ), 解得 y≤0.1, ∴ 5 月份后 10 天日均接待游客人数最多是 0. 1 万人. 19.解:(1)将 d后 = 0.01% ,d前 = 0.2%代入 d后 = 0.5d前 0.5 +w , 得 0.01% = 0.5 × 0.2% 0.5 +w ,解得 w= 9.5, 经检验,w= 9.5 符合题意, ∴ 只经过一次漂洗,使校服上残留的洗衣液浓度降 为 0.01% ,需要 9.5 kg 清水; (2)第一次漂洗: 将 w= 2,d前 = 0.2%代入 d后 = 0.5d前 0.5 +w , 得 d后 = 0.5 × 0.2% 0.5 + 2 = 0.04% , 第二次漂洗: 将 w= 2,d前 = 0.04%代入 d后 = 0.5d前 0.5 +w , 得 d后 = 0.5 × 0.04% 0.5 + 2 = 0.008% , ∵ 0.008% < 0.01% , ∴ 进行两次漂洗,能达到洗衣目标; (3)由上述计算可知,经过两次漂洗既能达到洗衣 目标,还能大幅度节约用水, ∴ 从洗衣用水策略方面来讲,采用两次漂洗的方法 值得推广学习. 20.解:(1)设经过 x 秒,则点 A 表示的数为 - 3 + x,点 B 表示的数为 12 - 2x, 根据题意,得 12 - 2x -( - 3 + x) = 3, 解得 x= 4 或 x= 6. 答:经过 4 秒或 6 秒,点 A,B 之间的距离等于 3 个单 位长度; (2) 由 ( 1) 可知,点 A, B 到原点的距离之和为 - 3 + x + 12 - 2x , ①当 x < 3 时, - 3 + x + 12 - 2x = 3 - x + 12 - 2x= 15 - 3x, ∵ x < 3, ∴ 15 - 3x > 6,即 - 3 + x + 12 - 2x > 6; ②当 3≤ x≤6 时, - 3 + x + 12 - 2x = x - 3 + 12 - 2x= 9 - x, ∵ 3≤ x≤6, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·8· ∴ 3≤9 - x≤6,即 3≤ - 3 + x + 12 - 2x ≤6; ③当 x > 6 时, - 3 + x + 12 - 2x = x - 3 + 2x - 12= 3x - 15, ∵ x > 6, ∴ 3x - 15 > 3,即 - 3 + x + 12 - 2x > 3. 综上, - 3 + x + 12 - 2x ≥3. ∴ 点 A,B 到原点的距离之和的最小值为 3. 专题八　 平面直角坐标系与函数 考点 1　 平面直角坐标系中点的坐标特征 1.A　 2.C　 3.B　 4.D 5.C　 【解析】 ∵ 点 P (2a - 4,a + 3) 在第二象限,∴ 2a - 4 < 0 a + 3 > 0{ ,∴ - 3 <a < 2,A 项错误;∵ 点 P(2a - 4,a + 3)为“整点”,- 3 <a < 2,∴ 整数 a 为 - 2, - 1,0,1,∴ 点 P 的个数为 4 个,B 项错误;由整数 a 的值可知, “整点”P 为( - 8,1),( - 6,2),( - 4,3),( - 2,4),∵ 1 - 8 = - 1 8 , 2- 6 = - 1 3 , 3- 4 = - 3 4 , 4- 2 = - 2,∴ “超整点” P 为( - 2,4),仅有 1 个,C 项正确;∵ 点 P(2a - 4, a + 3)为“超整点”,∴ 点 P 的坐标为( - 2,4),∴ 点 P 到两坐标轴的距离之和为 2 + 4 = 6 < 10,D 项错误. 故选 C. 6.D　 【解析】如图,过点 A 作 AM⊥OC 于点 M,过点 B 作 BN⊥OC 于点 N,∵ O(0,0),A(1,2),B(3,3),C (5,0),∴ OM= 1,AM= 2,ON =BN = 3,OC = 5,∴ MN = ON-OM= 2,CN=OC-ON= 2,∴ 四边形 OABC 的面积 为 S△AOM+S梯形AMNB+S△BCN = 1 2 ×1×2+ 1 2 ×(2+3) ×2+ 1 2 × 3 × 2= 9.故选 D. 7.(3,30°) 考点 2　 函数自变量的取值范围 1.C　 2.x≥3 考点 3　 函数图象的判断与分析 1.C　 2.C 3.D　 【解析】由题意可知,下层圆柱的底面半径较大, 水面上升较快,上层圆柱的底面半径较小,水面上升 较慢,再往上则水面上升更慢,所以对应图象是第一 段比较陡,第二段比第一段缓,第三段比第二段缓.故 选 D. 4.C　 【解析】由图可知,体育场离该同学家 2.5 千米, ①正确;该同学在体育场锻炼了 30 - 15 = 15(分钟), ②正确;该同学跑步的平均速度为 2.5 ÷ 15 = 1 6 (千 米 / 分钟),步行的平均速度为 2.5 ÷ (65 - 30)= 1 14 (千 米 / 分钟),∴ 跑步的平均速度是步行的平均速度的 1 6 ÷ 1 14 = 7 3 倍,③错误;若该同学骑行的平均速度是跑 步的平均速度的 1.5 倍,则该同学骑行的平均速度为 1.5 × 1 6 = 1 4 (千米 / 分钟),∴ a = 1 4 ×(103 - 88)= 3.75, ④正确.综上,正确结论有①②④,共 3 个.故选 C. 5.D　 【解析】由图可知,加入絮凝剂的体积为 0.5 mL 时,净水率最大,之后净水率降低,A 项错误;未加入 絮凝剂时,净水率为 12.48% ,B 项错误;当絮凝剂的体 积为 0.3 mL 时,净水率的增加量为 84.60% - 76.54% = 8.06% ,当絮凝剂的体积为 0.4 mL 时,净水率的增加 量为 86.02% - 84.60% = 1.42% ,故絮凝剂的体积每增 加 0.1 mL,净水率的增加量不相等,C 项错误;加入絮 凝剂的体积是 0.2 mL 时,净水率达到 76.54% ,D 项正 确.故选 D. 6.D　 【解析】“配速”是每行进 1 km 所用的时间,故由 图可知,第 1 km 所用的时间最长,A 项正确;第 5 km 所用时间最短,由“平均速度 = 路程 ÷ 时间” 得,第 5 km的平均速度最大,B 项正确;第 2 km 所用时间与 第 3 km 所用时间一致,故第 2 km 和第 3 km 的平均 速度相同,C 项正确;前 2 km 所用时间大于最后 2 km 所用时间,故前 2 km 的平均速度小于最后 2 km 的平 均速度,D 项错误.故选 D. 7.A　 【解析】如图,标记图 形,由题意可知,A,B 两地 之间的距离为 20 km,两 车行驶了 4 h,同时到达 C 地,在 0 ~ 2 h 内,两车同 向运动,当 x= 2,即点 D 时,两车距离发生改变,此时 乙车休息,E 点的意义是两车相遇,F 点的意义是乙 车休息后再出发,∴ 乙车休息了1 h,D 项错误;设甲车 的速度为 a km / h,乙车的速度为 b km / h,根据题意可 知,乙车休息后两车同时到达 C 地,∴ 甲车的速度比 乙车的速度慢,即 a <b,∵ 2b+20-2a=40,即 b-a=10, 在 DE - EF 时,乙车不动,则甲车的速度是40 +20 1 = 60(km / h),∴ 乙车的速度为 60 + 10= 70(km / h),A,C 两地之间的距离为 4 × 60 = 240(km),B、C 两项错误; 设 x h 两车相遇,依题意,得 60x= 2 × 70 + 20,解得 x= 8 3 ,即 8 3 h 时,两车相遇,A 项正确.故选 A. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·9·