高二上学期期末模拟测试卷（一）-2024-2025学年高二数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019选择性必修）

2024-2025学年高二上学期期末模拟测试卷（一） 【人教A版2019】范围：第1章-第4章 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由斜率公式求解即可. 【详解】直线AB的斜率为. 故选：B 2．已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．65 B．75 C．80 D．85 【答案】D 【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式可求出结果. 【详解】设公差为， 依题意得，解得， 所以. 故选：D 3．方程表示焦距为的双曲线，则实数λ的值为（    ） A．1 B．-4或1 C．-2或-4或1 D．-2或1 【答案】A 【分析】分类讨论和分别小于0时的情况，即可得到实数λ的值 【详解】解：由题意 在双曲线中，焦距即 当即时， 解得：（舍）或 当即时， 解得：（舍）或（舍） 综上， 故选：A. 4．数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＝1﹣（n≥2，n∈N*），则S2021＝（　　） A．1009 B． C． D．1010 【答案】A 【分析】直接利用数列的递推关系式求出数列的周期，进一步求出数列的和． 【详解】解：数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＝1﹣（n≥2，n∈N*）， 所以，，，......， 故数列的周期为3； 所以， 所以． 故选：A． 5．如图，在三棱锥中，设，，，若， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接OM，ON，利用向量的线性运算可求的表示形式，从而可得正确的选项. 【详解】连接OM，ON， 则 ． 故选：A． 6．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1+a2+a3＝2，S6＝9S3，则S9＝（　　） A．50 B．100 C．146 D．128 【答案】C 【分析】根据题意，分析可得S6﹣S3＝16，进而由等比数列的性质可知，，即S9﹣S6＝128，变形可得答案． 【详解】解：根据题意：S3＝a1+a2+a3＝2，S6＝9S3＝18， 则S6﹣S3＝18﹣2＝16， 根据等比数列的性质可知，S3，S6﹣S3，S9﹣S6构成等比数列， 故，即S9﹣S6＝128， 故S9＝S6+128＝146， 故选：C． 7．一束光线，从点出发，经轴反射到圆上的最短路径的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点关于轴对称点，连接交轴于点，交圆于点，根据三角形三边关系可确定为所求的最短距离，由可求得结果. 【详解】由圆的方程可得：圆心坐标，半径， 设点关于轴对称点为，则， 连接交轴于点，交圆于点，则为所求的最短距离， 证明如下：任取轴上一点，则（当且仅当三点共线时取等号）， ， 即最短路径的长度为. 故选：A. 8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分等腰三角形以为底或一腰两种情况讨论，在第一种情况下，直接确定点为椭圆短轴的端点，在第二种情况下，分析可知，在每个象限内均存在点，使得或，设点在第一象限，结合两点间的距离公式可得出关于、的不等式，即可求出该椭圆离心率的取值范围. 【详解】如下图所示：    （1）当点与椭圆短轴的顶点重合时，是以为底边的等腰三角形， 此时，有个满足条件的等腰； （2）当构成以为一腰的等腰三角形时， 以为底边为例，则或，此时点在第一或第四象限， 由对称性可知，在每个象限内，都存在一个点，使得是以为一腰的等腰三角形， 不妨设点在第一象限，则，其中， 则， 或， 由可得，所以，，解得， 由可得，所以，，解得， 综上所述，该椭圆的离心率的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正方体，下列选项中，能成为空间中的一组基底的为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据正方体图形直观的判断选项A正确；根据三个向量的共面的判断方法即可判断选项B、D错误，选项 C正确. 【详解】空间中的一组基底由3个不共面的向量构成. 对于A选项，两两正交，所以可以成为空间中一组基底，A正确； 对于B选项，因为，所以，所以，，共面，故不能成为空间中的一组基底，B错误； 对于C选项，，在平面上，而与平面不平行，所以，，不共面，可以成为空间中的一组基底，C正确； 对于D选项，因为，所以，故不能成为空间中的一组基底，D错误， 故选：AC. 10．下列说法不正确的有（    ） A．直线的倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在轴和轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是3 【答案】ABD 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可判断A；根据直线的斜率公式即可判断B；分直线是否过原点讨论即可判断C；根据直线的截距式即可判断D. 【详解】对于A，当倾斜角为时，斜率为， 当倾斜角为时，斜率为，故A错误； 对于B，当时，斜率不存在，故B错误； 对于C，当直线过原点时，直线方程为， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则，解得， 所以直线方程为， 综上所述，经过点且在轴和轴上截距相等的直线有2条，故C正确； 对于D，直线，即， 故直线直线在y轴上的截距是，故D错误. 故选：ABD. 11．对于数列，设其前项和，则下列命题正确的是（    ） A．若数列为等比数列，且成等差数列，则也成等差数列 B．若数列为等比数列，则 C．若数列为等差数列，则数列成等差数列 D．若数列为等差数列，且，则使得的最小的值为 【答案】AC 【分析】利用等差等比数列的定义及等差数列的中项公式，结合等差等比数列的通项公式及前项和公式即可求解. 【详解】对于A，因为数列为等比，且成等差数列，所以，所以，，即，于是有，所以，所以也成等差数列，故A正确； 对于B，因为数列为等比数列，当时， ，所以，故B错误； 对于C，因为数列为等差数列，所以，所以是关于的一次函数，所以数列成等差数列，故C正确； 对于D，因为数列为等差数列，且，所以，即，又，所以，所以 ，即,解得，所以使得的最小的值为，故D错误. 故选：AC. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆（）与轴相切，则 . 【答案】 【分析】求出圆心到轴的距离即可求得半径为. 【详解】根据题意可知圆心到轴的距离等于半径， 又，解得. 故答案为： 13．如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为 个.(用含n的代数式表示) 【答案】 【分析】从图（1）、图（2）、图（3）、…的个数之和找到对应的数字规律. 【详解】由图，第1个图中有6个化学键和6个原子； 第2个图中有11个化学键和10个原子； 第3个图中有16个化学键和14个原子， 观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子， 则第n个图有个化学键和个原子，所以总数为. 故答案为： 14．如图，棱长为1的正方体上有两个动点分别从顶点A、C同时出发并做匀速直线运动，最后同时到达顶点B、D，则在运动的过程中，两个动点间的最小距离为 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，假设两动点间距离最小时点对应的坐标分别为，结合题意和空间两点间距离公式得到，再利用二次函数的性质即可求解. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 根据题意可得：两动点间距离最小值坐标分别为，，， 由空间两点间距离公式可得 ， 因为，所以当时，取最小值， 故答案为：. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且它们的离心率之和为，求双曲线的标准方程、渐近线方程、实轴长和虚轴长. 【答案】双曲线的标准方程为：；渐近线方程；实轴长为，虚轴长为. 【解析】先由椭圆的标准方程求出椭圆的焦点坐标和离心率，进而可得双曲线的焦点坐标和离心率，进而可得双曲线的标准方程，再计算渐近线，实轴长为，虚轴长为. 【详解】由可知椭圆中，，所以，解得： 所以椭圆的焦点坐标为和，离心率为， 不妨设双曲线方程为，则其离心率， 由得：，所以，， 故所求双曲线的标准方程为：. 渐近线方程. 实轴长为，虚轴长为. 16．（15分）在递增的等比数列中，，，其中. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出的首项、公比即可作答. （2）利用分组求和法及等比数列前n项和公式求和作答. 【详解】（1）由，等比数列是递增数列，得， 因此数列的公比，则， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）得，， . 17．（15分）已知直线l：与圆C：交于A，B两点． (1)求圆C的弦AB的长； (2)若直线m与直线l平行，且与圆C相切，求直线m的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）求出圆心到直线的距离，利用弦长公式即可求出. （2）设出直线的方程，利用点到直线的距离公式列方程，化简求得直线的方程. 【详解】（1）圆C：，其中圆心，半径r＝3， 圆心C到直线l的距离， 可得. （2）∵直线m与直线l平行，∴可设直线m的方程为：， 又直线m与圆C相切，有，可得或， ∴直线m的方程为：或． 18．（17分）如图，平面ABCD，，‖，‖，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．    (1)求证：‖平面CPM； (2)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求线段QN的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】 （1）连接EM，则根据题意可证得四边形EMCF为平行四边形，则‖，然后由线面平行的判定定理可证得结论， （2）由题意可得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求即可. 【详解】（1）证明：连接EM，因为‖，‖，， 所以‖，，所以四边形ABQP为平行四边形， 又点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点， 则‖，，， 所以‖，且， 所以四边形EMCF为平行四边形，所以‖， 又平面CPM，平面CPM， 所以‖平面CPM； （2）因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 因为，所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为轴建如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，，，， ，，，， 设平面QPM的一个法向量为，则， 令，则； 设，则， 所以，， 由题意直线DN与平面QPM所成的角为， 则，解得或（舍）， 所以，即线段QN的长为．    19．（17分）平面直角坐标系内有一定点，定直线，设动点P到定直线的距离为d，且满足． (1)求动点P的轨迹方程； (2)直线过定点Q，与动点P的轨迹交于不同的两点M，N，动点P的轨迹与y的负半轴交于A点，直线分别交直线于点H、K，若，求k的取值范围． 【答案】(1)动点P的轨迹方程为椭圆 (2) 【分析】（1）设动点P的坐标为，根据题意列式再化简方程求解即可； （2）设，再根据的直线方程得出，联立直线与椭圆的方程，得出韦达定理与判别式中的范围，进而将韦达定理代入化简可得，结合判别式中的范围即可得 【详解】（1）设动点P的坐标为，因为， 所以，即，整理得． 所以动点P的轨迹方程为椭圆． （2）设，由（1）可得A的坐标为， 故直线，令，则，同理． 直线，由，消去y得， 故，解得或． 又，故， 又 ， ∵， 故，即， 综上，或． 所以k的取值范围是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二上学期期末模拟测试卷（一） 【人教A版2019】范围：第1章-第4章 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．65 B．75 C．80 D．85 3．方程表示焦距为的双曲线，则实数λ的值为（    ） A．1 B．-4或1 C．-2或-4或1 D．-2或1 4．数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＝1﹣（n≥2，n∈N*），则S2021＝（　　） A．1009 B． C． D．1010 5．如图，在三棱锥中，设，，，若， ，则（    ） A． B． C． D． 6．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1+a2+a3＝2，S6＝9S3，则S9＝（　　） A．50 B．100 C．146 D．128 7．一束光线，从点出发，经轴反射到圆上的最短路径的长度是（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正方体，下列选项中，能成为空间中的一组基底的为（    ） A． B． C． D． 10．下列说法不正确的有（    ） A．直线的倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在轴和轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是3 11．对于数列，设其前项和，则下列命题正确的是（    ） A．若数列为等比数列，且成等差数列，则也成等差数列 B．若数列为等比数列，则 C．若数列为等差数列，则数列成等差数列 D．若数列为等差数列，且，则使得的最小的值为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆（）与轴相切，则 . 13．如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为 个.(用含n的代数式表示) 14．如图，棱长为1的正方体上有两个动点分别从顶点A、C同时出发并做匀速直线运动，最后同时到达顶点B、D，则在运动的过程中，两个动点间的最小距离为 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且它们的离心率之和为，求双曲线的标准方程、渐近线方程、实轴长和虚轴长. 16．（15分）在递增的等比数列中，，，其中. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 17．（15分）已知直线l：与圆C：交于A，B两点． (1)求圆C的弦AB的长； (2)若直线m与直线l平行，且与圆C相切，求直线m的方程． 18．（17分）如图，平面ABCD，，‖，‖，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．   (1)求证：‖平面CPM； (2)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求线段QN的长． 19．（17分）平面直角坐标系内有一定点，定直线，设动点P到定直线的距离为d，且满足． (1)求动点P的轨迹方程； (2)直线过定点Q，与动点P的轨迹交于不同的两点M，N，动点P的轨迹与y的负半轴交于A点，直线分别交直线于点H、K，若，求k的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$