精编模拟试卷·数学(7)-【步步维赢】2025年高考数学精编模拟

则ｈ′（ａ）＝１－ｌｎａ－ａ×１ａ＝－ｌｎａ ， 由ｈ′（ａ）＞０可得０＜ａ＜１，由ｈ′（ａ）＜０ 可得ａ＞１， 因此ｈ（ａ）在（０，１）上 单 调 递 增，在（１，＋∞）上 单 调 递减， 从而ｈ（ａ）ｍａｘ＝ｈ（１）＝１－０＝１，所以ｈ（ａ）＝ａ－ａｌｎａ ≤１， 又因为ｈ（ａ）＝ａ－ａｌｎａ≥１， 所以ｈ（ａ）＝ａ－ａｌｎａ＝１， 由以上证明可知ｈ（１）＝１，所以ａ＝１． 故满足条件的实数ａ的值为１． 精编模拟试卷·数学（七） １．Ｄ　２．Ｂ　３．Ｂ　４．Ｄ　５．Ａ　６．Ｂ　７．Ｄ　８．Ｂ　９．ＡＣ １０．ＣＤ　１１．ＡＢＤ　１２．ＢＣＤ １３．１　１４．７　１５．２３　１６． π ２ １７．解　（１）由ｎｂｎ＋１－（ｎ＋１）ｂｎ＝ｎ（ｎ＋１）， 两边同除以ｎ（ｎ＋１），得 ｂｎ＋１ ｎ＋１－ ｂｎ ｎ＝１ ， 从而数列 ｂｎ｛ ｝ｎ 为首项ｂ１１＝１， 公差ｄ＝１的等差数列， 所以 ｂｎ ｎ＝ｎ （ｎ∈Ｎ） 数列｛ｂｎ｝的通项公式为ｂｎ＝ｎ２． 当ｎ＝１时，Ｓ１＝２ａ１－１＝ａ１，所以ａ１＝１． 当ｎ≥２时，Ｓｎ＝２ａｎ－１，Ｓｎ－１＝２ａｎ－１－１， 两式相减得ａｎ＝２ａｎ－１， 又ａ１＝１≠０，所以 ａｎ ａｎ－１ ＝２， 从而数列｛ａｎ｝为首项ａ１＝１，公比ｑ＝２的等比数列， 从而数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ＝２ｎ－１（ｎ∈Ｎ）． （２）ｃｎ＝（－１）ｎ－１· ４（ｎ＋１） （２ｎ＋１）（２ｎ＋３［ ］） ＝（－１）ｎ－１ １２ｎ＋１＋ １ ２ｎ＋（ ）３ ， Ｔ２ｎ＝ｃ１＋ｃ２＋ｃ３＋…＋ｃ２ｎ－１＋ｃ２ｎ ＝１３＋ １ ５－ １ ５－ １ ７＋ …－ １４ｎ＋１－ １ ４ｎ＋３＝ １ ３－ １ ４ｎ＋３ （ｎ∈Ｎ）． １８．解　（１）在△ＡＢＣ中，由ｂ＝槡５，ｃ＝槡２，∠Ｂ＝４５°， 由余弦定理，ｂ２＝ａ２＋ｃ２－２ａｃｃｏｓＢ，得５＝２＋ａ２－ 槡２× ２×ａ×槡２２ ，解得ａ＝３或ａ＝－１（舍去）， 所以ＢＣ＝ａ＝３，Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ａｃｓｉｎＢ＝ １ ２× 槡３× ２× 槡２ ２＝ ３ ２． （２）在△ＡＢＣ中，由正弦定理 ｂｓｉｎＢ＝ ｃ ｓｉｎＣ ，即 槡５ ｓｉｎ４５° ＝ 槡２ｓｉｎＣ ，得ｓｉｎＣ＝槡５５ ，又ｂ＝槡５＞ｃ＝槡２，所以∠Ｃ为 锐角， 方法一　由上，ｃｏｓＣ＝ １－ｓｉｎ２槡 Ｃ＝ 槡２ ５５ ， 由ｃｏｓ∠ＡＤＢ＝４５ （∠ＡＤＢ为锐角）， 得ｓｉｎ∠ＡＤＢ＝ １－ｃｏｓ２∠槡 ＡＤＢ＝ １－１６槡 ２５＝３５， ｓｉｎ∠ＤＡＣ＝ｓｉｎ（∠ＡＤＢ－∠Ｃ）＝ｓｉｎ∠ＡＤＢ·ｃｏｓＣ －ｃｏｓ∠ＡＤＢ·ｓｉｎＣ＝３５× 槡２ ５ ５ － ４ ５× 槡５ ５＝ 槡２ ５ ２５ ， 由 图 可 知，∠ＤＡＣ 为 锐 角，则 ｃｏｓ∠ＤＡＣ ＝ １－ｓｉｎ２∠槡 ＤＡＣ ＝ 槡１１ ５２５ ，所 以 ｔａｎ ∠ＤＡＣ ＝ ｓｉｎ∠ＤＡＣ ｃｏｓ∠ＤＡＣ＝ ２ １１． 方法二　由上，ｔａｎＣ＝１２ ， 由ｃｏｓ∠ＡＤＢ＝４５ （∠ＡＤＢ为锐角）， 得ｔａｎ∠ＡＤＢ＝３４ ， 因为∠ＡＤＢ＋∠ＡＤＣ＝π， 所以ｔａｎ∠ＡＤＣ＝－３４ ， 故ｔａｎ∠ＤＡＣ＝ｔａｎ ［π－ （∠ＡＤＣ＋ ∠Ｃ）］＝ －ｔａｎ（∠ＡＤＣ＋∠Ｃ） ＝ － ｔａｎ∠ＡＤＣ＋ｔａｎＣ１－ｔａｎ∠ＡＤＣ·ｔａｎＣ ＝ － －（ ）３４ ＋１２ １－ －（ ）３４ ×１２ ＝２１１． １９．解　（１）设吉利研究所出成果为事件Ａ，北汽科研中心 出成果为事件Ｂ，长城攻坚站出成果为事件Ｃ． 若三个团队中只有长城攻坚站出成果， 则Ｐ（珡Ａ）Ｐ（珚Ｂ）Ｐ（Ｃ）＝１１２ ， 即 １－（ ）１２ （１－ｍ）×１４＝１１２，解得ｍ＝１３． 吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一 个出成果 的 概 率 为Ｐ＝Ｐ（Ａ）Ｐ（珚Ｂ）＋Ｐ（珚Ａ）Ｐ（Ｂ）＋ Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）＝１２× ２ ３＋ １ ２× １ ３＋ １ ２× １ ３＝ ２ ３． （２）Ｘ的可能取值为０，１，２，３， Ｐ（Ｘ＝０）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｃ）＝１２× ２ ３× ３ ４＝ １ ４ ， Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（珚Ｂ）Ｐ（珚Ｃ）＋Ｐ（珡Ａ）Ｐ（Ｂ）Ｐ（珚Ｃ）＋ Ｐ（珡Ａ）Ｐ（珚Ｂ）Ｐ（Ｃ）＝１２× ２ ３× ３ ４＋ １ ２× １ ３× ３ ４＋ １ ２ ×２３× １ ４＝ １１ ２４ ， Ｐ（Ｘ＝２）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）Ｐ（珚Ｃ）＋Ｐ（珡Ａ）Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｃ）＋ Ｐ（Ａ）Ｐ（珚Ｂ）Ｐ（Ｃ）＝１２× １ ３× ３ ４＋ １ ２× １ ３× １ ４＋ １ ２× ２ ３× １ ４＝ １ ４ ， Ｐ（Ｘ＝３）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｃ）＝１２× １ ３× １ ４＝ １ ２４ ， 所以Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ Ｐ １４ １１ ２４ １ ４ １ ２４ Ｅ（Ｘ）＝０×１４＋１× １１ ２４＋２× １ ４＋３× １ ２４＝ １３ １２． ２０．（１）证明　因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以ＡＤ⊥ＣＤ． 因为点Ｄ在以ＡＰ 为直径的圆上， 所以ＡＤ⊥ＤＰ， 又ＣＤ∩ＤＰ＝Ｄ， ＣＤ，ＤＰ平面ＰＤＣ，所以ＡＤ⊥平面ＰＤＣ． 因为ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ平面ＰＢＣ，ＢＣ平面ＰＢＣ，所 以ＡＤ∥平面ＰＢＣ． 因为平面ＰＢＣ∩平面ＰＡＤ＝ｍ， 所以ＡＤ∥ｍ，所以直线ｍ⊥平面ＰＤＣ． （２）解　设ＰＤ＝ｘ，所 以ＡＤ＝ ４－ｘ槡 ２（０＜ｘ＜２                                                                        ）， １１－案答考参 Ｓ△ＰＡＤ＝ １ ２ ·ｘ· ４－ｘ槡 ２． 因 为 平 面 ＰＡＤ⊥ 平 面 ＡＢＣＤ，交 线 为 ＡＤ，且 ＡＢ⊥ＡＤ，所 以 ＡＢ⊥ 平 面 ＰＡＤ，而 ＰＡ 平 面 ＰＡＤ，所 以 ＡＢ⊥ＰＡ．在 Ｒｔ△ＰＡＢ 中，ＰＢ＝槡７， ＰＡ＝２，有ＡＢ＝槡３． 因为ＶＰ－ＡＢＤ＝ＶＢ－ＰＡＤ， 所以ＶＰ－ＡＢＤ ＝ＶＢ－ＰＡＤ＝１３ ·Ｓ△ＰＡＤ·ＡＢ＝槡３６ · ｘ２（４－ｘ２槡 ）≤槡３６· ｘ２＋４－ｘ２ ２ ＝ 槡３ ３ ， 当且仅当ｘ２＝４－ｘ２，即ｘ＝槡２时，等号成立， 此时ＰＤ＝ＡＤ＝槡２，ＰＣ＝槡５． 如 图，建 立 空 间 直 角 坐 标系， 可得Ｐ（０，０，槡２）， Ａ（槡２，０，０），Ｂ（槡２，槡３，０）， Ｃ（０，槡３，０）， 所以 → ＰＡ＝（槡２，０，－槡２）， → ＡＢ＝（０，槡３，０）， → ＣＢ＝（槡２，０， ０）， → ＰＣ＝（０，槡３，－槡２）， 设平面ＰＡＢ和平面ＰＢＣ的法向量分别为 ｍ＝（ｘ０，ｙ０，ｚ０）和ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 由 ｍ· → ＰＡ＝０， ｍ· → ＡＢ＝｛ ０  槡２ｘ０－槡２ｚ０＝０，槡３ｙ０＝０｛ ， 所以ｍ＝（１，０，１）， 由 ｎ· → ＣＢ＝０， ｎ· → ＰＣ＝｛ ０  槡２ｘ＝０，槡３ｙ－槡２ｚ＝０｛ ， 所以ｎ＝（０，－２，－槡６）， 所以ｃｏｓ〈ｍ，ｎ〉＝ ｍ ·ｎ ｜ｍ｜｜ｎ｜＝ －槡６ 槡 槡２× １０ ＝－槡３０１０ ， 所 以 平 面 ＰＢＣ 与 平 面 ＰＢＡ 夹 角 的 余 弦 值 为 －槡３０１０ ． ２１．解 　 （１）由 条 件 可 得 椭 圆 Ｃ 的 另 一 个 焦 点 为Ｆ１（２，０）， 所以２ａ＝ ４２＋槡 槡 槡２＋ ２＝４ ２，所以ａ＝ 槡２ ２， ｃ＝２，ｂ＝２， 所以椭圆的方程为ｘ ２ ８＋ ｙ２ ４＝１ ， 卫星圆的方程为ｘ２＋ｙ２＝１２． （２）｜ＭＮ｜的长度为定值 槡４ ３，证明过程如下： ①当ｌ１，ｌ２ 中有一条无斜率时，不妨设ｌ１无斜率， 因为ｌ１ 与椭圆只有一个交点，则其方程 为ｘ＝ 槡２ ２ 或ｘ＝－ 槡２ ２， 当方程为ｘ＝ 槡２ ２时， 此时ｌ１与“卫星圆”交于点（槡２２，２）和（槡２２，－２）， 此时经过点（槡２ ２，２），（槡２ ２，－２）且与椭圆只有一个 交点的直线是ｙ＝２或ｙ＝－２，即ｌ２ 为ｙ＝２或ｙ＝ －２，所以ｌ１⊥ｌ２， 所以线段ＭＮ 是“卫星圆”的直径， 所以｜ＭＮ｜＝ 槡４ ３． ②当ｌ１，ｌ２ 都有斜率时，设点Ｐ（ｘ０，ｙ０）， 其中ｘ２０＋ｙ２０＝１２， 设经过点Ｐ（ｘ０，ｙ０）与椭圆只有一 个 交 点 的 直 线 为 ｙ＝ｔ（ｘ－ｘ０）＋ｙ０， 则 ｙ＝ｔｘ＋（ｙ０－ｔｘ０） ｘ２ ８＋ ｙ２ ４＝１ 烅 烄 烆 ， 消去ｙ得 到（１＋２ｔ２）ｘ２＋４ｔ（ｙ０－ｔｘ０）ｘ＋２（ｙ０－ ｔｘ０）２－８＝０， 所以Δ＝（６４－８ｘ２０）ｔ２＋１６ｘ０ｙ０ｔ＋３２－８ｙ２０＝０， 所以ｔ１·ｔ２＝ ３２－８ｙ２０ ６４－８ｘ２０ ＝ ３２－８（１２－ｘ２０） ６４－８ｘ２０ ＝－１， 所以ｔ１·ｔ２＝－１，满足条件的两直线ｌ１，ｌ２垂直． 所以线段 ＭＮ 是“卫 星 圆”的 直 径，所 以｜ＭＮ｜＝ 槡４ ３， 综合①②知，｜ＭＮ｜＝ 槡４ ３为定值． ２２．解　（１）∵ｆ（ｘ）＝ａｌｎ２ｘ＋２ｘ（１－ｌｎｘ）， 其定义域为（０，＋∞）， 则ｆ′（ｘ）＝２ｌｎｘ （ａ－ｘ） ｘ ，ｘ＞０，且ｆ′（１）＝０， ①若ａ≤０，当０＜ｘ＜１时，ｆ′（ｘ）＞０， 即函数ｆ（ｘ）在（０，１）上单调递增， 当ｘ＞１时，ｆ′（ｘ）＜０， 函数ｆ（ｘ）在（１，＋∞）上单调递减， ②当０＜ａ＜１时，令ｆ′（ｘ）＝０， 解得ｘ＝１或ｘ＝ａ， 当ａ＜ｘ＜１时，ｆ′（ｘ）＞０，函数ｆ（ｘ）单调递增， 当ｘ＞１或０＜ｘ＜ａ时，ｆ′（ｘ）＜０，函 数ｆ（ｘ）单 调 递减， ∴ｆ（ｘ）在（ａ，１）上单调递增，在（０，ａ），（１，＋∞）上单 调递减； ③当ａ＝１时，ｆ′（ｘ）≤０恒 成 立，即 函 数ｆ（ｘ）在 （０，＋∞）上单调递减； ④当ａ＞１时，当１＜ｘ＜ａ时，ｆ′（ｘ）＞０，函数ｆ（ｘ）单 调递增， 当ｘ＞ａ或０＜ｘ＜１时，ｆ′（ｘ）＜０，函 数ｆ（ｘ）单 调 递减， ∴ｆ（ｘ）在（１，ａ）上单调递增，在（０，１），（ａ，＋∞）上单 调递减． （２）令ｇ（ｘ）＝ｅ２ｆ（ｘ）－２ａ２＝０， 即ｆ（ｘ）＝２ａ ２ ｅ２ 有且仅有３个零点， ∴依题意，ｙ＝ｆ（ｘ）与ｙ＝２ａ ２ ｅ２ 的图象有三个交点， ∴由（１）知，必有０＜ａ＜１和ａ＞１， ①当０＜ａ＜１时，ｆ（ｘ）在（ａ，１）上单调递增， 在（０，ａ），（１，＋∞）上单调递减； ∴ｆ（ｘ）的极小值为ｆ（ａ）＝ａｌｎ２ａ＋２ａ（１－ｌｎａ），极大 值为ｆ（１）＝２， 又ｆ（ａ）＝ａｌｎ２ａ＋２ａ（１－ｌｎａ）＝ａ（ｌｎ２ａ＋２－２ｌｎａ） ＝ａ［（ｌｎａ－１）２＋１］＞ａ＞２ａ ２ ｅ２ ， ∴ｙ＝ｆ（ｘ）与ｙ＝２ａ ２ ｅ２ 的 图 象 至 多 有１个 交 点，所 以 舍去； ②当ａ＞１时，ｆ（ｘ）在（１，ａ）上 单 调 递 增，在（０，１）， （ａ，＋∞）上单调递减． ∴ｆ（ｘ）的极小值为ｆ（１）＝２，极大值为ｆ（ａ）＝ａｌｎ２ａ ＋２ａ（１－ｌｎａ）， ∴只有当２＜２ａ ２ ｅ２ ＜ａ（ｌｎ２ａ＋２－２ｌｎａ）成立， ｙ＝ｆ（ｘ）与ｙ＝２ａ ２ ｅ２ 的图象才有三个交点， 当２＜２ａ ２ ｅ２ 时，ａ＞ｅ，下 面 只 需 要 求 解 不 等 式２ａ ２ ｅ２ ＜ａ（ｌｎ２ａ＋２－２ｌｎａ）， 即２ａ ｅ２ ＜ｌｎ２ａ＋２－２ｌｎａ的解集， 令ｌｎａ＝ｔ，则２ａ ｅ２ ＜ｌｎ２ａ＋２－２ｌｎａ等 价 于２ｅｔ－２ ＜ｔ２＋２－２ｔ                                                                        ， ２１－案答考参 设ｈ（ｔ）＝ｔ２＋２－２ｔ－２ｅｔ－２， 则ｈ′（ｔ）＝２ｔ－２－２ｅｔ－２， 令ｕ（ｔ）＝２ｔ－２－２ｅｔ－２， 则ｕ′（ｔ）＝２－２ｅｔ－２，令ｕ′（ｔ）＝０，则ｔ＝２， 且当ｔ＜２时，ｕ′（ｔ）＞０，函数ｕ（ｔ）单调递增， 当ｔ＞２时，ｕ′（ｔ）＜０，函数ｕ（ｔ）单调递减， 又ｕ（２）＝０，∴ｕ（ｔ）≤０，即ｈ（ｔ）单调递减， 又ｈ（２）＝０， ∴当ｔ＜２时，ｈ（ｔ）＞０， 即ｌｎａ＝ｔ＜２，得到０＜ａ＜ｅ２， 综上，ｅ＜ａ＜ｅ２． 精编模拟试卷·数学（八） １．Ｃ　２．Ｃ　３．Ｃ　４．Ｃ　５．Ｃ　６．Ｃ　７．Ａ　８．Ａ ９．ＡＣＤ　１０．ＡＢＣ　１１．ＡＣ　１２．ＣＤ １３．ｙ＝±槡３ｘ　１４．－槡５５　１５．１００７　１６． 槡３ ３ １７．解　（１）ａｎａｎ＋１＝２ｐｎ＋１　①，令ｎ＝１， 则ａ１ａ２＝２ｐ＋１，又ａ１＝２，所以ａ２＝２ｐ． ａｎ＋１ａｎ＋２＝２ｐｎ＋ｐ＋１　②， ② ① 得 ａｎ＋２ ａｎ ＝２ｐ，故ａ４＝２ｐａ２＝（２ｐ）２． 若－ａ１， １ ２ａ２ ，ａ４ 成等差数列，则ａ４－２＝ａ２， 即（２ｐ）２－２＝２ｐ， 解得２ｐ＝２，即ｐ＝１． （２）若｛ａｎ｝为等比数列，则由ａ１＞０，ａ２＞０， 故此数列的首项和公比均为正数． 设其公比为ｑ，因为 ａｎ＋２ ａｎ ＝２ｐ， 所以ｑ２＝２ｐ，ｑ＝２ ｐ ２，故２ ｐ ２＝ ａ２ ａ１ ＝２ ｐ ２ ，得ｐ＝２． 此时ａ１＝２，ｑ＝２，所以ａｎ＝２ｎ， 故ａｎａｎ＋１＝２２ｎ＋１， 故２ｐｎ＋ｌ＝２２ｎ＋１，因此ｐ＝２， 所以数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ＝ ２（１－２ｎ） １－２ ＝２ ｎ＋１－２． １８．解　（１）由ｃｏｓＡ＝槡３ｓｉｎＢ及Ｃ＝１２０°， 得ｃｏｓ（６０°－Ｂ）＝槡３ｓｉｎＢ， 整理得１ ２ｃｏｓＢ＋ 槡３ ２ｓｉｎＢ－槡３ｓｉｎＢ＝０ ， 即ｃｏｓ（Ｂ＋６０°）＝０， 又０＜Ｂ＜６０°，所以Ｂ＝３０°． 所以Ａ＝６０°－Ｂ＝３０°，即Ａ＝Ｂ＝３０°， 所以ＢＣ＝ＡＣ＝５． （２）由Ｓ△ＢＣＤ＝ １ ２ＢＣ ·ＢＤｓｉｎＢ＝ 槡１５ ３４ ，ＢＣ＝５， ｓｉｎＢ＝ｓｉｎ３０°＝１２ ， 解得ＢＤ＝ 槡３ ３． 在△ＢＣＤ 中，由 余 弦 定 理 得，ＣＤ２＝ＢＣ２＋ＢＤ２－ ２ＢＣ·ＢＤｃｏｓＢ＝７，所以ＣＤ＝槡７， 在△ＢＣＤ中，由正弦定理得， ＢＣｓｉｎ∠ＢＤＣ＝ ＣＤ ｓｉｎＢ ， 即 ５ ｓｉｎ∠ＢＤＣ＝ 槡２ ７ ，所以ｓｉｎ∠ＢＤＣ＝ 槡５ ７１４． １９．（１）证明　如图，连接ＡＣ，交ＢＤ于点Ｏ，连接ＯＥ，则 Ｏ为ＡＣ的中点， ∵Ｅ是ＡＤ１ 的中点，∴ＯＥ∥ＣＤ１， ∵ＯＥ平面ＢＤＥＦ，ＣＤ１平面ＢＤＥＦ， ∴ＣＤ１∥平面ＢＤＥＦ， 又Ｆ是ＡＢ１ 的中点，∴ＥＦ∥Ｂ１Ｄ１． ∵ＥＦ平面ＢＤＥＦ，Ｂ１Ｄ１平面ＢＤＥＦ， ∴Ｂ１Ｄ１∥平面ＢＤＥＦ， 又ＣＤ１，Ｂ１Ｄ１平面ＣＢ１Ｄ１，Ｂ１Ｄ１∩ＣＤ１＝Ｄ１， ∴平面ＢＤＥＦ∥平面ＣＢ１Ｄ１． （２）解　取ＡＢ的中点Ｍ，连接ＤＭ， 在菱形ＡＢＣＤ中，∵∠ＡＤＣ＝１２０°， ∴△ＡＢＤ为正三角形，则ＤＭ⊥ＤＣ， 由ＤＤ１⊥平面ＡＢＣＤ， 故以ＤＭ，ＤＣ，ＤＤ１所在直线分别为ｘ，ｙ，ｚ轴，建立 如图所示的空间直角坐标系， 则Ｄ（０，０，０），Ｂ（３，槡３，０），Ｅ ３２ ，－槡３２ ，（ ）１ ， Ｂ１（３，槡３，２）， ∴ＤＢ → １＝（３，槡３，２）， → ＤＢ＝（３，槡３，０）， → ＤＥ＝ ３ ２ ，－槡３２ ，（ ）１ ， 设平面ＢＤＥＦ的法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 则 ｎ· → ＤＢ＝０， ｎ· → ＤＥ＝０｛ ，即 ３ｘ＋槡３ｙ＝０， ３ ２ｘ－ 槡３ ２ｙ＋ｚ＝０ 烅 烄 烆 ， 令ｘ＝１，则ｙ＝－槡３，ｚ＝－３，∴ｎ＝（１，－槡３，－３）， 设直线ＤＢ１与平面ＢＤＥＦ所成的角为θ， 则ｓｉｎθ＝｜ｃｏｓ〈ＤＢ → １，ｎ〉｜＝ ＤＢ → １·ｎ ｜ＤＢ → １｜｜ｎ｜ ＝ 槡３ １３２６ ，故 直线ＤＢ１与平面ＢＤＥＦ所成角的正弦值为 槡３ １３２６ ． ２０．解　（１）由题意可知，直线ｌ的方程为ｙ＝ｘ－ｐ２ ，设 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 联立 ｙ２＝２ｐｘ， ｙ＝ｘ－ｐ２ 烅 烄 烆 ，得ｘ ２－３ｐｘ＋ｐ ２ ４＝０ ，Δ＞０， 所以ｘ１＋ｘ２＝３ｐ， 直线ＡＢ过焦点Ｆ， 所以｜ＡＢ｜＝ｘ１＋ｘ２＋ｐ＝４ｐ＝１６， 所以ｐ＝４， 故抛物线Ｃ的方程为ｙ２＝８ｘ． （２）联立 ｙ ２＝８ｘ， ｙ＝ｘ－２｛ ，得ｘ２－１２ｘ＋４＝０，Δ＞０， 所以ｘ１＋ｘ２＝１２，ｘ１ｘ２＝４， 设点Ｐ（－２，ｔ），则 → ＰＡ＝（ｘ１＋２，ｙ１－ｔ）， → ＰＢ＝（ｘ２＋２，ｙ２－ｔ）， 由Ｐ在以ＡＢ 为直径的圆上知，ＰＡ⊥ＰＢ， 即 → ＰＡ· → ＰＢ＝（ｘ１＋２）（ｘ２＋２）＋（ｙ１－ｔ）（ｙ２－ｔ） ＝２ｘ１ｘ２－ｔ（ｘ１＋ｘ２）＋８＋４ｔ＋ｔ２＝０． 即ｔ２－８ｔ＋１６＝０，解得ｔ＝４． 所以存在点Ｐ（－２，４）符合题意． ２１．解　（１）①记事件Ａ为“甲答对了某道题”，事件Ｂ为 “甲确实会做”， 则Ｐ（Ａ）＝１２＋ １ ２× １ ５＝ ３ ５ ，Ｐ（ＡＢ）＝１２ ， 所以Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ （ＡＢ） Ｐ（Ａ）＝ ５ ６． ②随机变量Ｘ可取０，１，２，３，４，甲答对某道题的概率 为Ｐ（Ａ）＝１２＋ １ ２× １ ５＝ ３ ５ ， 则Ｘ～Ｂ ４，（ ）３５                                                                        ， ３１－案答考参 数学答题卡·７－１　 精编模拟试卷（七） 数学答题卡 一、单项选择题：共４０分（需用２Ｂ铅笔填涂）　 　　　正确填涂　　　 １［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］　 ２［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］　 ３［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］　 ４［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ ５［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ ６［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ ７［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ ８［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ 二、多项选择题：共２０分 ９［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ １０［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ １１［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ １２［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ 三、填空题：共２０分（需使用０．５毫米黑色签字笔书写） １３．　　　　　　１４．　　　　　　１５．　　　　　　１６．　　　　　 空 白 区 域 请 勿 答 题 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡·７－２　 四、解答题：共７０分（需使用０．５毫米黑色签字笔书写） １７．（１０分） （１） （２） １８．（１２分） （１） （２） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡·７－３　 １９．（１２分） （１） （２） ２０．（１２分） （１） （２） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡·７－４　 ２１．（１２分） （１） （２） ２２．（１２分） （１） （２） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ７－１　 精编模拟试卷·数学（七） （时间：１２０分钟　满分：１５０分） 一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 １．已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ２－３ｘ－４＜０｝，Ｂ＝｛－４，１，３，５｝，则Ａ∩Ｂ＝ （　　 ） Ａ．｛－４，１｝ Ｂ．｛１，５｝ Ｃ．｛３，５｝ Ｄ．｛１，３｝ ２．已知ｉ为虚数单位，则４－３ｉ１＋ｉ＝ （　　 ） Ａ．１２＋ ７ ２ｉ Ｂ． １ ２－ ７ ２ｉ Ｃ． ５ ２＋ ３ ２ｉ Ｄ． ５ ２－ ３ ２ｉ ３．函数在ｆ（ｘ）＝１２ｋｘ ２－ｘｌｎｘ在区间（０，ｅ］上单调递增，则ｋ的取值范围是 （　　 ） Ａ．［０，＋∞） Ｂ．［１，＋∞） Ｃ．［２ｅ ，＋∞） Ｄ．（－∞，１］ ４．已知Ｆ１，Ｆ２ 是椭圆Ｃ： ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的左、右焦点，Ａ是Ｃ 的左顶点，点Ｐ在过Ａ 且斜率为槡３ ６ 的直线上，△ＰＦ１Ｆ２ 为等腰三角形，∠Ｆ１Ｆ２Ｐ＝１２０°，则Ｃ的离心率为 （　　） Ａ．２３ Ｂ． １ ２ Ｃ． １ ３ Ｄ． １ ４ ５．若倾斜角为锐角的直线Ｌ：ｙ＝ｋｘ＋槡２＋１与圆Ｃ：ｘ２＋ｙ２－２ｘ－２ｙ－２＝０交于Ａ、Ｂ两 点，当三角形ＡＢＣ的面积最大时，直线Ｌ的斜率为 （　　 ） 槡 槡 槡Ａ．２ ２ Ｂ．２ Ｃ．２＋１ Ｄ．１ ６．已知向量ａ＝（０，２），ｂ＝ 槡２ ３，（ ）ｘ ，且ａ与ｂ的夹角为π３，则ｘ＝ （　　） Ａ．－２ Ｂ．２ Ｃ．１ Ｄ．－１ ７．在等差数列｛ａｎ｝中，ａ３＋ａ５＝ａ４＋７，ａ１０＝１９，则数列｛ａｎｃｏｓｎπ｝的前２０２０项的和为 （　　 ） Ａ．１００９ Ｂ．１０１０ Ｃ．２０１９ Ｄ．２０２０ ８．已知θ∈（０，π），ｃｏｓθ＝－３５ ，则ｓｉｎ２θ＝ （　　 ） Ａ．－１２２５ Ｂ．－ ２４ ２５ Ｃ．－ ４ ５ Ｄ． ４ ５ ７－２　 二、选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分。 ９．下列说法正确的是 （　　） Ａ．一组数据由１０个正数组成，其方差为１，平方和为１００，则这１０个数的平均数为３ Ｂ．某次分层抽样中，已知一班抽取的６名同学答对题目个数的平均数为１，方差为１；二 班抽取的４名同学答对题目个数的平均数为１．５，方差为０．３５，则这１０人答对题目个 数的方差为０．８ Ｃ．将一组数据中的每个数据都乘以３后，方差也变为原来的３倍 Ｄ．一组数据ｘ１，ｘ２，……，ｘ１００的平均数是５，方差为１，现将其中一个值为５的数据剔除 后，余下９９个数据的方差还是１ １０．已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋４ｘ ，ｇ（ｘ）＝ｘ２－ａｘ＋１，若对任意ｘ１∈［１，３］．及对任意ｘ２∈［１，３］， 都有ｆ（ｘ１）≥ｇ（ｘ２），则实数ａ的值可以是 （　　） Ａ．－２ Ｂ．－３ Ｃ．２ Ｄ．３ １１．下列函数中，既是奇函数，又在（０，＋∞）上单调递增的有 （　　） Ａ．ｙ＝ｘ １ ３ Ｂ．ｙ＝ｘ＋ｓｉｎｘ Ｃ．ｙ＝ｘｃｏｓｘ Ｄ．ｙ＝ｌｏｇ２ ｘ２＋槡 １＋（ ）ｘ １２．在 棱 长 为２的 正 方 体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，点Ｅ 为ＤＤ１ 的 中 点，点 Ｐ 是 正 方 形 ＢＣＣ１Ｂ１ 内部（含边界）的一个动点，则下列说法正确的是 （　　） Ａ．存在唯一一点Ｐ，使得ＤＰ⊥Ａ１Ｃ１ Ｂ．存在唯一一点Ｐ，使得直线ＤＰ与平面ＢＣＣ１Ｂ１ 所成角取到最小值 Ｃ．若直线Ｄ１Ｐ∥平面ＡＥＣ，则点Ｐ的轨迹长度为槡５ Ｄ．若 → ＢＰ＝２３ＢＣ → １，则三棱锥Ｐ－ＡＥＣ的体积为 １０ ９ 三、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分。 １３．已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３（ａ·２ｘ－２－ｘ）是偶函数，则ａ＝　　　　． １４．１＋２ｘ－１（ ）ｘ （１＋ｘ）６ 展开式中ｘ２ 的系数为　　　　． １５．已 知 点 Ｇ 是△ＡＢＣ 的 重 心，若∠Ａ＝１２０°， → ＡＢ· → ＡＣ＝－２，则｜ → ＡＧ｜的 最 小 值 是 　　　　． １６．某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖 杯，奖杯 的 剖 面 图 形 如 图 所 示，其 中 扇 形ＯＡＢ 的 半 径 为１０，∠ＰＢＡ＝ ∠ＱＡＢ＝６０°，ＡＱ＝ＱＰ＝ＰＢ，若 按 此 方 案 设 计，工 艺 制 造 厂 发 现，当ＯＰ 最长时，该奖杯比较美观，此时∠ＡＯＢ＝　　　　． ７－３　 四、解答题：本题共６小题，共７０分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 １７．（１０分）已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，满足Ｓｎ＝２ａｎ－１（ｎ∈Ｎ），且ｂ１＝１． （１）证明数列 ｂｎ烅 烄 烆 烍 烌 烎ｎ 为等差数列，并求数列｛ａｎ｝和｛ｂｎ｝的通项公式； （２）若ｃｎ＝（－１）ｎ－１ ４（ｎ＋１） （３＋２ｌｏｇ２ａｎ）（３＋２ｌｏｇ２ａｎ＋１） ，求数列｛ｃｎ｝的前２ｎ项和Ｔ２ｎ． ７－４　 １８．（１２分）在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，已知ｂ＝槡５， ｃ＝槡２，∠Ｂ＝４５°． （１）求边ＢＣ的长和△ＡＢＣ的面积； （２）在边ＢＣ上取一点Ｄ，使得ｃｏｓ∠ＡＤＢ＝４５ ，求ｔａｎ∠ＤＡＣ的值． ７－５　 １９．（１２分）目前，新能源汽车尚未全面普及，原因在于技术水平有待提高，国内几家大型汽 车生产商的科研团队已经独立开展研究工作．吉利研究所、北汽科研中心、长城攻坚站 三个团队两年内各自出成果的概率分别为１ ２ ，ｍ，１４． 若三个团队中只有长城攻坚站出成 果的概率为１ １２． （１）求吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率及ｍ的值； （２）三个团队有Ｘ个在两年内出成果，求Ｘ的分布列和均值． ７－６　 ２０．（１２分）如图，在四棱锥ＰＡＢＣＤ 中，四边形ＡＢＣＤ是矩形，点Ｄ在以 ＡＰ 为直径的 圆 上，平 面ＰＡＤ⊥平 面ＡＢＣＤ，ＰＡ＝２，ＰＢ＝槡７，平 面 ＰＢＣ∩平面ＰＡＤ＝ｍ． （１）证明：直线ｍ⊥平面ＰＤＣ； （２）当三棱锥ＰＡＢＤ 体积最大时，求平面ＰＢＣ与平面ＰＢＡ 夹角的余弦值． ７－７　 ２１．（１２分）给定椭圆Ｃ：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０），称圆心在原点Ｏ，半径为 ａ２＋ｂ槡 ２的圆是椭圆 Ｃ的“卫星圆”．若椭圆Ｃ的一个焦点为Ｆ（－２，０），点（２，槡２）在椭圆Ｃ上． （１）求椭圆Ｃ的方程和其“卫星圆”方程； （２）点Ｐ是椭圆Ｃ的“卫星圆”上的一个动点，过点Ｐ的直线ｌ１，ｌ２ 与椭圆Ｃ都只有一个 交点，且ｌ１，ｌ２ 分别交其“卫星圆”于点 Ｍ，Ｎ．试探究：｜ＭＮ｜的 长 是 否 为 定 值？若 为 定 值，写出证明过程；若不是，说明理由． ７－８　 ２２．（１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ａｌｎ２ｘ＋２ｘ（１－ｌｎｘ），ａ∈Ｒ． （１）讨论函数ｆ（ｘ）的单调性； （２）若函数ｇ（ｘ）＝ｅ２ｆ（ｘ）－２ａ２ 有且仅有３个零点，求ａ的取值范围．（其中 常 数ｅ＝ ２．７１８２８…是自然对数的底数）