专题3二次根式&专题4分式-2025年中考数学真题分类必刷

3　 专题三　 二次根式 考点 1　 二次根式有意义的条件 1.(2024 云南省)式子 x在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是 (　 　 ) A.x > 0 B.x≥0 C.x < 0 D.x≤0 2.(2023 内蒙古通辽)二次根式 1 - x 在实数范围内有意义,则 实数 x 的取值范围在数轴上表示为 (　 　 ) A. B. C. D. 3.(2024 江苏常州)若二次根式 x - 2有意义,则 x 可取的值是 (　 　 ) A. - 1 B.0 C.1 D.2 4.(2024 上海市)已知 2x - 1 = 1,则 x= 　 　 　 　 . 考点 2　 二次根式的性质 1.(2024 安徽省)下列计算正确的是 (　 　 ) A.a3+ a5 =a6 B.a6÷ a3 =a2 C.( - a) 2 =a2 D. a2 =a 2.(2024 江苏盐城)矩形相邻两边长分别为 2 cm、 5 cm,设其面 积为 S cm2,则 S 在哪两个连续整数之间 (　 　 ) A.1 和 2 B.2 和 3 C.3 和 4 D.4 和 5 3.(2023 山东烟台)下列二次根式中,与 2是同类二次根式的是 (　 　 ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 4.(2024 内蒙古包头)计算 92- 62 所得结果是 (　 　 ) A.3 B. 6 C.3 5 D.±3 5 5.(2024 四川乐山)已知 1 < x < 2,化简 (x - 1) 2 + x - 2 的结果为 (　 　 ) A. - 1 B.1 C.2x - 3 D.3 - 2x 考点 3　 二次根式的估算 1.(2024 天津市)估算 10的值在 (　 　 ) A.1 和 2 之间 B.2 和 3 之间 C.3 和 4 之间 D.4 和 5 之间 2.(2024 重庆 A 卷)已知 m= 27 - 3 ,则实数 m 的范围是 (　 　 ) A.2 <m< 3 B.3 <m< 4 C.4 <m< 5 D.5 <m< 6 3.(2024 重庆 B 卷)估计 12 ( 2 + 3 )的值应在 (　 　 ) A.8 和 9 之间 B.9 和 10 之间 C.10 和 11 之间 D.11 和 12 之间 4.(2024 安徽省)我国古代数学家张衡将圆周率取值为 10 ,祖冲 之给出圆周率的一种分数形式的近似值为 22 7 .比较大小: 10 　 　 　 　 (填“ > ”或“ < ”)22 7 . 考点 4　 二次根式的运算 1.(2024 天津市) 2 cos45° - 1 的值等于 (　 　 ) A.0 B.1 C. 2 2 - 1 D. 2 - 1 2.(2024 山东济宁)下列运算正确的是 (　 　 ) A. 2 + 3 = 5 B. 2 × 5 = 10 C.2 ÷ 2 = 1 D. ( - 5) 2 = - 5 3.(2024 吉林长春)计算: 12 - 3 = 　 　 　 　 . 4.(2024 天津市)计算( 11 - 1)( 11 + 1)的结果为　 　 　 　 . 5.(2024 山东威海)计算: 12 - 8· 6 = 　 　 　 　 . 6.(2024 四川凉山)计算: 1 3 - 1 + 2 - 3 + 2- 1+ cos30° - ( - 1) 0 . 专题四　 分式 考点 1　 分式有意义的条件 1.(2024 湖南长沙)要使分式 6 x - 19 有意义,则 x 需满足的条件是 　 　 　 　 . 2.(2024 山东烟台)若代数式 3 x - 1 在实数范围内有意义,则 x 的 取值范围为　 　 　 　 . 3.(2024 吉林省)当分式 1 x + 1 的值为正数时,写出一个满足条件的 x 的值为　 　 　 　 . 4.(2024 黑龙江牡丹江)函数 y = x + 3 x 中,自变量 x 的取值范围 是　 　 　 　 . 考点 2　 分式的运算 1.(2024 天津市)计算 3x x - 1 - 3 x - 1 的结果等于 (　 　 ) A.3 B.x C. x x - 1 D. 3 x2- 1 2.(2024 河北省)已知 A 为整式,若计算 A xy + y2 - y x2+ xy 的结果为 x - y xy ,则 A= (　 　 ) A.x B.y C.x + y D.x - y 3.(2024 辽宁省)计算:(1)42+ 10 ÷ ( - 1) + 8 + 3 - 2 ; (2) a a + 1 ·a 2- 1 a2 + 1 a . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 4　 4.(2024 重庆 A 卷)计算:(1)x(x - 2y) + (x + y) 2; (2) 1 + 1 a æ è ç ö ø ÷ ÷ a2- 1 a2+ a . 考点 3　 分式的化简求值 1.(2024 四川雅安)已知 2 a + 1 b = 1,则a + ab a + b = (　 　 ) A. 1 2 B.1 C.2 D.3 2.(2024 黑龙江大庆)已知 a + 1 a = 5 ,则 a2+ 1 a2 的值是　 　 　 　 . 3.(2024 四川内江)已知实数 a,b 满足 ab = 1,那么 1 a2+ 1 + 1 b2+ 1 的 值为　 　 　 　 . 4.(2024 湖南省)先化简,再求值:x 2- 4 x2 · x x + 2 + 3 x ,其中 x= 3. 5.(2024 北京市)已知 a - b - 1= 0,求代数式3(a - 2b) + 3b a2- 2ab + b2 的值. 6.(2024 青海省)先化简,再求值: 1 y - 1 x æ è ç ö ø ÷ ÷ x y - y x æ è ç ö ø ÷ ,其中 x= 2 - y. 7.(2024 四川广元)先化简,再求值: a a - b ÷ a 2- b2 a2- 2ab + b2 -a - b a + b ,其中 a,b 满足 b - 2a= 0. 8.(2024 黑龙江龙东)先化简,再求值:m 2- 2m+ 1 m2- 1 ÷ m 2 m2+m - 1æ è ç ö ø ÷ , 其中 m=cos60°. 9.(2024 黑龙江牡丹江)先化简,再求值:2x - 6 x ÷ x - 6x - 9 x æ è ç ö ø ÷ ,并从 - 1,0,1,2,3 中选一个合适的数代入求值. 10.(2024 四川乐山)先化简,再求值: 2x x2- 4 - 1 x - 2 ,其中 x = 3.小乐 同学的计算过程如下: 解: 2x x2- 4 - 1 x - 2 = 2x (x + 2)(x - 2) - 1 x - 2 …① = 2x (x + 2)(x - 2) - x + 2 (x + 2)(x - 2) …② = 2x - x + 2 (x + 2)(x - 2) …③ = x + 2 (x + 2)(x - 2) …④ = 1 x - 2 …⑤ 当 x= 3 时,原式= 1. (1)小乐同学的解答过程中,第　 　 　 　 步开始出现了错误; (2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅 􀤅 􀤅 􀤅 􀤅 􀤅 􀤅 􀤅 􀤅 􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅􀤅 􀤅 􀤅 􀤅 􀤅 􀤅 􀤅 􀤅 􀤅 􀦅 􀦅 􀦅􀦅 参考答案与解析 第一部分　 考点专题 专题一　 实数 考点 1　 实数的相关概念 1.A　 2.A　 3.B　 4.A　 5.C　 6.D　 7.B　 8.D 考点 2　 实数的大小比较 1.A　 2.B　 3.C　 4.A 考点 3　 科学记数法 1.C　 2.D　 3.B 考点 4　 平方根(算术平方根)、立方根 1.D　 2.B　 3. - 2　 4.3　 5.1 6.2(答案不唯一) 　 【解析】根据题意可知,GH < DE < CD,∵ S正方形ABCD = 10,∴ CD = 10 ,∵ S正方形GHIJ = 1,∴ GH= 1,∵ 3 < 10 < 4,即 3 <CD< 4,∴ 1<DE≤3,∴ 正 方形 DEFG 的边长可以是 2. 考点 5　 实数的运算 1.解:原式= 1 × 1 3 + 2 - 1 3 = 1 3 + 2 - 1 3 = 2. 2.解:原式= 1 2 + 1 - 3 2 = 0. 3.解:原式= 1 + 4 + 2 × 2 2 - ( 2 - 1)= 1 + 4 + 2 - 2 + 1= 6. 专题二　 整式和因式分解 考点 1　 整式及整式的运算 1.D　 2.C　 3.A　 4.C　 5.D　 6.y2- 1 考点 2　 因式分解 1.a(a + 2)　 2.2(a - 1) 2 　 3. - 6　 4.(x + 3) 2 5.(1)(ⅰ)7;5; (ⅱ)(n + 1) 2-(n - 1) 2; (2)4(k2-m2+ k -m) . 考点 3　 列代数式及代数式求解 1.C　 2.D 3.4　 4.2　 5.h +an 6.解:原式=[(4a2+ 4ab + b2) -(4a2- b2)] ÷ 2b = (4a2+ 4ab + b2- 4a2+ b2) ÷ 2b=(4ab + 2b2) ÷ 2b= 2a + b, 当 a= 2,b= - 1 时,原式= 2 × 2 +( - 1)= 3. 7.解:(1)原式 = 3 + 1 + 2 × 3 2 + 2 - 3 = 4 + 3 + 2 - 3 = 6; (2)∵ a2-a - 3= 0,∴ a2-a= 3, ∴ (a - 2) 2+(a - 1)(a + 3) = a2- 4a + 4 +a2+ 2a - 3 = 2a2- 2a + 1 = 2(a2-a) + 1 = 2 × 3 + 1 = 7. 专题三　 二次根式 考点 1　 二次根式有意义的条件 1.B　 2.C　 3.D　 4.1 考点 2　 二次根式的性质 1.C　 2.C　 3.C　 4.C 5.B 　 【解析】 (x - 1) 2 + x - 2 = x - 1 + x - 2 , ∵ 1 < x < 2,∴ x-1>0,x-2<0,∴ x - 1 + x - 2 = x- 1 + 2 - x= 1,∴ (x - 1) 2 + x - 2 = 1.故选 B. 考点 3　 二次根式的估算 1.C　 2.B　 3.C 4.> 　 【解析】∵ 22 7 æ è çç ö ø ÷÷ 2 = 484 49 ,( 10 ) 2 = 10= 490 49 ,而484 49 < 490 49 ,∴ 22 7 æ è çç ö ø ÷÷ 2 <( 10 ) 2 ,∴ 10 > 22 7 . 考点 4　 二次根式的运算 1.A　 2.B　 3. 3 　 4.10　 5. - 2 3 6.解:原式 = 3 + 1 ( 3 - 1)( 3 + 1) + 2 - 3 + 1 2 + 3 2 - 1 = 3 + 1 2 +2- 3 + 1 2 + 3 2 -1= 3 2 + 1 2 +2- 3 + 1 2 + 3 2 - 1= 2. 专题四　 分式 考点 1　 分式有意义的条件 1.x≠19　 2.x > 1　 3.0(答案不唯一) 4.x≥ -3 且 x≠0 考点 2　 分式的运算 1.A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·1· 2.A　 【解析】∵ A xy + y2 - y x2+ xy 的结果为 x - y xy ,∴ y x2+ xy + x -y xy = A xy +y2 ,∴ y 2 xy(x +y) + (x -y)(x +y) xy(x +y) = x 2 xy(x + y) = x xy + y2 = A xy + y2 ,∴ A= x.故选 A. 3.解:(1)原式= 16 - 10 + 2 2 + 3 - 2 = 9 + 2 ; (2)原式= a a + 1 ·(a + 1)(a - 1) a2 + 1 a =a - 1 a + 1 a = 1. 4.解:(1)原式= x2- 2xy + x2+ 2xy + y2 = 2x2+ y2; (2)原式=a +1 a ÷(a +1)(a -1) a(a +1) = a +1 a · a(a +1) (a +1)(a -1) = a + 1 a - 1 . 考点 3　 分式的化简求值 1.C　 2.3 3.1　 【解析】原式= b 2+ 1 + a2+ 1 ( a2+ 1) ( b2+ 1) = a 2+ b2+ 2 a2b2+ a2+ b2+ 1 = a2+ b2+ 2 (ab) 2+a2+ b2+ 1 ,∵ ab = 1,∴ 原式 = a 2+ b2+ 2 12+a2+ b2+ 1 = a2+ b2+ 2 a2+ b2+ 2 = 1. 4.解:原式=(x + 2)(x - 2) x2 · x x + 2 + 3 x = x - 2 x + 3 x = x + 1 x , 当 x= 3 时,原式= 3 + 1 3 = 4 3 . 5.解:原式= 3a - 6b + 3b (a - b) 2 = 3(a - b) (a - b) 2 = 3 a - b , ∵ a - b - 1= 0,∴ a - b= 1, ∴ 原式= 3 1 = 3. 6.解:原式= x xy - y xy æ è çç ö ø ÷÷ ÷ x2 xy - y 2 xy æ è çç ö ø ÷÷ = x - y xy ÷ x 2- y2 xy = x - y xy · xy (x + y)(x - y) = 1 x + y , ∵ x= 2 - y,∴ x + y= 2, ∴ 原式= 1 2 . 7. 解: 原 式 = a a - b ÷ (a + b)(a - b) (a - b) 2 - a - b a + b = a a - b · (a - b) 2 (a + b)(a - b) - a - b a + b = a a + b - a - b a + b = b a + b , ∵ b - 2a= 0,∴ b= 2a, ∴ 原式= 2a a + 2a = 2 3 . 8.解:原式 = (m - 1) 2 (m + 1)(m - 1) ÷ m 2 m2+m -m 2+m m2+m æ è ç ç ö ø ÷ ÷ = m - 1 m + 1 ÷ -m m2+m æ è ç ç ö ø ÷ ÷ = m - 1 m + 1 · -m(m + 1) m é ë ê êê ù û ú úú = -m + 1, 当 m=cos60° = 1 2 时,原式= - 1 2 + 1= 1 2 . 9.解:原式=2x -6 x ÷x 2-6x +9 x =2(x -3) x · x (x -3)2 = 2 x -3 , ∵ x≠0 且 x -3≠0, ∴ x= - 1 或 x= 1 或 x= 2, 当 x= - 1 时,原式= 2- 1 - 3 = - 1 2 ; 或当 x= 1 时,原式= 2 1 - 3 = - 1; 或当 x= 2 时,原式= 2 2 - 3 = - 2. 10.解:(1)③; (2)正确的解答过程为 2x x2-4 - 1 x -2 = 2x (x +2)(x -2) - 1 x -2 = 2x (x +2)(x -2) - x+2 (x+2)(x-2) = 2x-x-2 (x+2)(x-2) = x-2 (x+2)(x-2) = 1 x + 2 , 当 x= 3 时,原式= 1 5 . 阶段测评一　 数与式 一、选择题 1.A　 2.A　 3.A　 4.C　 5.B　 6.B 7.A　 【解析】根据题意可知,8 × 2a = (2b) 8,∴ 23 × 2a = 28b,即 23+ a = 28b,∴ 3 +a= 8b.故选 A. 8.C　 【解析】根据题意可知,第一天织布 5 尺,第 30 天 织布 1 尺,∴ 一共织布 1 2 × (1 + 5) × 30 = 90(尺) .故 选 C. 9.A　 【解析】∵ 数轴上点 A,M,B 分别表示数 a,a + b, b,∴ AM=a+b-a= b,BM= b-(a+b)= -a,∵ AM>BM, ∴ 原点在点 A,M 之间,∴ a < 0,b > 0 且 a < b ,∴ a +b > 0,a-b<0,ab<0, a -b<0,∴ 运算结果一定是 正数的是 a + b.故选 A. 10.D　 【解析】观察数据可知,每 3 个数为一组,且每一 组前 2 个数为奇数,第 3 个数为偶数,∵ 2 024 ÷ 3 = 674……2,∴ 奇数有 674 × 2 + 2= 1 350(个) .故选 D. 二、填空题 11.2　 12.2(x + 2)(x - 2)　 13.220 14.- 1 x 　 【解析】∵ a1 = x + 1,∴ a2 = 1 1 -a1 = 1 1 -(x + 1) = - 1 x ,∴ a3 = 1 1 -a2 = 1 1 - - 1 x æ è çç ö ø ÷÷ = x x + 1 ,∴ a4 = 1 1 -a3 = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·2·