第12讲 二元一次方程与实际问题（知识串讲+15考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（人教版2024）

第12讲 二元一次方程与实际问题 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解二元一次方程组的含义及在现实生活中的广泛应用. 2.学会从实际问题中抽象出二元一次方程组. 3.掌握解二元一次方程组的基本方法，并能够正确运用. 4.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 【扩展说明】 1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； 2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； 3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 考点一： 根据实际问题列二元一次方程组 1．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）为奖励在“缤纷节”汇演中表现突出的同学，班主任派小王到文具店为获奖同学购买奖品．小王发现，购买15个文具盒和12支钢笔价格一样；如果在上述基础上少购买2个文具盒，多购买2支钢笔，则购买文具盒比钢笔少花36元．设文具盒单价为x元，钢笔单价为y元，则符合题意的方程组为（） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·期末）某班有 49 名学生， 一天， 该班一男生因事请假， 当天的男生人数恰好为女生人数的一半 ． 设该班有男生人， 女生人， 则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·全国·期末）一个两位数的十位数字与个位数字之和等于5，十位数字与个位数字之差为1，设十位数字为，个位数字为，则列方程组为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·全国·期末）甲、乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，则甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙，若设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则下列方程组中正确的是(　　) A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·云南大理·期末）现用95张纸板制作一批盒子，每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张纸板制盒身、多少张纸板制盒底，可以使盒身和盒底正好配套？设用x张纸板做盒身，y张纸板做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（    ） A． B． C． D． 考点二： 根据几何图形列二元一次方程组 6．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）      A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，在长为，宽为的长方形中，有形状、大小完全相同的个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为，宽为，根据题意，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·四川资阳·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和均相等，图是一个未完成的幻方，则的值是（    ） A．0 B． C． D．32 9．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数、对于，，，的取值，三人的说法如下． 甲；若，则；乙：若，则；丙：的值一定是2． 下列判断正确的是（    ） A．只有甲、乙对 B．只有乙、丙对 C．只有甲、丙对 D．甲、乙、丙都对 10．（23-24七年级下·全国·期末）在长方形中放入六个完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方形的宽为 ． 考点三： 二元一次方程组的应用—方案问题 11．（24-25七年级上·宁夏中卫·期末）中卫七中组织七年级学生研学，原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位；如果租用同样数量的座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满．试问： (1)七年级学生人数是多少？ (2)已知座客车的日租金为每辆元，座客车的日租金为每辆元，要使每位同学都有座位，该校单独租用哪种车更合算？ 12．（2024·贵州·模拟预测）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： (1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 13．（23-24七年级下·天津南开·期末）用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有34吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金220元/次，那么A型车租 辆最省钱，并且此时租车费为 元． 考点四： 二元一次方程组的应用—行程问题 14．（23-24七年级下·全国·期中）已知A、B两码头之间的距离为，一艘船航行于A、B两码头之间，顺流航行需3小时；逆流航行时需6小时，求船在静水中的速度及水流的速度？ 15．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时． (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度； (2)重庆某厂接到一笔1500盒旅游纪念品订单，需要在15天内完成并送与游客，已知该种纪念品礼盒里有4个正方形纪念币和4个半圆形纪念币．工厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方形纪念币或6个半圆形纪念币，但每人一天只能加工一种纪念币，工厂每天加工的正方形纪念币和半圆形纪念币数量正好全部配套．工厂每天能生产多少盒纪念品礼盒？ 16．（23-24七年级下·四川资阳·期中）从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过平路，以每小时4千米的速度上山，共用1.5小时，求甲、乙两地的距离． 考点五： 二元一次方程组的应用—工程问题 17．（23-24七年级下·吉林·期末）为完善吉林市城市路网结构，营造便捷通畅的城市道路系统，提升城市面貌惠及民生，年月起，吉林市各道路维修改造工程有序进行．已知甲工程队天，乙工程队天共修路米；甲工程队天，乙工程队天共修路米，求甲乙两工程队每天分别修路多少米？ 18．（23-24七年级下·山东聊城·期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)求甲、乙装修组工作一天，商店各需支付多少元费用？ (2)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由． 19．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）古运河是扬州的母亲河．为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：；乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示______，y表示_______； 乙：x表示______，y表示______． (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 20．（22-23八年级上·广东深圳·期末）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成． (1)设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 ． (2)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (3)如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由． 考点六： 二元一次方程组的应用—数字问题 21．（23-24七年级下·全国·期中）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数加上16后，比十位数字大49，求这个两位数？ 22．（24-25七年级上·天津·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为（    ） A．0 B． C．或9 D．9 23．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似的，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是 ． 24．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 ． 考点七： 二元一次方程组的应用—年龄问题 25．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 26．（23-24七年级下·山西临汾·期中）根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄．    27．（23-24七年级上·福建三明·期中）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 28．（21-22七年级下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 考点八： 二元一次方程组的应用—分配问题 29．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）为了响应国家“脱贫致富”的号召，某煤炭销售公司租用了甲、乙两种类型的货车若干辆为贫困地区运输了880吨的煤炭，已知每辆甲类型货车运输煤炭40吨，每辆乙类型货车运输煤炭50吨，所有甲类型货车运输的煤炭比所有乙类型货车运输的煤炭多80吨，求煤炭销售公司租用甲乙两种类型货车各多少辆？ 30．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）据资料统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分成两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是2：1？请你设计两种不同的种植方案． 31．（23-24七年级下·山东淄博·期中）用白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制作盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有15张白铁皮用于制作盒身和盒底，问可以恰好配成多少套罐头盒？ 32．（23-24七年级下·江苏南通·期中）列方程组解应用题 (1)根据市场调查，某种消毒液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量(按瓶计算)比为．某厂每天生产这种消毒液，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？ (2)A 地至 B地的航线长，一架飞机从A 地顺风飞往B 地需，它逆风飞行同样的航线需、求飞机无风时的平均速度与风速． 考点九： 二元一次方程组的应用—销售、利润问题 33．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）春节前夕，某商场用18000元购进A、B两种饮料共400箱，两种饮料的成本价与销售价如表所示： 类别 成本价(元/箱) 销售价(元/箱) A 30 45 B 50 80 求： (1)购进A、B两种饮料各多少箱？ (2)该商场售完这400箱饮料，可获利多少元？ 34．（24-25七年级上·全国·期末）某电器商场销售进价分别为120元、190元的A，B两种型号的电风扇，如下表所示是近两周的销售情况(进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本)： 销售时段 销售数量 销售收入 A 种型号 B 种型号 第一周 5 6 2310 第二周 8 9 3540 (1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价． (2)若商场再购进这两种型号的电风扇共120台，并且全部销售完，该商场能否实现这批电风扇的总利润恰好为8040元的目标？ 若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 35．（24-25八年级上·广东深圳·期中）根据如表素材，探索完成任务． 背景 深圳某学校在组织开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品． 素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元：若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元． 素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 问题解决 任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ 任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．则其中 B型加料的奶茶买了多少杯？ 考点十： 二元一次方程组的应用—和差倍分问题 36．（23-24七年级下·全国·期末）为鼓励居民节约用电，广州市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，比第二档的单价每千瓦时提高0．05元． 海珠区的李白同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知我市的另一位居民杜甫家今年4、5月份的家庭用电量分别为200和 490千瓦时，请你依据题目条件，计算杜甫家4、5月份的电费分别为多少元？ 37．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等．问：甲、乙两人原来各有书多少本？ 38．（23-24七年级下·吉林四平·期末）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校开展了大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，最初男生报名人数比女生多3人，后来又有15名女生报名参加了跳绳活动，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时女生与男生各有多少人？ 39．（23-24七年级下·湖北荆门·期中）用1块A型钢板可制成2块C型钢板、1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板、2块D型钢板．现需15块C型钢板、18块D型钢板，可恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？ 考点十一： 二元一次方程组的应用—几何问题 40．（23-24七年级下·河南南阳·期中）如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的长是 ． 41．（23-24七年级下·全国·期中）如图，射线的端点O在直线上，的度数比的度数的2倍多，则列出关于x，y的方程组是 　               　 42．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）把一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大48°，则∠1＝ 度，∠2＝ 度．    43．（24-25七年级上·全国·期末）如图，长方形含有3个正方形，①号和②号一样大，若长方形的长为，宽为，则③号正方形的边长为 ． 44．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果的两条边所在直线与的两条边互相垂直，且是的2倍少30度，则的度数为 ． 考点十二： 二元一次方程组的应用—图表信息题 45．（23-24七年级下·湖北黄石·期末）每年5月的第二个星期日为母亲节．母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，从图中信息可知一束鲜花的价格是 元； 46．（23-24七年级下·北京石景山·期末）八达岭长城是北京市著名的旅游景点，史称天下九塞之一，是万里长城的精华．五一假期期间，某校七年级历史兴趣小组游览八达岭长城，乘坐缆车的费用如下表所示： 乘坐缆车方式 乘坐缆车费用（单位：元/人） 往返 140 单程 100 已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有18人乘坐缆车，返程时有20人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是3320元，则该小组共有 人． 47．（23-24七年级下·浙江金华·期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 考点十三： 二元一次方程组的应用—古代问题 48．（23-24七年级上·江苏淮安·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》有关于“绳量井”的记载：“一口井一条绳，绳比井长一庹．折回绳却量井，却比井短一庹”其大意为：现有一口井和一条绳，用绳去量井，绳比井长5尺；如果将绳对折后再去量井，就比井短5尺．设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是 ． 49．（23-24七年级下·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”，意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得：（   ） A． B． C． D． 50．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多九客，一房九客少七客．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房可住；如果每一间客房住人，那么就有一间房少人． (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有间客房，每间客房收费钱，且每间客房最多入住人，一次性定客房间以上（含间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 51．（23-24七年级下·吉林松原·期中）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用11两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你为商人列出所有可能的购买方法． 52．（2024·海南省直辖县级单位·二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余辆车：若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 考点十四： 二元一次方程组的应用—其它问题 53．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）已知，且，那么 ． 54．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且．若，则点A表示的数为 ． 55．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）对于一个三位正整数，如果满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7，那称这个数为“七巧数”．例如：，，是“七巧数”；，，不是“七巧数”．若“七巧数”满足：所有数位的数字之和是9的倍数，且它的百位数字大于十位数字，则的最大值是 ． 56．（23-24七年级下·吉林·期末）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票共需72元；买7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光船票共需多少元？ (3)对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求______． 57．（24-25七年级上·河南南阳·期中）【概念学习】在数轴上，若将表示数的点记为，我们把到点距离相等的两个不同点和，称为基准的对称点． 例如，下图中，点表示数，点表示数，它们与表示数的点的距离都是个单位长度，点与点互为基准的对称点． (1)已知点表示数，点表示数，点与点互为基准的对称点． ①如果， 则 ②如果点与点之间有个单位长度，求和的值， (2)若点与点互为基准的对称点，点表示数，点表示数，对点进行如下操作：现将点沿着数轴向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度可得到点，求点表示的数． 考点十五： 三元一次方程组的应用 58．（23-24七年级下·全国·期末）某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需 元 59．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）“六一儿童节”当天，商场推出铅笔，练习本、圆珠笔三种特价学习用品，若购铅笔2支，练习本1本、圆珠笔3支共需6元；若购铅笔3支、练习本4本、圆珠笔2支共需9元．现购铅笔1支，练习本1本，圆珠笔1支，共需 元． 60．（23-24七年级下·天津和平·期末）在等式 中，当时，；当时，；当时，．则 ， ， ． 61．（23-24七年级下·四川内江·期中）A、、三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时刻，在前，在后，在、正中间．10分钟后，追上；又过了5分钟，追上．问再过 分钟，追上． 1．（24-25八年级上·全国·期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记录了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？ 其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦果、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广东湛江·期末）用8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的面积是（   ） A．600 B．500 C．300 D．200 3．（23-24七年级下·广东湛江·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多3，与的和为13，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（22-23八年级上·广东深圳·期末）《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·全国·期末）甲、乙两列火车分别在两条平行的车轨上行驶，甲车长a米，乙车长b米（）．若两车相向而行，从车头相遇到车尾离开共需要；若甲车从后面追赶乙车，从车头追上乙车的车尾并完全超过乙车共需要．下列结论正确的是（     ） A．快车速度 B．慢车速度 C．快车速度 D．慢车速度 6．（21-22九年级下·上海·自主招生）甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 7．（23-24七年级下·山东青岛·期末）为防控新冠状病毒，小航同学在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起(如图)，如果把这袋个纸杯整齐叠放在一起，它的高度为（　　） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·全国·期末）为了改善住房条件，小亮的父母考察了某小区的A、B两套楼房，A套楼房在第3层楼，B套楼房在第5层楼，B套楼房的面积比A套楼房的面积大24平方米，两套楼房的房价相同，第3层楼和第5层楼的房价分别是平均价的1.1倍和0.9倍．为了计算两套楼房的面积，小亮设A套楼房的面积为x平方米，B套楼房的面积为y平方米，根据以上信息列出方程组是 ． 9．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图，从A至，步行走粗线道需要35分钟，坐车走曲细线道需要22.5分钟，车行驶的距离是步行粗线的3倍，车行驶的距离是A至步行距离的5倍，已知车速是步行速度的6倍，那么先从A至步行，再从坐车所需要的总时间是( )分钟．    10．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸分别为和，如图所示，则图中阴影部分的总面积为 ． 11．（23-24七年级上·四川广元·期末）将如图1所示的5个小长方形分别不重叠地放在两个形状、大小完全相同的大长方形中（如图2，3）．已知大长方形的长为，则图3中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是 ．（用含的式子表示） 12．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期末）为响应政府号召，陵水县圣女果种植户借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台“拼多多”上零售圣女果，已知线上零售40千克、线下批发圣女果80千克共获得销售额4000元；线上零售60千克和线下批发80千克圣女果的销售额相同．求线上零售和线下批发圣女果的单价分别为每千克多少元？ 13．（23-24七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图所示，已知，， (1)求证：； (2)若，，求和的度数． 15．（23-24七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，经过平移得到，位置如图所示． (1)分别下列各点的坐标：A__________，B__________，C__________； (2)是由怎样平移得到的？ (3)若点是内部一点，平移后对应点N的坐标为，求m和n的值． 14．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 15．（24-25七年级上·全国·期末）某旅游景点的门票价格规定如表所示： 团体购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价（团体价） 13元 11元 a元 学校七年级（1）（2）两个班共104人去旅游，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人，经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，一共应付款1240元． (1)问两班各有学生多少名？ (2)若两班联合起来，作为一个团体购票，可节省304元，试求a的值． 16．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）某水果店A种水果每千克5元，B种水果每千克8元，李老师买了两种水果共7千克，花了元．两种水果各买了多少千克？（列二元一次方程组解答）19．（24-25七年级上·上海·期中）已知是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是，边长之差是． (1)如图，用含的代数式表示两个正方形纸片的面积之和：______； 当时，两个正方形纸片的面积之和：______． (2)如图，如果两个正方形纸片的面积之和为，阴影部分的面积为，试求的值． (3)现将正方形纸片并排放置后构成新的正方形（图），将正方形放在正方形的内部（图），如果图和图中阴影部分的面积分别是和，那么两个正方形纸片的面积之和为：______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 二元一次方程与实际问题 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解二元一次方程组的含义及在现实生活中的广泛应用. 2.学会从实际问题中抽象出二元一次方程组. 3.掌握解二元一次方程组的基本方法，并能够正确运用. 4.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 【扩展说明】 1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； 2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； 3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 考点一： 根据实际问题列二元一次方程组 1．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）为奖励在“缤纷节”汇演中表现突出的同学，班主任派小王到文具店为获奖同学购买奖品．小王发现，购买15个文具盒和12支钢笔价格一样；如果在上述基础上少购买2个文具盒，多购买2支钢笔，则购买文具盒比钢笔少花36元．设文具盒单价为x元，钢笔单价为y元，则符合题意的方程组为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的知识，解题的关键是找到两个等量关系并列出方程组，难度不大．根据“购买15个笔记本和12支钢笔价格一样；如果在上述基础上少购买2个笔记本，多购买2支钢笔，则购买笔记本比钢笔少花36元”列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 2．（23-24七年级下·全国·期末）某班有 49 名学生， 一天， 该班一男生因事请假， 当天的男生人数恰好为女生人数的一半 ． 设该班有男生人， 女生人， 则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，列方程组解应用题的关键是找准等量关系，同时能够根据等式的性质对方程进行整理变形，从而找到正确答案． 根据等量关系：①该班一男生请假后，男生人数恰为女生人数的一半；②男生人数+女生人数=49，列方程组即可． 【详解】解：根据设该班有男生人， 女生人，则该班一男生请假后，男生人数恰为女生人数的一半，得，即；某班共有学生49人，得． 列方程组为：， 故选：D． 3．（23-24七年级下·全国·期末）一个两位数的十位数字与个位数字之和等于5，十位数字与个位数字之差为1，设十位数字为，个位数字为，则列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，掌握两位数的表示方法，列出方程组是解题的关键． 设十位数字为，个位数字为，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】设十位数字为，个位数字为， 根据题意得，． 故选：A． 4．（23-24七年级下·全国·期末）甲、乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，则甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙，若设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，则下列方程组中正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由实际问题抽象出二元一次方程组，根据乙先跑10米，则甲跑5秒就可以追上乙，得方程；根据乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙，得方程．从而得出方程组． 【详解】解：由题意，得 故选A． 5．（23-24七年级下·云南大理·期末）现用95张纸板制作一批盒子，每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张纸板制盒身、多少张纸板制盒底，可以使盒身和盒底正好配套？设用x张纸板做盒身，y张纸板做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，根据“制作盒身和制作盒底的纸板共95张，每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，且一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子（即制作的盒底的总数量是制作盒身总数量的2倍）”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵制作盒身和制作盒底的纸板共95张， ∴； ∵每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，且一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子， ∴． ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 考点二： 根据几何图形列二元一次方程组 6．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组，能根据题意正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据大长方形的宽为以及小长方形的长与宽之间的关系，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 7．（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，在长为，宽为的长方形中，有形状、大小完全相同的个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为，宽为，根据题意，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找对等量关系是列方程组的关键．根据图形体现的小矩形的长与宽的两倍的和是，长是宽的倍，即可得到方程组． 【详解】解：设小矩形的长为，宽为， 则可得， 故选：C． 8．（23-24七年级下·四川资阳·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和均相等，图是一个未完成的幻方，则的值是（    ） A．0 B． C． D．32 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键. 设图中间的数为，第三行第一个数字为，根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，列出二元一次方程组，求出，即可解决问题. 【详解】解：设图中间的数为，第三行第一个数字为， 由题意得：， 由①得： 由②得： ， ， 解得： ， 故选：B. 9．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数、对于，，，的取值，三人的说法如下． 甲；若，则；乙：若，则；丙：的值一定是2． 下列判断正确的是（    ） A．只有甲、乙对 B．只有乙、丙对 C．只有甲、丙对 D．甲、乙、丙都对 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，整式的加法，先用，表示，的式子，结合，逐一判断即可． 【详解】解：由题意得 ②①得，解得 把 代入①得，解得， 所以， 因为 ， 甲：时，，解得，正确； 乙：则，即，正确； 丙：，正确； 故选：D． 12．（23-24七年级下·全国·期末）在长方形中放入六个完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方形的宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找到等量关系列出方程组求解． 设小长方形的宽为，小长方形的长是，根据长方形的长和宽列出方程组求解． 【详解】解：设小长方形的宽为，小长方形的长是， 根据图形，大长方形的宽可以表示为，或者，则， 大长方形的长可以表示为，则， ，解得． 故答案是：． 考点三： 二元一次方程组的应用—方案问题 11．（24-25七年级上·宁夏中卫·期末）中卫七中组织七年级学生研学，原计划租用座客车若干辆，但有人没有座位；如果租用同样数量的座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满．试问： (1)七年级学生人数是多少？ (2)已知座客车的日租金为每辆元，座客车的日租金为每辆元，要使每位同学都有座位，该校单独租用哪种车更合算？ 【答案】(1)240人 (2)单独租用座客车更合算 【分析】（1）设原计划租用45座客车x辆，学生总人数为y人，根据“原计划租用45座客车若干辆，但有15个人没座，若租用同样数量的60座客车则多出一辆，其余客车恰好坐满”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少辆，由总租金每辆车的租金租车辆数分别求出租两种客车各需多少费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设原计划租用45座客车x辆，学生总人数为y人，根据题意得： ， 解得：； 答：学生总人数为人； （2）解：只租用45座，需要6辆，费用：（元）， 只租用60座，需要4辆，费用：（元）， ∵， ∴单独租用座客车更合算． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）求出租两种客车各需多少费用． 12．（2024·贵州·模拟预测）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： (1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【答案】(1)甲种飞船模型每件进价25元，乙种飞船模型每件进价15元 (2)有2种购买方案：①购进5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型；②购进2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． （1）设甲种飞船模型每件进价x元，乙种飞船模型每件进价y元，根据1件甲种飞船模型和1件乙种飞船模型的售价共计40元，2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型的售价共计95元，建立二元一次方程组，解之即可； （2）设购进a件甲种飞船模型和b件乙种飞船模型，根据总价单价数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案． 【详解】（1）解：设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元， 根据题意得， 解得， 答：甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元； （2）解：设购买件甲种飞船模型和件乙种飞船模型， 根据题意得， ， ，均为正整数， 当时，； 当时，， 有2种购买方案如下： ①购买5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型； ②购买2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型． 13．（23-24七年级下·天津南开·期末）用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有34吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金220元/次，那么A型车租 辆最省钱，并且此时租车费为 元． 【答案】(1)1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨； (2)2，1940． 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）结合题意和（1）得，易知 结合a、b都是正整数，可确定 或 或 三种租车方案，分别计算三种租车方案的费用，比较即可获得答案． 【详解】（1）解：设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，依题意列方程组得 ， 解得 ∴1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨； （2）解：结合题意和（1）得， ∵a、b都是正整数， 或 或 ∴ 有3种租车方案： 方案一：A型车2辆， B型车7辆； 方案二：A型车6辆， B型车4辆； 方案三∶ A型车10辆， B型车1辆； ∵A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金220元/次， ∴方案一需租金： (元)； 方案二需租金： (元)； 方案三需租金： (元)； ∴最省钱的租车方案是方案一： A型车租2辆， B型车租7辆，最少租车费为1940元， 故答案为：2，1940． 考点四： 二元一次方程组的应用—行程问题 14．（23-24七年级下·全国·期中）已知A、B两码头之间的距离为，一艘船航行于A、B两码头之间，顺流航行需3小时；逆流航行时需6小时，求船在静水中的速度及水流的速度？ 【答案】船在静水中的速度及水流的速度分别为、 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设船在静水中的速度及水流的速度分别为、，则顺水速度为，逆水速度为，根据往返路程相等建立等量关系，求出其解就可以求出结论． 【详解】解：设船在静水中的速度及水流的速度分别为、，由题意可得： ， 解得：， 答：船在静水中的速度及水流的速度分别为、． 15．（23-24七年级下·重庆黔江·期中）今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时． (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度； (2)重庆某厂接到一笔1500盒旅游纪念品订单，需要在15天内完成并送与游客，已知该种纪念品礼盒里有4个正方形纪念币和4个半圆形纪念币．工厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方形纪念币或6个半圆形纪念币，但每人一天只能加工一种纪念币，工厂每天加工的正方形纪念币和半圆形纪念币数量正好全部配套．工厂每天能生产多少盒纪念品礼盒？ 【答案】(1)该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时； (2)工厂每天能生产90盒纪念币． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用． （1）设该客轮在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时，根据路程速度时间，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设每天安排名工人生产正方体纪念币，依题意得，解得即可． 【详解】（1）解：设该客轮在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时， 依题意，得：， 解得：， 答：该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时； （2）解：设每天安排名工人生产正方体纪念币，则每天安排名工人生产半圆形纪念币， 依题意得， 解得：， 则工厂每天能生产的纪念币数为：（盒）， 答：工厂每天能生产90盒纪念币． 16．（23-24七年级下·四川资阳·期中）从甲地到乙地，先下山再走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度走平路，到达乙地共用55分钟；他返回时，以每小时8千米的速度通过平路，以每小时4千米的速度上山，共用1.5小时，求甲、乙两地的距离． 【答案】甲、乙两地的距离为9千米． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解， 最后把两断路程相加即可． 【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米， 根据题意，得， 解得：， ∴， ∴甲、乙两地的距离为9千米． 考点五： 二元一次方程组的应用—工程问题 17．（23-24七年级下·吉林·期末）为完善吉林市城市路网结构，营造便捷通畅的城市道路系统，提升城市面貌惠及民生，年月起，吉林市各道路维修改造工程有序进行．已知甲工程队天，乙工程队天共修路米；甲工程队天，乙工程队天共修路米，求甲乙两工程队每天分别修路多少米？ 【答案】甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米 【分析】根据题意设甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米列方程解答即可．本题考查了二元一次方程组与实际问题，审清题意列出二元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米，根据题意得， ， 解得：， 答：甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米． 18．（23-24七年级下·山东聊城·期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)求甲、乙装修组工作一天，商店各需支付多少元费用？ (2)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由． 【答案】(1)甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元 (2)安排甲乙合作施工更有利于商店经营，理由见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，列出方程组，解方程组即可； （2）分别求出三种情况下的费用，然后进行比较得出答案即可． 【详解】（1）解：设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元， 依题意得：， 解得：， 所以，甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元． （2）解：设甲、乙装修组的工作效率分别为m，n， 由题意得， 解得：， 所以，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要24天． 选择①所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）； 选择②所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）； 选择③所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）． 因为，所以，安排甲乙合作施工更有利于商店经营． 19．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）古运河是扬州的母亲河．为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：；乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示______，y表示_______； 乙：x表示______，y表示______． (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)补全方程组见解析；A工程队用的时间，B工程队用的时间；A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数； (2)A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用． （1）此题蕴含两个基本数量关系：A工程队用的时间工程队用的时间天，A工程队整治河道的米数工程队整治河道的米数，由此进行解答即可； （2）选择其中一个方程组解答解决问题． 【详解】（1）解：甲同学：设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，由此列出的方程组为 ； 乙同学：A工程队整治河道的米数为x，B工程队整治河道的米数为y，由此列出的方程组为 ； 故答案为：A工程队用的时间，B工程队用的时间；A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数； （2）解：选甲同学所列方程组解答如下： ， 得， 解得， 把代入①得， 所以方程组的解为， A工程队整治河道的米数为：， B工程队整治河道的米数为：； 答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 选乙同学所列方程组解答如下： 由题意可得， 解得， 答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 20．（22-23八年级上·广东深圳·期末）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成． (1)设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 ． (2)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (3)如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由． 【答案】(1) (2)时间上考虑选择甲公司 (3)从节约开支上考虑选择乙公司，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． （1）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间列出方程即可求解． （2）列出方程组求出甲乙单独做所用的时间，然后比较大小，进行作答即可； （3）列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间计算总费用，然后比较大小，进行作答即可． 【详解】（1）解：设工作总量为1，甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n， 依题意得， 故答案为：． （2）解：设工作总量为1，甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n， 依题意得，， 解得：， ∵， ∴甲公司的效率高， ∴从时间上考虑选择甲公司． （3）解：从节约开支上考虑选择乙公司，理由如下； 设甲公司每周费用为万元，乙公司每周费用为万元， 依题意得，， 解得：， ∴甲公司共需万元，乙公司共需万元， ∵， ∴从节约开支上考虑选择乙公司． 考点六： 二元一次方程组的应用—数字问题 21．（23-24七年级下·全国·期中）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数加上16后，比十位数字大49，求这个两位数？ 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个两位数的十位数字为，个位数字为，根据“一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数加上16后，比十位数字大49”列出二元一次方程组即可，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为，个位数字为， 由题意可知：， 解得：， 答：这个两位数为36． 22．（24-25七年级上·天津·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为（    ） A．0 B． C．或9 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据九宫图的填法，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，列出方程组，即可得到答案． 【详解】根据题意得： ， 解得：， ， 故选择：A 23．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似的，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是 ． 【答案】 【分析】先根据例子和图（2）列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：由图1可得，第一列为x的系数、第二列为y的系数，第三列和第四列为方程右边的常数，且前两列一竖表示1，第三列一横表示10，第四列一竖表示1，一横表示5 则根据图2可得：． 故填． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，审清题意、明确图1各符号的含义成为解答本题的关键． 24．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意列出对应的方程组求解是解题的关键．根据内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等列出方程组求解即可． 【详解】解：由题意得，， 即， 两式相加得： ， 故答案为：3． 考点七： 二元一次方程组的应用—年龄问题 25．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 26．（23-24七年级下·山西临汾·期中）根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄．    【答案】小亮今年的年龄为8岁 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小亮今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为岁，根据题意列出方程并求解，即可求解． 【详解】解：设小亮今年的年龄为岁，爸爸今年的年龄为岁 由题意可得： 解得： 答：小亮今年的年龄为8岁． 27．（23-24七年级上·福建三明·期中）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁， 根据题意得： 解得： ∴当奶奶岁时，小花的年龄为， ∴小花岁时将为奶奶贺白寿， 故答案为：． 28．（21-22七年级下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 考点八： 二元一次方程组的应用—分配问题 29．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）为了响应国家“脱贫致富”的号召，某煤炭销售公司租用了甲、乙两种类型的货车若干辆为贫困地区运输了880吨的煤炭，已知每辆甲类型货车运输煤炭40吨，每辆乙类型货车运输煤炭50吨，所有甲类型货车运输的煤炭比所有乙类型货车运输的煤炭多80吨，求煤炭销售公司租用甲乙两种类型货车各多少辆？ 【答案】租用甲种类型货车12辆，乙种类型货车8辆 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设租用甲种类型货车辆，设租用乙种类型货车辆，利用每辆甲类型货车运输煤炭40吨，每辆乙类型货车运输煤炭50吨，所有甲类型货车运输的煤炭比所有乙类型货车运输的煤炭多80吨，再建立方程求解即可； 【详解】解：设租用甲种类型货车辆，设租用乙种类型货车辆， 则： 解得：， 答：租用甲种类型货车12辆，乙种类型货车8辆. 30．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）据资料统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分成两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是2：1？请你设计两种不同的种植方案． 【答案】见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．先设计出两种方案图，然后根据甲、乙两种作物的总产量的比是2：1列出方程组，求出方程的解即可． 【详解】解：方案1：如图①，将长方形分割为两个长方形和长方形， 设米，米， 由题意得，，解得 所以，过长方形土地边长上离一端160米处画一条垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大的一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物． 方案2：如图②，将长方形分割为两个长方形和长方形， 设米，米，由题意得， ，解得． 所以，过长方形土地边长上离A一端80米处画一条垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大的一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物． 31．（23-24七年级下·山东淄博·期中）用白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制作盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有15张白铁皮用于制作盒身和盒底，问可以恰好配成多少套罐头盒？ 【答案】144套 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设用来制盒身的铁皮为张，用来制盒底的铁皮为张，根据每张白铁皮可制作盒身16个，或盒底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．列出方程组，解方程组即可得到答案. 【详解】解：设用来制盒身的铁皮为张，用来制盒底的铁皮为张，根据题意， 得 解得 答：可以恰好配成144套罐头盒. 32．（23-24七年级下·江苏南通·期中）列方程组解应用题 (1)根据市场调查，某种消毒液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量(按瓶计算)比为．某厂每天生产这种消毒液，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？ (2)A 地至 B地的航线长，一架飞机从A 地顺风飞往B 地需，它逆风飞行同样的航线需、求飞机无风时的平均速度与风速． 【答案】(1)这些消毒液应该分装大瓶装瓶， 小瓶装瓶 (2)飞机无风时的平均速度为，风速为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键； （1）设这些消毒液应该分装大瓶装x瓶，小瓶装y瓶，根据“大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量(按瓶计算)比为．某厂每天生产这种消毒液”可得关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可； （2）设飞机无风时的平均速度为，风速为，根据“顺风和逆风航行的距离相等的数量关系建立方程组”即可求出答案． 【详解】（1）解：设这些消毒液应该分装大瓶装x瓶，小瓶装y瓶，根据题意得： 解得： 答： 这些消毒液应该分装大瓶装30000瓶， 小瓶装50000瓶． （2）解：设飞机无风时的平均速度为，风速为，由题意，得 解得 答：飞机无风时的平均速度为，风速为． 考点九： 二元一次方程组的应用—销售、利润问题 33．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）春节前夕，某商场用18000元购进A、B两种饮料共400箱，两种饮料的成本价与销售价如表所示： 类别 成本价(元/箱) 销售价(元/箱) A 30 45 B 50 80 求： (1)购进A、B两种饮料各多少箱？ (2)该商场售完这400箱饮料，可获利多少元？ 【答案】(1)购进A种饮料100箱，B种饮料300箱 (2)10500元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找准题干的等量关系． （1）设商场购进A品牌饮料x箱，B品牌饮料y箱，然后根据题意可列出方程组进行求解； （2）由(1)及题意可直接进行求解． 【详解】（1）解：设购进A、B两种饮料分别为x和y箱， 则，解方程组可得， 答∶该商场购进A种饮料100箱，B种饮料300箱； （2）解：（元）， 答：该商场售完这400箱饮料，可获利10500元． 34．（24-25七年级上·全国·期末）某电器商场销售进价分别为120元、190元的A，B两种型号的电风扇，如下表所示是近两周的销售情况(进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本)： 销售时段 销售数量 销售收入 A 种型号 B 种型号 第一周 5 6 2310 第二周 8 9 3540 (1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价． (2)若商场再购进这两种型号的电风扇共120台，并且全部销售完，该商场能否实现这批电风扇的总利润恰好为8040元的目标？ 若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A，B两种型号的电风扇的销售单价分别为 150 元、260元 (2)该商场能实现这批电风扇的总利润恰好为8040 元的目标，采购方案为：购进9台A 种型号的电风扇，111 台 B种型号的电风扇 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设A种型号的电风扇的销售单价为x元/台，B种型号的电风扇的销售单价为y元/台，根据总价单价数量结合近二周的销售情况统计表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设再购进A种型号的电风扇m台，则购进B种型号的电风扇n台，根据利润销售收入进货成本，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价 为y元， 依题 意， 得 ，解得 ， 答：A，B两种型号的电风扇的销售单价分别为 150 元、260元． （2）解：设再次购进A种型号的电风扇m台，B种型号的电风扇n台， 依题意，得 ， 解得 ， 答：该商场能实现这批电风扇的总利润恰好为8040元的目标，采购方案为：购进9台A 种型号的电风扇，111台B种型号的电风扇． 35．（24-25八年级上·广东深圳·期中）根据如表素材，探索完成任务． 背景 深圳某学校在组织开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品． 素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元：若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元． 素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 问题解决 任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ 任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．则其中 B型加料的奶茶买了多少杯？ 【答案】任务1：款奶茶的销售单价是10元，款奶茶的销售单价是12元；任务2：有3种购买方案；任务3：3杯 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，根据题意找出数量关系，列出二元一次方程（组）是解题的关键． 任务1：设款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可； 任务2：设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯，根据题意列出二元一次方程，求解即可； 任务3：设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯，则款加料的奶茶买了杯，即杯，根据题意列出二元一次方程，求解即可． 【详解】解：任务1：设款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元， 由题意得：， 解得：， 答：款奶茶的销售单价是10元，款奶茶的销售单价是12元； 任务2：设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯， 由题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 或或， 有3种购买方案； 任务3：设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯，则款加料的奶茶买了杯，即杯， 由题意得：， 整理得：， 、、均为正整数， ， 答：款加料的奶茶买了3杯． 考点十： 二元一次方程组的应用—和差倍分问题 36．（23-24七年级下·全国·期末）为鼓励居民节约用电，广州市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，比第二档的单价每千瓦时提高0．05元． 海珠区的李白同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知我市的另一位居民杜甫家今年4、5月份的家庭用电量分别为200和 490千瓦时，请你依据题目条件，计算杜甫家4、5月份的电费分别为多少元？ 【答案】杜甫家四月份的电费为122元，五月份的电费为327元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．设基本电价为x元/千瓦时，提高电价为y元/千瓦时，根据2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元，列方程组求解． 【详解】解：设基本电价为x元/千瓦时，提高电价为y元/千瓦时， 由题意得， ， 解得： ， 元 则四月份电费为：（元）， 五月份电费为： （元）． 答：杜甫家四月份的电费为122元，五月份的电费为327元． 37．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等．问：甲、乙两人原来各有书多少本？ 【答案】甲原来有40本书，乙原来有20本书 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设甲原来有x本书，乙原来有y本书，根据如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲原来有x本书，乙原来有y本书， 由题意得，， 解得， 答：甲原来有40本书，乙原来有20本书． 38．（23-24七年级下·吉林四平·期末）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校开展了大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，最初男生报名人数比女生多3人，后来又有15名女生报名参加了跳绳活动，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时女生与男生各有多少人？ 【答案】最初报名时男生有12人，女生有9人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设最初报名时女生有x人，男生有y人，由题意：男生报名人数比女生多3人，后来又报了15名女生，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，列出方程组，解之即可． 【详解】解：设最初报名时女生有x人，男生有y人， 依题意，得：， 解得：， 答：最初报名时男生有12人，女生有9人． 39．（23-24七年级下·湖北荆门·期中）用1块A型钢板可制成2块C型钢板、1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板、2块D型钢板．现需15块C型钢板、18块D型钢板，可恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？ 【答案】恰好用4块型钢板，7块型钢板 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 设恰好用块型钢板，块型钢板，根据现需15块型钢板和18块型钢板，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 【详解】解：设恰好用块型钢板，块型钢板， 根据题意得：， 解得：． 答：恰好用4块型钢板，7块型钢板． 考点十一： 二元一次方程组的应用—几何问题 40．（23-24七年级下·河南南阳·期中）如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的长是 ． 【答案】/35厘米 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题中的相等关系列方程组是解题的关键． 设每块墙砖的长为，宽为，根据“三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低”列方程组求解可得． 【详解】解：设每块墙砖的长为，宽为，根据题意得： 解得：， ． 41．（23-24七年级下·全国·期中）如图，射线的端点O在直线上，的度数比的度数的2倍多，则列出关于x，y的方程组是 　               　 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，理解题意，找到等量关系是解题的关键．由与互为邻补角可列出方程，根据 的度数比的度数的2倍多10°，可列出方程，联立两方程即可． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为：． 42．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）把一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大48°，则∠1＝ 度，∠2＝ 度．    【答案】 69 21 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据图形找到等量关系进行列式． 根据题意结合图形列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得． 故答案为：69，21． 43．（24-25七年级上·全国·期末）如图，长方形含有3个正方形，①号和②号一样大，若长方形的长为，宽为，则③号正方形的边长为 ． 【答案】/2厘米 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，表示出大长方形长和宽是解题的关键．设正方形①号的边长为，正方形③号的边长为，再根据长方形的长为，宽为，得到方程组解出a、b，即可求出结论． 【详解】解：设正方形①号的边长为，正方形③号的边长为，则正方形②的边长为， 长方形的长为，宽为， ， 解得：， 则③号正方形的边长为， 故答案为：． 44．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果的两条边所在直线与的两条边互相垂直，且是的2倍少30度，则的度数为 ． 【答案】110或30/30或110 【分析】考查了垂线，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．关键是得到与的关系．因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因是的2倍少30度，利用方程组即可解决问题． 【详解】解：如图1 根据题意得，， 解得； 如图2， 根据题意得， 解得， ∴的度数为或， 故答案为：110或30． 考点十二： 二元一次方程组的应用—图表信息题 45．（23-24七年级下·湖北黄石·期末）每年5月的第二个星期日为母亲节．母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，从图中信息可知一束鲜花的价格是 元； 【答案】15 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设一束鲜花的价格为x元，一个礼盒的价格为y元，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设一束鲜花的价格为x元，一个礼盒的价格为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：一束鲜花的价格为15元． 故答案为：15 46．（23-24七年级下·北京石景山·期末）八达岭长城是北京市著名的旅游景点，史称天下九塞之一，是万里长城的精华．五一假期期间，某校七年级历史兴趣小组游览八达岭长城，乘坐缆车的费用如下表所示： 乘坐缆车方式 乘坐缆车费用（单位：元/人） 往返 140 单程 100 已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有18人乘坐缆车，返程时有20人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是3320元，则该小组共有 人． 【答案】30 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．可设该小组共有x人，往返的有y人，根据等量关系：①去程时的人数+返程时的人数﹣往返的人数=该小组一共的人数；②乘坐缆车的总费用是3320元；列出方程组求解即可． 【详解】解：设该小组共有x人，往返的有y人，依题意有 ， 解得， 故该小组共有30人． 故答案为：30． 47．（23-24七年级下·浙江金华·期末）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小慧在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不消楚，如图所示： 请根据发票中现有的信息，帮助小慧复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，金额综合为900元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本， 由题意得， 解得， 则（元），（元）， 答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元． 考点十三： 二元一次方程组的应用—古代问题 48．（23-24七年级上·江苏淮安·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》有关于“绳量井”的记载：“一口井一条绳，绳比井长一庹．折回绳却量井，却比井短一庹”其大意为：现有一口井和一条绳，用绳去量井，绳比井长5尺；如果将绳对折后再去量井，就比井短5尺．设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程（组）． 根据“用绳去量井，绳比井长5尺；如果将绳对折后再去量井，就比井短5尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳长尺，井深尺． 根据题意得，． 故答案为：． 49．（23-24七年级下·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”，意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，列出方程组即可． 【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得： ， 故选：D． 50．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多九客，一房九客少七客．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房可住；如果每一间客房住人，那么就有一间房少人． (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有间客房，每间客房收费钱，且每间客房最多入住人，一次性定客房间以上（含间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【答案】(1)该店有客房间，房客有人； (2)应选择一次性定客房间更合算． 【分析】（）设该店有客房间，房客有人，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （）分别求出每间客房住人，定客房间需付的房费与一次性定客房间需付的房费，比较即可判断求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设该店有客房间，房客有人， 由题意得，， 解得， 答：该店有客房间，房客有人； （2）解：若每间客房住人，则需要定客房间，需付房费元， 若一次性定客房间，需付房费元， ∵， ∴诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性定客房间更合算． 51．（23-24七年级下·吉林松原·期中）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用11两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你为商人列出所有可能的购买方法． 【答案】(1)每头牛3两银子，每只羊2两银子； (2)方案1：1头牛，4只羊；方案2：3头牛，1只羊． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m头牛，n只羊，根据某商人准备用11两银子买牛和羊，列出二元一次方程，然后求出满足条件的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，依题意得： ， 解得：， 答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子； （2）解：设购买m头牛，n只羊， 依题意得：， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴， ∴商人有2种购买方法：方案1：1头牛，4只羊；方案2：3头牛，1只羊．． 52．（2024·海南省直辖县级单位·二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余辆车：若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【答案】共有人，辆车 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设共有人，辆车，根据“每人共乘一车，最终剩余辆车：若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设共有人，辆车， 依题意得：， 解得：． 答：共有人，辆车． 考点十四： 二元一次方程组的应用—其它问题 53．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）已知，且，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值、二元一次方程组、代数式求值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．先根据绝对值的非负性可得，从而可得，代入可得，再根据绝对值的性质可得，，解二元一次方程组可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 联立，解得， ∴， 故答案为：1． 54．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且．若，则点A表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间距离公式可得出，然后解方程组即可求解． 【详解】解∶ ∵点A、B分别表示数a、b，， ∴， 解方程组，解得， 故答案为∶． 55．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）对于一个三位正整数，如果满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7，那称这个数为“七巧数”．例如：，，是“七巧数”；，，不是“七巧数”．若“七巧数”满足：所有数位的数字之和是9的倍数，且它的百位数字大于十位数字，则的最大值是 ． 【答案】801 【分析】本题考查了实数与整式的新定义，以及二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意掌握新定义，利用新定义解决问题． 利用定义和已知列方程，分情况讨论得出m的所有的值，即可确定最值． 【详解】解：设“七巧数”m的百位、十位、个位上的数分别为a、b、c， 根据题意得：，（n为正整数）且 ①＋②得：， ∴当时，，， ∴，或，或，或，， 当，3，4……得不到符合题意的m， ∴m的值为801或711或621或531． ∴的最大值是801， 故答案为：801． 56．（23-24七年级下·吉林·期末）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票共需72元；买7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光船票共需多少元？ (3)对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）分别①②，①②即可求出； （2）设一张过江船票为元，一张观光船票为元，根据题意列出方程组即可得到答案； （3）根据题意列出三元一次方程组，计算即可． 【详解】（1）解：， ①②：， 解得； ①②：， 解得， 故； （2）解：设一张过江船票为元，一张观光船票为元， 依题意得：， 则购买15张过江船票，7张观光船票即为， ，得：， 解得， 故购买15张过江船票，7张观光船票共需元； （3）解：由题意得：①， ②， ， 可得， 解得． 故 57．（24-25七年级上·河南南阳·期中）【概念学习】在数轴上，若将表示数的点记为，我们把到点距离相等的两个不同点和，称为基准的对称点． 例如，下图中，点表示数，点表示数，它们与表示数的点的距离都是个单位长度，点与点互为基准的对称点． (1)已知点表示数，点表示数，点与点互为基准的对称点． ①如果， 则 ②如果点与点之间有个单位长度，求和的值， (2)若点与点互为基准的对称点，点表示数，点表示数，对点进行如下操作：现将点沿着数轴向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度可得到点，求点表示的数． 【答案】(1)①；②，或， (2) 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，新定义下的计算， （1）①根据定义得，再将代入即可； ②根据题意得，与构成方程组求解即可； （2）根据题意得，与构成方程组求解即可； 正确理解新定义并利用方程的思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点表示数，点表示数，点与点互为基准的对称点， ∴， ①当时，则， ∴， 故答案为：； ②∵点与点之间有个单位长度， ∴， ∴或， 解得：或， ∴，或，； （2）解：∵点与点互为基准的对称点，点表示数，点表示数， ∴，即， ∵点沿着数轴向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度可得到点， ∴， ∴， 解得：， ∴点表示的数为． 考点十五： 三元一次方程组的应用 58．（23-24七年级下·全国·期末）某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需 元 【答案】30 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意可得方程组，利用加减消元法可得，据此可得答案． 【详解】解：设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元， 由题意得， 得：， ∴， ∴购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需30元， 故答案为：30． 59．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）“六一儿童节”当天，商场推出铅笔，练习本、圆珠笔三种特价学习用品，若购铅笔2支，练习本1本、圆珠笔3支共需6元；若购铅笔3支、练习本4本、圆珠笔2支共需9元．现购铅笔1支，练习本1本，圆珠笔1支，共需 元． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用；设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为、和元，根据购铅笔支，练习本本，圆珠笔支共需元；购铅笔支，练习本本，圆珠笔支共需元建立三元一次方程组，然后将两个方程联立，即可求得的值． 【详解】解：设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为、和元， 根据题意得：， ②①得：③， 购铅笔支，练习本本，圆珠笔支，共需元， 故答案为：． 60．（23-24七年级下·天津和平·期末）在等式 中，当时，；当时，；当时，．则 ， ， ． 【答案】 6 【分析】此题考查了解三元一次方程组，分别代入每组数值得到三元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：根据题意得到， 解得 故答案为： 61．（23-24七年级下·四川内江·期中）A、、三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时刻，在前，在后，在、正中间．10分钟后，追上；又过了5分钟，追上．问再过 分钟，追上． 【答案】15 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，设、、的速度为，，，再过分钟，追上，某一时刻，之间的距离为，间的距离为，根据10分钟后，追上；又过了5分钟，追上，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设、、的速度为，，，再过分钟，追上，某一时刻，之间的距离为，间的距离为，则： ， 由①得：④， 由②得：⑤， 把④⑤代入③得：， 故答案为：15． 1．（24-25八年级上·全国·期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记录了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？ 其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦果、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 利用总价单价数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于x，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解： 共买了一千个苦果和甜果， ； 共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个， ， 可列方程组为， 故答案为：A． 2．（23-24七年级下·广东湛江·期末）用8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的面积是（   ） A．600 B．500 C．300 D．200 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组在几何问题中的应用，结合图形找到两组等量关系是关键． 假设小长方形的长、宽分别为a，b，通过图形中大长方形的边长关系，可列出二元一次方程组，求得a、b的值，进而求得面积． 【详解】设小长方形的长、宽分别为a，b． 由题意可列方程组：， 解得：， ∴每块小长方形地砖的面积为． 故选：C． 3．（23-24七年级下·广东湛江·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多3，与的和为13，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的中线定义和解二元一次方程组，根据周长的差得出边与的差等于3是解题的关键． 根据三角形中线的定义得到，进而得到和的周长的差等于与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴的周长的周长 ， 即， 又， 得， 解得． 故选：D． 4．（22-23八年级上·广东深圳·期末）《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据走路快的人走的路程等于走路慢的人走的路程加上先走的路程，走路快的人走x步和走路慢的人走y步所用时间相同，列出方程组即可． 【详解】解：由题意，可得：； 故选A． 5．（24-25七年级上·全国·期末）甲、乙两列火车分别在两条平行的车轨上行驶，甲车长a米，乙车长b米（）．若两车相向而行，从车头相遇到车尾离开共需要；若甲车从后面追赶乙车，从车头追上乙车的车尾并完全超过乙车共需要．下列结论正确的是（     ） A．快车速度 B．慢车速度 C．快车速度 D．慢车速度 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．设快车速度为米/秒，慢车速度为米/秒根据题意和题目中的数据，可知，然后即可列出相应的方程组并解出，本题得以解决． 【详解】解：设快车速度为米/秒，慢车速度为米/秒， 由题意可得， ， 解得：， 则快车速度为米/秒， 故选：A． 6．（21-22九年级下·上海·自主招生）甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁，根据“甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁， 依题意，得：， 解得：． 甲现在的年龄为25岁，乙现在的年龄为20岁， 甲比乙大5岁 故选：A． 7．（23-24七年级下·山东青岛·期末）为防控新冠状病毒，小航同学在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起(如图)，如果把这袋个纸杯整齐叠放在一起，它的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，然后根据题意列二元一次方程组，解出的值后，再根据个纸杯整齐叠放在一起时列式代数即可． 【详解】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 根据题意得：， 解得， 则当个纸杯整齐叠放在一起时可得：． 故选D． 8．（23-24七年级下·全国·期末）为了改善住房条件，小亮的父母考察了某小区的A、B两套楼房，A套楼房在第3层楼，B套楼房在第5层楼，B套楼房的面积比A套楼房的面积大24平方米，两套楼房的房价相同，第3层楼和第5层楼的房价分别是平均价的1.1倍和0.9倍．为了计算两套楼房的面积，小亮设A套楼房的面积为x平方米，B套楼房的面积为y平方米，根据以上信息列出方程组是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；正确理解题意，根据等量关系列出方程组是解题的关键；根据等量关系：B套楼房的面积比A套楼房的面积大24平方米；两套楼房的房价相同，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图，从A至，步行走粗线道需要35分钟，坐车走曲细线道需要22.5分钟，车行驶的距离是步行粗线的3倍，车行驶的距离是A至步行距离的5倍，已知车速是步行速度的6倍，那么先从A至步行，再从坐车所需要的总时间是( )分钟．    【答案】25 【分析】本题主要考查列代数式及方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组．设步行速度为，则车速为，设，，则的路程为，的路程为，再根据题意列出方程组，进一步求解即可． 【详解】解：设步行速度为，则车速为，设，， 则的路程为，的路程为， 根据题意知，， 解得， 则从步行至，再从坐车所需总时间为（分钟）， 故答案为：25． 10．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸分别为和，如图所示，则图中阴影部分的总面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，小长方形的宽为，根据图形列出方程组即可求解，根据图形正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为，小长方形的宽为， 由题意得，， 解得， ∴阴影部分的总面积为， 故答案为：． 11．（23-24七年级上·四川广元·期末）将如图1所示的5个小长方形分别不重叠地放在两个形状、大小完全相同的大长方形中（如图2，3）．已知大长方形的长为，则图3中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是 ．（用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组，整式的加减设图1中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为，根据图形，列二元一次方程组；求得图1的长方形的长和宽，再计算两个图形中阴影部分的周长之差 【详解】设图1中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为 由图2可知 解得： 由图3可知： 设图2的阴影部分周长为 ，设图3的阴影部分周长为 故答案为：． 12．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期末）为响应政府号召，陵水县圣女果种植户借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台“拼多多”上零售圣女果，已知线上零售40千克、线下批发圣女果80千克共获得销售额4000元；线上零售60千克和线下批发80千克圣女果的销售额相同．求线上零售和线下批发圣女果的单价分别为每千克多少元？ 【答案】线上零售圣女果单价为每千克40元，线下批发圣女果单价为每千克30 元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设线上零售圣女果单价为每千克x元，线下批发圣女果单价为每千克y 元，根据线上零售40千克、线下批发圣女果80千克共获得销售额4000元，线上零售60千克和线下批发80千克圣女果的销售额相同，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设线上零售圣女果单价为每千克x元，线下批发圣女果单价为每千克y 元． 根据题意得： 解得： 答：线上零售圣女果单价为每千克40元，线下批发圣女果单价为每千克30 元． 13．（23-24七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图所示，已知，， (1)求证：； (2)若，，求和的度数． 【答案】(1)见详解 (2)， 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，二元一次方程组的应用． （1）由，，可得出，由平行线的性质可得出，等量代换可得出，即可得出． （2）由平行线的性质可得出，，设，，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵ ∴， ∴ 设，， 根据， 得 解得：， ∴ 14．（23-24七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，经过平移得到，位置如图所示． (1)分别下列各点的坐标：A__________，B__________，C__________； (2)是由怎样平移得到的？ (3)若点是内部一点，平移后对应点N的坐标为，求m和n的值． 【答案】(1)，，； (2)是由向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到； (3)m和n的值分别为和． 【分析】本题考查了坐标与图形，坐标的平移，二元一次方程组的应用，利用数形结合 的思想解决问题是关键． （1）根据平面直角坐标系直接写出坐标即可； （2）由平面直角坐标系可知，点的对应点，进而得出点的平移方式，即可作答； （3）结合（2）的平移方式，列二元一次方程组，求解即可． 【详解】（1）解：由平面直角坐标系可知，，，， 故答案为：，，； （2）解：由平面直角坐标系可知，点的对应点， 点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， 是由向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到； （3）解：点是内部一点，平移后对应点N的坐标为， ，解得：， m和n的值分别为和． 15．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 【分析】设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米，再根据去与返回的时间建立方程组求解即可． 【详解】解：从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到下午6点48分共2.8小时． 设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∴． 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 16．（24-25七年级上·全国·期末）某旅游景点的门票价格规定如表所示： 团体购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价（团体价） 13元 11元 a元 学校七年级（1）（2）两个班共104人去旅游，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人，经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，一共应付款1240元． (1)问两班各有学生多少名？ (2)若两班联合起来，作为一个团体购票，可节省304元，试求a的值． 【答案】(1)(1)班有48人，2班有56人 (2)的值为9 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用等知识点， (1)设(1)班有x人，2班有y人，根据总人数为104人，共花费1240元购票，列方程组求解； (2)根据题意，列出方程求解的值即可； 解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 【详解】（1）解：设(1)班有x人，2班有y人， 由题意得，， 解得：， 答：(1)班有48人，2班有56人； （2）解：由题意得，， 解得：， 即的值为9． 17．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）某水果店A种水果每千克5元，B种水果每千克8元，李老师买了两种水果共7千克，花了元．两种水果各买了多少千克？（列二元一次方程组解答） 【答案】A种水果买了千克，B种水果买了千克 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系列方程是解题的关键．设A种水果买了x千克，B种水果买了y千克，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】设A种水果买了x千克，B种水果买了y千克， 则， 解得：， A种水果买了千克，B种水果买了千克． 18（24-25七年级上·上海·期中）已知是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是，边长之差是． (1)如图，用含的代数式表示两个正方形纸片的面积之和：______； 当时，两个正方形纸片的面积之和：______． (2)如图，如果两个正方形纸片的面积之和为，阴影部分的面积为，试求的值． (3)现将正方形纸片并排放置后构成新的正方形（图），将正方形放在正方形的内部（图），如果图和图中阴影部分的面积分别是和，那么两个正方形纸片的面积之和为：______． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，完全平方公式的应用，整式的加减的应用，熟练掌握完全平方公式，正确找出题目中的等量关系是解题关键． （1）设两个正方形纸片的边长分别为，根据图形的特点列出方程组，从而求出大正方形的面积与小正方形的边长，进而得到面积和，再代入计算即可． （2）设两个正方形纸片的边长分别为，由题意得：，，进而求出，，即可求出的值． （3）设两个正方形纸片的边长分别为，由题意得：，，进而求得，即可求出面积和． 【详解】（1）解：设两个正方形纸片的边长分别为， 由题意得：， 解得：， ∴两个正方形纸片的面积之和为， 即， 当时，两个正方形纸片的面积之和为， 故答案为：，． （2）解：设两个正方形纸片的边长分别为， 由题意得：，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，． （3）解：设两个正方形纸片的边长分别为， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴两个正方形纸片的面积之和为， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$