第5章 一元一次方程 知识归纳与题型突破（二十类题型清单）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版2024）

第5章 一元一次方程（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点一：方程的基本概念 方程是含有未知数的等式。 一元一次方程是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程，例如ax+b=0（a、b为已知数，a≠0）。 要点二：等式的性质 等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍然成立。 等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 要点三：一元一次方程的解法 去分母：如果方程中有分母，需要找到各分母的最小公倍数，方程两边同时乘以这个最小公倍数。 去括号：利用分配律去掉括号。 移项：将含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边，移项时要变号。 合并同类项：将方程中的同类项合并，即将未知数项系数相加，常数项相加。 系数化为1：将方程两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。 要点四：一元一次方程的应用 利用一元一次方程解决实际问题，首先需要审题，明确已知和未知，找出等量关系。 设未知数，根据等量关系列出方程。 解方程，得到未知数的值。 检验解是否符合题意。 写出答案。 要点五：常见应用题型 和、差、倍、分问题：通过关键词“多、少、和、差、几倍”等找出等量关系。 等积变形问题：形状改变但体积不变，利用几何图形的面积、体积公式找出等量关系。 数字问题：通常设个位、十位、百位数字为未知数，利用数字之间的关系找出等量关系。 市场经济问题：包括利润、售价、进价、折扣等，利用这些关系找出等量关系。 行程问题：包括相遇、追及、航行等，利用路程、速度、时间的关系找出等量关系。 工程问题：工作量、工作效率、工作时间的关系，通常设总工作量为1。 储蓄问题：包括本金、利息、利率、期数等，利用这些关系找出等量关系。 03 题型归纳 题型一　方程与一元一次方程的定义 例题：下列式子中属于方程的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（  ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．下列是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．若是关于的一元一次方程，则（   ） A． B． C． D． 题型二　等式的基本性质 例题：已知等式，则下列等式成立的是（  ） A． B． C． D． 巩固训练 1．下列各等式中变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．下列运用等式的性质的变形中，不一定正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型三　列方程 例题：《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题其内容是：“分田地，三人分之二，留三亩，问田地几何？”设田地有x亩，则可列方程为（　　）． A． B． C． D． 巩固训练 1．学校体育组有学生41人参加了篮球队或足球队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足球队的学生人数的1.5倍，两队都参加的有8人，设参加足球队的学生人数有x人，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．“x的2倍与5的差等于0”，用方程表示为 ． 3．列式表示：比大5的数等于的2倍与的差 ． 题型四　方程的解 例题：解为的方程是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．若是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 2．已知是方程的解，那么的值是 ． 3．整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值： 0 1 2 3 0 4 8 则关于的方程的解是 ． 题型五　一元一次方程的应用——数字问题 例题：幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，幻方是把数字填在正方形格子中，使每行、每列以及对角线上的3个数的和相等，如图所示的的幻方中，其中的“？”对应的数是（   ） ？ 0 A．1 B． C．5 D．0 巩固训练 1．一个两位数，个位数字与十位数字的和为9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大45，设原两位数的十位数字是x，则可列方程（    ） A． B． C． D． 2．一个数，减去它的，再加上5，还比原来小3．那么，这个数是 ． 3．有一些分别标有6，12，18，24，…的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大6，小王拿了相邻的三张卡片，且这些卡片上的数之和为342． (1)猜猜小王拿了哪三张卡片． (2)小王能否拿到相邻的三张卡片，使得这三张卡片上的数之和等于86？若能，试求出卡片上的数；若不能，说明理由． 题型六　一元一次方程的应用——日历问题 例题：如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出个数，它们的和为．不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得个数的和可能是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“”型框中的个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这个数的和不可能的是（  ） A． B． C． D． 2．如图，是2024年1月的日历表，方框内①、②、③、④中的日期之和为64，则框①中日期的数字为 ． 3．如图为2024年10月的日历，其中有一个“H”型框，“H”型框内包含7个数，将“H”型框上下左右平移，但一定要框住2024年10月的日历中的7个数． (1)若设“H”型框内的7个数中，从小到大排列第1个数为a，用含a的式子表示“H”型框内的7个数字的和； (2)若“H”型框内的7个数之和为84，求出此时“H”型框内的7个数中最大的数； (3)若某两次在不同位置框住的7个数之和的和为231，且第二次“H”型框内最小的数比第一次“H”型框内最小的数大3，分别求这两次“H”型框内的7个数之和． 题型七　一元一次方程的应用——和差倍分问题 例题：有一批画册，若3人合看一本，那么就多余2本，若2人合看一本，就有9人没有书看．设人数为x人，那么可以列出方程（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．儿子今年12岁，父亲今年39岁，（     ）父亲的年龄是儿子年龄的4倍． （      ） A．3年前 B．3年后 C．6年前 D．6年后 2．王芳出生时父亲33岁，现在父亲的年龄是王芳年龄的4倍，王芳现在的年龄是 岁． 3．某工厂有工人1200人，因工作需要，调走了男工人数的，又增加女工人30人，这时男、女工人数相等．这个工厂原有男工多少人？ 题型八　一元一次方程的应用——古代问题 例题：文化情境·数学文化  在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（凫：野鸭）起南海，七日至北海：雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”意思是野鸭从南海起飞，7天飞到北海：大雁从北海起飞，9天飞到南海．野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过几天相遇？设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过天相遇，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．我国古代数学著作《算法统宗》中有一首诗的大意为：有一批客人去住店，如果每一间客房住7个人，那么就有7个人没有房住；如果每一间客房住9个人，那么就会多出来一间房，则这批住店的客人共（   ） A．56人 B．63人 C．64人 D．72人 2．《孙子算经》中记载的一个问题的译文大意是：今有若干人乘车，若每3人共乘一辆车，恰好剩2辆车；若每2人共乘一辆车，剩9人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设今有人乘车，则车的数量可表示为 辆． 3．列一元一次方程解决实际问题． 《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数几何？译文：今有人合伙买金，每人出钱，剩余钱；每人出钱，剩余钱．问合伙人数是多少？ 题型九　一元一次方程的应用——比赛积分问题 例题：某校七年级举行“数学头脑风暴竞技”活动，测试卷由20道题组成，答对一题得5分，不答或答错一题扣1分，考生李华的成绩为82分，则他答对了（   ）道题． A．16 B．17 C．18 D．19 巩固训练 1．某校七年级举行“数学头脑风暴竞技”活动，测试卷由20道题组成，答对一题得5分，不答或答错一题扣1分，考生李华的成绩为82分，则他答对了（   ）道题． A．16 B．17 C．18 D．19 2．足球比赛中胜1场得3分，平1场得1分，输1场得0分，某队共赛11场，得18分，其中输了1场，这支球队共胜了 场． 3．据了解第二届“澳新杯”篮球赛在12月2日圆满结束，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如下表）： 八年级部分班篮球赛成绩公告 比赛场次 胜场 负场 积分 12 8 4 20 12 6 6 18 12 0 12 12 小明同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙完成下列问题： (1)从表中可以看出，负一场积 ___________分，胜一场积 ___________分； (2)某班在比完12场的前提下，胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗？请说明理由． 题型十　一元一次方程的应用——配套问题 例题：某工厂有22人，每名工人每天可加工3张桌子或10把椅子，1张桌子与4把椅子配套，现要求工人每天做的桌子和椅子完整配套，且没有剩余，若设安排名工人加工桌子，则根据题意可列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．现用木料制做桌子和椅子，已知1张桌子配4把椅子，木料可做3把椅子或1张桌子，要使桌子和椅子刚好配套，设用的木料做桌子，则依题意可列方程为(   ) A． B． C． D． 2．某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，设需要有x名工人生产茶壶，则可列方程为： ． 3．某工厂车间有24个工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件10个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套． (1)求该工厂有多少个工人生产A零件？ (2)工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元，求该工厂每日生产的零件总获利多少元？ 题型十一　解一元一次方程——移项 例题：解方程： (1)； (2)． 巩固训练 1．解方程： 2．解方程：． 3． 解方程： 题型十二　解一元一次方程——去括号 例题：解方程： 巩固训练 1．解方程：． 2．解方程： (1) (2) 3．解一元一次方程： (1)； (2)． 题型十三　解一元一次方程——去分母 例题：解方程：． 巩固训练 1．解方程：． 2．解方程：. 3．解下列方程． (1)； (2)； (3)． 题型十四　一元一次方程的应用——行程问题 例题：，两地相距48千米，甲骑自行车从地前往地，速度为每小时16千米，1小时后，乙电动车也沿相同的路线从地前往地，速度为每小时40千米， (1)乙出发多长时们后能追上甲？ (2)若乙到达地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距地多少千米？ 巩固训练 1．一轮船在甲、乙两码头间往返航行，已知船在静水中速度为，水流速度为，往返一次共用，求甲、乙两码头之间的距离． 2．一条笔直的铁路上依次有A，B，C三个车站（B在A，C之间），A，B两站相距，B，C两站相距．甲、乙两列车分别从A，C两站出发，相向而行，甲列车速度为，乙列车速度为140k．若乙列车先出发1小时． (1)当甲、乙列车相遇时，甲列车是否经过B车站？ (2)甲列车经过多少小时与乙列车相距？ 3．一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道需要的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是．设火车长，解答下列问题． (1)从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是______，这段时间内火车的速度是______．（用含的代数式表示） (2)从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是______，这段时间内火车的速度是______．（用含的代数式表示） (3)求这列火车的长度． 题型十五　一元一次方程的应用——工程问题 例题：一项任务，甲单独做需7.5小时完成，乙单独做需6小时完成．先由甲、乙合做2小时，然后剩下的部分由乙单独做，还需多少小时完成任务？ 巩固训练 1．某工厂生产一批印花布料，甲生产小组单独完成需要10天，乙生产小组单独完成需要6天．为追赶进度要求，在甲生产小组单独工作两天后安排甲、乙两小组合作生产，则两小组需合作多少天才能将这批印花布料的生产工作完成? 2．一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 3．列一元一次方程解应用题 新蒲新区某校举办体育文化艺术节，七（2）班为了宣传班上开展的活动，由甲、乙两位同学制作宣传展板．已知甲同学单独完成需要4天，乙同学单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若由乙同学先做1天，再由甲、乙两位同学合作完成．问还需几天可以完成展板的制作？ 题型十六　一元一次方程的应用——销售问题 例题：微商琪琪计划购进，两款果汁机共台在朋友圈进行销售，这两款果汁机的进价、售价如下表： 进价/(元/台) 售价/(元/台) 款 款 (1)如何进货才能使进货款恰好为4000元？ (2)如何进货才能使销售完这批果汁机时获得的利润恰好为1550元？ 巩固训练 1．元旦即将到来，两超市分别推出如下促销方式： 甲超市：全场均按八五折优惠； 乙超市：购物不超过300元，按九折优惠；超过300元，不超过300元的部分按九折优惠，超过300元的部分按八折优惠； 假设超市相同商品的标价都一样． (1)当一次性购物总额为400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？ (2)当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同． (3)现有丙超市推出每满100元减18元的活动，当购物总额为450元时去哪家超市划算？ 2．一家服装店将某种衣服按成本价提高后标价，为了吸引顾客，商家又以标价的9折出售，结果每件仍可获利12元，求这种衣服每件的标价是多少元？ 3．随着时代和科技的快速发展，抖音电商利用自身的智能化推荐、定位、搜索等先进技术迅速占领线上购物市场．10月初，某抖音主播用11000元从厂家购进了A、B两种商品共500件，其中A商品每件进价40元，B商品每件进价10元． (1)求10月初购进A、B两种商品各多少件？ (2)该主播在抖音平台上出售10月初购进的A、B两种商品．A商品在进价的基础上加价50%出售，并全部售完：B商品的售价为30元/件，并以此价格售出后迎来了双“十一”促销活动，剩下的B商品在原来售价基础上打m折销售，并将剩下的商品全部售完．最后销售10月初购进的A、B两种商品一共获得的利润为9400元，求m的值． 题型十七　一元一次方程的应用——方案问题 例题：2025年“双十一”期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品旗舰店实行优惠销售，规定如下：对原价160元/件的某款运动速干衣和20元/双的某款运动棉袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案A：买一件运动速干衣送一双运动棉袜； 方案B：运动速干衣和运动棉袜均按9折付款． 某户外俱乐部准备购买运动速干衣30件，运动棉袜x双（）． (1)若该户外俱乐部按方案A购买，需付款______元（用含x的代数式表示）；若该户外俱乐部按方案B购买，需付款______元（用含x的代数式表示）． (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算； (3)当购买运动棉袜多少双时两种方案付款相同． 巩固训练 1．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设成人每人收费元，店主李三公推出两种订房方案：方案一：房客超过人，超过的按原价八折优惠，方案二：大人原价，小孩半价．若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 2．某校为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需采购一批某种菜苗开展种植活动．已知甲、乙两菜苗基地该种菜苗每捆的标价都是元（菜苗的质量一样好），但甲、乙两菜苗基地的优惠条件却不同，如下所示． 甲菜苗基地：若购买不超过捆，则按标价付款；若一次性购买捆以上，前捆按标价付款，超过捆的部分按标价的付款； 乙菜苗基地：按标价的付款． (1)若学校决定购买该种菜苗捆，则在甲菜苗基地购买，需付款______元，在乙菜苗基地购买，需付款______元； (2)设学校购买该种菜苗捆，补全下列表格（需化简）； 的取值范围 在甲菜苗基地购买的费用（元） 在乙菜苗基地购买的费用（元） 小于等于 大于 (3)根据购买该种菜苗的捆数选择在哪个基地更省钱． 3．秋高气爽之时，水果丰收之际．某水果加工厂收购了30吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在8天内全部销售或加工完毕，为此水果加工厂研制了两种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好8天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨·千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多450元，求水果加工厂到市场的距离． 题型十八　一元一次方程的应用——几何问题 例题：如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 巩固训练 1．如图，已知线段和的公共部分，线段的中点E、F之间距离是，求的长． 2．如图，已知． (1)，求的度数； (2)猜想三者之间的关系并加以说明． 3．综合与探究 探索新知： 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． （1）一个角的平分线______________这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）； （2）若，且射线是的“巧分线”，则______________（用含的代数式表示）； 深入研究： 如图2，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中．将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，当边落在射线上时两个三角板停止旋转，设三角板运动时间为秒．请直接写出当是的“巧分线”时的值． 题型十九　一元一次方程的应用——电费和水费问题 例题：为了倡导节约用水，某市自去年开始实行阶梯水价．具体收费标准如下：每户每月用水量不超过12吨，每吨3.2元；超过12吨的部分，每吨4.6元． (1)林敏家今年5月用水15吨，他家应付多少元水费？ (2)马老师家5月份共交了84.4元水费，马老师家5月份一共用水多少吨？ 巩固训练 1．某市自来水公司为了鼓励居民节约用水，规定按以下标准收取水费： 用水量/月 单价（元/） 不超过 超过的部分 另：每立方米用水加收元的城市污水处理费和元的城市附加费 (1)根据上表，用水量每月不超过，实际每立方米收水费____________元；如果月份某用户用水量为，那么该用户月份应该缴纳水费____________元； (2)某用户月份共缴纳水费元，那么该用户月份用水多少？ (3)若该用户水表月份出了故障，有的水量没有计入水表中，这样该用户在月份只缴纳了元水费，问该用户月份实际应该缴纳水费多少元？ 2．为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水目的．该市自来水收费价格见价目表．例如：某户居民1月份用水，则应收水费：元． 价目表 每月用水量 单价 不超出6的部分 2元/ 超出6不超出10的部分 4元/ 超出10的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)若该户居民2月份用水12.5，则应交水费多少元？ (2)若该户居民3月份交水费40元；则该户居民3月份用水多少立方米？ (3)若该户居民4、5月份共用15（其中5月份用水量超过4月份），共交水费44元，则该户居民4、5月份各用水多少立方米？ 3．为了促进节约用水，合理配置水资源，提高用水效率，促进水资源可持续利用，全国各地正逐渐推广和实行阶梯水价政策．“阶梯水价”是指对使用自来水的用户实行分类计量收费和超定额累进加价制的收费方式．这种收费方式将水价分为多个阶梯，每一阶梯都有一个固定的单位水价，但单位水价会随着用水量的增加而逐步提高．阶梯式计量水费第一级水价第一级水量基数第二级水价第二级水量基数第三级水价第三级水量基数． 以下为某市的水费价目表（水费按月缴纳）： 第一级水价：月用水量不超过16吨的部分（含16吨），每吨2元． 第二级水价：月用水量超过16吨但不超过30吨部分（含30吨），每吨元． 第三级水价：月用水量超过30吨的部分，每吨元． (1)若某月李华家用水量为24吨，则水费为______元；某月张磊家用水量为x（）吨，则用含x的式子表示张磊家当月应缴纳的水费为______元． (2)若小杨家8月份和9月份共用水70吨（其中8月份用水量超过16吨但不超过30吨，9月份用水量超过了30吨），一共缴纳的水费为231元，问小杨家8月份和9月份各用水多少吨? 题型二十　一元一次方程的应用——数轴动点问题 例题：跨学科试题·语文 距离能够产生美，唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：“世界上最遥远的距离不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇便注定无法相聚．”距离，是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．同学们通过学习知道了点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 请回答： (1)数轴上表示和5的两点之间的距离是________，数轴上表示和的两点之间的距离是________． (2)数轴上表示x和的两点A、B之间的距离是________，若A、B两点之间的距离为5，则x为________． (3)利用绝对值的几何意义观察、分析、归纳，并比较大小：________．（填“”“ ”“”“”或“”） (4)如果，求a的值． 巩固训练 1．如图，点为数轴的原点，点，是数轴上的两点，点表示的数为，．若点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，设点和点运动的时间为秒． (1)点表示的数为______． (2)若点和点运动的时间为3秒，且点沿着数轴向左运动，求点和点之间的距离； (3)当点，之间的距离为6个单位长度，且点在点的右边时，求点，运动的时间． 2．【新考向】如图，在数轴上有相距个单位长度的，两点，点表示的数是，点为线段上的一个动点．规定：当线段，，中的任意两条线段之间满足三倍的数量关系时，我们称此时的点为线段的“奇分点”． (1)当点与数轴原点重合时，此时点________（填“是”或“不是”）线段的“奇分点”； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，设运动时间为秒． ①在这个过程中，点表示的数是________（用含的代数式表示）； ②若点是线段的“奇分点”，求运动时间； ③若动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则当点是线段的“奇分点”时，求运动时间． 3．如图，已知数轴上点表示原点，点表示的数为．动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回，点和点同时出发，同时停止．设运动的时间为秒． (1)如图1，当时，点表示的数为 ，点表示的数为 （用含的代数式表示）； (2)如图1，当时，若、两点的距离为单位长度，求的值； (3)如图2，数轴上从左到右依次是点、、、，线段，，在数轴上方作正方形与正方形，两个正方形随点和点运动，若两个正方形同时出发，求为何值时，两个正方形的重叠部分面积为． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 一元一次方程（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点一：方程的基本概念 方程是含有未知数的等式。 一元一次方程是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程，例如ax+b=0（a、b为已知数，a≠0）。 要点二：等式的性质 等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍然成立。 等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 要点三：一元一次方程的解法 去分母：如果方程中有分母，需要找到各分母的最小公倍数，方程两边同时乘以这个最小公倍数。 去括号：利用分配律去掉括号。 移项：将含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边，移项时要变号。 合并同类项：将方程中的同类项合并，即将未知数项系数相加，常数项相加。 系数化为1：将方程两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。 要点四：一元一次方程的应用 利用一元一次方程解决实际问题，首先需要审题，明确已知和未知，找出等量关系。 设未知数，根据等量关系列出方程。 解方程，得到未知数的值。 检验解是否符合题意。 写出答案。 要点五：常见应用题型 和、差、倍、分问题：通过关键词“多、少、和、差、几倍”等找出等量关系。 等积变形问题：形状改变但体积不变，利用几何图形的面积、体积公式找出等量关系。 数字问题：通常设个位、十位、百位数字为未知数，利用数字之间的关系找出等量关系。 市场经济问题：包括利润、售价、进价、折扣等，利用这些关系找出等量关系。 行程问题：包括相遇、追及、航行等，利用路程、速度、时间的关系找出等量关系。 工程问题：工作量、工作效率、工作时间的关系，通常设总工作量为1。 储蓄问题：包括本金、利息、利率、期数等，利用这些关系找出等量关系。 03 题型归纳 题型一　方程与一元一次方程的定义 例题：下列式子中属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程，熟练掌握方程的概念是解题的关键．方程必须具备两个条件：①必须含有未知数；②必须是等式；据此解答． 【详解】解：A、 是等式，但不含未知数，所以不是方程； B．不是等式，所以不是方程； C．是代数式，所以不是方程； D．含有未知数，是等式，所以是方程； 故选：D． 巩固训练 1．给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（  ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【详解】本题考查了方程的定义，判断一个式子是方程必须同时具备两点，一是等式，二是含有未知数． 方程就是含有未知数的等式，据此定义逐个判断即可得出案． 【分析】解：根据方程的定义可得①③④⑤⑥是方程； ②是不等式，不是方程； 故有5个式子是方程． 故选：C． 2．下列是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的识别，判断一个方程是否是一元一次方程，看它是否具备以下三个条件：①只含有一个未知数，②含未知数项的最高次数是1，③未知数不能在分母里，这三个条件缺一不可． 【详解】解：A．是一元一次方程；     B．含2个未知数，不是一元一次方程；     C．不是等式，不是一元一次方程；     D．含2个未知数，不是一元一次方程； 故选A． 3．若是关于的一元一次方程，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，根据一元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：∵是关于y的一元一次方程， ∴， 解得：． 故选：C． 题型二　等式的基本性质 例题：已知等式，则下列等式成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键；根据等式的性质“等式的两边同时加、减一个数或式子，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以一个不为0 的数或式子，等式仍然成立”，结合已知等式，即可判断求解． 【详解】因为，所以，即，故选项A错误； 因为，所以，即，故选项B正确； 因为，所以，即，故选项C错误； 因为，所以，即，故选项D错误； 故选：B． 巩固训练 1．下列各等式中变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质，是解题的关键．根据等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A．如果， 等式两边同时加得，故本选项不符合题意； B．如果， 等式两边同时减得，故本选项符合题意； C．如果， 等式两边同时乘得，故本选项不符合题意； D．如果， 等式两边同时乘4得，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．下列运用等式的性质的变形中，不一定正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质，如果，则；如果，则；如果，，进行解答，即可． 【详解】解：A、如果，那么，正确，不符合题意； B、如果，那么，当时，等式无意义，不一定正确，符合题意； C、如果，那么，正确，不符合题意； D、如果，那么，正确，不符合题意； 故选：B． 3．下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，原选项变形错误，不符合题意； B、若，则，原选项变形错误，不符合题意； C、若，则，原选项变形正确，符合题意； D、若，且时，则，，选项变形错误，不符合题意； 故选C． 题型三　列方程 例题：《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题其内容是：“分田地，三人分之二，留三亩，问田地几何？”设田地有x亩，则可列方程为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设田地有x亩，则参与分配田地为，根据等量关系“留三亩”即可列出方程． 【详解】解：设田地有x亩， 根据题意：可知方程为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、明确等量关系是解答本题的关键． 巩固训练 1．学校体育组有学生41人参加了篮球队或足球队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足球队的学生人数的1.5倍，两队都参加的有8人，设参加足球队的学生人数有x人，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设参加足球队的学生人数有x人，则只参加足球队的人数有人，只参加篮球队的人数有人，再根据体育组有学生41人参加了篮球队或足球队即可解答． 【详解】解：设参加足球队的学生人数有x人，则只参加足球队的人数有人，只参加篮球队的人数有人 根据体育组有学生41人参加了篮球队或足球队可得：． 故选D． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、确定只参加篮球的人数和“参加篮球队人数=只参加篮球人数+两队都参加的人数”是解答本题的关键． 2．“x的2倍与5的差等于0”，用方程表示为 ． 【答案】 【分析】根据题意列方程即可． 【详解】由题意得，方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据题意列方程，准确理解题意是解题的关键． 3．列式表示：比大5的数等于的2倍与的差 ． 【答案】 【分析】比大5的数为，的2倍与的差为，即可得出答案． 【详解】比大5的数等于的2倍与的差表示为： 故答案为：． 【点睛】本题考查了列方程，弄清题意，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来是解题的关键． 题型四　方程的解 例题：解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解，注意掌握方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值． 将代入各方程，能满足左边=右边的，即是正确选项． 【详解】解：A、将代入，左边，右边，左边右边，故本选项错误； B、将代入，左边，右边，左边右边，故本选项错误； C、将代入，左边，右边，左边=右边，故本选项正确； D、将代入，左边，右边，左边右边，故本选项错误； 故选：C． 巩固训练 1．若是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查方程的解，解题的关键是理解题意，根据方程的解的定义把代入方程可得关于m的方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：把代入方程，得： ， 解得：， 故选：A． 2．已知是方程的解，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，根据一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程求出a的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 3．整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值： 0 1 2 3 0 4 8 则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了方程的解，根据表格中的数据求解即可． 【详解】根据题意可得， 当时， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 题型五　一元一次方程的应用——数字问题 例题：幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，幻方是把数字填在正方形格子中，使每行、每列以及对角线上的3个数的和相等，如图所示的的幻方中，其中的“？”对应的数是（   ） ？ 0 A．1 B． C．5 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先设“？”对应的数为，根据每行、每列以及对角线上的3个数的和相等，得出，再解出的值，即可作答． 【详解】解：设“？”对应的数为， ∵每行、每列以及对角线上的3个数的和相等， ∴， ∴解得， 则“？”对应的数是， 故选：B． 巩固训练 1．一个两位数，个位数字与十位数字的和为9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大45，设原两位数的十位数字是x，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程，根据一个两位数的表示方法：，结合个位数字与十位数字的和为9，以及个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大45，列出方程即可．找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键． 【详解】解：设原两位数的十位数字是x，由题意，得：； 故选：B． 2．一个数，减去它的，再加上5，还比原来小3．那么，这个数是 ． 【答案】40 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．设这个数为，由题意得：，解方程即可． 【详解】解：设这个数为， 则 解得： 故答案为：40． 3．有一些分别标有6，12，18，24，…的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大6，小王拿了相邻的三张卡片，且这些卡片上的数之和为342． (1)猜猜小王拿了哪三张卡片． (2)小王能否拿到相邻的三张卡片，使得这三张卡片上的数之和等于86？若能，试求出卡片上的数；若不能，说明理由． 【答案】(1)108，114，120 (2)不能拿到，理由见解析 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是正确列出方程． （1）设中间的卡片上的数为x，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列出方程，求出，不是整数，故不能拿到． 【详解】（1）设中间的卡片上的数为x， 根据题意，可得， 解得， 所以卡片上三个数分别是108，114，120； （2）不能拿到， 理由如下：， 解得（不合题意） ∴不能拿到． 题型六　一元一次方程的应用——日历问题 例题：如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出个数，它们的和为．不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得个数的和可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设中间的数为，根据题意得上方两个数为，，上方两个数为，，求出它们的和为，再结合选项中的数，进行判断即可，解题的关键是正确的表示出五个数的和． 【详解】解：设中间的数为，根据题意得上方两个数为，，上方两个数为，， 则， 、若，解得：，不是整数，不符合题意； 、若，解得：，是整数，符合题意； 、若，解得：，不是整数，不符合题意； 、若，解得：，不是整数，不符合题意； 故选：． 巩固训练 1．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“”型框中的个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这个数的和不可能的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设这个数中最小的数为，则这个数的和为，分别代入各选项中的数，解之可得出的值，结合为整数，即可得出结论． 【详解】解：设这个数中最小的数为，则另外个数分别为，，，，，， 这个数的和为． A．根据题意得：， 解得：， 在第四列，符合题意， 这个数的和可以是，选项A不符合题意； B．根据题意得：， 解得：， 在第五列，符合题意， 这个数的和可以是，选项B不符合题意； C．根据题意得：， 解得：， 不是整数，不符合题意， 这个数的和不可能是，选项C符合题意； D．根据题意得：， 解得：， 在第一列，符合题意， 这个数的和可以是，选项D不符合题意． 故选：C． 2．如图，是2024年1月的日历表，方框内①、②、③、④中的日期之和为64，则框①中日期的数字为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设①中的数字为x，则②中的数字为，③中的数字为，④中的数字为，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设①中的数字为x，则②中的数字为，③中的数字为，④中的数字为， ∴， 解得， ∴框①中日期的数字为15， 故答案为：15． 3．如图为2024年10月的日历，其中有一个“H”型框，“H”型框内包含7个数，将“H”型框上下左右平移，但一定要框住2024年10月的日历中的7个数． (1)若设“H”型框内的7个数中，从小到大排列第1个数为a，用含a的式子表示“H”型框内的7个数字的和； (2)若“H”型框内的7个数之和为84，求出此时“H”型框内的7个数中最大的数； (3)若某两次在不同位置框住的7个数之和的和为231，且第二次“H”型框内最小的数比第一次“H”型框内最小的数大3，分别求这两次“H”型框内的7个数之和． 【答案】(1) (2) (3)105和126 【分析】本题考查了数字的变化类及一元一次方程的应用，找到变化规律是解题的关键． （1）用a表示各个数，再求和； （2）先根据“H”形框内的7个数字之和为84，列方程求出最小的数，再求出最大的数； （3）设第一次“H”型框内最小的数为m，则第二次“H”型框内最小的数为，先根据“7个数之和为231”求解再代入代数式即可得出答案． 【详解】（1）由题意可知，其他6个数为，，，，，， ∴这7个数之和为； （2）由题意得，， 解得， ∴最大的数为； （3）设第一次“H”型框内最小的数为m，则第二次“H”型框内最小的数为， ， 解得， ，， ∴这两次“H”型框内的7个数之和分别为105和126． 题型七　一元一次方程的应用——和差倍分问题 例题：有一批画册，若3人合看一本，那么就多余2本，若2人合看一本，就有9人没有书看．设人数为x人，那么可以列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是一元一次方程方程的应用题，首先根据题意找出题中存在的等量关系：三人一本时的图书的数量两人一本时的图书的数量，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：人一本时的图书数量为本，2人一本时的图书数量为， 根据其相等关系可以得到方程为：． 故选：A． 巩固训练 1．儿子今年12岁，父亲今年39岁，（     ）父亲的年龄是儿子年龄的4倍． （      ） A．3年前 B．3年后 C．6年前 D．6年后 【答案】A 【分析】设x年后父亲的年龄是儿子年龄的4倍，根据题意列方程求解即可． 本题考查了列一元一次方程解决年龄问题．正确的找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设x年后父亲的年龄是儿子年龄的4倍，根据题意，得 ， ， ∴3年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍． 故选：A. 2．王芳出生时父亲33岁，现在父亲的年龄是王芳年龄的4倍，王芳现在的年龄是 岁． 【答案】11 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键．由题意父亲比王芳大33岁，设王芳现在的年龄是x岁，则现在父亲的年龄为岁，列一元一次方程即可求解． 【详解】解：设王芳现在的年龄是x岁，则现在父亲的年龄为岁，由题意得： ， 解得，即王芳现在的年龄是11岁， 故答案为：11． 3．某工厂有工人1200人，因工作需要，调走了男工人数的，又增加女工人30人，这时男、女工人数相等．这个工厂原有男工多少人？ 【答案】656人 【分析】设这个工厂原有男工x人，列出方程解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设这个工厂原有男工x人， 根据题意得：， 解得， 答：这个工厂原有男工656人． 题型八　一元一次方程的应用——古代问题 例题：文化情境·数学文化  在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（凫：野鸭）起南海，七日至北海：雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”意思是野鸭从南海起飞，7天飞到北海：大雁从北海起飞，9天飞到南海．野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过几天相遇？设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过天相遇，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设野鸭与大雁经过x天相遇，根据路程=速度×时间，结合野鸭飞过的路程+大雁飞过的路程=整段路程，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设野鸭与大雁经过x天相遇， 依题意得：， 故选：C． 巩固训练 1．我国古代数学著作《算法统宗》中有一首诗的大意为：有一批客人去住店，如果每一间客房住7个人，那么就有7个人没有房住；如果每一间客房住9个人，那么就会多出来一间房，则这批住店的客人共（   ） A．56人 B．63人 C．64人 D．72人 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设设共有位客人住店，根据客房数相等列方程即可． 【详解】解：设共有位客人住店， 根据题意，得， 解得， 所以这批住店的客人共63人． 故选：B． 2．《孙子算经》中记载的一个问题的译文大意是：今有若干人乘车，若每3人共乘一辆车，恰好剩2辆车；若每2人共乘一辆车，剩9人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设今有人乘车，则车的数量可表示为 辆． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，解题的关键是理解题意，根据每2人共乘一辆车，剩9人无车可乘，列出代数式即可． 【详解】解：设今有人乘车，则车的数量可表示为辆． 故答案为：． 3．列一元一次方程解决实际问题． 《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数几何？译文：今有人合伙买金，每人出钱，剩余钱；每人出钱，剩余钱．问合伙人数是多少？ 【答案】合伙人数为人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设合伙人数为人，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设合伙人数为人 由题意得： 解得： 答：合伙人数为人 题型九　一元一次方程的应用——比赛积分问题 例题：某校七年级举行“数学头脑风暴竞技”活动，测试卷由20道题组成，答对一题得5分，不答或答错一题扣1分，考生李华的成绩为82分，则他答对了（   ）道题． A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，设他答对了x道题，则答错了道题，，进而表示出得分列出方程，进而求出即可． 【详解】解：设他答对了x道题，则答错了道题， 根据题意可得：， 解得：， 故选：B． 巩固训练 1．某校七年级举行“数学头脑风暴竞技”活动，测试卷由20道题组成，答对一题得5分，不答或答错一题扣1分，考生李华的成绩为82分，则他答对了（   ）道题． A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意表示出答对以及答错的题目数，表示出得分，进而求出即可． 【详解】解：设他答对了x道题，则答错了道题，根据题意可得： ， 解得：， 故选：B． 2．足球比赛中胜1场得3分，平1场得1分，输1场得0分，某队共赛11场，得18分，其中输了1场，这支球队共胜了 场． 【答案】4 【分析】设这支球队共胜x场，则可得平了场，从而根据得分为18分可列出方程，解出即可；此题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是设出未知数，表示出得分，利用方程解答． 【详解】设这支球队共胜x场，则可得平了场， 由题意得：， 解得：， 故答案为：4． 3．据了解第二届“澳新杯”篮球赛在12月2日圆满结束，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如下表）： 八年级部分班篮球赛成绩公告 比赛场次 胜场 负场 积分 12 8 4 20 12 6 6 18 12 0 12 12 小明同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙完成下列问题： (1)从表中可以看出，负一场积 ___________分，胜一场积 ___________分； (2)某班在比完12场的前提下，胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗？请说明理由． 【答案】(1)1，2 (2)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找到等量关系并列出方程是解题的关键； （1）由表中最后一行的信息可知，12场全负积分为12分，由此可得负一场积分；设胜一场积a分，结合表中第一行的信息得到方程，即可求得胜一场积分； （2）设该班胜了x场，则该班负了场，胜的场次共积分，负的场次共积分，由题意可得方程：，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由表中最后一行的信息可知，某班12场全负积分为12分， ∴负一场的积分为：（分）； 设胜一场积a分，则由表中第一行信息可得：， 解得：， ∴胜一场积2分； 故答案为：1，2； （2）解：能； 理由如下： 设该班胜了x场，根据题意可得： ， 解得：， ∴若某班赛完全部12场，胜了6场，则胜场得12分，负场得6分，该班的胜场积分是负场积分的2倍． 答：若该班赛12场，胜了6场，则其胜场积分是负场积分的2倍． 题型十　一元一次方程的应用——配套问题 例题：某工厂有22人，每名工人每天可加工3张桌子或10把椅子，1张桌子与4把椅子配套，现要求工人每天做的桌子和椅子完整配套，且没有剩余，若设安排名工人加工桌子，则根据题意可列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是一道有关一元一次方程的应用的题目，本题侧重考查知识点的应用能力．学生在日常学习中应从【数学建模】培养对知识点的应用能力．1张桌子与4把椅子配套，且没有剩余，则生产的桌子数生产的椅子数． 【详解】解：安排个工人加工桌子，则有个工人加工椅子， 一个工人每天可加工3张桌子或10把椅子， 桌子共生产张，椅子共生产有把， 故列方程为：． 故选：A． 巩固训练 1．现用木料制做桌子和椅子，已知1张桌子配4把椅子，木料可做3把椅子或1张桌子，要使桌子和椅子刚好配套，设用的木料做桌子，则依题意可列方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设用的木料做桌子，则用的木料做椅子，根据制作的椅子数为桌子数的倍，即可得出关于x的一元一次方程，可得答案． 【详解】解：设用的木料做桌子，则用的木料做椅子，根据题意得， 故选：C． 2．某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，设需要有x名工人生产茶壶，则可列方程为： ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是建立等量关系．设分配x名工人生产茶壶，则人生产茶杯，由一个茶壶与4只茶杯配套可知茶杯的个数是茶壶个数的4倍从而得出等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设分配x名工人生产茶壶，则人生产茶杯，根据题意得： ， 故答案为：． 3．某工厂车间有24个工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件10个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套． (1)求该工厂有多少个工人生产A零件？ (2)工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元，求该工厂每日生产的零件总获利多少元？ 【答案】(1)设该工厂有6名工人生产A零件 (2)该工厂每日生产的零件总获利1620元 【分析】本题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是通过分析探究找出配套问题的相等关系且列方程求解． （1）设该工厂有x名工人生产A零件，共生产A零件个，则有名工人生产B零件，共生产B零件个，根据每天生产的A零件和B零件恰好配套列方程解决即可； （2）先求出生产B零件的有工人数，进而列式计算求出结论． 【详解】（1）解：设该工厂有x名工人生产A零件，共生产A零件个，则有名工人生产B零件，共生产B零件个，由题意得： ， 解得：， 答：设该工厂有6名工人生产A零件； （2）由（1）得，生产B零件的有工人人， 每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元， 元， 答：该工厂每日生产的零件总获利1620元． 题型十一　解一元一次方程——移项 例题：解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）根据解一元一次方程的方法：移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）根据解一元一次方程的方法：移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：移项，得 合并同类项，得， 将系数化为1，得． （2）解：移项，得 合并同类项，得， 将系数化为1，得． 巩固训练 1．解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照移项，合并同类项得计算法则求解即可． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：． 2．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的求解，根据移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可求解． 【详解】解：移项： 合并同类项：， 化系数为： 故原方程的解为： 3． 解方程： 【答案】 【分析】按照解一元一次方程的方法进行求解即可． 【详解】解： 移项得，， 整理得，， 系数化1得， 【点睛】此题考查了一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题的关键． 题型十二　解一元一次方程——去括号 例题：解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，方程按去括号、移项，合并同类项，系数化为1，求出方程的解即可． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 合并，得，， 系数化为1，得：． 巩固训练 1．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程计算．先去括号再移项合并同类项即可得到本题答案． 【详解】解：． 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 即：． 2．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程． （1）先合并同类项再移项计算除法即可得到本题答案； （2）先去括号再移项并合并同类项，最后计算除法，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：， 合并同类项得：， 即：， 故答案为：； （2）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 即：， 故答案为：． 3．解一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用移项，合并同类项，系数化1，解方程即可； （2）利用去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可． 【详解】（1）解： 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：； （2）解： 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：． 【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键． 题型十三　解一元一次方程——去分母 例题：解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解法，按照去分母、去括号、移项合并同类项的步骤解方程即可． 【详解】解： 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，． 巩固训练 1．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可作答． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 2．解方程：. 【答案】 【分析】去分母、去括号、合并同类项、化系数为1即可求解． 【详解】解：去分母： 去括号： 合并同类项： 化系数为1： 故方程的解为： 【点睛】本题考查求解一元一次方程．注意去分母时，常数项也要乘以最简公分母． 3．解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查解一元一次方程： （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可； （3）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）解： 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得； （2）解： 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （3）解： 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 题型十四　一元一次方程的应用——行程问题 例题：，两地相距48千米，甲骑自行车从地前往地，速度为每小时16千米，1小时后，乙电动车也沿相同的路线从地前往地，速度为每小时40千米， (1)乙出发多长时们后能追上甲？ (2)若乙到达地后立即返回，返回途中与甲相遇的地点距地多少千米？ 【答案】(1)小时 (2)千米 【分析】本题考查一元一次方程解实际应用题，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键． （1）设乙出发x小时后能追上甲，则甲出发了小时，根据等量关系列方程求解即可得到答案； （2）设乙返回途中与甲相遇时骑了y小时，根据等量关系列方程求解，再求出此时乙行驶的距离即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙出发x小时后能追上甲，根据题意得： ， 解得：， 答：乙出发小时后能追上甲； （2）解：设乙返回途中与甲相遇时骑了y小时，根据题意得： ， 解得：， 此时距离A地为（千米）； 乙返回途中与甲相遇时骑了千米． 巩固训练 1．一轮船在甲、乙两码头间往返航行，已知船在静水中速度为，水流速度为，往返一次共用，求甲、乙两码头之间的距离． 【答案】甲、乙两码头之间的距离是 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是正确表示出船在顺水与逆水行驶时的速度． 设甲、乙两码头之间的距离为，结合往返一次所用的时间列方程解题即可． 【详解】解：设甲、乙两码头之间的距离是．根据题意，得 ，解得 ， 答：甲、乙两码头之间的距离是． 2．一条笔直的铁路上依次有A，B，C三个车站（B在A，C之间），A，B两站相距，B，C两站相距．甲、乙两列车分别从A，C两站出发，相向而行，甲列车速度为，乙列车速度为140k．若乙列车先出发1小时． (1)当甲、乙列车相遇时，甲列车是否经过B车站？ (2)甲列车经过多少小时与乙列车相距？ 【答案】(1)甲列车没有经过B车站 (2)甲列车经过小时或小时与乙列车相距 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，列出一元一次方程是解题的关键． (1)设经过x小时，甲、乙列车相遇，由速度时间路程，列出一元一次方程，解方程即可； (2)设甲列车经过y小时与乙列车相距，分两种情况， 由速度时间路程，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设经过x小时，甲、乙列车相遇， 由题意得：， 解得：， 此时，甲列车行驶了：， ， ∴甲列车没有经过B车站， 答：甲列车没有经过B车站； （2）解：设甲列车经过y小时与乙列车相距， 分两种情况： ①甲、乙列车相遇前，两车相距， 由题意得：， 解得：； ②甲、乙列车相遇后，两车相距， 由题意得：， 解得：； 综上所述，甲列车经过1.5小时或2.9小时与乙列车相距． 3．一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道需要的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是．设火车长，解答下列问题． (1)从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是______，这段时间内火车的速度是______．（用含的代数式表示） (2)从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是______，这段时间内火车的速度是______．（用含的代数式表示） (3)求这列火车的长度． 【答案】(1)， (2)， (3)这列火车的长度是 【分析】本题考查了代数式，一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程． （1）根据火车长度为，根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）根据速度相等列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意得：从车头经过灯下到车尾经过灯下火车所走的路程，这段时间内火车的平均速度为； 故答案为：，； （2）解：从车头进入隧道到车尾离开隧道火车，走的路程为隧道的长度+火车长度， ∴所走的路程为， ∵经过一条长的隧道需要的时间， ∴这段时间内火车的平均速度为； 故答案为：，； （3）解∶设火车长，根据题意得： 解得：， 答：这列火车的长度． 题型十五　一元一次方程的应用——工程问题 例题：一项任务，甲单独做需7.5小时完成，乙单独做需6小时完成．先由甲、乙合做2小时，然后剩下的部分由乙单独做，还需多少小时完成任务？ 【答案】还需要小时完成任务． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设乙还需要小时完成任务．甲、乙合做2小时，然后剩下的部分由乙单独做，据此列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设乙还需要小时完成任务． 根据题意，得 解这个方程，得 答：还需要小时完成任务． 巩固训练 1．某工厂生产一批印花布料，甲生产小组单独完成需要10天，乙生产小组单独完成需要6天．为追赶进度要求，在甲生产小组单独工作两天后安排甲、乙两小组合作生产，则两小组需合作多少天才能将这批印花布料的生产工作完成? 【答案】两小组需合作3天才能将这批印花布料的生产工作完成． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用．设两小组需合作天才能将这批印花布料的生产工作完成，根据工作总量=工作效率×工作时间，工作总量=甲单独的工作量+甲乙合作的工作量列出方程求解即可． 【详解】解：设两小组需合作天才能将这批印花布料的生产工作完成， 根据题意，得， 解得． 答：两小组需合作3天才能将这批印花布料的生产工作完成． 2．一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 【答案】(1) (2)天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，涉及工作总量、工作时间、工作效率等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲乙合作需要x天完成，因为甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天，则，解出即可作答． （2）依题意，设还需要y天，因为乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成，所以，解出即可作答． 【详解】（1）解：设甲乙合作需要x天完成， 依题意：， 解得 ， 所以需要天； （2）解：设还需要y天： 依题意，， 解得， 故还需要2天． 3．列一元一次方程解应用题 新蒲新区某校举办体育文化艺术节，七（2）班为了宣传班上开展的活动，由甲、乙两位同学制作宣传展板．已知甲同学单独完成需要4天，乙同学单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若由乙同学先做1天，再由甲、乙两位同学合作完成．问还需几天可以完成展板的制作？ 【答案】(1)2.4 (2)2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）设工作总量为1，根据工作时间工作总量工作效率和，列式即可求解． （2）设乙先做1天，再两人一起做，还需天完成这项工作，根据等量关系：甲完成的工作量乙完成的工作量工作总量，列出方程即可求解． 【详解】（1）（天． 答：两个人一起做，需要2.4天可以完成． 故答案为2.4； （2）设乙先做1天，再两人一起做，还需天完成这项工作， 由题意可得：， 解得：． 答：还需2天可以完成这项工作． 题型十六　一元一次方程的应用——销售问题 例题：微商琪琪计划购进，两款果汁机共台在朋友圈进行销售，这两款果汁机的进价、售价如下表： 进价/(元/台) 售价/(元/台) 款 款 (1)如何进货才能使进货款恰好为4000元？ (2)如何进货才能使销售完这批果汁机时获得的利润恰好为1550元？ 【答案】(1)微商琪琪购进A款果汁机7台，B款果汁机5台时，进货款恰好为4000元 (2)微商琪琪购进A款果汁机5台，B款果汁机7台时，利润恰好为1550元 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是明确题中的等量关系． （1）设微商琪琪购进款果汁机台，则购进款果汁机台，根据进货款恰好为元列方程即可得到答案； （2）设琪琪购进款果汁机台，则购进款果汁机台，根据利润恰好为元列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设微商琪琪购进款果汁机台，则购进款果汁机台， 由题意得，， 解得，． （台）． 答：微商琪琪购进款果汁机台，款果汁机台时，进货款恰好为元． （2）解：设琪琪购进款果汁机台，则购进款果汁机台， 由题意得，． 解得，． （台）． 答：微商琪琪购进款果汁机台，款果汁机台时，利润恰好为元． 巩固训练 1．元旦即将到来，两超市分别推出如下促销方式： 甲超市：全场均按八五折优惠； 乙超市：购物不超过300元，按九折优惠；超过300元，不超过300元的部分按九折优惠，超过300元的部分按八折优惠； 假设超市相同商品的标价都一样． (1)当一次性购物总额为400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？ (2)当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同． (3)现有丙超市推出每满100元减18元的活动，当购物总额为450元时去哪家超市划算？ 【答案】(1)甲、乙两家超市实付款分别是340元，350元 (2)购物总额是600元时，甲、乙两家超市实付款相同 (3)当购物总额为450元时去丙家超市划算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题目意思，根据题意正确列出方程求解是解题的关键； （1）根据甲，乙两超市的促销方式分别列式计算即可； （2）设购物总额是x元时，甲、乙两家超市实付款相同，当时，不符合题意，当时，根据甲、乙两家超市实付款相同列方程求解即可； （3）分别根据甲，乙，丙超市的促销方式分别列式计算，再进行比较即可得解． 【详解】（1）解：（元），（元）， 答：甲、乙两家超市实付款分别是340元，350元； （2）解：设购物总额是x元时，甲、乙两家超市实付款相同， 当时，不符合题意； 当时，由题意知：， 解得：， 答：购物总额是600元时，甲、乙两家超市实付款相同； （3）解：甲超市实付款：元， 乙超市实付款：元， 丙超市实付款：元， ， 当购物总额为450元时去丙家超市划算． 2．一家服装店将某种衣服按成本价提高后标价，为了吸引顾客，商家又以标价的9折出售，结果每件仍可获利12元，求这种衣服每件的标价是多少元？ 【答案】这种衣服每件的标价是元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这种衣服每件的成本价是元，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设这种衣服每件的成本价是元，根据题意得， ． 解得：． 答：这种衣服每件的标价是元． 3．随着时代和科技的快速发展，抖音电商利用自身的智能化推荐、定位、搜索等先进技术迅速占领线上购物市场．10月初，某抖音主播用11000元从厂家购进了A、B两种商品共500件，其中A商品每件进价40元，B商品每件进价10元． (1)求10月初购进A、B两种商品各多少件？ (2)该主播在抖音平台上出售10月初购进的A、B两种商品．A商品在进价的基础上加价50%出售，并全部售完：B商品的售价为30元/件，并以此价格售出后迎来了双“十一”促销活动，剩下的B商品在原来售价基础上打m折销售，并将剩下的商品全部售完．最后销售10月初购进的A、B两种商品一共获得的利润为9400元，求m的值． 【答案】(1)10月初购进200件A商品，300件B商品； (2)m的值为9． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用． （1）设10月初购进x件A商品，则购进件B商品，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设10月初购进x件A商品，则购进件B商品， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：10月初购进200件A商品，300件B商品； （2）解：根据题意得： ， 解得：． 答：m的值为9． 题型十七　一元一次方程的应用——方案问题 例题：2025年“双十一”期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品旗舰店实行优惠销售，规定如下：对原价160元/件的某款运动速干衣和20元/双的某款运动棉袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案A：买一件运动速干衣送一双运动棉袜； 方案B：运动速干衣和运动棉袜均按9折付款． 某户外俱乐部准备购买运动速干衣30件，运动棉袜x双（）． (1)若该户外俱乐部按方案A购买，需付款______元（用含x的代数式表示）；若该户外俱乐部按方案B购买，需付款______元（用含x的代数式表示）． (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算； (3)当购买运动棉袜多少双时两种方案付款相同． 【答案】(1)， (2)方案A (3)双 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式和代数式求值，解决本题的关键是根据题意准确列出代数式． （1）根据两种不同的优惠方案列出代数式即可； （2）将分别代入（1）所列代数式计算比较即可； （3）根据“两种方案付款相同”列出方程并解答． 【详解】（1）解：按方案A购买，需付款：元， 按方案B购买，需付款：元， 故答案为：，； （2）解：当时， 方案A： （元）． 方案B：（元）． ∵， ∴按方案A购买较为合算； （3）解：根据题意，得． 解得． 答：当购买运动棉袜双时，两种方案付款相同． 巩固训练 1．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设成人每人收费元，店主李三公推出两种订房方案：方案一：房客超过人，超过的按原价八折优惠，方案二：大人原价，小孩半价．若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 【答案】(1)房客中大人有人，小孩有人 (2)若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算 【分析】本题考查一元一次方程解实际应用题，最优方案选择等知识，读懂题意，列出方程求解，进而由方案计算费用比较大小是解决问题的关键． （1）设房客中小孩有人，则大人有人，由总人数为人列一元一次方程求解即可得到答案； （2）设每人收费相同，为元，根据两种方案，求出费用比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：设房客中小孩有人，则大人有人， ， 解得， 则， 答：房客中大人有人，小孩有人； （2）解：方案一费用：元； 方案二费用：元； ， 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算； 2．某校为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需采购一批某种菜苗开展种植活动．已知甲、乙两菜苗基地该种菜苗每捆的标价都是元（菜苗的质量一样好），但甲、乙两菜苗基地的优惠条件却不同，如下所示． 甲菜苗基地：若购买不超过捆，则按标价付款；若一次性购买捆以上，前捆按标价付款，超过捆的部分按标价的付款； 乙菜苗基地：按标价的付款． (1)若学校决定购买该种菜苗捆，则在甲菜苗基地购买，需付款______元，在乙菜苗基地购买，需付款______元； (2)设学校购买该种菜苗捆，补全下列表格（需化简）； 的取值范围 在甲菜苗基地购买的费用（元） 在乙菜苗基地购买的费用（元） 小于等于 大于 (3)根据购买该种菜苗的捆数选择在哪个基地更省钱． 【答案】(1)；； (2)；； (3)当小于时，在乙菜苗基地购买合算；当时，两个菜苗基地购买费用一样；当时，在甲菜苗基地购买合算． 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的实际应用，一元一次方程的方案选择问题，能根据题意正确地分段列出式子是解题的关键． （1）根据题意分别列式计算即可； （2）甲大于，利用“若一次性购买捆以上，前捆按标价付款，超过捆的部分按标价的付款”列式即可；乙利用“按标价的付款”列式即可； （3）先判断小于等于时，由，可知乙菜苗基地购买合算；大于时，先解方程，得，再分三种情况判断：小于时，时，时，即可解决． 【详解】（1）解：根据题意，在甲菜苗基地购买，需付款（元）； 在乙菜苗基地购买，需付款（元）； 故答案为：；； （2）解：设学校购买该种菜苗捆， 在甲菜苗基地购买时， 若小于等于，则费用为； 若大于，则费用为元； 在乙菜苗基地购买时， 若小于等于，则费用为元； 若大于，则费用为元； 故答案为：；；； （3）解：①小于等于时，由， 故乙菜苗基地购买合算； ②大于时，由， 解得：， 由乙菜苗基地购买费用， 当时，是负数， 则乙菜苗基地购买合算； 当时，是正数， 则甲菜苗基地购买合算； 综上，当小于时，在乙菜苗基地购买合算；当时，两个菜苗基地购买费用一样；当时，在甲菜苗基地购买合算． 3．秋高气爽之时，水果丰收之际．某水果加工厂收购了30吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在8天内全部销售或加工完毕，为此水果加工厂研制了两种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好8天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨·千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多450元，求水果加工厂到市场的距离． 【答案】(1)方案二可使工厂所获利润最多 (2)加工厂到市场的距离为50千米 【分析】本题考查一元一次方程的运用，解题的关键在于根据题意得到等量关系． （1）分别算出方案一和方案二所获利润，再进行比较即可解题； （2）设加工厂到市场的距离为y千米，根据题意建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：方案一：（万元）， 方案二：设吨制成罐头，则吨进行加工包装， 则，解得：， 获利：（万元）， ， 方案二可使工厂所获利润最多． （2）解：设加工厂到市场的距离为千米， 则， 解得：， 答：加工厂到市场的距离为50千米． 题型十八　一元一次方程的应用——几何问题 例题：如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了角平分线的定义、对顶角相等、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先由角平分线的定义可得，再根据对顶角相等即可得解； （2）设，，根据题意列出方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ； （2）解：∵， ∴设，， 根据题意得， 解得， ∴， ∴， ． 巩固训练 1．如图，已知线段和的公共部分，线段的中点E、F之间距离是，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、线段的中点的意义、线段的和差，设，则，，，根据线段的中点的定义可得，再根据，，得出方程，解方程即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设，则，，， 点、点分别为的中点， ， ， ， ， 解得：， ． 2．如图，已知． (1)，求的度数； (2)猜想三者之间的关系并加以说明． 【答案】(1)30度 (2)，见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质，一元一次方程的应用； （1）由可得，由可得，再进一步解答即可； （2）由（1）可得，即，再整理即可． 【详解】（1）解： ， ． ， ． ， ， ． （2）解：． 理由如下： 由（1）可知，， 即， ， 整理，得． 3．综合与探究 探索新知： 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． （1）一个角的平分线______________这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）； （2）若，且射线是的“巧分线”，则______________（用含的代数式表示）； 深入研究： 如图2，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中．将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，当边落在射线上时两个三角板停止旋转，设三角板运动时间为秒．请直接写出当是的“巧分线”时的值． 【答案】（1）是；（2）或或；深入研究：4或或6或 【分析】本题主要考查了旋转的性质，新定义问题，解题时要能熟练掌握阅读理解能力及知识的迁移能力是关键． （1）根据新定义与角平分线的定义中，结合进行解答即可； （2）根据新定义考虑三角两两的倍数关系即可； 深入研究：根据新定义考虑三角两两的倍数关系分三种情况讨论，根据角的倍数关系列关于t的等式方程，解方程即可． 【详解】解：（1）因角平分线分成两个角与被分原角满足原角是所分出的小角的两倍，根据新定义知，角平分线应为这个角的“巧分线”， 故答案为：是； （2）分以下三种情况： 当或时，， 当时，， 当时，， 故答案为：或或； 深入研究：由题意得，， 当时，， 当边落在射线上时两个三角板停止旋转，此时，解得； 当时，在内部， 是的“巧分线”，分以下三种情况， 当时，， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 当时，在外部，不满足“巧分线”的定义， 当时，，此时，则，此时，满足“巧分线”的定义， ∴当是的“巧分线”时的值为4或2.4或6或． 题型十九　一元一次方程的应用——电费和水费问题 例题：为了倡导节约用水，某市自去年开始实行阶梯水价．具体收费标准如下：每户每月用水量不超过12吨，每吨3.2元；超过12吨的部分，每吨4.6元． (1)林敏家今年5月用水15吨，他家应付多少元水费？ (2)马老师家5月份共交了84.4元水费，马老师家5月份一共用水多少吨？ 【答案】(1)林敏家今年5月用水15吨，他家应付52.2元水费 (2)马老师家5月份一共用水22吨 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）15吨大于12吨，所以把15吨分成两部分，第一部分是12吨，按照每吨3.2元缴费；第二部分是剩下的3吨，按照每吨4.6元缴费，分别根据总价＝单价×数量求出两部分需要缴费的钱数，再相加； （2）设他家5月份用水x吨，先确定用水12吨应交的水费为38.4元，可知他家5月份用水超过12吨，超过12吨部分的水费为元，可列方程，解方程求出x的值即可． 【详解】（1）解：（元）， （元）， （元）， 答：林敏家今年5月用水15吨，他家应付52.2元水费． （2）解：设马老师家5月份一共用水x吨， 用水12吨时，水费为（元）， ∵84.4元＞38.4元， ∴马老师家5月份5月份用水量超过了12吨， 根据题意得， 解得， 答：马老师家5月份一共用水22吨． 巩固训练 1．某市自来水公司为了鼓励居民节约用水，规定按以下标准收取水费： 用水量/月 单价（元/） 不超过 超过的部分 另：每立方米用水加收元的城市污水处理费和元的城市附加费 (1)根据上表，用水量每月不超过，实际每立方米收水费____________元；如果月份某用户用水量为，那么该用户月份应该缴纳水费____________元； (2)某用户月份共缴纳水费元，那么该用户月份用水多少？ (3)若该用户水表月份出了故障，有的水量没有计入水表中，这样该用户在月份只缴纳了元水费，问该用户月份实际应该缴纳水费多少元？ 【答案】(1)3， (2) (3)元 【分析】本题考查了一元一次方程，根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据表格中数据即可得出； （2）先判断月份用水量是否超过，再根据等量关系列出方程求解即可； （3）先判断月份用水量是否超过，列方程求出实际用水量，最后算出水费即可． 【详解】（1）解：根据表中数据可知： 每月不超过，实际每立方米收水费（元）， 月份某用户用水量为，不超， 该用户10月份应该缴纳水费（元）． 故答案为：3，． （2）解：由（1）知每月不超过，实际每立方米收水费3元，而， 月份超过了，设月份用水量为， 根据题意列方程得，，解得， 即该用户月份用水； （3）解：由（1）知每月不超过，实际每立方米收水费3元，而， 水表月份出故障时收费按没有超过计算，设月份实际用水量为， 根据题意列方程得，， 解得， （元）， 即该用户12月份实际应该缴纳水费76元． 2．为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水目的．该市自来水收费价格见价目表．例如：某户居民1月份用水，则应收水费：元． 价目表 每月用水量 单价 不超出6的部分 2元/ 超出6不超出10的部分 4元/ 超出10的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)若该户居民2月份用水12.5，则应交水费多少元？ (2)若该户居民3月份交水费40元；则该户居民3月份用水多少立方米？ (3)若该户居民4、5月份共用15（其中5月份用水量超过4月份），共交水费44元，则该户居民4、5月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)48元 (2)11.5立方米 (3)4月份用水4立方米，5月份用水11立方米 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）根据收费方式，列出算式进行计算即可； （2）根据收费方式，列出算式进行计算即可； （3）设4月份用水，则5月份用水，分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）（元） 答：应交水费48元； （2）（元） 答：该户居民3月份用水11.5立方米； （3）∵5月份用水量超过4月份， ∴4月份用水量少于 设4月份用水，则5月份用水 ①当时 解得，此时，舍去 ②当时 解得，此时，符合题意 ③当时 ，方程无解 答：4月份用水4立方米，5月份用水11立方米 3．为了促进节约用水，合理配置水资源，提高用水效率，促进水资源可持续利用，全国各地正逐渐推广和实行阶梯水价政策．“阶梯水价”是指对使用自来水的用户实行分类计量收费和超定额累进加价制的收费方式．这种收费方式将水价分为多个阶梯，每一阶梯都有一个固定的单位水价，但单位水价会随着用水量的增加而逐步提高．阶梯式计量水费第一级水价第一级水量基数第二级水价第二级水量基数第三级水价第三级水量基数． 以下为某市的水费价目表（水费按月缴纳）： 第一级水价：月用水量不超过16吨的部分（含16吨），每吨2元． 第二级水价：月用水量超过16吨但不超过30吨部分（含30吨），每吨元． 第三级水价：月用水量超过30吨的部分，每吨元． (1)若某月李华家用水量为24吨，则水费为______元；某月张磊家用水量为x（）吨，则用含x的式子表示张磊家当月应缴纳的水费为______元． (2)若小杨家8月份和9月份共用水70吨（其中8月份用水量超过16吨但不超过30吨，9月份用水量超过了30吨），一共缴纳的水费为231元，问小杨家8月份和9月份各用水多少吨? 【答案】(1)60； (2)8月份共用20吨水，则9月份共用50吨水 【分析】本题主要考查了列代数式及有理数的混合运算，理解题中所给收费标准及对用水量进行正确的分类讨论是解题的关键 （1）根据该户居民的用水量，发现，再结合题中所给相应阶梯的收费标准即可解决问题；张磊家用水量为x（）吨，结合题中所给相应阶梯的收费标准即可解决问题； （2）设8月份共用a吨水，则9月份共用吨，根据相应阶梯的收费标准列式求出a的结果，进而得出结果． 【详解】（1）解： （元）； 元， 故答案为：60； （2）设8月份共用a吨水，则9月份共用吨水， ， 解得：， 故吨， 答：8月份共用20吨水，则9月份共用50吨水． 题型二十　一元一次方程的应用——数轴动点问题 例题：跨学科试题·语文 距离能够产生美，唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：“世界上最遥远的距离不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇便注定无法相聚．”距离，是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．同学们通过学习知道了点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 请回答： (1)数轴上表示和5的两点之间的距离是________，数轴上表示和的两点之间的距离是________． (2)数轴上表示x和的两点A、B之间的距离是________，若A、B两点之间的距离为5，则x为________． (3)利用绝对值的几何意义观察、分析、归纳，并比较大小：________．（填“”“ ”“”“”或“”） (4)如果，求a的值． 【答案】(1)7，3 (2)；2或 (3) (4)19或 【分析】本题主要考查绝对值在数轴上的几何意义，数轴上两点间距离公式，解一元一次方程： （1）根据数轴上两点间距离公式求解； （2）根据数轴上两点间距离公式求解； （3）分a、b同号和异号两种情况，分别求解即可； （4）设则，分a、b在原点同侧和异侧两种情况，当a、b在原点同侧时，，当a、b在原点异侧时，不符合题意． 【详解】（1）解：数轴上表示和5的两点之间的距离是：， 数轴上表示和的两点之间的距离是：， 故答案为：7，3； （2）解：数轴上表示x和的两点A、B之间的距离是：， 若A、B两点之间的距离为5，则， 或， 解得或， 故答案为：2或； （3）解：当a、b同号时，即点A、B都在正半轴或都在负半轴上，或但，或都为时，， 当a、b异号时，即点A、B一个在正半轴上，一个在负半轴上，或但时，， 综上所述：， 故答案为：； （4）解：设则， 当a、b在原点异侧时，，此时同号， 所以， 所以， 解得， 所以a的值为19或； 当a、b在原点同侧时，由（3）解答知，，即，矛盾， 故不符合题意； 综上所述，a的值为19或． 巩固训练 1．如图，点为数轴的原点，点，是数轴上的两点，点表示的数为，．若点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，设点和点运动的时间为秒． (1)点表示的数为______． (2)若点和点运动的时间为3秒，且点沿着数轴向左运动，求点和点之间的距离； (3)当点，之间的距离为6个单位长度，且点在点的右边时，求点，运动的时间． 【答案】(1)7 (2)1 (3)或 【分析】（1）由题意知，点B表示的数为，计算求解即可； （2）当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，然后计算距离即可； （3）由题意知，分①点P，Q相向运动，②点P，Q同向运动，两种情况求解；①当点P，Q相向运动且点P在点Q的右边时，则点P表示的数为，点Q表示的数为，根据题意，得，计算求解即可；②同理可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，点B表示的数为， ∴点B表示的数为7； （2）解：当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴点P和点Q之间的距离为； （3）解：①当点P，Q相向运动且点P在点Q的右边时，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意，得， 解得； ②当点P，Q同向运动且点P在点Q的右边时，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意，得， 解得； 综上所述，点P，Q运动的时间t为或． 【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用．熟练掌握在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用． 2．【新考向】如图，在数轴上有相距个单位长度的，两点，点表示的数是，点为线段上的一个动点．规定：当线段，，中的任意两条线段之间满足三倍的数量关系时，我们称此时的点为线段的“奇分点”． (1)当点与数轴原点重合时，此时点________（填“是”或“不是”）线段的“奇分点”； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，设运动时间为秒． ①在这个过程中，点表示的数是________（用含的代数式表示）； ②若点是线段的“奇分点”，求运动时间； ③若动点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则当点是线段的“奇分点”时，求运动时间． 【答案】(1)是 (2)①；②当运动秒或秒或秒或秒时，点是线段的“奇分点”；③当运动秒或秒或秒或秒时，点是线段的“奇分点”． 【分析】本题考查了数轴，列代数式，一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据两点间的距离公式结合“奇分点”的定义即可求解； （2）①根据路程速度时间计算即可求解；②根据“奇分点”的定义分情况讨论即可求解；③根据“奇分点”的定义分情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：当点C与数轴原点重合时， ，，， ， ∴点C，是线段的“奇分点”． 故答案为∶是； （2）解：①∵，C从点B出发，以每秒个单位长度的速度向点A运动， ∴点C表示的数是， 故答案为∶ ； ②根据题意，点C在线段之间运动，分情况讨论： 当时， ， 解得； 当时， ， 解得； 当时， ， 解得； 当时， ， 解得． （秒）， 故． 综上所述，当运动秒或秒或秒或秒时，点是线段的“奇分点”． ③因为点是线段的“奇分点”， 所以点在线段上， 所以，． 分情况讨论：当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． （秒）， 故． 综上所述，当运动秒或秒或秒或秒时，点是线段的“奇分点”． 3．如图，已知数轴上点表示原点，点表示的数为．动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回，点和点同时出发，同时停止．设运动的时间为秒． (1)如图1，当时，点表示的数为 ，点表示的数为 （用含的代数式表示）； (2)如图1，当时，若、两点的距离为单位长度，求的值； (3)如图2，数轴上从左到右依次是点、、、，线段，，在数轴上方作正方形与正方形，两个正方形随点和点运动，若两个正方形同时出发，求为何值时，两个正方形的重叠部分面积为． 【答案】(1)； (2) (3)当为秒或秒或秒时重叠部分面积为 【分析】本题考查数轴，一元一次方程的知识，解题的关键根据动点的运动轨迹，得到线段的表达式，根据题意，进行解答，即可． （1）根据数轴和运动情况即可作答； （2）根据、两点的距离为单位长度，列出方程，即可求解； （3）分情况讨论，当时，有两种情况，当时，有两种情况，分类讨论即． 【详解】（1）解：由题意得，动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动 ∴当时，表示的数为：， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回， ∴当时，表示的数为：； 故答案为：；． （2）解：由（1）可得，当时，表示的数为：，表示的数为：， ∴、两点的距离为单位长度时，， ∴． （3）解：∵动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动； ∴点表示的数为：， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回， ∴点在数轴上表示的数为：， 当，， 当点还没有折返时，存在两种情况： 如图，， ∵两个正方形的重叠部分面积为，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图，， ∵两个正方形的重叠部分面积为，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点折返后，存在两种情况： 如图，，， ∵两个正方形的重叠部分面积为，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，，， ∵两个正方形的重叠部分面积为，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴舍去， 综上所述，当为秒或秒或秒时重叠部分面积为． 2 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $$