八年级（下）期中数学试卷（培优卷）（考查范围：第16～18章）-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（华东师大版）

2024-2025学年八年级（下）期中数学试卷（培优卷） 【华东师大版】 考试时间：120分钟；满分：120分；考试范围：第16~18章 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级·江西·期末）下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（3分）（24-25八年级·广西梧州·期末）小王家、食堂、图书馆在同一条直线上，小王从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，下图反映小王离家的距离与时间之间的对应关系，下列说法正确的是（    ） A．小王读报用了 B．小王吃早餐用了 C．小王从图书馆回家的平均速度是 D．小王家离食堂 3．（3分）（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，将平行四边形绕点旋转，当点D的对应点落在边上时，点C的对应点恰好与点B，C在同一直线上，若，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（3分）（24-25八年级·山西晋中·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．（3分）（24-25八年级·安徽淮南·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．（3分）（24-25八年级·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值，始终有，则n的取值范围为(    ) A．且 B．且 C．且 D． 7．（3分）（24-25八年级·河北廊坊·期末）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作平行四边形，使点，在轴上，点在轴上．已知平行四边形的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（3分）（24-25八年级·山东济南·期末）一次函数，，点是，与轴围成的三角形内一点（含边界），令，的最大值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（3分）（24-25八年级·浙江台州·期末）已知实数x，y，z满足++＝，且＝11，则x+y+z的值为（　　） A．12 B．14 C． D．9 10．（3分）（24-25八年级·陕西榆林·期末）如图，四边形是平行四边形，点是边上一点，且，交于点，是延长线上一点，则下列结论：平分；平分；；．其中正确结论的有（ ） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级·山东烟台·期末）若为整数，则使的值为整数的有 个． 12．（3分）（24-25八年级·四川成都·期末）在同一直角坐标系中，直线与直线相交于点，则方程组的解为 ． 13．（3分）（24-25八年级·上海·期末）如果反比例函数的图像经过点、、，且，那么与的大小关系是 ．（填“”，“”或“”） 14．（3分）（24-25八年级·山东济南·期末）如图，在中，已知，点在上以的速度从点向点运动，点在上以的速度从点出发在上往返运动．两点同时出发，当点第一次返回点时点也停止运动，设运动时间为（）．当 时，四边形是平行四边形． 15．（3分）（24-25八年级·四川成都·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 16．（3分）（24-25八年级·山东德州·期末）如图，点为反比例函数 图象上的点，其横坐标依次为．过点作轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，，过点作于点．记的面积为，的面积为，，的面积为． （用含的代数式表示）． 第Ⅱ卷 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级·山东滨州·期末）（1）计算： （2）解方程： 18．（6分）（24-25八年级·陕西延安·期末）已知y关于x的函数解析式为． (1)若这个函数是正比例函数，求这个函数的解析式； (2)若，求这个函数图象与x轴交点的坐标． 19．（6分）（24-25八年级·江西上饶·期末）如图，是一次函数与反比例函数图象的两个交点． (1)求m和n的值． (2)根据图象直接写出关于x的不等式的解集． 20．（8分）（24-25八年级·山东淄博·期末）如图，在平行四边形中，的平分线分别与相交于点E、F，与相 交于点G ． (1)求证：； (2)若，求BE的长． 21．（8分）（24-25八年级·广东汕头·期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，， 所以是的“关联分式”． (1)请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 22．（10分）（24-25八年级·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)当时，的取值范围为________； (3)如图，轴正半轴上有一点，连接，求四边形的面积． 23．（10分）（24-25八年级·河北秦皇岛·期末）年，在国家实行报废补贴、以旧换新利好政策的推动下，小明的爸爸准备换车，看中了两款价格相同的国产车．请帮小明父子解决以下问题： 燃油车 新能源车 油箱容积：升 电池容量：千瓦时 油价：元/升 电价：元/干瓦时 续航里程：千米 续航里程：干米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用： 元 (1)用含a的式子表示新能源车的每千米行驶费用 元（结果为最简）． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为元和元．每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其他费用） 24．（12分）（24-25八年级·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B．    (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)如图2，将反比例函数的图象在第一象限中的部分关于x轴对称，得到新的反比例函数的图象．点P在新的图象上，连接，，，．设的面积为，的面积为，若，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点Q在反比例函数图象上，点M在y轴上，连接，，，，若的面积等于的面积，，求点M的坐标． 25．（12分）（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期末）已知：四边形是平行四边形，点E是边的中点，连接，过点A作，垂足为点G，交边于点F，点H是线段上一点，连接，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交C边于点K，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长至点M，连接、，若，，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级（下）期中数学试卷（培优卷） 【华东师大版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级·江西·期末）下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，利用分式的基本性质计算即可，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 2．（3分）（24-25八年级·广西梧州·期末）小王家、食堂、图书馆在同一条直线上，小王从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，下图反映小王离家的距离与时间之间的对应关系，下列说法正确的是（    ） A．小王读报用了 B．小王吃早餐用了 C．小王从图书馆回家的平均速度是 D．小王家离食堂 【答案】C 【分析】本题主要考查的是函数图像的读图能力，根据函数图像的性质得到信息是解题的关键．根据横轴表示时间，纵轴表示路程即可得到答案． 【详解】解：小王读报用了，故选项A错误； 小王吃早餐用了，故选项B错误； 小王从图书馆回家的平均速度是，故选项C正确； 小王家离食堂，故选项D错误； 故选C． 3．（3分）（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，将平行四边形绕点旋转，当点D的对应点落在边上时，点C的对应点恰好与点B，C在同一直线上，若，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，旋转的性质，三角形的内角和定理的应用，先求解，，再证明，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵平行四边形绕点旋转得到， ∴，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点、B、C在一条直线上， ∴， ∴． 故选：C 4．（3分）（24-25八年级·山西晋中·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系，根据反比例函数图象所在的象限可以判定a的符号，根据a的符号来确定直线所经过的象限． 【详解】解：A、双曲线经过第一、三象限，则．所以直线应该经过第一、三象限，且与y轴交于正半轴，故本选项正确． B、双曲线经过第一、三象限，则．所以直线应该经过第一、三象限，且与y轴交于正半轴，故本选项错误． C、双曲线经过第二、四象限，则．所以直线应该经过第二、四象限，且与y轴交于负半轴，故本选项错误． D、双曲线经过第二、四象限，则．所以直线应该经过第二、四象限，且与y轴交于负半轴，故本选项错误． 故选：A． 5．（3分）（24-25八年级·安徽淮南·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程无解产生的原因是解题关键．将分式方程去分母转化为整式方程，解得，根据原方程无解得，即可求出的值． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 分式方程无解， ， ， ， ， 故选：D． 6．（3分）（24-25八年级·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值，始终有，则n的取值范围为(    ) A．且 B．且 C．且 D． 【答案】A 【分析】本题是一次函数综合问题，考查了一次函数的图象与性质，解一元一次不等式；根据题意得两直线平行，且对任何的值，直线在直线上方，取，得到对应的函数值关系，则可确定n的范围． 【详解】解：∵无论x取何值，始终有， 则两直线必平行，且直线在直线上方， 当，则，， ∴， ∴且； 故选：A． 7．（3分）（24-25八年级·河北廊坊·期末）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作平行四边形，使点，在轴上，点在轴上．已知平行四边形的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．过点作轴，根据平行四边形的性质可证，所以可得，因为点在第四象限，所以可得，可得方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，过点作轴， 四边形是平行四边形， ，，轴， ， 在和中， ， ， 设点的坐标为， 则， 点在第四象限， ， 点是反比例函数的图象上的一点， ， ， 解得：． 故选：A ． 8．（3分）（24-25八年级·山东济南·期末）一次函数，，点是，与轴围成的三角形内一点（含边界），令，的最大值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查两条直线相交的问题，掌握一次函数图象的性质，点坐标的特点，明确点在交点处S最大是解题的关键． 根据题意可求出点的坐标，可得，根据两条直线的交点处，图形的面积最大，由此可得，再根据即可求解． 【详解】解：一次函数，令，则；令，则； 一次函数与轴的交点为， ∵点是，与轴围成的三角形内一点（含边界）， ∴， 如图所示， ∴当点在点处，的值最大，即点在直线的图象上， ∴， ∴， 解得，， ∴交点坐标为：， ∴点在一次函数的图象上， ∴， 解得，， 故选：． 9．（3分）（24-25八年级·浙江台州·期末）已知实数x，y，z满足++＝，且＝11，则x+y+z的值为（　　） A．12 B．14 C． D．9 【答案】A 【分析】把两边加上3，变形可得，两边除以得到，则，从而得到的值． 【详解】解：， ， 即， ， 而， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的加减法，解题的关键是掌握同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，同时解决问题的关键也是从后面的式子变形出． 10．（3分）（24-25八年级·陕西榆林·期末）如图，四边形是平行四边形，点是边上一点，且，交于点，是延长线上一点，则下列结论：平分；平分；；．其中正确结论的有（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边对等角，平行四边形的性质，平行线的性质即可证明正确；根据线段垂直平分线的判定即可证明正确；根据平行线的性质，等角对等边即可证明正确；根据线段垂直平分线的判定即可证明正确；即可得出答案． 【详解】解：证明：， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 平分，正确； ，， ， 平分，正确； ， ， ， ， ， 正确； ，， 点一定在的垂直平分线上，即垂直平分， ，故正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级·山东烟台·期末）若为整数，则使的值为整数的有 个． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．先化简分式，然后利用整数的整除性求出的值即可求解． 【详解】解： 要使分式的值为整数，且为整数， ∴，， 又∵， ∴，， ∴符合题意的整数的值共有个． 故答案为：． 12．（3分）（24-25八年级·四川成都·期末）在同一直角坐标系中，直线与直线相交于点，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．把代入求出的值可得出点的坐标，即可得出答案．． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴当时，得：， ∴， ∴方程组的解为． 故答案为：． 13．（3分）（24-25八年级·上海·期末）如果反比例函数的图像经过点、、，且，那么与的大小关系是 ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据点的坐标，确定双曲线所过象限，根据反比例函数的增减性，判断函数值大小即可． 【详解】解：∵在第四象限， ∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内，随的增大而增大， ∵、在反比例函数的图象上，且， ∴； 故答案为：． 14．（3分）（24-25八年级·山东济南·期末）如图，在中，已知，点在上以的速度从点向点运动，点在上以的速度从点出发在上往返运动．两点同时出发，当点第一次返回点时点也停止运动，设运动时间为（）．当 时，四边形是平行四边形． 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，分四种情况列出关于t的一元一次方程是解题的关键．由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时，四边形是平行四边形，分两种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 若四边形是平行四边形，则， 设运动时间为t． ，，， ∵当点第一次返回点时点也停止运动， ∴点也运动秒，则， 当时，点在上运动，则， ∴， ∴， 解得：； 当时，点在上运动，则， ∴， ∴， 解得：； 综上，当或时，四边形是平行四边形． 故答案为：或． 15．（3分）（24-25八年级·四川成都·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】8 【分析】解出一元一次不等式组的解集，根据不等式组的解集为x≥6，列出不等式，求出a的范围；解出分式方程的解，根据方程的解是正整数，列出不等式，求得a的范围；检验分式方程，列出不等式，求得a的范围；综上所述，得到a的范围，最后根据方程的解是正整数求得满足条件的整数a的值，求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得：x≥6， 解不等式②得：x＞， ∵不等式组的解集为x≥6， ∴， ∴a＜7； 分式方程两边都乘（y-1）得：y+2a-3y+8=2（y-1）， 解得：y=， ∵方程的解是正整数， ∴＞0， ∴a＞-5； ∵y-1≠0， ∴≠1， ∴a≠-3， ∴-5＜a＜7，且a≠-3， ∴能使是正整数的a是：-1，1，3，5， ∴和为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组与解分式方程，掌握一元一次不等式组与分式方程的解法是解题的关键． 16．（3分）（24-25八年级·山东德州·期末）如图，点为反比例函数 图象上的点，其横坐标依次为．过点作轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，，过点作于点．记的面积为，的面积为，，的面积为． （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索，先利用反比例函数求出点的坐标，进而求出点，再根据三角形的面积公式求出，求出和，找到规律，据此即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，， ∴，，， ∵轴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 同理可得，，， ∴， ， ， ∴，， ， ∴， 故答案为：． 第Ⅱ卷 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级·山东滨州·期末）（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）分式方程无解 【分析】本题考查了分式的乘除运算和解分式方程，能正确根据分式的运算法则进行计算是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键． （1）根据分式的乘法法则和除法法则进行计算即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：（1）原式； （2）去分母，得：， 整理，的：， 解得：， 检验，当时，， ∴是原方程增根，舍去； ∴原方程无解． 18．（6分）（24-25八年级·陕西延安·期末）已知y关于x的函数解析式为． (1)若这个函数是正比例函数，求这个函数的解析式； (2)若，求这个函数图象与x轴交点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了正比例函数的意义，求一次函数图象与x轴交点，正确理解函数的性质是解题的关键： （1）由正比例函数的意义得到，即可求出函数解析式； （2）将代入得到函数解析式，再求出时x的值即可得到交点坐标． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴, 解得 ∴这个函数解析式为； （2）∵ ∴函数解析式为 当时， 解得 ∴这个函数图象与x轴的交点坐标为． 19．（6分）（24-25八年级·江西上饶·期末）如图，是一次函数与反比例函数图象的两个交点． (1)求m和n的值． (2)根据图象直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键． （1）将代入反比例函数，即可求解，继而反比例函数解析式为，再将代入，即可求解； （2）根据函数图象写出反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得将代入得：， ∴反比例函数解析式为， 将代入得：； （2）解：根据图象得到不等式的解集是：或． 20．（8分）（24-25八年级·山东淄博·期末）如图，在平行四边形中，的平分线分别与相交于点E、F，与相 交于点G ． (1)求证：； (2)若，求BE的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形两组对边分别平行可得，再根据角平分线的性质可得，进而可得； （2）过点作，交于点P，交于点，得四边形是平行四边形，构造，证明，，再由勾股定理求出即可解答． 此题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，以及等腰三角形的判定，添加辅助线，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点作，交于点P，交于点，   ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． ∵ ，由（1）知，， ∴， ∴，， 同理可得： ∴ ∴在中，， 即， 故， ∴． 21．（8分）（24-25八年级·广东汕头·期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，， 所以是的“关联分式”． (1)请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 【答案】(1)与分式是“关联分式”，理由见解析 (2) (3)①；② 【分析】本题属于创新探究类试题，主要考查了分式的混合运算、解不等式组等知识点，理解“关联分式”的定义是解决本题的关键． （1）根据关联分式的定义进行判断即可； （2）仿照题目中给到的方法进行求解即可； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：是的“关联分式”，理由如下： ∵，， ∴是的“关联分式”． （2）解：设的“关联分式”为N，则， ∴，即， ∴，即． （3）解：①设的“关联分式”为N，则， ∴，即， ∴，即． 故答案为：； ②由题意，可得， 整理得，解得． 22．（10分）（24-25八年级·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)当时，的取值范围为________； (3)如图，轴正半轴上有一点，连接，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键， （1）把，两点坐标分别代入反比例函数，求出的值，再根据待定系数法即可求出直线的解析式； （2）根据，可知反比例函数的图像在一次函数的上方，根据图像即可解答； （3）由题意知点坐标为，即可知，，根据四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：把，两点坐标分别代入反比例函数，可得，， ∴， ． 把代入一次函数， 可得，解得， 直线的解析式为． （2）解：∵， ∴，即反比例函数的图像在一次函数的上方， 又∵， ∴由图像可知或． （3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵直线的解析式为， ∴点坐标为， ， ， ， 四边形的面积 ． 23．（10分）（24-25八年级·河北秦皇岛·期末）年，在国家实行报废补贴、以旧换新利好政策的推动下，小明的爸爸准备换车，看中了两款价格相同的国产车．请帮小明父子解决以下问题： 燃油车 新能源车 油箱容积：升 电池容量：千瓦时 油价：元/升 电价：元/干瓦时 续航里程：千米 续航里程：干米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用： 元 (1)用含a的式子表示新能源车的每千米行驶费用 元（结果为最简）． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为元和元．每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其他费用） 【答案】(1)； (2)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；当每年行驶里程大于千米时，买新能源车的年费用更低． 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解题关键是明确题意，列出相应方程与不等式． （1）用总电量乘以电的单价，再除以总里程，列出代数式，再化简即可； （2）根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元，列出分式方程，求解即可； 设每年行驶里程为千米时，根据新能源车的年费用更低，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：， 即新能源车的每千米行驶费用为元， 故答案为：； （2）解：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； 设每年行驶里程为千米， 由题意，得， 解得， 答：当每年行驶里程大于千米时，买新能源车的年费用更低． 24．（12分）（24-25八年级·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B．    (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)如图2，将反比例函数的图象在第一象限中的部分关于x轴对称，得到新的反比例函数的图象．点P在新的图象上，连接，，，．设的面积为，的面积为，若，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点Q在反比例函数图象上，点M在y轴上，连接，，，，若的面积等于的面积，，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数性质，三角形面积，平行四边形的判定和性质等，熟练掌握反比例函数的性质及平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）运用待定系数法求得反比例函数和一次函数的表达式，联立方程组求解即可求得点B的坐标； （2）设，过点P作轴，交直线于点K，交直线于点，运用三角形面积公式可得：，，据题意建立方程求解即可求得答案； （3）设，分两种情况：当点Q在第一象限时，当点Q在第三象限时，再运用平行四边形的判定和性质即可求得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为： ∵一次函数的图象经过点 ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为：， 联立反比例函数和一次函数解析式得，， 解得：， ∴； （2）解：由题意得，在第一象限中关于x轴对称的新比例函数解析式为， 设，过点P作轴，交直线于点K，交直线于点，    ∵， ∴设直线解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， ∴， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， 解得：或（舍）， ∴点P的坐标为； （3）解：设， 当点在第一象限时，如图，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分，即与的中点重合 ∴， 解得：， ∴； 当点在第三象限时，如图，连接，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分，即与的中点重合 ∴， 解得： ∴ 综上所述：点的坐标为或． 25．（12分）（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期末）已知：四边形是平行四边形，点E是边的中点，连接，过点A作，垂足为点G，交边于点F，点H是线段上一点，连接，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交C边于点K，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长至点M，连接、，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，利用等量关系得，根据等腰三角形的性质可得G是AH的中点，则可得AG是△ABH的中位线，进而可求证结论． （2）根据平行四边形的性质得，进而可根据平行线的性质可得，又根据等腰三角形的性质结合平行线的性质可得，，根据三角形内角和可得∠KBF=∠BKF，可得△BFK为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一性质即可求证结论． （3）连接，作，垂足为点R，作交的延长线于点N，根据平行四边形的判定及性质可得，，则，利用勾股定理的逆定理得△AKD为直角三角形，且，则可得，进而可得，利用SAS可得，进而可得，根据利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴△ADH为等腰三角形， ∵， ∴， ∴G是的中点， ∴E是的中点， ∴EG是△ABH的中位线，且EG与DE在同一直线上， ∴． （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴∠KBF=∠BKF，HF⊥BK， ∴△BFK为等腰三角形， ∴HF为BK的垂直平分线， ∴BH=HK． （3）连接，作，垂足为点R，作交的延长线于点N，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， 设， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴△AKD为直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质、平行四边形的性质、勾股定理及勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理及判定定理，巧妙借助辅助线解决问题是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$