专题15圆-2025年中考数学真题分类必刷

33　 专题十五　 圆 考点 1　 圆周角定理和推论 1.(2024 湖南省)如图,AB,AC 为☉O 的两条弦,连接 OB,OC,若 ∠A= 45°,则∠BOC 的度数为 (　 　 ) A.60° B.75° C.90° D.135° 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 2 题图 2.(2024 云南省)如图,CD 是☉O 的直径,点 A,B 在☉O 上.若 AC ( =BC ( ,∠AOC= 36°,则∠D= (　 　 ) A.9° B.18° C.36° D.45° 3.(2024 湖北武汉)如图,四边形 ABCD 内接于☉O,∠ABC = 60°, ∠BAC=∠CAD= 45°,AB +AD= 2,则☉O 的半径是 (　 　 ) A. 6 3 B.2 2 3 C. 3 2 D. 2 2 4.(2024 江苏苏州)如图,△ABC 是☉O 的内接三角形,若∠OBC= 28°,则∠A= 　 　 　 　 . 第 4 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 5 题图 5.(2024 陕西省)如图,BC 是☉O 的弦,连接 OB,OC,∠A 是BC ( 所 对的圆周角,则∠A 与∠OBC 的和的度数是　 　 　 　 . 考点 2　 垂径定理及有关的计算 1.(2024 湖南长沙)如图,在☉O 中,弦 AB 的长为 8,圆心 O 到 AB 的距离 OE= 4,则☉O 的半径长为 (　 　 ) A.4 B.4 2 C.5 D.5 2 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 2 题图 2.(2024 重庆 B 卷)如图,AB 是☉O 的弦,OC⊥AB 交☉O 于点 C,点 D 是☉O 上一点,连接 BD,CD.若∠D = 28°,则∠OAB 的 度数为 (　 　 ) A.28° B.34° C.56° D.62° 3.(2024 广东广州)如图,☉O 中,弦 AB 的长为 4 3 ,点 C 在☉O 上,OC⊥AB,∠ABC = 30°.☉O 所在的平面内有一点 P,若 OP = 5,则点 P 与☉O 的位置关系是 (　 　 ) A.点 P 在☉O 上 B.点 P 在☉O 内 C.点 P 在☉O 外 D.无法确定 第 3 题图 　 　 　 　 　 　 第 4 题图 4.(2024 内蒙古通辽)如图,圆形拱门最下端 AB 在地面上,D 为 AB 的中点,C 为拱门最高点,线段 CD 经过拱门所在圆的圆心 O,若 AB= 1 m,CD= 2.5 m,则拱门所在圆的半径为 (　 　 ) A.1.25 m B.1.3 m C.1.4 m D.1.45 m 5.(2024 黑龙江牡丹江)如图,在☉O 中,直径 AB⊥CD 于点 E,CD= 6,BE= 1,则弦 AC 的长为　 　 　 　 . 第 5 题图 　 　 　 　 　 　 第 6 题图 6.(2024 江西省)如图,AB 是☉O 的直径,AB = 2,点 C 在线段 AB 上运动,过点 C 的弦 DE⊥AB,将DBE æè ç 沿 DE 翻折交直线 AB 于点 F,当 DE 的长为正整数时,线段 BF 的长为　 　 　 　 . 考点 3　 切线的性质和判定 1.(2024 福建省)如图,已知点 A,B 在☉O 上,∠AOB = 72°,直线 MN 与☉O 相切,切点为 C,且 C 为AB ( 的中点,则∠ACM 等于 (　 　 ) A.18° B.30° C.36° D.72° 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 第 2 题图 2.(2024 四川泸州)如图,EA,ED 是☉O 的切线,切点分别为 A, D,点 B,C 在☉O 上,若∠BAE+∠BCD= 236°,则∠E= (　 　 ) A.56° B.60° C.68° D.70° 3.(2024 内蒙古包头)如图,四边形 ABCD 是☉O 的内接四边形, 点 O 在四边形 ABCD 内部,过点 C 作☉O 的切线交 AB 的延长 线于点 P,连接 OA,OB.若∠AOB = 140°,∠BCP = 35°,则∠ADC 的度数为　 　 　 　 . 第 3 题图 　 　 　 　 　 　 第 4 题图 4.(2024 四川凉山)如图,☉M 的圆心为点 M(4,0),半径为 2,P 是直线 y= x+4 上的一个动点,过点 P 作☉M 的切线,切点为 Q, 则 PQ 的最小值为　 　 　 　 . 5.(2024 河南省)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,CA =CB = 3, 线段 CD 绕点 C 在平面内旋转,过点 B 作 AD 的垂线,交射线 AD 于点 E.若 CD = 1,则 AE 的最大值为 　 　 　 　 ,最小值 为 . 第 5 题图 　 　 　 　 　 　 第 6 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 34　 6.(2024 重庆 B 卷)如图,AB 是☉O 的直径,BC 是☉O 的切线,点 B 为切点.连接 AC 交☉O 于点 D,点 E 是☉O 上一点,连接 BE, DE,过点 A 作 AF∥BE 交 BD 的延长线于点 F.若 BC= 5,CD= 3, ∠F=∠ADE,则 AB 的长度是　 　 　 　 ;DF 的长度是　 　 　 　 . 7.(2024 四川南充)如图,在☉O 中,AB 是直径,AE 是弦,点 F 是 AE ( 上一点,AF ( = BE ( ,AE,BF 交于点 C,点 D 为 BF 延长线上一 点,且∠CAD=∠CDA. (1)求证:AD 是☉O 的切线; (2)若 BE= 4,AD= 2 5 ,求☉O 的半径长. 8.(2024 广西)如图,已知☉O 是△ABC 的外接圆,AB=AC.点 D,E 分别是 BC,AC 的中点,连接 DE 并延长至点 F,使 DE = FE,连 接 AF. (1)求证:四边形 ABDF 是平行四边形; (2)求证:AF 与☉O 相切; (3)若 tan∠BAC= 3 4 ,BC= 12,求☉O 的半径. 考点 4　 弧长、扇形的计算 1.(2024 安徽省)若扇形 AOB 的半径为 6,∠AOB = 120°,则AB ( 的 长为 (　 　 ) A.2π B.3π C.4π D.6π 2.(2024 河南省)如图,☉O 是边长为 4 3的等边三角形 ABC 的外 接圆,点 D 是BC ( 的中点,连接 BD,CD.以点 D 为圆心,BD 的长 为半径在☉O 内画弧,则阴影部分的面积为 (　 　 ) A.8π 3 B.4π C.16π 3 D.16π 第 2 题图 　 　 　 　 　 　 第 3 题图 3.(2024 四川广安)如图,在等腰三角形 ABC 中,AB = AC = 10, ∠C= 70°,以 AB 为直径作半圆,与 AC,BC 分别相交于点 D,E, 则DE ( 的长度为 (　 　 ) A. π 9 B.5π 9 C.10π 9 D.25π 9 4.(2024 吉林省)某新建学校因场地限制,要合理规划体育场地, 小明绘制的铅球场地设计图如图所示,该场地由☉O 和扇形 OBC 组成,OB,OC 分别与☉O 交于点 A,D.OA= 1 m,OB= 10 m, ∠AOD= 40°,则阴影部分的面积为　 　 　 　 m2(结果保留 π) . 第 4 题图 　 　 　 　 　 　 第 5 题图 5.(2024 广东深圳)如图,在矩形 ABCD 中,BC= 2AB,O 为 BC 的 中点,OE=AB= 4,则扇形 EOF 的面积为　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 35　 6.(2024 湖北省)如图,Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,点 O 在 AC 上, 以 OC 为半径的圆交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,且 BD=BC. (1)求证:AB 是☉O 的切线; (2)连接 OB 交☉O 于点 F,若 AD= 3 ,AE= 1,求弧 CF 的长. 7.(2024 内蒙古呼伦贝尔)如图,在△ABC 中,以 AB 为直径的☉O 交 BC 于点 D,DE⊥AC,垂足为 E.☉O 的两条弦 FB,FD 相交于 点 F,∠DAE=∠BFD. (1)求证:DE 是☉O 的切线; (2)若∠C= 30°,CD= 2 3 ,求扇形 OBD 的面积. 考点 5　 圆锥的计算 1.(2024 云南省)某校九年级学生参加社会实践,学习编织圆锥型 工艺品.若这种圆锥的母线长为 40 厘米,底面圆的半径为 30 厘 米,则该圆锥的侧面积为 (　 　 ) A.700π 平方厘米 B.900π 平方厘米 C.1 200π 平方厘米 D.1 600π 平方厘米 2.(2024 广东广州)如图,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 72° 的扇形,若扇形的半径 l 是 5,则该圆锥的体积是 (　 　 ) A.3 11π 8 B. 11π 8 C.2 6π D.2 6π 3 3.(2024 黑龙江齐齐哈尔)若圆锥的底面半径是 1 cm,它的侧面 展开图的圆心角是直角,则该圆锥的高为　 　 　 　 cm. 4.(2024 黑龙江龙东) 若圆锥的底面半径为 3,侧面积为 36π,则 这个圆锥侧面展开图的圆心角是　 　 　 　 °. 考点 6　 正多边形、圆的计算 1.(2024 四川甘孜)如图,正六边形 ABCDEF 内接于☉O,OA = 1, 则 AB 的长为 (　 　 ) A.2 B. 3 C.1 D. 1 2 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 2 题图 2.(2024 山东济宁)如图,边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内接于 ☉O,则它的内切圆半径为 (　 　 ) A.1 B.2 C. 2 D. 3 3.(2024 江苏苏州)铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图 是一个花瓣造型的花窗示意图,由六条等弧连接而成,六条弧 所对应的弦构成一个正六边形,中心为点 O,AB ( 所在圆的圆心 C 恰好是△ABO 的内心,若 AB= 2 3 ,则花窗的周长(图中实线部 分的长度)= 　 　 　 　 (结果保留 π) . 第 3 题图 　 　 　 　 　 　 第 4 题图 4.(2024 山东东营)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中 提到著名的“割圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法 来近似估算,指出“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可 割,则与圆周合体,而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想, 他用这种思想得到了圆周率的近似值为 3.141 6,如图,☉O 的 半径为 1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形面积近似估计☉O 的面积,可得 π 的估计值为3 3 2 .若用圆内接正八边形近似估计 ☉O 的面积,可得 π 的估计值为　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4 时,CD= 2,设点 D 到直线 AC 的距离为 DH = h,则 S△ACD = 1 2 × 2 × 4= 1 2 × 5h,解得 h= 8 5 . 图 1 　 图 2 (3)如图 2,过点 A 作 AE⊥BC 于点 E,过点 D 作 DF ⊥AC 于点 F,则 AE= 4,CE= 3, ∴ sinC= 4 5 ,cosC= 3 5 , ∵ 四边形 APMN 是正方形, ∴ PN⊥AM,∠PAM= 45°, ∵ PN⊥AC, ∴ 点 M 在 AC 上, ∴ ∠DAC=∠PAM= 45°, 设 AP= x,则 BD= x,∴ CD= 6 - x, ∴ CF= 3 5 CD= 3 5 (6 - x), DF= 4 5 CD= 4 5 (6 - x), ∴ AF=DF= 4 5 CD= 4 5 (6 - x), ∵ AF +CF=AC, ∴ 4 5 (6 - x) + 3 5 (6 - x)= 5, 解得 x= 17 7 , ∴ AP= 17 7 ,即正方形 APMN 的边长为17 7 ; (4)25 9 或 25 6 æ è çç ö ø ÷÷ . 【解析】①如图 3,当点 M,N 在 AC 同侧时,过点 M,N 分别作 MG⊥AC,NI⊥AC,垂足分别为 G,I,过点 M,D 分别作 MQ⊥NI,DK⊥AC,垂足分别为 Q,K,则 NI = 3MG,MG = QI, ∠AIN = ∠MQN = 90°, ∵ ∠ANI = ∠NMQ = 90° - ∠MNQ, AN = NM, ∴ △ANI ≌ △NMQ(AAS),∴ AI = NQ,∴ tan∠ANI = AI NI = NQ NI = NI -QI NI = NI -MG NI = 2 3 ,又 ∵ ∠DAC = ∠ANI = 90° - ∠NAI,∴ tan∠DAC = tan∠ANI = 2 3 ,即DK AK = 2 3 ,设 CD= x,则 DK= 4 5 x,CK = 3 5 x,∴ AK = 6 5 x,∵ AC = AK + CK= 5,∴ 6 5 x + 3 5 x= 5,解得 x= 25 9 ,即 CD 的长为25 9 ; 图 3 　 图 4 ②如图 4,当点 M,N 在 AC 两侧时,过点 M,N 分别作 MG⊥AC,NI⊥AC,垂足分别为 G,I,过点 D 作 DK⊥ AC,垂足为 K,设 AC 与 MN 交于点 Q,则 NI = 3MG, MG∥NI,∴ 设 MQ =m,则NQ= 3m,∴ AN =MN =MQ + NQ=4m,∴ tan∠AQN= AN NQ = 4 3 ,又∵ ∠DAC =∠AQN = 90° -∠NAQ,∴ tan∠DAC= tan∠AQN= 4 3 ,即DK AK = 4 3 , 设 CD= x,则 DK = 4 5 x,CK = 3 5 x,∴ AK = 3 5 x,∵ AC = AK +CK= 5,∴ 3 5 x + 3 5 x= 5,解得 x = 25 6 ,即 CD 的长为 25 6 .综上,CD 的长为25 9 或 25 6 . 专题十五　 圆 考点 1　 圆周角定理和推论 1.C 2.B 　 【解析】如图,连接 OB,∵ AC ( = BC ( ,∴ ∠BOC = ∠AOC= 36°,∴ ∠D= 1 2 ∠BOC= 18°.故选 B. 3.A　 【解析】如图,延长 AB 至点 E,使 BE = AD,连接 BD,连接 CO 并延长交☉O 于点 F,连接 AF,∵ 四边 形 ABCD 内接于☉O,∴ ∠ADC + ∠ABC = ∠ABC + ∠EBC= 180°,∴ ∠ADC =∠EBC,∵ ∠BAC =∠CAD = 45°,∴ ∠CBD = ∠CDB = 45°,∠DAB = 90°,∴ BD 是 ☉O 的直径,∠DCB= 90°,∴ △DCB 是等腰直角三角 形,∴ DC=BC,∵ BE = AD,∴ △ADC≌△EBC(SAS), ∴ ∠ACD=∠ECB,AC=EC,∵ AB+AD= 2,∴ AB+BE= AE= 2,又∵ ∠DCB = 90°,∴ ∠ACE = 90°,∴ △ACE 是 等腰直角三角形,∴ AC= cos45°·AE = 2 ,∵ ∠ABC = 60°,∴ ∠AFC = 60°,∵ ∠FAC = 90°,∴ CF = AC sin60° = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·82· 2 6 3 ,∴ OF=OC= 1 2 CF= 6 3 .故选 A. 4.62°　 【解析】 如图,连接 OC,∵ OB = OC,∠OBC = 28°,∴ ∠OCB = ∠OBC = 28°, ∴ ∠BOC = 180° - ∠OCB -∠OBC= 124°,∴ ∠A= 1 2 ∠BOC= 62°. 5.90°　 【解析】∵ ∠A 是BC ( 所对的圆周角,∠BOC 是BC ( 所对的圆心角,∴ ∠BOC = 2∠A,∵ ∠BOC +∠OBC + ∠OCB = 180°,∴ 2∠A + ∠OBC + ∠OCB = 180°,∵ OB=OC,∴ ∠OBC=∠OCB,∴ 2∠A + 2∠OBC = 180°, ∴ ∠A +∠OBC= 90°. 考点 2　 垂径定理及有关的计算 1.B　 【解析】∵ 在☉O 中,弦 AB 的长为 8,圆心 O 到 AB 的距离 OE = 4,∴ OE⊥AB,∴ AE = 1 2 AB = 4,∴ 在 Rt△AOE中,OA= OE2+AE2 = 4 2 ,∴ ☉O 的半径为 4 2 .故选 B. 2.B　 【解析】 ∵ ∠D = 28°,∴ ∠BOC = 2∠D = 56°,∵ OC⊥AB,OA=OB,∴ ∠AOB = 2∠BOC = 112°,∠OAB = ∠OBA,∴ ∠OAB= 1 2 (180° -∠AOB)= 34°.故选 B. 3.C　 【解析】如图,设 OC 与 AB 的交点为 D,∵ OC 为半 径,AB 为弦,且 OC⊥AB,∴ AD= 1 2 AB= 2 3,∵ ∠ABC= 30°,∴ ∠AOC = 2∠ABC = 60°,∴ 在 Rt△ADO 中,∴ OA= AD sin60° = 4,即☉O 的半径为 4,∵ OP = 5 > 4,∴ 点 P 在☉O 外.故选 C. 4.B　 【解析】如图,连接 OA,∵ D 为 AB 的中点,C 为拱 门最高点,线段 CD 经过拱门所在圆的圆心,AB = 1, ∴ CD⊥AB,AD=BD= 0.5,设 OA=OC= r,则 OD= 2.5 - r,∴ r2 = 0.52+(2.5 - r) 2,解得 r= 1.3,∴ 拱门所在圆的 半径为 1.3 m.故选 B. 5.3 10　 【解析】∵ AB⊥CD,CD=6,∴ CE=DE= 1 2 CD=3, 设☉O 的半径为 r,则 OE = OB - BE = r - 1,∵ 在 Rt△OED中,OE2+DE2 =OD2,即( r - 1) 2+ 32 = r2,解得 r= 5,∴ OA = 5,OE = 4,∴ AE = OA + OE = 9,∴ 在 Rt△AEC中,AC= CE2+AE2 = 3 10 . 6.2 - 3或 2 + 3或 2　 【解析】∵ AB 为直径,DE 为弦, ∴ DE≤AB,∵ DE 的长为正整数,AB=2,∴ DE 为 1 或2. ①当 DE= 2 时,DE 为直径,∵ DE⊥AB,∴ 将DBE æè ç 沿 DE 翻折交直线 AB 于点 F,此时点 F 与点 A 重合,∴ BF= 2; ②如图 1,当 DE = 1,且点 C 在线段 OB 上时,连接 OD,此时 OD = 1 2 AB = 1,∵ DE⊥AB,∴ DC = 1 2 DE = 1 2 ,∴ OC= OD2-DC2 = 3 2 ,∴ BC=OB -OC = 2 - 3 2 , ∴ BF= 2BC= 2 - 3 ; 图 1 　 图 2 ③如图 2,当 DE= 1,且点 C 在线段 OA 上时,连接 OD, 同理,OC = 3 2 ,∴ OB +OC = BC = 2 + 3 2 ,∴ BF = 2BC = 2 + 3 .综上,线段 BF 的长为 2 - 3或 2 + 3或 2. 考点 3　 切线的性质和判定 1.A　 【解析】∵ ∠AOB= 72°,C 为AB ( 的中点,∴ ∠AOC= 36°,∵ OA=OC,∴ ∠OCA= 1 2 × (180° - 36°)= 72°,∵ 直线 MN 与☉O 相切,∴ ∠OCM = 90°,∴ ∠ACM = ∠OCM -∠OCA= 18°.故选 A. 2.C　 【解析】如图,连接 AD,∵ 四边形 ABCD 是☉O 的 内接 四 边 形,∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°,∵ ∠BAE + ∠BCD=236°,∴ ∠BAE+∠BCD - (∠BAD +∠BCD)= 236° - 180° = 56°,∴ ∠EAD = 56°,∵ EA,ED 是☉O 的 切线,∴ EA = ED,∴ ∠EAD = ∠EDA = 56°,∴ ∠E = 180° -∠EAD -∠EDA= 180° - 56° - 56° = 68°.故选 C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·92· 3.105°　 【解析】如图,连接 OC,∵ OA=OB=OC,∠AOB= 140°,∴ ∠OAB = ∠OBA = 1 2 (180° - ∠AOB) = 20°, ∠OCB = ∠OBC,∵ CP 是切线,∴ ∠OCP = 90°,即 ∠OCB + ∠BCP = 90°,∵ ∠BCP = 35°,∴ ∠OBC = ∠OCB= 55°,∴ ∠ABC=∠OBA +∠OBC= 75°,∵ 四边 形 ABCD 是☉O 的内接四边形,∴ ∠ADC = 180° - ∠ABC= 105°. 4.2 7 　 【解析】设直线 y= x+4 与 x,y 轴分别交于点 A, K,连接 QM,PM,KM,当 x = 0 时,y = 4,当 y = 0 时,x + 4= 0,解得 x = - 4,即 K(0,4),A( - 4,0),又∵ M(4, 0),∴ OA=OK=OM= 4,∴ △OAK,△OKM 均是等腰直 角三角形,∴ ∠AKO =∠MKO = 45°,在 Rt△OKM 中, KM= OM2+OK2 = 4 2 ,∴ ∠AKM = 90°,∵ QP 与☉M 相切,∴ ∠PQM= 90°,∴ PQ= PM2-QM2 ,∵ QM = 2, ∴ 当 PM 最小时,PQ 最小,∴ 当 PM⊥AP,即点 P 与 点 K 重合时,PQ 取得最小值,此时 PM = KM,∴ 在 Rt△MPQ中,PQ= KM2-QM2 = 2 7 ,∴ PQ 的最小值 为 2 7 . 5.2 2 + 1;2 2 - 1　 【解析】由题意可知,点 D 的轨迹为 以点 C 为圆心,半径为 1 的圆,点 E 的轨迹为以 AB 为直径的圆,如图所示: ①当 CD1⊥AE1且点 E1在线段 AD1的延长线上时,连 接 CE1, 此 时 AE 取 最 大 值, 为 AE1 的 长, ∵ 在 Rt△ACD1中,CA = 3,CD1 = 1,∴ AD1 = CA2-CD21 = 2 2,∵ 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,∴ ∠ABC= 45°,∴ ∠AE1 C = ∠ABC = 45°,∴ D1 E1 = CD1 = 1,∴ AE1 =AD1+D1E1 =2 2 +1,即 AE 的最大值为 2 2 + 1; ②当 CD2⊥AE2 且点 E2 在线段 AD2 上时,AE 取最小 值,为 AE2 的长,由①可知,AD2 = 2 2 ,D2 E2 = 1,∴ AE2 =AD2-D2E2 = 2 2 - 1,即 AE 的最小值为 2 2 - 1. 6.20 3 ; 8 3 　 【解析】 ∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ADB = ∠BDC = 90°,∴ 在 Rt△BDC 中,BD= BC2-CD2 = 4, ∴ cosC = CD BC = 3 5 ,∵ BC 是☉O 的切线,∴ ∠ABC = 90°,∴ ∠C +∠CBD =∠CBD +∠ABD = 90°,∴ ∠C = ∠ABD,∴ 在 Rt△ABD 中,AB = BD cos∠ABD = 4 3 5 = 20 3 ; 如图,连接 AE,∵ AF∥BE,∴ ∠BAF=∠ABE,∵ ∠F= ∠ADE,∠ADE =∠ABE,∴ ∠F =∠BAF,∴ BF = AB = 20 3 ,∴ DF=BF -BD= 8 3 . 7.(1)证明:∵ AF ( =BE ( ,∴ ∠ABF=∠BAE, ∵ ∠CAD=∠CDA,∠CDA +∠ABF +∠BAE +∠CAD= 180°, ∴ ∠BAE +∠CAD= 90°,即∠BAD= 90°, ∴ AD⊥AB, 又∵ OA 为半径, ∴ AD 是☉O 的切线; (2)解:如图,连接 AF, ∵ BE= 4,∴ AF=BE= 4, ∵ AB 是直径,∴ ∠AFB= 90°, ∴ ∠AFD= 90°, ∴ 在 Rt△ADF 中,DF= AD2-AF2 = 2, ∵ tanD= AB AD = AF DF ,∴ AB 2 5 = 4 2 , ∴ AB= 4 5 , 又∵ AB 是直径,∴ ☉O 的半径长为 2 5 . 8.(1)证明:∵ 点 D,E 分别是 BC,AC 的中点, ∴ BD=CD,AE=CE, 又∵ ∠AEF=∠CED,DE=FE, ∴ △AEF≌△CED(SAS), ∴ AF=CD,∠F=∠EDC, ∴ AF=BD,AF∥BD, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·03· ∴ 四边形 ABDF 是平行四边形; (2)证明:如图 1,连接 AD, ∵ AB=AC,D 为 BC 的中点, ∴ AD⊥BC,∴ AD 过圆心, ∵ AF∥BD,∴ AF⊥AD, ∵ OA 为半径,∴ AF 为☉O 的切线; 图 1 　 　 　 图 2 (3)解:如图 2,过点 B 作 BQ⊥AC 于点 Q,连接 OB, ∵ tan∠BAC= 3 4 ,∴ BQ AQ = 3 4 , 设 BQ= 3x,则 AQ= 4x, ∴ AC=AB= AQ2+BQ2 = 5x, ∴ CQ=AC -AQ= x, ∴ BC= BQ2+CQ2 = 10 x, ∴ 10 x= 12,解得 x= 12 10 = 6 10 5 , ∴ AB= 5x= 6 10 , ∵ AB=AC,BC= 12,AD⊥BC, ∴ BD=CD= 6, ∴ AD= AB2-BD2 = 18, 设☉O 的半径为 r,则 OD= 18 - r, ∴ r2 =(18 - r) 2+ 62,解得 r= 10, ∴ ☉O 的半径为 10. 考点 4　 弧长、扇形的计算 1.C 2.C 　 【解析】 如图,过 点 D 作 DE⊥BC 于点 E,则 ∠BED= 90°,由题意可知,∠A +∠BDC = 180°,∵ 边长 为 4 3 的等边三角形 ABC 中,∠A = 60°,∴ ∠BDC = 180° -∠A = 120°,BC = 4 3,∵ 点 D 是BC ( 的中点,∴ BD=CD,∴ ∠DBC =∠DCB = 180° -∠BDC 2 = 30°,点 E 为 BC 的中点,∴ BE = 1 2 BC = 2 3,∴ 在 Rt△BDE 中, BD= BE cos∠DBC =4,∴ S阴影 = 120π × 42 360 = 16π 3 .故选 C. 3.C　 【解析】如图,连接 OD,OE,∵ AB =AC,∴ ∠ABC = ∠C= 70°,∴ ∠A = 180° - ∠ABC - ∠C = 180° - 70° - 70° = 40°,∴ ∠BOD = 80°,∵ OE = OB,∴ ∠OEB = ∠ABC=∠C=70°,∴ ∠BOE = 40°,∴ ∠DOE =∠BOD - ∠BOE= 40°,∴ DE ( 的长度为 40π × 5 180 = 10π 9 .故选 C. 4.11π　 【解析】由题意可知,S阴影 = 40π ×(102- 12) 360 = 11π cm2 . 5.4π　 【解析】∵ BC= 2AB,AB= 4,∴ BC = 4 2 ,∵ O 为 BC 的中点,∴ OB = OC = 1 2 BC = 2 2 ,∵ OE = 4,∴ 在 Rt△OBE 中,cos∠BOE = OB OE = 2 2 4 = 2 2 ,∴ ∠BOE = 45°,同理∠COF = 45°,∴ ∠EOF = 180° - ∠BOE - ∠COF= 90°,∴ 扇形 OEF 的面积为90π × 42 360 = 4π. 6.(1)证明:连接 OD,如图所示: ∵ 在△OBD 和△OBC 中, BD=BC OB=OB OD=OC ì î í ï ï ï ï , ∴ △OBD≌△OBC(SSS), ∴ ∠ODB=∠OCB= 90°, ∵ OD 为☉O 的半径, ∴ AB 是☉O 的切线; (2)解:∵ ∠ODB= 90°,∴ ∠ODA= 90°, 设☉O 的半径为 x,则 OA= x + 1, ∵ 在 Rt△AOD 中,OA2 =OD2+AD2, ∴ (x + 1) 2 = x2+( 3 ) 2 ,解得 x= 1, ∴ OD=OC= 1,OA= 2, ∴ cos∠AOD=OD OA = 1 2 ,∴ ∠AOD= 60°, ∵ △OBD≌△OBC, ∴ ∠BOD=∠COF= 1 2 ×(180° - 60°)= 60°, ∴ 弧 CF 的长为60π × 1 180 = π 3 . 7.(1)证明:连接 OD,如图所示: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·13· ∵ OD=OA,∴ ∠ODA=∠OAD, 又∵ ∠DAB=∠BFD,∠DAE=∠BFD, ∴ ∠ODA=∠DAE,∴ OD∥AC, ∵ DE⊥AC,∴ OD⊥DE, 又∵ OD 是☉O 的半径,∴ DE 是☉O 的切线; (2)解:∵ ∠C= 30°,CD= 2 3 ,DE⊥AC, ∴ DE= 1 2 CD= 3 ,∠CDE= 60°, 又∵ OD⊥DE,∴ ∠ODE= 90°, ∴ ∠ODB= 180° -∠ODE -∠CDE= 30°, ∵ OB=OD,∴ ∠OBD=∠ODB= 30°, ∴ ∠AOD= 60°,∠BOD= 120°, 又∵ OD=OA,∴ △AOD 是等边三角形, ∴ AD=OD,∠ODA= 60°, ∴ ∠ADE= 30°, ∴ 在 Rt△ADE 中,AD= DE cos∠ADE = 3 cos30° = 2, ∴ OD=AD= 2, ∴ 扇形 OBD 的面积为120π × 22 360 = 4π 3 . 考点 5　 圆锥的计算 1.C 2.D　 【解析】设圆锥的底面圆的半径为 r,则圆锥的底 面周长为 2πr,∵ 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 72°的扇形,且扇形的半径 l 是 5,∴ 扇形的弧长为 72π × 5 180 = 2π,∴ 2πr = 2π,解得 r = 1,∴ 圆锥的高为 52- 12 = 2 6 ,∴ 圆锥的体积为 π 3 × 12× 2 6 = 2 6π 3 . 故选 D. 3. 15 　 【解析】设圆锥的母线长为 R,根据题意得 2π·1= 90πR 180 ,解得 R = 4,即圆锥的母线长为 4 cm, ∴ 圆锥的高为 42- 12 = 15 cm. 4.90　 【解析】由 S=πrl 可得,π×3× l= 36π,解得 l= 12, ∴ nπ × 122 360 = 36π,解得 n= 90,即圆锥侧面展开图的圆 心角是 90°. 考点 6　 正多边形、圆的计算 1.C 　 【解析】 ∵ 正六边形 ABCDEF 内接于 ☉O,∴ ∠AOB = 360° 6 = 60°,OA = OB,∴ △AOB 是等边三角 形,∴ AB=OA= 1.故选 C. 2.D　 【解析】如图,连接 OA,OF,作点 O 作 OG⊥AF 于 点 G,则 OF =OA,∠AOF = 360° 6 = 60°,∴ △AOF 是等 边三角形,∴ OF = OA = AF = 2,∵ OG⊥AF,∴ FG = 1 2 AF= 1,∴ 在 Rt△OFG 中,OG = OF2-FG2 = 3 ,即 正六边形 ABCDEF 的内切圆半径为 3 .故选 D. 3.8π　 【解析】如图,过点 C 作 CE⊥AB 于点 E,∵ 六条 弧所对应的弦构成一个正六边形,∴ ∠AOB = 60°, OA=OB,∴ △AOB 为等边三角形,∵ 圆心 C 恰好是 △ABO 的内心,∴ ∠CAO = ∠CAE = ∠CBE = 30°,∴ ∠ACB= 120°,∵ AB = 2 3 ,∴ AE = BE = 3 ,∴ AC = AE cos30° = 2,∴ AB ( 的长为 120π × 2 180 = 4π 3 ,∴ 花窗的周长 为 4π 3 × 6= 8π. 4.2 2 　 【解析】圆的内接正八边形可以看成 8 个全等 的等腰三角形,故等腰三角形的顶角为360° 8 = 45°,设 圆的半径为 1,如图为其中一个等腰三角形 OAB,过 点 A 作 AM⊥OB 于点 M,则 OA=OB= 1,∠AOB= 45°, ∴ AM= 2 2 OA= 2 2 ,∴ S△OAB = 1 2 OB·AM= 2 4 ,∴ 正八 边形的面积为 8S△OAB =8× 2 4 = 2 2,∴ 圆的面积为 π × 1×1= 2 2 ,∴ 用圆内接正八边形面积近似估计☉O 的面积可得 π= 2 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·23·