第08讲 空间几何体初步（寒假预科讲义）-2025年高一数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第08讲 空间几何体初步 【人教A版2019】 模块一 空间几何体的结构特征 1．空间几何体的有关概念 (1)空间几何体的定义 对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间 图形就叫做空间几何体. 例如，一个牛奶包装箱可以抽象出长方体. (2)定理的实质 多面体及其相关概念 ①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体. ②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面BCC'B'等. ③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱AA'，棱BB'等. ④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点A，B，A'等. (3)旋转体及其相关概念 ①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭 的旋转面围成的几何体叫做旋转体. 图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线OAA'O'绕OO'所在的直线旋转而形成的. ②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线OO'是该旋转体的轴. 2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征 棱柱 棱锥 棱台 定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台. 相关概念 (1)底面(底)：两个互相平行的面； (2)侧面：其余各面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：侧面与底面的公共顶点. (1)底面(底):多边形面； (2)侧面：有公共顶点的各个三角形面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：各侧面的公共顶点. (1)上底面：原棱锥的截面； (2)下底面：原棱锥的 底面 . (3)侧面：其余各面. (4)侧棱：相邻侧面的公共边； (5)顶点：侧面与底面的公共顶点. 图形及表示 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' (或六棱柱AD'). 棱锥S-ABCD(或四棱锥 S - A C ) 棱台ABCD-A'B'C'D' 结构特征 (1)底面互相平行且全等； (2)侧面都是平行四边形； (3)侧棱都相等，且互相平行. (1)底面是多边形； (2)侧面都是三角形； (3)侧面有一个公共顶点. (1)上、下底面互相平行，且是相似图形； (2)各侧棱的延长线交于一点； (3)各侧面为梯形. 分类 棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱…… 棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥…… 由几棱锥截得的就叫几 棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台. 3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 圆柱 圆锥 圆台 球 定 义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部 分叫做圆台. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球. 相关概念 (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线 (5)顶点：母线的交点. (1)上底面：原圆锥的截面. (2)下底面：原圆锥的底面. (3)轴：上、下底面圆心的连线所在的直线. (4)侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面. (5)母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分. (1)球心：半圆的圆心. (2)半径：连接球心和球面上任意一点 的线段. (3)直径：连接球面上两点并且经过球心的线段. 图形及表示 圆柱OO' 圆锥SO 圆台OO' 球O 结 构 特 征 (1)圆柱两个底面是圆面而不是圆. (2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等. (3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. (1)底面是圆面. (2)有无数条母线，长度相等且交于顶点. (3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形. (1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面. (2)有无数条母线，等长且延长线交于一点. (3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴 的截面(轴截面)是全等的等腰梯形. (1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半 径)的所有点的集合. (2)球的截面都是圆面. 棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体. 4．简单组合体的结构特征 (1)简单组合体的定义 由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. (2)简单组合体的构成形式 ①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示. ②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示. (3)常见的几种组合体 ①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到. ②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到. ③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成. 5．正方体的截面形状的探究 通过尝试、归纳，有如下结论. (1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形. (2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四 边形中至少有一组对边平行. (3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是 正五边形. (4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形. 对应截面图形如图中各图形所示 【题型1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征】 【例1.1】（24-25高一·全国·随堂练习）下列命题正确的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 【例1.2】（24-25高一下·全国·课后作业）下列几何体中不是棱锥的为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高一下·全国·课后作业）下列命题中为真命题的是（    ） A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D．正四棱柱是平行六面体 【变式1.2】（24-25高一下·全国·课后作业）下列几何体不属于棱柱的是（    ） A．   B．   C．   D．   【题型2 旋转体的结构特征】 【例2.1】（23-24高一下·天津南开·期末）给出下列命题： ①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台； ④用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形． 其中正确命题是（    ）． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【例2.2】（23-24高一下·天津武清·阶段练习）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形，则该圆锥的高是（    ） A．1 B． C． D． 【变式2.1】（23-24高二上·上海奉贤·期中）下列命题正确的是（    ） A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 【变式2.2】（23-24高一下·天津和平·阶段练习）下列命题中不正确的是（    ） A．圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面 B．正四棱锥的侧面都是正三角形 C．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 D．以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台 【题型3 简单组合体的结构特征】 【例3.1】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【例3.2】（24-25高一下·河南商丘·阶段练习）某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（    ）    A．该几何体的面是等边三角形或正方形 B．该几何体恰有12个面 C．该几何体恰有24条棱 D．该几何体恰有12个顶点 【变式3.1】（24-25高一·全国·课后作业）如图所示的简单组合体的组成是（    ） A．棱柱、棱台 B．棱柱、棱锥 C．棱锥、棱台 D．棱柱、棱柱 【变式3.2】（23-24高二上·上海虹口·期末）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有面的个数及棱长分别为（    ） A．26， B．24 ， C．26， D．24 ， 【题型4 平面图形旋转形成的几何体】 【例4.1】（23-24高一下·全国·课后作业）能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（24-25高一下·全国·课后作业）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（    ） A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆台、一个圆柱 C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥 【变式4.1】（24-25高一下·广东河源·开学考试）如图是由哪个平面图形旋转得到的（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式4.2】（23-24高一下·陕西榆林·期中）下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（    ） A．   B．   C．   D．   【题型5 空间几何体的截面问题】 【例5.1】（24-25高一·全国·课后作业）圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（23-24高二上·北京·阶段练习）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5） 【变式5.1】（24-25高一·全国·课后作业）一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高一下·全国·课后作业）图中的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤ 模块二 立体图形的直观图 1．空间几何体的直观图 (1)直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全 在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同. 在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. (2)斜二测画法及其步骤 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其 步骤是： ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y' 轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=(或)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别面成平行于x'轴或y'轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度 为原来的一半. (3)旋转体及其相关概念 斜二测画法画空间几何体的直观图的规则 画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有 以下规则. ①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段. ②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原 来的一半. ③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系 (1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积 . (2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：=.即若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 【题型6 斜二测画法的辨析】 【例6.1】（2024高一下·全国·专题练习）关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是（ ） A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B．正方形的直观图为平行四边形 C．梯形的直观图不是梯形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形 【例6.2】（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．不相等的线段在直观图中对应的线段一定不相等 D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 【变式6.1】（23-24高一下·全国·课后作业）利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图可能仍是正方形； ④菱形的直观图是一定是菱形． 以上结论，正确的是（    ） A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 【变式6.2】（23-24高一上·河北衡水·周测）对于用“斜二侧画法”画平面图形的直观图，下列说法正确的是（　　） A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B．梯形的直观图可能不是梯形 C．正方形的直观图为平行四边形 D．正三角形的直观图一定是等腰三角形 【题型7 画立体图形的直观图】 【例7.1】（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在中，边上的高，试用斜二测画法画出其直观图．    【例7.2】（2024高一下·全国·专题练习）有一个正六棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 【变式7.1】（2024高一下·全国·专题练习）用斜二测画法画出下列图形： (1)水平放置的边长为的正方形； (2)水平放置的梯形和平行四边形； 【变式7.2】（2024高一下·全国·专题练习）用斜二测画法画出正六棱锥（底面是正六边形，点与底面正六边形的中心的连线垂直于底面）的直观图（尺寸自定）． 【题型8 由直观图还原几何图形】 【例8.1】（23-24高一下·黑龙江·期中）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（    ） A． B． C． D． 【例8.2】（24-25高一·全国·课后作业）如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是的边中点，，分别与′轴、′轴平行，则三条线段，，中（   ） A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是 C．最长的是，最短的是 D．最长的是，最短的是 【变式8.1】（23-24高一下·河南新乡·期中）如图所示，水平放置的用斜二测画法画出的直观图为，其中，，那么为（ ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．三边互不相等的三角形 【变式8.2】（23-24高一下·重庆·期中）如图所示是水平放置的的直观图，其中，则原是一个（    ）    A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【题型9 斜二测画法中有关量的计算】 【例9.1】（23-24高一下·广东广州·期中）如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（   ）    A． B．1 C． D． 【例9.2】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）如图所示，梯形 是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图， ， ，则平面图形中对角线的长度为（    ） A． B． C． D．5 【变式9.1】（24-25高一上·全国·期中）用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示，边平行于y轴，平行于x轴，若四边形为等腰梯形，且，则原四边形的周长为（    ）． A． B． C． D． 【变式9.2】（23-24高一下·湖北荆州·阶段练习）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形.已知，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）有下列四个命题，其中正确的是（    ） A．底面是矩形的平行六面体是长方体 B．棱长相等的直平行六面体是正方体 C．有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 D．对角线相等的平行六面体是直平行六面体 2．（24-25高一下·全国·课后作业）下列几何体中是旋转体的是（    ） ①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体． A．①和⑤ B．①和② C．③和④ D．①和④ 3．（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中错误的是（    ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．相等的角在直观图中不一定相等 C．平行的线段在直观图中仍然平行 D．互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直 4．（2024高二·浙江·专题练习）正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的不可能图形为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·全国·课后作业）将如图所示的由斜二测画法得到的直观图还原成平面图形是（    ） A．任意梯形 B．直角梯形 C．任意四边形 D．平行四边形 6．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 7．（24-25高一·全国·随堂练习）下列命题正确的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 8．（23-24高一下·福建三明·期末）用斜二测画法画△ABC的直观图为如图所示的△，其中，，则△ABC的面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列命题中为假命题的是（    ） A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同 C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D．正四棱柱是平行六面体 10．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示的空间图形是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的复杂空间图形，现用一个竖直的平面去截这个复杂空间图形，则截面图形可能是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）如图所示，用斜二测画法作水平放置的的直观图，得，其中，是边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高一下·浙江·期中）水平放置的的直观图是一个如图所示的等腰直角三角形，点是斜边的中点，且，则底边的高为 .    13．（23-24高一下·全国·单元测试）如图，已知圆柱的高为h，底面半径为，轴截面为矩形，在母线上有一点，且，在母线上取一点，使，则圆柱侧面上P、Q两点的最短距离为 ．      14．（24-25高二·全国·课后作业）下列命题中，真命题的是 ．（选填序号） ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ②球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径； ③用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆； ④以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的曲面叫做球； ⑤空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面． 四、解答题 15．（24-25高一·全国·课堂例题）指出下图中的空间图形是由哪些简单空间图形割补而成的．      16．（2024高一下·全国·专题练习）有一个正六棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 17．（24-25高一·江苏·课后作业）如图所示，长方体.    (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. 18．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 19．（23-24高一下·河北·期中）如图，正方体的棱长为6，M是的中点，点N在棱上，且. (1)作出过点D，M，N的平面截正方体所得的截面，写出作法； (2)求（1）中所得截面的周长. 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 空间几何体初步 【人教A版2019】 模块一 空间几何体的结构特征 1．空间几何体的有关概念 (1)空间几何体的定义 对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间 图形就叫做空间几何体. 例如，一个牛奶包装箱可以抽象出长方体. (2)定理的实质 多面体及其相关概念 ①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体. ②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面BCC'B'等. ③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱AA'，棱BB'等. ④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点A，B，A'等. (3)旋转体及其相关概念 ①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭 的旋转面围成的几何体叫做旋转体. 图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线OAA'O'绕OO'所在的直线旋转而形成的. ②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线OO'是该旋转体的轴. 2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征 棱柱 棱锥 棱台 定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台. 相关概念 (1)底面(底)：两个互相平行的面； (2)侧面：其余各面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：侧面与底面的公共顶点. (1)底面(底):多边形面； (2)侧面：有公共顶点的各个三角形面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：各侧面的公共顶点. (1)上底面：原棱锥的截面； (2)下底面：原棱锥的 底面 . (3)侧面：其余各面. (4)侧棱：相邻侧面的公共边； (5)顶点：侧面与底面的公共顶点. 图形及表示 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' (或六棱柱AD'). 棱锥S-ABCD(或四棱锥 S - A C ) 棱台ABCD-A'B'C'D' 结构特征 (1)底面互相平行且全等； (2)侧面都是平行四边形； (3)侧棱都相等，且互相平行. (1)底面是多边形； (2)侧面都是三角形； (3)侧面有一个公共顶点. (1)上、下底面互相平行，且是相似图形； (2)各侧棱的延长线交于一点； (3)各侧面为梯形. 分类 棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱…… 棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥…… 由几棱锥截得的就叫几 棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台. 3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 圆柱 圆锥 圆台 球 定 义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部 分叫做圆台. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球. 相关概念 (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线 (5)顶点：母线的交点. (1)上底面：原圆锥的截面. (2)下底面：原圆锥的底面. (3)轴：上、下底面圆心的连线所在的直线. (4)侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面. (5)母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分. (1)球心：半圆的圆心. (2)半径：连接球心和球面上任意一点 的线段. (3)直径：连接球面上两点并且经过球心的线段. 图形及表示 圆柱OO' 圆锥SO 圆台OO' 球O 结 构 特 征 (1)圆柱两个底面是圆面而不是圆. (2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等. (3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. (1)底面是圆面. (2)有无数条母线，长度相等且交于顶点. (3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形. (1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面. (2)有无数条母线，等长且延长线交于一点. (3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴 的截面(轴截面)是全等的等腰梯形. (1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半 径)的所有点的集合. (2)球的截面都是圆面. 棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体. 4．简单组合体的结构特征 (1)简单组合体的定义 由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体. (2)简单组合体的构成形式 ①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示. ②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示. (3)常见的几种组合体 ①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到. ②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到. ③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成. 5．正方体的截面形状的探究 通过尝试、归纳，有如下结论. (1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形. (2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四 边形中至少有一组对边平行. (3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是 正五边形. (4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形. 对应截面图形如图中各图形所示 【题型1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征】 【例1.1】（24-25高一·全国·随堂练习）下列命题正确的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 【解题思路】根据常见几何体的基本特征判断各选项即可. 【解答过程】对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，可能是棱台或组合图形，故A错误； 对于B，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故B错误； 对于C，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故C正确； 对于D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故D错误. 故选：C. 【例1.2】（24-25高一下·全国·课后作业）下列几何体中不是棱锥的为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由棱锥的定义判断即可. 【解答过程】根据棱锥的定义，B、C、D中的几何体是棱锥，A中的几何体不是棱锥. 故选：A. 【变式1.1】（23-24高一下·全国·课后作业）下列命题中为真命题的是（    ） A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D．正四棱柱是平行六面体 【解题思路】根据空间几何体的几何特征和性质即可结合选项逐一求解. 【解答过程】对于A，当底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，故A错误； 对于B，棱柱的上、下底面可能不是平行四边形，比如三棱柱，五棱柱等，故B错误； 对于C，可以是两对称面为矩形的平行六面体，故C错误； 对于D，正四棱柱是平行六面体，故D正确. 故选：D. 【变式1.2】（24-25高一下·全国·课后作业）下列几何体不属于棱柱的是（    ） A．   B．   C．   D．   【解题思路】根据棱柱的定义即可求解. 【解答过程】根据棱柱的定义可知A为三棱柱，B为四棱柱，C为五棱柱， 不属于棱柱的图形只有D选项. 故选：D. 【题型2 旋转体的结构特征】 【例2.1】（23-24高一下·天津南开·期末）给出下列命题： ①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台； ④用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形． 其中正确命题是（    ）． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【解题思路】根据圆锥母线的定义、棱台的定义、圆台的定义、平面与圆柱底面的位置关系即可依次判断． 【解答过程】解：①根据圆锥的母线的定义，可知①正确； ②把梯形的腰延长后有可能不交于一点，此时得到几何体就不是棱台，故②错误； ③根据圆台的定义，可知③正确； ④当平面不与圆柱的底面平行且不垂直于底面时，得到的截面不是圆和矩形，故④错误． 故选：B． 【例2.2】（23-24高一下·天津武清·阶段练习）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形，则该圆锥的高是（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】设此圆的底面半径为，高为，母线为，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出，再根据勾股定理，即可求出此圆锥高． 【解答过程】设此圆的底面半径为，高为，母线为， ∵圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形， ∴， 又，解得， 因此，此圆锥的高． 故选：C． 【变式2.1】（23-24高二上·上海奉贤·期中）下列命题正确的是（    ） A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 【解题思路】根据圆锥、圆柱、圆台的特点判断各选项即可. 【解答过程】对于A，根据圆锥的特点，以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥，故A正确； 对于B，以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故B错误； 对于C，圆柱、圆台都有两个底面，而圆锥只有一个底面，故C错误； 对于D，圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误. 故选：A. 【变式2.2】（23-24高一下·天津和平·阶段练习）下列命题中不正确的是（    ） A．圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面 B．正四棱锥的侧面都是正三角形 C．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 D．以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台 【解题思路】由正四棱锥的概念判断B；由旋转体的结构特征判断A、C、D． 【解答过程】对于A：圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故A正确； 对于B：正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故B错误； 对于C：用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故C正确； 对于D：以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台，故D正确． 故选：B． 【题型3 简单组合体的结构特征】 【例3.1】（23-24高一下·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【解题思路】根据组合体基本构成即可得答案. 【解答过程】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成. 故选：B. 【例3.2】（24-25高一下·河南商丘·阶段练习）某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（    ）    A．该几何体的面是等边三角形或正方形 B．该几何体恰有12个面 C．该几何体恰有24条棱 D．该几何体恰有12个顶点 【解题思路】根据几何体的形状逐个选项判断即可. 【解答过程】据图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有14个面，B不正确；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正确． 故选：B. 【变式3.1】（24-25高一·全国·课后作业）如图所示的简单组合体的组成是（    ） A．棱柱、棱台 B．棱柱、棱锥 C．棱锥、棱台 D．棱柱、棱柱 【解题思路】直接观察,即可出答案. 【解答过程】由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成. 故选：B. 【变式3.2】（23-24高二上·上海虹口·期末）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有面的个数及棱长分别为（    ） A．26， B．24 ， C．26， D．24 ， 【解题思路】将该多面体分为三层，分别数出每一层的面数，求和即可得正多面体的面数；设正多面体的棱长为，作出该几何体的截面，为正八边形，利用多面体棱长与正方体的棱长的关系列方程即可求解 【解答过程】可以将该多面体分为三层，上层个面，中层个面，下层个面，上下底各个面， 所以共有个面， 设正多面体的棱长为，作出该几何体的截面如图，截面图为正八边形， 由图可得，， 因为为等腰直角三角形，所以，即， 解得：，所以该多面体的棱长为， 故选：A. 【题型4 平面图形旋转形成的几何体】 【例4.1】（23-24高一下·全国·课后作业）能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将A、B、C、D选项图形绕对称轴旋转可知A选项符合题意. 【解答过程】此几何体自上向下是由一个圆锥和一个圆台构成，是由A中的平面图形旋转形成的. 故选：A. 【例4.2】（24-25高一下·全国·课后作业）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（    ） A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆台、一个圆柱 C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥 【解题思路】画出等腰梯形，考虑较长的底边，旋转可得形状． 【解答过程】设等腰梯形，较长的底边为， 则绕着底边旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥， 轴截面如图， 故选：D. 【变式4.1】（24-25高一下·广东河源·开学考试）如图是由哪个平面图形旋转得到的（    ）    A．   B．   C．   D．   【解题思路】根据圆柱、圆锥与圆台的定义，判断选项中的图形旋转一周后所得到的几何体的形状，进而可得结果. 【解答过程】A中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱，不合题意； B中图形旋转得到两个相同底面的圆锥，不合题意； C中图形旋转得到相同底面的圆柱与圆锥，不合题意； D中图形旋转得到一个圆台与一个圆锥，合题意. 故选：D. 【变式4.2】（23-24高一下·陕西榆林·期中）下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（    ） A．   B．   C．   D．   【解题思路】由旋转体的结构特征逐一分析四个选项得答案． 【解答过程】由图可知，A选项中的直角梯形绕给出的轴旋转一周，能形成圆台， B选项中的半圆绕给出的轴旋转一周，能形成球体， C选项中的矩形绕给出的轴旋转一周，能形成圆柱， D选项中的直角三角形绕给出的轴旋转一周，能形成圆锥． 故选：A. 【题型5 空间几何体的截面问题】 【例5.1】（24-25高一·全国·课后作业）圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据截面在圆柱底面所形成的截痕直接判断即可. 【解答过程】圆柱底面为正三棱锥底面三角形的外接圆，如下图所示， 则过棱锥的一条侧棱和高作截面，棱锥顶点为圆柱上底面的中心，可得截面图如下图， 故选：D. 【例5.2】（23-24高二上·北京·阶段练习）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5） 【解题思路】应用空间想象，讨论截面与轴截面的位置关系判断截面图形的形状即可. 【解答过程】当截面如下图为轴截面时，截面图形如（1）所示； 当截面如下图不为轴截面时，截面图形如（5）所示，下侧为抛物线的形状； 故选：D. 【变式5.1】（24-25高一·全国·课后作业）一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设三棱锥的各棱长均相等，由确定的平面，得到截面，再由正四面体的性质和图象的对称性加以分析，同时对照选项，即可求解. 【解答过程】如图所示，设三棱锥的各棱长均相等，球是它的内切球， 设为底面的中心，根据对称性可得内切球的球心在三棱锥的高上， 由确定的平面交于，连接，得到截面， 截面就是经过侧棱与中点的截面， 平面与内切球相交，截得的球大圆如图所示， 因为中，圆分别与相切于点，且，圆与相离， 所对照各个选项，可得只有B项的截面符合题意， 故选B. 【变式5.2】（24-25高一下·全国·课后作业）图中的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤ 【解题思路】分截面经过圆柱上下底面的圆心和截面不经过圆柱上下底面的圆心两种情况，分别讨论，进而可得出答案. 【解答过程】当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确； 当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为一条曲线，所以⑤正确； 故选:D. 模块二 立体图形的直观图 1．空间几何体的直观图 (1)直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全 在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同. 在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. (2)斜二测画法及其步骤 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其 步骤是： ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y' 轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=(或)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别面成平行于x'轴或y'轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度 为原来的一半. (3)旋转体及其相关概念 斜二测画法画空间几何体的直观图的规则 画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有 以下规则. ①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段. ②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原 来的一半. ③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系 (1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积 . (2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：=.即若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 【题型6 斜二测画法的辨析】 【例6.1】（2024高一下·全国·专题练习）关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是（ ） A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B．正方形的直观图为平行四边形 C．梯形的直观图不是梯形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形 【解题思路】根据斜二测画法的性质判断BC的正误，根据特例可判断AD的正误. 【解答过程】对于B，由于直角在直观图中有的成为，有的成为, 但直观图的平行关系依然保留，故B正确. 对于C，梯形的直观图一定是梯形，故C错误. 对于D，如图等边三角形中，为的中点，设， 则，则在直观图中，，， 故，， 故三角形不为等腰三角形，故AD错误. 故选：B. 【例6.2】（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．不相等的线段在直观图中对应的线段一定不相等 D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 【解题思路】根据正方体的直观图可判断；利用矩形邻边满足的直观图可判断,易知正确. 【解答过程】如图，由正方形的直观图是平行四边形可知错误，易知正确. 项，如图，矩形的邻边满足, 其直观图的邻边是相等的，故错误. 故选：D. 【变式6.1】（23-24高一下·全国·课后作业）利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图可能仍是正方形； ④菱形的直观图是一定是菱形． 以上结论，正确的是（    ） A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 【解题思路】根据斜二测画法画直观图的画法规则，对各结论逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】由斜二测画直观图的画法知：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，保持长度不变；已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，长度变为原来的一半. 对于①：三角形的直观图是三角形，①正确； 对于②：平行四边形的直观图是平行四边形，②正确； 对于③：正方形的直观图是平行四边形，③错误； 对于④：菱形的直观图是平行四边形，④错误； 故选：A. 【变式6.2】（23-24高一上·河北衡水·周测）对于用“斜二侧画法”画平面图形的直观图，下列说法正确的是（　　） A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B．梯形的直观图可能不是梯形 C．正方形的直观图为平行四边形 D．正三角形的直观图一定是等腰三角形 【解题思路】根据斜二侧画法画水平放置的平面图形时的画法原则，逐一对各个选项判断分析，即可得到答案． 【解答过程】根据斜二侧画法画水平放置的平面图形时的画法原则，可知： 选项A，如图1，因为等腰三角形顶点在上，画直观图时，顶点在轴上，如图2，故，所以选项A错误； 选项B，梯形的上下底平行，在直观图中仍然平行，两腰不平行，在直观图中仍然不平行，且长度不变，所以梯形的直观图仍是梯形，所以选项B错误； 选项C，因为正方形的对边平行，所以在直观图中仍然平行，故正方形的直观图为平行四边形，所以选项C正确； 选项D，如下图3，因为等边三角形顶点在上，画直观图时，顶点在轴上，如图4，故，所以选项D错误； 故选：C． 【题型7 画立体图形的直观图】 【例7.1】（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在中，边上的高，试用斜二测画法画出其直观图．    【解题思路】根据斜二测画法的定义和步骤即可求解. 【解答过程】（1）在中建立如图①所示的平面直角坐标系， 再建立如图②所示的坐标系，使. (2)在坐标系中，在轴上截取； 在轴上截取，使. (3)连接，擦去辅助线，得到，即为的直观图(如图③所示).    【例7.2】（2024高一下·全国·专题练习）有一个正六棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 【解题思路】借助直观图的画法逐步画出即可得. 【解答过程】（1）先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示． （2）过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示． （3）连接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图③所示． （4）擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示． 【变式7.1】（2024高一下·全国·专题练习）用斜二测画法画出下列图形： (1)水平放置的边长为的正方形； (2)水平放置的梯形和平行四边形； 【解题思路】根据题意，结合斜二测画法的规则，即可画出平面图形的直观图. 【解答过程】（1）解：在已知正方形中，，取所在直线为轴， 如图所示， 画出对应的轴，使，，，如图所示， 即四边形即为正方形的直观图.    （2）解：取等腰梯形底边的中点，连接，以为原点，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图所示， 画出对应的轴，使，结合斜二测画法的画法，如图所示， 可得等腰梯形的直观图为，    以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 画出对应的轴，使，结合斜二测画法的画法，如图所示， 可得平行四边形的直观图为.    【变式7.2】（2024高一下·全国·专题练习）用斜二测画法画出正六棱锥（底面是正六边形，点与底面正六边形的中心的连线垂直于底面）的直观图（尺寸自定）． 【解题思路】根据给定条件，利用斜二测画法规则，按画底面再确定顶点的步骤作出正六棱锥的直观图. 【解答过程】（1）画底面： ①在正六边形中，的中点为，的中点为， 以所在直线为轴，所在直线为轴，两轴相交于点（如图①所示）， 画相应的轴、轴和轴，三轴交于点，使，（如图②所示），    ②在图②中，以为中点，在轴上取，在轴上取， 以为中点画平行于轴，并且等于；再以为中点画平行于轴，并且等于， ③连接，得到底面正六边形的直观图， （2）画顶点：在轴的正半轴上任意选取一点（不含点）为， （3）成图：连接，，，，，，并擦去轴， 加以整理（将被遮挡的线改为虚线），便得到正六棱锥的直观图（如图③所示）．    【题型8 由直观图还原几何图形】 【例8.1】（23-24高一下·黑龙江·期中）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据斜二测画法的规则进行判断. 【解答过程】由斜二测画法的规则，与轴平行的线段长度不变， 注意到正方形的对角线在轴上，对角线长为， 经过斜二测画法后对角线会变为原来的一半， 故原图的对角线长是，只有A符合题意. 故选：A. 【例8.2】（24-25高一·全国·课后作业）如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是的边中点，，分别与′轴、′轴平行，则三条线段，，中（   ） A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是 C．最长的是，最短的是 D．最长的是，最短的是 【解题思路】根据直观图，画出原图形，可知，根据直角三角形的边角关系，可直接得出结论. 【解答过程】由直观图可知轴，根据斜二测画法规则，在原图形中应有，又为边上的中线， ∴为直角三角形，如图所示； 为边上的中线，则有最长，最短． 故选：B. 【变式8.1】（23-24高一下·河南新乡·期中）如图所示，水平放置的用斜二测画法画出的直观图为，其中，，那么为（ ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．三边互不相等的三角形 【解题思路】利用斜二测画法还原，即可分析判断得解. 【解答过程】根据斜二测画法还原，则，且， 因此，且， 所以为等腰直角三角形. 故选：B. 【变式8.2】（23-24高一下·重庆·期中）如图所示是水平放置的的直观图，其中，则原是一个（    ）    A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【解题思路】根据斜二测画法的规则求解即可. 【解答过程】    将水平放置的的直观图还原，可知， 由勾股定理有，注意到， 所以三角形是等腰三角形，不是等边三角形， 由大边对大角可知，三角形中最大角的余弦， 即三角形中最大角是锐角，三角形是锐角三角形，不是直角三角形， 综上所述，只有C选项符合题意， 故选：C. 【题型9 斜二测画法中有关量的计算】 【例9.1】（23-24高一下·广东广州·期中）如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（   ）    A． B．1 C． D． 【解题思路】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【解答过程】利用斜二测画法的定义，画出原图形，    由是等腰直角三角形，，斜边，得， 因此，， 所以原平面图形的面积是. 故选：A. 【例9.2】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）如图所示，梯形 是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图， ， ，则平面图形中对角线的长度为（    ） A． B． C． D．5 【解题思路】由直观图知原几何图形是直角梯形再结合勾股定理求出对角线即可. 【解答过程】由直观图知原几何图形是直角梯形，如图， 由斜二测法则知 ， ， 所以 ． 故选：A． 【变式9.1】（24-25高一上·全国·期中）用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示，边平行于y轴，平行于x轴，若四边形为等腰梯形，且，则原四边形的周长为（    ）． A． B． C． D． 【解题思路】根据斜二测画法画法，结合题中条件求出各边边长，即可求出结果. 【解答过程】记四边形所对应的原四边形为四边形， 由题意可得，原四边形中，、都与轴平行，即四边形是直角梯形， 因为，四边形为等腰梯形， 所以， 所以，，， 因此， 所以原四边形的周长为. 故选：D. 【变式9.2】（23-24高一下·湖北荆州·阶段练习）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形.已知，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【解题思路】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关. 【解答过程】还原平面图如下图，    对于A，根据斜二测画法可得，故A错误; 对于B，，，B正确; 对于C，过作交于点，则， 由勾股定理得，故四边形的周长为： ，即C错误； 对于D，四边形的面积为：，即D错误. 故选：B. 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）有下列四个命题，其中正确的是（    ） A．底面是矩形的平行六面体是长方体 B．棱长相等的直平行六面体是正方体 C．有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 D．对角线相等的平行六面体是直平行六面体 【解题思路】由长方体的结构特征判断A；由正方体的结构特征判断B；由直平行六面体的结构特征判断C、D. 【解答过程】对于A，底面是矩形的平行六面体，它的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，即A不正确； 对于B，若底面是菱形，则棱长都相等的直四棱柱不是正方体，故B不正确； 对于C，若侧棱垂直于底面两条平行边，则侧棱不一定垂直于底面，故侧棱垂直于底面两条边的平行六面体不一定是直平行六面体．故C不正确；. 对于D，若平行六面体对角线相等，则对角面皆是矩形，于是可得侧棱垂直于底面，因此对角线相等的平行六面体是直平行六面体，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）下列几何体中是旋转体的是（    ） ①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体． A．①和⑤ B．①和② C．③和④ D．①和④ 【解题思路】根据旋转体的定义判断. 【解答过程】根据旋转体的定义可得圆柱和球体为旋转体. 故选：D. 3．（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中错误的是（    ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．相等的角在直观图中不一定相等 C．平行的线段在直观图中仍然平行 D．互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直 【解题思路】根据斜二测画法的作图规则结合反例，判断各选项. 【解答过程】如图：四边形为正方形， 由斜二测画法可得其直观图如下： 对于A，因为，而， 故相等的线段在直观图中仍然相等这种说法错误，A错误； 对于B，因为，而 故相等的角在直观图中不一定相等这种说法正确，B正确； 对于C，由斜二测画法性质可得平行的线段在直观图中仍然平行，C正确； 对于D，因为，而不垂直， 所以互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直这种说法正确，D正确. 故选：A. 4．（2024高二·浙江·专题练习）正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的不可能图形为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依次分析各个选项中截面出现的情况即可. 【解答过程】对于A，当截面平行于正方体的一个侧面时，可得A中截面； 对于B，当截面不平行于任何侧面，也不经过正方体的体对角线时，可得B中截面； 对于C，当截面过正方体的体对角线时，可得C中截面； 对于D，截面中的四边形为正方形，且四个顶点均在球的表面；过球心的截面不可能作出D中截面. 故选：D. 5．（24-25高一下·全国·课后作业）将如图所示的由斜二测画法得到的直观图还原成平面图形是（    ） A．任意梯形 B．直角梯形 C．任意四边形 D．平行四边形 【解题思路】根据所给的图形中，可得到原图形为一个直角梯形． 【解答过程】因为直观图中，， 所以原平面图形中，， 因为直观图中，， 所以原平面图形中，， 综上，原平面图形是直角梯形. 故选：B． 6．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ） A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成 B．一个球、一个长方体、一个棱台构成 C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成 D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成 【解题思路】根据组合体基本构成即可得答案. 【解答过程】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成. 故选：B. 7．（24-25高一·全国·随堂练习）下列命题正确的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 【解题思路】根据常见几何体的基本特征判断各选项即可. 【解答过程】对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，可能是棱台或组合图形，故A错误； 对于B，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故B错误； 对于C，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故C正确； 对于D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故D错误. 故选：C. 8．（23-24高一下·福建三明·期末）用斜二测画法画△ABC的直观图为如图所示的△，其中，，则△ABC的面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 【解题思路】由已知有，根据斜二测画法易知：原直角坐标系中轴，△中边上的高等于的长，即可求面积. 【解答过程】由题设，△和△均为等腰直角三角形， 所以，即轴，原直角坐标系中轴， 而，则， 在△中边上的高等于的长，又， 所以△ABC的面积为. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）下列命题中为假命题的是（    ） A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同 C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D．正四棱柱是平行六面体 【解题思路】根据棱柱的几何特征和性质，结合选项逐一判断. 【解答过程】对于选项A，当直四棱柱的底面不是矩形的时候就不是长方体，A错误； 对于选项B，棱柱的两个底面全等，则棱柱中至少有两个面的形状完全相同，B正确： 对于选项C，可以是两对称面是矩形的平行六面体，C错误； 对于选项D，正四棱柱是平行六面体，D正确． 故选：AC． 10．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示的空间图形是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的复杂空间图形，现用一个竖直的平面去截这个复杂空间图形，则截面图形可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由组合体结构特征，用一个平面截几何体，根据平面不同截法判断截面轮廓，即可得答案. 【解答过程】一个圆柱被挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的截面轮廓是矩形去掉上侧一条边， 而圆锥截面的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分，且三角形顶点必在矩形下侧底边中点上、抛物线顶点不可能在矩形下侧底边上，排除B,C. 故选：AD. 11．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）如图所示，用斜二测画法作水平放置的的直观图，得，其中，是边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据斜二测画法作出的水平放置的直观图和平面直角坐标系中图形关系，进行辨析即可． 【解答过程】由直观图知为直角三角形，在平面直角坐标系中如图所示， ，，，为的中点， 又，故A，B错误，C，D正确． 故选：CD. 三、填空题 12．（23-24高一下·浙江·期中）水平放置的的直观图是一个如图所示的等腰直角三角形，点是斜边的中点，且，则底边的高为 .    【解题思路】把的直观图在平面直角坐标系中还原即可求解. 【解答过程】在等腰直角三角形中，点是斜边的中点，且， 所以，把平面直观图还原为原图形，如图所示：    则底边的高为，且. 故答案为：. 13．（23-24高一下·全国·单元测试）如图，已知圆柱的高为h，底面半径为，轴截面为矩形，在母线上有一点，且，在母线上取一点，使，则圆柱侧面上P、Q两点的最短距离为 ．      【解题思路】根据两点之间，线段最短，把圆柱的半个侧面展开，是一个下长为，宽为的矩形，然后展开图形根据勾股定理即可得解. 【解答过程】如图，把圆柱的半个侧面展开，是一个下长为，宽为的矩形，    ，，过作，为垂足，所以， 即可把放在一个直角边为和的直角三角形中， 根据勾股定理可得： . 故答案为：. 14．（24-25高二·全国·课后作业）下列命题中，真命题的是 ①②⑤ ．（选填序号） ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ②球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径； ③用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆； ④以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的曲面叫做球； ⑤空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面． 【解题思路】根据球的相关概念和性质即可求解. 【解答过程】解：对于①，球的半径是球面上任意一点与球心连线的线段，所以①对. 对于②，球的任意两个大圆的交点的连线经过球心，所以是球的直径，所以②对. 对于③，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，而不是圆，所以③错. 对于④，以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的曲面叫做球面，而不是球，所以④错. 对于⑤，空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面，故⑤对. 故答案为：①②⑤. 四、解答题 15．（24-25高一·全国·课堂例题）指出下图中的空间图形是由哪些简单空间图形割补而成的．      【解题思路】由空间几何体的结构特征可得. 【解答过程】左图中的空间图形是由一个六棱柱挖去一个圆柱所成的． 右图中的空间图形可以看作是由一个长方体割去一个四棱柱所成的， 也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的． 实际上，右图也可以看作一个柱体，它的底面为一个凹多边形．              16．（2024高一下·全国·专题练习）有一个正六棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 【解题思路】借助直观图的画法逐步画出即可得. 【解答过程】（1）先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示． （2）过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示． （3）连接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图③所示． （4）擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示． 17．（24-25高一·江苏·课后作业）如图所示，长方体.    (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. 【解题思路】（1）根据棱柱的定义判断即可； （2）根据棱柱的定义以及棱柱的表示方法求解即可. 【解答过程】（1）是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义．因为底面是四边形，所以长方体是四棱柱； （2）截面BCNM上方部分是棱柱，且是三棱柱，其中和是底面. 截面BCNM下方部分也是棱柱，且是四棱柱， 其中四边形和是底面. 18．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【解题思路】（1）利用直观图与原图形的关系作图即可得； （2）利用直观图的性质计算可得原图形对应边长，即可计算原图形的高与面积. 【解答过程】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，，则即为原来的图形，如图②所示： （2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高， 且， 在直观图中作于点， 则的面积， 在直角三角形中，，所以， 所以. 故原图形中边上的高为，原图形的面积为. 19．（23-24高一下·河北·期中）如图，正方体的棱长为6，M是的中点，点N在棱上，且. (1)作出过点D，M，N的平面截正方体所得的截面，写出作法； (2)求（1）中所得截面的周长. 【解题思路】（1）如图所示，五边形即为所求截面，得到答案. （2）根据相似得到各线段长度，再计算周长得到答案. 【解答过程】（1）如图所示，五边形即为所求截面. 作法如下：连接并延长交的延长线于点E，连接交于点F， 交的延长线于点H，连接交于点Q，连接，， 所以五边形即为所求截面. （2）因为，所以，得. 因为，所以，得， 则，，所以， ，， 则截面的周长为. 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$