第16章 分式（十三题型压轴专练）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版）

第16章 分式 压轴专练 题型一、分式恒等式 1．如果分式，那么A，B的值是(　　) A．A＝－2，B＝5 B．A＝2，B＝－3 C．A＝5，B＝－2 D．A＝－3，B＝2 2．已知，则 ． 3．阅读材料，完成下列任务： 部分分式分解，我们知道，将一个多项式转化成若干整式的积的形式，叫做分解因式．分解因式的结果中，每一个因式的次数都低于原来多项式的次数．而有一些特殊的分式可以分解成若干分式的和的形式，我们称之为部分分式分解． 例如：将部分分式分解的方法如下： 因为 所以设 去分母，得 整理，得 所以解得 所以，即 显然，部分分式分解的结果中，各分母的次数都低于原分式分母的次数． 任务： （1）将部分分式分解； （2）已知分分式分解的结果是，则的值为_______． 题型二、分式中的规律 1．按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 2．一组按规律排列的式子：，…，其中第7个式子是 ，第n个式子是 （用含n的式子表示，n为正整数）． 3．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 题型三、分式方程中的规律 1．观察下列式子的变形规律： ①，②，③，④，…… 请尝试回答下面问题： 若，则的值为（   ） A．1000 B．998 C．1 D．2 2．阅读资料： 使等式成立的x的值为或； 使等式成立的x的值为或； 使等式成立的x的值为或； …… 按此规律，使等式成立的m的值为 ． 3．先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，；… (1)观察上述方程的解，猜想关于x的方程的解是________； (2)根据上面的规律，猜想关于x的方程的解是________． (3)根据上述规律，解关于y的方程． 题型四、根据分式方程解情况求参 1．使得关于的分式方程有正整数解，且关于的不等式组至少有2个整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 2．若方程有增根，则增根为 ， ． 3．已知关于x的方程：的解是正数，求m的取值范围 题型五、分式方程中的无解 1．若关于x的方程无解，则m的值为（   ） A． B．或 C． D．或 2．若关于的方程无解，则的值为 ． 3．已知关于的方程． (1)若，解这个分式方程； (2)若分式方程无解，求的值． 题型六、真假分式 1．阅读材料：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：， 当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，； 假分式也可以化为带分式，即整式与真分式和的形式，如： ． (1)思考：分式是______分式（填“真”或“假”）． (2)探究：将假分式化为带分式______． (3)拓展：先化简，并求x取何整数时，该式的值为整数． 2．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如． 解决下列问题： (1)分式是　　（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 3．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式， 假分数可以化成1（即1）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 解决下列问题： (1)分式是____________（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式可化为带分式的形式为___________________； (3)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； (4)若分式的值为m，则m的取值范围是_______________（直接写出结果）． 题型七、分式中的裂项 1．观察下面的变化规律，解答下列问题： ，，，． (1)若为正整数，猜想__________，并且验证你的猜想； (2)解分式方程：； (3)利用上述规律计算：． 2．观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：，，，，…… (1)猜想（的正整数） ； (2)计算：； (3)若，求的值． 3．观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：，，，…… (1)若为正整数，猜想：______； (2)化简：（结果化成分式的形式） 题型八、分式中的新定义 1．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，那么称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”． 例如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，那么所代表的代数式为_______________； (3)在（2）的条件下，如果“雅中式”的值为整数，求所有符合条件的整数的值． 2．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“优式”，这个常数称为关于的“优值”． 例如：分式，，，则是的“优式”，关于的“优值”为1． (1)已知分式，，判断是否为的“优式”，若不是，请说明理由，若是，请证明，并求出关于的“优值”； (2)已知分式，，是的“优式”，且关于的“优值”是1，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值． 3．定义：代数式中只含有两个字母（如x，y），若把其中的一个字母（x）均换成另一个字母（y），同时另一个字母（y）均换成这个字母（x），若所得代数式是和原代数式相同的代数式，我们称这样的代数式为“对称式”．如，，等． (1)代数式①，②，③，④中，是对称式的有____． (2)若关于m，n的代数式（k是常数，）是对称式，求常数k的值． (3)在（2）的条件下，若，当时，求的值． 题型九、倒数法求分式 1．阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． 因此，所以的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：， 求： (1)； (2)的值． 2．【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 3．新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程． 已知，求的值． 解：由，知， ，即， ， 的值为． 【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题 已知，求的值； 【拓展延伸】已知，，，求的值． 题型十、分式方程应用中的动点求t 1．如图1，长方形中，，点P从点A出发，沿A→B→C→D运动，同时，点Q从点B出发，沿B→C→D运动，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C．已知点P每秒比点Q每秒多运动，当其中一点到达点D时，另一点停止运动． (1)求P、Q两点的运动速度； (2)当其中一点到达点D时，另一点距离D点__________（直接写答案）； (3)设点P、Q的运动时间为t秒，请用含t的代数式表示的面积S，并写出t的取值范围． 2．如图，是等腰直角三角形，，．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线上运动．点P出发后，连接，以为直角边向右作等腰直角三角形，使，连接．设点P的运动时间为t秒． (1)中边上的高的长度为__________； (2)求的长（用含t的式子表示）； (3)当时，直接写出t的值． 3．已知中，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒． (1)出发2秒后，求的长． (2)当点Q在边上运动时，t为何值时，的面积是面积的． (3)当点Q在边上运动时，t为何值时，将周长分为23：25两部分． 题型十一、分式方程中的新定义 1．新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”．若不是，打“”． ①（   ）； ②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 2．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 3．对定义一种新运算，规定（其中是非零常数，且），这里等式右边是通常的四则运算．如： ， ． (1)填空： （用含的代数式表示）； (2)若，且． ①求与的值； ②若，求的值． 题型十二、分式加减应用中的比较大小 1．【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ，． ，即． ； （2）由（1）我们可猜想与的大小关系是：_____，请你用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请比较，的大小，判断哪条船先返回港？并说明理由． 2．【问题提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差． （i）若，则；（ii）若，则；（iii）若，则； 【尝试应用】 （1）比较图中两个长方形周长的大小； （2）若，，且，试比较代数式与的大小， 【联系生活】 （3）在某次1000米长跑中，甲同学前半程以速度匀速跑，后半程以速度为速跑．乙同学前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑，请问谁先到达终点？ 3．（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 题型十三、零指数幂与负整数指数幂中的规律 1．在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单情形中寻找、发现、验证相应的规律，再考虑一般情况，最后给出合理解释，并用数学语言简洁地表达规律．操作方法： 如图1，用一个平面将正方体截去1个顶点（截面不经过其它顶点），得到一个新几何体，称为第1次操作；如图2，用平面逐个截去上一次操作的新增顶点（每个截面都不经过其它顶点），又得到一个新几何体，称为第2次操作．按照此种方法可以继续操作下去． 问题：在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第100次操作新产生多少个截面？ 理解问题： 在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第2次操作新产生______个截面． 拟定计划： 直接研究“在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第100次操作新产生多少个截面？”有困难，我们可以先研究简单的情形，从而发现规律，解决问题． 实施计划： 请从“探究简单情形、发现猜想规律、验证或解释规律”等方面，写出你的思考过程并解决问题． 思考过程： 解决问题：在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第100次操作新产生______个截面． 回顾反思： （1）在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第n次操作新产生______个截面； （2）在正方体的每个顶点处都同时按上述方法进行操作，第100次操作新产生______个截面，其中截面形状是六边形的有______个． 2．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和．事实上，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应展开式中各项的系数等等．根据上面的规律，请你解答下列问题． (1)计算：_________． (2)若（m，n是常数），则_________，_________． (3)若（x，y是常数），则_________，_________． (4)直接写出式子的值． 3．主题式学习：数形规律探究学习 (1)发现规律，猜想说理． ．．．．．．．．．．．． 以此类推，我们发现的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关． 如果，我们设 则 我们可以看出此等式的右边是若干个的和， ∴_________． 则_______． (2)运用规律，计算表达． ①求_____________． ②若，则__________． ③某校为庆祝2023年元旦，活跃学生文化生活，举行歌咏比赛．七年级（9）班获得第一名，该班学生列队以“单击掌”形式（每两个学生击掌一次）祝贺获奖；活动结束后该班同学又互赠“元旦祝福语”．如果该班有名同学，则共击掌_____________次，共赠送祝福语___________条． (3)迁移规律，解决问题． ①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，那么这条航线上一共需要开通_____架航班． ②如图，在的方格中，横线和竖线上的线段共有___________条． ③2022年足球世界杯在卡塔尔举行（如图是足球世界杯奖杯“大力神杯”和卡塔尔世界杯会徽、吉祥物），共有32支国家足球队参赛．比赛分小组赛、1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、决赛六个阶段进行．32支球队平均分成8个进行小组循环赛（小组内每两支球队举行一场比赛）；每小组前两名球队进入1/8决赛，然后实行淘汰赛，胜者进入1/4决赛．．．．．．请你计算2022年足球世界杯共进行多少场比赛？ 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 分式 压轴专练 题型一、分式恒等式 1．如果分式，那么A，B的值是(　　) A．A＝－2，B＝5 B．A＝2，B＝－3 C．A＝5，B＝－2 D．A＝－3，B＝2 【答案】A 【详解】因为=，所以，解得，故选A. 2．已知，则 ． 【答案】7 【分析】根据题意可进行通分，即，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ①+②得：； 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查分式的加法，熟练掌握分式的加法运算是解题的关键． 3．阅读材料，完成下列任务： 部分分式分解，我们知道，将一个多项式转化成若干整式的积的形式，叫做分解因式．分解因式的结果中，每一个因式的次数都低于原来多项式的次数．而有一些特殊的分式可以分解成若干分式的和的形式，我们称之为部分分式分解． 例如：将部分分式分解的方法如下： 因为 所以设 去分母，得 整理，得 所以解得 所以，即 显然，部分分式分解的结果中，各分母的次数都低于原分式分母的次数． 任务： （1）将部分分式分解； （2）已知分分式分解的结果是，则的值为_______． 【答案】（1）；（2）1． 【分析】（1）根据题目中给的例子进行分解即可； （2）由题意可得=，依照所给例子进行整理后求得M、N的值后代入进行计算即可． 【详解】（1）将部分分式分解如下： 因为 所以，设 去分母，得 整理得 所以，解得 所以，即 （2）∵部分分式分解的结果是， ∴=， ∴去分母，得x=M（x-1）+N（x+2）， 整理得x=（M+N）x+（2N-M）， 所以，解得， 所以M+N=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了分式的部分分解因式（属新概念问题），涉及了分解因式，解二元一次方程组等知识，综合性较强，弄清所给例子的求解方法是解题的关键． 题型二、分式中的规律 1．按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的变化规律，分别根据分子，分母所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个分式的分子是，第n个分式的分母是，即可得到第n个分式． 【详解】解：第1个分式的分子是， 第2个分式的分子是， 第3个分式的分子是， ； 第n个分式的分子是； 第1个分式的分母是， 第2个分式的分母是， 第3个分式的分母是， ； 第n个分式的分母是， 第n个分式是， 故选：B． 2．一组按规律排列的式子：，…，其中第7个式子是 ，第n个式子是 （用含n的式子表示，n为正整数）． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式的规律，分母中a的次数等于分式的序次，分子为序次的2倍，当分式的序次为奇数时，分式符号为正，当分式的序次为偶数时，分式的符号为负，根据这个规律可得第n个式子是，即可求得第7个式子． 【详解】解∶ ； ； ； ； ； 则第n个式子为 这列分式中的第7个式子是， 故答案为：；． 3．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了数字的变化的规律，列代数式，分式的加减．准确找出等式中的数字与等式序号的关系是解题的关键． （1）观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系，第一个数的分子是序号的2倍的平方，分母是从1开始的连续奇数，第二个数是从3开始的连续奇数，第三个数均是1，第四个数的分子是从0开始的连续偶数，分母是从1开始的连续奇数，以此规律可得结论； （2）依据（1）中找出的规律得到第个式子，通过计算式子的左边和右边来证明猜想的正确． 【详解】（1）解：观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系可得：第一个数的分子是序号的2倍的平方，分母是从1开始的连续奇数，第二个数是从3开始的连续奇数，第三个数均是1，第四个数的分子是从0开始的连续偶数，分母是从1开始的连续奇数． 即：． 故答案为：． （2）依据（1）中找出的规律得到第个式子为：． 证明：∵左边， 右边， ∴左边边右边． ∴等式成立． 故答案为：． 题型三、分式方程中的规律 1．观察下列式子的变形规律： ①，②，③，④，…… 请尝试回答下面问题： 若，则的值为（   ） A．1000 B．998 C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，以及规律型：数字的变化类，已知等式左边利用裂项求和变形，然后解方程求出的值． 【详解】解：已知等式整理得： ， ∴ 去分母得： 解得： 经检验：是分式方程的解. 故选: B． 2．阅读资料： 使等式成立的x的值为或； 使等式成立的x的值为或； 使等式成立的x的值为或； …… 按此规律，使等式成立的m的值为 ． 【答案】10或 【分析】本题考查了利用规律解分式方程，根据已知所得出的规律将等式化为，即可求解． 【详解】解： 或， 解得：或． 故答案：10或． 3．先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，；… (1)观察上述方程的解，猜想关于x的方程的解是________； (2)根据上面的规律，猜想关于x的方程的解是________． (3)根据上述规律，解关于y的方程． 【答案】(1)x1＝5，x2= (2)x1＝a，x2= (3)y1=2，y2= 【分析】（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果； （2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； （3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可． 【详解】（1）猜想关于x的方程的解是x1＝5，x2= 故答案为：x1＝5，x2=； （2）猜想关于x的方程的解是x1＝a，x2=； 故答案为：x1＝a，x2=； （3）方程变形得：， 可得y+1=3或y+1=， 解得：y1=2，y2=-． 【点睛】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．弄清题中的规律是解本题的关键． 题型四、根据分式方程解情况求参 1．使得关于的分式方程有正整数解，且关于的不等式组至少有2个整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查含参数的分式方程和一元一次不等式组的综合，熟练掌握分式方程和一元一次不等式组的解法，是解题的关键，特别注意，要检验分式方程的增根． 根据分式方程求出a的范围, 然后再根据不等式组求出a的范围，从而确定a满足条件的所有整数值，求和即可． 【详解】解不等式组，得， 不等式组至少有2个整数解， ， ， 解分式方程，得， 为正整数，， 或或， 时，，原分式方程无解， 故将舍去， 符合条件的所有整数的和是． 故选：B． 2．若方程有增根，则增根为 ， ． 【答案】 1 0 【分析】本题考查了分式方程的增根问题；令分式方程最简公分母为0即可求出方程的增根，将分式方程去分母后，将代入求出值即可． 【详解】解：方程的最简公分母为， 令， 解得：， 方程的增根为， 去分母得，即， 方程有增根，且方程的增根为， 把代入整式方程，得． 故答案为：． 3．已知关于x的方程：的解是正数，求m的取值范围 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式方程的解，先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，求出x的值，然后根据分式方程的解为正数，分式方程的分母，列出关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘得： ， ， ， ， ∵此方程的解为正数， ∴， 解得， ∵分式方程有解， ∴， ∴，， ∴，， ∴m的取值范围为：且． 题型五、分式方程中的无解 1．若关于x的方程无解，则m的值为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了利用分式方程的解的情况求参数，正确理解分式方程无解的两种情况是解题的关键． 将分式方程化为整式方程，由或时方程无解，求出． 【详解】解：， 去分母，得， 化简得，， ∵方程无解， ∴①当时，方程无解； ②当时，方程无解，此时，解得， 即或时，方程无解， 故选：D． 2．若关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或5或 【分析】此题主要考查了分式方程无解问题，正确分类讨论是解题关键．直接解方程得出，再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案． 【详解】解：， 去分母得：， 可得：， 当时，一元一次方程无解， 此时， 当时， 则， 解得：或， 故答案为：或或． 3．已知关于的方程． (1)若，解这个分式方程； (2)若分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法，理解分式方程无解的含义是解题的关键． （1）把代入分式方程，将分式方程转换为整式方程计算即可求解，注意要检验根是否符合题意； （2）根据原分式方程无解“原分式方程的分母为零；原分式方程化成整式方程后，整式方程无解”由此即可求解． 【详解】（1）解：， 把代入分式方程，得， 方程两边乘，得， 整理得，， 解得，， 检验：把代入， 是原分式方程的解． （2）解：， 当时，， 方程两边都乘最简公分母，得， 整理，得， 原分式方程无解， ， 解得，， 把代入， 当时，， 解得，； 当时， 解得，； 综上所述，． 题型六、真假分式 1．阅读材料：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：， 当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，； 假分式也可以化为带分式，即整式与真分式和的形式，如： ． (1)思考：分式是______分式（填“真”或“假”）． (2)探究：将假分式化为带分式______． (3)拓展：先化简，并求x取何整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)真 (2) (3)， 【分析】本题考查了分式的混合运算，读懂题目信息，理解真分式，假分式的定义及分式混合运算法则正确计算是解题的关键． （1）根据真假分式的定义判断即可； （2）仿照例题计算即可； （3）先化简，再根据要求确定x的值． 【详解】（1）解：∵分子的次数小于分母的次数， ∴是真分式， 故答案为：真． （2）解：， 故答案为：． （3）解： ∵该式的值为整数，且，0，1， ∴． 2．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如． 解决下列问题： (1)分式是　　（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)真分式 (2) (3)化简得； 【分析】本题考查分式的化简及分式的分离整数法，理解材料并掌握分式的运算是解题关键． （1）根据真分式的定义判断即可； （2）根据材料给出的方法运算即可； （3）先化简，再将分式化为带分式，最后再求解，注意分式有意义的条件． 【详解】（1）解：因为分式的分子次数0小于分母次数1， 所以分式是真分式， 故答案为：真分式； （2）； （3） ， ∵， ∵是整数， ∴或， 解得：，，或， ∵，，或时，原分式无意义， ∴， 即当时，该式的值为整数． 3．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式， 假分数可以化成1（即1）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 解决下列问题： (1)分式是____________（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式可化为带分式的形式为___________________； (3)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； (4)若分式的值为m，则m的取值范围是_______________（直接写出结果）． 【答案】(1)真分式 (2) (3)或或或 (4) 【分析】（1）根据分子的次数小于分母的次数可得答案； （2）把分子化为，逆用分式的加减法运算可得答案； （3）先把原分式化为再结合为整数，为整数，可得或或或从而可得答案； （4）先把原分式化为，再结合，从而可得答案． 【详解】（1）解：根据新定义可得：是真分式， 故答案为：真分式； （2） 故答案为：； （3）∵且为整数，为整数， ∴或或或 解得：或或或 （4）∵， 而， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是新定义的理解，分式的加减运算的逆应用，不等式的基本性质，理解新定义，掌握分式的加减运算的逆运算是解本题的关键． 题型七、分式中的裂项 1．观察下面的变化规律，解答下列问题： ，，，． (1)若为正整数，猜想__________，并且验证你的猜想； (2)解分式方程：； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1)，见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了解分式方程，关键是分式的加减运算． （1）猜想，再根据异分母分式相加减计算，即可求解； （2）根据（1）中的规律把原方程变形为，可化为，解出即可； （3）根据（1）中的规律把原式变形，可得到，即可求解． 【详解】（1）解：， 验证：右边 左边， 猜想成立； （2）解：， ， ， 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的根， 原方程的根为； （3）解： ． 2．观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：，，，，…… (1)猜想（的正整数） ； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索、绝对值的非负性，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据各式的变化规律即可得； （2）根据（1）中的规律，将各项拆分成两项，再计算加减法即可得； （3）先求出，从而可得，再代入进行拆分，计算加减法即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，， ， ， ， …… 依次类推，， 故答案为：． （2）解： ． （3）解：∵， ， 解得，， ， 则 ． 3．观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：，，，…… (1)若为正整数，猜想：______； (2)化简：（结果化成分式的形式） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简，掌握题目中的拆项方法是解题的关键． （1）根据题目中的拆项方法即可得出答案； （2）根据题意拆解合并之后，利用分式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：原式． ， ， ， ， ． 题型八、分式中的新定义 1．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，那么称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”． 例如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，那么所代表的代数式为_______________； (3)在（2）的条件下，如果“雅中式”的值为整数，求所有符合条件的整数的值． 【答案】(1)不是的“雅中式”； (2) (3)整数的值为，，，，，，． 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，分式方程等知识，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：的表达式； （2）再化简，根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到是的因数，从而可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 不是的“雅中式”； （2）解：关于的“雅中值”是， ， ， ， ； 故答案为：； （3）解：由（2）得， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是的因数， 可能是：， 的值为：，，，，，，，． ， 的值为，，，，，，． 2．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“优式”，这个常数称为关于的“优值”． 例如：分式，，，则是的“优式”，关于的“优值”为1． (1)已知分式，，判断是否为的“优式”，若不是，请说明理由，若是，请证明，并求出关于的“优值”； (2)已知分式，，是的“优式”，且关于的“优值”是1，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值． 【答案】(1)是；2；证明见解析 (2)； 【分析】本题主要考查了分式的减法计算： （1）计算出的结果即可得到结论； （2）根据定义可得，则，据此求出，进而求出，再根据P为整数进行求解即可． 【详解】（1）解：C是的“优式”，优值为2，证明如下： ， 是的“优式”，“优值”为2．， （2）解：由题意可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的值也为整数， 或， ． 3．定义：代数式中只含有两个字母（如x，y），若把其中的一个字母（x）均换成另一个字母（y），同时另一个字母（y）均换成这个字母（x），若所得代数式是和原代数式相同的代数式，我们称这样的代数式为“对称式”．如，，等． (1)代数式①，②，③，④中，是对称式的有____． (2)若关于m，n的代数式（k是常数，）是对称式，求常数k的值． (3)在（2）的条件下，若，当时，求的值． 【答案】(1)②③④ (2) (3) 【分析】本题考查新定义，代数式的运算，以及利用完全平方公式的变形求值： （1）根据新定义，逐一进行判断即可； （2）根据新定义，进行求解即可； （3）将值代入求出的值，再利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：对于①，将互换后，得到，不符合题意； 对于②，将互换后，得到，符合题意； 对于③，将互换后，得到，符合题意； 对于④，将互换后，得到，符合题意； 故答案为：②③④ （2）∵是对称式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由题意，得： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型九、倒数法求分式 1．阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． 因此，所以的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：， 求： (1)； (2)的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查分式的求值问题，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，注意分式的变形． （1）将已知条件的两边式计算各自的倒数，约分后可得结论； （2）计算所求式子的倒数，再将代入可得结论． 【详解】（1）解：∵且， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵ ， ∴． 2．【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据完全平方公式的变形进行解答即可； （）仿照例题计算即可； （）由已知可得，，，即得，，，得到，再根据倒数法解答即可求解； 本题考查了分式的求值，倒数的应用，完全平方公式的变形计算，正确理解题意掌握解题思路及分式的性质是解题的关键． 【详解】解：（）第②步运用了公式：， 故答案为：； （）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （）∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程． 已知，求的值． 解：由，知， ，即， ， 的值为． 【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题 已知，求的值； 【拓展延伸】已知，，，求的值． 【答案】类比探究：；拓展延伸： 【分析】本题考查了求分式的值，采用倒数法是解此题的关键． 类比探究：由题意可得，从而得出，即，再求出，即可得解； 拓展延伸：由题意可得，且，从而得出．再由倒数法求解即可． 【详解】解：类比探究：由，知， ，即， ， ， ． 拓展延伸：∵，，， ，且， ． ， ． 题型十、分式方程应用中的动点求t 1．如图1，长方形中，，点P从点A出发，沿A→B→C→D运动，同时，点Q从点B出发，沿B→C→D运动，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C．已知点P每秒比点Q每秒多运动，当其中一点到达点D时，另一点停止运动． (1)求P、Q两点的运动速度； (2)当其中一点到达点D时，另一点距离D点__________（直接写答案）； (3)设点P、Q的运动时间为t秒，请用含t的代数式表示的面积S，并写出t的取值范围． 【答案】(1)P、Q两点的运动速度分别为 (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，分式方程的应用，三角形的面积等知识，掌握三角形的面积公式、灵活运用分类讨论思想是解题的关键． （1）设点Q每秒运动，则点P每秒运动，根据：点P到达点B时，点Q恰好到达点C，建立方程即可求解； （2）分别计算出两点到达终点所需的时间，即可完成； （3）分三种情况：①点P在上，点Q在上，此时；②点P在上，点Q在上，此时；③点P、点Q都在上，此时；分别计算出的面积即可． 【详解】（1）解：设点Q每秒运动，则点P每秒运动， 由题意得：， 解得：， 当时，， 所以是原方程的解，且符合题意； ∴； 答：P、Q两点的运动速度分别为； （2）解：点P到达终点所需的时间为：，点Q到达终点所需的时间为：， 所以点Q先到达终点D，此时点P离终点D的距离为； 故答案为：； （3）解：①点P在上，点Q在上，此时，如图1； ∵， ∴； ②点P在上，点Q在上，此时，如图2； 则，， ∴； ∴ ； ③点P、点Q都在上，此时，如图3； 则， ∴， ∴ 综上， 2．如图，是等腰直角三角形，，．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在射线上运动．点P出发后，连接，以为直角边向右作等腰直角三角形，使，连接．设点P的运动时间为t秒． (1)中边上的高的长度为__________； (2)求的长（用含t的式子表示）； (3)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)3 (2)当时，；当时， (3)2或6 【分析】此题考查三角形的综合题，关键是掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰直角三角形的性质解答即可； （2）根据两种情况，利用线段之间关系得出代数式即可； （3）根据证明与全等；然后利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴的边上高， 故答案为：3； （2）解：，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在射线上运动， 点在线段上运动的时间为（秒）， 当时，， 当时，； （3）解：∵是等腰直角三角形，， ， ，， ，， ， 在与中， ， ； ， 当时，当时，， 解得：， 当时，当时，， 解得：，经检验都符合题意； 综上所述，的值为2或6． 3．已知中，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒． (1)出发2秒后，求的长． (2)当点Q在边上运动时，t为何值时，的面积是面积的． (3)当点Q在边上运动时，t为何值时，将周长分为23：25两部分． 【答案】(1)cm； (2)2 (3)4或6 【分析】（1）求出BP=6，利用勾股定理求出PQ的长； （2）先求出CQ=6-2t，根据的面积是面积的得，计算即可； （3）根据勾股定理求出AC，当点Q在AC上时，计算出CQ的长，分别计算PQ分△ABC的周长中BP+BC+CQ的长及AP+AQ的长，列比例式计算即可． 【详解】（1）解：当出发2秒后，AP=2，BQ=4， ∴BP=AB-AP=8-2=6， ∵∠B=90°， ∴（cm） （2）解：∵BQ=2t，BC=6， ∴CQ=6-2t， ∴， 得t=2； （3）解：在中，， ∴10， 当点Q在AC上时，， ∵BC=6，BP=8-t， ∴PQ分△ABC的周长中BP+BC+CQ=，AP+AQ=， 当时，得t=4； 当时，得t=6； 检验可得t值均符合题意， ∴t为4或6时，将周长分为23：25两部分． 【点睛】此题考查了勾股定理，三角形与动点问题，实际问题与一元一次方程，列比例求解，解题中运用分类思想，正确掌握勾股定理的计算公式是解题的关键． 题型十一、分式方程中的新定义 1．新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”．若不是，打“”． ①（   ）； ②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案； （3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， ①的答案是； 当，时， 分式方程，解得， ， ②的答案是； 故答案为：；； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ，解得， ， ， 解得； （3）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ，， ，， ， ， 当时，解得， 将化简得：， 解得， 关于的方程有整数解，且为整数， 或， 即或或或， 解得或或（不是整数，舍去）或（不是整数，舍去）， ， ． 2．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一元一次方程与分式方程是“相似方程”； (2)不存在，理由如下 【分析】（1）先求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可判断； （2）根据题意用a表示出的值，再根据“相伴方程”的定义及a为正整数即可求出a的值．然后结合分式方程有意义进行分析，即可作答． 本题主要考查了一元一次方程，分式方程，按照定义求解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：一元一次方程与分式方程是“相似方程”，理由如下： ∵， 解得：， ∵， ∴ 解得：， 检验：是原分式方程的解 一元一次方程与分式方程是“相似方程”； （2）解：不存在，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 当时，即时，方程有意义 假设关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程” ∴ 则 解得 此时与相矛盾 ∴关于x的一元一次方程与分式方程不是“相伴方程” 3．对定义一种新运算，规定（其中是非零常数，且），这里等式右边是通常的四则运算．如： ， ． (1)填空： （用含的代数式表示）； (2)若，且． ①求与的值； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）利用新运算的规定解答即可； （2）①利用新运算的规定得到关于的方程，解方程即可求得结论；②利用新定义的规定列出关于的等式，再将的值代入求解即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）①∵， ∴，整理，可得①， ∵， ∴， ∴②， 由①、②组成二元一次方程组， 解得； ②∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的根， ∴． 【点睛】本题主要考查了新定义下的运算、解分式方程、二元一次方程组等知识，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键． 题型十二、分式加减应用中的比较大小 1．【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ，． ，即． ； （2）由（1）我们可猜想与的大小关系是：_____，请你用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请比较，的大小，判断哪条船先返回港？并说明理由． 【答案】（2），见解析；（3）不成立，正确的应该是；（4）当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回，见解析 【分析】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． （2）根据作差法求解即可； （3）根据作差法求解即可； （4）分为当返回为顺水时，和当返回为逆水时，求出，即可求解． 【详解】解：（2），理由如下： ， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． （3）不成立，正确的应该是． 理由如下：根据（2）可得， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． （4）当返回为顺水时，，． ， ∵， ∴，即． 当返回为逆水时，，． ∵， ∴，即． 所以当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回． 2．【问题提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差． （i）若，则；（ii）若，则；（iii）若，则； 【尝试应用】 （1）比较图中两个长方形周长的大小； （2）若，，且，试比较代数式与的大小， 【联系生活】 （3）在某次1000米长跑中，甲同学前半程以速度匀速跑，后半程以速度为速跑．乙同学前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑，请问谁先到达终点？ 【答案】（1）第一个长方形的周长大于第二个长方形的周长；（2）；（3）乙先到达终点． 【分析】（1）表示出两个长方形的周长，运用“作差法”即可比较大小； （2）运用“作差法”计算，综合运用完全平方公式，提公因式和公式法进行因式分解，最后得到根据，，得到，即可解答； （3）先计算甲同学所需时间：，乙同学所需时间为，再计算，根据，，得到，即可得到，从而解答． 【详解】（1）第一个长方形的周长为：， 第二个长方形的周长为：， ∵ ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴第一个长方形的周长大于第二个长方形的周长； （2）∵， ∴，， ∴ ， ∵，，， ∴， ∴； （3）甲同学所需时间：， 设乙同学所需时间为x，则， 解得：， 即乙同学所需时间为， ∵ ， ∵，，， ∴， ∴， ∴乙先到达终点． 【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，分式的加减，运用完全平方公式进行变形计算，因式分解，判断式子的正负，掌握“作差法”是解题的关键． 3．（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 【答案】（1）（2）（3）小莹的购货方式更合算，理由见解析 【分析】此题考查了作差法比较两个数的大小，多项式乘以多项式，整式加减运算、分式加减法的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中的方法作差解答； （2）先分别表示出两个平行四边形的面积，再利用作差法计算判断； （3）先分别表示两人两次购买苹果的平均单价，再用作差法计算比较大小即可判断． 【详解】（1）∵， ∴，即 故答案为：； （2）， ， ． ， ， ，即． （3）小亮两次购买苹果共花费元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； 小莹两次购买苹果共花费20元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； ， m，n是正数，且， ， ， 小莹的购货方式更合算． 题型十三、零指数幂与负整数指数幂中的规律 1．在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单情形中寻找、发现、验证相应的规律，再考虑一般情况，最后给出合理解释，并用数学语言简洁地表达规律．操作方法： 如图1，用一个平面将正方体截去1个顶点（截面不经过其它顶点），得到一个新几何体，称为第1次操作；如图2，用平面逐个截去上一次操作的新增顶点（每个截面都不经过其它顶点），又得到一个新几何体，称为第2次操作．按照此种方法可以继续操作下去． 问题：在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第100次操作新产生多少个截面？ 理解问题： 在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第2次操作新产生______个截面． 拟定计划： 直接研究“在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第100次操作新产生多少个截面？”有困难，我们可以先研究简单的情形，从而发现规律，解决问题． 实施计划： 请从“探究简单情形、发现猜想规律、验证或解释规律”等方面，写出你的思考过程并解决问题． 思考过程： 解决问题：在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第100次操作新产生______个截面． 回顾反思： （1）在正方体的1个顶点处按上述方法进行操作，第n次操作新产生______个截面； （2）在正方体的每个顶点处都同时按上述方法进行操作，第100次操作新产生______个截面，其中截面形状是六边形的有______个． 【答案】理解问题：3，；（1）；（2）， 【分析】本题考查图形类规律探索，理解题意，通过前几次操作，观察新产生的截面数量和截面形状是六边形的数量规律，进而即可解答，总结出这些规律是解题关键． 【详解】理解问题：由题意可知：第1次操作新产生个截面； 第2次操作新产生个截面， 第3次操作新产生个截面， 第4次操作新产生个截面， …… 所以第n次操作新产生个截面， 所以第100次操作新产生个截面； （1）由理解问题可知第n次操作新产生个截面； （2）在正方体的每个顶点处都同时按上述方法进行操作，则第n次操作新产生个截面， 所以第100次操作新产生个截面； 第1次操作截面形状是六边形的有0个； 第2次操作截面形状是六边形的有个； 第3次操作截面形状是六边形的有个； 第4次操作截面形状是六边形的有个； …… 所以第n次操作截面形状是六边形的有个， 所以第100次操作截面形状是六边形的有个． 2．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和．事实上，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应展开式中各项的系数等等．根据上面的规律，请你解答下列问题． (1)计算：_________． (2)若（m，n是常数），则_________，_________． (3)若（x，y是常数），则_________，_________． (4)直接写出式子的值． 【答案】(1)1 (2)4，6 (3)5，10 (4)32 【分析】本题考查了零指数幂、多项式乘法中的规律问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据零指数幂计算即可得解； （2）由图可得：，结合题意即可得解； （3）由图可得：的各项系数为，，，，，，则，结合题意即可得解； （4）由（3）可得：，将式子变形为，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由图可得：， ∵， ∴，； （3）解：由图可得：的各项系数为，，，，，， ∴， ∵， ∴，； （4）解：由（3）可得：， ∴ ． 3．主题式学习：数形规律探究学习 (1)发现规律，猜想说理． ．．．．．．．．．．．． 以此类推，我们发现的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关． 如果，我们设 则 我们可以看出此等式的右边是若干个的和， ∴_________． 则_______． (2)运用规律，计算表达． ①求_____________． ②若，则__________． ③某校为庆祝2023年元旦，活跃学生文化生活，举行歌咏比赛．七年级（9）班获得第一名，该班学生列队以“单击掌”形式（每两个学生击掌一次）祝贺获奖；活动结束后该班同学又互赠“元旦祝福语”．如果该班有名同学，则共击掌_____________次，共赠送祝福语___________条． (3)迁移规律，解决问题． ①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，那么这条航线上一共需要开通_____架航班． ②如图，在的方格中，横线和竖线上的线段共有___________条． ③2022年足球世界杯在卡塔尔举行（如图是足球世界杯奖杯“大力神杯”和卡塔尔世界杯会徽、吉祥物），共有32支国家足球队参赛．比赛分小组赛、1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、决赛六个阶段进行．32支球队平均分成8个进行小组循环赛（小组内每两支球队举行一场比赛）；每小组前两名球队进入1/8决赛，然后实行淘汰赛，胜者进入1/4决赛．．．．．．请你计算2022年足球世界杯共进行多少场比赛？ 【答案】(1)， (2)①5047；②100；③， (3)①90；②135；③ 【分析】（1）根据题目中的规律即可求解； （2）①根据（1）中的规律即可求解；②根据（1）中的规律得出方程，解方程即可求解；③根据规律即可求解； （3）①10个城市每两个城市都要互通航班，据此即可求解；②分别计算横向和竖向的线段条数，即可求解；③利用分类的方法可求得2022年足球世界杯共进行多少场比赛． 【详解】（1）解：． 则． 故答案为：，； （2）解：①． ②∵， ∴，解得或（舍去）， 则． ③如果该班有名同学，则共击掌次，共赠送祝福语条． 故答案为：①5047；②100；③，； （3）解：①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，10个城市一共需要开通架航班； ②横线上的线段有条，竖线上的线段有条， 则横线和竖线上的线段共有条； ③32支比赛分为8个小组，每个小组4支球队，共有场比赛， 16强分成8组对阵，共有8场比赛， 8强分成4组对阵，共有4场比赛， 4强分成2组对阵，共有2场比赛， 决赛有2场比赛， 故共有场比赛． 故答案为：①90；②135；③64． 【点睛】本题考查了探索规律，线段的计数，线段的计数时应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复，利用规律解决问题． 2 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $$