专题11二次函数-2025年中考数学真题分类必刷

21　 专题十一　 二次函数 考点 1　 二次函数的图象与性质 1.(2024 广东省)若点(0,y1),(1,y2),(2,y3)都在二次函数 y= x2 的图象上,则 (　 　 ) A.y3> y2> y1 B.y2> y1> y3 C.y1> y3> y2 D.y3> y1> y2 2.(2024 四川泸州)已知二次函数 y=ax2+(2a- 3)x+a- 1(x 是自 变量)的图象经过第一、二、四象限,则实数 a 的取值范围为 (　 　 ) A.1≤a < 9 8 B.0 < a < 3 2 C.0 < a < 9 8 D.1≤a < 3 2 3.(2024 四川乐山)已知二次函数 y = x2- 2x( - 1≤ x≤ t - 1),当 x= - 1 时,函数取得最大值;当 x= 1 时,函数取得最小值,则 t 的 取值范围是 (　 　 ) A.0 < t≤2 B.0 < t≤4 C.2≤ t≤4 D.t≥2 4.(2024 福建省)已知二次函数 y = x2- 2ax + a(a≠0)的图象经过 A a 2 ,y1 æ è ç ö ø ÷ ,B(3a,y2)两点,则下列判断正确的是 (　 　 ) A.可以找到一个实数 a,使得 y1> a B.无论实数 a 取什么值,都有 y1> a C.可以找到一个实数 a,使得 y2< 0 D.无论实数 a 取什么值,都有 y2< 0 考点 2　 二次函数解析式的确定 1.(2024 内蒙古包头)将抛物线 y= x2+ 2x 向下平移 2 个单位长度 后,所得新抛物线的顶点式为 (　 　 ) A.y=(x + 1) 2- 3 B.y=(x + 1) 2- 2 C.y=(x - 1) 2- 3 D.y=(x - 1) 2- 2 2.(2024 陕西省)已知一个二次函数 y = ax2+ bx + c 的自变量 x 与 函数 y 的几组对应值如表: x … -4 - 2 0 3 5 … y … -24 - 8 0 - 3 - 15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是 (　 　 ) A.图象的开口向上 B.当 x > 0 时,y 随 x 的增大而增大 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线 x= 1 3.(2024 贵州省)如图,二次函数 y=ax2+ bx + c 的部分图象与 x 轴 的一个交点的横坐标是- 3,顶点坐标为( - 1,4),则下列说法正 确的是 (　 　 ) A.二次函数图象的对称轴是直线 x= 1 B.二次函数图象与 x 轴的另一个交点的横坐标 是 2 C.当 x < - 1 时,y 随 x 的增大而减小 D.二次函数图象与 y 轴的交点的纵坐标是 3 4.(2024 黑龙江牡丹江)将抛物线 y = ax2+ bx + 3 向下平移 5 个单 位长度后,经过点( - 2,4),则 6a - 3b - 7= 　 　 　 　 . 5.(2024 江苏苏州)二次函数 y = ax2+ bx + c(a≠0)的图象过点 A (0,m),B(1,-m),C(2,n),D(3, -m),其中 m,n 为常数,则m n 的值为　 　 　 　 . 考点 3　 二次函数的图象与系数的关系 1.(2024 湖北省)抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为( -1,-2),抛物线 与 y 轴的交点位于 x 轴上方.以下结论正确的是 (　 　 ) A.a < 0 B.c < 0 C.a - b + c= - 2 D.b2- 4ac= 0 2.(2024 江苏连云港)已知抛物线 y=ax2+bx+ c(a,b,c 是常数,a< 0)的顶点为(1,2) .小烨同学得出以下结论:①abc < 0;②当 x> 1 时,y 随 x 的增大而减小;③若 ax2 + bx + c = 0 的一个根为 3,则 a= - 1 2 ;④抛物线 y=ax2+ 2 是由抛物线 y=ax2+ bx + c 向左平移 1 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度得到的.其中一定正确 的是 (　 　 ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 3.(2024 四川遂宁)如图,已知抛物线 y = ax2+ bx + c(a,b,c 为常 数,且 a≠0)的对称轴为直线 x= - 1,且该抛物线与 x 轴交于点 A(1,0),与 y 轴的交点 B 在(0,-2),(0,-3)之间(不含端点), 则下列结论:①abc > 0;②9a - 3b + c≥0;③ 2 3 < a < 1;④若方程 ax2+ bx + c= x+1 的两根为 m,n(m<n),则-3<m<1<n.其中,正 确结论的个数是 (　 　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 第 3 题图 　 　 　 　 　 　 第 4 题图 4.(2024 黑龙江牡丹江)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y = ax2+bx+ c(a≠0)与 x 轴交于 A,B 两点,A( - 3,0),B(1,0),与 y 轴的交点 C 的纵坐标在- 3~ - 2 之间,根据图象判断以下结论: ①abc2> 0;②4 3 < b < 2;③若 ax21- bx1 = ax22- bx2 且 x1≠x2,则 x1+ x2 = - 2;④若直线 y= - 5 6 cx+ c 与抛物线 y=ax2+ bx+ c 的一个交 点为(m,n)(m≠0),则 m= 1 2 .其中正确的结论是 (　 　 ) A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 考点 4　 二次函数的实际应用 1.(2024 甘肃武威)如图 1 为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以 看作是抛物线的一部分,如图 2 是棚顶的竖直高度 y(单位:m) 与距离停车棚支柱 AO 的水平距离 x(单位:m)近似满足函数关 系:y= - 0.02x2+ 0.3x + 1.6 的图象,点 B(6,2.68)在图象上.若一 辆箱式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长 CD = 4 m,高 DE= 1.8 m 的矩形,则可判定货车　 　 　 　 (填“能”或“不能”) 完全停到车棚内. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 22　 2.(2024 四川自贡)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大 的平整空地.地上两段围墙 AB⊥CD 于点 O(如图),其中 AB 上 的 OE 段围墙空缺.同学们测得 AE = 6.6 m,OE = 1.4 m,OB = 6 m,OC= 5 m,OD = 3 m,班长买来可切断的围栏 16 m,准备利 用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地的最大面积 是　 　 　 　 m2 . 3.(2024 河南省)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(m) 满足关系式: h = - 5t2 + v0 t,其中 t ( s) 是物体运动的时间, v0(m / s)是物体被发射时的速度,社团活动时,科学小组在实验 楼前从地面竖直向上发射小球. (1)小球被发射后　 　 　 　 s(用含 v0的式子表示)时离地面的 高度最大; (2)若小球离地面的最大高度为 20 m,求小球被发射时的速度; (3)按(2)中的速度发射小球,小球离地面的高度有两次与实验 楼的高度相同.小明说:“这两次间隔的时间为 3 s.”已知实 验楼高 15 m,请判断他的说法是否正确,并说明理由. 4.(2024 陕西省)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的 缆索 L1 与缆索 L2 均呈抛物线型,桥塔 AO 与桥塔 BC 均垂直于 桥面,如图所示,以点 O 为原点,以直线 FF′为 x 轴,以桥塔 AO 所在直线为 y 轴,建立平面直角坐标系.已知:缆索 L1 所在抛物 线与缆索 L2 所在抛物线关于 y 轴对称,桥塔 AO 与桥塔 BC 之 间的距离 OC = 100 m,AO = BC = 17 m,缆索 L1 的最低点 P 到 FF′的距离 PD= 2 m.(桥塔的粗细忽略不计) (1)求缆索 L1 所在抛物线的函数表达式; (2)点 E 在缆索 L2 上,EF⊥FF′,且 EF = 2.6 m,FO <OD,求 FO 的长. 5.(2024 湖北武汉)16 世纪中叶,我国发明了一种新式火箭“火龙 出水”,它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线, 当火箭运行一定水平距离时,自动引发火箭第二级,火箭第二 级沿直线运行.某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如 图,以发射点为原点,地平线为 x 轴,垂直于地面的直线为 y 轴, 建立平面直角坐标系,分别得到抛物线 y = ax2 + x 和直线 y = - 1 2 x +b.其中,当火箭运行的水平距离为 9 km 时,自动引发火 箭第二级. (1)若火箭第二级的引发点的高度为 3.6 km. ①直接写出 a,b 的值; ②火箭在运行过程中,有两个位置的高度比火箭运行的最 高点低 1.35 km,求这两个位置之间的距离; (2)直接写出 a 满足什么条件时,火箭落地点与发射点的水平 距离超过 15 km. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 的增加量不相同,B 项正确,C 项错误;图 1 中,I 随 P 的增大而增大,故 P 越大,I 越大,结合图 2 可知,P 越 大,插线板电源线产生的热量 Q 越多,D 项正确.故 选 C. 4. - 1≤ x < 0 或 x≥2 5.(0,4)　 【解析】如图,过点 A 作 AH⊥y 轴于点 H,过 点 C 作 CD⊥x 轴于点 D,并标记角度,∵ y= 3 x 与 y= k x (x > 0)的图象交于点 A(2,m),∴ 将点 A(2,m)代 入 y = 3 x,得m= 3 × 2 = 2 3 ,∴ A(2,2 3 ),将点 A(2,2 3 )代入y= k x (x>0),解得 k= 2×2 3 = 4 3 ,∴ y = 4 3 x ( x > 0),设 C c,4 3 c æ è ç ç ö ø ÷ ÷ ,∵ 在 Rt△AHO 中, tan∠1= AH OH = 2 2 3 = 3 3 ,∴ ∠1 = 30°,由翻折得,∠2 = ∠1= 30°,OC = OB,∴ ∠3 = 90° - ∠1 - ∠2 = 30°,∴ CD OD = tan∠3 = 3 3 = 4 3 c c ,解得c= 2 3 (负值舍去),∴ C(2 3 ,2),∴ OB = OC = (2 3 ) 2+ 22 = 4,∴ 点 B 的 坐标为(0,4) . 6.解:(1)∵ 一次函数 y = x +m 经过点 A( - 3,0),点 B (n,4), ∴ - 3 +m= 0 n +m= 4{ ,解得 m= 3 n= 1{ , ∴ B(1,4), ∵ 反比例函数 y= k x 经过点 B(1,4), ∴ k= 1 × 4= 4; (2)a>1. 【解析】 ∵ A ( - 3,0),B (1,4),∴ AO = 3,∴ S△AOB = 1 2 AO· yB = 1 2 × 3 × 4 = 6,S△AOC = 1 2 AO · yC = 3 2 yC,∵ S△AOC< S△AOB,∴ 3 2 yC < 6,∴ yC < 4,∵ 点 C 在 y= 4 x 第一象限的图象上,∴ xC> 1,∴ 点 C 的横坐标 a 的取值范围为 a > 1. 7.解:(1)将点 A(1,6)代入 y= m x (x > 0), 得 m 1 = 6,∴ m= 6, ∴ 反比例函数的表达式为 y= 6 x , 将点 B(n,2)代入 y= 6 x , 得 2= 6 n ,∴ n= 3,∴ B(3,2), 将点 A(1,6),B(3,2)代入 y= kx + b, 得 k + b= 6 3k + b= 2{ ,解得 k= - 2 b= 8{ , ∴ 一次函数的表达式为 y= - 2x + 8; (2)(0,5); 【解析】如图,作点 A 关于 y 轴的对称点 E,连接 BE 交 y 轴于点 P,此时△PAB 的周长最小,∵ A(1,6),∴ E( - 1,6),设 直 线 BE 的 解 析 式 为 y = px + q, 则 -p+q=6 3p+q=2{ ,解得 p= -1 q=5{ ,∴ 直线 BE 的解析式为 y= -x+ 5,当 x= 0 时,y= 5,∴ 点 P 的坐标为(0,5) . (3)∵ 将直线 AB 向下平移 a 个单位长度后与 x 轴,y 轴分别交于 E,F 两点, ∴ 直线 EF 的解析式为 y= - 2x + 8 -a, ∴ E 8 -a 2 ,0 æ è çç ö ø ÷÷ ,F(0,8 -a), ∵ EF= 1 2 AB, ∴ 8 -a 2 æ è çç ö ø ÷÷ 2 +(8 -a) 2 = 1 2 × (1 - 3) 2+(6 - 2) 2 , 解得 a= 6 或 a= 10. 专题十一　 二次函数 考点 1　 二次函数的图象与性质 1.A 2.A　 【解析】设二次函数 y=ax2+(2a - 3)x + a - 1 的图 象与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 x1,x2,由题意 可知, Δ= 2a - 3( ) 2- 4a a - 1( ) > 0 x1+ x2 = - 2a - 3 a > 0 x1· x2 = a - 1 a ≥0 a > 0 ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ,解得 1≤ a < 9 8 .故 选 A. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·41· 3.C　 【解析】∵ y = x2 - 2x = (x - 1) 2 - 1,∴ 图象开口向 上,对称轴为直线 x = 1,顶点坐标为(1, - 1),当 x = - 1时,y= 3,∴ 点( -1,3)关于对称轴对称的点的坐标 为(3,3),∵ 当 x = - 1 时,函数取得最大值;当 x = 1 时,函数取得最小值,∴ 1≤ t-1≤3,解得 2≤ t≤4.故 选 C. 4.C　 【解析】∵ y= x2- 2ax + a(a≠0),∴ 二次函数的图 象开口向上,且对称轴为直线 x= - - 2a 2 = a,顶点坐标 为(a,a -a2),与 y 轴交于点(0,a),当 x = a 2 时,y1 = a2 4 -a2+a=a - 3 4 a2,当a > 0时,0 < a 2 < a,∴ a > y1> a - a2,当 a < 0 时,a < a 2 < 0,∴ a - a2< y1< a,A、B 两项错 误;∵ 当 a > 0 时,0 <a < 2a < 3a,∴ 由二次函数的对称 性可知,y2>a > 0,∵ 当 a < 0 时,3a < 2a <a < 0,∴ 由二 次函数的对称性可知,y2>a,但不一定大于 0,C 项正 确,D 项错误.故选 C. 考点 2　 二次函数解析式的确定 1.A 2.D　 【解析】由题意,得 4a - 2b + c= - 8 c= 0 9a + 3b + c= - 3 ì î í ï ï ï ï ,解得 a= - 1 b= 2 c= 0 ì î í ï ï ï ï , ∴ 二次函数的解析式为 y= -x2+2x= -(x - 1) 2+1,∴ 图象的开口向下,对称轴是直线 x = 1,A 项错误,D 项 正确;当 x > 1 时,y 随 x 的增大而减小,B 项错误;∵ 顶点坐标为(1,1)且经过原点,图象的开口向下,∴ 图象经过第一、三、四象限,C 项错误.故选 D. 3.D　 【解析】 ∵ 二次函数 y = ax2+ bx + c 的顶点坐标为 ( - 1,4),∴ 二次函数图象的对称轴是直线 x = - 1,A 项错误;∵ 二次函数 y=ax2+ bx + c 的图象与 x 轴的一 个交点的横坐标是 - 3,对称轴是直线 x = - 1,∴ 二次 函数图象与 x 轴的另一个交点的横坐标是 1,B 项错 误;由图可知,抛物线开口向下,∵ 对称轴是直线 x = - 1,∴ 当 x < - 1 时,y 随 x 的增大而增大,C 项错误; 设二次函数的解析式为 y= a(x + 1) 2+ 4,将点( - 3, 0)代入,得 0 = a( - 3 + 1) 2+ 4,解得 a = - 1,∴ y = -(x + 1) 2+4,当x= 0时,y= -(0 + 1) 2+4= 3,∴ 二次函 数图象与 y 轴的交点的纵坐标是 3,D 项正确.故选 D. 4.2　 【解析】抛物线 y=ax2+bx+3 向下平移 5 个单位长 度后得到 y=ax2+ bx + 3 - 5=ax2+ bx - 2,将点( - 2,4) 代入,得 4=a ×( - 2) 2- 2b - 2,∴ 2a - b= 3,∴ 6a - 3b - 7= 3(2a - b) - 7= 3 × 3 - 7= 2. 5. - 3 5 　 【解析】将点 A(0,m),B(1,-m),D(3,-m)代 入 y = ax2 + bx + c( a≠0),得 c=m a + b + c= -m 9a + 3b + c= -m ì î í ï ï ï ï ,解得 a= 2 3 m b= - 8 3 m c=m ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ,∴ y= 2 3 mx2- 8 3 mx +m,将点 C(2,n)代入 y= 2 3 mx2- 8 3 mx+m,得 n= 2 3 m×22- 8 3 m×2+m= - 5 3 m, ∴ m n = m - 5 3 m = - 3 5 . 考点 3　 二次函数的图象与系数的关系 1.C　 【解析】如图,根据题意画出函数 y = ax2+ bx + c 的 图象,∵ 开口向上,与 y 轴的交点位于 x 轴上方,∴ a> 0,c>0,A、B 两项错误;∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点 为( - 1,- 2),∴ a - b + c= - 2,C项正确;∵ 抛物线与 x 轴有两个交点,∴ Δ= b2- 4ac > 0,D 项错误.故选 C. 2.B　 【解析】根据题意可知, - b 2a = 1,∴ - b 2 = a,∵ a < 0,∴ - b 2 < 0,∴ b > 0,∵ a + b + c = 2,b = - 2a,∴ c = 2 - a -b= 2 +a,∴ c 的值可正也可负,∴ 不能确定 abc 的 正负,①错误;∵ a < 0,∴ 抛物线开口向下,又∵ 对称 轴为直线 x = 1,∴ 当 x > 1 时,y 随 x 的增大而减小, ②正确;∵ b= - 2a,c= 2 +a,∴ 抛物线为 y=ax2- 2ax + 2+a,∵ ax2+bx+ c= 0 的一个根为 3,∴ 0= 9a- 6a+ 2+ a,∴ a= - 1 2 ,③正确;∵ 抛物线 y = ax2 - 2ax + 2 + a = a(x - 1) 2+ 2,将 y = a (x - 1) 2 + 2 向左平移 1 个单位 长度得到 y = a (x - 1 + 1) 2 + 2 = ax2 + 2,∴ 抛物线 y = ax2+2 是抛物线 y=ax2+bx+c 向左平移 1 个单位长度 得到的,④错误.综上,正确的是②③.故选 B. 3.B　 【解析】由图可知,a> 0,∵ 抛物线 y=ax2+bx+ c 的 对称轴为直线 x= -1,且该抛物线与 x 轴交于点 A(1, 0),∴ x= - b 2a = - 1,a + b + c= 0,∴ b= 2a > 0,∵ 抛物线 y=ax2+ bx + c 与 y 轴的交点 B 在(0, - 2),(0, - 3)之 间,∴ - 3 < c < - 2,∴ abc < 0,①错误;∵ 对称轴为直线 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·51· x= - 1,且该抛物线与 x 轴交于点 A(1,0),∴ 抛物线 与 x 轴的另一个交点为( - 3,0),∴ 9a - 3b + c = 0, ②错误;∵ - 3 < c < - 2,a + b + c = 0,b = 2a > 0,∴ - 3 < - 3a < - 2,解得 2 3 < a < 1,③正确;∵ 抛物线 y = ax2+ bx +c 与 x 轴交于点 A(1,0)和( - 3,0),直线 y = x + 1 过点( - 1,0)和(0,1),∴ 方程 ax2+ bx + c = x + 1 的两 根 m,n 满足 - 3 <m < 1 < n,④正确.综上,正确结论有 ③④,共 2 个.故选 B. 4.A　 【解析】设抛物线的解析式为 y=a(x+3)(x-1)= ax2+ 2ax - 3a,∴ b = 2a, c = - 3a,∴ abc2 = a·2a· ( - 3a) 2 = 18a4> 0,①正确;∵ 点 C 的纵坐标在 - 3 ~ - 2 之间,∴ - 3 < - 3a< - 2,∴ 4 3 < 2a< 2,即 4 3 <b< 2, ②正确;∵ ax21- bx1 =ax22-bx2,∴ ax21- 2ax1 =ax22- 2ax2, 即 x21-2x1-x22+2x2 = 0,∴ (x1+x2-2)(x1-x2)= 0,又∵ x1≠x2,∴ x1+x2 =2,③错误;令- 5 6 cx+c=ax2+bx+ c,∴ 5 2 ax-3a=ax2+2ax-3a,解得 x1 = 0(舍去),x2 = 1 2 ,∴ m= 1 2 ,④正确.综上,正确的结论是①②④.故选 A. 考点 4　 二次函数的实际应用 1.能　 【解析】∵ CD= 4,B(6,2.68),∴ OC = 6 - 4 = 2,将 x= 2 代入 y= - 0.02x2+ 0.3x + 1.6,得 y = - 0.02 × 22 + 0.3 ×2 + 1.6= 2.12,∵ 2.12 > 1.8,∴ 可判定货车能完全 停到车棚内. 2.46.4　 【解析】要使该矩形菜地的面积最大,则要利用 OA 和 OC 构成矩形,设矩形在射线 OA 上的一段长为 x,矩形菜地的面积为 S,①如图 1,当 x≤8 时,在射线 OC 上 的 长 为 16 - x - 1.4 + 5 2 = 19.6 - x 2 , 则 S = x · 19.6 - x 2 = - 1 2 x2+9.8x= - 1 2 (x - 9.8) 2+48.02,∵ - 1 2 < 0,∴ 当 x≤9.8 时,S 随 x 的增大而增大,∴ 当 x = 8 时,S 的最大值为 46.4; ②如图 2,当 x > 8 时,矩形菜园的总长为 16 + 6.6 + 5= 27.6,则在射线 OC 上的长为27.6 - 2x 2 = 13.8 - x,∴ S = x(13.8 - x)= - x2+ 13.8x= -(x - 6.9) 2 + 47.61,∵ -1< 0,∴ 当 x > 6.9 时,S 随 x 的增大而减小,∴ 当 x > 8 时,S 的值均小于 46.4.综上,矩形菜地的最大面积 是 46.4 m2 . 3.解:(1) v0 10 ; (2)根据题意,得当 t= v0 10 时,h= 20, ∴ - 5· v0 10 æ è ç ç ö ø ÷ ÷ 2 + v0· v0 10 = 20,解得 v0 = 20. 答:小球被发射时的速度为 20 m / s; (3)小明的说法不正确.理由如下: 由(2)可知,h= - 5t2+ 20t, 当 h= 15,即 - 5t2+ 20t= 15 时,解得 t1 = 1,t2 = 3, ∵ 3 - 1= 2,∴ 这两次间隔的时间为 2 s, ∴ 小明的说法不正确. 4.解:(1)由题意可知,顶点 P 的坐标为(50,2),点 A 的 坐标为(0,17), 设缆索 L1 所在抛物线的函数表达式为 y=a (x - 50) 2+ 2, 将点(0,17)代入,得 17=a (0 - 50) 2+ 2, 解得 a= 3 500 , ∴ 缆索 L1 所在抛物线的函数表达式为 y= 3 500 (x - 50) 2+ 2; (2)∵ 缆索 L1 所在抛物线与缆索 L2 所在抛物线关于 y 轴对称, ∴ 缆索 L2 所在抛物线的函数表达式为 y= 3 500 (x + 50) 2+ 2, ∵ EF= 2.6, ∴ 将 y= 2.6 代入,得 2.6= 3 500 (x + 50) 2+ 2, 解得 x1 = - 40,x2 = - 60, ∴ FO= 40 m 或 FO= 60 m, ∵ FO <OD,OD= 50 m, ∴ FO 的长为 40 m. 5.解:(1)①a= - 1 15 ,b= 8.1; 【解析】∵ 火箭第二级的引发点的高度为 3.6 km,当 火箭运行的水平距离为 9 km 时,自动引发火箭第二 级,∴ 抛物线 y= ax2+ x 和直线 y = - 1 2 x + b 均经过点 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·61· (9,3. 6),∴ 3. 6 = 81a + 9,3. 6 = - 1 2 × 9 + b,解得 a= - 1 15 ,b= 8.1. ②由①可知,y= - 1 2 x + 8.1, y= - 1 15 x2+ x= - 1 15 x - 15 2 æ è çç ö ø ÷÷ 2 + 15 4 , ∴ 最大值 y= 15 4 = 3.75, 即火箭运行的最高点的高度为 3.75 km, ∴ 当 y= 3.75 - 1.35= 2.4 时, - 1 15 x2+ x= 2.4,解得 x1 = 12(舍去),x2 = 3, 又∵ x= 9 时,y= 3.6 > 2.4, ∴ y= - 1 2 x + 8.1= 2.4,解得 x= 11.4, ∵ 11.4 - 3= 8.4, ∴ 这两个位置之间的距离为 8.4 km; (2) - 2 27 <a<0. 【解析】当水平距离超过 15 km 时,火箭第二级的引 发点为(9,81a+9),将点(9,81a+9),(15,0)代入 y= - 1 2 x + b,得 81a + 9= - 1 2 × 9 + b,0= - 1 2 × 15 + b,解得 b= 7.5,a= - 2 27 ,∴ - 2 27 <a < 0. 阶段测评三　 函数 一、选择题 1.D 2.B　 【解析】设 A(a,b),AB =m,AD = n,∵ 矩形 ABCD 中,AD=BC= n,AB =CD =m,∴ D(a,b + n),B(a +m, b),C(a+m,b+n),∵ b a +m < b a <b +n a , b a +m < b +n a +m ,∴ 该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点 B.故选 B. 3.B　 【解析】由图可知,小桌的长是小桌的宽的两倍, ∴ 小桌的长是 2x,∴ y= x + x + 2x= 4x.故选 B. 4.B　 【解析】当 x= 0 时,y= 4 2 = 2,∴ y= 4 x + 2 的图象与 y 轴的交点为(0,2),∵ 4 x + 2 是分式,且当 x≠ - 2 时, 4 x + 2 ≠0,即 y≠0,∴ y = 4 x + 2 的图象与 x 轴没有交点, ∴ 函数 y = 4 x + 2 的图象与坐标轴的交点个数是 1.故 选 B. 5.D　 【解析】由 y = 2 3 (x - 1) 2 + c 可知,抛物线开口向 上,对称轴为直线 x= 1,∵ ( -2,y1),(0,y2), 5 2 ,y3 æ è çç ö ø ÷÷ , 而 1 -( -2)= 3,1-0= 1, 5 2 -1= 3 2 ,1< 3 2 <3,∴ 点(0, y2)离对称轴最近,点( - 2,y1)离对称轴最远,∴ y1 > y3> y2 .故选 D. 6.C 7.C　 【解析】令 h= 0,则 30t - 5t2 = 0,解得 t1 = 0,t2 = 6, ∴ 小球从抛出到落地需要 6 s,①正确;∵ h = 30t - 5t2 = - 5 ( t - 3) 2+ 45,∴ 最大高度为 45 m,∴ 小球运 动中的高度可以是 30 m,②正确;当 t = 2 时,h = 30 × 2 -5 × 22 = 40;当 t= 5 时,h= 30 × 5 - 5 × 52 = 25,∵ 40> 25,∴ 小球运动 2 s 时的高度大于运动 5 s 时的高度, ③错误.综上,正确结论有①②,共 2 个.故选 C. 8.B　 【解析】如图,过点 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 E, 过点 C 作 y 轴的垂线交 y 轴于点 D,则 AE∥y 轴,∵ A(4,2),∴ OE= 4,OA = 22+ 42 = 2 5 ,∴ sin∠OAE = OE OA = 4 2 5 = 2 5 5 ,∵ 点 A(4,2)在反比例函数 y = k x 的 图象上,∴ k= 4×2= 8,由平移得,OA∥BC,∴ ∠DBC= ∠BOA,∵ AE∥y 轴,∴ ∠OAE = ∠BOA,∴ ∠DBC = ∠OAE,∴ sin∠DBC = CD BC = sin∠OAE = 2 5 5 ,∴ CD 5 = 2 5 5 ,解得 CD= 2,即点 C 的横坐标为 2,将 x = 2 代入 y= 8 x ,得 y = 4,∴ OD = 4,∴ 在 Rt△BCD 中,BD= BC2-CD2 = 1,∴ OB =OD - BD = 4 - 1 = 3,∴ 点 B 的 坐标为(0,3) .故选 B. 9.B　 【解析】由图可知,二次函数的图象开口向下,∴ a < 0,∵ 对称轴为直线 x = - 1,∴ x = - b 2a = - 1,∴ b = 2a < 0,∵ 抛物线与 y 轴交于正半轴,∴ c > 0,∴ b c < 0, ①错误;∵ 抛物线开口向下,对称轴为直线 x = - 1,∴ 当x= - 1时,y 取得最大值,最大值为 a - b + c,∴ am2+ bm +c≤a - b + c(m 为任意实数),即 am2+ bm≤a -b, ②正确;∵ x= 1 时,y < 0,即 a + b + c < 0,又∵ b= 2a,∴ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·71·