专题14四边形-2025年中考数学真题分类必刷

∵ ∠BFG= 45°,∴ BE=EF= 4, ∴ BC=CE -BE= 3; (2)如图,过点 A 作 AM⊥GH 于点 M,则四边形 ABEM 是矩形, ∴ AM=BE= 4,AB=ME, ∵ ∠AFG= 21.8°, ∴ tan∠AFG= tan21.8° = AM MF ≈0.40, ∴ MF= 10,∴ AB=ME=MF -EF= 6, ∴ 底座的底面 ABCD 的面积为 3 × 6= 18(平方米). 6.解:(1)如图,过点 B 作 BE∥CD 交 AD 于点 E, 由题意可知,∠DBE= 36.87°, ∴ ∠BDC= 36.87°, ∵ 在△BCD 中,∠C= 90°,BD= 10, ∴ CD=BD·cos36.87°≈10 × 0.80≈8. 答:CD 的长约为 8 米; (2)∵ 在 Rt△ACD 中,AD= 17,CD= 8, ∴ AC= AD2-CD2 = 15, ∵ 在 Rt△BCD 中,BD= 10, ∴ BC=BD·sin36.87°≈10 × 0.60≈6, ∴ AB=AC -BC= 9, ∵ 模拟装置从 A 点以每秒 2 米的速度匀速下降到 B 点, ∴ 9 ÷ 2= 4.5(秒) . 答:模拟装置从 A 点下降到 B 点的时间为 4.5 秒. 7.解:(1)∵ 四边形 PQMN 是矩形,∴ ∠Q=∠P= 90°, ∵ 在 Rt△ABQ 中,∠ABQ= 60°,AB= 5.4, ∴ AQ=AB·sin∠ABQ= 27 3 10 ,∠QAB= 30°, ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE= 90°, ∴ ∠CBE= 30°, ∴ BC= CE tan∠CBE = 8 3 5 , ∴ AD= 8 3 5 , ∵ ∠PAD= 180° - 30° - 90° = 60°, ∴ AP=AD·cos∠PAD= 4 3 5 , ∴ PQ=AP +AQ= 35 3 10 ≈6.1. 答:PQ 的长约为 6.1 m; (2)∵ 在 Rt△BCE 中,BE= CE sin∠CBE ≈3.2, 在 Rt△ABQ 中,BQ=AB·cos∠ABQ≈2.7, ∵ 该充电站有 20 个停车位, ∴ QM=BQ + 20BE≈66.7, ∵ 四边形 PQMN 是矩形, ∴ PN=QM≈66.7. 答:PN 的长约为 66.7 m. 专题十四　 四边形 考点 1　 多边形的内角和及外角和 1.A　 2.C　 3.D 4.B　 【解析】如图,设直线 l,m 相交于点 A,则∠A = 60°,∵ 正多边形的每个内角相等,∴ 正多边形的每个 外角也相等,∴ ∠1=∠2= 180° -60° 2 = 60°,∴ n = 360° 60° = 6.故选 B. 5.B 　 【解析 】 ∵ 正 六 边 形 每 个 内 角 的 度 数 为 (6 - 2) × 180° 6 = 120°,∴ ∠B=∠C =∠D=∠E = 120°, 又∵ 六边形 MBCDEN 中,∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠ENM + ∠NMB = 720°,∴ ∠ENM + ∠NMB = 720° - 4 ×120° = 240°,∵ β +∠ENM + α +∠NMB = 180° × 2 = 360°,∴ α +β= 360° - 240° = 120°.故选 B. 6. 50° 　 【解析】 ∵ 正 六 边 形 每 个 内 角 的 度 数 为 (6 - 2) × 180° 6 = 120°, ∴ ∠EFA = ∠FAB = 120°, ∵ ∠EFG=20°,∴ ∠GFA=∠EFA -∠EFG= 100°,∵ AH∥ FG,∴ ∠FAH+∠GFA=180°,∴ ∠FAH=180°-∠GFA= 80°,∴ ∠HAB = ∠FAB - ∠FAH = 40°,∵ BI⊥AH,∴ ∠BIA= 90°,∴ ∠ABI= 90° -∠HAB= 50°. 7.18°　 【解析】如图,连接 BD,BE,∵ 五边形 ABCDE 是 正五边形,∴ AB=BC=CD=AE,∠A=∠C,∴ △ABE≌ △CBD(SAS),∴ BE = BD,∵ 点 F 是 DE 的中点,∴ BG 是 DE 的垂直平分线,∴ ∠DFG= 90°,∵ 在正五边 形 ABCDE 中,∠CDE = (5 - 2) × 180° 5 = 108°,∴ ∠G = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·42· ∠CDE -∠DFG= 18°. 考点 2　 平行四边形及有关的证明和计算 1.B　 2.D　 3.B　 【解析】∵ ▱ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O, ∴ 点 O 为 AC 的中点,∵ 点 E 是 BC 的中点,∴ OE 为 △ABC 的中位线,∴ AB = 2OE,BC = 2CE,∵ ▱ABCD 的周长为 12,AC = 4,∴ AB + BC = 6,∴ △COE 的周长 为 OE +CE +OC= 1 2 (AB +BC +AC)= 5.故选 B. 4.C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB∥ DC,AD∥BC,∠A =∠C,①③正确;∵ 点 O 是 BD 的 中点,∴ OD=OB,∵ AD∥BC,∴ ∠ODE =∠OBF,又∵ ∠DOE=∠BOF,∴ △ODE≌△OBF(ASA),∴ S△ODE = S△OBF,EO=FO,ED = FB,但无法得到 EO = ED,②错 误;∵ S△ABD = S△CDB,S△ODE = S△OBF,∴ S△ABD - S△ODE = S△CDB- S△OBF,即 S四边形ABOE = S四边形CDOF,④正确.综上, 正确结论的个数为 3.故选 C. 5.B　 【解析】∵ 在▱ABCD 中,AB = 6,BC = 12,∴ CD = AB= 6,AD=BC= 12,AD∥BC,∵ 点 P 从点 A 出发,以 1 cm / s 的速度沿 A→D 运动,∴ 点 P 从点 A 出发到达 点 D 的时间为 12 ÷ 1= 12(s),∵ 点 Q 从点 C 出发,以 3 cm / s的速度沿 C→B→C→…往复运动,∴ 点 Q 从 点 C 出发到达点 B 的时间为 12 ÷ 3 = 4( s),∵ AD∥ BC,∴ DP∥CQ,∴ 当 DP =CQ 时,四边形 CDPQ 为平 行四边形,此时 PQ=CD;当 PQ=AB 时,四边形 ABQP 为等腰梯形,∴ PQ=AB=CD.设点 P 的运动时间为 t, ①如图 1,当 0< t≤4 时,DP= 12- t,CQ= 3t,令 12- t= 3t,解得 t = 3,此时 DP = CQ,四边形 CDPQ 为平行四 边形,PQ=CD; 　 ②如图 2,过点 A,P 分别作 BC 的垂线,分别交 BC 于 点 M,N,则四边形 AMNP 是矩形,∴ MN=AP = t,AM = PN,∴ 当 AB = PQ 时,Rt△ABM≌Rt△PQN(HL),此 时 BM =QN,∵ 在 Rt△ABM 中,∠B = 60°,AB = 6,∴ QN=BM= 3,∵ MN=BC - BM -QN - CQ,∴ t = 12 - 3 - 3 - 3t,解得 t = 3 2 ,此时四边形 ABQP 是等腰梯形, PQ=AB=CD; ③如图 3,当 4 < t≤8 时,DP = 12 - t,CQ = 24 - 3t,令 12 - t= 24 - 3t,解得 t= 6,此时 DP =CQ,四边形 CDPQ 为平行四边形,PQ=CD; 　 ④如图 4,当 8 < t≤12 时,DP = 12 - t,CQ = 3t - 24,令 12 - t= 3t - 24,解得 t= 9,此时 DP =CQ,四边形 CDPQ 为平行四边形,PQ=CD.综上,当 t = 3 2 或 t = 3 或 t = 6 或 t= 9 时,PQ=CD,共 4 次.故选 B. 6.(1)证明:∵ E 是 AB 的中点,DF=FB, ∴ EF∥AD,即 FC∥AD, ∵ AF∥DC, ∴ 四边形 AFCD 为平行四边形; (2)解:∵ ∠EFB= 90°, ∴ ∠CFB= 180° - 90° = 90°, ∵ 在 Rt△EFB 中, tan∠FEB=FB FE = 3,FE= 1, ∴ FB= 3, ∵ E 是 AB 的中点,DF=FB, ∴ AD= 2EF= 2, ∵ 四边形 AFCD 为平行四边形, ∴ FC=AD= 2, ∴ 在 Rt△CFB 中,BC= FC2+FB2 = 13 . 考点 3　 矩形及有关的证明和计算 1.C　 2.C　 3.D　 【解析】如图,根据题意画出图形,∵ ∠BAD = 90°, ∴ ▱ABCD 为矩形,A 项不符合题意;∵ ▱ABCD 中,AB ∥CD,∴ ∠ABC +∠BCD = 180°,∵ ∠ABC =∠BCD,∴ ∠ABC=∠BCD = 90°,∴ ▱ABCD 为矩形,B 项不符合 题意;∵ AC=BD,∴ ▱ABCD 为矩形,C 项不符合题意; ∵ AC⊥BD,∴ ▱ABCD 为菱形,D 项符合题意.故选 D. 4.13 或 109 　 【解析】①如图 1,当 CE >BE 时,∵ 矩形 ABCD 中,点 O 是 BD 的中点,点 P 是 DE 的中点,∴ BE= 2OP= 6,CP=PE=PD,∵ 点 E 是 BC 边的三等分 点,∴ CE = 2BE = 12,BC = 3BE = 18,∵ 矩形 ABCD 的 面积是 90,即 BC·CD = 90,∴ CD = 5,∴ 在 Rt△CDE 中,DE= CD2+CE2 = 13,∴ PC +PE=DE= 13; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·52· 　 　 　 图 1　 　 　 　 　 　 　 　 图 2 ②如图 2,当 CE < BE 时,∵ 矩形 ABCD 中,点 O 是 BD 的中点,点 P 是 DE 的中点,∴ BE = 2OP = 6, CP =PE =PD,∵ 点 E 是 BC 边的三等分点,∴ CE = 1 2 BE = 3,∴ BC=BE +CE = 9,∵ 矩形 ABCD 的面积是 90,即 BC·CD = 90,∴ CD = 10,∴ 在 Rt△CDE 中, DE= CD2+CE2 = 109 ,∴ PC + PE = DE = 109 .综 上,PC +PE 的值为 13 或 109 . 5.解:(1)选择①, 证明:∵ AB∥CD,AD∥BC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形, 又∵ ∠ABC= 90°, ∴ 四边形 ABCD 是矩形; 选择②, 证明:∵ AD=BC,AD∥BC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形, 又∵ ∠ABC= 90°, ∴ 四边形 ABCD 是矩形; (2)∵ ∠ABC= 90°, ∴ BC= AC2-AB2 = 52- 32 = 4, ∴ 矩形 ABCD 的面积为 3 × 4= 12. 考点 4　 菱形及有关的证明和计算 1.A 2.C　 【解析】由作图可知,AB = AD =BC =CD,∴ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AD∥BC,∠ABD = ∠CBD,∵ ∠A = 44°,∴ ∠MBC = ∠A = 44°, ∴ ∠CBD = 1 2 ( 180° - ∠MBC)= 1 2 ×(180° - 44°)= 68°.故选 C. 3.A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,CD= 5,BD= 8,∴ DO= 1 2 BD = 4,AC⊥BD,BC = CD = 5,∴ 在 Rt△CDO 中,OC= CD2-DO2 = 3,∴ AC = 2OC = 6,∵ 菱形 ABCD 的面积为 1 2 AC·BD=BC·AE,∴ AE= 1 2 ×6×8 5 = 24 5 .故 选 A. 4.A　 【解析】如图,根据题意画出示意图,设 AC,BD 交 于点 O,∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ S△OBC =S△OAD,OC = OB=OA = OD,∵ AE⊥BD,CH⊥BD,BF⊥AC,DG⊥ AC,∴ S△OBC =S△OAD = 1 2 OC·BF= 1 2 OB·CH= 1 2 OD· AE= 1 2 OA·DG,∴ CH = BF = AE =DG,∴ 四条垂线拼 成的四边形为菱形.故选 A. 5.D　 【解析】∵ ∠BAC =∠BCA,∴ AB = BC,∴ ▱ABCD 是菱形,A 项不符合题意;∵ 四边形 ABCD 是平行四 边形, ∴ AD ∥ BC, ∴ ∠ADB = ∠CBD, ∵ ∠ABD = ∠CBD,∴ ∠ABD = ∠ADB,∴ AB = AD,∴ ▱ABCD 是 菱形,B 项不符合题意;∵ OA2+OD2 =AD2,∴ ∠AOD= 90°,即 AC⊥BD,∴ ▱ABCD 是菱形,C 项不符合题 意;∵ AD2 + OA2 = OD2,∴ ∠OAD = 90°,但无法得到 ▱ABCD 是菱形,D 项符合题意.故选 D. 6.8 3 　 【解析】如图,过点 A 分别作 AM⊥BC 于点 M, AN⊥CD 于点 N,则∠AND= 90°,∵ 两张纸条的对边平 行,∴ AB∥CD,AD∥BC,∴ 四边形 ABCD 是平行四边 形,又∵ 两张纸条的宽度相等,∴ AM = AN,∵ S▱ABCD = BC·AM=CD·AN,∴ BC =CD,∴ 四边形 ABCD 是菱 形,∵ 在 Rt△ADN 中,∠ADN = 60°,AN = 3,∴ AD = AN sin60° = 2 3 ,∴ 四边形 ABCD 的周长为 2 3 × 4 = 8 3 cm. 7.2 7 　 【解析】如图,过点 D 作 DH⊥AC 于点 H,∵ 菱 形 ABCD 中,∠ABC=60°,AB = 6,∴ AB =BC =CD=AD, ∠ADC=∠ABC = 60°,∴ △ABC,△ACD 都是等边三角 形,∴ ∠EAF=60°,AC=AB=6,∴ AH=CH= 1 2 AC= 3,∴ 在 Rt△CDH 中,DH2 = CD2 - CH2 = 27,∵ EF⊥AB,∴ ∠AEF= 30°,∴ AE = 2AF,又∵ CE = AF,∴ AE = 2CE, ∴ CE= 2,∴ HE=CH -CE = 1,∴ 在 Rt△DEH 中,DE = DH2+HE2 = 2 7 . 8.(1)证明:如图,连接 BD,AC, ∵ AB∥CD,AD∥BC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·62· ∵ 四边形 ABCD 中,点 E,F,G,H 分别是各边的中点, ∴ GF∥BD,HG∥AC, ∵ 四边形 EFGH 是矩形, ∴ HG⊥GF,∴ BD⊥AC, ∴ 四边形 ABCD 是菱形; (2)解:如图,连接 BD,AC,相交于点 O, ∵ 四边形 ABCD 中,点 E,F,G,H 分别是各边的中点, ∴ GF=EH= 1 2 BD,HG=EF= 1 2 AC, ∵ 矩形 EFGH 的周长为 22, ∴ BD +AC= 22, ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ 1 2 BD + 1 2 AC=OB +OA= 11, ∵ 四边形 ABCD 的面积为 10, ∴ 1 2 AC·BD= 10,即 2OA·OB= 10, ∵ (OA +OB) 2 =OA2+ 2OA·OB +OB2 = 121, ∴ OA2+OB2 = 121 - 10= 111, ∴ AB= OA2+OB2 = 111 . 9.(1)证明:如图 1,连接 AN,则 AN=EN, ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∠ABC= 60°, ∴ ∠ABN=∠CBN= 30°,BA=BC, ∵ BN=BN,∴ △ABN≌△CBN(SAS), ∴ AN=CN,∴ EN=CN; (2) 解:如图 2,过点 N 作 NF⊥ BC 于点 F,连接 AN,AF, ∵ ∠DBC= 30°,∴ NF= 1 2 BN, ∵ AN=EN, ∴ 2EN +BN= 2(EN + 1 2 BN)= 2(AN +NF) ≥2AF, 当 A,N,F 三点共线时,取得最小值,此时 AF⊥BC,点 E 与点 B 重合,如图 3 所示, ∴ 在 Rt△ABF 中,AF=AB·sin∠ABC= 2 × 3 2 = 3 , ∴ 2EN +BN 的最小值为 2 3 . 考点 5　 正方形及有关的证明和计算 1.D 　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠ABE = ∠ADC=∠ADF =∠C = 90°,AB = AD = CD = BC = 4,又 ∵ BE =DF = 1,∴ △ABE≌△ADF(SAS),∴ AE = AF, ∵ AM 平分∠EAF,∴ ∠EAM =∠FAM,又∵ AM = AM, ∴ △AEM≌△AFM(SAS),∴ EM = FM,设 DM = x,则 EM=FM=DM+DF= x+1,CM=CD-DM= 4-x,∵ BE= 1,BC = 4,∴ CE = BC - BE = 3,∵ 在 Rt△CEM 中, EM2 =CE2 + CM2,∴ (x + 1) 2 = 32 + (4 - x) 2,解得 x = 12 5 ,∴ DM= 12 5 .故选 D. 2.A　 【解析】∵ 正方形 ABCD 的边长为 2,∴ BC =DC = 2,∠BCD = 90°,DO = 1 2 BD,∠CBD = 45°,∴ BD = BC2+DC2 = 2 2 ,∵ △DEF 与△DEC 关于直线 DE 对称,∴ DF = DC = 2,∠DFE = ∠BCD = 90°,∴ BF = BD -DF = 2 2 - 2,∠BFE = 90°,∴ ∠FBE = ∠FEB = 45°,∴ EF = BF = 2 2 - 2,∴ BE = 2 BF = 4-2 2,∴ △BEF 的周长是 BE + EF + BF = 4 - 2 2 + 2 2 - 2 + 2 2 -2= 2 2 .故选 A. 3.( - 2, - 1) 4.AC=BD 或 AB⊥BC(答案不唯一) 5.27 8 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ AD = 5 = DC,DC∥AB,∴ ∠CDG = ∠AEF,∵ 在 Rt△CDG 中, DG= DC2-CG2 = 3,∴ sin∠CDG = sin∠AEF,即AF AE = CG CD = 4 5 , tan∠CDG = tan∠AEF,即 CG DG = AD AE = 4 3 ,∴ AE= 15 4 ,∴ AF = 4 5 × 15 4 = 3,∴ 在 Rt△AEF 中,EF = AE2-AF2 = 9 4 ,∴ △AEF 的面积为 1 2 EF·AF= 27 8 . 6.解:(1)∵ AB=AC= 5,∴ △ABC 为等腰三角形, ∵ 点 D 是边 BC 的中点,∴ AD⊥BC,CD= 1 2 BC= 3, ∴ 在 Rt△ADC 中,AD= AC2-CD2 = 4; (2) 8 5 ; 【解析】如图 1,过点 D 作 DH⊥AC,垂足为 H,当 BD= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·72· 4 时,CD= 2,设点 D 到直线 AC 的距离为 DH = h,则 S△ACD = 1 2 × 2 × 4= 1 2 × 5h,解得 h= 8 5 . 图 1 　 图 2 (3)如图 2,过点 A 作 AE⊥BC 于点 E,过点 D 作 DF ⊥AC 于点 F,则 AE= 4,CE= 3, ∴ sinC= 4 5 ,cosC= 3 5 , ∵ 四边形 APMN 是正方形, ∴ PN⊥AM,∠PAM= 45°, ∵ PN⊥AC, ∴ 点 M 在 AC 上, ∴ ∠DAC=∠PAM= 45°, 设 AP= x,则 BD= x,∴ CD= 6 - x, ∴ CF= 3 5 CD= 3 5 (6 - x), DF= 4 5 CD= 4 5 (6 - x), ∴ AF=DF= 4 5 CD= 4 5 (6 - x), ∵ AF +CF=AC, ∴ 4 5 (6 - x) + 3 5 (6 - x)= 5, 解得 x= 17 7 , ∴ AP= 17 7 ,即正方形 APMN 的边长为17 7 ; (4)25 9 或 25 6 æ è çç ö ø ÷÷ . 【解析】①如图 3,当点 M,N 在 AC 同侧时,过点 M,N 分别作 MG⊥AC,NI⊥AC,垂足分别为 G,I,过点 M,D 分别作 MQ⊥NI,DK⊥AC,垂足分别为 Q,K,则 NI = 3MG,MG = QI, ∠AIN = ∠MQN = 90°, ∵ ∠ANI = ∠NMQ = 90° - ∠MNQ, AN = NM, ∴ △ANI ≌ △NMQ(AAS),∴ AI = NQ,∴ tan∠ANI = AI NI = NQ NI = NI -QI NI = NI -MG NI = 2 3 ,又 ∵ ∠DAC = ∠ANI = 90° - ∠NAI,∴ tan∠DAC = tan∠ANI = 2 3 ,即DK AK = 2 3 ,设 CD= x,则 DK= 4 5 x,CK = 3 5 x,∴ AK = 6 5 x,∵ AC = AK + CK= 5,∴ 6 5 x + 3 5 x= 5,解得 x= 25 9 ,即 CD 的长为25 9 ; 图 3 　 图 4 ②如图 4,当点 M,N 在 AC 两侧时,过点 M,N 分别作 MG⊥AC,NI⊥AC,垂足分别为 G,I,过点 D 作 DK⊥ AC,垂足为 K,设 AC 与 MN 交于点 Q,则 NI = 3MG, MG∥NI,∴ 设 MQ =m,则NQ= 3m,∴ AN =MN =MQ + NQ=4m,∴ tan∠AQN= AN NQ = 4 3 ,又∵ ∠DAC =∠AQN = 90° -∠NAQ,∴ tan∠DAC= tan∠AQN= 4 3 ,即DK AK = 4 3 , 设 CD= x,则 DK = 4 5 x,CK = 3 5 x,∴ AK = 3 5 x,∵ AC = AK +CK= 5,∴ 3 5 x + 3 5 x= 5,解得 x = 25 6 ,即 CD 的长为 25 6 .综上,CD 的长为25 9 或 25 6 . 专题十五　 圆 考点 1　 圆周角定理和推论 1.C 2.B 　 【解析】如图,连接 OB,∵ AC ( = BC ( ,∴ ∠BOC = ∠AOC= 36°,∴ ∠D= 1 2 ∠BOC= 18°.故选 B. 3.A　 【解析】如图,延长 AB 至点 E,使 BE = AD,连接 BD,连接 CO 并延长交☉O 于点 F,连接 AF,∵ 四边 形 ABCD 内接于☉O,∴ ∠ADC + ∠ABC = ∠ABC + ∠EBC= 180°,∴ ∠ADC =∠EBC,∵ ∠BAC =∠CAD = 45°,∴ ∠CBD = ∠CDB = 45°,∠DAB = 90°,∴ BD 是 ☉O 的直径,∠DCB= 90°,∴ △DCB 是等腰直角三角 形,∴ DC=BC,∵ BE = AD,∴ △ADC≌△EBC(SAS), ∴ ∠ACD=∠ECB,AC=EC,∵ AB+AD= 2,∴ AB+BE= AE= 2,又∵ ∠DCB = 90°,∴ ∠ACE = 90°,∴ △ACE 是 等腰直角三角形,∴ AC= cos45°·AE = 2 ,∵ ∠ABC = 60°,∴ ∠AFC = 60°,∵ ∠FAC = 90°,∴ CF = AC sin60° = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·82· 　 　 30　 专题十四　 四边形 考点 1　 多边形的内角和及外角和 1.(2024 四川乐山)下列多边形中,内角和最小的是 (　 　 ) A. B. C. D. 2.(2024 四川遂宁)佩佩在“黄峨古镇”研学时学习扎染技术,得 到了一个内角和为 1 080°的正多边形图案,这个正多边形的每 个外角为 (　 　 ) A.36° B.40° C.45° D.60° 3.(2024 吉林长春)在剪纸活动中,小花同学想用一张矩形纸片剪 出一个正五边形,其中正五边形的一条边与矩形的边重合,如 图所示,则∠α 的大小为 (　 　 ) A.54° B.60° C.70° D.72° 第 3 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 4 题图 4.(2024 内蒙古赤峰)如图是正 n 边形纸片的一部分,其中 l,m 是 正 n 边形两条边的一部分,若 l,m 所在的直线相交形成的锐角 为 60°,则 n 的值是 (　 　 ) A.5 B.6 C.8 D.10 5.(2024 河北省)直线 l 与正六边形 ABCDEF 的边 AB,EF 分别相 交于点 M,N,如图所示,则 α+ β= (　 　 ) A.115° B.120° C.135° D.144° 6.(2024 山东威海)如图,在正六边形 ABCDEF 中,AH∥FG,BI⊥ AH,垂足为 I.若∠EFG= 20°,则∠ABI= 　 　 　 　 . 第 6 题图 　 　 　 　 　 第 7 题图 7.(2024 四川广元)如图,点 F 是正五边形 ABCDE 中边 DE 的中 点,连接 BF 并延长与 CD 的延长线交于点 G,则∠BGC 的度数 为　 　 　 　 . 考点 2　 平行四边形及有关的证明和计算 1.(2024 贵州省)如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相 交于点 O,则下列结论一定正确的是 (　 　 ) A.AB=BC B.AD=BC C.OA=OB D.AC⊥BD 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 第 3 题图 2.(2024 四川乐山)下列条件中,不能判定四边形 ABCD 是平行四 边形的是 (　 　 ) A.AB∥CD,AD∥BC B.AB=CD,AD=BC C.OA=OC,OB=OD D.AB∥CD,AD=BC 3.(2024 四川巴中)如图,▱ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O, 点 E 是 BC 的中点,AC= 4.若▱ABCD 的周长为 12,则△COE 的 周长为 (　 　 ) A.4 B.5 C.6 D.8 4.(2024 四川眉山)如图,在▱ABCD 中,点 O 是对角线 BD 的中 点,EF 过点 O,下列结论:①AB∥DC;②EO = ED;③∠A =∠C; ④S四边形ABOE =S四边形CDOF,其中正确结论的个数为 (　 　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 第 4 题图 　 　 　 　 　 第 5 题图 5.(2024 四川自贡)如图,在▱ABCD 中,∠B = 60°,AB = 6 cm, BC= 12 cm.点 P 从点 A 出发,以 1 cm / s 的速度沿 A→D 运动,同 时点 Q 从点 C 出发,以 3 cm / s 的速度沿 C→B→C→…往复运 动,当点 P 到达端点 D 时,点 Q 随之停止运动.在此运动过程 中,线段 PQ=CD 出现的次数是 (　 　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 6.(2024 北京市)如图,在四边形 ABCD 中,E 是 AB 的中点,DB, CE 交于点 F,DF=FB,AF∥DC. (1)求证:四边形 AFCD 为平行四边形; (2)若∠EFB= 90°,tan∠FEB= 3,FE= 1,求 BC 的长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31　 考点 3　 矩形及有关的证明和计算 1.(2024 四川成都)如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交 于点 O,则下列结论一定正确的是 (　 　 ) A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD 第 1 题图 　 　 　 　 　 第 2 题图 2.(2024 甘肃武威)如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于 点 O,∠ABD= 60°,AB= 2,则 AC 的长为 (　 　 ) A.6 B.5 C.4 D.3 3.(2024 四川泸州)已知四边形 ABCD 是平行四边形,下列条件 中,不能判定▱ABCD 为矩形的是 (　 　 ) A.∠A= 90° B.∠B=∠C C.AC=BD D.AC⊥BD 4.(2024 黑龙江牡丹江)矩形 ABCD 的面积是 90,对角线 AC,BD 交于点 O,点 E 是 BC 边的三等分点,连接 DE,点 P 是 DE 的中 点,OP= 3,连接 CP,则 PC +PE 的值为　 　 　 　 . 5.(2024 贵州省)如图,四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 点 O,AD∥BC,∠ABC= 90°,有下列条件:①AB∥CD,②AD=BC. (1)请从以上①②中任选 1 个作为条件,求证:四边形 ABCD 是 矩形; (2)在(1)的条件下,若 AB= 3,AC= 5,求四边形 ABCD 的面积. 考点 4　 菱形及有关的证明和计算 1.(2024 山东济宁)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,E 是 AB 的中点,连接 OE.若 OE= 3,则菱形的边长为 (　 　 ) A.6 B.8 C.10 D.12 第 1 题图 　 　 　 　 第 2 题图 2.(2024 湖北武汉)小美同学按如下步骤作四边形 ABCD:①画 ∠MAN;②以点 A 为圆心,1 个单位长为半径画弧,分别交 AM, AN 于点 B,D;③分别以点 B,D 为圆心,1 个单位长为半径画 弧,两弧交于点 C;④连接 BC,CD,BD.若∠A = 44°,则∠CBD 的 大小是 (　 　 ) A.64° B.66° C.68° D.70° 3.(2024 黑龙江绥化)如图,四边形 ABCD 是菱形,CD = 5,BD = 8, AE⊥BC 于点 E,则 AE 的长是 (　 　 ) A.24 5 B.6 C.48 5 D.12 第 3 题图 　 　 　 　 　 　 第 5 题图 4.(2024 上海市)四边形 ABCD 为矩形,过点 A,C 作对角线 BD 的 垂线,过点 B,D 作对角线 AC 的垂线,如果四条垂线拼成一个四 边形,那这个四边形为 (　 　 ) A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形 5.(2024 内蒙古通辽)如图,▱ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O, 以下条件不能证明▱ABCD 是菱形的是 (　 　 ) A.∠BAC=∠BCA B.∠ABD=∠CBD C.OA2+OD2 =AD2 D.AD2+OA2 =OD2 6.(2024 广西)如图,两张宽度均为 3 cm 的纸条交叉叠放在一起, 交叉形成的锐角为 60°,则重合部分构成的四边形 ABCD 的周 长为　 　 　 　 cm. 第 6 题图 　 　 　 　 　 第 7 题图 7.(2024 内蒙古包头)如图,在菱形 ABCD 中,∠ABC= 60°,AB= 6, AC 是一条对角线,E 是 AC 上一点,过点 E 作 EF⊥AB,垂足为 F,连接 DE.若 CE=AF,则 DE 的长为　 　 　 　 . 8.(2024 云南省)如图,在四边形 ABCD 中,点 E,F,G,H 分别是各 边的中点,且 AB∥CD,AD∥BC,四边形 EFGH 是矩形. (1)求证:四边形 ABCD 是菱形; (2)若矩形 EFGH 的周长为 22,四边形 ABCD 的面积为 10,求 AB 的长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 32　 9.(2024 四川凉山)如图,在菱形 ABCD 中,∠ABC = 60°,AB = 2,E 是 BC 边上的一个动点,连接 AE,AE 的垂直平分线 MN 交 AE 于点 M,交 BD 于点 N.连接 EN,CN. (1)求证:EN=CN; (2)求 2EN +BN 的最小值. 考点 5　 正方形及有关的证明和计算 1.(2024 重庆 B 卷)如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,点 E 是 BC 上一点,点 F 是 CD 延长线上一点,连接 AE,AF,AM 平分 ∠EAF 交 CD 于点 M.若 BE=DF= 1,则 DM 的长度为 (　 　 ) A.2 B. 5 C. 6 D.12 5 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 第 2 题图 2.(2024 内蒙古呼伦贝尔)如图,边长为 2 的正方形 ABCD 的对角 线 AC 与 BD 相交于点 O.E 是 BC 边上一点,F 是 BD 上一点,连 接 DE,EF.若△DEF 与△DEC 关于直线 DE 对称,则△BEF 的 周长是 (　 　 ) A.2 2 B.2 + 2 C.4 - 2 2 D. 2 3.(2024 江苏常州) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,正方形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于原点 O.若点 A 的坐标是(2,1), 则点 C 的坐标是　 　 　 　 . 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 4.(2024 黑龙江大庆)如图,已知菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相 交于点 O,添加条件:　 　 　 　 ,可使菱形 ABCD 成为正方形. 5.(2024 北京市)如图,在正方形 ABCD 中,点 E 在 AB 上,AF⊥DE 于点 F,CG⊥DE 于点 G.若 AD = 5,CG = 4,则△AEF 的面积 为 . 6.(2024 吉林长春)如图,在△ABC 中,AB = AC = 5,BC = 6.点 D 是 边 BC 上的一点(点 D 不与点 B,C 重合),作射线 AD,在射线 AD 上取一点 P,使 AP=BD,以 AP 为边作正方形 APMN,使点 M 和点 C 在直线 AD 同侧. (1)当点 D 是边 BC 的中点时,求 AD 的长; (2)当 BD= 4 时,点 D 到直线 AC 的距离为　 　 　 　 ; (3)连接 PN,当 PN⊥AC 时,求正方形 APMN 的边长; (4)若点 N 到直线 AC 的距离是点 M 到直线 AC 距离的 3 倍,则 CD 的长为　 　 　 　 (写出一个即可) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋