第04讲 正弦定理与余弦定理（寒假预科讲义）-2025年高一数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第04讲 正弦定理与余弦定理 【人教A版2019】 模块一 余弦定理 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 (2)对余弦定理的理解 ①余弦定理对任意的三角形都成立. ②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量. ③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦 定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角. ④余弦定理的另一种常见变式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC. 【题型1 余弦定理边角互化的应用】 【例1.1】（23-24高一下·重庆·期末）在中，记内角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高一下·甘肃天水·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高一下·吉林通化·期末）在中，角所对的边分别为，若，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【题型2 余弦定理解三角形】 【例2.1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 【例2.2】（23-24高一下·新疆·期中）在中，角的对边分别为.已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高一下·贵州·期中）如图，在中，已知，则为（    ）    A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高一下·浙江·期中）已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（    ） A． B． C． D． 模块二 正弦定理 1．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=kA，b=kB，c=kC，由此可得 正弦定理的下列变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 2．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角； ③已知三边，求三角形的三个角. (3)正弦定理在解三角形中的应用 公式==反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的 每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 【题型3 正弦定理边角互化的应用】 【例3.1】（23-24高一下·广西百色·期中）在中，角的对边分别为，若，且，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高一下·北京通州·期中）在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3.1】（23-24高一下·河北·期中）在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【变式3.2】（23-24高一下·江西萍乡·期中）设的内角，，所对的边分别为，，，若，则（    ） A．3 B． C． D． 【题型4 正弦定理判定三角形解的个数】 【例4.1】（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高一下·河南洛阳·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式4.1】（23-24高一下·广西·阶段练习）在中，角所对的边分别为，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（23-24高一下·北京大兴·期中）在中，，，分别为，，的对边，给出下列四个条件： ①，， ；         ②，，； ③，，；  ④，，． 能判断三角形存在且有唯一解的是（    ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④ 【题型5 正弦定理解三角形】 【例5.1】（2024高二下·河北·学业考试）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（23-24高一下·四川绵阳·期中）在中，内角,,的对边分别为,,，且，，，则为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（23-24高一下·天津红桥·期中）在中，已知角，，边，则边（    ） A． B． C．1 D． 【变式5.2】（23-24高一下·广西北海·期末）在中，内角的对边分别为 ，且，则（    ） A． B． C． D． 模块三 三角形面积公式 1．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①=a=b=c (,,分别为边a,b,c上的高). ②将=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三 角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 2．与三角形面积有关问题的解题策略： (1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积. (2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量. 【题型6 三角形面积公式的应用】 【例6.1】（23-24高一下·浙江·期中）在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（23-24高一下·湖北·阶段练习）在中，内角所对的边分别为是的外心，，则的面积为（    ） A． B．6 C． D． 【变式6.1】（23-24高一下·广西百色·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（23-24高一下·山东淄博·期中）在中，角所对的边分别为，若，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型7 正、余弦定理在几何图形中的应用】 【例7.1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，的面积为，. (1)求的值； (2)若，求的周长. 【例7.2】（23-24高一下·河南商丘·期末）如图，在四边形ABCD中，，，，，. (1)求及AD的长度； (2)求BC的长度. 【变式7.1】（23-24高一下·河北邯郸·期中）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，D为BC的中点，的面积为，求AD的长． 【变式7.2】（23-24高一下·浙江·期中）在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角B的值； (2)若，判断的形状； (3)若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围. 【题型8 距离、高度、角度测量问题】 【例8.1】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则该铁塔的高度约为（    ）（参考数据：，，，）    A．米 B．米 C．米 D．米 【例8.2】（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【变式8.1】（23-24高一下·四川眉山·阶段练习）某景区准备在两座山峰的山顶之间建设索道，要预先测量这两个山顶之间的距离.设两座山峰的山顶分别为，它们对应的山脚位置分别为，在山脚附近的一块平地上找到一点，（所在的平面与山体垂直），使得是以为斜边的等腰直角三角形，现从处测得到两点的仰角分和，若到的距离为1千米，则两个峰顶的直线距离为（    ）    A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【变式8.2】（23-24高一下·湖北·阶段练习）中国古代四大名楼之首黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，因唐代诗人崔颢登楼所题《黄鹤楼》一诗而名扬四海.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为26，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度约为（    ） A．64 B．74 C．52 D．91 一、单选题 1．（24-25高一·全国·课后作业）若锐角三角形三边长分别为，则的范围是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）在中，，且（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·山东济南·阶段练习）设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏宿迁·期末）在中，角所对的边分别为．若，则为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 5．（23-24高一下·河南·阶段练习）在中，已知，则的内切圆的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）在中，若，，，三角形有唯一解，则整数构成的集合为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）如图所示：测量队员在山脚测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为.若，则山的高度约为（    ） （参考数据：）    A． B． C． D． 8．（2024·山东济宁·一模）已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B的大小为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·河南漯河·阶段练习）在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．（23-24高一下·四川达州·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，则有两解 B．若，则是钝角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，则为等腰三角形 三、填空题 12．（23-24高一下·天津南开·阶段练习）在中，角的对边分别为，则 ． 13．（23-24高一下·四川达州·期中）龙爪塔位于通川区朝阳寺内， 龙爪塔据传因崖壁有石纹，下临深潭，影似龙爪而得名.龙爪塔相传由鲁班修建，据文物部门考证，该塔建于唐朝年间，乾隆十二（1747）年增刻本《达州志·舆地图》已绘有龙爪山图，先后经嘉庆十八（1813）年和光绪十四（1888）年两次补修.1987年11月按原貌对塔进行了维修，1989年对游人开放.为了测量塔的高度AB，选取与塔底B在同一水平面的两个基点C与D，现测得米，在C点测得塔顶的仰角，则塔的高度为 （参考数据） 14．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积的最大值为 ． 四、解答题 15．（23-24高一下·天津西青·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，． (1)求角的值； (2)求的值． 16．（23-24高一下·河南漯河·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，且满足. (1)求； (2)若，求的取值范围. 17．（23-24高一下·浙江·期中）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高. (1)求两点AC间的长度； (2)求山MN的高度. 18．（23-24高一下·江西宜春·期末）在中，为上一点，，，. (1)若，求外接圆的半径； (2)若，为锐角，求面积. 19．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 正弦定理与余弦定理 【人教A版2019】 模块一 余弦定理 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 (2)对余弦定理的理解 ①余弦定理对任意的三角形都成立. ②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量. ③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦 定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角. ④余弦定理的另一种常见变式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC. 【题型1 余弦定理边角互化的应用】 【例1.1】（23-24高一下·重庆·期末）在中，记内角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得，结合余弦定理计算即可求解. 【解答过程】由，得， 由余弦定理得， 又，所以. 故选：C. 【例1.2】（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用余弦定理即可得解. 【解答过程】因为，即，所以， 由余弦定理可得， 又，所以. 故选：B． 【变式1.1】（23-24高一下·甘肃天水·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据余弦定理边角互化即可求解. 【解答过程】由得, 由于，所以，故， 故选：B. 【变式1.2】（23-24高一下·吉林通化·期末）在中，角所对的边分别为，若，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【解题思路】利用余弦定理将已知等式统一成边的形式，化简可得答案. 【解答过程】因为， 所以由余弦定理得， 所以，所以， 所以为直角三角形. 故选：A. 【题型2 余弦定理解三角形】 【例2.1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 【解题思路】由余弦定理得到方程，求出. 【解答过程】由余弦定理得，即， 解得，解得或（舍去）， 故. 故选：D. 【例2.2】（23-24高一下·新疆·期中）在中，角的对边分别为.已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用余弦定理计算可得. 【解答过程】由余弦定理可得. 故选：B. 【变式2.1】（23-24高一下·贵州·期中）如图，在中，已知，则为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】利用余弦定理求出，即而求出，结合两角和的正弦公式，即可求得答案. 【解答过程】在中，由余弦定理：， 所以为锐角，， 所以． 故选：B. 【变式2.2】（23-24高一下·浙江·期中）已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意由边长比例关系可求得再由余弦定理可得，即可得出结论. 【解答过程】根据题意不妨设，；解得 所以可得此三角形的最大角与最小角分别为和； 由余弦定理可得，又， 可得； 所以. 故选：B. 模块二 正弦定理 1．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=kA，b=kB，c=kC，由此可得 正弦定理的下列变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 2．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角； ③已知三边，求三角形的三个角. (3)正弦定理在解三角形中的应用 公式==反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的 每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 【题型3 正弦定理边角互化的应用】 【例3.1】（23-24高一下·广西百色·期中）在中，角的对边分别为，若，且，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知式，运用正弦定理化角为边，得勾股定理，利用直角三角形中三角函数定义，计算即得. 【解答过程】由和正弦定理可得，，，是直角三角形. 则，，. 故选：A. 【例3.2】（23-24高一下·北京通州·期中）在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据正弦定理分别判断充分性和必要性即可. 【解答过程】若，则，由正弦定理可知， 则， 则，则可得“”是“”的充分条件， 再由，由正弦定理得，则，则， 则“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 【变式3.1】（23-24高一下·河北·期中）在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【解题思路】先用二倍角公式化简，结合正弦定理和三角形内角和定理化简判断三角形形状； 【解答过程】化简得：，， 根据正弦定理整理可得，因为 即，所以或， 可得或或, 所以等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 【变式3.2】（23-24高一下·江西萍乡·期中）设的内角，，所对的边分别为，，，若，则（    ） A．3 B． C． D． 【解题思路】利用正弦定理将边化角，即可得到，从而得解. 【解答过程】因为，由正弦定理可得， 又，所以，则， 显然，所以. 故选：B. 【题型4 正弦定理判定三角形解的个数】 【例4.1】（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正弦定理，结合三角形解的个数，即可列式求解. 【解答过程】根据正弦定理，，则， 若满足条件的有两个，则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 【例4.2】（23-24高一下·河南洛阳·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解题思路】只有已知两边及一边的对角时才可能有两解，还需通过正弦定理、三角形的性质判断． 【解答过程】对于选项A：已知两边及夹角，由三角形全等可知只有一解，故A错误； 对于选项B：由正弦定理可得， 所以无解，故B错误； 对于选项C：由正弦定理可得， 且，则，可知角B有两解，所以有两解，故C正确； 对于选项D：已知三边，根据的取值要么无解，要么只有一解，不可能有两解，故D错误． 故选：C． 【变式4.1】（23-24高一下·广西·阶段练习）在中，角所对的边分别为，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】作图，根据条件，结合图形，得到，即可求解. 【解答过程】如图，作于，，， 根据题意有，又，得到，所以， 故选：B. 【变式4.2】（23-24高一下·北京大兴·期中）在中，，，分别为，，的对边，给出下列四个条件： ①，， ；         ②，，； ③，，；  ④，，． 能判断三角形存在且有唯一解的是（    ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④ 【解题思路】由正弦定理及三角形的性质分别判断出所给命题的真假． 【解答过程】①中，，，， 由正弦定理可得，即，可得， 因为角为锐角，所以角有两解，所以①不正确； ②中，由三边为定值，且满足任意两边之和大于第三边，所以②唯一确定三角形；所以②正确； ③中，由两边和夹角确定唯一三角形，可得③正确； ④中，由正弦定理可得，所以不存在这样的三角形，所以④不正确． 故选：B． 【题型5 正弦定理解三角形】 【例5.1】（2024高二下·河北·学业考试）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正弦定理可求，从而可求. 【解答过程】由正弦定理可得，故， 因为，故，故为锐角，故， 故选：A. 【例5.2】（23-24高一下·四川绵阳·期中）在中，内角,,的对边分别为,,，且，，，则为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出，然后结合正弦定理即可求解. 【解答过程】因为，，所以，由正弦定理可得：， 故选：D. 【变式5.1】（23-24高一下·天津红桥·期中）在中，已知角，，边，则边（    ） A． B． C．1 D． 【解题思路】利用正弦定理直接求解即可. 【解答过程】因为在中，角，，边， 所以由正弦定理得，即， 所以，解得. 故选：A. 【变式5.2】（23-24高一下·广西北海·期末）在中，内角的对边分别为 ，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用同角三角函数的基本关系结合正弦定理求解即可. 【解答过程】因为，所以，所以， 由正弦定理得，所以，故A正确. 故选：A. 模块三 三角形面积公式 1．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①=a=b=c (,,分别为边a,b,c上的高). ②将=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三 角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 2．与三角形面积有关问题的解题策略： (1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积. (2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量. 【题型6 三角形面积公式的应用】 【例6.1】（23-24高一下·浙江·期中）在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用正弦定理及二倍角公式可得，再由余弦定理可得，得，利用平方关系可计算的值，再由三角形面积公式即可求解. 【解答过程】因为，， 所以 即， ，解得， ， ， ， . 故选：C. 【例6.2】（23-24高一下·湖北·阶段练习）在中，内角所对的边分别为是的外心，，则的面积为（    ） A． B．6 C． D． 【解题思路】先化简得，再由，得到，再由余弦定理得，从而得面积. 【解答过程】因为，故由得， 由正弦定理得，又，故， 因为，所以，故，所以. 因为， 所以.在中余弦定理得，， 所以.所以的面积为. 故选：D. 【变式6.1】（23-24高一下·广西百色·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由给定条件，利用正弦定理边化角求出，再利用余弦定理求出即可求出三角形面积. 【解答过程】在中，由及正弦定理，得， 而，则，由及余弦定理得，， 因此，，则， 所以的面积为. 故选：B. 【变式6.2】（23-24高一下·山东淄博·期中）在中，角所对的边分别为，若，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先由正弦定理化角为边，再利用余弦定理求出，然后由余弦定理结合重要不等式得范围，最后由面积公式求最值即可. 【解答过程】根据题意，由正弦定理角化边为：， 再由余弦定理得：， 因为，所以，又， 由余弦定理，即， 因为，所以，即， 当且仅当时等号成立， 故的面积， 所以面积的最大值为. 故选：B. 【题型7 正、余弦定理在几何图形中的应用】 【例7.1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，的面积为，. (1)求的值； (2)若，求的周长. 【解题思路】（1）根据余弦定理角化边得，进而可求； （2）由面积公式可得，由正弦定理角化边得，代入，从而可求，进而可求，从而可求. 【解答过程】（1）根据余弦定理可得，，则， 所以； （2）因为，所以， 又的面积为，所以，即， 因为，结合正弦定理可得， 又，所以，解得， 所以， 所以，即， 所以的周长为. 【例7.2】（23-24高一下·河南商丘·期末）如图，在四边形ABCD中，，，，，. (1)求及AD的长度； (2)求BC的长度. 【解题思路】（1）运用平方关系求出，， 由于， 借助和角公式求出即可．再用正弦定理求出即可； （2）在中，由正弦定理求出，再用余弦定理求出即可. 【解答过程】（1）因为，，，， 所以，， 由于，又，∴， ∴， 则 ， ∴， 所以. 在中，由正弦定理得， 所以，所以. （2）在中，由正弦定理得，可得，解得. 由于，， 在中，由余弦定理可得 . 【变式7.1】（23-24高一下·河北邯郸·期中）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，D为BC的中点，的面积为，求AD的长． 【解题思路】（1）根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解， （2）根据面积公式可得值，结合（1）的结论可得，进而根据向量的模长即可求解． 【解答过程】（1）由正弦定理可得, 由于，所以，故， 因为，所以． （2）因为，，的面积为， 所以， 由（1）知，可得， 因为， 所以， 解得，可得的长为． 【变式7.2】（23-24高一下·浙江·期中）在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角B的值； (2)若，判断的形状； (3)若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围. 【解题思路】（1）将角化边进行化简，然后结合余弦定理求解即可；（2）将边化角，将正切变成正弦和余弦再进行化简即可判断；（3）根据条件表示边，再利用三角形的面积公式即可求解面积的取值范围. 【解答过程】（1）∵， ∴由正弦定理得， 即， 即， 即， 由余弦定理得， ∵， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形. （3）因为, 由正弦定理,得 所以 因为为锐角三角形,则, 从而, 所以. 【题型8 距离、高度、角度测量问题】 【例8.1】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则该铁塔的高度约为（    ）（参考数据：，，，）    A．米 B．米 C．米 D．米 【解题思路】在中，由两角和的正弦得到，由同角三角函数关系得到，由正弦定理得到，在中，，代入数值即可得到答案. 【解答过程】在中，， 则， ， 由正弦定理，可得， 在中，可得. 所以该铁塔的高度约为米． 故选：C. 【例8.2】（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【解题思路】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【解答过程】如图，    由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 【变式8.1】（23-24高一下·四川眉山·阶段练习）某景区准备在两座山峰的山顶之间建设索道，要预先测量这两个山顶之间的距离.设两座山峰的山顶分别为，它们对应的山脚位置分别为，在山脚附近的一块平地上找到一点，（所在的平面与山体垂直），使得是以为斜边的等腰直角三角形，现从处测得到两点的仰角分和，若到的距离为1千米，则两个峰顶的直线距离为（    ）    A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【解题思路】先求得，然后利用梯形的知识求得. 【解答过程】依题意可知，， ，由于是直角梯形， 所以千米. 故选：A. 【变式8.2】（23-24高一下·湖北·阶段练习）中国古代四大名楼之首黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，因唐代诗人崔颢登楼所题《黄鹤楼》一诗而名扬四海.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为26，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度约为（    ） A．64 B．74 C．52 D．91 【解题思路】求出，，，在中，由正弦定理求出，从而得到的长度. 【解答过程】在中，， ，， 在中，， 由，， 在中，m. 故选：C. 一、单选题 1．（24-25高一·全国·课后作业）若锐角三角形三边长分别为，则的范围是（    ）． A． B． C． D． 【解题思路】根据锐角三角形分别应用余弦定理列边长关系不等式,计算即可. 【解答过程】因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角， 则设边对的锐角为角，根据余弦定理得，解得； 设边对的锐角为，根据余弦定理得，解得， 设边对的锐角为角,根据余弦定理得恒成立; 所以实数的取值范围是. 故选：A. 2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）在中，，且（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先求出，再由正弦定理计算可得. 【解答过程】因为， 所以， 由正弦定理，即， 解得. 故选：D. 3．（23-24高一下·山东济南·阶段练习）设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据余弦定理，即可求解. 【解答过程】根据余弦定理可知，. 故选：B. 4．（23-24高一下·江苏宿迁·期末）在中，角所对的边分别为．若，则为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【解题思路】利用余弦定理角化边，然后因式分解可得. 【解答过程】由余弦定理可得：， 即， 整理得：， 得或，所以为等腰或直角三角形. 故选：D. 5．（23-24高一下·河南·阶段练习）在中，已知，则的内切圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由三边长利用余弦定理求得继而求得三角形的面积，接着通过的内切圆的圆心分割三角形得到其面积的另种表示方式，即可求得内切圆半径. 【解答过程】由余弦定理可得，因， 则， . 设的内切圆的半径为，则，解得， 则的内切圆的面积为. 故选：C. 6．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）在中，若，，，三角形有唯一解，则整数构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由正弦定理可求得，因为三角形有唯一解，可得，即可求得构成的集合. 【解答过程】，由正弦定理 有唯一解，故整数的值构成的集合为. 故选：C. 7．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）如图所示：测量队员在山脚测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为.若，则山的高度约为（    ） （参考数据：）    A． B． C． D． 【解题思路】在三角形中，，，利用正弦定理计算求解. 【解答过程】在三角形中，， ， 由正弦定理得， ， 故选：C. 8．（2024·山东济宁·一模）已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用正弦定理对已知条件进行边角转化，求得，结合余弦定理以及不等式求得的最大值，再求三角形面积的最大值即可. 【解答过程】因为，由正弦定理可得：， 即，， 又，，故；由，解得； 由余弦定理，结合，可得， 即，解得，当且仅当时取得等号； 故的面积，当且仅当时取得等号. 即的面积的最大值为. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高一下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B的大小为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将，变形为求解. 【解答过程】因为， 所以， 即， 因为，所以或， 故选：AC. 10．（23-24高一下·河南漯河·阶段练习）在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解题思路】根据三角形解的个数的判定条件直接计算可得. 【解答过程】A中，因为，有，所以该三角形无解，故A错误； B中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有一解，故B正确； C中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有一解，故C正确； D中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有两解，故D错误. 故选：BC. 11．（23-24高一下·四川达州·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，则有两解 B．若，则是钝角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，则为等腰三角形 【解题思路】根据正弦、余弦定理逐项判断即可. 【解答过程】对A：由，所以有两解，故A正确； 对B：由余弦定理： ， 所以为钝角，即为钝角三角形，故B正确； 对C：因为三角形为锐角三角形， 所以 ，即，故C正确； 对D：因为，由正弦定理得： ， 所以或，即或， 所以为等腰或直角三角形，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．（23-24高一下·天津南开·阶段练习）在中，角的对边分别为，则 ． 【解题思路】由余弦定理求解即可． 【解答过程】由余弦定理得，，解得或（舍）， 所以， 故答案为：． 13．（23-24高一下·四川达州·期中）龙爪塔位于通川区朝阳寺内， 龙爪塔据传因崖壁有石纹，下临深潭，影似龙爪而得名.龙爪塔相传由鲁班修建，据文物部门考证，该塔建于唐朝年间，乾隆十二（1747）年增刻本《达州志·舆地图》已绘有龙爪山图，先后经嘉庆十八（1813）年和光绪十四（1888）年两次补修.1987年11月按原貌对塔进行了维修，1989年对游人开放.为了测量塔的高度AB，选取与塔底B在同一水平面的两个基点C与D，现测得米，在C点测得塔顶的仰角，则塔的高度为 33米 （参考数据） 【解题思路】在中，利用正弦定理求出，再借助给定的仰角计算作答. 【解答过程】在中，，则， 由正弦定理，得， 由在点仰角为，得 米. 故答案为：33米. 14．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积的最大值为 ． 【解题思路】先由已知条件结合余弦定理和求出，再由余弦定理结合基本不等式求出最大值，即可由正弦定理形式面积公式求出面积最大值. 【解答过程】在中，由及余弦定理，得， 整理得，由，得为锐角， 而，解得， 由及余弦定理，得， 解得，当且仅当时取等号， 因此，所以面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高一下·天津西青·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，． (1)求角的值； (2)求的值． 【解题思路】（1）结合余弦定理进行求解即可； （2）结合正弦定理进行求解即可. 【解答过程】（1）由， 则， 又，则； （2）由（1）知，又， 则由正弦定理知，，即 . 16．（23-24高一下·河南漯河·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，且满足. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【解题思路】（1）运用正弦定理边角互化，结合三角恒等变换计算即可； （2）运用正弦定理边角互化，结合三角函数求范围即可. 【解答过程】（1）由结合正弦定理可得， 因为，所以， 所以，即 因为，所以， 因为，所以； （2）由正弦定理，且，，可得. 所以，. 则. 则. 则. 即. 因为，所以. 所以，所以. 17．（23-24高一下·浙江·期中）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高. (1)求两点AC间的长度； (2)求山MN的高度. 【解题思路】（1）解直角三角形即可求得答案； （2）应用正弦定理求出,再结合直角三角形即可求； 【解答过程】（1）在中，因为，，， 所以， （2）在中，因为，，可得， 因为，所以， 在直角中，可得. 18．（23-24高一下·江西宜春·期末）在中，为上一点，，，. (1)若，求外接圆的半径； (2)若，为锐角，求面积. 【解题思路】（1）利用余弦定理求得，再利用正弦定理即可得解. （2）利用三角函数的平方关系与余弦定理求得所需要线段长，再利用正弦定理与三角形面积公式即可得解. 【解答过程】（1）由余弦定理 ，解得； 又，解得； 外接圆的半径为； （2）因为，为锐角， 则； 设，则， 在中，， 由余弦定理得，解得； 所以； 由正弦定理，即，解得； 所以， 即的面积为. 19．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【解题思路】（1）利用正弦定理及三角变换公式可得，从而可求的值. （2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求周长的取值范围. 【解答过程】（1）由及正弦定理得， 故， 在中，，，所以， 可得，而，故即. （2）由正弦定理的得，， 因为，则， 所以， 因为为锐角三角形，则，，，故， 所以周长的取值范围. 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$