3.3.2 抛物线的简单几何性质（第2课时）（教学课件）数学湘教版选择性必修第一册

湘教版2019高一数学（选修一） 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质（第二课时） 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1 掌握抛物线的几何性质——范围、对称性、定点、离心率（重点） 2 使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和抛物线的弦长（重点） 3 讨论直线与抛物线的位置关系（难点） 4 能够应用抛物线的几何性质解决一些简单问题（重点、难点） 图像 标准方程 焦点弦长 情景导入 4 题型一：直线与抛物线的位置关系 例1.已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为，为何值时，直线与抛物线只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？ 解：由题意，直线的方程为， 由方程组 可得.① 当时，由方程①得， 把代入，得， 这时直线与抛物线只有一个公共点. 典例剖析 例1.已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为，为何值时，直线与抛物线只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？ 当时，方程①的判别式. 由，即，解得或，所以方程①只有一个解，从而方程组只有一个解，这时直线与抛物线只有一个公共点. 由，即，解得，于是，当，且时，方程①有两个解，从而方程组有两个解，这时直线与抛物线只有两个公共点. 由，即，解得或，于是当或时，方程①没有实数解，从而方程组没有解，直线与抛物线无公共点. 例1.已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为，为何值时，直线与抛物线只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？ 综上，当或或时，直线与抛物线只有一个公共点； 当，且时，直线与抛物线有两个公共点； 当或时，直线与抛物线无公共点. 直线与抛物线位置关系的判断方法： 设直线，抛物线：，将直线方程与抛物线方程联立消元得：. (1)若，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. (2)若，当时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. 归纳总结 题型二：抛物线的弦长与中点弦问题 例2.过点作抛物线的弦恰被点所平分，求所在直线的方程. 解：(法一)设以为中点的弦的端点坐标为，， 则有，， ∴. 又，∴， 即，∴. ∴所求弦所在直线的方程为，即. 典例剖析 解决“中点弦”问题的2种方法： 点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差，由求斜率，再由点斜式求解. 传统法：设中点弦是所在直线的方程，并与抛物线的方程联立，消去(或)得关于(或)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，从而求斜率. 归纳总结 题型三：与抛物线有关的综合问题 例3.如图所示，抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点，，均在抛物线上. 求抛物线的方程及其准线方程； 解：由题意可设抛物线的方程为，则由点在抛物线上，得，解得， 故所求抛物线的方程是，准线方程是. 典例剖析 应用抛物线性质解题的常用技巧 (1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便. (2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系. (3)在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化. 归纳总结 例1 已知抛物线C：y2 = 8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若 FP = 4FQ ，则 |QF|= ． 补充例题 13 例1 已知抛物线C：y2 = 8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若 FP = 4FQ ，则 |QF|= ． 14 例2 已知抛物线C：y2 = 4x 的焦点为F，点M(2，1)，点P在抛物线C上，则|PM|＋|PF|的最小值为：　　　　　　． 15 例3 已知点P在抛物线C：y = 2x2 上，直线 l：x－y－1=0，则点P到直线 l的距离的最小值为：　　　　　　． 16 例4 已知过抛物线 C：y 2 = 2px (p>0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．求证：（1）以为AB直径的圆与抛物线的准线相切； 17 例4 已知过抛物线 C：y 2 = 2px (p>0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．求证：（1）以为AB直径的圆与抛物线的准线相切； 18 例4 已知过抛物线 C：y 2 = 2px (p>0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．求证：（2）x1x2= ，y1y2=－p2； 19 例4 已知过抛物线 C：y 2 = 2px (p>0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．求证：（3）|AB|的最小值为2p； 抛物线的焦点弦（过抛物线的焦点的直线被抛物线所截得的线段）中，通径（垂直于抛物线的对称轴的焦点弦）最短． 20 例4 已知过抛物线 C：y 2 = 2px (p>0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．求证：（4） 21 例4 已知过抛物线 C：y 2 = 2px (p>0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．求证：（4） 22 关于抛物线的焦点弦的相关结论，可以借助特殊情形即焦点弦为抛物线的通径时来进行记忆： 若A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线 C：y 2 = 2px (p>0) 焦点弦的两端点，则 若A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线 C：x 2 = 2py (p>0) 焦点弦的两端点，则 23 图像 标准方程 焦点弦长 课堂小结 28 易错辨析　忽略直线与抛物线有一个公共点的特殊情况致误 例5　(多选)过定点P(－1,1)且与抛物线y2＝2x只有一个交点的直线l的方程为(　　) A．y＝－1 B．y＝1 C．(eq \r(3)－1)x－2y＋eq \r(3)＋1＝0 D．(1＋eq \r(3))x＋2y＋eq \r(3)－1＝0 解析：(1)当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意． (2)当直线l的斜率存在时， ①若直线l与抛物线的对称轴平行，则直线l的方程为y＝1，此时直线l与抛物线只有一个公共点． ②若直线l与抛物线的对称轴不平行，设直线l的方程为y－1＝k(x＋1)(k≠0) 即y＝k(x＋1)＋1(k≠0) 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1＋1,y2＝2x))消去x，得ky2－2y＋2k＋2＝0 由题意知Δ＝4－4k(2k＋2)＝0，解得k＝eq \f(－1±\r(3),2) 故所求直线l的方程为： (eq \r(3)－1)x－2y＋eq \r(3)＋1＝0或(1＋eq \r(3))x＋2y＋eq \r(3)－1＝0 综上所述，所求直线l的方程为y＝1或(eq \r(3)－1)x－2y＋eq \r(3)＋1＝0或(1＋eq \r(3))x＋2y＋eq \r(3)－1＝0. 故选BCD. 答案：BCD 【易错警示】 易错原因 纠错心得 本题易错的地方是只考虑直线l的斜率k存在且不为0时的情形，而忽略k不存在及直线l平行于抛物线的对称轴这两种情形. 在涉及直线与抛物线只有一个交点的问题时，应提防两处陷阱：一是直线与对称轴平行时，直线与抛物线只有一个交点，这是由Δ＝0无法得到的(事实上，此时消元后对应的“一元二次”方程的“二次”项系数一定为零)；二是若由Δ＝0仅得到一条直线，则意味着斜率不存在的直线可能与抛物线相切(仅有一个交点)，应检验斜率不存在的直线是否满足条件. $$