第07讲 分式方程及其应用（讲练）（思维导图+4考点+2命题点9种题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（山东专用）

第二章 方程（组）与不等式（组） 第06讲 分式方程及其应用（6~15分） （思维导图+4考点+2命题点13种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 解分式方程 考点二 分式方程的解 考点三 列分式方程 考点四 方程的实际应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 方程的解法 ►题型01 增根问题 ►题型02 无解问题 ►题型03 整数解问题 ►题型04 解为正数或负数 ►题型05 定义新运算 命题点二 方程的应用题 ►题型01 行程问题 ►题型02 工程问题 ►题型03 经济问题 ►题型04 方案问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 解分式方程 · 能解可化为一元一次方程的分式方程 2024省卷6题， 中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，预计2025年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握． 分式方程的应用 · 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据. 2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤. 6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 考点一 解分式方程 增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根. 【例1】．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】．（2024·山东临沂·模拟预测）当比多1时，（    ） A．4 B．6 C． D． 【变式1-2】．（2022·山东济南·中考真题）代数式与代数式的值相等，则x＝ ． 【变式1-3】．（2024·山东临沂·模拟预测）分式方程的解为 ． 考点二 分式方程的解 【例2】．（2023·山东淄博·中考真题）已知是方程的解，那么实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【变式2-1】．（2021·山东临沂·一模）关于的方程的解为，则( ) A．1 B．3 C．-1 D．-3 【变式2-2】．（2023·山东德州·一模）若关于的分式方程 的解为，则的值为(    ) A． B． C． D． 【变式2-3】．（2022·山东济宁·二模）关于的分式方程解为，则常数的值为(       ) A． B． C． D． 考点三 列分式方程 【例3】．（2023·山东东营·中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（        ） A． B． C． D． 【变式3-1】．（2022·山东淄博·中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】．（2022·山东济宁·中考真题）一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是x km/h，根据题意所列方程是（  ） A． B． C． D． 【变式3-3】．（2023·山东青岛·中考真题）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为 ． 考点四 方程的实际问题 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义;+ 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 与分式方程有关应用题的常见类型： 【例4】．（2024·山东青岛·中考真题）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【变式4-1】．（2024·山东德州·中考真题）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等． (1)两种棋的单价分别是多少？ (2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？ 【变式4-2】．（2024·山东泰安·中考真题）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 【变式4-3】．（2024·山东威海·中考真题）某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量． 由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是： ①根据未知数的范围求出字母的范围； ②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值； ③综合①②，求出字母系数的范围. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 方程的解法 ►题型01 增根问题 【例1】．（2024·山东济宁·二模）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】．（2023·山东德州·模拟预测）已知关于x的分式方程 时出现增根，则m的值可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．（2023·山东烟台·模拟预测）若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C．8 D．或8 【变式1-3】．（2023·山东枣庄·二模）若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D． ►题型02 无解问题 【例2】．（2022·山东淄博·二模）若分式方程无解，则的值是（   ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【变式2-1】．（2023·山东德州·二模）若关于的方程无解，则的值为（    ）． A．0 B．4 C．0或4 D．4或6 【变式2-2】．（2023·山东日照·一模）若关于x的分式方程无解，则（　　） A． B．0 C．1 D． 【变式2-3】．（2023·山东枣庄·一模）若关于x的方程无解，则m的值为（    ） A．0 B．4或6 C．6 D．0或4 ►题型03 整数解问题 【例3】．（2024·山东菏泽·一模）已知关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】．（2021·山东枣庄·二模）若整数a使关于x的分式方程﹣2＝有整数解，则符合条件的所有a之和为（　　） A．7 B．11 C．12 D．13 【变式3-2】．（2023·山东德州·二模）若关于x的分式方程＝有正整数解，则整数m为 ． 【变式3-3】．（2023·山东日照·二模）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m为 ． ►题型04 解为正数或负数 【例4】．（2023·山东淄博·一模）关于的方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【变式4-1】．（2023·山东日照·二模）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ． 【变式4-2】．（2024·山东菏泽·一模）若关于x的方程 的解为负数，则m的取值范围是 ． 【变式4-3】．（2024·山东淄博·二模）若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围为 ． ►题型05 定义新运算 【例5】．（2021·山东德州·二模）定义新运算：对于非零的两个实数a和b，规定，如．若，则x的值为 ． 【变式5-1】．（2023·山东枣庄·一模）定义一种新运算：对于任意非零实数，，，若，则的值为 ． 【变式5-2】．（2023·山东枣庄·二模）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为 ． 【变式5-3】．（2023·山东淄博·一模）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是 ． 命题点二 方程的应用题 ►题型01 行程问题 【例1】．（2023·山东·中考真题）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的倍，求大型客车的速度． 【变式1-1】．（2023·山东菏泽·二模）在全民健身运动中，骑行运动颇受人民青睐．甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距离30千米的地，已知甲骑行的平均速度是乙骑行平均速度的倍，若乙先骑行20分钟，然后甲从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的平均速度是每分钟多少千米？ 【变式1-2】（2023·山东德州·二模）2020年12月17日，中国研制的嫦娥五号返回器成功携带月球样品着陆地球，在接近大气层时，它的飞行速度接近第二宇宙速度，约为某列高铁全速行驶速度的112倍．如果以第二宇宙速度飞行560千米所用时间比该列高铁全速行驶10千米所用时间少50秒，那么第二宇宙速度是每秒多少千米？ 【变式1-3】（2022·山东烟台·一模）智能时代引领铁路的高速发展，已知某铁路现阶段列车的平均速度是200千米/时，未来还将提速，在相同的时间内，列车现阶段行驶300千米，提速后列车比现阶段多行驶450千米，问列车平均提速多少千米/小时？ ►题型02 工程问题 【例2】．（2024·山东聊城·一模）某地计划修建长12千米的部分外环项目，由甲、乙两个施工队合作完成．已知甲施工队每天修建的长度是乙施工队每天修建的长度的倍，若甲施工队单独修建这项工程，那么他比乙施工队单独修建这项工程提前4天完成． (1)求甲、乙两施工队每天各修建多少千米？ (2)若甲施工队每天的工人工资为2万元，乙施工队每天的工人工资为万元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？ 【变式2-1】（2024·山东青岛·一模）青岛市胶州湾第二海底隧道工程建设正在加快推进，超大直径盾构机“海天号”正由青岛端向黄岛端稳步挺进，某工程队承接一隧道工程，在挖掘一条米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的倍，结果提前了天完成了其中米的隧道挖掘任务． (1)求实际每天挖掘多少米？ (2)由于气候等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，至少每天还应多挖掘多少米？ 【变式2-2】（2023·山东济宁·模拟预测）某县坚持民生工程优先，积极治理内河水质，为了解决生活污水排放问题，需要铺设一段全长为420m的污水排放管道铺设120m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加，结果共用32天完成这一任务求原计划每天铺设管道的长度为多少米？ 【变式2-3】（2023·山东枣庄·二模）丰县为了落实中央的“精准扶贫政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙队先合做天，那么余下的工程由甲队单独完成还需天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为元，乙队每天的施工费用为元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ ►题型03 经济问题 【例3】．（2022·山东东营·中考真题）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克. (1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ (2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【变式3-1】（2022·山东菏泽·中考真题）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个． (1)篮球、排球的进价分别为每个多少元? (2)该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球? 【变式3-2】（2022·山东烟台·中考真题）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？ 【变式3-3】（2021·山东青岛·中考真题）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶． （1）求两种品牌洗衣液的进价； （2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？ ►题型04 方案问题 【例4】．（2023·山东·中考真题）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 【变式4-1】（2024·山东青岛·模拟预测）自 2022年新课程标准颁布以来，某校高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”．该校计划购买 A，B两种型号的教学设备，已知A型设备价格比 B型设备价格每台高，用20000元购买B型设备的数量比用33000元购买A型设备的数量少5 台． (1)求 A，B型设备每台的价格分别是多少元． (2)该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备的数量不少于B型设备数量的 ．设购买a台A型设备，购买总费用为元，求关于a的函数表达式，并设计出购买总费用最低的购买方案． 【变式4-2】（2024·山东济南·三模）某学校为参加春运会的同学准备了钢笔和笔记本两种奖品，已知钢笔比笔记本每件多12元；学校计划用1200元购买钢笔，960元购买笔记本，购买笔记本的数量是钢笔数量的2倍． (1)求钢笔和笔记本两种奖品的单价． (2)购买当日，正逢商店周年庆典，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案： 计划购买钢笔、笔记本两种奖品共200件，购买资金不少于1856元且不超过1880元，问购买钢笔、笔记本两种奖品有哪几种方案？ 【变式4-3】（2022·山东东营·二模）我校为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买1副羽毛球拍的费用是购买1副乒乓球拍费用的2倍，350元全部购买羽毛球拍的数量比全部购买乒乓球拍的数量少5副． (1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ (2)已知该中学需要购买两种球拍共80副，羽毛球拍的数量不超过40副．现商店推出两种购买方案，方案A：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案B：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．在下列各式中，属于分式方程的是（　　） A． B． C． D． 2．把分式方程化为整式方程，则方程两边需同时乘（    ） A． B． C． D． 3．已知关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．当时， B．当时，原方程无解 C．为正数时， D．为负整数时，有4个整数值 4．已知分式方程的解为，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．7 D．13 5．某校社团举行“母亲节”感恩活动，先用800元购进第一批康乃馨，售完后又用400元购进第二批康乃馨，所购数量是第一批数量的，且康乃馨的单价比第一批的单价多1元，设第一批康乃馨的单价是x元，则下列方程正确的是（　　） A．+1＝400 B．＝ C． D．＝ 6．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 二、填空题 7．方程 的解为 ． 8．定义一种新运算：对于任意非零实数a，b，，若，则x的值为 . 9．关于x的方程无解，则m的值为 ． 10．甲、乙两班同学参加植树活动，已知乙班每小时比甲班多种棵树，甲班种棵树所用的时间与乙班种棵树所用的时间相等，如果设乙班每小时种棵树，则可以列出方程 ． 三、解答题 11．解方程：． 12．已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 13．广东省第十六届运动会于2022年11月在清远市举办，吉祥物为“清清”，某商家用1200元购进了一批运动会吉祥物，上市后供不应求，商家又用2800元购进了第二批运动会吉祥物，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．求该商家购进的第一批吉祥物多少个？ 14．通过观察，发现方程不难求得方程：的解是，；的解是，；的解是，； (1)观察上述方程及其解，可猜想关于的方程的解是________． (2)试验证：当，都是方程的解； (3)利用你猜想的结论，解关于的方程． 15．网购已经成为了一种新的购物方式，越来越多的人熟悉和喜欢网购．双十一，某网站一店铺购进一批甲、乙两款羊毛衫，已知每件乙款羊毛衫进价比甲款羊毛衫进价多40元，用8000元购进甲款羊毛衫和用9000元购进乙款羊毛衫的数量相同． (1)求每件甲、乙款羊毛衫的进价各为多少元？ (2)甲款羊毛衫每件售价为370元，每天可卖出30件；乙款羊毛衫每件售价为420元，每天可卖出15件．在销售过程中为了增大甲款羊毛衫的销量，商家决定对甲款羊毛衫进行降价销售，在现有售价的基础上，每降价1元，可多售出2件．为更大程度让利顾客，每件甲款羊毛衫售价多少元时，商家日盈利可达到3000元？ 能力提升 一、单选题 1．下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．解分式方程时，去分母变形为（   ） A． B． C． D． 3．下列关于方程的说法不正确的是　(　　) A．各分式的最简公分母是 B．去分母，得整式方程 C．解这个分式方程转化成的整式方程，得 D．原方程的解是 4．小明同学解方程的过程中，说法正确的是（    ） 解：方程两边同时乘，得…第一步 去括号，得…第二步 移项，得即…第三步 合并同类项，得…第四步 系数化为1，得…第五步 A．从第一步开始出现错误 B．从第二步开始出现错误 C．从第三步开始出现错误 D．从第四步开始出现错误 5．已知关于的分式方程 的解是非负数，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 6．某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同．设每辆大货车运货x吨，则所列方程正确的是(　　) A． B． C． D． 二、填空题 7．方程的解为 ． 8．解关于x的方程时，若产生增根，则m的值等于 ． 9．现定义：，例如：．若，则y＝ ． 10．高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距360公里的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3小时．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为x公里/小时，则根据题意可得方程 ． 三、解答题 11．解方程：． 12．某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：    同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？ 13．阅读下列解题过程，回答所提出的问题： 题目：解分式方程： 解：方程两边同时乘以 得： 去括号得： 解得： 所以原分式方程的解是： (1)上述计算过程中，哪一步是错误的？请写出错误步骤的序号：　　； (2)错误的原因是　　； (3)订正错误． 14．（1）若关于x的方程有增根，求m的值． （2）在（1）中的条件下，若，求的值． 15．为了进一步丰富校园体育活动，某中学一次性购买了若干个篮球、足球和排球，其中篮球花费5000元，足球花费2400元，排球花费1200元，购进的篮球的数量正好等于足球和排球数量的和，已知篮球的单价比足球高，排球单价比足球的单价低20元． (1)求篮球、足球和排球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际情况计划再购买一批篮球、足球和排球，其中足球和排球共50个，篮球的个数是足球个数2倍，总费用不超过9600元，那么学校最多可以购买多少个足球？ $$第二章 方程（组）与不等式（组） 第06讲 分式方程及其应用（6~15分） （思维导图+4考点+2命题点13种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 解分式方程 考点二 分式方程的解 考点三 列分式方程 考点四 方程的实际应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 方程的解法 ►题型01 增根问题 ►题型02 无解问题 ►题型03 整数解问题 ►题型04 解为正数或负数 ►题型05 定义新运算 命题点二 方程的应用题 ►题型01 行程问题 ►题型02 工程问题 ►题型03 经济问题 ►题型04 方案问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 解分式方程 · 能解可化为一元一次方程的分式方程 2024省卷6题， 中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，预计2025年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握． 分式方程的应用 · 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据. 2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤. 6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 考点一 解分式方程 增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根. 【例1】．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分母． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理可得： 故选：A． 【变式1-1】．（2024·山东临沂·模拟预测）当比多1时，（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的运算，根据比多1，进行列式计算，得，即可作答． 【详解】解：∵比多1 ∴ 即 ∴ 经检验是的解 故选：B 【变式1-2】．（2022·山东济南·中考真题）代数式与代数式的值相等，则x＝ ． 【答案】7 【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可． 【详解】解：∵代数式与代数式的值相等， ∴， 去分母 ， 去括号号 ， 解得， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 【变式1-3】．（2024·山东临沂·模拟预测）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的求解问题．左右两端同时乘以最简公分母，得到整式方程，求得整式方程的解，再检验即可得解． 【详解】解：， 等式两端同时乘以最简公分母，得： ， 解得， 检验：将代回最简公分母，， 因此原方程的解为； 故答案为：． 考点二 分式方程的解 【例2】．（2023·山东淄博·中考真题）已知是方程的解，那么实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】将代入方程，即可求解． 【详解】解：将代入方程，得 解得： 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将代入原方程中得到关于的方程． 【变式2-1】．（2021·山东临沂·一模）关于的方程的解为，则( ) A．1 B．3 C．-1 D．-3 【答案】D 【分析】根据方程的解的定义，把x=1代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方程转化为含有a的新方程，解此新方程可以求得a的值． 【详解】解：把x=1代入原方程得: ， 去分母得，8a+12=3a-3， 解得a=-3， 故选D． 【点睛】解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解． 【变式2-2】．（2023·山东德州·一模）若关于的分式方程 的解为，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接解分式方程进而得出答案． 【详解】解分式方程得，x=m-2， ∵关于x的分式方程的解为x=2， ∴m-2=2， 解得：m=4． 故选B． 【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确解方程是解题关键． 【变式2-3】．（2022·山东济宁·二模）关于的分式方程解为，则常数的值为(       ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a的一次方程，解得a的值即可． 【详解】解：把x=4代入方程，得 ， 解得a=10． 经检验，a=10是原方程的解 故选D． 考点三 列分式方程 【例3】．（2023·山东东营·中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出第二批面粉的采购量，根据“每千克面粉价格提高了0.4元”这一等量关系即可列方程． 【详解】设第一批面粉采购量为x千克，则设第二批面粉采购量为千克，根据题意，得 故选：A 【点睛】本题考查列方程解决实际问题，找出题中的等量关系列出方程是解题的关键． 【变式3-1】．（2022·山东淄博·中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为(x+10)元，根据单价=总价÷数量，结合总费用降低了15%，采购数量与第一次相同，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为(x+10)元， 依题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【变式3-2】．（2022·山东济宁·中考真题）一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是x km/h，根据题意所列方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这辆汽车原计划的速度是x km/h，，则实际速度为km/h，根据题意“提前1小时到达目的地”，列分式方程即可求解． 【详解】解：设这辆汽车原计划的速度是x km/h，则实际速度为km/h， 根据题意所列方程是 故选C 【变式3-3】．（2023·山东青岛·中考真题）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为 ． 【答案】 【分析】根据两种劳动工具单价间的关系，可得出乙种劳动工具单价为元，利用数量=总价÷单价，结合乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵乙种劳动工具的单价比甲种劳动工具的单价贵了4元，且甲种劳动工具单价为x元， ∴乙种劳动工具单价为元． 根据题意得：， 故答案为：． 考点四 方程的实际问题 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义;+ 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 与分式方程有关应用题的常见类型： 【例4】．（2024·山东青岛·中考真题）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【答案】(1)航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元； (2)当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，根据用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的列出方程求解即可； （2）设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，先根据航空模型数量不少于航海模型数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元； （2）解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个， 由题意得，， 解得， ， ∵， ∴y随m增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为， 此时有， 答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少． 【变式4-1】．（2024·山东德州·中考真题）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等． (1)两种棋的单价分别是多少？ (2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？ 【答案】(1)五子棋的单价是40元，象棋的单价是元 (2)购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． （1）设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．列出分式方程求解并检验即可； （2）设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍，列出不等式，求出m的取值范围；再列出购买两种棋的费用的关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据题意得： 解得：， 经检验是所列分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是元； （2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据题意得： ， 解得：， ， ， 随的增大而减小， 在中， 为正整数， 当时，有最小值，最小值为（元）， 则（副） 答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元． 【变式4-2】．（2024·山东泰安·中考真题）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 【答案】甲组有名工人，乙组有名工人 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设甲组有名工人，则乙组有名工人．根据题意得，据此即可求解． 【详解】解：设甲组有名工人，则乙组有名工人． 根据题意得：， 解答：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：甲组有名工人，乙组有名工人． 【变式4-3】．（2024·山东威海·中考真题）某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量． 【答案】千瓦·时 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意列方程是关键，并注意检验．根据两种节能灯数量相等列式分式方程求解即可． 【详解】解：设一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时， 则一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时 整理得 解得 经检验：是原分式方程的解． 答：一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时. 由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是： ①根据未知数的范围求出字母的范围； ②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值； ③综合①②，求出字母系数的范围. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 方程的解法 ►题型01 增根问题 【例1】．（2024·山东济宁·二模）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 解分式方程得，由分式方程有增根，可得，计算求解即可． 【详解】解：， ， 解得，， ∵分式方程有增根， ∴， 解得，， 故选：C． 【变式1-1】．（2023·山东德州·模拟预测）已知关于x的分式方程 时出现增根，则m的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程有增根的情况．先将分式方程去分母后化为整式方程，根据原分式方程有增根得到，，进而当时，，求解即可解答 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理，得， ∵分式方程有增根， ∴，即 ∴， ∵分式方程有增根 ∴当时，， 即， 解得：或， 经检验，或都是方程的解． ∴m的值为或． 故选：A 【变式1-2】．（2023·山东烟台·模拟预测）若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C．8 D．或8 【答案】A 【分析】本题考查了增根的概念， 先去分母，再利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∵关于的分式方程有增根， ∴， 解得：， 故选：． 【变式1-3】．（2023·山东枣庄·二模）若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据关于分式方程有增根得出最简公分母为，把分式方程化为整式方程，再把增根代入计算即可． 【详解】解：∵关于的分式方程有增根， ∴， 解得：， 原分式方程去分母后得：， ∴， 解得：． 故选：C． ►题型02 无解问题 【例2】．（2022·山东淄博·二模）若分式方程无解，则的值是（   ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程无解的条件． 先把方程两边同时乘得整式方程，然后根据方程无解，分两种情况讨论：①分式方程的分母等于0，求出x再代入整式方程，求出a；②整式方程无解，列出关于a的方程，求出a即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘得： ， ， ， ， ∵分式方程无解， ， ， ， 解得：， ∵分式方程无解， ， 解得：， 综上可知：或1， 故选：D． 【变式2-1】．（2023·山东德州·二模）若关于的方程无解，则的值为（    ）． A．0 B．4 C．0或4 D．4或6 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，熟练掌握分式方程无解的条件是解题关键．分式方程无解，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解．先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，或，进行计算即可． 【详解】解：方程两边同时乘以，得， 整理得， ∵原方程无解， ∴当时，，此时符合条件； 当时，或， 此时， 解得或， 当时，无解； 当时，，解得． 综上所述，的值为0或4． 故选：C． 【变式2-2】．（2023·山东日照·一模）若关于x的分式方程无解，则（　　） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程以及分式方程无解问题，通过分析确定该分式方程的增根为是解题关键． 解分式方程，可得，根据题意可知分式方程的增根为，即有，求解即可获得答案． 【详解】解：， 去分母，得， 合并同类项、系数化为1，得， 由题意可知，分式方程的增根为， 即有，解得． 故选：A． 【变式2-3】．（2023·山东枣庄·一模）若关于x的方程无解，则m的值为（    ） A．0 B．4或6 C．6 D．0或4 【答案】D 【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当时，当时，或，进行计算即可． 【详解】方程两边同乘，得， 整理得， 原方程无解， 当时，； 当时，或，此时，， 解得或， 当时，无解； 当时，，解得； 综上，m的值为0或4； 故选：D． ►题型03 整数解问题 【例3】．（2024·山东菏泽·一模）已知关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解分式方程，解分式方程，用含a的代数式表示x，根据方程有整数解求出a的所有值，再去掉产生增根的a的值，再求出满足条件的所有整数a的和即可 【详解】解： 去分母得，， 解得，， ∵分式方程有整数解，且 ∴ ∴， ∴满足条件的所有整数a的和为， 故选：B 【变式3-1】．（2021·山东枣庄·二模）若整数a使关于x的分式方程﹣2＝有整数解，则符合条件的所有a之和为（　　） A．7 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】根据分式方程的解为整数解，即可得出a=-1，1，2，4，7，据此计算即可． 【详解】解分式方程﹣2＝，得：， ∵分式方程的解为整数，且x≠2， ∴a=-1，1，2，4，7． 故符合条件的所有a之和为：-1+1+2+4+7=13． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的解，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况． 【变式3-2】．（2023·山东德州·二模）若关于x的分式方程＝有正整数解，则整数m为 ． 【答案】0 【分析】先解分式方程，再根据有正整数解及分母不为0进行求解即可． 【详解】方程两边同乘，得 解得 分式方程有正整数解 即 即 故答案为：0． 【点睛】本题考查解分式方程及分式方程正整数根的情况，注意分母不等于0是解题的关键． 【变式3-3】．（2023·山东日照·二模）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m为 ． 【答案】0、1 【分析】解分式方程，得x＝，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值． 【详解】解：解分式方程，得x＝， 因为分式方程有正整数解， 所以≠1，即可m≠3， 则整数m的值是0、1． 故答案为0、1． ►题型04 解为正数或负数 【例4】．（2023·山东淄博·一模）关于的方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了含参数的分式方程的求解，将分式方程转化为一元一次方程是解题关键．只需在方程两边乘，化为整式方程，求出再根据解是正数得到且，即可求解． 【详解】解：方程两边乘，得 解得： 方程的解是正数， 且， 解得：且， 故答案为∶且 【变式4-1】．（2023·山东日照·二模）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解分式方程得到，再根据分式方程的解为正数，以及分式方程不能有增根列出不等式求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的方程的解为正数， ∴， ∴且， 故答案为：且． 【变式4-2】．（2024·山东菏泽·一模）若关于x的方程 的解为负数，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解分式方程得到，再根据分式方程的解为负数列出不等式求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵关于x的方程 的解为负数， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】．（2024·山东淄博·二模）若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查解分式方程，根据分式方程解的情况求参数的范围，先根据解分式方程的一般步骤求出的表达式，然后根据分式方程的解为非负数列不等式求解即可．掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ 整理可得：， 解得：， ∵关于x的分式方程的解是非负数， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． ►题型05 定义新运算 【例5】．（2021·山东德州·二模）定义新运算：对于非零的两个实数a和b，规定，如．若，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题侧重考查了解分式方程，掌握定义的新运算的意义是解题的关键．根据已知新定义进行转化，然后结合分式方程的求法可求． 【详解】解： ， ， ， ， 解得：， 经检验，是的解． 故答案为： 【变式5-1】．（2023·山东枣庄·一模）定义一种新运算：对于任意非零实数，，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据新定义可得，由此建立方程，解方程即可得到的值． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：， 经检验是方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的方程是解题关键． 【变式5-2】．（2023·山东枣庄·二模）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据新定义可得，由此建立方程解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵即， ∴， 解得， 经检验是方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的方程是解题的关键． 【变式5-3】．（2023·山东淄博·一模）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是 ． 【答案】 【分析】根据题中的新运算法则列出分式方程，再根据分式方程的解法解答即可． 【详解】解： ∴方程为： 去分母得， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：x=5． 命题点二 方程的应用题 ►题型01 行程问题 【例1】．（2023·山东·中考真题）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的倍，求大型客车的速度． 【答案】大型客车的速度为 【分析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为12分钟列方程解答. 【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为， 根据题意得 ， 解得：， 经检验，是原方程的根. 故大型客车的速度为. 【点睛】此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，此题的等量关系是快车与慢车所用时间差为12分钟. 【变式1-1】．（2023·山东菏泽·二模）在全民健身运动中，骑行运动颇受人民青睐．甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距离30千米的地，已知甲骑行的平均速度是乙骑行平均速度的倍，若乙先骑行20分钟，然后甲从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的平均速度是每分钟多少千米？ 【答案】甲骑行的平均速度为每分钟千米 【分析】设乙骑行的平均速度为每分钟千米，则甲骑行的平均速度为每分钟千米，根据题意列出分式方程求解并检验即可． 【详解】解：设乙骑行的平均速度为每分钟千米，则甲骑行的平均速度为每分钟千米， 根据题意，得 ， 解得， 经检验是原方程的根，且符合题意， （千米/分）， 甲骑行的平均速度为每分钟千米． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，理解题意，准确建立分式方程，并注意求解之后要检验是解题关键． 【变式1-2】（2023·山东德州·二模）2020年12月17日，中国研制的嫦娥五号返回器成功携带月球样品着陆地球，在接近大气层时，它的飞行速度接近第二宇宙速度，约为某列高铁全速行驶速度的112倍．如果以第二宇宙速度飞行560千米所用时间比该列高铁全速行驶10千米所用时间少50秒，那么第二宇宙速度是每秒多少千米？ 【答案】第二宇宙速度是每秒11.2千米． 【分析】设第二宇宙速度是每秒xkm，则高铁全速行驶的速度是每秒km，根据第二宇宙速度飞行560千米所用时间+50=该列高铁全速行驶10千米所用时间，列出方程求解即可． 【详解】解：设第二宇宙速度是每秒xkm，则高铁全速行驶的速度是每秒km， 根据题意， ， 解得，经检验是该方程的解． 所以，第二宇宙速度是每秒11.2千米． 【点睛】本题考查分式方程的应用．能结合题意找出等量关系列出方程是解题关键．不要忘记验根哦． 【变式1-3】（2022·山东烟台·一模）智能时代引领铁路的高速发展，已知某铁路现阶段列车的平均速度是200千米/时，未来还将提速，在相同的时间内，列车现阶段行驶300千米，提速后列车比现阶段多行驶450千米，问列车平均提速多少千米/小时？ 【答案】300千米/小时 【分析】设列车平均提速千米/小时，利用提速前后的时间相等列方程求解即可． 【详解】解：设列车平均提速千米/小时， 依题意得： 解得． 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：列车平均提速300千米/小时． ►题型02 工程问题 【例2】．（2024·山东聊城·一模）某地计划修建长12千米的部分外环项目，由甲、乙两个施工队合作完成．已知甲施工队每天修建的长度是乙施工队每天修建的长度的倍，若甲施工队单独修建这项工程，那么他比乙施工队单独修建这项工程提前4天完成． (1)求甲、乙两施工队每天各修建多少千米？ (2)若甲施工队每天的工人工资为2万元，乙施工队每天的工人工资为万元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？ 【答案】(1)甲施工队每天修建千米，乙施工队每天修建1千米 (2)共需修建费用元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用以及一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙施工队每天修建的长度为千米，则甲施工队每天修建千米，列方程并进行计算，注意验根； （2）设甲施工队单独修建天，列式，得出，结合“甲施工队每天的修建费用为20000元，乙施工队每天的修建费用为15000元”进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设乙施工队每天修建的长度为千米，则甲施工队每天修建千米， 依题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴（千米）， ∴甲施工队每天修建千米，乙施工队每天修建1千米； （2）解：设甲施工队单独修建天， 依题意，得， 解得， ∴甲施工队单独修建5天， 则（元）， ∴共需修建费用元． 【变式2-1】（2024·山东青岛·一模）青岛市胶州湾第二海底隧道工程建设正在加快推进，超大直径盾构机“海天号”正由青岛端向黄岛端稳步挺进，某工程队承接一隧道工程，在挖掘一条米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的倍，结果提前了天完成了其中米的隧道挖掘任务． (1)求实际每天挖掘多少米？ (2)由于气候等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，至少每天还应多挖掘多少米？ 【答案】(1)实际每天挖掘米； (2)每天还应多挖掘米． 【分析】（）设原计划每天挖掘米，则实际每天挖掘米，根据结果提前了天完成了其中米的隧道挖掘任务，列分式方程求解； （）设每天还应多挖掘米，根据完成该项工程的工期不超过天，列不等式即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式． 【详解】（1）解：设原计划每天挖掘米，则实际每天挖掘米， 根据题意得：，解得， 经检验是原方程的解， ∴实际每天挖掘， 答：实际每天挖掘米； （2）设每天还应多挖掘米， 由题意，得， 解得， 答：每天还应多挖掘米． 【变式2-2】（2023·山东济宁·模拟预测）某县坚持民生工程优先，积极治理内河水质，为了解决生活污水排放问题，需要铺设一段全长为420m的污水排放管道铺设120m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加，结果共用32天完成这一任务求原计划每天铺设管道的长度为多少米？ 【答案】原计划每天铺设管道的长度为10米 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原计划每天铺设管道的长度为x米，则提高工作效率后每天铺设管道的长度为米，根据工作时间工作总量工作效率，结合共用32天完成这一任务．即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设原计划每天铺设管道的长度为x米，则提高工作效率后每天铺设管道的长度为米， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：原计划每天铺设管道的长度为10米． 【变式2-3】（2023·山东枣庄·二模）丰县为了落实中央的“精准扶贫政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙队先合做天，那么余下的工程由甲队单独完成还需天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为元，乙队每天的施工费用为元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 【答案】(1)天 (2)元 【分析】本题考查分式方程的应用，有理数混合运算的实际应用， （1）设这项工程的规定时间是天，根据甲、乙队先合做天，余下的工程由甲队单独需要天完成，可得出方程，解出即可； （2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可； 正确理解题意并建立方程是解题的关键．解答工程类问题，经常设工作量为“单位1”． 【详解】（1）解：设这项工程的规定时间是天， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解且符合题意， 答：这项工程的规定时间是天； （2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：（天）， 则该工程施工费用是：（元）， 答：该工程的费用为元． ►题型03 经济问题 【例3】．（2022·山东东营·中考真题）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克. (1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ (2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克； (2)水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元． 【分析】（1）设乙种水果的进价是x元/千克，根据“甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程检验后可得出答案； （2）设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，根据利润＝（售价－进价）×数量列出y关于a的一次函数解析式，求出a的取值范围，然后利用一次函数的性质解答． 【详解】（1）解：设乙种水果的进价是x元/千克， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 则， 答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克； （2）解：设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克， 由题意得：， ∵－1＜0， ∴y随a的增大而减小， ∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍， ∴， 解得：， ∴当时，y取最大值，此时，， 答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找出合适的等量关系列出方程和解析式是解题的关键． 【变式3-1】（2022·山东菏泽·中考真题）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个． (1)篮球、排球的进价分别为每个多少元? (2)该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球? 【答案】(1)每个篮球的进价为120元，每个排球的进价为80元． (2)100个 【分析】（1）设每个排球的进价为x元，则每个篮球的进价为1.5x元，根据“用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个”得到方程；即可解得结果； （2）设健身器材店可以购进篮球a个，则购进排球（300﹣a）个，根据题意得不等式组即可得到结果． 【详解】（1）设每个排球的进价为x元，则每个篮球的进价为1.5x元 根据题意得． 解得x＝80． 经检验x＝80是原分式方程的解． ∴1.5x＝120（元）． ∴篮球的进价为120元，排球的进价为80元 答：每个篮球的进价为120元，每个排球的进价为80元． （2）设该体育用品商店可以购进篮球a个，则购进排球（300﹣a）个， 根据题意，得120a+80（300﹣a）≤28000． 解得a≤100． 答：该健身器材店最多可以购进篮球100个． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，分式方程的应用，找准数量关系是解题的关键． 【变式3-2】（2022·山东烟台·中考真题）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？ 【答案】每个A型扫地机器人的进价为1600元，每个B型扫地机器人的进价为2800元 【分析】设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个B型扫地机器人的进价为（2x﹣400）元，利用数量＝总价÷单价，结合用96000元购进A型扫地机器人的数量等于用168000元购进B型扫地机器人的数量，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出每个A型扫地机器人的进价，再将其代入（2x﹣400）中即可求出每个B型扫地机器人的进价． 【详解】设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个B型扫地机器人的进价为（2x﹣400）元， 依题意得： ， 解得：x＝1600， 经检验，x＝1600是原方程的解，且符合题意， ∴2x﹣400＝2×1600﹣400＝2800． 答：每个A型扫地机器人的进价为1600元，每个B型扫地机器人的进价为2800元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【变式3-3】（2021·山东青岛·中考真题）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶． （1）求两种品牌洗衣液的进价； （2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶；（2）购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元 【分析】（1）设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是（x-6）元，根据数量=总价÷单价，结合用1800元购进乙品牌洗衣液数量的，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设可以购买m瓶乙品牌洗手液，则可以购买（100-m）瓶甲品牌洗手液，根据总价=单价×数量，结合总费用不超过1645元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论． 【详解】解：（1）设甲品牌洗衣液进价为元/瓶，则乙品牌洗衣液进价为元/瓶， 由题意可得，， 解得， 经检验是原方程的解. 答：甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶. （2）设利润为元，购进甲品牌洗衣液瓶， 则购进乙品牌洗衣液瓶， 由题意可得，， 解得， 由题意可得，， ∵，∴随的增大而增大， ∴当时，取最大值，. 答：购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元． ►题型04 方案问题 【例4】．（2023·山东·中考真题）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 【答案】(1)A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元 (2)共有三种方案：方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三总费用最少． 【分析】（1）根据“用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等”列分式方程求解； （2）根据“购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解 【详解】（1）解：设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价为万元，由题意可得： , 解得， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元； （2）解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，由题意可得： ，解得， ∵须为非负整数， ∴可取，，， ∴共有三种方案： 方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）； 方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）； 方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）， ∵ ∴方案三总费用最少． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系列出分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键． 【变式4-1】（2024·山东青岛·模拟预测）自 2022年新课程标准颁布以来，某校高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”．该校计划购买 A，B两种型号的教学设备，已知A型设备价格比 B型设备价格每台高，用20000元购买B型设备的数量比用33000元购买A型设备的数量少5 台． (1)求 A，B型设备每台的价格分别是多少元． (2)该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备的数量不少于B型设备数量的 ．设购买a台A型设备，购买总费用为元，求关于a的函数表达式，并设计出购买总费用最低的购买方案． 【答案】(1)，型设备单价分别是2200，2000元 (2)，当购买12台型设备，则购买型设备48台时，购买费用最低 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意列出关系式是解题的关键． （1）设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可求解； （2）设购买台型设备，购买型设备台，根据题意建立一元一次不等式，求得最小整数解；根据单价乘以数量即可求的与的函数关系式，根据一次函数的性质即可求得最少购买费用． 【详解】（1）解：设型设备的单价为元，则型设备的单价为元， 根据题意得：， 解得，经检验是原方程的解， ∴型设备的单价为元； 答：，型设备单价分别是2200，2000元； （2）设购买台型设备， 购买型设备台，依题意，．解得， 的最小整数解为12， 购买总费用为元，， ， ，随的增大而增大， 时，取得最小值，此时． 答：当购买12台型设备，则购买型设备48台时，购买费用最低． 【变式4-2】（2024·山东济南·三模）某学校为参加春运会的同学准备了钢笔和笔记本两种奖品，已知钢笔比笔记本每件多12元；学校计划用1200元购买钢笔，960元购买笔记本，购买笔记本的数量是钢笔数量的2倍． (1)求钢笔和笔记本两种奖品的单价． (2)购买当日，正逢商店周年庆典，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案： 计划购买钢笔、笔记本两种奖品共200件，购买资金不少于1856元且不超过1880元，问购买钢笔、笔记本两种奖品有哪几种方案？ 【答案】(1)钢笔的单价为20元，笔记本的单价为8元 (2)有3种方案，①购买钢笔60件，则购买购买笔记本140件；②购买钢笔61件，则购买购买笔记本139件；③购买钢笔62件，则购买购买笔记本138件 【分析】本题考查分式方程的实际应用、一元一次不等式组的实际应用，理解题意列出方程是解题的关键． （1）设购买笔记本的单价为x元，则钢笔的单价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买钢笔a件，则购买购买笔记本件，根据题意列一元一次不等式组求得a的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：设购买笔记本的单价为x元，则钢笔的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， ∴， 答：钢笔的单价为20元，笔记本的单价为8元； （2）解：设购买钢笔a件，则购买购买笔记本件， 根据题意，得， 解得， ∴整数a的值为60，61，62， ∴有3种方案，如下： ①购买钢笔60件，则购买购买笔记本140件； ②购买钢笔61件，则购买购买笔记本139件； ③购买钢笔62件，则购买购买笔记本138件． 【变式4-3】（2022·山东东营·二模）我校为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买1副羽毛球拍的费用是购买1副乒乓球拍费用的2倍，350元全部购买羽毛球拍的数量比全部购买乒乓球拍的数量少5副． (1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？ (2)已知该中学需要购买两种球拍共80副，羽毛球拍的数量不超过40副．现商店推出两种购买方案，方案A：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案B：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠． 【答案】(1)一副乒乓球拍需35元，一副羽毛球拍需70元 (2)方案B 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，（1）设购买一副乒乓球拍需x元，则购买一副羽毛球拍需元，根据“350元全部购买羽毛球拍的数量比全部购买乒乓球拍的数量少5副，”列方程求解即可； （2）设购买m（且m为整数）副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍副，分别求得选择方案A所需总费用为（元），选项方案B所需总费用为（元），再列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买一副乒乓球拍需x元，则购买一副羽毛球拍需元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答：购买一副乒乓球拍需35元，一副羽毛球拍需70元； （2）解：设购买m（且m为整数）副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍副， 选择方案A所需总费用为：（元）， 选项方案B所需总费用为：（元）， 当时，， ∵， ∴； 当时，； 当时，， ∵， ∴． 答：当购买羽毛球拍的数量少于20副时，选项方案B更实惠；当当购买羽毛球拍的数量等于20副时，选项两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于20副且不超过40副时，选项方案A更实惠． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．在下列各式中，属于分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键． 【详解】解：A、是整式方程，不是分式方程，不符合题意； B、是整式方程，不是分式方程，不符合题意； C、不是方程，不是分式方程，不符合题意； D、是分式方程，符合题意； 故选：D． 2．把分式方程化为整式方程，则方程两边需同时乘（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程的第一步：化分式方程为整式方程，需要两边乘各分母的最简公分母；找出最简公分母即可． 【详解】解：由题意知，分式方程的最简公分母为，分式方程两边乘这个最简公分母，便可化为整式方程； 故选：B． 3．已知关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．当时， B．当时，原方程无解 C．为正数时， D．为负整数时，有4个整数值 【答案】C 【分析】本题考查的是分式方程的解法，分式方程的解，掌握“解分式方程的方法与步骤，理解分式方程的解的含义”是解本题的关键．先解分式方程，再检验，再逐一分析各选项即可． 【详解】解： ， 去分母，得 化简得， 当时，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为， 故选项A正确，但不符合题意； 当时， ∴方程无解， 故选项B正确，但不符合题意； 当为正数时，，且 ∴且， 故选项C错误，符合题意； 当为负整数时，则或或或， ∴或或或， ∴或0或1或2， ∴有4个整数值， 故选项D正确，但不符合题意， 故选：C． 4．已知分式方程的解为，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．7 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，将代入进行计算即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 故选：C． 5．某校社团举行“母亲节”感恩活动，先用800元购进第一批康乃馨，售完后又用400元购进第二批康乃馨，所购数量是第一批数量的，且康乃馨的单价比第一批的单价多1元，设第一批康乃馨的单价是x元，则下列方程正确的是（　　） A．+1＝400 B．＝ C． D．＝ 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 设第一批康乃馨的单价是元，则第二批康乃馨的单价是元，根据第二批所购数量是第一批所购数量的三分之一列出方程即可． 【详解】解：设第一批康乃馨的单价是元，则第二批康乃馨的单价是元， 根据题意，得． 故选：D． 6．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题考查了利用分式方程的解求参数的取值范围，正确求解分式方程并掌握分式的分母不等于零的性质是解题的关键．先求出分式方程的解，根据关于的分式方程的解为正数，分式有意义的条件，可得且，进而求解即可． 【详解】解： ， ， ， 关于的分式方程的解为正数， 且，即， 且， 且， 故选：． 二、填空题 7．方程 的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后验根即可． 【详解】解： 两边乘得，， ， ， 检验，当时，， 是原分式方程的解． 故答案为：． 8．定义一种新运算：对于任意非零实数a，b，，若，则x的值为 . 【答案】1 【分析】根据定义得到，由得到，解分式方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的根， 即x的值为1． 故答案为：． 【点睛】此题考查了新定义运算，根据新定义得到分式方程是解题的关键． 9．关于x的方程无解，则m的值为 ． 【答案】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解求出m的值即可． 【详解】解：去分母得：， 由分式方程无解，得到，即， 代入整式方程得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件． 10．甲、乙两班同学参加植树活动，已知乙班每小时比甲班多种棵树，甲班种棵树所用的时间与乙班种棵树所用的时间相等，如果设乙班每小时种棵树，则可以列出方程 ． 【答案】 【分析】先求出甲班每小时种棵树，再根据甲班种棵树所用的时间与乙班种棵树所用的时间相等列出方程即可． 【详解】解：由题意得：甲班每小时种棵树， 则可列方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键． 三、解答题 11．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 先去分母，转化为解一元一次方程，再检验即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得 检验：当，时，， ∴是原方程的解． 12．已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式的解得情况确定参数，需通过解分式方程，用含的式子表示，根据且，确定的取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵方程两边乘，得， ∴． ∵方程的解为正数， ∴，即，解得． 又，即，解得， ∴且． 13．广东省第十六届运动会于2022年11月在清远市举办，吉祥物为“清清”，某商家用1200元购进了一批运动会吉祥物，上市后供不应求，商家又用2800元购进了第二批运动会吉祥物，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．求该商家购进的第一批吉祥物多少个？ 【答案】该商家第一批购进40个吉祥物． 【分析】设该商家第一批购进个吉祥物，则第二批购进个吉祥物，利用单价总价数量，结合第二批购进吉祥物的单价比第一批贵了5元，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设该商家第一批购进个吉祥物，则第二批购进个吉祥物， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该商家第一批购进40个吉祥物． 14．通过观察，发现方程不难求得方程：的解是，；的解是，；的解是，； (1)观察上述方程及其解，可猜想关于的方程的解是________． (2)试验证：当，都是方程的解； (3)利用你猜想的结论，解关于的方程． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，弄清题中方程及其解的规律是解本题的关键． （1）观察上述方程及其解，确定出所求方程的解即可； （2）分别将，分别代入方程的左右两边，进行验证即可求解； （3）将方程变形为，由（1）得：或，求解即可得到答案． 【详解】（1）解： 的解是； 的解是； 的解是； …， 观察上述方程及其解，可猜想关于的方程的解是， （2）解：把代入方程，左边，右边，左边右边，所以是方程的解； 把代入方程，左边，右边，左边右边，所以是方程的解； （3）解：方程变形得，， ， ， 或， ，． 15．网购已经成为了一种新的购物方式，越来越多的人熟悉和喜欢网购．双十一，某网站一店铺购进一批甲、乙两款羊毛衫，已知每件乙款羊毛衫进价比甲款羊毛衫进价多40元，用8000元购进甲款羊毛衫和用9000元购进乙款羊毛衫的数量相同． (1)求每件甲、乙款羊毛衫的进价各为多少元？ (2)甲款羊毛衫每件售价为370元，每天可卖出30件；乙款羊毛衫每件售价为420元，每天可卖出15件．在销售过程中为了增大甲款羊毛衫的销量，商家决定对甲款羊毛衫进行降价销售，在现有售价的基础上，每降价1元，可多售出2件．为更大程度让利顾客，每件甲款羊毛衫售价多少元时，商家日盈利可达到3000元？ 【答案】(1)每件甲款羊毛衫的进价为320元，每件乙款羊毛衫的进价为360元 (2)每件甲款羊毛衫售价350元时，商家日盈利可达到3000元 【分析】本题考查一元二次方程和分式方程的应用． （1）设每件甲款羊毛衫的进价为x元，则乙款羊毛衫每件的进价为元，根据“用8000元购进甲款羊毛衫和用9000元购进乙款羊毛衫的数量相同”列出方程，解方程即可； （2）设每件甲款羊毛衫售价m元，根据日利润甲、乙两种羊毛衫销售利润之和列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每件甲款羊毛衫的进价为x元，则乙款羊毛衫每件的进价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时， 答：每件甲款羊毛衫的进价为320元，每件乙款羊毛衫的进价为360元； （2）解：设每件甲款羊毛衫售价m元， 根据题意得：， 整理得：， 解得，， ∵为更大程度让利顾客， ∴， 答：每件甲款羊毛衫售价350元时，商家日盈利可达到3000元． 能力提升 一、单选题 1．下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式方程的定义逐项判断分母中是否含有未知数即可. 【详解】A、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意； B、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意； C、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意； D、分母中不含未知数，不是分式方程，故本选项符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查分式方程的定义，熟练掌握定义是关键. 2．解分式方程时，去分母变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，先将分式化为同分母分式，再乘以公分母即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， 两边同时乘以得：， 故选：B． 3．下列关于方程的说法不正确的是　(　　) A．各分式的最简公分母是 B．去分母，得整式方程 C．解这个分式方程转化成的整式方程，得 D．原方程的解是 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．利用解分式方程的方法对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：方程的最简公分母是， 选项的说法不符合题意； 去分母，得整式方程为：， 选项的说法不符合题意； 去分母，得整式方程为：， 去括号得：， 移项得： 合并同类项得：， ， 选项的说法不符合题意； 检验：当时，， 是原方程的增根， 原方程无解． 选项的说法符合题意， 故选：D． 4．小明同学解方程的过程中，说法正确的是（    ） 解：方程两边同时乘，得…第一步 去括号，得…第二步 移项，得即…第三步 合并同类项，得…第四步 系数化为1，得…第五步 A．从第一步开始出现错误 B．从第二步开始出现错误 C．从第三步开始出现错误 D．从第四步开始出现错误 【答案】B 【分析】本题主要考查解分式方程的解法，掌握先两边同时乘，整理为一元一次方程，然后解方程求解即可． 【详解】解：方程两边同时乘，得 去括号，得 移项，得即 合并同类项，得0 系数化为1，得 故从第二步开始出现错误， 故选B． 5．已知关于的分式方程 的解是非负数，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解分式方程可得，即得，得到，又由得到，据此即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：分式方程去分母得，， 解得， ∵分式方程 的解是非负数， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴且， 故选：． 6．某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同．设每辆大货车运货x吨，则所列方程正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，熟练掌握总吨数与每辆车运输吨数和车辆数的关系，正确理解题意，是解题的关键． 根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程． 【详解】解：设有大货车每辆运输x吨，则小货车每辆运输吨， 则． 故选：B 二、填空题 7．方程的解为 ． 【答案】 【详解】方程两边同乘，得，解得． 经检验：时，，是原分式方程的解． 8．解关于x的方程时，若产生增根，则m的值等于 ． 【答案】-1 【分析】先通过去分母，将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得出x的值，然后将其代入整式方程即可． 【详解】解：去分母得：x-3=m-1， 由增根的定义得，x=1， 将x=1代入x-3=m-1得，1-3=m-1， ∴m=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了解分式方程、增根的定义，掌握理解增根的定义是解题关键． 9．现定义：，例如：．若，则y＝ ． 【答案】2 【分析】根据新定义列出等式求解即可． 【详解】解：根据定义，， 方程两边同时乘以得：， 去括号合并同类项得：， 解得：， 代入检验得，是的解． 故答案为：2． 【点睛】本题考查新定义运算、解分式方程，新定义运算是考试中常见题型，平时学习中需要多加练习． 10．高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距360公里的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3小时．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为x公里/小时，则根据题意可得方程 ． 【答案】 【分析】设普通列车的平均速度为x km/h，则高铁的平均速度是3x千米/时，根据乘坐高铁比乘坐普通列车少用3h，列出分式方程即可． 【详解】解：设普通列车的平均速度为x km/h，则高铁的平均速度是3x km/h， 根据题意得：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程． 三、解答题 11．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： ， ， ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 12．某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：    同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？ 【答案】篮球的单价为元，排球的单价为元． 【分析】设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据“用元购买的排球个和用元购买的篮球个数相等”列方程，解方程并检验即可． 【详解】设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据题意，列方程得： ． 解得：． 经检验，是原方程的根， 当时，． 答：篮球的单价为元，排球的单价为元． 【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，分式方程的解法的运用，解答时根据排球和篮球的数量相等建立方程是解题的关键． 13．阅读下列解题过程，回答所提出的问题： 题目：解分式方程： 解：方程两边同时乘以 得： 去括号得： 解得： 所以原分式方程的解是： (1)上述计算过程中，哪一步是错误的？请写出错误步骤的序号：　　； (2)错误的原因是　　； (3)订正错误． 【答案】(1)E (2)没有验根 (3)订正错误：经检验使原分式方程分母等于0，所以是增根，原分式方程无解 【分析】根据分式方程的解法步骤，即可判断哪一步是错误的，再写出正确解题步骤即可． 【详解】（1）解：根据分式方程的解法步骤，判断出步骤E是错误的， 故答案为：E； （2）解：根据分式方程的解法步骤，得步骤E错误的原因是没有验根， 故答案为：没有验根； （3）解：订正错误：经检验使原分式方程分母等于0，所以是增根， ∴原分式方程无解． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是注意解出x的值后需要检验，防止出现增根． 14．（1）若关于x的方程有增根，求m的值． （2）在（1）中的条件下，若，求的值． 【答案】（1）  （2）2 【分析】本题主要考查了解分式方程以及增根的概念，如果一个分式方程的根能使此方程的最简公分母为零，那么这个根就是原方程的增根，掌握解分式方程以及增根的概念是解本题的关键． （1）先找出最简公分母，方程两边同乘以，解得，再将方程的增根代入，即可求解． （2）由（1）得，进而解分式方程，得到，解得，即可求解． 【详解】（1）方程两边同乘以，得，， 解得， 方程有增根， ， 把代入中，得， 解得， 的值为1． （2）由（1）得， 方程为， 方程两边同乘以，得， ， ， 可得， 解得， ． 15．为了进一步丰富校园体育活动，某中学一次性购买了若干个篮球、足球和排球，其中篮球花费5000元，足球花费2400元，排球花费1200元，购进的篮球的数量正好等于足球和排球数量的和，已知篮球的单价比足球高，排球单价比足球的单价低20元． (1)求篮球、足球和排球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际情况计划再购买一批篮球、足球和排球，其中足球和排球共50个，篮球的个数是足球个数2倍，总费用不超过9600元，那么学校最多可以购买多少个足球？ 【答案】(1)篮球、足球和排球的单价分别是100元，80元，60元； (2)30个． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是元，排球的单价是元，根据购进的篮球的数量正好等于足球和排球数量的和，列出分式方程，解方程即可； （2）设学校可以购买m个足球，则购买排球个，篮球个，根据总费用不超过9600元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设足球的单价各是x元，则篮球的单价是元，排球的单价是元， 根据题意，得： ， 解方程，得 经检验，是原方程的解． 所以，=100，=60． 所以，篮球、足球和排球的单价分别是100元，80元，60元． （2）解：设学校购买m个足球，根据题意，得： 解得， 所以学校最多可以购买30个足球． $$