专题12几何图形初步&专题13三角形-2025年中考数学真题分类必刷

25　 专题十二　 几何图形初步 考点 1　 点、线、面、体 (2024 陕西省)如图,将半圆绕直径所在的虚线旋转一周,得到的 立体图形是 (　 　 ) A. B. C. D. 考点 2　 相交线和平行线 1.(2024 河南省)如图,乙地在甲地的北偏东 50°方向上,则∠1 的 度数为 (　 　 ) A.60° B.50° C.40° D.30° 第 1 题图 　 　 　 　 　 第 2 题图 2.(2024 陕西省) 如图,AB∥DC,BC∥DE,∠B = 145°,则∠D 的 度数为 (　 　 ) A.25° B.35° C.45° D.55° 3.(2024 江苏常州)如图,推动水桶,以点 O 为支点,使其向右倾 斜.若在点 A 处分别施加推力 F1,F2,则 F1 的力臂 OA 大于 F2 的力臂 OB.这一判断过程体现的数学依据是 (　 　 ) A.垂线段最短 B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C.两点确定一条直线 D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 4.(2024 甘肃兰州)如图,小明在地图上量得∠1 =∠2,由此判断 幸福大街与平安大街互相平行,他判断的依据是 (　 　 ) A.同位角相等,两直线平行 B.内错角相等,两直线平行 C.同旁内角互补,两直线平行 D.对顶角相等 5.(2024 河南濮阳)通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光 线聚在主光轴上一点.如图,箭头所画的是光线的方向, 点 F 是 凸透镜的焦点,BD∥CE∥OF,若∠BDF = 150°,∠CEF = 161°, 则∠DFE 的度数是 (　 　 ) A.10° B.11° C.12° D.13° 第 5 题图 　 　 　 　 　 第 6 题图 6.(2024 内蒙古包头)如图,直线 AB∥CD,点 E 在直线 AB 上,射 线 EF 交直线 CD 于点 G,则图中与∠AEF 互补的角有 (　 　 ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 7.(2024 北京市)如图,直线 AB 和 CD 相交于点 O,OE⊥OC,若 ∠AOC= 58°,则∠BOE 的大小为 (　 　 ) A.29° B.32° C.45° D.58° 第 7 题图 　 　 　 　 　 第 8 题图 8.(2024 黑龙江齐齐哈尔)将一个含 30°角的三角尺和直尺如图 放置,若∠1=50°,则∠2 的度数是 (　 　 ) A.30° B.40° C.50° D.60° 9.(2024 广东深圳)如图,一束平行光线照射平面镜后反射,若入 射光线与平面镜的夹角∠1= 50°,则反射光线与平面镜的夹角 ∠4 的度数为 (　 　 ) A.40° B.50° C.60° D.70° 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 10.(2024 山东潍坊)一种路灯的示意图如图所示,其底部支架 AB 与吊线 FG 平行,灯杆 CD 与底部支架 AB 所成锐角 α= 15°,顶 部支架 EF 与灯杆 CD 所成锐角 β= 45°,则 EF 与 FG 所成锐角 的度数为 (　 　 ) A.60° B.55° C.50° D.45° 11.(2024 黑龙江大庆)如图,在一次综合实践课上,为检验纸带 ①、②的边线是否平行,小庆和小铁采用了两种不同的方法: 小庆把纸带①沿 AB 折叠,量得∠1 = ∠2 = 59°;小铁把纸 带②沿GH 折叠,发现 GD 与 GC 重合,HF 与 HE 重合.且点 C, G,D 在同一直线上,点 E,H,F 也在同一直线上.则下列判断 正确的是 (　 　 ) A.纸带①、②的边线都平行 B.纸带①、②的边线都不平行 C.纸带①的边线平行,纸带②的边线不平行 D.纸带①的边线不平行,纸带②的边线平行 考点 3　 命题 1.(2024 湖南省)下列命题中,正确的是 (　 　 ) A.两点之间,线段最短 B.菱形的对角线相等 C.正五边形的外角和为 720° D.直角三角形是轴对称图形 2.(2024 江苏无锡)命题“若 a > b,则 a - 3 < b - 3”是　 　 　 　 (填 “真”或“假”)命题. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 26　 专题十三　 三角形 考点 1　 三角形的三边关系 1.(2024 内蒙古赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程 x2- 10x + 21= 0 的两个根,则这个三角形的周长为 (　 　 ) A.17 或 13 B.13 或 21 C.17 D.13 2.(2024 四川宜宾)如图,在△ABC 中,AB = 3 2 ,AC = 2,以 BC 为 边作 Rt△BCD,BC=BD,点 D 与点 A 在 BC 的两侧,则 AD 的最 大值为 (　 　 ) A.2 + 3 2 B.6 + 2 2 C.5 D.8 考点 2　 三角形的内角和及其推论 1.(2024 四川广安)如图,在△ABC 中,点 D,E 分别是 AC,BC 的 中点,若∠A= 45°,∠CED= 70°,则∠C 的度数为 (　 　 ) A.45° B.50° C.60° D.65° 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 第 2 题图 2.(2024 四川德阳)如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意 图,其中 AB∥CD,DE⊥BC,∠ABC= 70°,则∠EDC 等于 (　 　 ) A.10° B.20° C.30° D.40° 3.(2024 甘肃兰州)如图,在△ABC 中,AB = AC,∠BAC = 130°,DA ⊥AC,则∠ADB= (　 　 ) A.100° B.115° C.130° D.145° 第 3 题图 　 　 　 　 第 4 题图 4.(2024 天津市)如图,Rt△ABC 中,∠C = 90°,∠B = 40°,以点 A 为圆心,适当长为半径画弧,交 AB 于点 E,交 AC 于点 F;再分别 以点 E,F 为圆心,大于 1 2 EF 的长为半径画弧,两弧(所在圆的 半径相等)在∠BAC 的内部相交于点 P;画射线 AP,与 BC 相交 于点 D,则∠ADC 的大小为 (　 　 ) A.60° B.65° C.70° D.75° 5.(2024 四川达州)如图,在△ABC 中,AE1,BE1 分别是内角 ∠CAB,外 角 ∠CBD 的 三 等 分 线, 且 ∠E1AD = 1 3 ∠CAB, ∠E1BD= 1 3 ∠CBD,在△ABE1 中,AE2,BE2 分别是内角∠E1AB, 外角 ∠E1BD 的 三 等 分 线. 且 ∠E2AD = 1 3 ∠E1AB, ∠E2BD = 1 3 ∠E1BD,…,以此规律作下去,若∠C=m°,则∠En = 　 　 　 　 . 考点 3　 三角形中重要的线段 1.(2024 河北省)观察图中尺规作图的痕迹,可得线段 BD 一定是 △ABC 的 (　 　 ) A.角平分线 B.高线 C.中位线 D.中线 2.(2024 四川甘孜)如图,在△ABC 中,AB = AC,∠A = 40°,按如下 步骤作图:①以点 B 为圆心,适当长为半径画弧, 分别交 BA,BC 于点 D,E;②分别以点 D,E 为圆 心,大于 1 2 DE 的长为半径画弧,两弧在∠ABC 的内 部相交于点 F,作射线 BF 交 AC 于点 G.则∠ABG 的大小为　 　 　 　 度. 3.(2024 黑龙江绥化)已知:△ABC. (1)尺规作图:画出△ABC 的重心 G;(保留作图痕迹,不要求写 作法和证明) (2)在 ( 1) 的条件下,连接 AG,BG.已知△ABG 的面积等于 5 cm2,则△ABC 的面积是　 　 　 　 cm2 . 考点 4　 等腰三角形的性质和判定 1.(2024 云南省)已知 AF 是等腰△ABC 底边 BC 上的高,若点 F 到直线 AB 的距离为 3,则点 F 到直线 AC 的距离为 (　 　 ) A. 3 2 B.2 C.3 D. 7 2 2.(2024 湖南省)一个等腰三角形的一个底角为 40°,则它的顶角 的度数是　 　 　 　 度. 3.(2024 广东广州)如图,▱ABCD 中,BC= 2,点 E 在 DA 的延长线 上,BE= 3,若 BA 平分∠EBC,则 DE= 　 　 　 　 . 第 3 题图 　 　 　 　 　 　 第 4 题图 4.(2024 浙江省)如图,D,E 分别是△ABC 中边 AB,AC 的中点,连 接 BE,DE.若∠AED=∠BEC,DE= 2,则 BE 的长为　 　 　 　 . 考点 5　 直角三角形的性质和判定 1.(2024 青海省)如图,在 Rt△ABC 中,D 是 AC 的中点,∠BDC = 60°,AC= 6,则 BC 的长是 (　 　 ) A.3 B.6 C. 3 D.3 3 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 第 2 题图 2.(2024 安徽省)如图,在 Rt△ABC 中,AC =BC = 2,点 D 在 AB 的 延长线上,且 CD=AB,则 BD 的长是 (　 　 ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 27　 A. 10 - 2 B. 6 - 2 C.2 2 - 2 D.2 2 - 6 3.(2024 陕西省)如图,在△ABC 中,AB = AC,E 是边 AB 上一点, 连接 CE,在 BC 右侧作 BF∥AC,且 BF = AE,连接 CF.若 AC = 13,BC= 10,则四边形 EBFC 的面积为　 　 　 　 . 第 3 题图 　 　 　 　 　 　 第 4 题图 4.(2024 广东深圳)如图,在△ABC 中,AB =BC,tanB = 5 12 ,D 是 BC 上一点,且满足BD CD = 8 5 ,过点 D 作 DE⊥AD 交 AC 的延长线于点 E,则CE AC = 　 　 　 　 . 5.(2024 江苏连云港)如图,在△ABC 中,∠C = 90°,∠B = 30°, AC= 2.点 P 在边 AC 上,过点 P 作 PD⊥AB,垂足为 D,过点 D 作 DF⊥BC,垂足为 F.连接 PF,取 PF 的中点 E.在点 P 从点 A 到点 C 的运动过程中,点 E 所经过的路径长为　 　 　 　 . 考点 6　 全等三角形的性质和判定 1.(2024 北京市)下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图 方法. (1)如图,以点 O 为圆心,任意长为半径画弧,分别交 OA,OB 于点 C,D; (2)作射线 O′A′,以点 O′为圆心,OC 长为半径画弧,交 O′A′于点 C′;以 点 C′为圆心,CD 长为半径画弧,两弧交于点 D′; (3)过点 D′作射线 O′B′,则∠A′O′B′=∠AOB. 上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD 得到∠A′O′B′ =∠AOB, 其中判定△C′O′D′≌△COD 的依据是 (　 　 ) A.三边分别相等的两个三角形全等 B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形 全等 2.(2024 广东广州)如图,在△ABC 中,∠A = 90°,AB =AC = 6,D 为 边 BC 的中点,点 E,F 分别在边 AB,AC 上,AE = CF,则四边形 AEDF 的面积为 (　 　 ) A.18 B.9 2 C.9 D.6 2 第 2 题图 　 　 　 　 　 第 3 题图 3.(2024 湖北省)如图,平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为 ( - 4,6),将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 90°,则点 A 的对应点 A′的坐标为 (　 　 ) A.(4,6) B.(6,4) C.( - 4,- 6) D.( - 6,- 4) 4.(2024 安徽省)在凸五边形 ABCDE 中,AB = AE,BC = DE,F 是 CD 的中点.下列条件中,不能推出 AF 与 CD 一定垂直的是 (　 　 ) A.∠ABC=∠AED B.∠BAF=∠EAF C.∠BCF=∠EDF D.∠ABD=∠AEC 5.(2023 广东深圳)如图,在△ABC 中,AB = AC,tanB = 3 4 ,D 为 BC 上 一动点,连接 AD,将△ABD 沿 AD 翻折得到△AED,DE 交 AC 于点 G,GE<DG,且 AG ∶CG = 3 ∶1,则 S△AGE S△ADG = 　 　 　 　 . 6.(2024 甘肃临夏)如图,在△ABC 中,点 A 的坐标为(0,1),点 B 的坐标为(4,1),点 C 的坐标为(3,4),点 D 在第一象限(不与点 C 重合),且△ABD 与△ABC 全等,则点 D 的坐标是　 　 　 　 . 第 6 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 7 题图 7.(2024 黑龙江牡丹江)如图,△ABC 中,D 是 AB 上一点,CF∥ AB,D,E,F 三点共线,请添加一个条件:　 　 　 　 ,使得 AE=CE (只添加一种情况即可) . 考点 7　 锐角三角形的性质和判定 1.(2024 云南省)在 Rt△ABC 中,∠B= 90°,已知 AB= 3,BC= 4,则 tanA 的值为 (　 　 ) A. 4 5 B. 3 5 C. 4 3 D. 3 4 2.(2024 吉林长春)2024 年 5 月 29 日 16 时 12 分,“长春净月一 号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.当火箭上升 到点 A 时,位于海平面 R 处的雷达测得点 R 到点 A 的距离为 a 千米,仰角为 θ,则此时火箭距海平面的高度 AL 为 (　 　 ) A.asinθ 千米 B. a sinθ 千米 C.acosθ 千米 D. a cosθ 千米 第 2 题图 　 　 　 　 第 3 题图 3.(2024 四川眉山)如图,在矩形 ABCD 中,AB = 6,BC = 8,点 E 在 DC 上,把△ADE 沿 AE 折叠,点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处, 则 cos∠CEF 的值为 (　 　 ) A. 7 4 B. 7 3 C. 3 4 D. 5 4 4.(2024 江西省)将图 1 所示的七巧板,拼成如图 2 所示的四边形 ABCD,连接 AC,则 tan∠CAB= 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 28　 5.(2024 河北省)中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某 晚,淇淇在家透过窗户的最高点 P 恰好看到一颗星星,此时淇 淇距窗户的水平距离 BQ= 4 m,仰角为 α;淇淇向前走了 3 m 后 到达点 D,透过点 P 恰好看到月亮,仰角为 β,如图是示意图.已 知,淇淇的眼睛与水平地面 BQ 的距离 AB =CD = 1.6 m,点 P 到 BQ 的距离 PQ= 2.6 m,AC 的延长线交 PQ 于点 E.(注:图中所 有点均在同一平面) (1)求 β 的大小及 tanα 的值; (2)求 CP 的长及 sin∠APC 的值. 考点 8　 解直角三角形的实际应用 1.(2024 湖北武汉)黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点,享有“天下 江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中,某数学小组用无 人机测量黄鹤楼 AB 的高度,具体过程如下:如图,将无人机垂直 上升至距水平地面 102 m 的 C 处,测得黄鹤楼顶端 A 的俯角为 45°,底端 B 的俯角为 63°,则测得黄鹤楼的高度是　 　 　 　 m(参 考数据:tan63°≈2) . 2.(2024 四川眉山)如图,斜坡 CD 的坡度 i = 1 ∶2,在斜坡上有一 棵垂直于水平面的大树 AB,当太阳光与水平面的夹角为 60° 时,大树在斜坡上的影子 BE 长为 10 米,则大树 AB 的高为　 　 　 　 米. 第 2 题图 　 　 　 　 　 第 3 题图 3.(2024 福建省)无动力帆船是借助风力前行的.如图是帆船借助 风力航行的平面示意图,已知帆船航行方向与风向所在直线的 夹角∠PDA 为 70°,帆与航行方向的夹角∠PDQ 为 30°,风对帆 的作用力 F 为 400 N.根据物理知识,F 可以分解为两个力 F1 与 F2,其中与帆平行的力 F1 不起作用,与帆垂直的力 F2 可以分解 为两个力 f1 与 f2,f1 与航行方向垂直,被舵的阻力抵消;f2 与航行 方向一致,是真正推动帆船前行的动力.在物理学上常用线段的 长度表示力的大小,据此,建立数学模型:F=AD= 400,则f2 =CD= 　 　 　 　 (单位:N)(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77) . 4.(2024 江西省) 图 1 是世界第一“大碗”———景德镇昌南里文化 艺术中心主体建筑,其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠 碗,寓意“万瓷之母”,如图 2,“大碗”的主视图由“大碗”主体 ABCD 和矩形碗底 BEFC 组成,已知 AD∥EF,AM,DN 是太阳光 线,AM⊥MN,DN⊥MN,点 M,E,F,N 在同一条直线上,经测量 ME=FN= 20.0 m,EF = 40.0 m,BE = 2.4 m,∠ABE = 152°.(结果 精确到 0.1 m) (1)求“大碗”的口径 AD 的长; (2)求“大碗”的高度 AM 的长.(参考数据:sin62°≈0.88,cos62°≈ 0.47,tan62°≈1.88) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 29　 5.(2024 湖南省)某数学研究性学习小组在老师的指导下,利用课 余时间进行测量活动. 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动 过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑,其底座的底面为矩 形 ABCD,其示意图如下: 测绘过程 与 数据信息 ①在水池外取一点 E,使得点 C,B,E 在同一条直 线上; ②过点 E 作 GH⊥CE,并沿 EH 方向前进到点 F,用 皮尺测得 EF 的长为 4 米; ③在点 F 处用测角仪测得∠CFG = 60.3°,∠BFG = 45°,∠AFG= 21.8°; ④用计算器计算得: sin60. 3° ≈0. 87, cos60. 3° ≈ 0.50,tan60. 3° ≈1. 75. sin21. 8° ≈0. 37, cos21. 8° ≈ 0.93,tan21.8°≈0.40. 请根据表格中提供的信息,解决下列问题(结果保留整数): (1)求线段 CE 和 BC 的长度; (2)求底座的底面 ABCD 的面积. 6.(2024 广东广州)2024 年 6 月 2 日,嫦娥六号着陆器和上升器 组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面.某校综合 实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置,在一次试验 中,如图,该模拟装置在缓速下降阶段从 A 点垂直下降到 B 点, 再垂直下降到着陆点 C,从 B 点测得地面 D 点的俯角为 36.87°, AD= 17 米,BD= 10 米. (1)求 CD 的长; (2)若模拟装置从 A 点以每秒 2 米的速度匀速下降到 B 点,求 模拟装置从 A 点下降到 B 点的时间.(参考数据:sin36.87°≈ 0.60,cos36.87°≈0.80,tan36.87°≈0.75) 7.(2024 广东省)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低 碳转型做出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求,某小区 增设了充电站,如图是矩形 PQMN 充电站的平面示意图,矩形 ABCD 是其中一个停车位.经测量,∠ABQ= 60°,AB= 5.4 m,CE= 1.6 m,GH⊥CD,GH 是另一个车位的宽,所有车位的长、宽相 同,按图示并列划定.根据以上信息回答下列问题(结果精确到 0.1 m,参考数据: 3≈1.73): (1)求 PQ 的长; (2)该充电站有 20 个停车位,求 PN 的长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3 2 ,∴ 平移的距离为 6 - 3 2 = 9 2 . 18.解:(1)70;300; 【解析】由图可知,甲车 2 7 h 行驶的路程为 200 - 180= 20(km),∴ 甲车行驶的速度 20÷ 2 7 =70(km/ h),∴ A,C 两地的距离为 4+ 2 7 æ è çç ö ø ÷÷ ×70=300(km). (2) 由图可知,点 E,F 的坐标分别为 5 2 ,0 æ è çç ö ø ÷÷ ,(4, 180), 设线段 EF 所在直线的函数解析式为 y= kx + b, 则 5 2 k + b= 0 4k + b= 180 ì î í ï ï ï ï ,解得 k= 120 b= - 300{ , ∴ 线段 EF 所在直线的函数解析式为 y= 120x - 300; (3) 5 8 h 或25 13 h. 【解析】由题意可知,A,C 两地的距离为 300 km,∴ 乙车行驶的速度为 300 ÷ 5 2 - 70= 50(km / h),∴ C,B 两地的距离为 50 × 4= 200(km),∴ A,B 两地的距离 为 300 - 200 = 100(km),设两车出发 x h,乙车距 B 地的路程是甲车距 B 地路程的 3 倍, ①甲、乙相遇前,由题意,得 200 - 50x = 3 ( 100 - 70x),解得 x= 5 8 ; ②甲、乙相遇后,由题意,得 200 - 50x = 3 ( 70x - 100),解得 x= 25 13 .综上,两车出发 5 8 h 或25 13 h 时,乙 车距 B 地的路程是甲车距 B 地路程的 3 倍. 19.解:(1)设二次函数的解析式为 y= x + 1 2 æ è çç ö ø ÷÷ 2 + k, 将点 A( - 2,5)代入,解得 k= 11 4 , ∴ y= x + 1 2 æ è çç ö ø ÷÷ 2 + 11 4 = x2+ x + 3; (2)由题意可知,点 B 平移后的点的坐标为(1-m,9), 则 9=(1 -m) 2+(1 -m) + 3, 解得 m= - 1(舍去)或m= 4, ∴ m 的值为 4; (3)当 x= -2 时,y=(-2) 2- 2 + 3= 5, ①当 - 2 <n < - 1 2 时,最大值与最小值的差为 5 - n + 1 2 æ è çç ö ø ÷÷ 2 + 11 4 é ë ê êê ù û ú úú = 9 4 ,解得 n= - 1 2 (舍去); ②当 - 1 2 ≤n≤1 时,最大值与最小值的差为 5-11 4 = 9 4 ,符合题意; ③当 n > 1 时,最大值与最小值的差为 n + 1 2 æ è çç ö ø ÷÷ 2 + 11 4 - 11 4 = 9 4 , 解得 n= 1(舍去)或 n= - 2(舍去) . 综上,n 的取值范围为 - 1 2 ≤n≤1. 专题十二　 几何图形初步 考点 1　 点、线、面、体 C 考点 2　 相交线和平行线 1.B　 2.B　 3.A　 4.B 5.B　 【解析】∵ BD∥CE∥OF,∴ ∠DFO=180° -∠BDF= 180° - 150° = 30°,∠EFO = 180° - ∠CEF = 180° - 161° = 19°,∴ ∠DFE=∠DFO -∠EFO= 11°.故选 B. 6.C　 【解析】 ∵ AB∥CD,∴ ∠AEF + ∠CGE = 180°,∵ ∠CGE=∠DGF,∴ ∠AEF+∠DGF=180°,又∵ ∠AEF + ∠BEG = 180°, ∴ 与 ∠AEF 互 补 的 角 有 ∠CGE, ∠DGF,∠BEG,共 3 个.故选 C. 7.B 　 【解析】 ∵ OE⊥OC,∴ ∠COE = 90°,∵ ∠AOC + ∠COE+∠BOE = 180°,∠AOC = 58°,∴ ∠BOE = 180° - 90° - 58° = 32°.故选 B. 8.B　 【解析】如图,标记图形,则∠3 =∠1 = 50°,∠5 = 90°,∠2=∠4,∴ ∠2 =∠4 = 180° -∠5 -∠3 = 40°.故 选 B. 9.B　 【解析】如图,标记图形,并画出法线 CD,则 CD⊥ AB,∠5=∠6,∴ ∠1 + ∠5 = ∠2 + ∠6 = 90°,∴ ∠1 = ∠2= 50°,由题意可知,GF∥DE,∴ ∠4 =∠2 = 50°.故 选 B. 10.A　 【解析】如图,过点 E 作 EH ∥AB,则 AB∥EH∥ FG,∴ ∠BEH = α = 15°,∠FEH +∠EFG = 180°,∵ β = 45°,∴ ∠FEH = 180° - 45° - 15° = 120°,∴ ∠EFG = 180° -∠FEH= 60°,∴ EF 与 FG 所成锐角的度数为 60°.故选 A. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·91· 11.D　 【解析】如图,标记图形,∵ 纸带①中,∠1=∠2= 59°,∠APB=∠1=59°,∴ ∠ABP = 180° -∠2 -∠APB = 62°,由折叠得,∠ABN =∠ABP = 62°,∴ ∠2≠∠ABN, ∴ AP 与 MN 不平行;纸带②中,由折叠得,∠CGH = ∠DGH,∠EHG=∠FHG,∵ 点 C,G,D 在同一直线上, 点 E,H,F 也在同一直线上,∴ ∠CGH + ∠DGH = 180°,∠EHG + ∠FHG = 180°, ∴ ∠EHG = ∠FHG = 90°,∠CGH=∠DGH= 90°,∴ ∠EHG + ∠CGH= 180°, ∴ CD∥EF.综上,纸带①的边线不平行,纸带②的边 线平行.故选 D. 考点 3　 命题 1.A　 【解析】“两点之间,线段最短”是真命题,A 项正 确;菱形的对角线互相垂直,但不一定相等,∴ “菱形 的对角线相等”是假命题,B 项错误;正五边形的外角 和为 360°,∴ “正五边形的外角和为 720°”是假命题, C 项错误;直角三角形不一定是轴对称图形,只有等 腰直角三角形是轴对称图形,∴ “直角三角形是轴对 称图形”是假命题,D 项错误.故选 A. 2.假 专题十三　 三角形 考点 1　 三角形的三边关系 1.C　 【解析】由方程 x2- 10x + 21= 0 得,x1 = 3,x2 = 7,∵ 3 + 3 < 7,∴ 等腰三角形的底边长为 3,腰长为 7,∴ 这 个三角形的周长为 3 + 7 + 7= 17.故选 C. 2.D　 【解析】如图,把△ABC 绕点 B 顺时针旋转 90°得 到△HBD,∴ AB=HB= 3 2 ,AC=HD= 2,∠ABH= 90°, ∴ 在 Rt△ABH 中,AH = AB2+HB2 = 6,∵ 在△ADH 中,AD <HD + AH,∴ 当点 A,H,D 共线时,AD 有最大 值,∴ AD 的最大值为 6 + 2= 8.故选 D. 考点 2　 三角形的内角和及其推论 1.D　 【解析】∵ 点 D,E 分别是 AC,BC 的中点,∴ DE∥ AB,∵ ∠A = 45°,∴ ∠CDE = ∠A = 45°,∵ ∠CED = 70°,∴ ∠C= 180° - 45° - 70° = 65°.故选 D. 2. B 　 【解析】 ∵ AB∥ CD,∠ABC = 70°,∴ ∠BCD = ∠ABC= 70°,∵ DE⊥BC,∴ ∠CED = 90°,∴ ∠EDC = 90° - 70° = 20°.故选 B. 3. B 　 【解析】 ∵ AB = AC, ∠BAC = 130°, ∴ ∠C = 180 -∠BAC 2 = 25°, ∵ DA⊥ AC, ∴ ∠CAD = 90°, ∴ ∠ADB=∠C +∠CAD= 115°.故选 B. 4.B　 【解析】∵ ∠C = 90°,∠B = 40°,∴ ∠BAC = 90° - ∠B= 50°,由作图可知,AP 平分∠BAC,∴ ∠BAD = 1 2 ∠BAC= 25°,∴ ∠ADC=∠B +∠BAD= 65°.故选 B. 5. 1 3n m° 　 【解析】 ∵ ∠E1AD = 1 3 ∠CAB, ∠E1BD = 1 3 ∠CBD,∴ 设∠E1AD =α,∠E1BD = β,则∠CAB = 3α, ∠CBD= 3β,∴ β = α + ∠E1,3β = 3α + ∠C,∴ ∠E1 = 1 3 ∠C,同理,∠E2 = 1 3 ∠E1,∴ ∠E2 = 1 3 æ è çç ö ø ÷÷ 2 ∠C,…,∴ ∠En = 1 3 æ è çç ö ø ÷÷ n ∠C,∵ ∠C=m°,∴ ∠En = 1 3n m°. 考点 3　 三角形中重要的线段 1.B 2.35　 【解析】∵ AB = AC,∠A = 40°,∴ ∠ABC =∠ACB = 70°,由作图可知,BG 为∠ABC 的平分线,∴ ∠ABG = ∠GBC= 35°. 3.解:(1)如图所示: (2)15. 【解析】∵ G 是△ABC 的重心,∴ AG = 2 3 AD,∴ S△ABG S△ABD = 2 3 ,∵ △ABG 的面积等于 5 cm2,∴ S△ABD = 7.5 cm2,又 ∵ D 是 BC 的中点,∴ S△ABC = 2S△ABD = 15 cm2 . 考点 4　 等腰三角形的性质和判定 1.C　 2.100 3.5　 【解析】 ∵ 在▱ABCD 中,BC = 2,∴ AD = BC = 2, BC∥AD,∴ ∠CBA = ∠BAE, ∵ BA 平 分 ∠EBC, ∴ ∠CBA=∠EBA,∴ ∠BAE = ∠EBA,∴ AE = BE = 3,∴ DE=AD +AE= 2 + 3= 5. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·02· 4.4　 【解析】∵ D,E 分别是边 AB,AC 的中点,∴ DE 是 △ABC 的中位线,∴ DE∥BC,BC = 2DE = 4,∴ ∠AED= ∠C,∵ ∠AED=∠BEC,∴ ∠C=∠BEC,∴ BE=BC=4. 考点 5　 直角三角形的性质和判定 1.A　 【解析】∵ 在 Rt△ABC 中,∠ABC = 90°,D 是 AC 的中点,∴ BD = 1 2 AC = CD = 3,∵ ∠BDC = 60°,∴ △BDC 是等边三角形,∴ BC=CD= 3.故选 A. 2.B　 【解析】如图,过点 D 作 DE⊥CB 交 CB 的延长线 于点 E,则∠BED = 90°,∵ ∠ACB = 90°,AC = BC = 2, ∴ AB = AC2+BC2 = 2 2 ,∠A =∠ABC = 45°,∴ CD = AB= 2 2 ,∠DBE= 45°,∴ △BDE 为等腰直角三角形, ∴ DE=BE,设 DE=BE= x,则 CE= 2+x,∵ 在 Rt△CDE 中,CE2+DE2 =CD2,∴ (2 + x) 2+ x2 =(2 2 ) 2 ,解得x1 = 3 -1,x2 = - 3 - 1(舍去),∴ DE =BE = 3 - 1,∴ 在 Rt△BDE 中,BD= BE2+DE2 = 6 - 2 .故选 B. 3.60　 【解析】如图,过点 C 分别作 CM⊥AB,CN⊥BF, 垂足分别为 M,N,∵ AB = AC,∴ ∠ABC = ∠ACB,∵ BF∥AC,∴ ∠ACB =∠CBF,∴ ∠ABC =∠CBF,∴ BC 平分∠ABF,∴ CM=CN,∵ S△ACE = 1 2 AE·CM,S△CBF = 1 2 BF·CN,且 BF = AE,∴ S△CBF = S△ACE,∴ 四边形 EBFC 的面积= S△CBF+ S△CBE = S△ACE+ S△CBE = S△ABC,∵ AC= 13,∴ AB= 13,设 AM= x,则 BM= 13 -x,由勾股定 理,得 CM2 = AC2 - AM2 = BC2 - BM2,∴ 132 - x2 = 102 - (13 - x) 2,解得 x = 119 13 ,∴ CM = 132- 119 13 æ è çç ö ø ÷÷ 2 = 120 13 , ∴ S△ABC = 1 2 AB·CM = 1 2 × 13 × 120 13 = 60,∴ 四边形 EBFC 的面积为 60. 4.20 21 　 【解析】如图,过点 A 作 AH⊥BC,垂足为H,过点 C 作 CM⊥AD,垂足为 M,∵ BD CD = 8 5 ,AB=BC,∴ 设AB= BC=13x,则 BD=8x,CD=5x,∵ tanB= 5 12 ,∴ AH BH = 5 12 ,∵ AB=BC= 13x,∴ AH2 +BH2 = AB2 = 169x2,解得AH= 5x, BH= 12x,∴ DH=BH -BD = 4x,∴ HC =CD -DH = x,∴ AD = AH2+DH2 = 41 x,AC = AH2+CH2 = 26 x,∴ cos∠ADC = DH AD = 4 41 41 ,∴ DM = CD· cos∠ADC= 20 41 41 x,∴ AM = AD - DM = 21 41 41 x,∵ DE⊥ AD, CM⊥AD,∴ MC∥DE,∴ CE AC =DM AM = 20 41 41 x 21 41 41 x = 20 21 . 5. 19 4 　 【解析】如图,以点 C 为原点,CB 方向为 x 轴, CA 方向为 y 轴,建立平面直角坐标系,过点 D 作 DG ⊥AC 于点 G,则∠AGD= 90°,设 AP = a,则 CP = 2 - a, ∴ P(0,2 -a),∵ 在△ABC 中,∠C= 90°,∠B = 30°,∴ ∠A= 60°,∵ PD⊥AB,∴ ∠PDA= 90°,∴ ∠APD= 30°, ∴ AD= 1 2 AP = a 2 ,∴ DG=AD·sinA= 3 4 a,∵ DF⊥BC, DG⊥AC,∠ACB=90°,∴ 四边形 DGCF 为矩形,∴ DG= CF,∴ F 3a 4 ,0 æ è ç ç ö ø ÷ ÷ ,∵ E 为 PF 的中点,∴ E 3 8 a,1- 1 2 a æ è ç ç ö ø ÷ ÷ , 令 x= 3 8 a,y=1- 1 2 a,则 y=1-4 3 3 x,∴ 点 E 在直线y= 1 - 4 3 3 x 上运动,其运动轨迹为一条定长的线段,当 点 P 与点 C 重合时,a= 2,此时 E 3 4 ,0 æ è ç ç ö ø ÷ ÷ ;当点 P 与点 A 重合时,a = 0,此时 E(0,1),∴ 点 E 所经过的路径 长为 12+ 3 4 æ è ç ç ö ø ÷ ÷ 2 = 19 4 . 考点 6　 全等三角形的性质和判定 1.A　 【解析】由作图可知,O′D′=OD,O′C′=OC,C′D′= CD,∴ 判定△C′O′D′≌△COD 的依据是 SSS.故选 A. 2.C　 【解析】如图,连接 AD,∵ ∠BAC=90°,AB=AC=6,D 是 BC 的中点,∴ ∠BAD=∠B=∠C= 45°,AD=BD=CD, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·12· 又∵ AE = CF,∴ △AED≌△CFD(SAS),∴ S四边形AEDF = S△AED+ S△ADF = S△CFD + S△ADF = S△ADC = 1 2 S△ABC,又∵ S△ABC =6×6× 1 2 =18,∴ S四边形AEDF = 1 2 S△ABC = 9.故选 C. 3.B　 【解析】如图,过点 A 和点 A′分别作 x 轴的垂线, 垂足分别为 B,C,则∠OBA =∠A′CO = 90°,∵ 点 A 的 坐标为( - 4,6),∴ OB = 4,AB = 6,由旋转得,OA = OA′,∠AOA′= 90°,∴ ∠AOB= 90° -∠A′OC =∠OA′C, ∴ △AOB≌△OA′C(AAS),∴ OB = A′C = 4,AB =OC = 6,∴ 点 A′的坐标为(6,4) .故选 B. 4.D 　 【解析】如图,连接 AC,AD,∵ ∠ABC = ∠AED, AB=AE,BC = ED,∴ △ACB≌△ADE( SAS),∴ AC = AD,又∵ 点 F 为 CD 的中点,∴ AF⊥CD,A 项不符合 题意;连接 BF,EF,∵ AB = AE,∠BAF =∠EAF,AF = AF,∴ △ABF≌△AEF ( SAS),∴ BF = EF,∠AFB = ∠AFE,又∵ 点 F 为 CD 的中点,∴ CF = DF,∵ BC = ED,∴ △CBF≌△DEF( SSS),∴ ∠CFB = ∠DFE,∴ ∠CFB +∠AFB =∠DFE +∠AFE = 90°,∴ AF⊥CD,B 项不符合题意;连接 BF,EF,∵ CF = DF,∠BCF = ∠EDF,BC = ED,∴ △CBF≌△DEF ( SAS),∴ BF = EF,∠CFB=∠DFE,∵ AB = AE,AF = AF,∴ △ABF≌ △AEF(SSS),∴ ∠AFB =∠AFE,∴ ∠CFB +∠AFB = ∠DFE+∠AFE= 90°,∴ AF⊥CD,C 项不符合题意;由 ∠ABD=∠AEC 无法推出 AF⊥CD,D 项符合题意.故 选 D. 5.49 75 　 【解析】如图,过点 A 分别作 AM⊥BD 于点 M, AN⊥DE于点 N,过点 G 作 GP⊥BC 于点 P,则 AM = AN,tanB = AM BM = 3 4 ,设 AM = 12a,则 BM = 16a,∴ 在 Rt△ABM中, AB = AM2+BM2 = 20a,又∵ AB = AC, AM⊥BD,∴ CM = BM= 16a,AB = AC = 20a,∠B =∠C, ∵ AG ∶CG = 3 ∶ 1,∴ CG = 5a,AG = 15a,∵ 在 Rt△PCG 中,tanC= tanB = GP CP = 3 4 ,∴ GP = 3a,CP = 4a,∵ AG = 15a,AM=AN= 12a,AN⊥DE,∴ GN= AG2-AN2 = 9a, 由翻折得, AB = AE = 20a,∴ 在 Rt△AEN 中,EN = AE2-AN2 = 16a,∴ EG = EN - GN = 7a,∵ AD = AD, AM=AN, AM ⊥ BD, AN ⊥ DE, ∴ Rt △ADM ≌ Rt△ADN(HL),∴ DM = DN,设 DM = DN = x,则 DG = DN +GN = x + 9a,DP = CM - CP - DM = 16a - 4a - x = 12a - x, ∵ 在 Rt △PDG 中, DP2 + GP2 = DG2, 即 (12a - x) 2+(3a) 2 =(x + 9a) 2,解得 x= 12 7 a,∴ DG= x+ 9a= 75 7 a,∴ S△AGE S△ADG = 1 2 EG·AN 1 2 DG·AN =EG DG = 7a 75 7 a = 49 75 . 6.(1,4) 　 【解析】 ∵ 点 D 在第一象限(不与点 C 重 合),且△ABD 与△ABC 全等,∴ AD =BC,AC =BD,∴ 可画图形如下: ∴ 点 C,D 关于线段 AB 的垂直平分线 x = 2 对称,∴ 点 D 的坐标为(1,4) . 7.DE=FE(或 AD = CF) 　 【解析】∵ CF∥AB,∴ ∠A = ∠ECF,∠ADE=∠CFE,∴ 添加条件 DE =FE,可以使 得△ADE≌△CFE(AAS),添加条件 AD = CF,也可以 使得△ADE≌△CFE(ASA),∴ AE=CE. 考点 7　 锐角三角形的性质和判定 1.C　 2.A 3.A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD = BC = 8, DC=AB= 6,由折叠得,∴ AF=AD= 8,FE =DE,∴ BF = AF2-AB2 = 2 7 ,CE =DC -DE = 6 - EF,∴ CF = BC - BF= 8 - 2 7 ,∵ 在 Rt△EFC 中,EF2 = CE2 + CF2,∴ EF2 =(6 -EF) 2+(8 - 2 7 ) 2 ,∴ EF= 32 - 8 7 3 ,∴ CE = 6 - 32 - 8 7 3 = 8 7 - 14 3 ,∴ cos∠CEF = CE EF = 8 7 - 14 3 32 - 8 7 3 = 7 4 .故选 A. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·22· 4. 1 2 　 【解析】如图 1,设等腰直角△MNQ 的直角边为 a,则 MQ = 2 a,小正方形的边长为 a,∴ MP = 2a,∴ EM= (2a) 2+(2a) 2 = 2 2 a,∴ MT = EM = 2 2 a,∴ QT= 2 2 a - 2 a = 2 a,如图 2,过点 C 作 CH⊥AB 交 AB 的延长线于点 H,则 CH = BD,BH = CD,由图 1 可 知,AB=BD = 2 2 a,CD = 2 a + 2 a = 2 2 a,∴ CH = 2 2 a,BH = 2 2 a,∴ AH = 2 2 a + 2 2 a = 4 2 a,∴ tan∠CAB=CH AH = 2 2 a 4 2 a = 1 2 . 5.解:(1)由题意可知,PQ⊥AE,PQ = 2. 6,AB = CD = EQ= 1.6,AE=BQ= 4,AC=BD= 3, ∴ CE=AE -AC= 1,PE=PQ -EQ= 1,∠CEP= 90°, ∴ CE=PE,∴ β=∠PCE= 45°, ∴ tanα= tan∠PAE=PE AE = 1 4 ; (2)∵ CE=PE= 1,∠CEP= 90°, ∴ 在 Rt△CPE 中,CP= CE2+PE2 = 2 ; 如图,过点 C 作 CH⊥AP 于点 H, ∵ tanα= tan∠PAE=CH AH = 1 4 , ∴ 设 CH= x,则 AH= 4x, ∴ x2+(4x) 2 =AC2 = 9, 解得 x= 3 17 17 ,∴ CH= 3 17 17 , ∴ sin∠APC=CH CP = 3 17 17 2 = 3 34 34 . 考点 8　 解直角三角形的实际应用 1.51　 【解析】如图,延长 BA 交距水平地面 102 m 的水 平线于点 D,则 BD = 102,BD⊥CD,∴ 设 AD = x,则 DC= AD = x,∴ tan∠DCB = tan63° = BD DC = 102 x ≈2,∴ DC=AD≈51,∴ AB=BD -AD= 51,即黄鹤楼的高度约 为 51 m. 2.(4 15 - 2 5 ) 　 【解析】如图,过点 E 作水平地面的 平行线,交 AB 的延长线于点 H,则 ∠AEH = 60°, tan∠BEH= i= BH EH = 1 2 ,∴ 设 BH = x,则 EH = 2x,∴ 在 Rt△BEH中,∴ BE = EH2+BH2 = 5 x = 10,∴ x = 2 5 ,∴ BH= 2 5 ,EH = 4 5 ,∴ AH = tan∠AEH·EH = 3EH= 4 15 ,∴ AB=AH -BH= 4 15 - 2 5 ,即大树 AB 的高度为(4 15 - 2 5 )米. 3.128 　 【解析】 ∵ ∠PDA 为 70°,∠PDQ 为 30°, ∴ ∠ADQ=∠PDA -∠PDQ = 40°,由题意可知,∠BDQ = 90°,AB∥QD,∴ ∠BAD =∠ADQ = 40°,∴ 在 Rt△ABD 中,F2 = BD = AD· sin∠BAD = 400 × sin40°≈256,∵ ∠BDC= 180° - ∠PDQ - ∠BDQ = 60°,∴ 在Rt△BCD 中,f2 =CD=BD·cos∠BDC≈128. 4.解:(1)∵ AD∥EF,AM⊥MN,DN⊥MN, ∴ 四边形 AMND 是矩形, ∴ AD=ME +EF +FN= 80.0. 答:“大碗”的口径 AD 的长为 80.0 m; (2)如图,延长 EB 交 AD 于点 H,则四边形 AMEH 是 矩形, ∴ AH=ME= 20,AM=HE, ∵ ∠ABE= 152°,∴ ∠ABH= 180° -∠ABE= 28°, ∴ ∠HAB= 90° -∠ABH= 62°, ∴ 在 Rt△ABH 中,BH=AH·tan∠HAB≈37.6, ∴ AM=HE=BH +BE≈40.0. 答:“大碗”的高度 AM 的长约为 40.0 m. 5.解:(1)∵ GH⊥CE,EF 的长为 4,∠CFG= 60.3°, ∴ tan∠CFE= tan60.3° =CE EF ≈1.75,∴ CE= 7; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·32· ∵ ∠BFG= 45°,∴ BE=EF= 4, ∴ BC=CE -BE= 3; (2)如图,过点 A 作 AM⊥GH 于点 M,则四边形 ABEM 是矩形, ∴ AM=BE= 4,AB=ME, ∵ ∠AFG= 21.8°, ∴ tan∠AFG= tan21.8° = AM MF ≈0.40, ∴ MF= 10,∴ AB=ME=MF -EF= 6, ∴ 底座的底面 ABCD 的面积为 3 × 6= 18(平方米). 6.解:(1)如图,过点 B 作 BE∥CD 交 AD 于点 E, 由题意可知,∠DBE= 36.87°, ∴ ∠BDC= 36.87°, ∵ 在△BCD 中,∠C= 90°,BD= 10, ∴ CD=BD·cos36.87°≈10 × 0.80≈8. 答:CD 的长约为 8 米; (2)∵ 在 Rt△ACD 中,AD= 17,CD= 8, ∴ AC= AD2-CD2 = 15, ∵ 在 Rt△BCD 中,BD= 10, ∴ BC=BD·sin36.87°≈10 × 0.60≈6, ∴ AB=AC -BC= 9, ∵ 模拟装置从 A 点以每秒 2 米的速度匀速下降到 B 点, ∴ 9 ÷ 2= 4.5(秒) . 答:模拟装置从 A 点下降到 B 点的时间为 4.5 秒. 7.解:(1)∵ 四边形 PQMN 是矩形,∴ ∠Q=∠P= 90°, ∵ 在 Rt△ABQ 中,∠ABQ= 60°,AB= 5.4, ∴ AQ=AB·sin∠ABQ= 27 3 10 ,∠QAB= 30°, ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE= 90°, ∴ ∠CBE= 30°, ∴ BC= CE tan∠CBE = 8 3 5 , ∴ AD= 8 3 5 , ∵ ∠PAD= 180° - 30° - 90° = 60°, ∴ AP=AD·cos∠PAD= 4 3 5 , ∴ PQ=AP +AQ= 35 3 10 ≈6.1. 答:PQ 的长约为 6.1 m; (2)∵ 在 Rt△BCE 中,BE= CE sin∠CBE ≈3.2, 在 Rt△ABQ 中,BQ=AB·cos∠ABQ≈2.7, ∵ 该充电站有 20 个停车位, ∴ QM=BQ + 20BE≈66.7, ∵ 四边形 PQMN 是矩形, ∴ PN=QM≈66.7. 答:PN 的长约为 66.7 m. 专题十四　 四边形 考点 1　 多边形的内角和及外角和 1.A　 2.C　 3.D 4.B　 【解析】如图,设直线 l,m 相交于点 A,则∠A = 60°,∵ 正多边形的每个内角相等,∴ 正多边形的每个 外角也相等,∴ ∠1=∠2= 180° -60° 2 = 60°,∴ n = 360° 60° = 6.故选 B. 5.B 　 【解析 】 ∵ 正 六 边 形 每 个 内 角 的 度 数 为 (6 - 2) × 180° 6 = 120°,∴ ∠B=∠C =∠D=∠E = 120°, 又∵ 六边形 MBCDEN 中,∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠ENM + ∠NMB = 720°,∴ ∠ENM + ∠NMB = 720° - 4 ×120° = 240°,∵ β +∠ENM + α +∠NMB = 180° × 2 = 360°,∴ α +β= 360° - 240° = 120°.故选 B. 6. 50° 　 【解析】 ∵ 正 六 边 形 每 个 内 角 的 度 数 为 (6 - 2) × 180° 6 = 120°, ∴ ∠EFA = ∠FAB = 120°, ∵ ∠EFG=20°,∴ ∠GFA=∠EFA -∠EFG= 100°,∵ AH∥ FG,∴ ∠FAH+∠GFA=180°,∴ ∠FAH=180°-∠GFA= 80°,∴ ∠HAB = ∠FAB - ∠FAH = 40°,∵ BI⊥AH,∴ ∠BIA= 90°,∴ ∠ABI= 90° -∠HAB= 50°. 7.18°　 【解析】如图,连接 BD,BE,∵ 五边形 ABCDE 是 正五边形,∴ AB=BC=CD=AE,∠A=∠C,∴ △ABE≌ △CBD(SAS),∴ BE = BD,∵ 点 F 是 DE 的中点,∴ BG 是 DE 的垂直平分线,∴ ∠DFG= 90°,∵ 在正五边 形 ABCDE 中,∠CDE = (5 - 2) × 180° 5 = 108°,∴ ∠G = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·42·