第5章 二元一次方程组（单元测试·培优卷）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

第5章 二元一次方程组（单元测试·培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）若，则（        ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）在解关于x，y的方程组时，可以用消去未知数x，也可以用消去未知数y，则（　　） A．4 B． C． D． 4．（2024七年级上·上海·专题练习）若，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 5．（23-24八年级上·福建漳州·期末）若直线与直线的交点的横坐标为2，则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知点在一次函数的图象上，还在正比例函数的图象上，则k的值是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·河北·模拟预测）如图和图，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若个“□”与个“○”的质量相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·四川·期中）一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点，下列说法错误的是（    ） A．，图象经过第二、三、四象限 B． C．图象不经过第二象限，当时， D．为函数图象上两点，若，则 9．（24-25八年级上·重庆·期中）在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1、图2所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图表示的方程组是，类似的，图2所示的算筹图表示的方程组是（   ） 图1                     图2 A． B． C． D． 10．（2024八年级上·江苏·专题练习）哥弟俩同时从家去同一所学校上学，弟弟步行，哥哥骑自行车，两人都匀速前进，弟弟步行每分钟，哥哥骑自行车每分钟行驶，如图是两人之间的距离，与弟弟步行时间之间的函数图象，已知弟弟从家出发时离上课时间还有分钟，当他行至快到学校时，发现可能要迟到，于是弟弟加快了步伐，以米每分钟的速度前进，结果到上课时恰好到校，下列错误的是（  ） A．点表示哥哥已经到达学校 B．哥哥与弟弟相距的最大距离是米 C．他们家与学校之间的距离为米 D．的函数表达式为 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）若，用含的式子表示为 ． 12．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）若实数x，y满足方程组，则的值为 ． 13．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）与互为相反数，则 ． 14．（23-24七年级下·广西桂林·开学考试）在方程中，当时，；当时，．则的值是 ． 15．（23-24七年级下·四川巴中·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为．则的值为 ． 16．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）已知关于x、y的方程组和的解相同，则代数式值为 ． 17．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知k为正整数，无论k取何值，直线与直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是 ；记直线和与x轴围成的三角形面积为，当时，可求得，请计算的值为 ． 18．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，直线与x轴交于点A，直线m是过点且与x轴垂直的直线，直线l与直线m相交于点C，点P是y轴上一点，若，则点P的坐标是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（22-23七年级下·浙江·期中）用适当方法解下列方程组： (1) (2) 20．（本小题满分8分）（23-24七年级下·山东菏泽·期中）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足③，求m的值． (1)按照小云的方法，x的值_____，y的值为______；m的值为______． (2)请按照小辉的思路求出m的值． 21．（本小题满分10分）（23-24七年级下·重庆渝北·阶段练习）在解二元一次方程组中，如果方程组中含有未知数的比例，那么可以进行参数换元法，如解二元一次方程组：，设，那么，将a代入于②中，得， ∵且， ∴原方程组的解为，请用这种方法完成下列各题： (1)【学以致用】解二元一次方程组：． (2)【能力提升】解二元一次方程组：． (3)【拓展训练】，求x和y的值． 22．（本小题满分10分）（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线： 与直线：相交于点P，并分别与x轴相交于点A，B． (1)点P的坐标为 ． (2)求的面积． (3)点M在直线上，轴，交直线于点N，若，求点M的坐标． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）列二元一次方程组解应用题： 爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下： 时刻 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9时看到的两位数中间多了个0 设：时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y，回答下列问题： (1)用含x，y代数式表示：时里程碑上的数字______；时看到里程表上的数______；时看到里程表上的数______； (2)列方程组并求出时里程碑上的数． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·河南郑州·期中）在数学实践探究课上，王老师让同学们将等腰直角三角尺放在平面直角坐标系中展开探究：    【操作猜想】 (1)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在原点，若顶点A恰好落在点处，则点到轴的距离是________，点到轴的距离是________． 【类比探究】 (2)如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点，求点的坐标． 【拓展探究】 (3)如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在轴、轴上，且，．若点的坐标为，点的坐标为，点是直线上的动点，当的面积等于时，直接写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D B D B B B B D 1．D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键．先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得， 所以这个方程组的解为． A、将代入得：，则此项不符合题意； B、将代入得：，则此项不符合题意； C、将代入得：，则此项不符合题意； D、将代入得：，则此项符合题意； 故选：D． 2．A 【分析】本题主要考查了整式运算、解二元一次方程、代数式求值等知识，正确确定的值是解题关键．根据多项式乘以多项式法则计算，可得关于的二元一次方程，进而确定的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴可有，解得， ∴． 故选：A． 3．D 【分析】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组，根据可以用消去未知数x，得到，根据可以用消去未知数y，得到，据此建立关于m、n的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：得，即， ∵可以用消去未知数x， ∴， 得，即， ∵可以用消去未知数y， ∴， 联立③④得， 解得， ∴， 故选：D． 4．B 【分析】本题主要考查了利用单项式乘法求字母或代数式的值，熟练掌握单项式乘单项式法则是解题的关键．先利用单项式乘单项式法则，可得，从而得到关于m，n的方程组，即可求解． 【详解】解：， ， ， 两式相加，得， 解得． 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了利用一次函数图象交点解二元一次方程组，由已知条件求得图象的交点坐标为，由图象交点坐标与对应方程组解的关系即可求解；理解“函数图象交点的坐标是对应方程组的解．”是解题的关键． 【详解】解：当时， ， 交点为， 方程组的解为． 故选：D． 6．B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求正比例函数的解析式． 把代入一次函数，求出点P的坐标，再代入正比例函数求出k值即可． 【详解】解：把代入，得 ， 解得：， ∴， 把代入，得 ， 解得：． 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是正确找出等量关系．设个“□”的质量为，个“△”的质量为，个“○”的质量为，再根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：设个“□”的质量为，个“△”的质量为，个“○”的质量为， 根据题意可得：， 整理得：， 得：， 即个“□”与个“○”的质量相等， 故选：B． 8．B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键．结合一次函数解析式可知当时，图象经过二、三、四象限，可判断A；分别求出A和B点坐标，再结合三角形面积公式求解，即可判断B，注意m的符号未确定；结合A和B的坐标，根据，可列出关于m的等式，再结合图象不经过第二象限，舍去不满足的m的值，即可判断C；由，可判断y随x的增大而增大，即直接得出，可判断D． 【详解】解：A．∵一次函数解析式为， ∴． ∵， ∴图象经过二、三、四象限，故该选项正确，不符合题意； B．对于，令，则， 解得：， ∴． 令，则， ∴， ∴，故该选项错误，符合题意； C．∵， ∴结合B选项可知：， 解得：． ∵图象不经过第二象限， ∴，故该选项正确，不符合题意； D．∵若， ∴y随x的增大而增大， ∴，故该选项正确，不符合题意． 故选B． 9．B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图形，结合题目所给的运算法则列出方程组即可； 【详解】解：由题意可得， 图②所示的算筹图可以表述为：， 故选：B． 10．D 【分析】本题考查一次函数的应用，哥哥的速度始终大于弟弟的速度，故在哥哥到达学校前二人之间的距离一直随着时间增大，哥哥到达学校后二人之间的距离随着时间减小，据此判断即可；根据可知，点时二人之间的距离最大，利用路程速度时间，计算二人的路程之差即可判断；由可知，点表示哥哥已经到达学校，利用路程速度时间求出点时哥哥骑行的路程即可判断；设坐标，利用弟弟在段和段的路程速度时间列关于和的二元一次方程组并求解，再利用待定系数法求出的函数表达式即可判断；掌握并灵活运用速度、时间和路程之间的数量关系是解题的关键． 【详解】解：、∵哥哥的速度始终大于弟弟的速度， ∴在哥哥到达学校前二人之间的距离一直随着时间增大，哥哥到达学校后二人之间的距离随着时间减小， ∴点表示哥哥已经到达学校， ∴原选项正确，不符合题意； 、哥哥与弟弟相距的最大距离是（米）， ∴原选项正确，不符合题意； 、他们家与学校之间的距离为（米）， ∴原选项正确，不符合题意； 、设坐标， 根据题意，得， 解得， 设的函数表达式为， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴的函数表达式为， ∴原选项错误，符合题意， 故选：． 11． 【分析】本题考查了解二元一次方程，把x看作已知数，根据等式的性质变形即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了平方差公式，二元一次方程组的解，根据②可得，进而根据平方差公式得出，整体代入，即可求解． 【详解】解： 可得 得， ∴ 故答案为：． 13．24 【分析】本题主要考查了相反数的定义、代数式求值、非负数的性质、二元一次方程组等知识点，掌握两个非负数的和为0，则这两个数均为0成为解题的关键． 先根据相反数的性质列出算式，再根据非负数的性质列出二元一次方程组可求得a和b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，解得：， ∴． 故答案为：24． 14． 【分析】本题考查了二元一次方程组的其他应用，根据题意正确列出二元一次方程组是解题的关键． 将，与，分别代入可得关于字母、的方程组，再解二元一次方程组求出、的值，再求的值即可． 【详解】解：根据题意得，， 得，， ∴， 将代入①得，， ∴， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．把代入②得出，求出，把代入①得出，求出即可． 【详解】解：， 把代入②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 所以． 故答案为：． 16．24 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，根据方程组解的定义得到解相同得新方程组和，先求解方程组得x、y的值，再代入方程组中求出a、b，最后代入得结论． 【详解】 解：关于x、y的方程组和的解相同， ∴方程组和的解也相同． 解方程组，得． 把代入方程组， 得． 解这个方程组，得． ∴ ． 故答案为：24． 17． 【分析】此题考查了一次函数的综合题，解题的关键是掌握一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与轴的交点的纵坐标为0，与轴的交点的横坐标为0．变形解析式得到两条直线都经过点，即可证出无论取何值，直线与的交点均为定点；先求出与轴的交点和与轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出，求出，，以此类推，相加后得到． 【详解】解：直线， 直线经过点； 直线， 直线经过点， 无论取何值，直线与的交点均为定点． 直线与轴的交点为， 直线与轴的交点为， ， ． 故答案为：；． 18．或 【分析】本题考查了两条直线的交点问题，掌握数形结合思想是解题的关键，根据三角形的面积公式求解，进行分类讨论． 【详解】解：设， 当时，， 解得：， 当时，， ，， ， 当时，， 解得：， 当时，， 故答案为：或． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法． （1）将①代入②，求出x的值，再将x的值代入①，求出y的值即可； （2）先将原方程组整理为，得求出x的值，求出y的值． 【详解】（1）解：， 将①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， 整理为， 得：， 解得：， 得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 20．(1) (2)见详解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握消元以及整体代入的思想方法是解答本题的关键． （1）根据题意列方程组求解即可； （2）利用整体代入的方法求解即可． 【详解】（1）解：，得， 把代入①得， 解得， 将，代入②得， 解得：， 故答案为：； （2），得， 即， 解得：． 21．(1) (2) (3)， 【分析】此题考查了解二元一次方程组，读懂题意是解题的关键． （1）设，那么，则，，代入于②中，得到，解得，即可得到答案； （2）设，那么，代入于②中，得，解得，即可得到答案； （3）由题意可得，，得到则得到由得到，即可得到答案． 【详解】（1）解： 设，那么，则，， 代入于②中，得， 解得， ∵，， ∴原方程组的解为 （2） 设，那么， 代入于②中，得， 解得， ∵，， ∴原方程组的解为 （3）∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得， ∴， 则 22．(1) (2)3 (3)或 【分析】（1）联立直线与得，解方程组即可； （2）先求，，得出，再求出三角形的面积即可； （3）设，则，得出，根据，得出，解关于m的方程即可． 【详解】（1）解：联立直线与得： ， 解得， ∴； （2）解：把代入得： ， 解得：， ∴， 把代入 ， 解得：， ∴， ∴， ∴． （3）解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为：或. 【点睛】本题考查一次函数交点坐标，解方程组，求三角形面积，两点间距离，掌握一次函数交点坐标，解方程组，两点间距离，利用两点距离构造方程是解题关键． 23．(1)；； (2)时小明看到的两位数是51 【分析】本题主要考查了列代数式及二元一次方程组的应用，正确找出各数量关系是解题的关键． （1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字可求得时两位数；同样用数位的概念进行表达即可表示时和时的数； （2）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程． 【详解】（1）解：∵时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y， ∴时里程碑上的数可表示为； ∵时看到的两位数十位与个位数字与时所看到的正好互换了 ∴十位数字为y，个位数字为x， ∴时看到里程表上的数表示为； ∵看到的数字是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个0， ∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y， ∴时看到里程表上的数； 故答案为；，，． （2）解： ， 解得：． ∴小明在时看到里程碑上的两位数． 答：小明在时看到里程碑上的两位数是51． 24．(1)， (2) (3)点的坐标或 【分析】（）如图，作轴于点，轴于点，由可得，，，易证可得、，因此，据此即可解答； （）一次函数，分别令、即可得点，点的坐标，如图，过点作轴于，由，根据全等三角形的性质即可解答； （）利用勾股定理可得，进而由三角形的面积可得，再求出直线的解析式为，设，利用两点间距离公式可得，解方程可得，，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图，如图，作轴于点，轴于点，    ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴点到轴的距离是，点到轴的距离是， 故答案为：，； （2）解：令，则， ∴， 令，则，解得， ∴， ∴，， 如图，过点作轴于，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线为， ∴， 解得， ∴直线为， 当时，则， ∴； （3）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积等于， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， 整理得，， 解得或， ∴点的坐标或．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质,一次函数的几何应用，勾股定理，两点间距离公式，熟练掌握一次函数的性质与三角形全等的判定是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$