专题01 直线的倾斜角与斜率（6种核心考点+过关测试）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（沪教版2020）

专题01 直线的倾斜角与斜率（6种核心考点+过关测试） 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 知识梳理：知识点和关键点梳理，查漏补缺 核心考点：难点内容标注与讲解，能力提升 过关测试：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 直线的倾斜角与斜率】 【题型2 斜率与倾斜角的变化关系】 【题型3 已知两点求斜率】 【题型4 求斜率范围】 【题型5 斜率公式的应用】 【题型6 直线方向向量】 1． 直线的倾斜角 1.定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 2.取值范围：直线的倾斜角的取值范围是，并规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为. 补充：（1）倾斜角与直线倾斜程度的关系 倾斜角 直线 (2)对直线的倾斜角的理解 ①倾斜角直观地表示了直线相对于轴正方向的倾斜程度. ②平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，不同的直线可以有相同的倾斜角. 2． 直线的斜率 1.定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即. 注意：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于轴（平行于轴或与轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率. 2.倾斜角与斜率的关系 直线情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 0° 的范围 0 不存在 的增减性 随增大而增大 随增大而增大 补充：斜率和倾斜角的特点 ①斜率和倾斜角都反映直线的倾斜程度，其中斜率是从代数角度描述的，倾斜角是从几何角度描述的； ②直线的斜率是随着倾斜角的变化而变化的，并且当直线的倾斜角不是90°时，倾斜角相同的直线，其斜率相同，倾斜角不同的直线，其斜率不同； ③直线有斜率必有倾斜角，倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率. 3． 直线斜率的坐标表示 1．公式：经过两点的直线的斜率公式为． 2．公式的推导 如图，设直线的倾斜角为α（α≠90°），当直线的方向（即从指向的方向）向上时，过点作x轴的平行线，过点作y轴的平行线，两条直线相交于点Q，于是点Q的坐标为． 如图（1），当α为锐角时，． 在中，． 如图（2），当α为钝角时，α=180°−θ（设），．． 在中，， 于是可得，即． 同样，当直线的方向向上时，如图，也有，即． 综上所述，经过两点的直线的斜率公式为． 4． 直线斜率与直线方向向量 1.若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为 ，则 . 2.若直线的斜率为 且直线过两点 ，它的一个方向向量的坐标为，则. 【题型1 直线的倾斜角与斜率】 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D．不存在 2．（2023·上海嘉定·一模）直线倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海·阶段练习）直线的倾斜角是 ． 4．（23-24高二下·上海·期中）直线的倾斜角为 . 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）直线的倾斜角为 . 6．（23-24高二上·上海·期末）已知，若直线l：经过点，则直线l的倾斜角为 . 7．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知为正实数，设直线的斜率为，直线的斜率为，且与交于轴外一点，若，与轴围成一个等腰三角形，则的所有可能的取值集合为 . 【题型2 斜率与倾斜角的变化关系】 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·课后作业）直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·课后作业）给出下列命题： ①任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；③若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；④若k是直线的斜率，则；⑤任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中是真命题的有 ．（填序号） 4．（23-24高二上·上海·期末）直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是 . 5．（23-24高二上·上海·课后作业）根据下列直线的倾斜角的取值范围，计算斜率的取值范围． (1)； (2)． 【题型3 已知两点求斜率】 1．（24-25高二上·上海·课堂例题）点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 2．（22-23高二下·上海普陀·期末）已知直线l经过点．直线l的倾斜角是 ． 3．（23-24高二上·上海·期末）已知直线经过，，则直线的倾斜角大小为 ． 4．（24-25高二上·上海·课堂例题）经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围为 ． 5．（24-25高二上·上海·课后作业）若，则经过两点，的直线的倾斜角为 ． 6．（23-24高二上·上海·课后作业）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，函数，的值域为 . 7．（23-24高二上·上海·课后作业）已知，求经过、两点的直线的斜率． 8．（23-24高二上·上海·课后作业）已知一条直线经过点、，求直线的斜率与倾斜角． 9．（23-24高二上·上海·课后作业）求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角： (1)、； (2)、，其中是常数． 【题型4 求斜率范围】 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 2．（22-23高二上·上海青浦·阶段练习）已知线段两端点的坐标分别为和，若直线恒过，且与线段有交点，则的斜率的取值范围是 ． 3．（23-24高二上·上海杨浦·期中）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .    4．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，已知点、、，点是线段上任意一点，求直线的斜率的取值范围．    【题型5 斜率公式的应用】 1．（23-24高二上·上海·课后作业）在平面直角坐标系中有一个边长为1的正方形，其中点为坐标原点，点、分别在轴和轴上，点在第一象限．求直线和的斜率，并讨论这两个斜率之间的关系． 2．（23-24高二上·上海·课后作业）已知三个不同的点、、在同一条直线上，求实数的值． 3．（23-24高二上·上海·课后作业）已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 【题型7 直线方向向量】 1.过A(4,y),B(2,-3)两点的直线的一个方向向量为n=(-1,-1),则y= (　　) A. B. C.-1 D.1 2.直线x﹣2y+1＝0的一个方向向量是（　　） A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（2，1） 3.（2023秋·上海市松江区·阶段练习）若直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角是 . 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期中）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期中）经过两点和的直线l的倾斜角是（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 3．（23-24高二下·上海嘉定·期末）直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（22-23高二下·上海静安·期中）直线的倾斜角的大小为 ． 5．（23-24高二上·上海青浦·期末）若直线 ，则直线的倾斜角是 6．（23-24高二上·上海·期末）过点，的直线斜率大小为 . 7．（23-24高二上·上海·期末）已知直线：经过点，则直线l倾斜角的大小为 . 8．（23-24高二上·上海宝山·期末）直线经过点和，则此直线的斜率为 ． 9．（23-24高二上·上海·期末）已知直线过点、，则直线倾斜角大小为 . 10．（23-24高二下·上海·期中）已知直线经过两点，，则它的斜率为 ． 11．（24-25高二上·上海·期中）直线的倾斜角的大小为 . 12．（2022·上海市控江中学高一期末）若直线的一个方向向量，则与直线的夹角的余弦值______. 三、解答题 13．（23-24高二上·上海·课后作业）求一次函数所表示直线的斜率． 14．（23-24高二上·上海·课后作业）求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角： (1)、； (2)、． 15．（22-23高二上·上海浦东新·开学考试）设直线l的方程是，其倾斜角为． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若将倾斜角用m表示，求关于m的函数关系． 16．（22-23高二上·上海普陀·阶段练习）若直线经过两点，斜率为，倾斜角为. (1)用分别表示直线的斜率和倾斜角； (2)求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 直线的倾斜角与斜率（6种核心考点+过关测试） 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 知识梳理：知识点和关键点梳理，查漏补缺 核心考点：难点内容标注与讲解，能力提升 过关测试：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 直线的倾斜角与斜率】 【题型2 斜率与倾斜角的变化关系】 【题型3 已知两点求斜率】 【题型4 求斜率范围】 【题型5 斜率公式的应用】 【题型6 直线方向向量】 1． 直线的倾斜角 1.定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 2.取值范围：直线的倾斜角的取值范围是，并规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为. 补充：（1）倾斜角与直线倾斜程度的关系 倾斜角 直线 (2)对直线的倾斜角的理解 ①倾斜角直观地表示了直线相对于轴正方向的倾斜程度. ②平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，不同的直线可以有相同的倾斜角. 2． 直线的斜率 1.定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即. 注意：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于轴（平行于轴或与轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率. 2.倾斜角与斜率的关系 直线情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 0° 的范围 0 不存在 的增减性 随增大而增大 随增大而增大 补充：斜率和倾斜角的特点 ①斜率和倾斜角都反映直线的倾斜程度，其中斜率是从代数角度描述的，倾斜角是从几何角度描述的； ②直线的斜率是随着倾斜角的变化而变化的，并且当直线的倾斜角不是90°时，倾斜角相同的直线，其斜率相同，倾斜角不同的直线，其斜率不同； ③直线有斜率必有倾斜角，倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率. 3． 直线斜率的坐标表示 1．公式：经过两点的直线的斜率公式为． 2．公式的推导 如图，设直线的倾斜角为α（α≠90°），当直线的方向（即从指向的方向）向上时，过点作x轴的平行线，过点作y轴的平行线，两条直线相交于点Q，于是点Q的坐标为． 如图（1），当α为锐角时，． 在中，． 如图（2），当α为钝角时，α=180°−θ（设），．． 在中，， 于是可得，即． 同样，当直线的方向向上时，如图，也有，即． 综上所述，经过两点的直线的斜率公式为． 4． 直线斜率与直线方向向量 1.若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为 ，则 . 2.若直线的斜率为 且直线过两点 ，它的一个方向向量的坐标为，则. 【题型1 直线的倾斜角与斜率】 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【知识点】直线的倾斜角 【分析】根据直线倾斜角的定义直接得出结果. 【详解】易知直线与轴垂直，所以直线的倾斜角为. 故选：B 2．（2023·上海嘉定·一模）直线倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线的倾斜角 【分析】根据直线倾斜角的定义进行判断即可. 【详解】当直线与横轴平行时，直线的倾斜角是， 因此直线倾斜角的取值范围为， 故选：C 3．（23-24高二下·上海·阶段练习）直线的倾斜角是 ． 【答案】 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义 【分析】先求出直线的斜率，再利用反正切函数即可求解. 【详解】设直线的斜率为，倾斜角为， 直线为可化简为 ， 则， 所以倾斜角. 故答案为：. 4．（23-24高二下·上海·期中）直线的倾斜角为 . 【答案】/ 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义 【分析】由题意，根据斜率的定义直接得出结果. 【详解】由题意知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 所以. 故答案为： 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）直线的倾斜角为 . 【答案】/ 【知识点】直线的倾斜角 【分析】首先得到直线的斜率，即可求出倾斜角. 【详解】直线的斜率为，设倾斜角为，则， 又，所以，故直线的倾斜角为. 故答案为： 6．（23-24高二上·上海·期末）已知，若直线l：经过点，则直线l的倾斜角为 . 【答案】 【知识点】直线的倾斜角 【分析】根据题意，将点代入直线方程，即可得到结果. 【详解】将代入，可得，解得，所以直线方程为， 设直线l的倾斜角为，则，且，则. 故答案为： 7．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知为正实数，设直线的斜率为，直线的斜率为，且与交于轴外一点，若，与轴围成一个等腰三角形，则的所有可能的取值集合为 . 【答案】 【知识点】二倍角的正切公式、直线的倾斜角、直线斜率的定义 【分析】 设两直线的倾斜角为，分与两种情况，得到方程，求出答案, 【详解】 设直线与直线的倾斜角为， 因为为正实数，所以均为锐角， 因为直线，与轴围成一个等腰三角形，则有以下两种情况， （1）时，，所以， 因为，解得， （2）时，，所以， 因为，解得. 故答案为： 【题型2 斜率与倾斜角的变化关系】 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，为倾斜角，分别求出倾斜角在和时斜率的值，再根据正切函数在给定区间的单调性确定斜率的取值范围. 【详解】当时，. 当时，. 因为在上单调递增，在上也单调递增. 当时，； 当时，. 所以的取值范围是. 故选：C. 2．（24-25高二上·上海·课后作业）直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角 【分析】根据直线方程可得斜率，结合斜率与倾斜角之间的关系分析求解. 【详解】设的倾斜角为， 由题意可知：直线的斜率， 即，且，所以. 故选：C. 3．（24-25高二上·上海·课后作业）给出下列命题： ①任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；③若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；④若k是直线的斜率，则；⑤任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中是真命题的有 ．（填序号） 【答案】④ 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线斜率的定义、直线的倾斜角 【分析】根据直线倾斜角、斜率的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于①、⑤，任一条直线都有倾斜角，但倾斜角为直角的直线没有斜率， 即任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，①、⑤均错误； 对于②，平行于轴的直线的倾斜角是，②错； 对于③，若两条直线的倾斜角均为时，它们的斜率都不存在，③错误； 对于④，若k是直线的斜率，则，④对. 故答案为：④. 4．（23-24高二上·上海·期末）直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】由斜率的定义及正切函数的性质，即可求得结果. 【详解】设直线的倾斜角为，斜率为，因为， 又因为，所以， 故答案为：. 5．（23-24高二上·上海·课后作业）根据下列直线的倾斜角的取值范围，计算斜率的取值范围． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】（1）由斜率与倾斜角之间的关系，并结合正切函数单调性及值域，可得斜率； （2）当倾斜角为钝角时，斜率为负值，由正切函数值域可得. 【详解】（1）根据斜率与倾斜角之间的关系， 利用正切函数单调性可知，正切函数在上单调递增， 又， 所以时，斜率， 即斜率的取值范围是. （2）由正切函数性质可知，时，单调递增， 且趋近于时，趋近于，易知； 所以当时，斜率， 即斜率的取值范围是 【题型3 已知两点求斜率】 1．（24-25高二上·上海·课堂例题）点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 【答案】C 【知识点】已知两点求斜率、指数函数图像应用 【分析】先画出指数函数图象再结合斜率公式数形结合得出范围. 【详解】表示点与点所成直线的斜率k， 又是在部分图象上的动点， 如图，当接近时， 当为时，，则，只有C满足. 故选：C. 2．（22-23高二下·上海普陀·期末）已知直线l经过点．直线l的倾斜角是 ． 【答案】/ 【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率 【分析】根据两点确定直线的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系列式求解即可. 【详解】因为过两点的直线的斜率为：， 因为，是直线的倾斜角，且 所以直线的倾斜角为：． 故答案为：. 3．（23-24高二上·上海·期末）已知直线经过，，则直线的倾斜角大小为 ． 【答案】 【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率 【分析】先由斜率坐标公式求解斜率，再求倾斜角. 【详解】因为直线经过，， 所以直线的倾斜角的斜率， 设直线的倾斜角为，则，则， 则直线的倾斜角. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·课堂例题）经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、已知两点求斜率 【分析】分和，求出倾斜角的取值范围. 【详解】由题意知，当时，， 当时，轴，此时倾斜角为， 所以． 故答案为： 5．（24-25高二上·上海·课后作业）若，则经过两点，的直线的倾斜角为 ． 【答案】 【知识点】已知两点求斜率、直线的倾斜角、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据两点求出斜率，再结合斜率和倾斜角的关系可解. 【详解】因为， 所以 又因为， 且， 所以直线的倾斜角为. 故答案为：. 6．（23-24高二上·上海·课后作业）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，函数，的值域为 . 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、已知两点求斜率 【分析】将函数的值域转化为求直线斜率取值范围，数形结合即可求解. 【详解】如图所示：设单位圆O上的一点为， 点，，， 则表示直线PA的斜率，因为， 故当P与B重合时，PA的斜率为， 当P与C重合时，PA的斜率最大值为， 所以的值域为.    故答案为：. 7．（23-24高二上·上海·课后作业）已知，求经过、两点的直线的斜率． 【答案】答案见解析 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率 【分析】根据斜率与倾斜角之间的关系可知，分别讨论斜率是否存在，并计算时的斜率即可. 【详解】根据题意可知， ①当时，， 即，此时直线的倾斜角为，斜率不存在； ②当时，利用两点间的斜率公式可得，直线的斜率为； 综上可知，当时，直线的斜率不存在；当时，直线的斜率为. 8．（23-24高二上·上海·课后作业）已知一条直线经过点、，求直线的斜率与倾斜角． 【答案】，． 【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率 【分析】利用两点的斜率公式求出斜率，从而得到倾斜角. 【详解】设直线的斜率为，倾斜角为，，则， 从而． 9．（23-24高二上·上海·课后作业）求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角： (1)、； (2)、，其中是常数． 【答案】(1)斜率为，倾斜角为； (2)答案见解析. 【知识点】反三角函数、斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率 【分析】（1）应用两点式求斜率，结合倾斜角与斜率关系求倾斜角大小； （2）讨论、，根据两点式求斜率、倾斜角与斜率关系确定倾斜角. 【详解】（1）由题设，对应倾斜角为； （2）当时，直线斜率不存在，对应倾斜角为； 当时，， 若，则倾斜角为； 若，则倾斜角为. 【题型4 求斜率范围】 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、已知两点求斜率 【分析】表示线段上的点与连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可 【详解】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 故答案为：. 2．（22-23高二上·上海青浦·阶段练习）已知线段两端点的坐标分别为和，若直线恒过，且与线段有交点，则的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】根据已知条件及直线的斜率公式即可求解. 【详解】因为直线恒过,和， 所以，. 由题意可知，直线的斜率存在且的斜率，若直线与线段有交点，如图所示 由图象可知，或,即或， 所以的斜率的取值范围是为. 故答案为：. 3．（23-24高二上·上海杨浦·期中）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .    【答案】 【知识点】斜率公式的应用、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】根据题意线段，，分别找出点落在线段上的临界位置，即可求解. 【详解】由题意知：，，设，则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：, 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 故答案为：.    4．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，已知点、、，点是线段上任意一点，求直线的斜率的取值范围．    【答案】 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】利用点的坐标并结合图形可知，分别计算出和之间的斜率即可. 【详解】根据题意可知，两点之间的斜率为， 两点之间的斜率为， 又点是线段上任意一点，由倾斜角与斜率之间的关系可知， 即直线的斜率的取值范围为. 【题型5 斜率公式的应用】 1．（23-24高二上·上海·课后作业）在平面直角坐标系中有一个边长为1的正方形，其中点为坐标原点，点、分别在轴和轴上，点在第一象限．求直线和的斜率，并讨论这两个斜率之间的关系． 【答案】 【知识点】已知两点求斜率、斜率公式的应用 【分析】根据已知建系，先根据两点求斜率公式求出斜率，最后找到斜率关系即可. 【详解】   如图建系， 2．（23-24高二上·上海·课后作业）已知三个不同的点、、在同一条直线上，求实数的值． 【答案】或 【知识点】已知斜率求参数、斜率公式的应用 【分析】依题意可得，利用两点的斜率公式得到方程，解得即可. 【详解】因为三个不同的点、、在同一条直线上， 所以，即，解得或，经检验符合题意. 3．（23-24高二上·上海·课后作业）已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 【答案】 【知识点】已知两点求斜率、已知斜率求参数、斜率公式的应用 【分析】首先求出的斜率，再分、两种情况讨论，由得到不等式，解得即可. 【详解】因为、、， 所以， 当，即，此时，，，则的斜率不存在， 此时、、三点能构成一个三角形， 当，即时，， 要使、、三点能构成一个三角形，则，即，解得， 综上可得实数的取值范围. 【题型7 直线方向向量】 1.过A(4,y),B(2,-3)两点的直线的一个方向向量为n=(-1,-1),则y= (　　) A. B. C.-1 D.1 【答案】C　 【分析】由A，B坐标，可以求得，然后与方向向量平行，可以求得y值 【详解】解法一:由直线上的两点A(4,y),B(2,-3),得=(-2,-3-y), 又直线AB的一个方向向量为n=(-1,-1),因此n∥, ∴(-2)×(-1)-(-3-y)×(-1)=0,解得y=-1,故选C. 解法二:由直线的方向向量为(-1,-1)得,直线的斜率为 =1,所以 =1,解得y=-1.故选C. 2.直线x﹣2y+1＝0的一个方向向量是（　　） A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（2，1） 【答案】D 【分析】首先求出直线的斜率，进一步利用直线的斜率和方向向量对应相等求出结果 【详解】直线x﹣2y+1＝0的斜率k＝．即与向量＝（2，1）共线，故选：D． 3.（2023秋·上海市松江区·阶段练习）若直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角是 . 【答案】 【分析】根据直线的一个方向向量，设直线的倾斜角为，则，由此得到直线的倾斜角. 【详解】直线的一个方向向量， 设直线的倾斜角为，则， 又因为，且，所以，所以. 故答案为：. 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期中）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线的倾斜角 【分析】根据直线倾斜角的定义得到答案. 【详解】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为. 故选：C 2．（24-25高二上·上海·期中）经过两点和的直线l的倾斜角是（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率 【分析】利用斜率公式求斜率，然后可得倾斜角. 【详解】由斜率公式得， 记直线l的倾斜角为，则，得. 故选：B 3．（23-24高二下·上海嘉定·期末）直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】借助倾斜角与斜率的关系可得两直线的倾斜角，即可得其夹角. 【详解】设两直线的倾斜角分别为，由，则， 由，则，即， 则两直线夹角为. 故选：B. 二、填空题 4．（22-23高二下·上海静安·期中）直线的倾斜角的大小为 ． 【答案】/ 【知识点】直线的倾斜角 【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系计算可得. 【详解】直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，又， 所以. 故答案为： 5．（23-24高二上·上海青浦·期末）若直线 ，则直线的倾斜角是 【答案】/ 【知识点】直线的倾斜角 【分析】根据直线的方程即可求解. 【详解】由可得， 故直线的倾斜角为， 故答案为： 6．（23-24高二上·上海·期末）过点，的直线斜率大小为 . 【答案】 【知识点】已知两点求斜率 【分析】由两点连线斜率公式可直接求得结果. 【详解】，，. 故答案为：. 7．（23-24高二上·上海·期末）已知直线：经过点，则直线l倾斜角的大小为 . 【答案】 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义 【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角. 【详解】将代入解析式得，解得， 故直线l倾斜角为 故答案为： 8．（23-24高二上·上海宝山·期末）直线经过点和，则此直线的斜率为 ． 【答案】 【知识点】已知两点求斜率 【分析】根据两点求斜率公式求过、两点的直线的斜率即可. 【详解】因为，已知，，所以过、两点的直线的斜率 为. 故答案为： 9．（23-24高二上·上海·期末）已知直线过点、，则直线倾斜角大小为 . 【答案】 【知识点】反三角函数、直线的倾斜角、已知两点求斜率 【分析】 求出直线的斜率，即可得出直线的倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，则，，故. 故答案为：. 10．（23-24高二下·上海·期中）已知直线经过两点，，则它的斜率为 ． 【答案】/ 【知识点】已知两点求斜率 【分析】由斜率公式计算可得直线的斜率. 【详解】因为直线经过两点，， 所以它的斜率为. 故答案为：. 11．（24-25高二上·上海·期中）直线的倾斜角的大小为 . 【答案】 【知识点】直线的倾斜角 【分析】由直线的斜率得到倾斜角. 【详解】直线的斜率不存在， 所以倾斜角为， 故答案为： 12．（2022·上海市控江中学高一期末）若直线的一个方向向量，则与直线的夹角的余弦值______. 【答案】. 【分析】根据题意可得两直线的倾斜角分别为，，进而可得两直线的夹角为，再由两角和的余弦公式即可求得答案. 【详解】解：因为直线的一个方向向量， 所以直线的斜率，所以直线的倾斜角为， 又因为直线的斜率，所以线的倾斜角为， 所以直线与直线的夹角， 所以. 故答案为：. 三、解答题 13．（23-24高二上·上海·课后作业）求一次函数所表示直线的斜率． 【答案】k 【知识点】直线斜率的定义、已知两点求斜率 【分析】求出一次函数上的任意不同的两点坐标，应用两点式求直线斜率，即可得答案. 【详解】设一次函数表达式的图像是直线． 在函数解析式中，分别取及，得及． 所以点与点是直线上的两点． 依据斜率公式得直线的斜率为， 即一次函数的一次项系数就是其对应直线的斜率． 14．（23-24高二上·上海·课后作业）求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角： (1)、； (2)、． 【答案】(1)； (2)； 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、已知两点求斜率 【分析】根据经过两点的直线斜率计算公式以及斜率和倾斜角的关系即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以斜率， 又倾斜角为，，故； （2）因为，， 所以斜率， 又倾斜角为，，故. 15．（22-23高二上·上海浦东新·开学考试）设直线l的方程是，其倾斜角为． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若将倾斜角用m表示，求关于m的函数关系． 【答案】(1)； (2) 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知斜率求参数 【分析】（1）由斜率与倾斜角的关系即可建立不等式求解； （2）分别讨论、，由斜率与倾斜角的关系即可求得 【详解】（1）当，斜率，解得； （2）i.时，，； ii.时，，斜率，， 综上， 16．（22-23高二上·上海普陀·阶段练习）若直线经过两点，斜率为，倾斜角为. (1)用分别表示直线的斜率和倾斜角； (2)求的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率 【分析】（1）计算，根据和两种情况得到倾斜角. （2），得到倾斜角范围. 【详解】（1）， 当或时，，； 当时，，； （2），所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$