专题03 丰富的图形世界、基本平面图形（13个知识点回顾+10大题型归纳+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（北师大版2024）

专题03 丰富的图形世界、基本平面图形 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 生活中的立体图形】 【题型2 正方体的展开图】 【题型3 直线、射线与线段的相关概念】 【题型4作图-直线射线和线段】 【题型5线段的有关计算】 【题型6钟面角】 【题型7方位角】 【题型8度分秒换算】 【题型9角平分线的概念有关运算】 【题型10多边形和圆的认识】 知识点1：认识平面图形和立体图形、图形分类 ⑴几何图形：几何图形是数学研究的主要对象之一。几物体的形状、大小和位置关系是何研究的内容。像长方体、圆柱、球、长方形、正方形、圆、线段、点、三角形、梯形……它们都是几何图形。 ⑵立体图形：有些几何体（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）各个部分都不在同一平面内，它们是立体图形。 ⑶平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。 知识点2：立体图形的展开图 立体图形的展开图:有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为立体图形的展开图。 如正方体的展开图有如下几种情况： 中间四个面，上下各一面: 中间三个面，一二隔河见: 中间两个面，楼梯天天见: 中间没有面，两两连成线: 知识点3：点、线、面、体。 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 点动成线，线动成面，面动成体。 知识点4：直线、射线与线段的概念 1.直线，射线与线段 2.基本事实 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 3. 基本概念 1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 知识点5：双中点模型 C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 知识点6： 角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点7： 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 知识点8：钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 知识点9：方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 知识点10： 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 知识点11：角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 知识点12:多边形 1.多边形的定义 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2） 正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 2.多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 3.截角问题 n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形 知识点13: 圆 1.圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个 备注：圆心确定圆的位置，半径长端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 度确定圆的大小。 2.圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 3.圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 题型归纳 【题型1 生活中的立体图形】 1．下列平面图形中，绕轴旋转一周，能得到如图所示的几何体的是（　　） A． B． C． D． 2．中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称． 如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 3．如图，在长方体ABCD-EFGH中，与面ADHE平行的面是（    ） A．面ABFE B．面ABCD C．面BCGF D．面EFGH 4．如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是 ，这个现象用数学知识解释为 ； (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留） 5．综合与实践 某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一： 根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来． 问题解决： （1）若，则该长方体纸盒的底面边长为________；该长方体纸盒的体积为________； 动手操作二： 根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 拓展延伸： （2）若，该长方体纸盒的表面积为多少？ 【题型2 正方体的展开图】 6．将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展开成的平面图形不可能是（   ） A． B． C． D． 7．正方体的平面展开图如图，将它折成正方体后“建”字对面是（   ） A．和 B．谐 C．阳 D．设 8．下面图中可能是单孔纸箱   的展开图是（        ） A．   B．   C．   D．   9．如图所示的是一个正方体的平面展开图，将其折叠成正方体后，其中各相对面的数字相等，则 ． 【题型3 直线、射线与线段的相关概念】 10．下列各图中，表示“射线”的是（   ） A．B．C． D． 11．观察图形，下列说法正确的有（ ） （1）直线和直线是同一条直线； （2）线段和线段是两条不同的线段； （3）射线和射线是同一条射线； （4）三条直线两两相交时，一定有三个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．下列几何图形与相应语言描述不相符的有（    ）    A．如图1所示，直线和直线相交于点 B．如图2所示，延长线段到点 C．如图3所示，射线不经过点 D．如图4所示，射线和线段会有交点 13．如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．过一点，有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 14．下列生产生活现象中，能用“两点之间，线段最短”来解释的是（    ） A．两颗钉子能把一根木条固定在墙上 B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程 C．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上 D．植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线 【题型4作图-直线射线和线段】 15．如图，已知四点，请按要求作图并解答． (1)按要求作图： ①作射线； ②连接； ③在射线上截取，使； ④在线段上取点，使的值最小； (2)小明同学根据图形写出了四个结论：①图中有8条线段；②点在线段的延长线上；③射线和射线是两条射线；④点在射线的延长线上；其中正确的结论是_________． 16．尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹． 如图，平面上有四个点A，B，C，D． 请按下列语句画出图形： ①作直线、射线，线段； ②延长，在的延长线上截取线段，使． 【题型5线段的有关计算】 17．如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线．若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫作这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长是 ． 18．点是线段的中点，点是直线上的一点，点是线段的中点，若，则线段的长为 ． 19．如图：A、M、N、B四点在同一直线上． (1)若． ①比较线段的大小： （填“＞”、“=”或“＜”）； ②若且，则的长为 ； (2)若线段被点M、N分成了三部分，且的中点P和的中点Q之间的距离是，求的长． 20．如图1，已知线段，，点、都是线段上的点，点是的中点． (1)求线段的长； (2)如图2，若，并且点是线段的中点，求线段的长． 【题型6钟面角】 21．从下午到当天下午，时钟的分针转过的角度度数是（    ） A． B． C． D． 22．2点分钟时，钟表的时针与分针形成的夹角的度数是 ． 23．如图1，已知点A，在数轴上表示的数分别为和10，若有一动点从数轴上点A出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．    (1)解决问题： 若点为线段的中点，点为线段的中点，点在线段上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由； (2)探索问题： 当点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动． ①在运动过程中，点表示的数为_______，点表示的数为_______． ②求运动多少秒时，点与点相距3个单位长度？ (3)知识迁移： 如图2，若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，，在时针与分针转动过程中，经过______分钟后，的度数第一次等于 【题型7方位角】 24．如图所示，关于图中四条射线的方向说法错误的是（   ） A．的方向是北偏东 B．的方向是北偏西 C．的方向是南偏西 D．的方向是东南方向 25．如图，已知点在点的北偏东方向上，点在点的正南方向，平分，则点相对于点的方位可表示为（   ） A． 南偏东方向B．南偏东方向C．南偏东方向 D．南偏东方向 B． 26．如图，甲从A点出发向北偏东方向走到点B，乙从点A出发向南偏西方向走到点C，平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 27．如图，甲从点出发向北偏东 方向走到点 ，乙从点出发向南偏西 方向走到点 ，则的度数为 ． 【题型8度分秒换算】 28．计算 ． 29．将转化为度的形式是 ． 30．用度分秒表示 ． 31．已知，则 ．（填“”、“”或“”） 【题型9角平分线的概念有关运算】 32．如图，一副三角板(直角顶点重合) 摆放在桌面上，若，则等于（     ）    A． B． C． D． 33．如图，是平角，是射线，、分别是、的平分线，若，则的度数为 ． 34．如图，点O在直线上，平分，平分，若，则的度数为 ． 35．在同一平面内，已知，与互余，且平分，则 °． 36．已知， (1)如图1，平分平分，若，求的度数； (2)如图2，分别平分和，若，求的度数． 37．线段与角的计算． (1)如图①，已知线段，点C为线段上的一点，，点D，E分别是和的中点，求的长； (2)如图②，已知被分成，平分，平分，且，求的度数． 38．如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分． (1)若，则______，______． (2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由． (3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系． 39．如图 1，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图 1 中的三角板绕点 O 逆时针旋转至图 2，使一边在的内部，且恰好平分．问：此时直线是否平分？请说明理由． (2)将图1中的三角板绕点O 以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，求t的值． 【题型10多边形和圆的认识】 40．若从n边形的一个顶点出发，最多可以作 6条对角线，则 n为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 41．用同一种正多边形能进行平面图形铺设的条件是（    ） A．内角都是整十数度数 B．边数都是3的整数倍 C．内角能被整除 D．内角能被整除 42．从七边形的一个顶点处引对角线，把七边形分成了个三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 43．东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝向右水平拉直（保持端不动）．根据该古率，与拉直后铁丝端的位置最接近的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 44．如图，大圆的半径是，小圆的半径是大圆半径的，求阴影部分的面积． 过关检测 一、单选题 1．下列几何体中是三棱锥的是（   ） A． B． C． D． 2．将一个直角三角形绕它的最长边（斜边）旋转一周得到的几何体是如图中的（    ） A． B． C． D． 3．一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“建”字对面是（    ） A．美 B．丽 C．白 D．银 4．下列说法正确的是（  ） A．射线和射线是同一条射线 B．平角是一条直线 C．两条射线组成图形是角 D．互补且相等的两个角是直角 5．如图，已知，平分，平分，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 6．将一个圆分成三个扇形A，B，C，它们的面积之比为，则面积最小的扇形的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，A地和B地都是海上观测站，A地在灯塔O的北偏东方向，，则B地在灯塔O的（   ） A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．南偏西方向 D．东偏南方向 8．如图，线段表示一根对折过后的绳子，现从点P处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长那段为，若，则这条绳子的原长为（   ）． A．12 B．24 C．12或24 D．24或36 9．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互余的是（　　） A．  B．  C．   D．   10．只用同一种正多边形地砖密铺地板，这种正多边形地砖不可以是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形 12．已知，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．，，互不相等 二、填空题 13．在植树节到来之际，为了增强“生态和环保意识”，班长小明组织同学到植物园开展“爱绿、植树、护绿”实践活动，要求同学们集合的时间是9点10分，此时钟面上时针与分针的夹角是 ． 14．从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引2022条对角线，则这个多边形是 边形． 15．已知，射线平分，则的度数为 三、解答题 16．如图是由7个相同小立方块搭成的几何体． (1)请在下面网格中画出从正面、左面及上面看该几何体得到的形状图； (2)已知每个小立方块的棱长为，则该几何体的表面积为 ____________． 17．如图，点B，D都在线段上，，点是线段的中点，，求的长． 18．如图，两直线、相交于点，平分，如果． (1)求的大小； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 19．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°, 一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则∠COD=　 　∠COE； (2)如图2，将图1中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的角平分线时，求∠COD的度数； (3)将图1中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为度，在旋转的过程中，能否使∠AOE=3∠COD？若能，求出的度数；若不能，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 丰富的图形世界、基本平面图形 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 生活中的立体图形】 【题型2 正方体的展开图】 【题型3 直线、射线与线段的相关概念】 【题型4作图-直线射线和线段】 【题型5线段的有关计算】 【题型6钟面角】 【题型7方位角】 【题型8度分秒换算】 【题型9角平分线的概念有关运算】 【题型10多边形和圆的认识】 知识点1：认识平面图形和立体图形、图形分类 ⑴几何图形：几何图形是数学研究的主要对象之一。几物体的形状、大小和位置关系是何研究的内容。像长方体、圆柱、球、长方形、正方形、圆、线段、点、三角形、梯形……它们都是几何图形。 ⑵立体图形：有些几何体（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）各个部分都不在同一平面内，它们是立体图形。 ⑶平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。 知识点2：立体图形的展开图 立体图形的展开图:有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为立体图形的展开图。 如正方体的展开图有如下几种情况： 中间四个面，上下各一面: 中间三个面，一二隔河见: 中间两个面，楼梯天天见: 中间没有面，两两连成线: 知识点3：点、线、面、体。 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 点动成线，线动成面，面动成体。 知识点4：直线、射线与线段的概念 1.直线，射线与线段 2.基本事实 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 3. 基本概念 1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 知识点5：双中点模型 C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 知识点6： 角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点7： 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 知识点8：钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 知识点9：方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 知识点10： 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 知识点11：角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 知识点12:多边形 1.多边形的定义 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2） 正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 2.多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 3.截角问题 n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形 知识点13: 圆 1.圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个 备注：圆心确定圆的位置，半径长端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 度确定圆的大小。 2.圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 3.圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 题型归纳 【题型1 生活中的立体图形】 1．下列平面图形中，绕轴旋转一周，能得到如图所示的几何体的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了认识平面图形与点、线、面、体，掌握图形的特点是关键． 根据面动成体的原理及日常生活中的常识解题即可． 【详解】解：A、旋转一周是圆锥，故错误，不符合题意； B、旋转一周是球体，故错误，不符合题意； C、旋转一周是圆柱体，故错误，不符合题意； D、旋转一周是本题图形，故正确，不符合题意． 故选：D． 2．中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称． 如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案．熟练掌握线动成面的数学原理是解本题的关键． 【详解】解：打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为线动成面， 故选：B． 3．如图，在长方体ABCD-EFGH中，与面ADHE平行的面是（    ） A．面ABFE B．面ABCD C．面BCGF D．面EFGH 【答案】C 【分析】长方体中相对的两个平面是平行的，找找对面即可． 【详解】∵面ADHE的相对面是面BCGF， ∴与面ADHE平行的面是面BCGF， 故选C． 【点睛】本题考查了长方体的相对面的位置关系，准确找到相对面是解题的关键． 4．如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是 ，这个现象用数学知识解释为 ； (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留） 【答案】(1)圆柱，面动成体； (2)得到的几何体的体积为或 【分析】本题考查几何体的体积以及面动成体； （1）根据面动成体可知，将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱； （2）分两种情况确定出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的体积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，这个现象用数学知识解释为面动成体， 故答案为：圆柱，面动成体； （2）①若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， 它的体积为：； ②若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， 它的体积为：； 综上：得到的几何体的体积为或． 5．综合与实践 某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一： 根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来． 问题解决： （1）若，则该长方体纸盒的底面边长为________；该长方体纸盒的体积为________； 动手操作二： 根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 拓展延伸： （2）若，该长方体纸盒的表面积为多少？ 【答案】（1）12，864；（2）486 【分析】本题考查求立体图形的体积和表面积，根据题意正确得出立体图形的长宽高是关键． （1）根据图形可得长方体纸盒的底面边长为大正方形的边长－两个小正方形的边长；根据图形求出长方体纸盒的长宽高即可求出体积； （2）根据图2的裁剪，表示出长、宽、高进而求出体积． 【详解】解：（1）该长方体纸盒的底面边长为： 该长方体纸盒的体积为： ； 解：（2）裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为： 裁剪后折叠成长方体的高为：3 ∴长方体纸盒的表面积为 【题型2 正方体的展开图】 6．将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展开成的平面图形不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了是正方体的展开图，依据正方体的十一种展开图进行判断即可，熟练掌握正方体的展开图的特点是解题的关键． 【详解】解：A、符合中间四连方，两侧各一个的特点，是正方体的展开图，故A不符合题意； B、是正方体的展开图，故B不符合题意； C、选项C中，含有“凹”字型，不是正方体的展开图，故C符合题意； D、符合二、二、二结构特点，是正方体的展开图，故D不符合题意； 故选：C． 7．正方体的平面展开图如图，将它折成正方体后“建”字对面是（   ） A．和 B．谐 C．阳 D．设 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “和”与“襄”是相对面， “谐”与“设”是相对面， “建”与“阳”是相对面． 故选：C． 8．下面图中可能是单孔纸箱   的展开图是（        ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】展开图复原为正方体后，有单孔的面与有阴影的面相邻，据此判断即可． 【详解】A、为双孔纸箱，该选项不符合题意； B、展开图复原为正方体后，有单孔的面与有阴影的面不相邻，该选项不符合题意； C、展开图复原为正方体后，有单孔的面与有阴影的面相邻，该选项符合题意； D、展开图复原为正方体后，有单孔的面与有阴影的面不相邻，该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查正方体的展开图，能将正方体的展开图复原是解题的关键． 9．如图所示的是一个正方体的平面展开图，将其折叠成正方体后，其中各相对面的数字相等，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查几何体的展开图，找到相对面的数和相对面的数，相加即可． 【详解】解：相对面的数是4 相对面的数是 ∴ 故答案为：． 【题型3 直线、射线与线段的相关概念】 10．下列各图中，表示“射线”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的表示方法是解题的关键． 根据射线仅有一个端点，由射线的图上表示方法即可求解． 【详解】解：观察图形可知，表示“射线”的是 ． 故选：B． 11．观察图形，下列说法正确的有（ ） （1）直线和直线是同一条直线； （2）线段和线段是两条不同的线段； （3）射线和射线是同一条射线； （4）三条直线两两相交时，一定有三个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了直线，射线和线段的性质，直线的交点问题，根据直线，射线和线段的性质逐项求解判断即可． 【详解】（1）直线和直线是同一条直线，说法正确，符合题意； （2）线段和线段是同一条线段，原说法错误，不符合题意； （3）射线和射线是同一条射线，说法正确，符合题意； （4）三条直线两两相交时，不一定有三个交点，也可能有1个交点，原说法错误，不符合题意； 综上所述，说法正确的有2个． 故选：B． 12．下列几何图形与相应语言描述不相符的有（    ）    A．如图1所示，直线和直线相交于点 B．如图2所示，延长线段到点 C．如图3所示，射线不经过点 D．如图4所示，射线和线段会有交点 【答案】B 【分析】根据线段、射线、直线的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、如图1所示，直线和直线相交于点，几何图形与相应语言描述相符，不符合题意，选项错误； B、如图2所示，延长线段到点，则点C左侧就应该没有线了，故几何图形与相应语言描述不相符，符合题意，选项正确； C、如图3所示，射线不经过点，几何图形与相应语言描述相符，不符合题意，选项错误； D、如图4所示，射线和线段会有交点，几何图形与相应语言描述相符，不符合题意，选项错误； 故选：B 【点睛】本题考查了线段、射线、直线的性质，熟练掌握和运用线段、射线、直线的性质是解决本题的关键． 13．如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．过一点，有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 【答案】C 【分析】根据“经过两点有且只有一条直线”即可得出结论． 本题考查了直线的性质，掌握“经过两点有且只有一条直线”是解题的关键． 【详解】解：∵经过两点有且只有一条直线， ∴经过木板上的A、B两个点，只能弹出一条笔直的墨线． ∴能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线． 故选：C． 14．下列生产生活现象中，能用“两点之间，线段最短”来解释的是（    ） A．两颗钉子能把一根木条固定在墙上 B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程 C．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上 D．植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线 【答案】B 【分析】本题考查的是两点之间，线段最短，两点确定一条直线，由题意可得A，B，D选项都与直线相关联，而C选项与距离相关，可以用“两点之间，线段最短”来解析，从而可得答案. 【详解】解：用两个钉子就可以把木条固定在墙上，可用基本事实“两点确定一条直线”来解释，故A不符合题意； 把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释，故B符合题意； 打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上，可用基本事实“两点确定一条直线”来解释，故C不符合题意； 植树时，只要定出两棵树的位置就能确定同一行树所在的直线，可用基本事实“两点确定一条直线”来解释，故D不符合题意； 故选B 【题型4作图-直线射线和线段】 15．如图，已知四点，请按要求作图并解答．    (1)按要求作图： ①作射线； ②连接； ③在射线上截取，使； ④在线段上取点，使的值最小； (2)小明同学根据图形写出了四个结论：①图中有8条线段；②点在线段的延长线上；③射线和射线是两条射线；④点在射线的延长线上；其中正确的结论是_________． 【答案】(1)见解析 (2)②③ 【分析】（1）①根据射线的定义作图即可；②直接连接即可；③以A为圆心，以为半径画圆弧，与射线直线交于M；④连接与的交点即为所求； （2）根据直线、线段、射线的定义逐个判断即可解答． 【详解】（1）解：①射线即为所求； ②线段即为所求； ③线段即为所求； ④点P即所求．    （2）解：①图中的线段有，共9条，则①错误； ②由与的交点，则点P是点在线段的延长线上，即②正确； ③图中射线，共2条，则③正确；图中共有6条线段的说法是正确的； ④由射线本来就无限延伸，故不需要延长，则④错误． 故答案为②③． 【点睛】本题主要考查了基本作图，直线、线段、射线的定义，线段的性质等知识点，掌握直线，射线，线段的定义是解题的关键． 16．尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹． 如图，平面上有四个点A，B，C，D． 请按下列语句画出图形： ①作直线、射线，线段； ②延长，在的延长线上截取线段，使． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画直线、射线、线段，截取线段等于已知线段． ①依据直线、射线、线段的定义，画出图形即可． ②依据延长，在的延长线上截取线段，使作图即可． 【详解】解 ∶ ①如图所示，直线、射线，线段即为所求， ②如图所示，线段即为所求． 【题型5线段的有关计算】 17．如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线．若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫作这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长是 ． 【答案】20或4 【分析】本题考查与线段的中点有关的计算，分点在线段上，点在线段上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，如图： 由题意，得：， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图： 则， ∵， ∴， ∴； 故答案为：20或4． 18．点是线段的中点，点是直线上的一点，点是线段的中点，若，则线段的长为 ． 【答案】5或 【分析】本题考查了线段的中点的概念，线段的和差，正确地画出图形，分类讨论是解题的关键． 分类讨论，即点在点左边或者右边两种情况，画出图形，按照线段的和差即可解答． 【详解】解：①当点在点左边时，如图所示： 点是线段的中点，点是线段的中点， ，， ； ②当点在点右边时，如图所示： 点是线段的中点，点是线段的中点， ，， ； 故答案为：5或． 19．如图：A、M、N、B四点在同一直线上． (1)若． ①比较线段的大小： （填“＞”、“=”或“＜”）； ②若且，则的长为 ； (2)若线段被点M、N分成了三部分，且的中点P和的中点Q之间的距离是，求的长． 【答案】(1)①=；②21 (2) 【分析】本题考查线段及其中点的有关计算，理解线段中点的意义是正确计算的关键． （1）①根据等式的性质，得出答案；②求出的值，在求出的长，进而求出的长即可； （2）根据线段的比，线段中点的意义，设未知数，列方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 即：， 故答案为：=； ②∵，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：21； （2）解：如图1所示， 设每份为x，则，，， ∵P是的中点，点Q是的中点， ∴， 又∵， ∴， 解得，， ∴． 20．如图1，已知线段，，点、都是线段上的点，点是的中点． (1)求线段的长； (2)如图2，若，并且点是线段的中点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段的和差运算，线段中点的含义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据和求出，再根据中点的定义求出即可； （2）首先求出，得到，根据中点的定义求出，结合求出，最后利用求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵E是中点， ∴； （2）∵，， ∴， ∵F是中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型6钟面角】 21．从下午到当天下午，时钟的分针转过的角度度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了钟面角．根据时钟上一大格是进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 从下午到当天下午，时钟的分针转过的角度度数是， 故选：C． 22．2点分钟时，钟表的时针与分针形成的夹角的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考考查了钟面角度的计算和时针、分针的转动速度．熟练掌握钟面角度的计算和时针、分针的转动速度是解题的关键．钟面被平均分成了个大格，每个大格的角度是；时针每分钟转，分针每分钟转． 先求出2点时，时针与分针的初始夹角，再根据时针和分针的转动速度，计算分钟后它们的夹角即可． 【详解】解：2点分钟时，钟表的时针与分针形成的夹角的度数为：． 故答案为：． 23．如图1，已知点A，在数轴上表示的数分别为和10，若有一动点从数轴上点A出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．    (1)解决问题： 若点为线段的中点，点为线段的中点，点在线段上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由； (2)探索问题： 当点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动． ①在运动过程中，点表示的数为_______，点表示的数为_______． ②求运动多少秒时，点与点相距3个单位长度？ (3)知识迁移： 如图2，若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，，在时针与分针转动过程中，经过______分钟后，的度数第一次等于 【答案】(1)线段的长度不发生变化，理由见解析 (2)①，；②6秒，或秒 (3)12 【分析】(1)先求出的长，根据中点定义得到，，再根据，即得； (2)①根据点A表示的数为，点P从点A以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，得到点P表示的数为：，根据点B表示的数为10，点从点以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，得到点表示的数为：；②点与点相距3个单位长度，分两种情况讨论：当点P在点Q左侧时，，解得，当点P在点Q右侧时，，解得，； (3) 设经过分钟后，钟表上的时针与分针的夹角从第一次转到，得到，解得． 本题主要考查了数轴上的动点，钟面角．解题的关键是熟练掌握动点表示的数，两点间的距离公式，时针与分针转动的角速度和转过的角度，列方程解答． 【详解】（1）如图，点在线段上运动时，线段的长度不发生变化，理由如下：    ∵点A、B在数轴上表示的数分别为和10， ∴， ∵点为线段的中点，点为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∴点在线段上运动时，线段的长度不发生变化； （2）①∵点A、在数轴上表示的数分别为和10， ∴在运动过程中，点表示的数为：，点表示的数为：， 故答案为：，； ②点与点相距3个单位长度，分两种情况： 当点在点左侧时，如图， ， 解得，    当点在点右侧时，如图， ， 解得，    综上所述，运动6秒或秒时，点与点相距3个单位长度； （3）时针每小时转，分针每分钟转， 设经过分钟后，的度数第一次等于， 则， 解得， ∴经过12分钟后，的度数第一次等于． 故答案为：12． 【题型7方位角】 24．如图所示，关于图中四条射线的方向说法错误的是（   ） A．的方向是北偏东 B．的方向是北偏西 C．的方向是南偏西 D．的方向是东南方向 【答案】A 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义，掌握角的计算方法是正确解答的前提．由方向角的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、的方向是北偏东，错误，故符合题意； B、的方向是北偏西，正确，不符合题意； C、的方向是南偏西，正确，不符合题意； D、的方向是南偏东，即东南方向，正确，不符合题意， 故选：A． 25．如图，已知点在点的北偏东方向上，点在点的正南方向，平分，则点相对于点的方位可表示为（   ） A．南偏东方向B．南偏东方向C．南偏东方向 D．南偏东方向 【答案】A 【分析】本题考查了方向角的定义，角平分线的定义，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边．根据方向角的定义以及角的和差，可得的度数，即可得到答案． 【详解】解：点在点的北偏东方向上，点在点的正南方向， ， 平分， ， 即点相对于点的方位为：南偏东方向， 故选：． 26．如图，甲从A点出发向北偏东方向走到点B，乙从点A出发向南偏西方向走到点C，平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与方向角有关的计算题，由题意得，，求出即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵平分， ∴ ∴ 故选：B 27．如图，甲从点出发向北偏东 方向走到点 ，乙从点出发向南偏西 方向走到点 ，则的度数为 ． 【答案】/135度 【分析】本题主要考查了方向角，根据题中的方位角，确定出所求角度数即可，正确理解方向角的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型8度分秒换算】 28．计算 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了角度的计算，解题的关键是熟练掌握角度间的换算关系进行解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 29．将转化为度的形式是 ． 【答案】10.5 【分析】本题考查了度分秒的换算，根据进行计算即可得出答案，熟练掌握是解此题的关键． 【详解】解：， ， 将转化为度的形式是， 故答案为：． 30．用度分秒表示 ． 【答案】 34 37 12 【分析】本题主要考查了度、分、秒的转化运算，解题关键是注意进行度、分、秒的转化运算要以60为进制求解．将度的小数部分化为分，将分的小数部分化为秒．进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：34，37，12． 31．已知，则 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】考查了度分秒的换算以及大小比较，注意，先统一单位，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵，， ， ∴． 故答案为：． 【题型9角平分线的概念有关运算】 32．如图，一副三角板(直角顶点重合) 摆放在桌面上，若，则等于（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的计算的理解和度与度分秒的换算，的度数正好是两直角相加减去的度数，从而问题可解，解题的关键是通过观察图示，发现几个角之间的关系和掌握度与度分秒的换算． 【详解】解：由，， 则， 又由， 故， 所以， 故选：． 33．如图，是平角，是射线，、分别是、的平分线，若，则的度数为 ． 【答案】/62度 【分析】本题考查角平分线的定义，平角的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据角平分线的定义求出，推出，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：平分， ． ． 平分， ． 故答案为：． 34．如图，点O在直线上，平分，平分，若，则的度数为 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查了角平分线的性质、邻补角的定义，解一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握性质、定义．根据角平分线的性质，得到，，再根据题意和邻补角互补，即可算出结果． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 35．在同一平面内，已知，与互余，且平分，则 °． 【答案】13或45 【分析】本题主要考查的是余角的定义、角平分线的定义．先求得的度数，然后依据题意画出图形，然后依据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：，与互余， ． 如图1所示：， 平分， ． 如图2所示： ， 平分， ． 故答案为：13或45． 36．已知， (1)如图1，平分平分，若，求的度数； (2)如图2，分别平分和，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的和差，角平分线的定义，理解图示中角的关系，掌握角平分线的定义，角的和差计算方法是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，，由，平分，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，得到，，根据平分，得，由即可求解． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵平分， ∴，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 37．线段与角的计算． (1)如图①，已知线段，点C为线段上的一点，，点D，E分别是和的中点，求的长； (2)如图②，已知被分成，平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段的中点、线段的和差、角平分线的定义，熟练掌握以知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由线段的中点得出，，再由计算即可得解； （2）设，，，则，由角平分线的定义得出，，求出，结合，得出，求解即可． 【详解】（1）解：因为D，E分别是和的中点， 所以，． 因为， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以． （2）解：设，，，则． 因为平分，平分， 所以，， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 38．如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分． (1)若，则______，______． (2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由． (3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系． 【答案】(1)； (2)；理由见解析 (3)不存在，此时，满足；理由见解析 【分析】本题主要考查了结合图形中角的计算，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线定义． （1）先根据，求出，根据角平分线定义得出，然后求出结果即可； （2）根据，，得出，根据角平分线定义得出，根据，即可得出答案； （3）根据，，得出，根据角平分线定义得出，根据，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵且， ∴， 即． （3）解：不存在，此时，满足；理由如下： ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵，， ， 即， 故． 39．如图 1，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图 1 中的三角板绕点 O 逆时针旋转至图 2，使一边在的内部，且恰好平分．问：此时直线是否平分？请说明理由． (2)将图1中的三角板绕点O 以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，求t的值． 【答案】(1)直线平分，理由见解析 (2)20或80 【分析】（1）设的反向延长线为，由已知求出的度数，继而结合求出的度数，再由两角的差求出的度数即可求得答案； （2）先求出，然后分的反向延长线平分、平分两种情况分别画出相应图形进行求解即可． 【详解】（1）解：直线平分，理由如下： 如图，设的反向延长线为， ∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即平分， 即直线是否平分； （2）∵， ∴， 如图2-1，当的反向延长线平分时， 此时， ∴旋转角， ∴秒； 如图2-2，当平分时， 此时， ∴旋转角为， ∴秒， 综上，或， 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差，旋转角等知识，正确理解题意，准确画出图形，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 【题型10多边形和圆的认识】 40．若从n边形的一个顶点出发，最多可以作 6条对角线，则 n为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查多边形的对角线，根据多边形对角线的性质列式计算即可． 【详解】解：∵从n边形的一个顶点出发，可以作6条对角线， ∴， 故选：D． 41．用同一种正多边形能进行平面图形铺设的条件是（    ） A．内角都是整十数度数 B．边数都是3的整数倍 C．内角能被整除 D．内角能被整除 【答案】C 【分析】本题考查了平面镶嵌，解题的关键是掌握用同一种正多边形能进行平面图形铺设的条件是内角能被整除．据此即可解答． 【详解】解：用同一种正多边形能进行平面图形铺设的条件是内角能被整除， 故选：C． 42．从七边形的一个顶点处引对角线，把七边形分成了个三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形的对角线，解题的关键是掌握：从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形，据此即可得出答案． 【详解】解：从七边形的一个顶点处引对角线，把七边形分成了（个）三角形， 即． 故选：B． 43．东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝向右水平拉直（保持端不动）．根据该古率，与拉直后铁丝端的位置最接近的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据“径一周三”的古率计算出半圆的周长即可． 【详解】解：∵半圆的直径是1， ∴由“径一周三”知圆的周长， ∴半圆的周长为， ∴拉直后铁丝端的位置最接近的是点A， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了阅读与推理，解答此题的关键是读懂题意． 44．如图，大圆的半径是，小圆的半径是大圆半径的，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】阴影部分的面积等于大圆减去小圆的面积，大圆的面积为，小圆的面积为，两式相减即可得到阴影部分的面积． 【详解】． 【点睛】本题考查了圆的面积公式，解题的关键是掌握圆的面积公式进行计算． 过关检测 一、单选题 1．下列几何体中是三棱锥的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三棱锥的定义和特点，根据三棱锥的特点：三棱锥的每个面都是三角形即可得解，熟练掌握三棱锥的定义是解决此题的关键． 【详解】根据三棱锥的定义，选项D中几何体由四个三角形组成，是三棱锥， 故选：D． 2．将一个直角三角形绕它的最长边（斜边）旋转一周得到的几何体是如图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转体的结构特征，熟练掌握各种面动成体的结构特征是解题的关键，根据面动成体的原理：一个直角三角形绕它的最长边旋转一周，得到的是两个同底且相连的圆锥． 【详解】解：A、圆柱是由一长方形绕其一边长旋转而成的； B、圆锥是由一直角三角形绕其直角边旋转而成的； C、该几何体是由直角梯形绕其下底旋转而成的； D、该几何体是由直角三角形绕其斜边旋转而成的； 故选：D． 3．一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“建”字对面是（    ） A．美 B．丽 C．白 D．银 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，掌握“相对的面之间一定相隔一个正方形”成为解题的关键． 根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，据此特点解答即可． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“美”和“白”是相对面，“丽”和“设”是相对面，“建”和“银”是相对面． 故选：D． 4．下列说法正确的是（  ） A．射线和射线是同一条射线 B．平角是一条直线 C．两条射线组成图形是角 D．互补且相等的两个角是直角 【答案】D 【分析】本题主要考查射线、角的定义，熟记相关概念是解题的关键． 根据射线的概念，角的定义对各个选项分析后即可判断，得出答案． 【详解】解：A. 射线和射线不是同一条射线，故选项错误； B.平角的两条边成一条直线，平角不是直线，故选项错误； C.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故选项错误； D.根据互补得到两角和为，又两角相等，所以每个角为，为直角，故选项正确． 故选：D． 5．如图，已知，平分，平分，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角的和差，角的平分线的定义计算即可．本题考查了角的平分线，角的和差计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵平分，， ∴； ∴； ∵， ∴ ∵平分， ∴； 故选：A． 6．将一个圆分成三个扇形A，B，C，它们的面积之比为，则面积最小的扇形的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积公式，圆心角的度数比与扇形的面积比相等是解题的关键，根据扇形的面积公式，利用圆心角之比等于面积之比，求出最小扇形的圆心角即可． 【详解】解：∵根据题意得，三个扇形的圆心角之比为， ∴扇形的圆心角度数为， 故选： A． 7．如图，A地和B地都是海上观测站，A地在灯塔O的北偏东方向，，则B地在灯塔O的（   ） A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．南偏西方向 D．东偏南方向 【答案】B 【分析】本题考查了方向角的求解，解题的关键是熟练掌握方向角的有关知识．设正南方向，正北方向分别为点C、D，根据题意求得的度数即可求解． 【详解】解∶如图， 正南方向，正北方向分别为点C、D， 由题意，得，， 又， ∴， ∴B地在灯塔O的南偏东方向， 故选：B． 8．如图，线段表示一根对折过后的绳子，现从点P处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长那段为，若，则这条绳子的原长为（   ）． A．12 B．24 C．12或24 D．24或36 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差，根据题意可知对折点可能是点A，也可能是点B，再根据不同情况确定最长的线段即可求出原线段的长． 【详解】当点A是对折点时，则剪断后最长的线段应是， ∴， 所以绳子的原长为； 当点B是对折点时，则剪断后最长的线段应是， ∴， 所以绳子的原长为． 所以这条绳子的原长为12cm或24cm． 故选：C． 9．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互余的是（　　） A．  B．  C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了三角形互余，需结合余角的定义进行求解； 根据两个角的和是，那么称这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角，对选项进行判断即可； 【详解】解： A、，选项正确 B、同角的余角相等，推出，并不能推出，选项错误； C、和的度数都大于，选项错误； D、，不能推出，选项错误； 故选：A. 10．只用同一种正多边形地砖密铺地板，这种正多边形地砖不可以是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】D 【分析】此题考查了平面镶嵌，根据几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，对每项进行分析即可． 【详解】解：A、等边三角形的每个内角是，能整除，能密铺； B、正方形的每个内角是，个能密铺； C、正六边形的每个内角是，能整除，个能密铺； D、正八边形每个内角是，不能整除，不能密铺． 故选：D． 12．已知，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．，，互不相等 【答案】B 【分析】本题考查角度的比较大小，关键是将度、分、秒转化为统一形式．将转化为度的形式再与，比较，注意：，． 【详解】解：， ∵， ∴， 只有选项B符合． 故选：B． 二、填空题 13．在植树节到来之际，为了增强“生态和环保意识”，班长小明组织同学到植物园开展“爱绿、植树、护绿”实践活动，要求同学们集合的时间是9点10分，此时钟面上时针与分针的夹角是 ． 【答案】145 【分析】本题考查钟面角的计算．掌握钟面上每2个数字之间相隔，时针1分钟走是解题的关键． 钟面上时间是9点10分，时针在9和10之间且靠近9，分针指向2，根据每2个数字之间相隔和时针1分钟走可得夹角度数． 【详解】解：时针经过10分钟所走的度数为， 此时分钟指向2点的位置，与9点之间的夹角为， ∴9点10分时，钟面上时针与分针夹角的度数是． 故答案为：145． 14．从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引2022条对角线，则这个多边形是 边形． 【答案】二零二五 【分析】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题的关键，据此即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 由题意得：， 解得：， 故答案为：二零二五． 15．已知，射线平分，则的度数为 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，正确求得的度数是关键，因考虑不周，容易漏掉一种情况的解．分两种情况在内或外），分别首先求得的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数． 【详解】解：当在内时，如图1， 则， 射线平分， ； 当在外时，如图2， 则， 射线平分， ． 综上，或． 故答案为：或． 三、解答题 16．如图是由7个相同小立方块搭成的几何体． (1)请在下面网格中画出从正面、左面及上面看该几何体得到的形状图； (2)已知每个小立方块的棱长为，则该几何体的表面积为 ____________． 【答案】(1)见解析 (2)28． 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，求几何体的表面积： （1）从正面看，看到的图形分为上中下三层，共三列，从左边数，第一列上中下三层各有一个小正方形，第二列中下两层各有一个小正方形，第三列下层有一个小正方形；从左面看，看到的图形分为上中下三层，共两列，从左边数，第一列上中下三层各有一个小正方形，第二列下层有一个小正方形；从上面看，看到的图形分为上下两层，共三列，从左边数，第一列上下两层各有一个小正方形，第二、三列上面一层各有一个小正方形，据此画图即可； （2）根据从三个方向看的几何体的形状找到该几何体露在外面的面（边长为的正方形）的个数即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：， ∴这个几何体的表面积为． 17．如图，点B，D都在线段上，，点是线段的中点，，求的长． 【答案】21 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，先求出，再结合得出，即可得解． 【详解】解：因为，点是线段的中点， 所以． 因为， 所以， 所以． 18．如图，两直线、相交于点，平分，如果． (1)求的大小； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】此题考查了角平分线的定义，补角的应用， （1）利用角度比及互补关系求出，，根据角平分线求出，即可求出的度数； （2）求出的度数，即可得到的度数，进而得到位置关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴ ∴ ∴． 19．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°, 一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则∠COD=　 　∠COE； (2)如图2，将图1中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的角平分线时，求∠COD的度数； (3)将图1中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为度，在旋转的过程中，能否使∠AOE=3∠COD？若能，求出的度数；若不能，说明理由. 【答案】(1)2 (2) (3)或 【分析】（1）由邻补角和余角的定义求出两个角，即可得出结论； （2）由角平分线的定义可得，再根据，从而可求解； （3）分两种情况讨论：①是内；②在外，分析清楚角关系求解即可． 【详解】（1）解：，与射线重合， ， ， ， ， 故答案为：2； （2）解：由（1）得，， 是的角平分线， ， ， ； （3）解：能， ①当是内时，有： ，， 则， 解得：； ②当在外时，有： ，， 则， 解得：． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，余角和补角，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$