第16章 分式（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版）

第16章 分式 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列代数式是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义逐项判断即可，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是整式，不符合题意； 、是分式，符合题意； 、是整式，不符合题意； 、是整式，不符合题意； 故选：． 2．计算的结果为（     ） A．6 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了负指数幂的计算，掌握负指数幂的计算方法是解题的关键．根据负指数幂的计算方法，直接计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 3．若分式的值为0，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值是0的条件，分式的值为0时，分子为0，但分母不为0，两个条件缺一不可． 【详解】解：由题意可知，，且， ， 故选：D． 4．若把分式中的和都扩大到原来的倍，且，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．把分式中的换成，换成，然后根据分式的基本性质进行化简即可． 【详解】解：∵分式中的和都扩大到原来的倍， ∴， 即分式的值缩小到原来的， 故选：C． 5．解分式方程，去分母后，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程去分母的知识，分式方程中的分母分别为x和，确定出最简公分母为；再根据等式的基本性质，给方程两边同乘最简公分母，问题即可迎刃而解． 【详解】解：， 方程的两边同乘，得． 整理得， 故选：C． 6．对于非零实数，规定：．若，则的值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，根据新定义将所求式子化为普通方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 故选：C． 7．若关于x的分式方程与方程的解相同，则m的值为(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式方程的解，解分式方程，求出方程的解，把解代入分式方程求出m即可． 【详解】解：解方程， 得，， 经检验是方程的解， 把代入方程， 得，， 故选：A． 8．2024年12月7日哈尔滨第五届采冰节在松花江北岸启幕，吸引了众多游客，小帅一家从距离哈尔滨180km的地方开车前往，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地．设前一小时的行驶速度为每小时千米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列分式方程，熟练地根据题意找到等量关系是解题的关键．根据实际用时列出相应的分式方程． 【详解】解：设前一小时的行驶速度为，则一小时后的速度为， 由题意得：， 故选：B． 9．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，掌握分式方程的解，解一元一次不等式，是解题的关键．解分式方程，得到含有m的方程的解，根据“方程的解是正数”，结合分式方程的分母不等于零，得到关于m的不等式，解之即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 解得：， ∵， ∴， 即， 解得：， 又∵方程的解是正数， ∴， 解不等式得：， 综上可知：且，故C正确． 故选：C． 10．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数值之积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，解决本题的关键是解一元一次不等式组确定的取值范围，把分式方程的解用含的代数式表示出来，根据分式方程有正整数解确定的值，本题中要注意是分式方程的增根，故要舍去． 【详解】解：不等式组， 解不等式得：， 不等式组的解集为， ， 解分式方程， 可得：， 又分式方程有正整数解， 则或或， 当时，， 是分式方程的增根，故应舍去， 或， ， 故选：A． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．若分式有意义，则x满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了零指数幂．熟练掌握零指数幂是解题的关键．根据零指数幂求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 13．若一根头发丝的直径大约为，且，则头发的直径用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数：科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：， 故答案为：． 14．如果关于的分式方程的解是，那么的值是 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查了分式方程的解，把代入分式方程中，即可求得a的值． 【详解】解：∵关于的分式方程的解是， ∴， 解得：， 故答案为：． 15．对于非零实数、，规定．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 根据新定义的公式列得分式方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解， 故答案为：． 16．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值．根据，得到，进而根据完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∴； 故答案为：． 17．甲乙两地之间公路全长，公共汽车从甲地到乙地的速度为，轿车行驶的速度比公共汽车快，那么从甲地到乙地轿车比公共汽车早到 小时． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，分式的加减运算等知识点，根据路程、速度和时间三者的关系，分别表示出公共汽车和轿车所需时间运算即可解决问题，熟练掌握路程、速度和时间三者的关系是解决此题的关键． 【详解】公共汽车用的时间：小时， 轿车用的时间：小时，     轿车比公共汽车早到的时间：小时， 故答案为：． 18．如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点M、N，延长交于点P．若，则 （用含k的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，设，，求出，，之间的关系式，从而求得面积比． 【详解】解：如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成， ∴设，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是零次幂的含义，实数的混合运算，先计算乘方，零次幂，算术平方根，再算加减法即可． 【详解】解： ． 20．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）两边同时乘，将分式方程化为整式方程求解，再检验即可；（2）方程两边同时乘，将分式方程化为整式方程求解，再检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同乘，得 ∴ 检验：当时，，且左边＝右边 ∴是原方程的解． （2）解：方程两边同乘，得 ∴． 检验：当时，． ∴是增根． ∴原方程无解． 【点睛】本题考查解分式方程．求解后检验是易漏掉的环节，需要注意． 21．先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 22．对于非零实数、，定义运算：，如． (1)①填空：＝　 　； ②计算：； (2)若，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查的知识点是新定义下实数的运算、整数指数幂的运算，解题关键是理解题意，按照题中给出的新定义运算． （1）①先判断出，然后根据题干中的新定义运算即可； ②先判断出，，然后根据题干中的新定义运算即可； （2）分两种情况：、，讨论即可得解． 【详解】（1）解：①， ， 故答案为：； ②，， ， ， ， ． （2）解：分情况讨论： ①若，即时， ， 即，此时，不符合题意，舍去； ②若，即时， ， 即，，符合题意， 故． 23．已知：，． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设时，若是正整数，求的正整数值． 【答案】(1)当时， (2)若是正整数，的正整数值是12或15． 【分析】（1）先求出的值，再根据当时，，，即可得出； （2）先求出的值，再根据和都是正整数，得出的取值，进一步得到的取值，然后分类讨论，即可得到的正整数值． 【详解】（1）当时，， 理由如下： ∵，， ∴， ， ， ， ∵， ∴，， ∴ （2）∵，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵和都是正整数， ∴是正整数， ∴可取4，8， 当时，，， ∴， 当时，，， ∴， 综上所述：当是正整数，的正整数值是12或15． 【点睛】本题考查了分式的加减，熟练掌握分式的加减运算法则，求出的值和的正整数值是解题的关键． 24．某文创店，最近一款印有“保卫里”的书签销售火爆．该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍． (1)求该店两次购进这款书签各多少个？ (2)第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？ 【答案】(1)该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个； (2)第一次销售时每个书签的售价至少为8元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签个，由题意：每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，列出分式方程，解方程即可； （2）设第一次销售时每个书签的售价为m元，由题意：要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个． （2）设第一次销售时每个书签的售价为m元， 由题意得： 解得：， 答：第一次销售时每个书签的售价至少为8元． 25．［核心素养］【阅读材料】若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． 例如与． 解：， ， 是的“关联分式”． 【解决问题】 （1）已知分式，则___________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法． 解：设分式的“关联分式”为， 则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）和（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”___________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数，的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）①，②， 【分析】本题是考查了异分母分式的加减及分式的乘法，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键. （1）根据关联分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论，类比形式求解即可. 【详解】解：（1） ， ， 是的“关联分式”， 故答案为：是； （2）设分式的“关联分式”是， 则， ， ， ，即分式的“关联分式”为． （3）①解：①设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． 故答案为：； ②由题意得 ，． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 分式 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列代数式是分式的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果为（     ） A．6 B． C． D．9 3．若分式的值为0，则（   ） A． B． C． D． 4．若把分式中的和都扩大到原来的倍，且，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 5．解分式方程，去分母后，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 6．对于非零实数，规定：．若，则的值为（   ） A． B． C． D．不存在 7．若关于x的分式方程与方程的解相同，则m的值为(  ) A． B． C． D． 8．2024年12月7日哈尔滨第五届采冰节在松花江北岸启幕，吸引了众多游客，小帅一家从距离哈尔滨180km的地方开车前往，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地．设前一小时的行驶速度为每小时千米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 10．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数值之积是（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．若分式有意义，则x满足的条件是 ． 12．计算： ． 13．若一根头发丝的直径大约为，且，则头发的直径用科学记数法表示为 ． 14．如果关于的分式方程的解是，那么的值是 ． 15．对于非零实数、，规定．若，则的值为 ． 16．已知，则代数式的值为 ． 17．甲乙两地之间公路全长，公共汽车从甲地到乙地的速度为，轿车行驶的速度比公共汽车快，那么从甲地到乙地轿车比公共汽车早到 小时． 18．如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点M、N，延长交于点P．若，则 （用含k的代数式表示）． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．计算：． 20．解方程： (1)； (2)． 21．先化简，再代入求值：，其中． 22．对于非零实数、，定义运算：，如． (1)①填空：＝　 　； ②计算：； (2)若，求的值． 23．已知：，． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设时，若是正整数，求的正整数值． 24．某文创店，最近一款印有“保卫里”的书签销售火爆．该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍． (1)求该店两次购进这款书签各多少个？ (2)第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？ 25．［核心素养］【阅读材料】若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． 例如与． 解：， ， 是的“关联分式”． 【解决问题】 （1）已知分式，则___________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法． 解：设分式的“关联分式”为， 则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）和（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”___________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数，的值． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$