第01讲 相交线（知识串讲+6考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（人教版2024）

第01讲 相交线 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解相交线的相关概念； 2.利用邻补角，对顶角的性质进行计算； 3.识别三线八角. 一、相交线 直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行. 1.垂线 定义：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 示例：如图所示，直线AB，CD互相重直，记作:“AB⊥CD”(或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”(或“CD垂直于AB”).如果垂是是0，记作“AB⊥CD,乘足为0”. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【注意】 1）已知直线的垂线有无数条，但在同一平面内，过一点画已知直线的垂线只能画一条. 2）必须强调在同一平面内，若是在空间中，则经过一点与已知直线垂直的直线有无数条. 垂线段的定义：如图，点P为直线外一点,PO⊥m，垂足为0，称PO为点P到直线m的垂线段. 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P与直线m上的各点连线中，线段PO最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 【注意】 1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误； 2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的. 二、相交线中的角 1.对顶角与邻补角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 有公共顶点 一个角的两边分别是另一角的两边的反向延长线 ∠1=∠2，∠3=∠4 邻补角 有公共顶点 两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线. ∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180° ∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180° 【补充说明】 1）对顶角的特征：1）有公共顶点；2）两个角的两边互为反向延长线. 2）若两个角互为对顶角，则它们一定相等，但两个角相等，则它们不一定为对顶角. 2.同位角、内错角、同旁内角 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在截线的同侧，在被截两条直线同侧 形如字母“F” 内错角 在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间 形如字母“Z” 同旁内角 在截线的同侧，在被截两条直线之间 形如字母“U” 【补充】如图，两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三线八角”，其中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角. 考点一： 相交线的相关概念 1．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）下列说法不正确的是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两条直线相交，只有一个交点 C．两直线平行，同旁内角相等 D．过直线外一点与直线上的点所连接的线段中，垂线段最短 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，所以与在同一条直线上的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．过一点只能作一条垂线 D．垂线段最短 3．（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（   ） ①对顶角相等； ②互补的两个角是邻补角； ③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角； ④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（22-23七年级下·广西南宁·期中）下列各图中，与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 考点二： 指出现实问题后的数学依据 6．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，四点在直线上，点在直线外，，若 ，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，欲在河岸上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，可在图中画出垂直，垂足为P，然后沿铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是： ． 8．（22-23七年级下·新疆博尔塔拉·期中）如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段的长度，这样测量的依据是 ． 9．（22-23七年级下·北京西城·期末）如图，在三角形中，，点到直线的距离是线段 的长，的依据是 ．    10．（23-24七年级下·北京·期末）如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 考点三： 画垂线 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用网格画图： (1)过点C画的垂线，垂足为E； (2)线段的长度是点C到直线_______的距离； (3)连接，在线段中，线段_______最短． 12．（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，点是的边上的一点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线段，垂足为； (3)点到直线的距离为___________，线段___________的长度是点到直线的距离； 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知锐角，画射线，射线，并直接写出与的关系． 考点四： 判断已知图形中邻补角的个数 14．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，直线 与 相交于点 ， 是以 为顶点的一条射线，图中的对顶角和邻补角各有（   ）   A． 对、 对 B． 对、 对 C． 对、 对 D． 对、 对 15．（23-24七年级下·天津河北·期中）如图，直线，，相交于点O．则的邻补角是（    ） A．和 B．和 C．和 D． 16．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）如图，点O是直线 上一点，自点O引射线，图中共有 对邻补角． 17．（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，直线相交于点O，． （1）图中的对顶角有 对； （2）的邻补角是 ； （3）如果，，那么 ． 考点五： 交叉图形中的角度计算 18．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线相交于点平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 19．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线相交于点． (1)若，则的余角有__________． (2)若，求和的度数． 20．（23-24七年级上·吉林四平·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西、射线是的反向延长线，且射线平分．解答下列各题： (1)射线的方向是_______； (2)求的度数； (3)若射线的方向是东南方向，请直接写出的度数． 21．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，O是直线上一点，过点O作、、三条射线，平分，． (1)若，则的度数为___________； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，若过点O作射线使得，求的度数． 22．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线交于点分别在内部，且平分． (1)的对顶角是___________； (2)若，则的度数为___________； (3)若平分，求的度数； (4)若，判断是否平分，并说明理由． 23．（23-24七年级上·贵州黔东南·期末）已知：点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作射线，使，作的平分线，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 考点六： 三线八角的识别 24．（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）如图，相交于点A，交于点B，交于点C． (1)指出被所截形成的同位角、内错角、同旁内角； (2)指出被所截形成的内错角； (3)指出被所截形成的同旁内角． 25．（23-24七年级上·全国·单元测试）找出图中与 是同位角、内错角、同旁内角的所有角． 26．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，指出图中直线，被直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角．（仅指用数字标出的角） 27．（21-22七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，射线与直线分别相交于点H，G． 按要求完成下列各小题．    (1)图中共有 对对顶角， 对内错角； (2)①的同旁内角是 ； ②和是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是具有什么位置关系的角？ (3)过点G画射线的垂线，交于点M，并指出哪条线段的长度表示点G到的距离． 28．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：→内错角→同旁内角； 路径2：→同旁内角→内错角→同位角→同旁内角→同旁内角． … (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线、相交于点，．下列说法不正确的是（   ）    A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）2024年香洲区举办了第六届风筝节．如图所示的风筝骨架中，与构成同旁内角的是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）下面四个图形中，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）点为直线外一点，点、、为直线上三点，，则点到直线的距离为（   ） A．cm B．cm C．小于cm D．不大于cm 5．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图在中，，为垂足，则下列说法中，错误的是（   ） A．点到的距离是线段的长 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．点到的距离是线段的长 6．（24-25七年级上·河南鹤壁·阶段练习）如图，在所标识的角中，下列说法不正确的是（    ） A．与是内错角 B．与是对顶角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，利用工具测量角，则的大小为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）如图，E是直线上一点，，射线平分，，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·云南文山·期中）下列各图中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·河北衡水·期中）如图，点O在直线上，，，平分，则的补角是（   ） A． B．或 C．或或 D．以上都不对 11．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）已知，等于，则的度数为 ． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，若，则的同位角的大小是 ，的内错角的大小是 ，的同旁内角的大小是 ． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知点O是直线上一点，，平分，请写出下列正确结论的序号 ． ①；②；③；④． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线、相交于点．已知，把分成两个角，且，将射线绕点逆时针旋转角到，若时，的度数是 ． 15．（23-24七年级下·全国·假期作业）古城黄冈旅游资源十分丰富，“桃林春色，柏子秋荫”便是其八景之一．为了实地测量“柏子塔”外墙底部的底角（图中的大小，张扬同学设计了两种测量方案： 方案1：作的延长线，量出的度数，便知的度数； 方案2：作的延长线，的延长线，量出的度数，便知的度数． 同学们，你能解释他这样做的道理吗？ 16．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，被直线所截，如果与互补，且，那么，的度数各是多少? 17．（21-22七年级上·浙江丽水·期末）如图，直线与直线相交于点O，且平分． (1)若比大，求的度数． (2)证明：是的平分线． 18．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）直线相交于点O，过点O作． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，作射线使，则是的平分线．请说明理由． (3)在图1上作，写出与的数量关系，并说明理由． 19．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，O为直线上一点，平分． (1)请你数一数，图中有 个小于平角的角； (2)的余角有 ； (3)求出的度数． 20．（23-24七年级下·河南濮阳·期末）如图，直线相交于点O，，垂足为O． (1)若，则______°； (2)若，则______°； (3)猜想和的关系是______，并证明关系式成立． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 相交线 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解相交线的相关概念； 2.利用邻补角，对顶角的性质进行计算； 3.识别三线八角. 一、相交线 直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行. 1.垂线 定义：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 示例：如图所示，直线AB，CD互相重直，记作:“AB⊥CD”(或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”(或“CD垂直于AB”).如果垂是是0，记作“AB⊥CD,乘足为0”. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【注意】 1）已知直线的垂线有无数条，但在同一平面内，过一点画已知直线的垂线只能画一条. 2）必须强调在同一平面内，若是在空间中，则经过一点与已知直线垂直的直线有无数条. 垂线段的定义：如图，点P为直线外一点,PO⊥m，垂足为0，称PO为点P到直线m的垂线段. 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P与直线m上的各点连线中，线段PO最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 【注意】 1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误； 2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的. 二、相交线中的角 1.对顶角与邻补角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 有公共顶点 一个角的两边分别是另一角的两边的反向延长线 ∠1=∠2，∠3=∠4 邻补角 有公共顶点 两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线. ∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180° ∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180° 【补充说明】 1）对顶角的特征：1）有公共顶点；2）两个角的两边互为反向延长线. 2）若两个角互为对顶角，则它们一定相等，但两个角相等，则它们不一定为对顶角. 2.同位角、内错角、同旁内角 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在截线的同侧，在被截两条直线同侧 形如字母“F” 内错角 在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间 形如字母“Z” 同旁内角 在截线的同侧，在被截两条直线之间 形如字母“U” 【补充】如图，两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三线八角”，其中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角. 考点一： 相交线的相关概念 1．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）下列说法不正确的是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两条直线相交，只有一个交点 C．两直线平行，同旁内角相等 D．过直线外一点与直线上的点所连接的线段中，垂线段最短 【答案】C 【分析】本题考查线段公理，平行线的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．根据线段公理，平行线的性质，垂线段最短等知识一一判断即可． 【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，故本选项不符合题意； B、两条直线相交，只有一个交点，正确，故本选项不符合题意； C、两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，故本选项符合题意； D、过直线外一点与直线上的点所连接的线段中，垂线段最短，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，所以与在同一条直线上的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．过一点只能作一条垂线 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了垂线的基本事实，根据垂线的基本事实结合图形得出结论是解题关键．利用同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可． 【详解】解：因为，， 所以直线与重合， 其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：B． 3．（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，由此对各选项作出判断即可． 本题考查对顶角的定义，解题的关键是理解对顶角的定义． 【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有选项C是对顶角，其它都不是． 故选C． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（   ） ①对顶角相等； ②互补的两个角是邻补角； ③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角； ④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是对顶角、邻补角的概念，熟记它们的概念和性质是解题的关键． 根据对顶角的概念、邻补角的概念判断即可． 【详解】解∶①对顶角相等，说法正确； ②互补的两个角不一定是邻补角，本小题说法错误； ③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角，说法正确； ④两个角不是对顶角，这两个角也可能相等，本小题说法错误； 故选∶B． 5．（22-23七年级下·广西南宁·期中）下列各图中，与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了对顶角．根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，进行判定即可得出答案． 【详解】解：选项A和C中的图形都没有公共顶点，选项B中虽然有公共顶点，但一个角的两边不是另一个角的两边的反向延长线，故选项A、B和C中的∠1与∠2不互为邻补角； 根据对顶角的定义即可判断D选项中，∠1与∠2互为邻补角． 故选：D． 考点二： 指出现实问题后的数学依据 6．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，四点在直线上，点在直线外，，若 ，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合条件进行解答即可，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质． 【详解】如图所示： ∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，， ∴点M到直线l的距离是垂线段的长度，为， 故选：A． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，欲在河岸上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，可在图中画出垂直，垂足为P，然后沿铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是： ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查点到直线距离的知识，根据两点之间垂线段最短即可得出答案． 【详解】解：解：已知在河岸上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，又知直线外一点到该直线的最短距离是其垂线段，这种设计的依据是：垂线段最短， 故答案为：垂线段最短 8．（22-23七年级下·新疆博尔塔拉·期中）如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段的长度，这样测量的依据是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，理解相关含义是解题关键． 【详解】解：测量的依据是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 9．（22-23七年级下·北京西城·期末）如图，在三角形中，，点到直线的距离是线段 的长，的依据是 ．    【答案】 垂线段最短 【分析】根据点到直线的距离的定义即可说明到直线的距离是线段是；在根据两点之间垂线段最短即可证明． 【详解】 ， ， 点到直线的距离是线段为； 两点之间垂线段最短， ， 故答案为：，垂线段最短． 【点睛】本题考查了点到直线的距离定义及两点之间垂线段最短，熟记知识点是解题的关键． 10．（23-24七年级下·北京·期末）如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答案． 【详解】解：∵，，为垂足， ∴，，三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 考点三： 画垂线 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用网格画图： (1)过点C画的垂线，垂足为E； (2)线段的长度是点C到直线_______的距离； (3)连接，在线段中，线段_______最短． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题主要垂线及其做图，点到直线的距离概念，垂线段最短，注意作图的准确性． （1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与垂直的格点； （2）根据点到直线的距离概念回答； （3）根据垂线段最短直接回答即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：线段的长度是点C到直线的距离， 故答案为：； （3）解：连接，在线段中，线段最短， 理由：垂线段最短． 故答案为：． 12．（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，点是的边上的一点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线段，垂足为； (3)点到直线的距离为___________，线段___________的长度是点到直线的距离； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】本题主题考查了垂线的作法、点到直线距离的定义等知识点，掌握垂线和垂线段的区别与联系成为解题的关键． （1）如图取格点D,连接交于点，直线即为所求； （2）直接根据方格作图即可； （2）根据点到直线距离解答即可． 【详解】（1）解：如图：直线即为所求； （2）解：如图：线段即为所求． （3）解：点到直线的距离为，线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：，． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知锐角，画射线，射线，并直接写出与的关系． 【答案】画图见解析；或 【分析】本题考查了垂线的定义，角的计算，同角的余角相等的性质，难点在于分情况讨论． 分在边的同侧和异侧分别作出图形，然后分别进行计算即可得解． 【详解】解：画图如图．或． 理由如下：如图1， ∵， ∴，， ∴； 如图2，∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； 如图3，； 如图4，∵， ∴， ∴； 综上所述，或． 考点四： 判断已知图形中邻补角的个数 14．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，直线 与 相交于点 ， 是以 为顶点的一条射线，图中的对顶角和邻补角各有（   ）   A． 对、 对 B． 对、 对 C． 对、 对 D． 对、 对 【答案】C 【分析】本题考查了邻补角与对顶角的定义，根据邻补角与对顶角的定义找出邻补角和对顶角即可求解．掌握定义是解题的关键． 【详解】解：图中对顶角有：与，与，共2对， 邻补角有：与，与，与，与，与，与，共6对， 故选：C． 15．（23-24七年级下·天津河北·期中）如图，直线，，相交于点O．则的邻补角是（    ） A．和 B．和 C．和 D． 【答案】A 【分析】本题考查了邻补角的概念：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，根据邻补角的概念解答是解决问题的关键． 【详解】解：根据邻补角的定义可知，的邻补角是和， 故选：A． 16．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）如图，点O是直线 上一点，自点O引射线，图中共有 对邻补角． 【答案】4 【分析】此题考查了邻补角定义：和为180度的两个有公共顶点且有公共边的角是邻补角，根据定义直接解答． 【详解】解：根据图形可知， ，，，， 故答案为4． 17．（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，直线相交于点O，． （1）图中的对顶角有 对； （2）的邻补角是 ； （3）如果，，那么 ． 【答案】 2 、 /38度 【分析】根据对顶角的定义及性质、邻补角的定义及性质分析解答即可． 【详解】解：（1）图中的对顶角有和；和；共2对， 故答案为：2； （2）的邻补角是、， 故答案为：、； （3）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了对顶角的定义及性质、邻补角的定义，熟练掌握数学基础知识是解题的关键． 考点五： 交叉图形中的角度计算 18．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线相交于点平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角相等，以及邻补角的定义． （1）由角平分线的定义可求出，再根据对顶角相等即可求解； （2）设，则，根据，可列出关于x的方程，解出x的值，即可求出的大小，进而可求出的大小． 【详解】（1）解：平分， ， ； （2）解：∵， 设，则， ∴根据题意得， 解得：， ，则， ． 19．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线相交于点． (1)若，则的余角有__________． (2)若，求和的度数． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】此题主要考查了垂直的定义，对顶角的性质和邻补角的定义计算，要注意领会由垂直得直角这一要点． （1）由垂线的性质求得，然后根据等量代换及余角的定义解答； （2）根据垂直的定义求得，再由求得，然后根据邻补角定义和对顶角的性质即可求解． 【详解】（1）解：，， ，即， ∵， 的余角有：，； 故答案为：，； （2）解：， ， ，， ∴， ， ∴． 20．（23-24七年级上·吉林四平·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西、射线是的反向延长线，且射线平分．解答下列各题： (1)射线的方向是_______； (2)求的度数； (3)若射线的方向是东南方向，请直接写出的度数． 【答案】(1)北偏东 (2) (3) 【分析】此题主要考查了方向角的表达，角平分线的定义，邻补角，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再求得的度数，即可确定的方向； （2）根据得出 ，进而求出的度数； （3）根据，射线平分，即可求出再利用求出答案即可． 【详解】（1）解：如图： ∵射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西 ∴， ∵射线平分 ∴ ∴，即射线的方向是北偏东； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵射线的方向是东南方向， 21．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，O是直线上一点，过点O作、、三条射线，平分，． (1)若，则的度数为___________； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，若过点O作射线使得，求的度数． 【答案】(1)； (2)的度数为； (3)的度数为或． 【分析】本题考查了角平分线的定义和角的计算，熟练掌握角平分线的定义，并能够根据题目已知条件找到角度之间的等量关系列出等式是解题的关键． （1）由条件平分可得，再由条件可得，通过等量代换即可得到的度数； （2）由条件，并结合（1）的结论，可得，再利用为平角找出等量关系列出等式，即可求解的度数； （3）分射线在的内部及外部两种情况讨论，作出示意图并结合图形先计算的度数，再根据与互补的关系即可得解． 【详解】（1）平分， ． ， 同理，， ， ． （2）由题可知，， ． ， ， 由题可知为平角， ， 即， ， 的度数为． （3）当在内部时，如图①， 则． ； 当在外部时，如图②， 则， ． 综上所述，的度数为或． 22．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线交于点分别在内部，且平分． (1)的对顶角是___________； (2)若，则的度数为___________； (3)若平分，求的度数； (4)若，判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角的性质，几何中角度的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． （1）根据对顶角的定义即可解答； （2）根据角平分线的定义得出，再根据，求出结果即可； （3）由，得到，根据角平分线的定义得出，根据，求出，根据角平分线的定义得出，根据，求出结果即可； （4）由，利用平角的定义得到，再根据，求出，结合得出结论． 【详解】（1）解：根据题意：的对顶角是； （2）解： 平分， ， ； （3）解： 与为对顶角， ， ，即． 平分， ， ， ， ． 又 平分， ， ； （4）解：平分，理由如下： ， ． ， ， ， ， 平分． 23．（23-24七年级上·贵州黔东南·期末）已知：点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作射线，使，作的平分线，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，数形结合根据射线的位置分类讨论是解题关键． （1）根据平角的定义计算求值即可； （2）根据余角的定义可得，根据角平分线的定义可得，再计算角度和即可； （3）由余角的定义可得，分射线在内部、射线在外部两种情况，分别计算角的差、和即可． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （3）解：由（2）得， ∵与互余， ∴， ∴， ①当射线在内部时，如图，   ； ②当射线在外部时，如图，   ． 综上所述，的度数为或． 考点六： 三线八角的识别 24．（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）如图，相交于点A，交于点B，交于点C． (1)指出被所截形成的同位角、内错角、同旁内角； (2)指出被所截形成的内错角； (3)指出被所截形成的同旁内角． 【答案】(1)同位角：和；内错角：和；同旁内角：和； (2)和，和； (3)和，和． 【分析】此题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义： （1）两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此求解即可； （2）根据内错角的定义求解即可； （3）根据同旁内角的定义求解即可． 【详解】（1）解：同位角：和；内错角：和；同旁内角：和； （2）解：和，和都是内错角； （3）解：和，和都是同旁内角． 25．（23-24七年级上·全国·单元测试）找出图中与 是同位角、内错角、同旁内角的所有角． 【答案】 的同位角：，，，； 的内错角：，，，； 的同旁内角：，，， 【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成 “”形，内错角的边构成 “”形，同旁内角的边构成“”形． 根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可． 【详解】解：是同位角：，，，； 的内错角：，，，； 的同旁内角：，，，． 26．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，指出图中直线，被直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角．（仅指用数字标出的角） 【答案】见解析 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，同位角：在两条直线被第三条直线所截的同侧，被截两直线同侧的两个角称为同位角；内错角：在两条直线被第三条直线所截的两侧，且夹在两条被截直线之间的一对角称为内错角；同旁内角：在两条直线被第三条直线所截的同旁，被截两直线之间的两个角称为同旁内角；由此即可得出答案． 【详解】解：由图可得： 同位角：与，与； 内错角：与，与； 同旁内角：与，与． 27．（21-22七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，射线与直线分别相交于点H，G． 按要求完成下列各小题．    (1)图中共有 对对顶角， 对内错角； (2)①的同旁内角是 ； ②和是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是具有什么位置关系的角？ (3)过点G画射线的垂线，交于点M，并指出哪条线段的长度表示点G到的距离． 【答案】(1)4；4 (2)①，；②和是直线被直线所截形成；同位角 (3)图见解析， 【分析】（1）根据对顶角和内错角的定义进行判断即可； （2）①根据同旁内角的定义，进行判断即可；②根据三线八角的关系，进行判断即可； （3）根据题意画出垂线即可，根据点到直线的距离为垂线段的长，即可得出结论． 【详解】（1）解：由图可知：和，和，和，和是对顶角，共4对；和，和，和，和是内错角，共4对；    故答案为：4；4 （2）①由图可知：的同旁内角是，； 故答案为：，； ②和是直线被直线所截形成的同位角； （3）如图；    由图可知：线段的长即为点G到的距离． 【点睛】本题考查三线八角，对顶角，点到直线的距离．熟练掌握相关定义是解题的关键． 28．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：→内错角→同旁内角； 路径2：→同旁内角→内错角→同位角→同旁内角→同旁内角． … (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 【答案】(1)→同旁内角→同位角（答案不唯一）； (2)能，→内错角→同位角→同旁内角（答案不唯一）； 【分析】本题考查内错角，同位角，同旁内角的判断： （1）根据内错角，同位角，同旁内角直接逐个判断即可得到答案； （2）根据内错角、同位角、同旁内角反向推导即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， →同旁内角→同位角（答案不唯一）； （2）解：能，理由如下， 由题意可得， →内错角→同位角→同旁内角（答案不唯一）． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线、相交于点，．下列说法不正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，平角的定义、互余的定义等，由对顶角的性质，平角的定义、互余的定义逐一判断，即可求解；理解对顶角的性质，平角的定义、互余的定义是解题的关键． 【详解】解：A. 与是对顶角， ，结论正确，故不符合题意； B.由图得不一定成立，结论错误，故符合题意； C. ， ， ， ， ，结论正确，故不符合题意； D.由图得，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）2024年香洲区举办了第六届风筝节．如图所示的风筝骨架中，与构成同旁内角的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是同旁内角的定义，关键是知道哪两条直线被第三条直线所截．根据同旁内角的定义解答即可，即两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角． 【详解】解：与构成同旁内角的是． 故选：A． 3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）下面四个图形中，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角．两条边互为反向延长线的两个角叫对顶角，根据定义结合图形逐个判断即可． 【详解】解：A、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； B、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； C、符合对顶角的定义，故本选项符合题意； D、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）点为直线外一点，点、、为直线上三点，，则点到直线的距离为（   ） A．cm B．cm C．小于cm D．不大于cm 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，利用了垂线段最短的性质．根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案． 【详解】解：当时，是点到直线的距离，即点到直线的距离cm， 当不垂直直线时，点到直线的距离小于的长，即点到直线的距离小于cm， 综上所述：点到直线的距离不大于cm， 故选：D． 5．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图在中，，为垂足，则下列说法中，错误的是（   ） A．点到的距离是线段的长 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．点到的距离是线段的长 【答案】D 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，三角形的高，根据点到直线的距离，三角形的高的概念逐项排除即可，正确理解点到直线的距离，三角形的高是解题的关键． 【详解】、点到的距离是线段的长，原选项说法正确，不符合题意； 、线段是边上的高，原选项说法正确，不符合题意； 、线段是边上的高，原选项说法正确，不符合题意； 、点到的距离是线段的长，原选项说法不正确，符合题意； 故选：． 6．（24-25七年级上·河南鹤壁·阶段练习）如图，在所标识的角中，下列说法不正确的是（    ） A．与是内错角 B．与是对顶角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】C 【分析】根据内错角，对顶角，同位角，同旁内角的定义解答即可． 【详解】解：A. 与是内错角，本选项正确，不符合题意，     B. 与是对顶角，本选项正确，不符合题意， C. 与不是同位角，本选项错误，符合题意，     D. 与是同旁内角，本选项正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了内错角，对顶角，同位角，同旁内角的定义，正确理解定义是解题的关键． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，利用工具测量角，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查量角器的使用和对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键．利用对顶角相等求解，即可解题． 【详解】解：根据量角器测量的度数为，由对顶角相等可得． 故选：A． 8．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）如图，E是直线上一点，，射线平分，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，平角的定义，掌握相关知识点并灵活运用是解题关键． 先根据平角的对应求出，射线平分，得出，再根据，可得． 【详解】∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 9．（24-25七年级上·云南文山·期中）下列各图中，与是内错角的是（    ） A． B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了内错角的判断，熟记内错角的定义是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的八个角中，两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角． 根据内错角的定义可知，内错角是成“”字形的两个角，据此逐项分析可得答案． 【详解】解：A.、与是内错角，符合题意； B、与不是内错角，不符合题意； C、与不是内错角，不符合题意； D、与不是内错角，不符合题意； 故选：A． 10．（24-25七年级上·河北衡水·期中）如图，点O在直线上，，，平分，则的补角是（   ） A． B．或 C．或或 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的定义、补角的定义及邻补角，熟练掌握角平分线的定义、补角的定义及邻补角是解题的关键；由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：∵，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上所述：的补角为或． 故选B． 11．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）已知，等于，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了垂线的定义，角的和差运算．结合图形是做这类题的关键．根据垂直关系知，由，可求，根据与的位置关系，分类求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 的位置有两种：一种是在内，一种是在外． ①当在内时，； ②当在外时，． 故答案为：或． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，若，则的同位角的大小是 ，的内错角的大小是 ，的同旁内角的大小是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查内错角、同位角以及同旁内角，观察图形易得的同位角、内错角都为的邻补角，接下来结合的度数计算即可；同样由图可得的同旁内角为的对顶角，与为对顶角，据此解答． 【详解】解：由图可得的同位角、内错角都为的邻补角， 又， 则其同位角大小为； 的内错角大小为； 的同旁内角为的对顶角，则大小为； 故答案为：；；． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知点O是直线上一点，，平分，请写出下列正确结论的序号 ． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查角平分线，根据角平分线的、邻补角和直角的意义求解可得． 【详解】解：因为，所以，故①正确； 因为平分，所以，故②正确； 因为，故③正确； 因为，所以，故④错误。 故答案为：①②③ 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线、相交于点．已知，把分成两个角，且，将射线绕点逆时针旋转角到，若时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是对顶角的性质，角的和差运算，分两种情况讨论：当在之间时，当在之间时，先求解，，再分别进一步求解即可． 【详解】解：①当在之间时，如图． ∵直线、相交于点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即； ②当在之间时，如图． ∵直线、相交于点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：或 15．（23-24七年级下·全国·假期作业）古城黄冈旅游资源十分丰富，“桃林春色，柏子秋荫”便是其八景之一．为了实地测量“柏子塔”外墙底部的底角（图中的大小，张扬同学设计了两种测量方案： 方案1：作的延长线，量出的度数，便知的度数； 方案2：作的延长线，的延长线，量出的度数，便知的度数． 同学们，你能解释他这样做的道理吗？ 【答案】方案1利用了邻补角的性质；方案2利用了对顶角的性质 【分析】本题主要考查对顶角和邻补角，牢记对顶角的定义和性质（对顶角相等），邻补角的定义是解题的关键． （1）根据邻补角求出结果即可； （2）根据对顶角相等求出结果即可． 【详解】解：方案1：∵与为邻补角， ∴根据邻补角的性质可得：， ∴量出的度数，便知的度数； 方案2：∵与为对顶角， ∴根据对顶角相等可得：， ∴量出的度数，便知的度数． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，被直线所截，如果与互补，且，那么，的度数各是多少? 【答案】， 【分析】本题考查角的计算，解题的关键是掌握补角的性质，对顶角的性质，平角的性质；根据补角的性质，求出，根据对顶角的性质，根据平角的性质，求出，即可． 【详解】解：∵与互补，且， ∴， ∴， ∵和是对顶角， ∴， ∵，， ∴， ∴． 17．（21-22七年级上·浙江丽水·期末）如图，直线与直线相交于点O，且平分． (1)若比大，求的度数． (2)证明：是的平分线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了垂线的性质，角平分线的性质及角的计算，熟练掌握垂线的性质，角平分线的性质及角的计算的方法进行计算是解决本题的关键． （1）根据垂线的性质可得，由，可得，即可算出的度数，再根据角平分线的性质可得的度数，再根据代入计算即可得出答案； （2）根据角平分线的性质，可得，由垂线的性质可得，即可得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为平分线． 18．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）直线相交于点O，过点O作． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，作射线使，则是的平分线．请说明理由． (3)在图1上作，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或，理由见解析 【分析】（1）根据垂直的定义进行计算即可； （2）根据垂直的定义，对顶角相等以及等角的余角相等可得答案； （3）根据垂直的定义，平角的定义以及对顶角相等、同角的余角相等进行计算即可． 【详解】（1）解：∵． ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵． ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即是的平分线； （3）解：如图11，，理由如下： ∵， ∴，即， ∵． ∴，即， ∵， ∴ ∵， ∴． 如图12，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂线，角平分线，度分秒的计算以及对顶角、邻补角、同角的余角相等，掌握垂直的定义，角平分线的定义，度分秒的计算以及对顶角、邻补角、同角的余角相等是正确解答的关键． 19．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，O为直线上一点，平分． (1)请你数一数，图中有 个小于平角的角； (2)的余角有 ； (3)求出的度数． 【答案】(1)9 (2)、 (3) 【分析】本题考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义，以及邻补角的定义是解题的关键． （1）根据角的定义，在图中找出小于的角即可． （2）根据角平分线的定义，角之间的关系及平角的定义即可得出答案； （3）先利用角平分线的定义和邻补角的定义求得和，即可得出答案． 【详解】（1）图中小于平角的角有，，，，，，，，，共9个． 故答案为：； （2） 平分 的余角有、； （3） ，平分， ，， ． 20．（23-24七年级下·河南濮阳·期末）如图，直线相交于点O，，垂足为O． (1)若，则______°； (2)若，则______°； (3)猜想和的关系是______，并证明关系式成立． 【答案】(1)120； (2)150； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查了垂线的意义，对顶角的性质，邻补角的定义，解题的关键是熟练掌握对顶角和邻补角的性质． （1）根据垂直的定义和邻补角的性质即可得到结论； （2）根据垂直的定义和邻补角的性质即可得到结论； （3）根据垂直的定义和邻补角的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ． ， 故答案为：120； （2）， ， ， ． ， 故答案为：150； （3）， 证明：∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$