第5章 一元一次方程（十三题型压轴专练）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版2024）

第5章 一元一次方程 压轴专练 题型一、一元一次方程的整数解 1．若关于x的方程的解是负整数，且关于y的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，多项式的项数与次数，解题的关键就是正确求解方程，根据多项式得出a的值．先解方程得出，根据解为负整数得出a值，再根据多项式的项数与次数，进一步求出a值，再计算和． 【详解】解：， 解得：， ∵方程解是负整数， ∴或或， ∵多项式是二次三项式， ∴， 解得：且， ∴满足条件的整数a的值为或， ∴所有满足条件的整数a的值之和为． 故选：B． 2．关于的一元一次方程的解为整数，则整数的所有可能的取值之和为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的整数解．先求出原方程的解为，根据原方程有整数解可得或，求出m的值，再求和即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得， ∵关于x的方程的解为整数， ∴或，， 解得m的值为4或2或5或1， ∴整数m的所有可能的取值之和为：， 故答案为：12． 3．已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解方程，解题的关键是先将a看作已知数，得出，根据x为整数，得出或，再求出a的值即可． 【详解】解： 去括号得：， 整理得：， 解得， 当或时，是整数， ∴． 题型二、一元一次方程的整体代入 1．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查根据已知一元一次方程，求另一个一元一次方程的解，关键在于找出两个式子之间的联系，找出联系即可求解．将关于的一元一次方程变形为，由已知即可求解． 【详解】 解：将关于的一元一次方程变形为， 即， ∵一元一次方程， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．关于的方程的解是，现给出另一个关于的方程，则它的解是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的解及其解法，灵活运用方程的解代入求值，转化为新方程求解是解题的关键．根据方程的解是，求得a，把a的值代入，转化为新的一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵方程的解是， ∴， 解得， ∴方程变形为：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 3．数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要，例如：已知，，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则_________； (2)已知，，求代数式的值； (3)已知关于的方程的解为，求方程的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查代数式求值，整式的加减运算及换元法解一元一次方程，掌握整体代入法是解题的关键． （1）将整体代入即可； （2）将代数式化简为再将，的值代入计算即可； （3）由方程的解为，可得方程中即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：，， ； （3）解：方程的解为， 方程中，， ． 题型三、一元一次方程的定值 1．已知m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程的解的定义、方程无数解的条件等知识点，正确得到m和n的值是解题的关键． 把代入方程，由k可以取得任意值可得到关于m和n式子，进而求得m和n的值，进而求得代数式的值． 【详解】解：把代入方程化简得： 化简，得， 由于k可以取任意值，则，解得：， ∴． 故选B． 2．已知a，b为常数，若关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的定义，以及方程无数解的条件，正确得到a和b的值是关键．根据方程的解的定义，把代入方程，由k可以取得任意值可得到关于a和b式子，求得a和b的值，进而求得代数式的值． 【详解】解：把代入方程得， 化简，得， 由于k可以取任意值，则， 解得：， 则． 故答案为：． 3．已知关于x的一元一次方程 ，其中a，b，k为常数， (1)当，，时，求该方程的解； (2)当时，若原方程有无数个解，请求出此时的值； (3)若无论k为何值，该方程的解总是，求的值． 【答案】(1) (2)12 (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a，b的一元一次方程是解此题的关键． （1）将所给字母的值代入方程即可； （2）先将k值代入方程，得出，再根据原方程有无数个解求出的值即可； （3）根据题意，建立关于a，b的方程即可． 【详解】（1）解：把，，代入， 得， ∴， ∴， 解得； （2）解：把代入， 得， ∴， ∴， 若原方程有无数个解， 则， ∴； （3）解：该方程化为：， 当时，． ∴． ∵无论k为何值，等式恒成立， ∴，． ∴，． ∴． 题型四、一元一次方程的绝对值 1．解绝对值方程：． 【答案】原方程无解 【分析】本题主要考查了绝对值方程，根据绝对值的意义分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，先化简绝对值，然后分别求出结果即可． 【详解】解：当时，原方程化为，解得：（舍去）； 当时，原方程化为，解得：（舍去）； 当时，原方程化为，解得：（舍去）； ∴原方程无解． 2．先阅读下面的材料，再解答问题：解含有绝对值符号的方程时，关键是去掉绝对值符号，下面采用“找零点”的方法来求解这类方程． 例：解绝对值方程：． 解：分别令，，解得：，， 用2，将数轴分成三个区域，然后在每个区域内去掉绝对值求解， 当时，原方程可化为，解得：，检验符合； 当时，原方程可化为，解得：，经检验，它不在范围内，故不是原方程的解； 当时，原方程可化为，解得：，检验符合； 综上，原方程的解为或． 阅读完上述材料，试解下面含绝对值的方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，分别令，，解得：，，用1、将数轴分成三个区域，然后在每个区域内去掉绝对值求解即可得解，熟练掌握绝对值的意义，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：分别令，，解得：，， 用1、将数轴分成三个区域，然后在每个区域内去掉绝对值求解， 当时，可化为，解得：， 经检验，它不在范围内，故不是原方程的解； 当时，可化为，解得：，符合题意； 当时，可化为，解得：， 经检验，它不在范围内，故不是原方程的解； 综上，原方程的解为． 3．已知关于的绝对值方程只有三个解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解含有绝对值的一元一次方程，正确理解绝对值的意义是关键． 首先根据绝对值的意义得到或，解方程得到或或或，当时，方程只有两个解，不符合题意，则，由方程只有三个解得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴或， ∴或， ∴或或或， ∴或或或， 当时，则，即此时方程只有两个解，不符合题意； ∴， ∴， ∵关于的绝对值方程只有三个解， ∴， ∴． 题型五、一元一次方程的规律 1．如图，是一组有规律的图案，它们是由边长为1的小正方形组成，其中部分小正方形有阴影，按照这样的规律： (1)第4个图案中涂有阴影的小正方形的个数是______，第个图案中涂有阴影的小正方形的个数是______． (2)第个图形中，边长为1的小正方形总数是否可以为2024个，为什么？ 【答案】(1)17， (2)不可以，理由见解析 【分析】本题考查图形类规律探究，解一元一次方程，从已有图形中找到规律，是解题的关键： （1）观察可知，后一个图形中涂有阴影的小正方形的个数比前一个图形多4个，进而求出第个图形中涂有阴影的小正方体的个数，即可； （2）根据规律，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：观察可知：第一个图形中涂有阴影的小正方形的个数为5，后一个图形中涂有阴影的小正方形的个数比前一个图形多4个， ∴第个图形中涂有阴影的小正方体的个数为：； ∴第个图形中涂有阴影的小正方体的个数为：； 故答案为：17，； （2）不可以，理由如下： 观察可知：第一个共有9个小正方形，后一个图形中小正方形的个数比前一个多8个小正方形，则：第个图形中共有小正方形的个数为：， 当时，，不是整数， 故不可以． 2．一张长方形的餐桌可以坐6个人，按照下图的方式摆放餐桌和椅子： (1)观察表中数据规律填空：___，____，_____； 餐桌张数 1 2 3 4 5 … 可坐人数 6 8 … (2)一家酒楼，按上图的方式拼桌，要使拼成的一张大餐桌刚好能坐人，请问需几张餐桌拼成一张大餐桌？ (3)若酒店有人来就餐，还有更好的拼桌方式吗？最少要用多少张餐桌？如果有，画出此时拼桌方式的示意图：如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)张 (3)有，图见解析，张 【分析】本题主要考查了数据规律的探究与实际应用；解题的关键是从题意观察、发现数据规律． （1）观察发现每多一张桌子多2人，第个图形中增加了张桌子，则增加了人，共坐人，将对应数据代入求值即可； （2）用（1）中的公式计算即可； （3）如图，由（1）同理可知，张桌子共坐人，当人数为时，求出，从而得出最少桌子数． 【详解】（1）解：观察发现每多一张桌子多2人， 第个图形中增加了张桌子， 则增加人，共坐人， 即人， 所以，，． （2）解：由（1）得，， 解得． （3）解：如图： 由（1）同理可知， 每多一张桌子多4人， 张桌子共增加了张桌子， 则增加了人，共坐人， 即张桌子共坐人， 则， 解得， 是正整数，， 最少要用张餐桌． 3．【问题提出】观察一下生活中小蜜蜂修建的六边形蜂巢，它们按照一定规律，如何用含的式子表示第个图形的蜂巢中六边形的总数呢？ 【分析思路】我们可以把图形看成几个部分的组合，找到每一部分对应的数字规律，进而找到整个图形对应的数字规律．如：要解决上面问题，我们不妨先从特例入手（统一用表示第个图形蜂巢中六边形的总数）． 【解决问题】 （1）如图，如果把每个图形按照它的新增六边形观察，你发现了这些六边形的排布规律了吗？像的情形那样，请用数学算式表达你发现的规律． ______； （2）用含的式子表示第个图形的蜂巢的总数______； （3）请问有可能是2024吗？如果可以，请求出，如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不能，理由见解析． 【分析】本题主要考查了图形类变化规律、一元一次方程的应用，理解题意，得出规律是解此题的关键． （1）根据图形结合所给的式子即可得出答案； （2）根据所给的式子得出规律即可； （3）令，解方程即可得出答案． 【详解】解：（1）由图可得：， 故答案为：； （2）， ， ， ， …， ， 故答案为：； （3）令， 解得：， 为整数， 不符合题意， 不可能是2024． 题型六、一元一次方程的新定义 1．新定义 用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：1． (1)______； (2)若，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数及整式的混合运算，熟练掌握运算方法是解决问题的关键． （1）根据新运算展开，再求出即可； （2）先根据新运算展开，再解一元一次方程即可； （3）先根据新运算求出m、n，然后用作差法比较即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：因为， 所以， 解得； （3）解：根据题意，得，， 则， 所以． 2．定义：如果两个方程的解相差，为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“通甫方程”，例如：方程是方程的“通甫方程”． (1)若方程是方程的“通甫方程”，则　　　　　； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“通甫方程”，求的值； (3)当时，如果关于x方程是方程的“通甫方程”，求代数式的值． 【答案】(1)2 (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，代数式求值， 掌握“通甫方程”的定义是解题的关键． （1）先分别解出两个一元一次方程，然后用较大的方程解减去较小的方程解即可得出答案． （2）先分别解出两个一元一次方程，再根据“通甫方程”的定义列出关于a的一元一次方程求解即可． （3）先分别解出两个一元一次方程，再根据“通甫方程”的定义得出，然后再代入代数式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：，解得：， ，解得：， ∴ （2）解：，解得： ，解得：， 根据题意可知：， 解得：． （3）解：，解得：， ，解得：， 根据题意可知：， 整理得：． ∴ 3．定义：关于x的方程与方程（均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若方程与方程互为“反对方程”，则________． (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求k的值． 【答案】(1) (2)，； (3)或1 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解“反对方程”的定义是解题关键． （1）根据“反对方程”的定义，即可得出答案； （2）根据“反对方程”的定义，得到，，即可求出的值； （3）先根据“反对方程”的定义，得到方程的“反对方程”，再求出链各个方程的解，再根据解都是整数，得到或，即可求出的值． 【详解】（1）解：方程与方程互为“反对方程”， ， 故答案为：； （2）解：方程与方程互为“反对方程”， ，， ，； （3）解：方程的“反对方程”为， 方程的解为， 方程的解为， 两个方程的解都是整数， 或， 当，解得：， 当，解得：， 综上可知，的值为或1． 题型七、一元一次方程的应用——行程问题 1．据国际田联田径场地设施标准手册标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，有条跑道，每条跑道宽，直道长；跑道第一圈最内圈的弯道半径为到之间．某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为的标准跑道，小王同学计算了各圈的长：第一圈长：；第二圈长：；第三圈长： (1)第三圈的弯道比第一圈的弯道长多少米？小王计算的第八圈的长是多少米？取，结果保留整数 (2)小王紧靠第一圈内边线逆时针跑步，邓教练紧靠第三圈内边线顺时针骑自行车均以所靠边线长计路程，在如图的起跑线同时出发，经过两人在直道第一次相遇若邓教练平均速度是小王平均速度的倍，求他们的平均速度各是多少？注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题干给定的计算公式，正确的列出方程是解题的关键： （1）第三圈的圈长减去第一圈的圈长求出第三圈的弯道比第一圈的弯道长多少米，利用题干给定的计算公式，求出第八圈的长即可； （2）设小王的平均速度为，邓教练的平均速度为，根据经过两人在直道第一次相遇，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 答：第三圈半圆形弯道比第一圈半圆形弯道长，小王计算的第八圈的长约； （2）设小王的平均速度为，邓教练的平均速度为， 则， ， ； 答：小王的平均速度为，邓教练的平均速度为． 2．甲、乙两站间的路程为，一列快车从甲站开出，每小时行驶，一列慢车从乙站开出，每小时比快车少行驶． (1)两车同时开出，相向而行， 小时后相遇； (2)快车先开，两车相向而行，快车开出 小时后两车相遇； (3)两车同时同向开出，慢车在前，出发多长时间后快车追上慢车？ (4)慢车先开，两车同向而行，慢车在前，快车出发多长时间后追上慢车？ 【答案】(1)3 (2) (3)15小时 (4)16小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握行程问题中的等量关系是解题的关键． （1）设两车行驶t小时相遇，根据相遇时两车行驶路程之和为建立方程求解； （2）设快车行驶t小时两车相遇，根据两车行驶路程之和为建立方程求解 （3）设t小时快车追上慢车，根据快车比慢车多行驶建立方程求解； （4）设快车行驶t小时两车相遇，根据快车比慢车多行驶建立方程求解． 【详解】（1）解：设两车行驶t小时相遇， 根据题意，得， 解得， 答：开出3小时后两车相遇， 故答案为：3； （2）解：设快车行驶t小时两车相遇， 根据题意，得， 解得， 答：快车开出小时后两车相遇， 故答案为：； （3）解：设t小时快车追上慢车， 根据题意，得， 解得， 答：出发15小时后快车追上慢车； （4）解：设快车行驶t小时两车相遇， 根据题意，得， 解得． 答：快车出发16小时后追上慢车． 3．从夏令营营地到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，共用了55分钟；回来时，通过平路的速度不变，但以每小时6千米的速度上山，共花去了1小时10分钟，问营地到学校有多少千米． 【答案】9千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，准确找出等量关系列出方程是解题的关键； 根据题意，设山路x千米，从营地回学校共用了55分钟，从学校回营地用了1小时10分钟，根据平路的速度不变，所以时间也不变，多用掉的时间是因为上山的速度降低了，可得出方程，解出即可得到山路的路程．由此求出上山的时间，再求出平路的时间，根据速度乘时间等于路程求出平路的路程，最后求和即可． 【详解】55分钟=小时，1小时10分钟=小时， 设山路x千米，由题意得， 解得：  ， (小时)， (小时) ， (千米)， (千米)， 答：营地到学校有9千米． 题型八、一元一次方程的应用——工程问题 1．一个水池有甲、乙、丙三个水管，单开甲管6小时可以将空池注满；单开乙管4小时可以将空池注满；单开丙管12小时可以把满池的水放完；现在水池里有的水，开放乙、丙两管2小时后，三管齐开，求再过多少小时可以把水池注满？ 【答案】1.25小时 【分析】考查了一元一次方程的应用，把这一水池水看作单位1，根据工作效率工作总量工作时间，可得甲、乙、丙的工作效率分别为、、，据此结合题意列方程求解即可． 【详解】解： 设再过小时后便可将水池注满水，依题意有 ， 解得． 答：三管齐开，再过1.25小时后便可将水池注满水． 2．一项工程，若请甲、乙两个工程队合作，则需6周完成，需要施工费万元；若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要施工费万元． (1)甲、乙两个工程队单独修路分别需要多少周完成？ (2)请甲、乙两个工程队工作一周需要施工费分别为多少万元？ (3)若只请一个工程队单独做，使该工程的施工费用低，应该选择甲工程队还是乙工程队？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用 （1）设甲工程队一周完成的工作量为，则乙工程队一周完成的工作量为，根据若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设甲工程队工作一周需要施工费万元，则乙工程队工作一周需要施工费万元，即万元，根据若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要施工费12.4万元．列出一元一次方程，解方程即可； （3）分别求出只请一个工程队单独做的施工费，再比较即可． 【详解】（1）解：设甲工程队一周完成的工作量为，则乙工程队一周完成的工作量为， 由题意得：， 解得：， ， 即甲工程队单独修路需要10周完成，乙工程队单独修路需要15周完成， 答：甲工程队单独修路需要10周完成，乙工程队单独修路需要15周完成； （2）设甲工程队工作一周需要施工费万元，则乙工程队工作一周需要施工费万元，即万元， 由题意得：， 解得：， ， 答：甲工程队工作一周需要施工费1.3万元，乙工程队工作一周需要施工费0.8万元； （3）应该选择乙工程队，理由如下： 只请甲工程队单独做，施工费为（万元）， 只请乙工程队单独做，施工费为（万元）， ， 应该选择乙工程队． 3．一个蓄水池装有甲、乙两个进水管和丙一个出水管，单独开放甲管可注满一池水，单独开放乙管可注满一池水，单独开放丙管可放尽一池水 (1)若同时开放甲、乙、丙三个水管，几小时可注满水池？ (2)若甲管先开放，而后同时开放乙、丙两个水管，则共需几小时可注满水池？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，需要用到的等量关系是：工作效率=工作量÷工作时间． （1）设三个水管同时开放x小时可注满水池，根据“甲、乙注水量丙出水量=1”列出方程并解答； （2）设共需y小时可注满水池，根据“甲、乙注水量丙出水量=1”列出方程并解答 【详解】（1）设同时开放甲、乙、丙三个水管，可以注满水池．根据题意，得 ， 解得． 答：同时开放甲、乙、丙三个水管，可注满水池． （2）设共需y小时可注满水池，依题意得 ， 解得， 答：共需可以注满水池． 题型九、一元一次方程的应用——销售问题 1．（1）【情境导入】某服装成本为100元，售价为120元，则利润为　　　　　元． （2）【课本再现】下面是苏教版初中数学教科书七年级上册第129页的部分内容（销售中的盈亏）． 某商店以240元的相同售价卖出两件不同的衬衫，其中一件盈利，另一件亏损，商店卖出这两件衬衫是盈利，还是亏损？回答：　　　　　（填“盈利”、“亏损”或“不赢不亏”）． （3）【解决问题】七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件元的价格购进了200件，并以每件120元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是5600元，请你算一算降价前共售出多少件？ 【答案】（1）20；（2）亏损；（3）150件 【分析】本题主要考查了有理数减法的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）根据利润售价进价即可得出答案． （2））设盈利的衬衫的进价为x元，亏损的衬衫的进价为y元，根据题意分别求出两件衣服的进价，再根据利润售价进价把两件衣服的利润相加即可得出答案． （3）设降价前共售出m件，则降价后售出件，根据利润（单价售价单价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】解：（1）服装成本为100元，售价为120元，则利润为（元） （2）设盈利的衬衫的进价为x元，亏损的衬衫的进价为y元， 根据题意得：， 解得：，， ∴ 答：商店卖出这两件衬衫亏损了． （3）设降价前共售出m件，则降价后售出件， 由题意得，， 解得， 答：降价前共售出150件． 2．今年春季，果园喜获丰收，某批发公司组织辆汽车装运甲，乙两种水果去外地销售，按计划辆车都要装运．每辆汽车只能装运同一种水果，且必须装满，设装运甲种水果的车有辆，根据下面提供的信息，解答以下问题： 水果种类 甲 乙 每辆汽车运载量（吨） 每吨水果利润（元） (1)求这辆汽车共装运水果的数量（用含有的式子表示）； (2)求销售完装运的这批水果后所获得的总利润（用含有的式子表示）； (3)为了促销，公司决定甲种水果每吨让利元，乙种水果每吨利润不变，若无论装运甲种水果的汽车为多少辆，这辆汽车装运的水果销售完后，总利润都保持不变，求的值． 【答案】(1)这辆汽车共装运水果的数量为吨 (2)销售光这批水果后所获得的总利润为元 (3) 【分析】本题考查根据题目所给条件列代数式，一元一次方程的应用， （1）由装运甲种水果的车有辆，得出装运乙种水果的车有辆，再结合表格内的数据，可表示出辆汽车装运水果的数量； （2）用装运甲、乙水果的量分别乘以它们每吨的利润即可； （3）先表示出总利润的表达式，再根据“无论装运甲的汽车为多少辆，这辆车装运的水果销售完后，总利润都保持不变”可解决问题； 正确找到等量关系列出方程是解题关键． 【详解】（1）解：设装运甲种水果的车有辆，则装运乙种水果的车有辆， ∴装运的总量为：， ∴这辆汽车共装运水果的数量为吨； （2）根据题意，得：． ∴销售光这批水果后所获得的总利润为元； （3）根据题意，得：， 又∵无论装运甲水果的汽车为多少辆，这辆车装运的水果销售光后，总利润都保持不变，即利润的表达式的取值与的值无关， ∴， 解得：， ∴的值为． 3．某商场用元同时购进两种新型节能日光灯共盏，型日光灯每盏进价为元，型日光灯每盏进价为元． (1)求两种新型节能日光灯各购进多少盏？ (2)由于型日光灯的需求量增大，商场为了节省采购成本决定直接找厂家再购进一些型日光灯．已知型日光灯的出厂价为每盏元，厂家给出了如下优惠措施： 出厂总金额 返现金 不超过元 元 超过元，但不超过元 返现元 超过元 返现元 已知该商场第一次在厂家加购型日光灯支付元，第二次在厂家加购型日光灯支付元，若将两次购买改由一次性购买，则一次性购买时支付的总金额比两次分开购买时支付的总金额少多少元？ 【答案】(1)购进种新型节能日光灯盏，购进种新型节能日光灯盏； (2)少元． 【分析】（）设购进种新型节能日光灯盏，根据题意列出方程即可求解； （）由，可得第一次加购型日光灯出厂总金额低于元，第二次加购型日光灯出厂总金额高于元，即得第一次加购型日光灯出厂总金额为元，加购了盏节能日光灯，设第二次加购型日光灯盏，分出厂总金额不超过元和超过元两种情况解答即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设购进种新型节能日光灯盏， 由题意可得，， 解得， ∴， 答：购进种新型节能日光灯盏，购进种新型节能日光灯盏； （2）解：∵， ∴第一次加购型日光灯出厂总金额低于元，第二次加购型日光灯出厂总金额高于元， ∴第一次加购型日光灯出厂总金额为元，加购了盏节能日光灯， 设第二次加购型日光灯盏， 当出厂总金额不超过元时， 由题意得，， 解得， ∴两次购买了节能日光灯盏， ∴一次性购买出厂总金额为元， ∴元； 当出厂总金额超过元时， 由题意得，， 解得，不合题意； 综上，一次性购买时支付的总金额比两次分开购买时支付的总金额少元． 题型十、一元一次方程的应用——方案问题 1．某高校为了丰富学生的学习生活，利用课后辅导时间开设了很多学生喜欢的社团．其中网球社团正式开课之前打算采购网球拍40支，网球x筒（），经市场调查了解到该品牌网球拍定价100元/支，网球25元/筒．现有甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案： 甲商店：买一支网球拍送一筒网球； 乙商店：网球拍与网球均按付款． (1)请用含x的式子表示到甲商店购买需要支付________________元，到乙商店购买需要支付________________元； (2)若，请通过计算说明学校到甲、乙两家中的哪一家购买更优惠； (3)若两家的优惠方案相差400元，求x的值 【答案】(1)， (2)甲商店购买合算 (3)或 【分析】（1）按照对应的方案的计算方法分别列出代数式即可； （2）把代入求得的代数式求得数值，进一步比较得出答案即可； （3）根据甲、乙两家的优惠方案相差400元，可列方程即可． 本题考查了代数式的求值、列代数、由实际问题抽象出一元一次方程，掌握用数值代替代数式里的字母进行计算，根据题意列出算式是解题关键． 【详解】（1）解：依题意，甲商店购买需付款：元， 乙商店购买需付款：元； 故答案为：，； （2）解：当时， 则甲商店需（元）， 则乙商店需（元）； ∵， ∴甲商店购买合算； （3）解：∵两家的优惠相差400元， ∴． 解得； 或， 解得． ∴x的值为或． 2．暑假期间，某研学社组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50时，研学社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交1600元后，每人收费320元； 方案二：5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是（）时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当参加研学的总人数是90时，采用哪种方案更省钱？并请说明理由； (3)当参加研学的总人数是多少人时，采用两种方案的收费是一样的． 【答案】(1)当参加研学的总人数是时，方案一收费元，方案二收费元 (2)采用方案一更省钱，理由见解析 (3)当参加研学的总人数是85人时，采用两种方案的收费是一样的 【分析】本题考查了列代数式和求代数式的值． （1）根据两种方案的优惠方法列出关于的代数式即可； （2）求出当时，方案一和方案二的费用，通过比较确定哪种方案更省钱； （3）根据采用两种方案的收费列方程求解即可． 【详解】（1）解：方案一共收费：元， 方案二共收费：元， 答：当参加研学的总人数是时，方案一收费元，方案二收费元； （2）采用方案一更省钱， 理由：当参加研学的总人数是90时，即， 方案一共收费：； 方案二共收费：， ，采用方案一更省钱； （3）当时， 解得， 答：当参加研学的总人数是85人时，采用两种方案的收费是一样的． 3．为庆祝“六一”儿前节，某片区甲、乙两所中学组织文艺汇演，甲、乙两所学校共102人参加演出（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够100人）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至50套 51套至100套 100套以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 如果两校分别单独购买服装，一共应付元． (1)如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两校各有多少学生准备参加演出？ (3)如果甲校有12名同学因参加数学竞赛不能参加演出，请为两校设计一种省钱且合理的购买服装方案． 【答案】(1)甲、乙两校联合起来购买服装，比各自购买服装共可以节省元． (2)甲、乙两校分别有60人、42人准备参加演出． (3)最省钱的购买服装方案是两校联合购买101套服装（即比实际人数多购买11套）． 【分析】本题主要考查了一元一次方程解决销售方案问题： （1）计算出联合起来购买需付的钱数，然后即可得出节省的钱数． （2）根据题意判断出甲校的学生大于51，乙校的学生小于51，从而根据两所学校分别单独购买服装，一共应付元，可得出方程，解出即可； （3）根据实际人数乘以单价得购买费用，再计算两校联合购买101套服装的费用，两者比较可得省钱的购买方案． 【详解】（1）解：由题意得：（元）． 答：甲、乙两校联合起来购买服装，比各自购买服装共可以节省元． （2）解：因为甲校人数多于乙校人数， ∴甲校的学生大于51，乙校的学生小于51， 设甲校有x人准备参加演出，则乙校有人准备参加演出． 由题意，得． 解得， 则． 答：甲、乙两校分别有60人、42人准备参加演出． （3）解：因为甲校有12名同学因参加数学竞赛不能参加演出， 所以甲校有（人）参加演出， 所以两校参加演出的人数为．（人）． 若两校联合购买90套服装，则需要（元）． 但如果两校联合购买101套服装，只需（元）． ． 因此，最省钱的购买服装方案是两校联合购买101套服装（即比实际人数多购买11套）． 题型十一、一元一次方程的应用——数轴动点问题 1．已知有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C，其中b是最小的正整数的10倍，a、c满足． (1)填空： ， ， ； (2)现将点A、B、C分别以每秒4个、个、2个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，当运动时间为15秒时，A、B、C三点中恰好有一点为另外两点的中点，求出p的值？ (3)现将点A、B、C分别以每秒4个、1个、2个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒．当点A在点C左侧时（不考虑点A与点B重合），是否存在常数m，n，使得的值在一定时间范围内不随t的改变而改变？若存在，求出m，n的关系；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，10，50 (2)或 (3)存在；或 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用、非负数的性质、整式加减、数轴动点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用非负数的性质以及最小正整数很容易得解； （2）先将各点运动之后的数表示出来，再分类讨论建立方程即可求解； （3）先将各点运动之后的数用含t的式子表示出来，因为A和B大小不一定，所以需要分类讨论，然后不随t的变化而变化，实则是整式中无关项问题，令其系数为0即可得解． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 所以， 因为最小正整数为1， 所以， 故答案为：，10，50； （2）解：15秒后：点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ①当B为中点时，， ∴， 解得； ②当C为中点时，， ∴， 解得， ③当A为中点时，， ∴， 解得（舍去）； 综上，p的值为或； （3）解：t秒后：点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∵点A在点C左侧， ∴，， ①时，， ∴， ∵值不随t的改变而改变， ∴； ②当时，， ∴， ∵值不随t的改变而改变， ∴； 综上，m和n的关系为或． 2．数轴是数学学习的一个很重要的工具，是数与形的完美结合，研究数轴我们可以发现许多重要的结论：①绝对值的几何意义：可理解为数轴上表示数a所对应的点与数b所对应的点之间的距离；如可理解为数轴上表示数8所对应的点与数4所对应的点之间的距离； ②若数轴上的点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为请利用数轴及以上结论解决下列问题：如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，3．点P以每秒3个单位长度的速度从点A出发沿着数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿数轴向右匀速运动，两点同时出发同时停止运动，设运动时间为、t秒 (1)两点之间的距离是_______个单位长度，线段的中点M表示的数为_______． (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为_______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为_______．（用含t的式子表示） (3)在点P、Q运动过程中，点P、B、Q三点有一点恰好是其他两点形成的线段的中点，求此时t的值． 【答案】(1)4，1 (2)， (3)或或 【分析】本题主要考查了数轴动点问题，绝对值的意义，一元一次方程的应用，熟练掌握用代数式表示点运动后所表示的数是解答本题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离的定义及数轴的定义即可； （2）数轴上点向右移动终点对应的数等于起点对应的数加上移动距离，数轴上点向左移动终点对应的数等于起点对应的数减去移动距离，从而可得答案； （3）点为线段的中点时， 点为线段的中点时， 点为线段的中点时， 再利用中点对应的数的计算方法构建方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：由数轴可得，A、B两点的距离为，线段的中点M所表示数为， 故答案为：4，1； （2）解：∵点P以每秒3个单位长度的速度从点A出发沿着数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿数轴向右匀速运动， ∴点P运动t秒后，所在位置的点表示的数为， 点Q运动t秒后，所在位置的点表示的数为 ， 故答案为：， ； （3）解：①当点为线段的中点时， ， 解得； ②当点为线段的中点时，得 ， 解得； ③当点为线段的中点时，得 ， 解得 综上所述：或或． 3．华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休“．点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 【初步运用】 （1）数轴上表示3与的两点之间的距离为______； （2）已知数轴上某个点表示的数为x． 若，则________； 若，则___________； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c． _____________； 若，则点C表示的数为 ； 若该数轴上另有两个点P、Q，它们分别表示有理数p、q，其中点Q在线段上，当且最小时，P、Q两点之间的距离为_____．（直接写出答案） 【问题拓展】 （4）若点A、B、C在数轴上分别表示数、1、6，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】（1）8 （2）4或； （3）7；5或13；4或7 （4）不变化，值为3 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离，一元一次方程： （1）根据两点间距离公式可得结论； （2）①解绝对值方程即可；②解绝对值方程即可； （3）①由数轴知，，去绝对值符号即可求解；②根据，得到，求出或，再根据即可解答；③分情况讨论，求得，或，据此求解即可． （4）根据两点间的距离公式分别表示，代入计算可得答案． 【详解】解：（1）数轴上表示3与的两点之间的距离为； （2）①若，则或， 解得或； ②若，则或（舍去）， 解得； （3）①由数轴知，， ∴，， ∴； ②由数轴知，，即，结合，即， ∴， ∴或， 解得或； 根据数轴知，， ∴点表示的数为5或13； ③由题意可知，点在线段上，可得，则，， ∴，， 当时，， ∴， 故， 当时，，则， 故， ∵最小，故时，取值最小； 当时，，， ∴，即； 当时，，， ∴（不成立，舍去）； 当时，，， ∴，即， 综上，，或， 当时，、两点之间的距离为； 当时，、两点之间的距离为； ∴、两点之间的距离为4或7； （4）的值不随着随着时间t的变化而改变，为定值3，理由如下： 由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不随着随着时间t的变化而改变，为定值3． 题型十二、一元一次方程的应用——电费与水费问题 1．为鼓励节约用水，高港区自来水公司推行阶梯式水价计费制，标准如下表： 用水吨数 水费缴纳标准 每月用水不超过10吨 每吨元收费 每月用水超过10吨 超过部分每吨2元收费 已知王奶奶家今年5月份用了8吨水，共缴纳水费12元． (1)请求出的值； (2)若小明家今年8月份共缴纳水费37元，请求出8月份小明家的用水量． 【答案】(1)的值是； (2)8月份小明家的用水量是21吨． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）用水8吨，根据“用水不超过10吨”收费标准解答； （2）要求8月份用水量多少，就要先设出未知数，先把未知数定出区间，再通过理解题意可知本题的等量关系． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 则的值是； （2）解：因为每月用水不超过10吨时，水费是每吨元， 又因为8月份共缴纳水费37元， 所以8月份小明家的用水量一定超过10吨． 设8月份小明家的用水量是吨，根据题意，得 ， 解得． 答：8月份小明家的用水量是21吨． 2．为了加强公民的节约意识，我市出台阶梯电价计算方案如下表： 价目表 不超过200度的部分 元/度 超过200度不超过400度的部分 元/度 超过400度的部分 元/度 注：电费按月结算 (1)某户居民2月份应缴电费78元，该户居民2月份用电多少度？ (2)某户居民10月份用电220度，应缴电费111元，求的值； (3)用（度）表示月用电量，当用电量不超过200度时，应缴电费______元，当用电量超过200度不超过400度时，应缴电费______元，当用电量超过400度时，应缴电费______元（用含的式子表示）． 【答案】(1)156度 (2) (3)；； 【分析】本题主要考查了有理数除法的实际应用，一元一次方程的实际应用，列代数式： （1）先证明用电量小于200度，再用电费除以电的单价即可得到答案； （2）根据所给收费标准列出方程求解即可； （3）根据所给收费标准列出对应的代数式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴该户居民2月份用电量低于200度， ∵度， ∴该户居民2月份用电156度； （2）解：由题意得，， 解得； （3）解：由题意得，当用电量不超过200度时，应缴电费元； 当用电量超过200度不超过400度时，应缴电费元； 当用电量超过400度时，应缴电费元． 3．郑州市某商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价70元，利润率为；乙 种商品每件进价40元，售价60元． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于560元 不优惠 超过560元，但不超过700元 按售价打九折 超过700元 其中700元部分八点七折优惠，超过700元的部分打三折优惠 (1)甲种商品每件进价为 元，每件乙种商品利润率为 ； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共30件，恰好总进价为1320元，求购进乙种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对甲种商品进行如下的优惠促销活动： 按上述优惠条件，若顾客小贺一次性购买甲种商品实际付款630元，直接写出小贺在该商场购买了甲种商品 件． 【答案】(1)50， (2)购进乙种商品18件． (3)10或11 【分析】本题考查一元一次方程解决实际应用问题中活动分段计价问题，解题的关键是找到相应的等量关系式及分类讨论思想． （1）根据售价进价（1利润率）即可得到答案； （2）设购进乙种商品x件，则购进甲种商品件，根据费用列方程求解即可得到答案； （3）根据题意分两种情况讨论：购物金额超过560元，但不超过700元时和购物金额超过700元时，利用费用列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲的进价为a元/件， 则， 解得：， 故甲的进价为元/件； 乙商品的利润率为； （2）解：设购进乙种商品x件，则购进甲种商品件， 由题意得，， 解得：． ∴购进乙种商品18件． （3）解：设小贺在该商场购买了甲种商品b件 ①当购物金额超过560元，但不超过700元时， 由题意得， 解得：， ②当购物金额超过700元时， ， 解得：， 综上可得小贺在该商场购买甲种商品件10件或11件． 题型十三、一元一次方程的阅读理解与迁移探究题 1．阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格分成5个小格，所以每个大格对应的是角，每个小格对应的是角，时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分针转过的角度是6度． (1)解决问题：当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数． (2)8：00开始几分钟后分针第一次追上时针． (3)设在8：00时，分针的位置为，时针的位置为，运动后的分针为，时针为．问：在8：00~9：00之间，从8：00开始运动几分钟，，，这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？ 【答案】(1) (2)分钟 (3)分钟或分钟或48分钟 【分析】（1）根据8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格，可得所夹的锐角的度数； （2）计算出8：00时时针与分针所夹钝角的度数，设x分钟后分针第一次追上时针，利用追击问题列方程，即可求解； （3）分平分，平分，平分三种情况，利用角的和、差、倍数关系列方程，即可求解． 【详解】（1）解：8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格， ， 即分针与时针所夹的锐角的度数是． （2）解：设x分钟后分针第一次追上时针． 8：00时，时针与分针所夹钝角是8个大格， ， 由题意，， 解得， 即8：00开始分钟后分针第一次追上时针． （3）解：设运动m分钟后，，，这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线．分三种情况： 如图①，当平分时，， ∴， 解得； 如图②，当平分时，， ∴， 解得； 如图③，当平分时，， ∴， 解得； 综上，运动分钟或分钟或48分钟后，，，这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，以及角平分线的定义，能够计算出任一时刻时针与分针之间的角度是解题的关键． 2．我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式整数可看作分母为的分数，那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将化为分数形式， 由于，设，① 得，② ②①得，解得，于是得． 同理可得，．（问题在答题卡上） 根据试卷的上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） (1)【类比应用】 ； (2)将化为分数形式，写出推导过程； (3)【迁移提升】 ， ；（注，） 【答案】(1) (2)，过程见解析 (3)， 【分析】本题考查了有理数运算、比较大小，一元一次方程的解法．解题关键是正确理解题意． （1）根据题中的例子解答即可； （2）循环部有两位数时，参照阅读材料的解答过程，可先乘以，再与原数相减，即求得答案． （3）循环部有三位小数时，可先乘以，再与原数相减，即可求解；对于，可先求对应的分数，再加上得答案． 【详解】（1）解：设，则， ， ， ， 即， 故答案为：； （2）设，则， ， ， ， 即； （3）设，则， ， ， ， 即； ， 设，则， ， ， ，即， ； 故答案为：，． 3．［材料阅读］ “数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 如图1，数轴上的点A表示的数为a，B表示的数为b，且．点C是线段AB的中点． (1)点C表示的数是____； (2)若动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点M，N同时出发，当点N到达点A时，两动点的运动同时停止．设运动时间为t秒，则： ①点M、N表示的数分别是______、______（用含t的代数式表示）； ②若在运动过程中，存在，请求出t的值． 【方法迁移】 (3)我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图2，，平分．射线从出发，以每秒的速度绕点O顺时针旋转，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转．射线同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为t秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍，请求出所有符合题意的t的值． 【答案】(1)3 (2)①，；②或； (3)16或或32 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性、数轴上的动点问题、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先根据绝对值的非负性确定a、b的值，进而确定点A、B表示代数，然后根据中点的定义即可解答； （2）①结合数轴用t表示出M、N表示的数即可；②先根据题意表示出，再说明，然后根据列绝对值方程求解即可； （3）先根据角平分线的定义求得，再表示出,再说明，然后再分或两种情况解绝对值方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴点A表示的数为，B表示的数为8， ∵点C是线段AB的中点， ∴点C表示的数是． 故答案为3． （2）解：设运动时间为t秒，则：点M表示的数为：；点N表示的数为：； ∴， ∵， ∴，即， ∵当点N到达点A时，两动点的运动同时停止． ∴； 当时，有，解得：； 当时，有，解得：． 综上，当或时，． （3）解：∵，平分． ∴， 由题意可得：， ∴， ∵当到达时，运动同时停止． ∴； ①当时，， 当时，有，解得：； 当时，有，解得：； ②当时，， 当时，有，解得：，不符合题意； 当时，有，解得：． 综上，当t的值为16或或32时，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍． 2 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 一元一次方程 压轴专练 题型一、一元一次方程的整数解 1．若关于x的方程的解是负整数，且关于y的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A． B． C． D． 2．关于的一元一次方程的解为整数，则整数的所有可能的取值之和为 ． 3．已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 题型二、一元一次方程的整体代入 1．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．关于的方程的解是，现给出另一个关于的方程，则它的解是 ． 3．数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要，例如：已知，，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则_________； (2)已知，，求代数式的值； (3)已知关于的方程的解为，求方程的解． 题型三、一元一次方程的定值 1．已知m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知a，b为常数，若关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 3．已知关于x的一元一次方程 ，其中a，b，k为常数， (1)当，，时，求该方程的解； (2)当时，若原方程有无数个解，请求出此时的值； (3)若无论k为何值，该方程的解总是，求的值． 题型四、一元一次方程的绝对值 1．解绝对值方程：． 2．先阅读下面的材料，再解答问题：解含有绝对值符号的方程时，关键是去掉绝对值符号，下面采用“找零点”的方法来求解这类方程． 例：解绝对值方程：． 解：分别令，，解得：，， 用2，将数轴分成三个区域，然后在每个区域内去掉绝对值求解， 当时，原方程可化为，解得：，检验符合； 当时，原方程可化为，解得：，经检验，它不在范围内，故不是原方程的解； 当时，原方程可化为，解得：，检验符合； 综上，原方程的解为或． 阅读完上述材料，试解下面含绝对值的方程： ． 3．已知关于的绝对值方程只有三个解，求的值． 题型五、一元一次方程的规律 1．如图，是一组有规律的图案，它们是由边长为1的小正方形组成，其中部分小正方形有阴影，按照这样的规律： (1)第4个图案中涂有阴影的小正方形的个数是______，第个图案中涂有阴影的小正方形的个数是______． (2)第个图形中，边长为1的小正方形总数是否可以为2024个，为什么？ 2．一张长方形的餐桌可以坐6个人，按照下图的方式摆放餐桌和椅子： (1)观察表中数据规律填空：___，____，_____； 餐桌张数 1 2 3 4 5 … 可坐人数 6 8 … (2)一家酒楼，按上图的方式拼桌，要使拼成的一张大餐桌刚好能坐人，请问需几张餐桌拼成一张大餐桌？ (3)若酒店有人来就餐，还有更好的拼桌方式吗？最少要用多少张餐桌？如果有，画出此时拼桌方式的示意图：如果没有，请说明理由． 3．【问题提出】观察一下生活中小蜜蜂修建的六边形蜂巢，它们按照一定规律，如何用含的式子表示第个图形的蜂巢中六边形的总数呢？ 【分析思路】我们可以把图形看成几个部分的组合，找到每一部分对应的数字规律，进而找到整个图形对应的数字规律．如：要解决上面问题，我们不妨先从特例入手（统一用表示第个图形蜂巢中六边形的总数）． 【解决问题】 （1）如图，如果把每个图形按照它的新增六边形观察，你发现了这些六边形的排布规律了吗？像的情形那样，请用数学算式表达你发现的规律． ______； （2）用含的式子表示第个图形的蜂巢的总数______； （3）请问有可能是2024吗？如果可以，请求出，如果不可以，请说明理由． 题型六、一元一次方程的新定义 1．新定义 用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：1． (1)______； (2)若，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 2．定义：如果两个方程的解相差，为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“通甫方程”，例如：方程是方程的“通甫方程”． (1)若方程是方程的“通甫方程”，则　　　　　； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“通甫方程”，求的值； (3)当时，如果关于x方程是方程的“通甫方程”，求代数式的值． 3．定义：关于x的方程与方程（均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若方程与方程互为“反对方程”，则________． (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求k的值． 题型七、一元一次方程的应用——行程问题 1．据国际田联田径场地设施标准手册标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，有条跑道，每条跑道宽，直道长；跑道第一圈最内圈的弯道半径为到之间．某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为的标准跑道，小王同学计算了各圈的长：第一圈长：；第二圈长：；第三圈长： (1)第三圈的弯道比第一圈的弯道长多少米？小王计算的第八圈的长是多少米？取，结果保留整数 (2)小王紧靠第一圈内边线逆时针跑步，邓教练紧靠第三圈内边线顺时针骑自行车均以所靠边线长计路程，在如图的起跑线同时出发，经过两人在直道第一次相遇若邓教练平均速度是小王平均速度的倍，求他们的平均速度各是多少？注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇 2．甲、乙两站间的路程为，一列快车从甲站开出，每小时行驶，一列慢车从乙站开出，每小时比快车少行驶． (1)两车同时开出，相向而行， 小时后相遇； (2)快车先开，两车相向而行，快车开出 小时后两车相遇； (3)两车同时同向开出，慢车在前，出发多长时间后快车追上慢车？ (4)慢车先开，两车同向而行，慢车在前，快车出发多长时间后追上慢车？ 3．从夏令营营地到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，共用了55分钟；回来时，通过平路的速度不变，但以每小时6千米的速度上山，共花去了1小时10分钟，问营地到学校有多少千米． 题型八、一元一次方程的应用——工程问题 1．一个水池有甲、乙、丙三个水管，单开甲管6小时可以将空池注满；单开乙管4小时可以将空池注满；单开丙管12小时可以把满池的水放完；现在水池里有的水，开放乙、丙两管2小时后，三管齐开，求再过多少小时可以把水池注满？ 2．一项工程，若请甲、乙两个工程队合作，则需6周完成，需要施工费万元；若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要施工费万元． (1)甲、乙两个工程队单独修路分别需要多少周完成？ (2)请甲、乙两个工程队工作一周需要施工费分别为多少万元？ (3)若只请一个工程队单独做，使该工程的施工费用低，应该选择甲工程队还是乙工程队？ 3．一个蓄水池装有甲、乙两个进水管和丙一个出水管，单独开放甲管可注满一池水，单独开放乙管可注满一池水，单独开放丙管可放尽一池水 (1)若同时开放甲、乙、丙三个水管，几小时可注满水池？ (2)若甲管先开放，而后同时开放乙、丙两个水管，则共需几小时可注满水池？ 题型九、一元一次方程的应用——销售问题 1．（1）【情境导入】某服装成本为100元，售价为120元，则利润为　　　　　元． （2）【课本再现】下面是苏教版初中数学教科书七年级上册第129页的部分内容（销售中的盈亏）． 某商店以240元的相同售价卖出两件不同的衬衫，其中一件盈利，另一件亏损，商店卖出这两件衬衫是盈利，还是亏损？回答：　　　　　（填“盈利”、“亏损”或“不赢不亏”）． （3）【解决问题】七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件元的价格购进了200件，并以每件120元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是5600元，请你算一算降价前共售出多少件？ 2．今年春季，果园喜获丰收，某批发公司组织辆汽车装运甲，乙两种水果去外地销售，按计划辆车都要装运．每辆汽车只能装运同一种水果，且必须装满，设装运甲种水果的车有辆，根据下面提供的信息，解答以下问题： 水果种类 甲 乙 每辆汽车运载量（吨） 每吨水果利润（元） (1)求这辆汽车共装运水果的数量（用含有的式子表示）； (2)求销售完装运的这批水果后所获得的总利润（用含有的式子表示）； (3)为了促销，公司决定甲种水果每吨让利元，乙种水果每吨利润不变，若无论装运甲种水果的汽车为多少辆，这辆汽车装运的水果销售完后，总利润都保持不变，求的值． 3．某商场用元同时购进两种新型节能日光灯共盏，型日光灯每盏进价为元，型日光灯每盏进价为元． (1)求两种新型节能日光灯各购进多少盏？ (2)由于型日光灯的需求量增大，商场为了节省采购成本决定直接找厂家再购进一些型日光灯．已知型日光灯的出厂价为每盏元，厂家给出了如下优惠措施： 出厂总金额 返现金 不超过元 元 超过元，但不超过元 返现元 超过元 返现元 已知该商场第一次在厂家加购型日光灯支付元，第二次在厂家加购型日光灯支付元，若将两次购买改由一次性购买，则一次性购买时支付的总金额比两次分开购买时支付的总金额少多少元？ 题型十、一元一次方程的应用——方案问题 1．某高校为了丰富学生的学习生活，利用课后辅导时间开设了很多学生喜欢的社团．其中网球社团正式开课之前打算采购网球拍40支，网球x筒（），经市场调查了解到该品牌网球拍定价100元/支，网球25元/筒．现有甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案： 甲商店：买一支网球拍送一筒网球； 乙商店：网球拍与网球均按付款． (1)请用含x的式子表示到甲商店购买需要支付________________元，到乙商店购买需要支付________________元； (2)若，请通过计算说明学校到甲、乙两家中的哪一家购买更优惠； (3)若两家的优惠方案相差400元，求x的值 2．暑假期间，某研学社组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50时，研学社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交1600元后，每人收费320元； 方案二：5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是（）时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当参加研学的总人数是90时，采用哪种方案更省钱？并请说明理由； (3)当参加研学的总人数是多少人时，采用两种方案的收费是一样的． 3．为庆祝“六一”儿前节，某片区甲、乙两所中学组织文艺汇演，甲、乙两所学校共102人参加演出（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够100人）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至50套 51套至100套 100套以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 如果两校分别单独购买服装，一共应付元． (1)如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两校各有多少学生准备参加演出？ (3)如果甲校有12名同学因参加数学竞赛不能参加演出，请为两校设计一种省钱且合理的购买服装方案． 题型十一、一元一次方程的应用——数轴动点问题 1．已知有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C，其中b是最小的正整数的10倍，a、c满足． (1)填空： ， ， ； (2)现将点A、B、C分别以每秒4个、个、2个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，当运动时间为15秒时，A、B、C三点中恰好有一点为另外两点的中点，求出p的值？ (3)现将点A、B、C分别以每秒4个、1个、2个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒．当点A在点C左侧时（不考虑点A与点B重合），是否存在常数m，n，使得的值在一定时间范围内不随t的改变而改变？若存在，求出m，n的关系；若不存在，请说明理由． 2．数轴是数学学习的一个很重要的工具，是数与形的完美结合，研究数轴我们可以发现许多重要的结论：①绝对值的几何意义：可理解为数轴上表示数a所对应的点与数b所对应的点之间的距离；如可理解为数轴上表示数8所对应的点与数4所对应的点之间的距离； ②若数轴上的点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为请利用数轴及以上结论解决下列问题：如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，3．点P以每秒3个单位长度的速度从点A出发沿着数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿数轴向右匀速运动，两点同时出发同时停止运动，设运动时间为、t秒 (1)两点之间的距离是_______个单位长度，线段的中点M表示的数为_______． (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为_______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为_______．（用含t的式子表示） (3)在点P、Q运动过程中，点P、B、Q三点有一点恰好是其他两点形成的线段的中点，求此时t的值． 3．华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休“．点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 【初步运用】 （1）数轴上表示3与的两点之间的距离为______； （2）已知数轴上某个点表示的数为x． 若，则________； 若，则___________； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c． _____________； 若，则点C表示的数为 ； 若该数轴上另有两个点P、Q，它们分别表示有理数p、q，其中点Q在线段上，当且最小时，P、Q两点之间的距离为_____．（直接写出答案） 【问题拓展】 （4）若点A、B、C在数轴上分别表示数、1、6，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 题型十二、一元一次方程的应用——电费与水费问题 1．为鼓励节约用水，高港区自来水公司推行阶梯式水价计费制，标准如下表： 用水吨数 水费缴纳标准 每月用水不超过10吨 每吨元收费 每月用水超过10吨 超过部分每吨2元收费 已知王奶奶家今年5月份用了8吨水，共缴纳水费12元． (1)请求出的值； (2)若小明家今年8月份共缴纳水费37元，请求出8月份小明家的用水量． 2．为了加强公民的节约意识，我市出台阶梯电价计算方案如下表： 价目表 不超过200度的部分 元/度 超过200度不超过400度的部分 元/度 超过400度的部分 元/度 注：电费按月结算 (1)某户居民2月份应缴电费78元，该户居民2月份用电多少度？ (2)某户居民10月份用电220度，应缴电费111元，求的值； (3)用（度）表示月用电量，当用电量不超过200度时，应缴电费______元，当用电量超过200度不超过400度时，应缴电费______元，当用电量超过400度时，应缴电费______元（用含的式子表示）． 3．郑州市某商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价70元，利润率为；乙 种商品每件进价40元，售价60元． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于560元 不优惠 超过560元，但不超过700元 按售价打九折 超过700元 其中700元部分八点七折优惠，超过700元的部分打三折优惠 (1)甲种商品每件进价为 元，每件乙种商品利润率为 ； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共30件，恰好总进价为1320元，求购进乙种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对甲种商品进行如下的优惠促销活动： 按上述优惠条件，若顾客小贺一次性购买甲种商品实际付款630元，直接写出小贺在该商场购买了甲种商品 件． 题型十三、一元一次方程的阅读理解与迁移探究题 1．阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格分成5个小格，所以每个大格对应的是角，每个小格对应的是角，时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分针转过的角度是6度． (1)解决问题：当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数． (2)8：00开始几分钟后分针第一次追上时针． (3)设在8：00时，分针的位置为，时针的位置为，运动后的分针为，时针为．问：在8：00~9：00之间，从8：00开始运动几分钟，，，这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？ 2．我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式整数可看作分母为的分数，那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将化为分数形式， 由于，设，① 得，② ②①得，解得，于是得． 同理可得，．（问题在答题卡上） 根据试卷的上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） (1)【类比应用】 ； (2)将化为分数形式，写出推导过程； (3)【迁移提升】 ， ；（注，） 3．［材料阅读］ “数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 如图1，数轴上的点A表示的数为a，B表示的数为b，且．点C是线段AB的中点． (1)点C表示的数是____； (2)若动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点M，N同时出发，当点N到达点A时，两动点的运动同时停止．设运动时间为t秒，则： ①点M、N表示的数分别是______、______（用含t的代数式表示）； ②若在运动过程中，存在，请求出t的值． 【方法迁移】 (3)我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图2，，平分．射线从出发，以每秒的速度绕点O顺时针旋转，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转．射线同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为t秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍，请求出所有符合题意的t的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$