专题03平行线的判定与性质（知识梳理+题型精析+寒假预习讲义）2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题03平行线的判定与性质（举一反三讲义） 【题型01 同位角相等两直线平行】.....................................2 【题型02 内错角相等两直线平行】.....................................2 【题型03 同旁内角互补两直线平行】...................................3 【题型04 在同一平面内.垂直于同一直线的两直线平行】..................4 【题型05 两直线平行同位角相等】.....................................5 【题型06 两直线平行内错角相等】.....................................6 【题型07 两直线平行同旁内角互补】...................................6 【题型08 根据平行线的性质探究角的关系】.............................7 【题型09 根据平行线的性质求角的度数】...............................8 【题型10 平行线的性质在生活中的应用】...............................9 【题型11 根据平行线判定与性质求角度】..............................10 【题型12 根据平行线判定与性质证明】................................11 【解答题 4题】.....................................................12 知识点01:平行线的判定（由角的关系推线平行） 1. 三个判定定理 同位角相等，两直线平行同位角相等 ⇒ 两条直线平行 内错角相等，两直线平行内错角相等 ⇒ 两条直线平行 同旁内角互补，两直线平行同旁内角和为 180° ⇒ 两条直线平行 几何语言:∵∠1=∠4∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行） ∵∠3=∠4∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） ∵∠3+∠5=180∘∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 2. 常用推论 平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行的传递性） 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 知识点02:平行线的性质（由线平行推角的关系） 3.三个性质定理 已知两直线平行 两直线平行.同位角相等 两直线平行.内错角相等 两直线平行.同旁内角互补 几何语言:∵AB∥CD∴∠1=∠4(两直线平行，同位角相等)​ ∵AB∥CD∴∠3=∠4((两直线平行，内错角相等)​ ∵AB∥CD∴∠3+∠5=180(两直线平行，同旁内角互补)​ 知识点03:判定与性质的最关键区别 判定：先看角（相等 / 互补），后得线平行。（用来证明平行） 性质：先有线平行，后得角（相等 / 互补）。（用来求角度） 知识点04:做题必记口诀 看角推平行，用的是判定；已知平行求角，用的是性质。 【题型1.同位角相等两直线平行】 【典例】，其中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，当＝ （写出一个角）时，能得到． 【跟踪专练2】如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，下列推理中正确的是 ．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【题型2.内错角相等两直线平行】 【典例】如图所示，若，则 // ． 【跟踪专练1】如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是的外角，射线在的内部，添加一个条件 ，使得．（写出一种情况即可） 【跟踪专练3】如图，下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【题型3.同旁内角互补两直线平行】 【典例】在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的．如图，若是直角，如果能度量出 是直角，那么就可以判断两条直轨平行． 【跟踪专练1】如图，下列条件中，不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点，，分别在，，上，若，则 ；若，则 ． 【跟踪专练3】如图，下列四个条件中，能判定 的有（  ） ①；②；③；④°． A．①④ B．②③ C．①②③ D．③④ 【题型4.在同一平面内.垂直于同一直线的两直线平行】 【典例】设，，为同一平面内三条不同直线，若，，则与的位置关系是 ． 【跟踪专练1】如图，亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和．这样做的道理是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线 【跟踪专练2】在同一平面内有2022条直线，如果，，，……那么与的位置关系是 ． 【跟踪专练3】下面各语句中，正确的个数是（   ） ①当时，成立； ②垂直于同一条直线的两条直线平行； ③若，，则当、不重合时，； ④相等的角是对顶角； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等． A．个 B．个 C．个 D．个 【题型5.两直线平行同位角相等】 【典例】如图，直线，，则 ． 【跟踪专练1】如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，，则的度数为 ． 【跟踪专练3】如图，已知直线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型6.两直线平行内错角相等】 【典例】如图，，过点作．则的度数是 ． 【跟踪专练1】下列说法中正确的是（　　） A．同一平面内，两条直线一定互相平行 B．内错角相等 C．有一条公共边的角叫邻补角 D．对顶角相等 【跟踪专练2】如图，，，那么与相等的角有 ． 【跟踪专练3】随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图3是某单车车架的示意图，线段 分别为前叉、下管和立管(点E在上)，为后下叉．已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型7.两直线平行同旁内角互补】 【典例】如图，直线，被直线所截，，，则 【跟踪专练1】如图，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射．在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．如图，若水面和杯底互相平行，，则等于 度． 【跟踪专练3】如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 【题型8.根据平行线的性质探究角的关系】 【典例】如图所示，，，则点，，三点的位置关系是 ． 【跟踪专练1】如图，已知，则图中与互补的角有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪专练2】如图，，思考解决下列问题：试探究 ． 【跟踪专练3】如图，和互补，．设，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型9.根据平行线的性质求角的度数】 【典例】如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则 ． 【跟踪专练1】如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图①所示的是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图②是其正面结构示意图，其中桌面与底座平行，等长的支架，交于它们的中点，液压杆．若，则的度数为 ． 【跟踪专练3】如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【题型10.平行线的性质在生活中的应用】 【典例】如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道和，如果管道与纵向联通管道的夹角，那么管道与纵向联通管道的夹角的度数等于 ． 【跟踪专练1】一辆教练车在训练场训练时，经过两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次右拐，第二次左拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次左拐，第二次左拐 【跟踪专练2】2023年5月底，由中国商飞公司制造的圆满完成商业首飞，对中国涉足国际航空领域大国政治具有象征意义．如图是机翼设计图，已知，，与水平线的夹角为，则等于 ． 【跟踪专练3】请阅读以下“预防近视”知识卡 读书、写字、看书姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线与水平线的夹角）．在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在至． 已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线BC和书本所在平面所成角度可能为以下哪个角度（    ） A． B． C． D． 【题型11.根据平行线判定与性质求角度】 【典例】如图，工程队铺设一公路，他们从点处铺设到点处时，由于水塘挡路，他们决定改变方向，拐到点，再拐到点，然后沿着与平行的方向继续铺设．若，，则的度数是 ． 【跟踪专练1】如图，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则∠2的度数为 ． 【跟踪专练3】将一副三角尺按图所示的方式放置，给出下列结论：①若，则；②若，则；③；④若，则．其中正确的是（    ） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【题型12.根据平行线判定与性质证明】 【典例】如图，，，则图中平行的直线有 ． . 【跟踪专练1】如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．要使，还需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】有下列说法：（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；（2）同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直；（3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行．其中正确的是 ． 【跟踪专练3】如图，与交于点，点在直线上，交于点，，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 解答题 1．如图，分别是，上的点，为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)若，则__________； (2)请判断之间的数量关系，并说明理由； (3)在，内部另作一条折线，且点在直线的右侧．若，请直接写出的度数． 2．如图，在中，E，G分别是，上的点，F，D是上的点，连接，，，，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，求的度数． 3．如图，小明绘制了一个安全用电的标识，点、、、在同一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)求的度数． 4．如图，根据图形填空． (1)若，则__________________，依据是__________________； (2)若_________，则，依据是__________________； (3)若，则__________________，依据是__________________； (4)若_________，则，依据是__________________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03平行线的判定与性质（举一反三讲义） 【题型01 同位角相等两直线平行】.....................................2 【题型02 内错角相等两直线平行】.....................................4 【题型03 同旁内角互补两直线平行】...................................6 【题型04 在同一平面内.垂直于同一直线的两直线平行】..................8 【题型05 两直线平行同位角相等】....................................10 【题型06 两直线平行内错角相等】....................................12 【题型07 两直线平行同旁内角互补】..................................13 【题型08 根据平行线的性质探究角的关系】............................16 【题型09 根据平行线的性质求角的度数】..............................19 【题型10 平行线的性质在生活中的应用】..............................22 【题型11 根据平行线判定与性质求角度】..............................25 【题型12 根据平行线判定与性质证明】................................28 【解答题 4题】.....................................................31 知识点01:平行线的判定（由角的关系推线平行） 1. 三个判定定理 同位角相等，两直线平行同位角相等 ⇒ 两条直线平行 内错角相等，两直线平行内错角相等 ⇒ 两条直线平行 同旁内角互补，两直线平行同旁内角和为 180° ⇒ 两条直线平行 几何语言:∵∠1=∠4∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行） ∵∠3=∠4∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） ∵∠3+∠5=180∘∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 2. 常用推论 平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行的传递性） 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 知识点02:平行线的性质（由线平行推角的关系） 三个性质定理 已知两直线平行： 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 几何语言:∵AB∥CD∴∠1=∠4(两直线平行，同位角相等)​ ∵AB∥CD∴∠3=∠4((两直线平行，内错角相等)​ ∵AB∥CD∴∠3+∠5=180(两直线平行，同旁内角互补)​ 知识点03:判定与性质的最关键区别 判定：先看角（相等 / 互补），后得线平行。（用来证明平行） 性质：先有线平行，后得角（相等 / 互补）。（用来求角度） 知识点04:做题必记口诀 看角推平行，用的是判定；已知平行求角，用的是性质。 【题型1.同位角相等两直线平行】 【典例】，其中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，由判定方法逐一判定即可． 【详解】解：A.因为，所以，故不符合题意； B.与非同位角、内错角，所以无法判断，故不符合题意； C.与非同位角、内错角，所以无法判断，故不符合题意； D.因为，与是同位角，所以，故符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】如图，当＝ （写出一个角）时，能得到． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 要使，需找到与被第三条直线截得的同位角相等的情况，观察图形，是截线，与是同位角，据此确定相等的角． 【详解】解：观察图形，与被所截，与是同位角， 根据同位角相等，两直线平行，当时，能得到． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补时，对应的两直线平行是解题的关键． 本题逐个分析每个选项，结合平行线的判定定理，判断条件是否能推出． 【详解】解：A、，无法判定，不符合题意； B、，无法判定，不符合题意； C、，无法判定，不符合题意； D、∵， ∴， ∴，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练3】如图，下列推理中正确的是 ．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】①②④ 【详解】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来判断两直线是否平行． 解：①：∵，这是内错角相等，∴，推理正确； ②：∵，这是同位角相等，∴，推理正确； ③：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理错误； ④：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理正确． 综上，正确的推理是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了知识点平行线的判定，解题关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角，再结合判定定理进行判断． 【题型2.内错角相等两直线平行】 【典例】如图所示，若，则 // ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握平行线的判定，是解题的关键． 根据内错角相等，两直线平行即可判定． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：，． 【跟踪专练1】如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项判定，即可求解． 【详解】解：因为，所以（内错角相等，两直线平行．），故D符合题意； A、B、C选项都无法判断． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，是的外角，射线在的内部，添加一个条件 ，使得．（写出一种情况即可） 【答案】或或（答案不唯一，填一个即可） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行解答即可． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：或或（答案不唯一，填一个即可）． 【跟踪专练3】如图，下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A、内错角相等，两直线平行，能判定，不符合题意； B、同旁内角互补，两直线平行，能判定，不符合题意； C、不能判定，符合题意； D、，，故，同旁内角互补，两直线平行，能判定，不符合题意； 故选C． 【题型3.同旁内角互补两直线平行】 【典例】在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的．如图，若是直角，如果能度量出 是直角，那么就可以判断两条直轨平行． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定方法． 根据同旁内角互补，两直线平行作答即可． 【详解】解：若是直角，如果能度量是直角，那么就可以判断两条直轨平行， 故答案为：. 【跟踪专练1】如图，下列条件中，不能判定直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，直接利用平行线的判定方法分别分析即可得出答案，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法去判定每项的正确与否即可得到答案． 【详解】解：A、∵，∴直线，故此选项不合题意； B、，不能得出直线，故此选项符合题意； C、∵，∴直线，故此选项不合题意； D、∵，∴直线，故此选项不合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，点，，分别在，，上，若，则 ；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握识别同旁内角并利用其互补关系判定平行的方法是解题的关键． 利用同旁内角互补，两直线平行的判定定理，通过已知的角度和为，确定哪两条直线被哪条截线所截，从而判定平行关系． 【详解】解：若：与是直线被直线所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得：． 若：与是直线被直线所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得：． 故答案为：、、、． 【跟踪专练3】如图，下列四个条件中，能判定 的有（  ） ①；②；③；④°． A．①④ B．②③ C．①②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：， ； ， ； ， ； ， ； 综上所述，能判定的有②③， 故选：B． 【题型4.在同一平面内.垂直于同一直线的两直线平行】 【典例】设，，为同一平面内三条不同直线，若，，则与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，解题时利用了：在同一平面内，两条直线都与同一条直线垂直，则这两直线平行．根据在同一平面内，两条直线都与同一条直线垂直，则这两直线平行作答． 【详解】解：在同一平面内，，， ∴， 即与的位置关系是平行， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和．这样做的道理是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线 【答案】B 【分析】本题是平行线判定在实质中的应用． 根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可作出判断． 【详解】解：亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和，则、都垂直于同一直线，则，这样做的道理是垂直于同一条直线的两条直线平行． 故选：B． 【跟踪专练2】在同一平面内有2022条直线，如果，，，……那么与的位置关系是 ． 【答案】垂直 【分析】根据垂直的定义和平行线的性质可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4个一循环，依此可得，的位置关系． 【详解】解：∵在同平面内有2022条直线，若，，，…… ∴与 依次是垂直，垂直，平行，平行，…， ∵…1， ∴与的位置关系是垂直． 故答案为：垂直． 【点睛】本题考查垂线、平行线的规律问题，解题的关键是找出规律． 【跟踪专练3】下面各语句中，正确的个数是（   ） ①当时，成立； ②垂直于同一条直线的两条直线平行； ③若，，则当、不重合时，； ④相等的角是对顶角； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查绝对值、平行线的判定与性质、对顶角等概念，需根据各个概念逐项判断正误即可． 【详解】①∵当时，，∴①错误； ②∵垂直于同一条直线的两条直线不一定平行（需在同一平面内），∴②错误； ③∵若，，则（平行线的传递性），当b、c不重合时成立，∴③正确； ④∵相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角），∴④错误； ⑤∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但“过一点”未指定点是否在直线上，∴⑤错误； ⑥∵两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，∴⑥错误； 综上，只有③正确，共1个； 故选A． 【题型5.两直线平行同位角相等】 【典例】如图，直线，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质．先由平行线的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角相等，根据平行线的性质得，，根据对顶角相等得，可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，已知直线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质，邻补角的性质，根据两直线平行、同位角相等，可得，再根据邻补角的性质可得答案． 【详解】解：如图，标记， ，， ， ∴； 故选：D． 【题型6.两直线平行内错角相等】 【典例】如图，，过点作．则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，由可得，结合即可求解． 【详解】解：∵，． ∴， ∵ ∴ 故答案为： 【跟踪专练1】下列说法中正确的是（　　） A．同一平面内，两条直线一定互相平行 B．内错角相等 C．有一条公共边的角叫邻补角 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质及邻补角、对顶角的知识，解决本题的关键是注意结合定义及定理判断． 根据对顶角定义，邻补角定义，两条直线的位置关系，平行线的性质逐一进行判断即可． 【详解】A、在同一平面内，两条直线不一定互相平行，也可能相交，故此选项不正确； B、两直线平行，内错角相等，故此选项不正确； C、两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角，故此选项不正确； D、对顶角相等，故此选项正确； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，，，那么与相等的角有 ． 【答案】，， 【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线的性质即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：，，． 【跟踪专练3】随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图3是某单车车架的示意图，线段 分别为前叉、下管和立管(点E在上)，为后下叉．已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由平行线的性质求角度：由平行线的性质推出，求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：C. 【题型7.两直线平行同旁内角互补】 【典例】如图，直线，被直线所截，，，则 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，利用“两直线平行，同旁内角互补”求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的有关性质．根据对顶角相等可得：，再根据平行线的性质可得：，求解即可． 【详解】解：根据对顶角相等可得：， 由可得：， 则， 故选：C． 【跟踪专练2】光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射．在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．如图，若水面和杯底互相平行，，则等于 度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握“两直线平行，同位角相等”和“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．由水面和杯底互相平行，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出的度数． 【详解】解： 水面和杯底互相平行， ， ， ， 水中的两条折射光线平行， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先过点作，由平行线的传递性可得，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，即可求得角，，的关系； 本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行的性质、过拐点作辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【题型8.根据平行线的性质探究角的关系】 【典例】如图所示，，，则点，，三点的位置关系是 ． 【答案】在同一直线上 【分析】根据平行线的性质得到，再由得到即可得到点，，三点在同一直线上． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴点，，三点在同一直线上， ∴点，，三点的位置关系是在同一直线上， 故答案为：在同一直线上． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，已知，则图中与互补的角有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，解此题的关键是掌握补角的定义和平行线的性质． 根据平行线的性质和邻补角的定义得出即可． 【详解】解：如图所示， ∵与是邻补角，与是邻补角， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互补的角有，，，，共4个． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，，思考解决下列问题：试探究 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质以及学生归纳总结找规律的能力，分别过、…作直线平行于，利用平行线的性质即可求出各组的值；再根据规律，归纳总结得到． 【详解】解：当有个角时，根据两直线平行同旁内角互补， 得出， 当有个角时，过点作直线平行于，同理可得， 当有个角时，分别过点、作直线平行于，同理可得， 根据规律，可得当有个角时， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，和互补，．设，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，平行公理推论，掌握以上知识点是解题的关键． 先根据同旁内角互补，两直线平行得到，同位角相等两直线平行得到，再根据平行公理推论得到，最后根据平行线的性质即可得到、、之间的关系； 一题多解：延长至，由解法一可知，然后根据平行线的性质，结合邻补角的性质即可得到、、之间的关系． 【详解】解：和互补，即， ． ， ， ， ，， ． 一题多解如图，延长至点． 由解法一可知， ， ． 【题型9.根据平行线的性质求角的度数】 【典例】如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据题意可得，再由两直线平行，内错角相等即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 反向延长的边与交于一点，由三角形外角性质可得，再根据邻补角以及平行线的性质，即可得到的度数． 【详解】解：如图，反向延长的边与交于一点， 由三角形外角性质，可得， ，， ， ， , ． 故选：D． 【跟踪专练2】如图①所示的是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图②是其正面结构示意图，其中桌面与底座平行，等长的支架，交于它们的中点，液压杆．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据题意得出，确定，再由对顶角及平行线的性质即可求解． 【详解】解：等长的支架交于它们的中点E，， ， ， ， ， . 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质． 【跟踪专练3】如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据物理学原理可知：，再根据平行线的性质求出和，从而求出，最后根据对顶角相等求出答案即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【题型10.平行线的性质在生活中的应用】 【典例】如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道和，如果管道与纵向联通管道的夹角，那么管道与纵向联通管道的夹角的度数等于 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查平行线的性质的应用，根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练1】一辆教练车在训练场训练时，经过两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次右拐，第二次左拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次左拐，第二次左拐 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行线的性质，车辆两次拐弯后保持原方向平行，需满足两次拐弯形成的角为内错角且相等，或同旁内角互补．选项B满足内错角相等，两次拐弯后路径平行于原方向． 【详解】解：A：第一次右拐，第二次左拐．两次方向相反，但角度不等，无法形成内错角相等或同旁内角互补，方向改变． B：第一次右拐，第二次左拐．两次方向相反且角度相等，形成内错角相等，路径平行． C：两次左拐，总偏转角度为，方向与原方向相反，不平行． D：两次左拐，总偏转角度为，方向明显改变，不平行． 故选：B 【跟踪专练2】2023年5月底，由中国商飞公司制造的圆满完成商业首飞，对中国涉足国际航空领域大国政治具有象征意义．如图是机翼设计图，已知，，与水平线的夹角为，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质的实际应用，作，，则，根据平行线得到，，最后根据代入计算即可． 【详解】解：如图，作，，点在点右边，点在点右边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与水平线的夹角为， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】请阅读以下“预防近视”知识卡 读书、写字、看书姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线与水平线的夹角）．在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在至． 已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线BC和书本所在平面所成角度可能为以下哪个角度（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，过作，由平行线的性质得，，可得，即可求解；理解题意，能熟练利用平行线的性质求解是解题的关键． 【详解】解：如图， 过作， 由题意得：，， ， ， ， ， ， 故选：B． 【题型11.根据平行线判定与性质求角度】 【典例】如图，工程队铺设一公路，他们从点处铺设到点处时，由于水塘挡路，他们决定改变方向，拐到点，再拐到点，然后沿着与平行的方向继续铺设．若，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质，构造是解题的关键． 根据题意，过点作，则，由此可得，由此，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，则， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： ． 【跟踪专练1】如图，已知，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，对顶角性质，熟知平行线的判定和性质是解题的关键．先证明，得出，根据平行线的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则∠2的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形构造平行线是解题的关键； 过点作，利用平行线的性质与判定即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵，， ∴，， ∴， ∵与的夹角为，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】将一副三角尺按图所示的方式放置，给出下列结论：①若，则；②若，则；③；④若，则．其中正确的是（    ） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角的和差运算，掌握三角尺的固定角度特征，以及平行线判定与性质的互逆关系是解题的关键． 先明确两块三角尺的固定角度，再对每个结论分别利用平行线的判定与性质、角的和差关系逐一验证其正确性． 【详解】解：由题意得，，，． ∵， ∴， ∴， ，故①结论正确，符合题意； ∵， ∴， ∴，故②结论正确，符合题意； ∵，， ∴，故③结论正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴， ，故④结论正确，符合题意． 故选：D． 【题型12.根据平行线判定与性质证明】 【典例】如图，，，则图中平行的直线有 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定． 根据平行线的判定定理进行解题． 【详解】解：如图，①∵， ∴（内错角相等，两直线平行）； ②∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； ③∵，， ∴． 综上所述，图中互相平行的直线有：． 【跟踪专练1】如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．要使，还需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定． 根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，得出，再利用要使，找出符合要求的答案即可． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， 要使，只要就行， ∵， ∴还需要添加条件即可得到（等量代换）， 故选：B． 【跟踪专练2】有下列说法：（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；（2）同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直；（3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行．其中正确的是 ． 【答案】（）（）（）（） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，垂线段最短，平行公理及推论，根据平行线的判定与性质，垂线段最短，平行公理及推论逐一判断即可，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：（）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确； （）在同一平面内，过一点只能作一条直线与已知直线垂直，正确； （）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确； （）平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确； 综上可知：（）（）（）（）正确， 故答案为：（）（）（）（）． 【跟踪专练3】如图，与交于点，点在直线上，交于点，，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的推论，由平行线的判定定理可判断①；过点作，则，由平行线的性质可得，即可判断②；设，，可得，，，即可判断③；过点作，则，可得，，进而得到，即得到，即可判断④，综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 过点作，则， ∴，， ∴， 即，故②正确； 设，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵，，，， ∴，， 过点作，则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②③④， 故选：． 解答题 1．如图，分别是，上的点，为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)若，则__________； (2)请判断之间的数量关系，并说明理由； (3)在，内部另作一条折线，且点在直线的右侧．若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的度数为 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的和差计算，平角定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过P作，利用平行线的性质，进一步等量代换求解即可． （2）过P作，利用平行线的性质，进一步等量代换证明即可． （3）设，，则，，，同理，再列方程解答即可． 【详解】（1）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：设，，则，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 解得， ∴． 2．如图，在中，E，G分别是，上的点，F，D是上的点，连接，，，，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的性质的综合，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．（1）根据可得，根据等量代换可得，再根据平行线的判定方法“同旁内角互补，两直线平行”可得； （2）由，根据 “两直线平行，同旁内角互补”可得，根据“两直线平行，内错角相等”可得，根据角平分线的定义可得，再根据“两直线平行，同位角相等”可得． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 是的平分线， ， ， ∴． 3．如图，小明绘制了一个安全用电的标识，点、、、在同一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）根据平行线的判定方法，由，即可得； （2）根据平行线的性质，由，得，结合已知条件，即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，根据图形填空． (1)若，则__________________，依据是__________________； (2)若_________，则，依据是__________________； (3)若，则__________________，依据是__________________； (4)若_________，则，依据是__________________． 【答案】（1）    同位角相等，两直线平行 （2）   内错角相等，两直线平行 （3）    同旁内角互补，两直线平行 （4）  同旁内角互补，两直线平行 【分析】根据平行线的判定理理即可. 【详解】（1）解：若，则 ，依据是同位角相等，两直线平行； （2）解：，则，依据是内错角相等，两直线平行； （3）解：，则，依据是同旁内角互补，两直线平行； （4）解：，则，依据是同旁内角互补，两直线平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，解决本题的关键是熟练掌握平行线判定定理. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $