第08讲 不等式（组）及其应用（讲练）（思维导图+4考点+2命题点8种题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（山东专用）

第二章 方程（组）与不等式（组） 第08讲 不等式（组）及其应用（6~15分） （思维导图+4考点+2命题点132种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 不等式的性质 考点二 一元一次不等式 考点三 一元一次不等式组 考点四 不等式（组）实际问题 04题型精研·考向洞悉 命题点一 不等式（组）的解法 ►题型01 不等式的性质与数轴 ►题型02 不等式（组）整数解 ►题型03 二元一次方程组与不等式综合 ►题型04 不等式（组）利用解集求参数 ►题型05 不等式（组）定义新运算 命题点二 不等式（组）的应用题 ►题型01 方案问题 ►题型02 销售利润 ►题型03 运输问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 不等式及不等式的基本性质 · 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质 2024省卷12题， 中考数学中，一元一次不等式(组) 的解法及应用题时有考察. 其中不等式性质、解一元一次不等式(组)，通常是以选择题或填空题的形式出现，难度不大.而不等式（组）相关的应用题常会和其它考点(如二元一次方程组、二次函数等) 结合考察，常以解答题形式出现，此时难度上升，需要小心应对.对于一元一次不等式（组）中含参数问题，难度偏大，但是考察几率并不大，为避免丢分，学生应在复习过程中扎实掌握． 一元一次不等式 · 能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集 一元一次不等式组 · 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集. 不等式（组）的实际应用 · 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题. 02知识导图·思维引航 、 03考点突破·考法探究 1. 方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系. 2. 常见的不等号有：≠，>，≥，<，≤五种. 3. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点. 4. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系： 1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值. 2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值. 3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解. 5. 在列不等式时，要注意抓住问题中的一些关键词语，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等. 同时要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际． 6. 运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母． 4） 运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向. 考点一 不等式的性质 一、不等式的相关概念 不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 二、不等式的性质 基本性质1 若a>b，则a±c > b±c 若a<b，则a±c < b±c 基本性质2 若a>b,c>0，则ac>bc（或） 基本性质3 若a>b,c<0，则ac<bc（或） 【例1】．（2024·山东临沂·模拟预测）已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】．（2021·山东临沂·中考真题）已知，下列结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】．（2024·山东济南·二模）如果，那么下列运算不正确的是 （ ） A． B． C． D． 【变式1-3】．（2022·山东德州·二模）如果，那么下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 考点二 一元一次不等式 一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式的一般形式：或. 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数 不等式性质2、3 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律 去括号法则 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各项都要变号； 3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各项都不变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 不等式性质1 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号.而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为或的形式 合并同类项法则 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 系数化为1 将不等式两边都除以未知数系数a，得到不等式的解 不等式性质2、3 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【例2】．（2023·山东淄博·二模）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·山东济南·模拟预测）已知不等式的正整数解有2个，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．（2021·山东烟台·二模）如果的解集是，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D．a是任意有理数 【变式2-3】．（2022·山东聊城·一模）不等式的正整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点三 一元一次不等式组 一元一次不等式组的概念：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组． 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． 不等式组解集的确定有两种方法： 1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了． 解一元一次不等式组的一般步骤： 1） 求出不等式组中各不等式的解集. 2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来. 3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 【例3】．（2023·山东·中考真题）解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式3-1】．（2023·山东烟台·中考真题）不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式3-2】．（2022·山东潍坊·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】．（2022·山东滨州·中考真题）把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（    ） A． B． C． D． 考点四 不等式（组）的实际问题 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式 6x≤50. 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 【例4】．（2023·山东·中考真题）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 【变式4-1】．（2024·山东滨州·模拟预测）小明带10元钱想买一盒饼干和一袋牛奶，可是售货员阿姨说：本来10元钱够一盒饼干的，但再买一袋牛奶就不够了，今天是儿童节给你的饼干打9折，两样东西拿好，再找你8角钱，饼干的标价可是整数哦，请你帮小明算出牛奶和饼干的标价． 【变式4-2】．（2024·山东济南·模拟预测）2023年12月17日上午，第二届济南市全民阅读大会暨全民阅读冬季讲读活动开幕式在济南市图书馆中心馆举行．济南市直有关部门负责同志、中小学生代表、市民代表、媒体记者等共计500余人参加活动．为积极响应建设“书香济南”的号召，某校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同． (1)男装、女装的单价各是多少？ (2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？ 【变式4-3】（2021·山东德州·中考真题）某公司分别在，两城生产同种产品，共100件．城生产产品的成本（万元）与产品数量（件之间具有函数关系，城生产产品的每件成本为60万元． (1)当城生产多少件产品时，，两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？ (2)从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元件和3万元件；从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元件和2万元件．地需要90件，地需要10件，在（1）的条件下，怎样调运可使，两城运费的和最小？ 与一元一次不等式的特殊解有关的解题方法： 类型一 求一元一次不等式特殊解的方法 解决此类问题的关键：正确求出不等式的解集，再根据题目要求求出其特殊解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 类型二 已知一元一次不等式解集（整数解）求字母的取值． 解决此类问题的关键：先把题目中除未知数外的字母当作常数看待解不等式，再根据题目中的限制条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 不等式（组）的解法 ►题型01 不等式的性质与数轴 【例1】．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·山东烟台·中考真题）实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·山东济南·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　）    A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·山东枣庄·模拟预测）如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，则下列式子中成立的是（    ） A． B． C． D． ►题型02 不等式（组）整数解 【例2】．（2022·山东淄博·二模）关于x的不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（　　） A．11 B．15 C．18 D．21 【变式2-1】（2022·山东聊城·二模）不等式组的整数解的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2-2】（2023·山东济南·二模）若关于的一元一次不等式组恰有3个整数解，且一次函数不经过第三象限，则所有满足条件的整数的值之和是（　　　） A． B． C．0 D．1 【变式2-3】．（2020·山东烟台·二模）若实数a使得关于x的分式方程＝﹣2的解为负数，且使得关于y的不等式组，至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．6 B．5 C．4 D．1 ►题型03 二元一次方程组与不等式综合 【例3】．（2022·山东聊城·中考真题）关于，的方程组的解中与的和不小于5，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】．（2024·山东临沂·模拟预测）关于x，y的方程组的解中x与y的和小于5，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】．（2022·山东临沂·二模）已知方程组的x，y满足x﹣y≥0，则m的取值范围是（    ） A．m≤﹣1 B．m≥﹣1 C．m≤1 D．m≥1 【变式3-3】．（2023·山东济南·一模）若关于x，y的方程组的解满足x＞y＞0，则m的取值范围是(　　)． A．m＞2 B．m＞－3 C．－3＜m＜2 D．m＜3或m＞2 ►题型04 不等式（组）已知解求参数 【例4】．（2021·山东日照·中考真题）若不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】．（2023·山东德州·二模）已知不等式组的解集是，则（    ） A．2024 B．1 C．0 D． 【变式4-2】．（2023·山东枣庄·二模）若关于x的不等式组恰有两个整数解，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】．（2023·山东济南·一模）若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． ►题型05 不等式（组）定义新运算 【例5】．（2023·山东日照·一模）定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b=a（a﹣b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣5，那么不等式3⊕x＜13的解集为 . 【变式5-1】．（2021·山东潍坊·二模）在实数范围内规定新运算“”，规则是：，若不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是 ． 【变式5-2】．（2023·山东临沂·二模）定义新运算“”，规定：，若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是 ． 【变式5-3】．（2023·山东济南·二模）定义一种运算：，则不等式的解集是 ． 命题点二 不等式（组）的应用题 ►题型01 方案问题 【例1】．（2024·山东德州·二模）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同． (1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案． 【变式1-1】．（2024·山东济宁·一模）某商场购进甲、乙两种商品进行销售，乙商品的进价比甲商品的进价高10元/件，如果该商场花费100元购进甲商品，花费60元购进乙商品，则购进甲商品的数量是乙商品的2倍． (1)求甲、乙两种商品的进货单价； (2)该商场计划购进两种商品共100件，购进总费用不超过5360元，且购进乙商品的件数不少于甲商品的件数的一半，问：共有几种进货方案？哪种方案购买的总费用最少？ 【变式1-2】（2023·山东东营·一模）党的二十大报告，深刻阐述了推动绿色发展，促进人与自然和谐共生的理念，尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．为响应党的号召，东营市政府欲购进一批风景树进行绿化，已知购进A种风景树4万棵，B种风景树3万棵，共需要380万元；购进A种风景树8万棵，B种风景树5万棵，共需要700万元． (1)问A，B两种风景树每棵的进价分别是多少元？ (2)东营市政府计划用不超过5460万元购进A，B两种风景树共100万棵，其中要求A风景树的数量不多于58万棵，则共有几种购买方案？ 【变式1-3】（2022·山东枣庄·二模）蓬安县新园乡宽敞沟村为了发展特色产业，花费元集中采购了“文君桃”树苗和“相如李”树苗共株，已知“相如李”树苗单价是元，“文君桃”树苗单价是“相如李”树苗单价的倍． (1)求“文君桃”、“相如李”两种树苗各买了多少株？ (2)宽敞沟村决定再购买同样的树苗株用于补充栽种，其中“相如李”树苗不多于株，在单价不变，总费用不超过元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ ►题型02 销售利润 【例2】．（2024·山东青岛·二模）为参加“六一”学生节义卖，某班计划购进可题字的扇面和动漫人偶进行销售，他们用700元购买扇面的个数是315元购买人偶个数的2倍，一个扇面的进价比一个人偶的进价多1元．两种货物的售价均为15元/个． (1)求一个扇面和一个人偶的进价分别是多少元？ (2)该班计划购进这两种货物共200个，其中购进扇面的数量不少于人偶数量的，且不超过150个．进货时，若一次性购进扇面超过80个，则扇面超过的部分可按进价打7折．该班应购进扇面和人偶玩具各多少个，才能在两种货品全部售出后所获利润最大？最大利润是多少元？ 【变式2-1】．（2023·山东淄博·二模）近期，淄博烧烤大火，为迎接暑假旅游高峰的到来，增加淄博在社会上认知度，某烧烤店决定同时购进具有淄博特色纪念品，购进、两种纪念品．若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元；若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元． (1)求购进、两种纪念品每件各需多少元． (2)若烧烤店决定购进这两种纪念品共件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这件纪念品的资金不少于元，但不超过元，那么该商店共有几种进货方案． (3)若销售种纪念品每件可获利润元，种纪念品每件可获利润元，用（2）中的进货方案，哪一种方案可获利最大，最大利润是多少元． 【变式2-2】．（2024·山东德州·二模）为培养学生的阅读能力，深圳市某校八年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，分别花费了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》的订购单价的1.4倍.并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本． (1)求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元； (2)该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，其中《朝花夕拾》订购数量不低于30本，且两种书总费用不超过1200元，请求出再订购这两种书籍的最低总费用的方案及最低费用为多少元？ 【变式2-3】（2022·山东青岛·二模）赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．某赣南橙种植基地11月20号开始采摘发售，果农根据果实的大小和甜度将赣南橙划分为A级和B级两个类别．采摘发售第一周，A级累计销售19200元，B级累计销售16000元．已知A级每箱单价比B级多，销量比B级少40箱． (1)赣南橙A级、B级每箱售价分别是多少元？ (2)某商店计划从该基地购进A、B两个等级的赣南橙共40箱，且A级的数量不少于B级的数量的．该商店如何购进才能使花费最小，并求出最小花费． ►题型03 运输问题 【例3】．（2023·山东临沂·二模）广西平陆运河北起横州市西津水电站库区平塘江口，南止于钦江出海口沙井港航道，在一航道建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方．已知5辆大型渣土运输车与2辆小型渣土运输车一次共运输土方60吨，6辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方80吨． (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ (2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与把156吨土方全部运走，若一辆大型渣土运输车耗费600元，一辆小型渣土运输车耗费400元，请你设计出最省钱的运输方案． 【变式3-1】．（2021·山东东营·二模）一方有难，八方支援．2020年初，新冠肺炎爆发，山东某蔬菜基地运输公司计划安排甲、乙两种货车向某疫区运送新鲜蔬菜，两次满载的运输情况如下表： 次数 甲种货车辆数 乙种货车辆数 合计运送吨数 第一次 2 3 19 第二次 3 5 30 （1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨新鲜蔬菜？ （2）目前至少有36吨新鲜蔬菜要一次性运输到目的地，该公司拟安排甲、乙两种货车共8辆，其中每辆甲种货车一次运送费用为500元，每辆乙种货车一次运送费用为300元，请问该公司应如何安排甲、乙两种货车使总运送费用最少？ 【变式3-2】．（2020·山东济宁·中考真题）为加快复工复产，某企业需运输批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5 000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案,并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少? 【变式3-3】．（2021·山东青岛·一模）某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共辆调拨不超过吨蔬菜和吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜吨和肉制品吨；一辆中型车可运蔬菜吨和肉制品吨． （1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来； （2）若一辆大型车的运费是元，一辆中型车的运费为元，试说明中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？ 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．若，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．若干名学生住宿舍，如果每间住4人，那么还有19人无房可住，如果每间住6人，那么还有一间不空不满，试求学生人数和宿舍间数．设学生人数为人，宿舍间数为间，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 6．关于的不等式组恰好有个整数解，则满足（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．不等式的解集是 ． 8．用不等式表示“2与的3倍的和是正数”： ． 9．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了二次才停止，则的取值范围是 ． 10．若关于的不等式组有4个整数解，则的取值范围为 ． 三、解答题 11．求不等式的正整数解． 12．解不等式组：，并将解集表示在数轴上． 13．已知不等式组 的解集为 ，则的值等于多少？ 14．在冰雪旅游时期，某旅游商品经销店欲购进A、B两种冰雪纪念品，若用380元可以购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件． (1)求A、B两种纪念品的进价分别为多少? (2)若该经销店每件A种纪念品售价25元，每件B种纪念品售价38元，该经销店准备购进A、B两种纪念品共50件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于310元，则该经销店最多可购进A种纪念品多少件? 15．红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍． (1)求A、B两种树苗的单价分别是多少元？ (2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 能力提升 一、单选题 1．下列各式中，是不等式的是（     ） A． B． C． D． 2．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知三个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则它们组成的不等式组的解集是（  ） A． B． C． D． 4．小丽同学准备用自己的零花钱购买一台学生平板电脑，她原有750元，计划从本月起每月存入30元，直到她至少存有1080元，设x个月后小丽至少有1080元，则可列计算月数的不等式为（   ） A． B． C． D． 5．若关于的方程的解为自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的和为（   ） A．5 B．2 C．4 D．6 二、填空题 6．不等式的非负整数解是 ． 7．已知不等式组的解集为，则 ． 8．已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 9．对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，侧如：T（1，0）＝＝a．已知T（1，﹣1）＝1，T（5，﹣2）＝4，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ． 10．我校学生会计划组织初一学生给某边远山区小学生捐赠书籍，已经筹到图书若干．若每位小学生2本书，则余7本；若前面每人分5本，则除了有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本．则共有小学生 人． 三、解答题 11．解不等式： 12．解一元一次不等式组并把解表示在如图所示的数轴上． 13．已知方程组中x为非正数，y为负数． (1)求a的取值范围； (2)化简：； (3)在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为 14．定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的【相伴方程】． (1)在下列方程中： ； ； ，与不等式组是 【相伴方程】的是 ；（填序号） (2)若不等式组的一个【相伴方程】的解是整数，则这个【相伴方程】可以是 ；（写出一个即可） (3)若方程，都是关于的不等式组 的【相伴方程】，求的取值范围． 15．为了迎接“十一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如表： 运动鞋价格\种类 甲 乙 进价元/双 m 售价元/双 140 100 已知：用2800元购进甲种运动鞋的数量与用2000元购进乙种运动鞋的数量相同． (1)求m的值； (2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共100双的总利润（利润=售价－进价）不少于5200元，且不超过5700元，问该专卖店有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠元出售．乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？ $$第二章 方程（组）与不等式（组） 第08讲 不等式（组）及其应用（6~15分） （思维导图+4考点+2命题点132种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 不等式的性质 考点二 一元一次不等式 考点三 一元一次不等式组 考点四 不等式（组）实际问题 04题型精研·考向洞悉 命题点一 不等式（组）的解法 ►题型01 不等式的性质与数轴 ►题型02 不等式（组）整数解 ►题型03 二元一次方程组与不等式综合 ►题型04 不等式（组）利用解集求参数 ►题型05 不等式（组）定义新运算 命题点二 不等式（组）的应用题 ►题型01 方案问题 ►题型02 销售利润 ►题型03 运输问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 不等式及不等式的基本性质 · 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质 2024省卷12题， 中考数学中，一元一次不等式(组) 的解法及应用题时有考察. 其中不等式性质、解一元一次不等式(组)，通常是以选择题或填空题的形式出现，难度不大.而不等式（组）相关的应用题常会和其它考点(如二元一次方程组、二次函数等) 结合考察，常以解答题形式出现，此时难度上升，需要小心应对.对于一元一次不等式（组）中含参数问题，难度偏大，但是考察几率并不大，为避免丢分，学生应在复习过程中扎实掌握． 一元一次不等式 · 能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集 一元一次不等式组 · 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集. 不等式（组）的实际应用 · 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题. 02知识导图·思维引航 、 03考点突破·考法探究 1. 方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系. 2. 常见的不等号有：≠，>，≥，<，≤五种. 3. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆点. 4. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系： 1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值. 2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值. 3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解. 5. 在列不等式时，要注意抓住问题中的一些关键词语，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等. 同时要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际． 6. 运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母． 4） 运用不等式的性质进行不等式变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清楚这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号要改变方向. 考点一 不等式的性质 一、不等式的相关概念 不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 二、不等式的性质 基本性质1 若a>b，则a±c > b±c 若a<b，则a±c < b±c 基本性质2 若a>b,c>0，则ac>bc（或） 基本性质3 若a>b,c<0，则ac<bc（或） 【例1】．（2024·山东临沂·模拟预测）已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质依次判断即可．本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】A、∵， ∴， 故A选项错误； B、当时，， 故B选项错误； C、∵ ， ∴， 故C选项错误； D、∵， ∴， ∴， 故D选项正确； 故选：D． 【变式1-1】．（2021·山东临沂·中考真题）已知，下列结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据不等式的性质分别判断即可． 【详解】解：∵a＞b，则 ①当a=0时，，故错误； ②当a＜0，b＜0时，，故错误； ③若，则，即，故错误； ④若，则，则，故正确； 故选A． 【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式两边发生变化时，不等号的变化． 【变式1-2】．（2024·山东济南·二模）如果，那么下列运算不正确的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：因为， 两边都加上y，得， 所以A正确； 因为， 两边都减去3，得． 所以B不正确； 因为， 两边都乘以2，得． 所以C正确； 因为， 得． 所以D正确． 故选：B． 【变式1-3】．（2022·山东德州·二模）如果，那么下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项变形后即可得到答案． 【详解】解：A．如果，那么，故选项正确，不符合题意； B．如果，那么，故选项正确，不符合题意； C．如果，那么，故选项正确，不符合题意； D．如果，那么，故选项错误，符合题意． 故选：D． 考点二 一元一次不等式 一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式的一般形式：或. 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数 不等式性质2、3 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律 去括号法则 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 括号前面是负数时,去掉括号后,括号内各项都要变号； 3）括号前面是正数时,去掉括号后,括号内各项都不变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 不等式性质1 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号.而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为或的形式 合并同类项法则 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 系数化为1 将不等式两边都除以未知数系数a，得到不等式的解 不等式性质2、3 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【例2】．（2023·山东淄博·二模）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把不等式的解集在数轴上表示出来（向右画，向左画），在表示解集时，要用实心圆点表示，要用空心圆点表示． 根据解不等式的方法可得不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上表示的方法可得答案． 【详解】解：解不等式： 去括号得 移项得 系数化为1得 在数轴上表示为右边的部分（不包括）， 故选：A． 【变式2-1】（2024·山东济南·模拟预测）已知不等式的正整数解有2个，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ∵不等式的正整数解有2个， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2-2】．（2021·山东烟台·二模）如果的解集是，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D．a是任意有理数 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．据此求解，可得答案． 【详解】解：如果的解集是， 得， ∴， 故选：B． 【变式2-3】．（2022·山东聊城·一模）不等式的正整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出不等式的正整数解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的正整数解为1，2，3，4，一共4个， 故选：D． 考点三 一元一次不等式组 一元一次不等式组的概念：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组． 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． 不等式组解集的确定有两种方法： 1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了． 解一元一次不等式组的一般步骤： 1） 求出不等式组中各不等式的解集. 2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来. 3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 【例3】．（2023·山东·中考真题）解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】分别求出两个不等式的解集，然后根据在数轴上表示解集的方法判断即可． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式①②的解集在同一条数轴上表示为：    故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 【变式3-1】．（2023·山东烟台·中考真题）不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 将不等式的解集表示在数轴上，如图所示，    故选：A． 【点睛】本题主要考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键． 【变式3-2】．（2022·山东潍坊·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求得不等式组中每个不等式的解集，从而得到不等式组的解集，即可求解． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； 则不等式组的解集为：， 数轴表示为：， 故选：B． 【点睛】此题考查一元一次不等式组的解法以及解集在数轴上的表示，如果带等号用实心表示，如果不带等号用空心表示，解题的关键是正确求得不等式组的解集． 【变式3-3】．（2022·山东滨州·中考真题）把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式组求出解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】 解①得， 解②得， 不等式组的解集为，在数轴上表示为： ， 故选：C． 考点四 不等式（组）的实际问题 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本.设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式 6x≤50. 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 【例4】．（2023·山东·中考真题）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 【答案】(1)A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元 (2)共有三种方案：方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三总费用最少． 【分析】（1）根据“用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等”列分式方程求解； （2）根据“购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解 【详解】（1）解：设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价为万元，由题意可得： , 解得， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元； （2）解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，由题意可得： ，解得， ∵须为非负整数， ∴可取，，， ∴共有三种方案： 方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）； 方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）； 方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）， ∵ ∴方案三总费用最少． 【变式4-1】．（2024·山东滨州·模拟预测）小明带10元钱想买一盒饼干和一袋牛奶，可是售货员阿姨说：本来10元钱够一盒饼干的，但再买一袋牛奶就不够了，今天是儿童节给你的饼干打9折，两样东西拿好，再找你8角钱，饼干的标价可是整数哦，请你帮小明算出牛奶和饼干的标价． 【答案】牛奶和饼干的标价分别为1.1元和9元 【分析】本题主要考查了一元一次方程，掌握不等式和方程的解法，根据题意列出方程和不等式是解决本题的关键． 根据题意先列出方程和不等式，求解即可． 【详解】解：设饼干的标价是元，牛奶的标价是元． 由题意，得， 解得． 由于饼干的标价是整数， 所以（元）． 当时，（元）． 答：牛奶和饼干的标价分别为1.1元和9元． 【变式4-2】．（2024·山东济南·模拟预测）2023年12月17日上午，第二届济南市全民阅读大会暨全民阅读冬季讲读活动开幕式在济南市图书馆中心馆举行．济南市直有关部门负责同志、中小学生代表、市民代表、媒体记者等共计500余人参加活动．为积极响应建设“书香济南”的号召，某校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同． (1)男装、女装的单价各是多少？ (2)如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？ 【答案】(1)男装单价为100元，女装单价为120元 (2)当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元 【分析】本题考查二元一次方程组，一次函数和一元一次不等式组的应用，找到题中的等量关系或不等关系是解题的关键． （1）设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意列方程组求解即可； （2）设参加活动的女生有a人，则男生有人， 列不等式组找到a的取值范围，再设总费用为w元，得到w与a的关系，根据一次函数的性质可得当a取最小值时w有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：设男装单价为x元，女装单价为y元， 根据题意得：， 解得： 答：男装单价为100元，女装单价为120元； （2）解：设参加活动的女生有a人，则男生有人， 根据题意可得， 解得：， ∵a为整数， ∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数， 故一共有11种方案， 设总费用为w元，则， ∵， ∴当时，w有最小值，最小值为（元） 此时，（套）． 答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元． 【变式4-3】（2021·山东德州·中考真题）某公司分别在，两城生产同种产品，共100件．城生产产品的成本（万元）与产品数量（件之间具有函数关系，城生产产品的每件成本为60万元． (1)当城生产多少件产品时，，两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？ (2)从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元件和3万元件；从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元件和2万元件．地需要90件，地需要10件，在（1）的条件下，怎样调运可使，两城运费的和最小？ 【答案】(1)A城生产20件，最小值是5700万元； (2)从城把该产品运往地的产品数量为20件，则从城把该产品运往地的产品数量为0件；从城把该产品运往地的产品数量为70件，则从城把该产品运往地的产品数量为10件时，可使，两城运费的和最小． 【分析】（1）设A，两城生产这批产品的总成本的和为（万元），则W等于A城生产产品的总成本加上B城生产产品的总成本，由此可列出W关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案； （2）设从A城把该产品运往C地的产品数量为n件，分别用含n的式子表示出从A城把该产品运往D地的产品数量、从B城把该产品运往C地的产品数量及从B城把该产品运往D地的产品数量，再列不等式组求得n的取值范围，然后用含n的式子表示出A，B两城总运费之和P，根据一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设A，两城生产这批产品的总成本的和为（万元）， 则 ， ∴当时，取得最小值，最小值为5700万元， ∴城生产20件，，两城生产这批产品成本的和最小，最小值是5700万元； （2）设从A城把该产品运往地的产品数量为件，则从城把该产品运往地的产品数量为件，从城把该产品运往地的产品数量为件，则从城把该产品运往地的产品数量为件，运费的和为（万元）， 由题意得：， 解得， ， 根据一次函数的性质可得： P随n增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为110， ∴从城把该产品运往地的产品数量为20件，则从城把该产品运往地的产品数量为0件； 从城把该产品运往地的产品数量为70件，则从城把该产品运往地的产品数量为10件时，可使A、两城运费的和最小． 与一元一次不等式的特殊解有关的解题方法： 类型一 求一元一次不等式特殊解的方法 解决此类问题的关键：正确求出不等式的解集，再根据题目要求求出其特殊解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 类型二 已知一元一次不等式解集（整数解）求字母的取值． 解决此类问题的关键：先把题目中除未知数外的字母当作常数看待解不等式，再根据题目中的限制条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 不等式（组）的解法 ►题型01 不等式的性质与数轴 【例1】．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可． 【详解】解：根据数轴得， ∴， 故选：D． 【变式1-1】（2024·山东烟台·中考真题）实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值，不等式的性质，根据数轴分别判断，，的正负，然后判断即可，解题的关键是结合数轴判断判，，的正负． 【详解】由数轴可得，，，， 、，原选项判断错误，不符合题意， 、，原选项判断正确，符合题意， 、根据数轴可知：，原选项判断错误，不符合题意， 、根据数轴可知：，则，原选项判断错误，不符合题意， 故选：． 【变式1-2】（2023·山东济南·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可. 【详解】解：由题意可得：，所以， ∴， 观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的； 故选：D. 【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出是解题的关键. 【变式1-3】（2023·山东枣庄·模拟预测）如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，则下列式子中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴的特点，根据、两点在数轴上的位置判断出其取值范围是解答此题的关键．根据、两点在数轴上的位置判断出其取值范围，再对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：、两点在数轴上的位置可知：，， ，，故A、B错误； ，故C正确； ，， ，故D错误． 故选：C． ►题型02 不等式（组）整数解 【例2】．（2022·山东淄博·二模）关于x的不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（　　） A．11 B．15 C．18 D．21 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，正确得到关于m的不等式组是解题的关键． 先求出两个不等式的解集，再根据不等式组有且只有两个整数解得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有且只有两个整数解， ∴， ∴， ∴符合要求的所有整数m的值为5，6，7， ∴符合要求的所有整数m的和为． 故选C． 【变式2-1】（2022·山东聊城·二模）不等式组的整数解的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】分别解不等式得到不等式组的解集，由此得到不等式组的整数解． 【详解】解：解不等式3x+7>0得， 解不等式2x<5得， ∴不等式组的解集为， 不等式组的整数解为-2、-1、0、1、2共5个， 故选：D． 【点睛】此题考查了求不等式组的整数解，正确掌握解一元一次不等式的法则是解题的关键． 【变式2-2】（2023·山东济南·二模）若关于的一元一次不等式组恰有3个整数解，且一次函数不经过第三象限，则所有满足条件的整数的值之和是（　　　） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，可以求得a的取值范围，再根据一次函数不经过第三象限，可以得到a的取值范围，结合不等式组和一次函数可以得到最后a的取值范围，从而可以写出满足条件的a的整数值，然后相加即可． 【详解】解：由不等式组，得， ∵关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解， ∴， 解得-3＜a≤1， ∵一次函数y=（a-2）x+a+1不经过第三象限， ∴a-2＜0且a+1≥0， ∴-1≤a＜2， 又∵-3＜a≤1， ∴-1≤a≤1， ∴整数a的值是-1，0，1， ∴所有满足条件的整数a的值之和是：-1+0+1=0， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的性质、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出a的取值范围，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 【变式2-3】．（2020·山东烟台·二模）若实数a使得关于x的分式方程＝﹣2的解为负数，且使得关于y的不等式组，至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．6 B．5 C．4 D．1 【答案】B 【分析】先求出分式方程的解，然后根据解为负数得到a的取值范围，再由不等式组的解集，即可求出a的值，然后得到答案． 【详解】解： 解分式方程得：， ∵方程的解为负数， ∴＜0且≠﹣1， 解得a＜4且a≠1； ∵， 解不等式组得：﹣≤y＜a+1， ∵不等式组至少有3个整数解， ∴a+1＞0， 解得：a＞﹣1， 综上，﹣1＜a＜4，且a≠1， ∴整数a的值为0、2、3， 则符合条件的所有整数a的和为0+2+3＝5， 故选：B． ►题型03 二元一次方程组与不等式综合 【例3】．（2022·山东聊城·中考真题）关于，的方程组的解中与的和不小于5，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两式相减，得到，再根据x 与 y 的和不小于5列出不等式即可求解． 【详解】解：把两个方程相减，可得， 根据题意得：， 解得：． 所以的取值范围是． 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键． 【变式3-1】．（2024·山东临沂·模拟预测）关于x，y的方程组的解中x与y的和小于5，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数、解一元一次不等式，把两个方程相减，可得，进而可得，再求解即可． 【详解】解：， 由得，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3-2】．（2022·山东临沂·二模）已知方程组的x，y满足x﹣y≥0，则m的取值范围是（    ） A．m≤﹣1 B．m≥﹣1 C．m≤1 D．m≥1 【答案】A 【分析】由(1)-(2)求出x-y=-m-1，根据x-y＜0得出关于m的不等式不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解： (1)-(2)得x-y=-m-1， ∵x﹣y≥0， ∴-m-1≥0， ∴m≤-1． 故选 A. 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 【变式3-3】．（2023·山东济南·一模）若关于x，y的方程组的解满足x＞y＞0，则m的取值范围是(　　)． A．m＞2 B．m＞－3 C．－3＜m＜2 D．m＜3或m＞2 【答案】A 【分析】先解方程组用含m的代数式表示出x、y的值，再根据x＞y＞0列不等式组求解即可. 【详解】解，得 . ∵x＞y＞0， ∴ ， 解之得 m＞2. 故选A. ►题型04 不等式（组）已知解求参数 【例4】．（2021·山东日照·中考真题）若不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 且不等式组的解集为， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式4-1】．（2023·山东德州·二模）已知不等式组的解集是，则（    ） A．2024 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，准确熟练地进行计算是解题的关键． 按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得，再结合已知可得，，然后进行计算可求出，的值，最后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵不等式组的解集是， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式4-2】．（2023·山东枣庄·二模）若关于x的不等式组恰有两个整数解，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得不等式组的两个整数解为0，，进而可得，即可求解. 【详解】解：∵关于x的不等式组恰有两个整数解，且不等式组的解集为， ∴， 解得：； 故选：A. 【点睛】本题考查了不等式组的整数解问题，正确理解题意，得出是解题关键. 【变式4-3】．（2023·山东济南·一模）若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组的解集是求出a的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， 故选：D． ►题型05 不等式（组）定义新运算 【例5】．（2023·山东日照·一模）定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b=a（a﹣b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣5，那么不等式3⊕x＜13的解集为 . 【答案】x＞﹣1 【详解】解：3⊕x＜13， 3（3-x）+1＜13， 解得：x＞-1． 故答案为：x＞﹣1  ． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，正确理解题意进行计算是本题的解题关键． 【变式5-1】．（2021·山东潍坊·二模）在实数范围内规定新运算“”，规则是：，若不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是 ． 【答案】-5 【分析】先根据运算法则变形不等式，然后再进行计算即可． 【详解】解： 2x-k≥3 x≥ ∵x≥-1 ∴=-1，解得k=-5． 故填-5． 【点睛】本题考查了在教轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式等知识点，区分在表示解集时 “空心”和“实心”是解答本题的关键． 【变式5-2】．（2023·山东临沂·二模）定义新运算“”，规定：，若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据定义的新运算法则化简不等式组，然后解不等式组，最后根据解集为确定a的取值范围即可． 【详解】解：根据新定义关于x的不等式组可化为： 解不等式①可得： 解不等式①可得： 因为该不等式组的解集为 ∴，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算在不等式组中的应用，解题的关键是准确理解新定义的运算． 【变式5-3】．（2023·山东济南·二模）定义一种运算：，则不等式的解集是 ． 【答案】x＞1或x＜﹣1 【分析】分2x+1≥2﹣x和2x+1＜2﹣x两种情况，根据新定义列出不等式组分别求解可得． 【详解】解：由新定义得或， 解得x＞1或x＜﹣1， 故答案为：x＞1或x＜﹣1． 命题点二 不等式（组）的应用题 ►题型01 方案问题 【例1】．（2024·山东德州·二模）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同． (1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案． 【答案】(1)每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨 (2)当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元． 【分析】（1）设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨，根据题意列出分式方程，解方程、检验后即可解答； （2设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台，再题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再列出公司计划采购A型机器m台与采购支出金额w的函数关系式，最后利用一次函数的增减性求最值即可． 【详解】（1）解：设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨， 由题意可得：， 解得： 经检验，是分式方程的解 每台A型机器每天搬运吨 答：每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨 （2）解：设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台 由题意可得：， 解得：， 公司采购金额： ∵ ∴w随m的增大而减小 ∴当时，公司采购金额w有最小值，即， ∴当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，理解题意正确列出分式方程、不等式组和一次函数解析式是解答本题的关键． 【变式1-1】．（2024·山东济宁·一模）某商场购进甲、乙两种商品进行销售，乙商品的进价比甲商品的进价高10元/件，如果该商场花费100元购进甲商品，花费60元购进乙商品，则购进甲商品的数量是乙商品的2倍． (1)求甲、乙两种商品的进货单价； (2)该商场计划购进两种商品共100件，购进总费用不超过5360元，且购进乙商品的件数不少于甲商品的件数的一半，问：共有几种进货方案？哪种方案购买的总费用最少？ 【答案】(1)甲商品的进货单价是50元件，乙商品的进货单价是60元件； (2)共有3种购买方案，购进66件甲商品，34件乙商品时，总费用最少． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设甲商品的进货单价是元件，则乙商品的进货单价是元件，利用数量总价单价，结合用100元购进甲商品的数量是用60元购进乙商品数量的2倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值，再将其代入中，即可求出乙商品的进货单价； （2）设购进件甲商品，则购进件乙商品，根据“购进总费用不超过5360元，且购进乙商品的件数不少于甲商品的件数的一半”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各进货方案，再求出各进货方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲商品的进货单价是元件，则乙商品的进货单价是元件， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元件）． 答：甲商品的进货单价是50元件，乙商品的进货单价是60元件； （2）解：设购进件甲商品，则购进件乙商品， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为64，65，66， 共有3种购买方案， 方案1：购进64件甲商品，36件乙商品，所需总费用为（元； 方案2：购进65件甲商品，35件乙商品，所需总费用为（元； 方案3：购进66件甲商品，34件乙商品，所需总费用为（元． ， 购进66件甲商品，34件乙商品时，总费用最少． 答：共有3种购买方案，购进66件甲商品，34件乙商品时，总费用最少． 【变式1-2】（2023·山东东营·一模）党的二十大报告，深刻阐述了推动绿色发展，促进人与自然和谐共生的理念，尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．为响应党的号召，东营市政府欲购进一批风景树进行绿化，已知购进A种风景树4万棵，B种风景树3万棵，共需要380万元；购进A种风景树8万棵，B种风景树5万棵，共需要700万元． (1)问A，B两种风景树每棵的进价分别是多少元？ (2)东营市政府计划用不超过5460万元购进A，B两种风景树共100万棵，其中要求A风景树的数量不多于58万棵，则共有几种购买方案？ 【答案】(1)A风景树每棵的进价为50元，B风景树每棵的进价为60元 (2)5种 【分析】（1）设A风景树每棵的进价为x元，B风景树每棵的进价为y元，根据购进A种风景树4万棵，B种风景树3万棵，共需要380万元；购进A种风景树8万棵，B种风景树5万棵，共需要700万元．列出方程组，解方程组即可； （2）设购进A风景树m万棵，B风景树万棵，根据A风景树的数量不多于58万棵和购买A，B风景树的总费用不超过5460万元列出不等式组，解不等式组求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：设A风景树每棵的进价为x元，B风景树每棵的进价为y元， 根据题意得：， 解得， 答：A风景树每棵的进价为50元，B风景树每棵的进价为60元； （2）设购进A风景树m万棵，B风景树万棵， 则， 解得， ∵m为整数， ∴m为54，55，56，57，58， ∴共有5种购买方案． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组和二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系． 【变式1-3】（2022·山东枣庄·二模）蓬安县新园乡宽敞沟村为了发展特色产业，花费元集中采购了“文君桃”树苗和“相如李”树苗共株，已知“相如李”树苗单价是元，“文君桃”树苗单价是“相如李”树苗单价的倍． (1)求“文君桃”、“相如李”两种树苗各买了多少株？ (2)宽敞沟村决定再购买同样的树苗株用于补充栽种，其中“相如李”树苗不多于株，在单价不变，总费用不超过元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)“文君桃”树苗购买了株，“相如李”树苗购买了株； (2)共有6种购买方案，当购买株“文君桃”树苗和株“相如李”树苗时费用最低，最低费用是元． 【分析】（1）根据题意，可以列出相应的方程组，然后求解即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的不等式组，从而可以得到相应的购买方案，然后求出最低费用即可． 【详解】（1）解：设“文君桃”树苗购买了x株，“相如李”树苗购买了y株， 由题意可得：， 解得， 答：“文君桃”树苗购买了株，“相如李”树苗购买了株； （2）解：设“文君桃”树苗购买了a株，则“相如李”树苗购买了株， 由题意可得：， 解得， ∵a为整数， ∴，，，，，， ∴共有6种购买方案， ∵“相如李”树苗单价是元，“文君桃”树苗单价是（元）， ∴购买的“相如李”树苗越多费用越低， ∴当购买株“文君桃”树苗和株“相如李”树苗时费用最低， ∴最低费用为：（元）， 答：共有6种购买方案，当购买株“文君桃”树苗和株“相如李”树苗时费用最低，最低费用是元． ►题型02 销售利润 【例2】．（2024·山东青岛·二模）为参加“六一”学生节义卖，某班计划购进可题字的扇面和动漫人偶进行销售，他们用700元购买扇面的个数是315元购买人偶个数的2倍，一个扇面的进价比一个人偶的进价多1元．两种货物的售价均为15元/个． (1)求一个扇面和一个人偶的进价分别是多少元？ (2)该班计划购进这两种货物共200个，其中购进扇面的数量不少于人偶数量的，且不超过150个．进货时，若一次性购进扇面超过80个，则扇面超过的部分可按进价打7折．该班应购进扇面和人偶玩具各多少个，才能在两种货品全部售出后所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)一个扇面进价是10元，一个人偶进价是9元 (2)应购买扇面150个，人偶50个，最大利润是1260元． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式． （1）设一个扇面的进价为元个，则一个人偶的进价是元，根据700元购买扇面的个数是315元购买人偶个数的2倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设应购买扇面个，则购进人偶个，根据购进扇面的数量不少于人偶数量的，且不超过150个．列出一元一次不等式组，解得，再设两种货品全部售出后所获利润为元，由题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设一个扇面的进价为元个，则一个人偶的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：一个扇面进价是10元，一个人偶进价是9元； （2）解：设应购买扇面个，则购进人偶个， 由题意得：， 解得：， 设两种货品全部售出后所获利润为元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值， 此时，， 答：应购买扇面150个，人偶50个，才能在两种货品全部售出后所获利润最大，最大利润是1260元． 【变式2-1】．（2023·山东淄博·二模）近期，淄博烧烤大火，为迎接暑假旅游高峰的到来，增加淄博在社会上认知度，某烧烤店决定同时购进具有淄博特色纪念品，购进、两种纪念品．若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元；若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元． (1)求购进、两种纪念品每件各需多少元． (2)若烧烤店决定购进这两种纪念品共件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这件纪念品的资金不少于元，但不超过元，那么该商店共有几种进货方案． (3)若销售种纪念品每件可获利润元，种纪念品每件可获利润元，用（2）中的进货方案，哪一种方案可获利最大，最大利润是多少元． 【答案】(1)购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元 (2)该商店共有种进货方案 (3)该商店购进种纪念品件，种纪念品件，可获利最大，最大利润是元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系，列出方程或不等式． （1）设购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元，根据购进种纪念品件，种纪念品件，需要元；若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元列出方程组，解方程组即可； （2）设该商店购进种纪念品件，则购进种纪念品件，根据购买这件纪念品的资金不少于元，但不超过元，列出不等式组，解不等式组即可； （3）设总利润为元，列出关系式，根据一次函数的性质，求出结果即可． 【详解】（1）解：设购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元， 由题意，得， 解得：， 答：购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元； （2）解：设该商店购进种纪念品件，则购进种纪念品件， 由题意得， 解得：， 为整数， ∴，，，，，，． 该商店共有种进货方案； （3）解：设总利润为元，由题意，得： ， ∵， 随的增大而增大，     该商店购进种纪念品件，种纪念品件时，获利最大，（元）， 答：该商店购进种纪念品件，种纪念品件，可获利最大，最大利润是2730元． 【变式2-2】．（2024·山东德州·二模）为培养学生的阅读能力，深圳市某校八年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，分别花费了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》的订购单价的1.4倍.并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本． (1)求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元； (2)该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，其中《朝花夕拾》订购数量不低于30本，且两种书总费用不超过1200元，请求出再订购这两种书籍的最低总费用的方案及最低费用为多少元？ 【答案】(1)《西游记》的单价是10元，《朝花夕拾》的单价是14元； (2)订购《朝花夕拾》30本，订购《西游记》70本时，最低总费用为1120元． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设《西游记》的订购单价是元，则《朝花夕拾》的订购单价是元，利用数量总价单价，结合用14000元订购的《朝花夕拾》的数量比用7000元订购的《西游记》的数量多300本，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出《西游记》的订购单价，再将其代入中，即可求出《朝花夕拾》的订购单价； （2）设再次订购本《朝花夕拾》，则再次订购本《西游记》，根据“《朝花夕拾》订购数量不低于30本，且两种书总费用不超过1200元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，设该校八年级再次订购这两种书籍共花费为元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设《西游记》的订购单价是元，则《朝花夕拾》的订购单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元． 答：《朝花夕拾》的订购单价是14元，《西游记》的订购单价是10元； （2）设再次订购本《朝花夕拾》，则再次订购本《西游记》， 根据题意得：， 解得：． 设该校八年级再次订购这两种书籍共花费为元，则， 即， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为（元，此时（本． 答：当再次订购30本《朝花夕拾》，70本《西游记》时，总费用最低，最低费用为1120元． 【变式2-3】（2022·山东青岛·二模）赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．某赣南橙种植基地11月20号开始采摘发售，果农根据果实的大小和甜度将赣南橙划分为A级和B级两个类别．采摘发售第一周，A级累计销售19200元，B级累计销售16000元．已知A级每箱单价比B级多，销量比B级少40箱． (1)赣南橙A级、B级每箱售价分别是多少元？ (2)某商店计划从该基地购进A、B两个等级的赣南橙共40箱，且A级的数量不少于B级的数量的．该商店如何购进才能使花费最小，并求出最小花费． 【答案】(1)级每箱售价120元，级每箱售价80元 (2)购进级10箱，级30箱，花费3600元，此时花费最小 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，理解题意，列方程及函数关系式是解决问题的关键． （1）设赣南橙级每箱售价元，则级每箱售价元，根据“A级每箱单价比B级多，销量比B级少40箱”列方程即可求解； （2）设购进级箱，则购进级箱，根据“A级的数量不少于B级的数量的”列不等式求得的取值范围，再列出函数关系式，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设赣南橙级每箱售价元，则级每箱售价元， 由题意，得：， 解得：，经检验，是原方程的解且符合实际意义， 则， 即：赣南橙级每箱售价120元，级每箱售价80元； （2）设购进级箱，则购进级箱， 则，可得，且为整数， 商店购进的花费为， ∵， ∴随增大而减小， 则当时，有最小值，最小值为， 即：购进级10箱，级30箱，花费3600元，此时花费最小． ►题型03 运输问题 【例3】．（2023·山东临沂·二模）广西平陆运河北起横州市西津水电站库区平塘江口，南止于钦江出海口沙井港航道，在一航道建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方．已知5辆大型渣土运输车与2辆小型渣土运输车一次共运输土方60吨，6辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方80吨． (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ (2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与把156吨土方全部运走，若一辆大型渣土运输车耗费600元，一辆小型渣土运输车耗费400元，请你设计出最省钱的运输方案． 【答案】(1)一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨 (2)最佳派车方案：大型运输车辆，小型运输车辆 【分析】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨，根据题意累出二元一次方程组，解方程组即可作答； （2）设该渣土运输公司决定派出辆大型号的渣土运输车，则小型号的渣土运输车为辆，根据题意列不等式组求解，设总共费用为w，根据题意表示出费用，根据一次函数的性质分析，随着a的增大而增大，问题随之得解． 【详解】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨， ， 解得． 即一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨； （2）设该渣土运输公司决定派出辆大型号的渣土运输车，则小型号的渣土运输车为辆， 根据题意有：，且为正整数， 解得，且为正整数， 设总共费用为w， 根据题意有：， ∵， ∴总共费用w，随着a的增大而增大， ∴当时，最小，且最小为：（元）， 此时最佳派车方案：大型运输车辆，小型运输车辆． 【点睛】本题考查一元一次不等式组，二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【变式3-1】．（2021·山东东营·二模）一方有难，八方支援．2020年初，新冠肺炎爆发，山东某蔬菜基地运输公司计划安排甲、乙两种货车向某疫区运送新鲜蔬菜，两次满载的运输情况如下表： 次数 甲种货车辆数 乙种货车辆数 合计运送吨数 第一次 2 3 19 第二次 3 5 30 （1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨新鲜蔬菜？ （2）目前至少有36吨新鲜蔬菜要一次性运输到目的地，该公司拟安排甲、乙两种货车共8辆，其中每辆甲种货车一次运送费用为500元，每辆乙种货车一次运送费用为300元，请问该公司应如何安排甲、乙两种货车使总运送费用最少？ 【答案】（1）甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和3吨新鲜蔬菜；（2）该公司安排甲种货车6辆，乙种货车2辆时总运送费用最少． 【分析】（1）设甲、乙两种货车每次满载分别能运输x吨和y吨新鲜蔬菜，根据表中数据列出二元一次方程组进行解答便可； （2）设安排甲货车a辆，乙货车（8-a）辆，根据题意列出不等式求出a的整数值，再设总运费为w元，再根据题意列出w关于a的一次函数解析式，最后根据一次函数的性质求得a的值，进而得安排货车的方案． 【详解】解：（1）设甲、乙两种货车每次满载分别能运输吨和吨新鲜蔬菜，根据题意得： ， 解得． 答：甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和3吨新鲜蔬菜； （2）设安排甲种货车辆，乙种货车辆，根据题意得： ，解得， 设总运送费用为元，则， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的值最小，从而该公司安排甲种货车6辆，乙种货车2辆时总运送费用最少． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，一次函数的应用，体现了数学建模思想，解题的关键是根据题意建立方程组，并利用不等式求解大货车的数量，解题时注意题意中一次运完的含义，此类试题常用的方法为建立方程，利用不等式或者一次函数性质确定方案． 【变式3-2】．（2020·山东济宁·中考真题）为加快复工复产，某企业需运输批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5 000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案,并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少? 【答案】（1）1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资；（2）共有3种方案，6辆大货车和6辆小货车，7辆大货车和5辆小货车；8辆大货车和4辆小货车，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元. 【分析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资，根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）设安排m辆大货车，则小货车（12-m）辆，总费用为W，根据运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元分别得出不等式，求解即可得出结果. 【详解】解：（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资， 根据题意，得：， 解得：， 答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资； （2）设安排m辆大货车，则小货车（12-m）辆，总费用为W， 则150m+（12-m）×100≥1500， 解得：m≥6， 而W=5000m+3000×（12-m）=2000m+36000＜54000， 解得：m＜9， 则6≤m＜9， 则运输方案有3种： 6辆大货车和6辆小货车； 7辆大货车和5辆小货车； 8辆大货车和4辆小货车； ∵2000＞0， ∴当m=6时，总费用最少，且为2000×6+36000=48000元. ∴共有3种方案，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系和不等关系，列出式子. 【变式3-3】．（2021·山东青岛·一模）某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共辆调拨不超过吨蔬菜和吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜吨和肉制品吨；一辆中型车可运蔬菜吨和肉制品吨． （1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来； （2）若一辆大型车的运费是元，一辆中型车的运费为元，试说明中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】（1）符合题意的运输方案有种，方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；（2）方案1安排辆大型车，辆中型车所需费用最低，最低费用是元． 【分析】设安排辆大型车，则安排辆中型车，根据辆车调拨不超过吨蔬菜和吨肉制品补充当地市场，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各运输方案； 根据总运费＝单辆车所需费用租车辆车可分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）设安排辆大型车，则安排辆中型车， 依题意，得： 解得：． 为整数， ． 符合题意的运输方案有种，方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车． 方案1所需费用为：（元）， 方案2所需费用为：（元）， 方案3所需费用为：（元）． ， 方案1安排辆大型车，辆中型车所需费用最低，最低费用是元． 答：（1）符合题意的运输方案有种，方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；方案：安排辆大型车，辆中型车；（2）方案1安排辆大型车，辆中型车所需费用最低，最低费用是元． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．若，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、，不等式一定成立，不符合题意； B、，不等式一定成立，不符合题意； C、，则，不等式一定成立，不符合题意； D、若，则；若，则，不等式不一定成立，符合题意； 故选：D． 2．不等式的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，将不等式的解集表示在数轴上，先求出不等式解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式得， 表示在数轴上如图所示： 故选：C． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，掌握以上知识点是解答本题的关键． 求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，再在数轴上把不等式组的解集表示出来，即可得出选项． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为：， 在数轴上表示不等式组的解集如图选项C所示， 故选：C． 4．若关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质以及一元一次不等式组的解法，得出关于a的不等式组是解题关键． 根据关于y轴对称点的性质横坐标互为相反数，纵坐标相等，进而求出点关于y轴的对称点，再利用第一象限点的性质，即可得出答案． 【详解】解：∵点关于y轴的对称点为，且此点在第一象限， ∴ 解得：． 故选：D． 5．若干名学生住宿舍，如果每间住4人，那么还有19人无房可住，如果每间住6人，那么还有一间不空不满，试求学生人数和宿舍间数．设学生人数为人，宿舍间数为间，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，找到题中的相等关系和不等关系，列出不等式组是解题的关键．设学生人数为人，宿舍间数为间，根据题意可得学生的总人数为，根据如果每间住6人，那么还有一间不空不满，可列出关于x的不等式． 【详解】解：设学生人数为人，宿舍间数为间， 根据题意可得，学生的总人数为， 如果每间住6人，那么还有一间不空不满， 则， 整理得， 故选：B． 6．关于的不等式组恰好有个整数解，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，由一元一次不等式组的解集求参数等知识点，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 首先求不等式组的解集，得到，由该不等式组恰好有个整数解可知其整数解是和，于是可得，解之，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 对于，解得：， 对于，解得：， 不等式组的解集为， 该不等式组恰好有个整数解， 其整数解是和， ， 对于，解得：， 对于，解得：， ， 故选：． 二、填空题 7．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先移项，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， 故答案为：． 8．用不等式表示“2与的3倍的和是正数”： ． 【答案】 【分析】本题考查的是列不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式；根据和是正数，那么最后算的和应大于0，列出不等式即可． 【详解】解：根据题意，得：． 故答案为：． 9．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了二次才停止，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据运算程序，第一次运算结果小于等于94，第二次运算结果大于94列出不等式组，然后求解即可．读懂题目信息，理解运输程序并列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，x的取值范围是． 故答案为：． 10．若关于的不等式组有4个整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组含参数问题，关键在于根据题中给出整数解的个数或其他条件逆推不等式组的解集． 先将当成已知量，解不等式组，将不等式组的解集表示出来，然后根据有4个整数解，可得出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组有4个整数解，依次为：9，8，7，6， ∴， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 11．求不等式的正整数解． 【答案】正整数解为1，2 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 该不等式的正整数解：2，1． 12．解不等式组：，并将解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示解集，熟练掌握解不等式组的步骤和数轴上表示解集的方法是解题的关键．先解不等式组，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：， 所以不等式组的解集为：， 在数轴上表示如图： 13．已知不等式组 的解集为 ，则的值等于多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 所以，不等式组的解集是， ∵不等式组的解集是， ∴， 解得， 所以，． 14．在冰雪旅游时期，某旅游商品经销店欲购进A、B两种冰雪纪念品，若用380元可以购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件． (1)求A、B两种纪念品的进价分别为多少? (2)若该经销店每件A种纪念品售价25元，每件B种纪念品售价38元，该经销店准备购进A、B两种纪念品共50件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于310元，则该经销店最多可购进A种纪念品多少件? 【答案】(1)A、B两种纪念品的进价分别为20元、30元 (2)30件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用． （1）设A种纪念品每件进价为x元，B种纪念品每件进价为y元，根据题意找出正确的等量关系，列出二元一次方程组，求解即可； （2）设该经销店购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件，根据题意找出不等关系，列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设A种纪念品每件进价为x元，B种纪念品每件进价为y元， 由题意得：， 解得， 答：A种纪念品每件进价为20元，B种纪念品每件进价为30元； （2）设该经销店购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件， 由题意得，， 解得， 答：该经销店最多可购进A种纪念品30件． 15．红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍． (1)求A、B两种树苗的单价分别是多少元？ (2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)种树苗的单价是4元，则种树苗的单价是5元； (2)有6种购买方案，购买A种树苗，25棵，购买种树苗75棵费用最低，最低费用是475元 【分析】对于（1），设A种树苗的单价，可表示B种树苗的单价，再根据总价等于4000，求出解； 对于（2），先列出不等式组，求出解集，可得方案，然后列出一次函数表示总费用，再根据一次函数的性质得出最低费用即可． 【详解】（1）解：设A种树苗的单价是元，则种树苗的单价是元，根据题意得：， 解得：， ， 答：A种树苗的单价是4元，则种树苗的单价是5元； （2）解：设购买A种树苗棵，则购买种树苗棵，其中为正整数，根据题意得：， 解得：， 为正整数， 取20，21，22，23，24，25， 有6种购买方案， 设总费用为元， ， 随的增大而减小， 当时，最小，最小值为475， 此时， 答：有6种购买方案，购买A种树苗，25棵，购买种树苗75棵费用最低，最低费用是475元． 能力提升 一、单选题 1．下列各式中，是不等式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的定义，即用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式，根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：根据不等式定义：用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式， 所以满足条件的只有B符合题意． 故选：B． 2．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的基本性质和绝对值．解决本题的关键是熟练地掌握不等式的基本性质，并且会根据绝对值的定义求出一个数的绝对值． 【详解】解：A选项：当、时，，但是，，，故A选项不一定成立； B选项：当时，根据不等式的基本性质一，不等式两边同时加上可得：，故B选项一定成立； C选项：当时，根据不等式的基本性质三，不等式两边同时乘以可得：，故C选项不成立； D选项：当、时，、，可得：，故D选项不一定成立． 故选：B． 3．已知三个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则它们组成的不等式组的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握不等式的公共部分就是不等式组的解集是解题的关键．由图可知，数轴上表示出来的三个不等式解集的公共部分，即可得出不等式组的解集． 【详解】解：由图可知，三个不等式解集的公共部分为， 所以它们组成的不等式组的解集是． 故选：D． 4．小丽同学准备用自己的零花钱购买一台学生平板电脑，她原有750元，计划从本月起每月存入30元，直到她至少存有1080元，设x个月后小丽至少有1080元，则可列计算月数的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，弄清不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 根据已存的钱与每月节省的钱数之和至少为1080元列不等式即可． 【详解】解：根据题意得． 故选B． 5．若关于的方程的解为自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的和为（   ） A．5 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据一元一次不等式组的解集情况求参数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．先求出的解为，从而推出，整理不等式组可得整理得：，根据不等式组无解得到，则，再由整数k和是自然数进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵方程的解为自然数， ∴0， ∴，且为自然数， 把整理得：， 由不等式组无解，得到， ∴，即整数，1，2，3， ∵是自然数， ∴，3， 综上，，3， 则符合条件的整数k的值的和为4． 故选：C． 二、填空题 6．不等式的非负整数解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了求不等式的非负整数解．先解不等式求出不等式的解集，再找出非负整数解即可． 【详解】解： 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴不等式的非负整数解是． 故答案为：． 7．已知不等式组的解集为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 先求出不等式组的解集，再根据已知的解集可建立关于的方程，解方程可得的值即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ， 解得， 故答案为：． 8．已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程组的解集的情况求参数的范围，求不等式组的解集，根据方程组的解集的情况，得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：， 得：，即， 得：， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 9．对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，侧如：T（1，0）＝＝a．已知T（1，﹣1）＝1，T（5，﹣2）＝4，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ． 【答案】5＜p≤7． 【分析】已知两对值代入T中计算求出a与b的值，然后根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出p的范围即可． 【详解】解：∵T（1，﹣1）＝﹣1，T（5，﹣2）＝4， ∴＝1，＝4， 解得：a＝2，b＝3， ∵， ∴， ∴， ∵有3个整数解， ∴1＜≤2， ∴5＜p≤7， 故答案为5＜p≤7． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组的应用，能求出a、b的值是解此题的关键． 10．我校学生会计划组织初一学生给某边远山区小学生捐赠书籍，已经筹到图书若干．若每位小学生2本书，则余7本；若前面每人分5本，则除了有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本．则共有小学生 人． 【答案】5 【详解】本题考查的是一元一次不等式组的应用，设出未知数，找出不等关系：有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本，据此列出不等式组求解即可． 【分析】解：设有小学生x个，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴， ∴共有小学生5人． 故答案为：5． 三、解答题 11．解不等式： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，关键是能根据不等式的性质解出不等式．根据不等式的性质求出不等式的解即可． 【详解】解：两边同时乘以6得，， 去括号得，， 移项得，， 整理得， 系数化为1得，． 12．解一元一次不等式组并把解表示在如图所示的数轴上． 【答案】，画图见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握求不等式组的解集是解题的关键．分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， 解集表示在数轴上为： 不等式组的解集为：． 13．已知方程组中x为非正数，y为负数． (1)求a的取值范围； (2)化简：； (3)在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出方程组的解，即可得出不等式组，求出不等式组的解集即可； （2）根据，再化简绝对值即可； （3）根据不等式的解集求出的范围，即可得出答案． 【详解】（1）解：解方程组得：， 方程组中为非正数，为负数， ， 解得：， 即的取值范围是； （2）解：∵， ∴， ∴, ∴ ； （3）解：， ∴， 要使不等式的解集为， 必须， 解得：， ，为整数， ， 所以当为时，不等式的解集为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组，化简绝对值等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键． 14．定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的【相伴方程】． (1)在下列方程中： ； ； ，与不等式组是 【相伴方程】的是 ；（填序号） (2)若不等式组的一个【相伴方程】的解是整数，则这个【相伴方程】可以是 ；（写出一个即可） (3)若方程，都是关于的不等式组 的【相伴方程】，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)（答案不唯一，只要满足解为即可）； (3)． 【分析】（）分别求出三个一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集即可得到答案； （）先求出不等式组的解集，然后确定出不等式组的整数解，然后写出一个满足这个整数解的一元一次方程即可； （）先求出两个相伴方程的解，然后求出不等式组的解，然后根据相伴方程的定义求解即可； 本题主要考查了新定义，解一元一次方程与解不等式组，掌握一元一次方程与不等式组解法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴方程的解为； ∵， ∴， ∴方程的解为； ∵， ∴ ∴方程的解为：； 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∴方程的解是不等式组的解， ∴不等式组 的【相伴方程】是； 故答案为：； （2）解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为， ∴这个【相伴方程】可以是， 故答案为：（答案不唯一，只要满足解为即可）； （3）解：解方程得， 解方程得， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵方程，都是关于的不等式组的【相伴方程】， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 15．为了迎接“十一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如表： 运动鞋价格\种类 甲 乙 进价元/双 m 售价元/双 140 100 已知：用2800元购进甲种运动鞋的数量与用2000元购进乙种运动鞋的数量相同． (1)求m的值； (2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共100双的总利润（利润=售价－进价）不少于5200元，且不超过5700元，问该专卖店有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠元出售．乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 【答案】(1)70 (2)26种 (3)当时，应购进甲种运动鞋35双，购进乙种运动鞋65双，获利最大；当时，所有方案获利都一样，；当时，应购进甲种运动鞋10双，购进乙种运动鞋90双，获利最大． 【分析】（1）根据等量关系：用2800元购进甲种运动鞋的数量与用2000元购进乙种运动鞋的数量相同，列出分式方程，并求解即可，注意检验； （2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋双，根据不等关系：100双鞋的总利润不少于5200元，且不超过5700元，列出不等式组，解不等式组，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答； （3）依据题意，设总利润为W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：依题意得，． ． ． 经检验，是原分式方程的解， ． （2）解：设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋双，由（1）得，甲的进价为70元，乙的进价为50元， 根据题意得，， ． 是正整数， ， 共有26种方案． （3）解：设总利润为W，则 ， ①当时，，W随x的增大而增大， 所以，当时，W有最大值，， 即此时应购进甲种运动鞋35双，购进乙种运动鞋65双． ②当时，，，所有方案获利都一样；． ③当时，，W随x的增大而减小， 所以，当时，W有最大值，； 即此时应购进甲种运动鞋10双，购进乙种运动鞋90双． 综上，当时，应购进甲种运动鞋35双，购进乙种运动鞋65双；当时，所有方案获利都一样，；当时，应购进甲种运动鞋10双，购进乙种运动鞋90双． $$