阶段测评1数与式-2025年中考数学真题分类必刷

2.A　 【解析】∵ A xy + y2 - y x2+ xy 的结果为 x - y xy ,∴ y x2+ xy + x -y xy = A xy +y2 ,∴ y 2 xy(x +y) + (x -y)(x +y) xy(x +y) = x 2 xy(x + y) = x xy + y2 = A xy + y2 ,∴ A= x.故选 A. 3.解:(1)原式= 16 - 10 + 2 2 + 3 - 2 = 9 + 2 ; (2)原式= a a + 1 ·(a + 1)(a - 1) a2 + 1 a =a - 1 a + 1 a = 1. 4.解:(1)原式= x2- 2xy + x2+ 2xy + y2 = 2x2+ y2; (2)原式=a +1 a ÷(a +1)(a -1) a(a +1) = a +1 a · a(a +1) (a +1)(a -1) = a + 1 a - 1 . 考点 3　 分式的化简求值 1.C　 2.3 3.1　 【解析】原式= b 2+ 1 + a2+ 1 ( a2+ 1) ( b2+ 1) = a 2+ b2+ 2 a2b2+ a2+ b2+ 1 = a2+ b2+ 2 (ab) 2+a2+ b2+ 1 ,∵ ab = 1,∴ 原式 = a 2+ b2+ 2 12+a2+ b2+ 1 = a2+ b2+ 2 a2+ b2+ 2 = 1. 4.解:原式=(x + 2)(x - 2) x2 · x x + 2 + 3 x = x - 2 x + 3 x = x + 1 x , 当 x= 3 时,原式= 3 + 1 3 = 4 3 . 5.解:原式= 3a - 6b + 3b (a - b) 2 = 3(a - b) (a - b) 2 = 3 a - b , ∵ a - b - 1= 0,∴ a - b= 1, ∴ 原式= 3 1 = 3. 6.解:原式= x xy - y xy æ è çç ö ø ÷÷ ÷ x2 xy - y 2 xy æ è çç ö ø ÷÷ = x - y xy ÷ x 2- y2 xy = x - y xy · xy (x + y)(x - y) = 1 x + y , ∵ x= 2 - y,∴ x + y= 2, ∴ 原式= 1 2 . 7. 解: 原 式 = a a - b ÷ (a + b)(a - b) (a - b) 2 - a - b a + b = a a - b · (a - b) 2 (a + b)(a - b) - a - b a + b = a a + b - a - b a + b = b a + b , ∵ b - 2a= 0,∴ b= 2a, ∴ 原式= 2a a + 2a = 2 3 . 8.解:原式 = (m - 1) 2 (m + 1)(m - 1) ÷ m 2 m2+m -m 2+m m2+m æ è ç ç ö ø ÷ ÷ = m - 1 m + 1 ÷ -m m2+m æ è ç ç ö ø ÷ ÷ = m - 1 m + 1 · -m(m + 1) m é ë ê êê ù û ú úú = -m + 1, 当 m=cos60° = 1 2 时,原式= - 1 2 + 1= 1 2 . 9.解:原式=2x -6 x ÷x 2-6x +9 x =2(x -3) x · x (x -3)2 = 2 x -3 , ∵ x≠0 且 x -3≠0, ∴ x= - 1 或 x= 1 或 x= 2, 当 x= - 1 时,原式= 2- 1 - 3 = - 1 2 ; 或当 x= 1 时,原式= 2 1 - 3 = - 1; 或当 x= 2 时,原式= 2 2 - 3 = - 2. 10.解:(1)③; (2)正确的解答过程为 2x x2-4 - 1 x -2 = 2x (x +2)(x -2) - 1 x -2 = 2x (x +2)(x -2) - x+2 (x+2)(x-2) = 2x-x-2 (x+2)(x-2) = x-2 (x+2)(x-2) = 1 x + 2 , 当 x= 3 时,原式= 1 5 . 阶段测评一　 数与式 一、选择题 1.A　 2.A　 3.A　 4.C　 5.B　 6.B 7.A　 【解析】根据题意可知,8 × 2a = (2b) 8,∴ 23 × 2a = 28b,即 23+ a = 28b,∴ 3 +a= 8b.故选 A. 8.C　 【解析】根据题意可知,第一天织布 5 尺,第 30 天 织布 1 尺,∴ 一共织布 1 2 × (1 + 5) × 30 = 90(尺) .故 选 C. 9.A　 【解析】∵ 数轴上点 A,M,B 分别表示数 a,a + b, b,∴ AM=a+b-a= b,BM= b-(a+b)= -a,∵ AM>BM, ∴ 原点在点 A,M 之间,∴ a < 0,b > 0 且 a < b ,∴ a +b > 0,a-b<0,ab<0, a -b<0,∴ 运算结果一定是 正数的是 a + b.故选 A. 10.D　 【解析】观察数据可知,每 3 个数为一组,且每一 组前 2 个数为奇数,第 3 个数为偶数,∵ 2 024 ÷ 3 = 674……2,∴ 奇数有 674 × 2 + 2= 1 350(个) .故选 D. 二、填空题 11.2　 12.2(x + 2)(x - 2)　 13.220 14.- 1 x 　 【解析】∵ a1 = x + 1,∴ a2 = 1 1 -a1 = 1 1 -(x + 1) = - 1 x ,∴ a3 = 1 1 -a2 = 1 1 - - 1 x æ è çç ö ø ÷÷ = x x + 1 ,∴ a4 = 1 1 -a3 = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·2· 1 1 - x x + 1 = 1 1 x + 1 = x + 1,…,∴ 每三个数为一个循环,∵ 2 024 ÷ 3= 674……2,∴ a2 024 =a2 = - 1 x . 15.60;C-A-B-D　 【解析】由表可知,按“A-B-C-D” 的先后顺序彩排,则节目 D 的演员的候场时间为 30 +10 + 20 = 60(min);根据题意可知,节目 A 和 C 的演员人数一样,彩排时长不一样,∴ 时长长的节目 应该放在后面,即 C 在 A 的前面,∵ 节目 B 和 D 的 彩排时长一样,人数不一样,∴ 人数少的应该往后 排,即 B 在 D 的前面,∴ ①按“C-B-A-D”的先后顺 序彩排,则候场时间之和为(10+2+1) ×20+(10+1) × 10 +1×30=400(min);②按“C-B-D-A”的先后顺序 彩排,则候场时间之和为(10 + 2 + 1) × 20 +(10 + 1) × 10 + 10 × 10= 470(min);③按“C-A-B-D”的先后顺 序彩排,则候场时间之和为(10+2+1) ×20+(2+1) × 30 +1×10=360(min);④按“B-C-A-D”的先后顺序 彩排,则候场时间之和为(10+10+1) ×10+(10+1) × 20 + 1 × 30= 460(min);⑤按“B -C -D-A”的先后顺 序彩排,则候场时间之和为(10 + 10 + 1) × 10 + (10 + 1) × 20+10×10=530(min);⑥按“B -D -C-A”的先 后顺序彩排,则候场时间之和为(10+10+1)×10+(10+ 10) × 10 + 10 × 20= 610(min),∴ 按“C -A-B -D”的 先后顺序彩排,候场时间之和最小. 三、解答题 16.解:原式= x2+ 2x + 1 - x2- x= x + 1, 当 x= 3 - 1 时,原式= 3 . 17.解:原式=a -4 a ÷ (a +2)(a -2) a(a -2)2 - a(a -1) a(a -2)2 é ë ê êê ù û ú úú =a -4 a ÷ (a + 2)(a - 2) -a(a - 1) a(a - 2) 2 = a - 4 a · a(a - 2) 2 a2- 4 -a2+a = (a - 2) 2 =a2- 4a + 4, ∵ a2- 1 4 æ è çç ö ø ÷÷ - 1 ·a + 6cos60° = 0,即 a2- 4a + 3= 0, ∴ 原式=a2- 4a + 3 + 1= 0 + 1= 1. 18.解:(1)原式= 3a -a2+a2-a + 2a - 2= 4a - 2; ( 2 ) 原 式 = x - 2 + 2 x - 2 ÷ (x + 2)(x - 2) (x - 2) 2 = x x - 2 · (x - 2) 2 (x + 2)(x - 2) = x x + 2 . 19.解:(1)选择①,②,③, 22+ - 2 +( - 1) 0 = 4 + 2 + 1= 7; 选择①,②,④, 22+ - 2 + 1 2 × 2= 4 + 2 + 1= 7; 选择①,③,④, 22+( - 1) 0+ 1 2 × 2= 4 + 1 + 1= 6; 选择②,③,④, - 2 +( - 1) 0+ 1 2 × 2= 2 + 1 + 1= 4; (2)原式=(x - 1)(x + 1)· 1 2(x + 1) = x - 1 2 , 当 x= 3 时,原式= 3 - 1 2 = 1. 20.解:(1)②;③; (2)选择甲同学的解法: 原式 = x(x + 1) (x + 1)(x - 1) + x(x - 1) (x + 1)(x - 1) é ë ê êê ù û ú úú · x 2- 1 x = x2+ x + x2- x (x + 1)(x - 1) ·(x + 1)(x - 1) x = 2x; 或选择乙同学的解法: 原式= x x - 1 ·x 2- 1 x + x x + 1 ·x 2- 1 x = x + 1 + x - 1= 2x, 当 x= 2 - 1 时,原式= 2 ×( 2 - 1)= 2 2 - 2. 21.(1)证明:∵ 3m +n= b a ,mn= c a , ∴ b=a(3m +n),c=amn, ∴ b2- 12ac=[a(3m +n)] 2- 12a2mn =a2(9m2+ 6mn +n2) - 12a2mn =a2(9m2- 6mn +n2) = a2 (3m -n) 2, ∵ a,m,n 是实数,∴ a2 (3m -n) 2≥0, ∴ b2- 12ac 为非负数; (2)解:m,n 不可能都为整数.理由如下: ①当 m,n 都为奇数时,3m +n 必为偶数, ∵ 3m +n= b a ,∴ b=a(3m +n), 又∵ a 为奇数, ∴ a(3m +n)必为偶数,与 b 为奇数矛盾; ②当 m,n 为整数,且其中至少有一个为偶数时,mn 必为偶数, ∵ mn= c a ,∴ c=amn, 又∵ a 为奇数, ∴ amn 必为偶数,与 c 为奇数矛盾. 综上,m,n 不可能都为整数. 专题五　 整式方程(组)及应用 考点 1　 一次方程(组)及解法 1.A　 2.B 3.B　 【解析】设单价为 8 元和 10 元的两种笔记本分别 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·3· 5　 阶段测评一　 数与式 一、选择题 1.(2024 天津市)计算 3 - ( - 3)的结果是 (　 　 ) A.6 B.3 C.0 D. - 6 2.(2024 河北省)如图显示了某地连续 5 天的日最低气温,则能表 示这 5 天日最低气温变化情况的是 (　 　 ) A. B. C. D. 3.(2024 黑龙江大庆)下列各组数中,互为相反数的是 (　 　 ) A. - 2 024 和- 2 024 B.2 024 和 1 2 024 C. - 2 024 和 2 024 D. - 2 024 和 1 2 024 4.(2024 黑龙江绥化)若式子 2m- 3有意义,则 m 的取值范围是 (　 　 ) A.m≤ 2 3 B.m≥ - 3 2 C.m≥ 3 2 D.m≤ - 2 3 5.(2024 广东广州)若 a≠0,则下列运算正确的是 (　 　 ) A. a 2 + a 3 = a 5 B.a3·a2 =a5 C. 2 a ·3 a = 5 a D.a3÷ a2 = 1 6.(2024 山东威海)据央视网 2023 年 10 月 11 日消息,中国科学 技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家 并行计算机工程技术研究中心合作,成功构建了 255 个光子 的量子计算原型机“九章三号”,再度刷新了光量子信息的技 术水平和量子计算优越性的世界纪录.“九章三号”处理高斯 玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍,在百万 分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本,需要当前最强 的超级计算机花费超过二百亿年的时间.将“百万分之一”用 科学记数法表示为 (　 　 ) A.1 × 10- 5 B.1 × 10- 6 C.1 × 10- 7 D.1 × 10- 8 7. ( 2024 河北省) 若 a, b 是正整数, 且满足 2a+ 2a+…+ 2aüþ ýï ï ï ï ï ï 8个2a相加 = 2b× 2b×…× 2büþ ýï ï ï ï ï ï 8个2b相乘 ,则 a 与 b 的关系正确的是 (　 　 ) A.a + 3= 8b B.3a= 8b C.a + 3= b8 D.3a= 8 + b 8.(2024 山东烟台)《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作. 书中记载这样一道题:今有女子不善织,日减功迟.初日织五尺, 末日织一尺,今三十日织,问织几何? 意思是:现有一个不擅长 织布的女子,织布的速度越来越慢,并且每天减少的数量相同. 第一天织了五尺布,最后一天仅织了一尺布,30 天完工,问一共 织了多少布? (　 　 ) A.45 尺 B.88 尺 C.90 尺 D.98 尺 9.(2024 内蒙古赤峰)如图,数轴上点 A,M,B 分别表示数 a,a+ b, b,若 AM >BM,则下列运算结果一定是正数的是 (　 　 ) A.a + b B.a - b C.ab D. a - b 10.(2024 江苏扬州) 1202 年数学家斐波那契在《计算之书》中记 载了一列数:1,1,2,3,5,…,这一列数满足:从第三个数开始, 每一个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数的前 2 024 个数中,奇数的个数为 (　 　 ) A.676 B.674 C.1 348 D.1 350 二、填空题 11.(2024 四川资阳)若(a - 1) 2+ b - 2 = 0,则 ab= 　 　 　 　 . 12.(2024 甘肃武威)分解因式:2x2- 8= 　 　 　 　 . 13.(2024 广东广州)如图,把 R1,R2,R3 三个电阻串联起来,线路 AB 上的电流为 I,电压为 U,则 U = IR1+ IR2+ IR3 .当 R1 = 20.3, R2 = 31.9,R3 = 47.8,I= 2.2 时,U 的值为　 　 　 　 . 14.(2024 四川眉山)已知 a1 = x + 1(x≠0 且 x≠- 1),a2 = 1 1 - a1 , a3 = 1 1 - a2 ,…,an = 1 1 - an - 1 ,则 a2 024的值为　 　 　 　 . 15.(2024 北京市)联欢会有 A,B,C,D 四个节目需要彩排.所有演 员到场后节目彩排开始.一个节目彩排完毕,下一个节目彩排 立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长(单位:min)如下: 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第 一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时 间间隔(不考虑换场时间等其他因素) .若节目按“A -B -C -D” 的先后顺序彩排,则节目 D 的演员的候场时间为　 　 　 　 min; 若使这 23 位演员的候场时间之和最小,则节目应按　 　 　 　 的 先后顺序彩排. 三、解答题 16.(2024 江苏常州)先化简,再求值:(x + 1) 2- x(x + 1),其中 x = 3 - 1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 6　 17.(2023 山东滨州)先化简,再求值:a - 4 a ÷ a + 2 a2- 2a - a- 1 a2- 4a+ 4 æ è ç ö ø ÷ , 其中 a 满足 a2- 1 4 æ è ç ö ø ÷ - 1 ·a + 6cos60°= 0. 18.(2024 重庆 B 卷)计算:(1)a(3 - a) + (a - 1)(a + 2); (2) 1 + 2 x - 2 æ è ç ö ø ÷ ÷ x2- 4 x2- 4x + 4 . 19.(2024 贵州省)(1)在①22,② - 2 ,③( - 1) 0,④ 1 2 × 2 中任选 3 个代数式求和; (2)先化简,再求值:(x2- 1)· 1 2x + 2 ,其中 x= 3. 20.(2024 河南开封)先化简,再求值: x x - 1 + x x + 1 æ è ç ö ø ÷ · x2- 1 x ,其中 x= 2 - 1. 甲同学 解:原式= x(x + 1) (x + 1)(x - 1) + x(x - 1) (x + 1)(x - 1) é ë êê ù û úú · x2- 1 x … 乙同学 解:原式= x x - 1 ·x 2- 1 x + x x + 1 ·x 2- 1 x … (1)甲同学解法的依据是　 　 　 　 ,乙同学解法的依据是　 　 　 　 (两空均填序号); ①等式的基本性质 ②分式的基本性质 ③乘法分配律　 　 ④乘法交换律 (2)请选择一种解法,写出完整的解答过程. 21.(2024 福建省)已知实数 a,b,c,m,n 满足 3m+ n= b a ,mn= c a . (1)求证:b2- 12ac 为非负数; (2)若 a,b,c 均为奇数,m,n 是否可以都为整数? 说明你的 理由. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋