3.3.2 抛物线的简单几何性质（第1课时）（教学课件）数学湘教版选择性必修第一册

湘教版2019高一数学（选修一） 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质（第一课时） 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1 掌握抛物线的几何性质——范围、对称性、定点、离心率（重点） 2 使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和抛物线的弦长（重点） 3 讨论直线与抛物线的位置关系（难点） 4 能够应用抛物线的几何性质解决一些简单问题（重点、难点） 其中定点F叫做抛物线的焦点 定直线 l 叫做抛物线的准线 定义告诉我们： (1)判断抛物线的一种方法 (2)抛物线上任一点的性质：|MF|=d 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. ┑ l F M d H 复习导入 前照灯由灯泡、反射镜、 配光镜三部分组成 把抛物线沿它的对称轴旋转一周,就会形成一个抛物面.这种抛物面形状,正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜的形状.这种形状,使得车灯既能够发射出明亮的、照射很远的平行光束,又能发射出较暗的、照射近距离的光线,这也就是汽车的远光灯和近光灯. 那么它的工作原理是什么? 情景导入 下面，我们通过抛物线的标准方程 y2 = 2px (p>0)的来研究它的一些简单几何性质． 新知探究 6 范围 在抛物线的标准方程 y2 = 2px 中，p>0，y2≥0，所以抛物线上任意一点 的横坐标 x 都满足 x ≥0． 于是，抛物线在 y 轴的右侧，并且向右无限延伸． 当 x 的值增大时， 也增大，说明这条抛物线向右上方和右下方无限延伸．因此，y∈R． 7 对称性 在抛物线的标准方程 y2 = 2px 中，将(x，y)分别替换成(x，－y)，方程都不变，可见这条抛物线关于y轴对称． 每一条抛物线都有唯一一条对称轴，称为抛物线的对称轴． 图像 标准方程 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 8 顶点 抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线的顶点． 在抛物线的标准方程 y2 = 2px 中，当y = 0时，得x = 0，因此，这条抛 物线的顶点为坐标原点(0，0)． 图像 标准方程 顶点坐标 (0，0) (0，0) (0，0) (0，0) 9 由定义知, 抛物线y2 =2px(p>0)的离心率为e=1. x ┑ l F M d H y O 抛物线上的点M与焦点F的距离和它到准线的距离d之比 ，叫做抛物线的离心率，用e表示. 离心率 例3 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点P(1，2)，求该抛物线的方程． 22 = 2p×1，即 p=2． 将点P(1，2)的坐标代入方程，得 因此设该抛物线的标准方程为y2 = 4x． 解：由于抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，因此设该抛物线的 标准方程为 y2 = 2px (p>0) 课本例题 11 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 例4 已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F(1，0)，一条斜率为1的直线 l经过点F，且与抛物线交于A，B两点，求|AB|． 由已知可得直线 l的方程为y = x－1，抛物线C的方程为y2 = 4x． 课本例题 12 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 例4 已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F(1，0)，一条斜率为1的直线 l经过点F，且与抛物线交于A，B两点，求|AB|． 由已知得直线 l：y = x－1，抛物线C：y2 = 4x． 课本例题 13 例5 已知抛物线C：y2 = 2x，直线 l过定点(0，－2) ．讨论直线 l与抛物线C的公共点的个数． 课本例题 14 例5 已知抛物线C：y2 = 2x，直线 l过定点(0，－2) ．讨论直线 l与抛物线C的公共点的个数． 课本例题 15 例5 已知抛物线C：y2 = 2x，直线 l过定点(0，－2) ．讨论直线 l与抛物线C的公共点的个数． 课本例题 16 1.求下列抛物线的顶点坐标、对称轴、焦点坐标和准线方程． (1)y2=2x； (2)x2=32y； (3)y=-8x2； (4)x=- ． 【解析】解：(1)y2=2x的焦点在x轴正半轴上，p=1， 顶点坐标为(0，0)，对称轴为x轴，焦点坐标为 ，准线方程 ； (2)x2=32y的焦点在y轴正半轴上，p=16， 课堂练习 顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴，焦点坐标为(0，8），准线方程为y=-8； (3)y=-8x2即 ，焦点在y轴负半轴上， ， 顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴，焦点坐标为 ； (4) 即y2=-16x,焦点在x轴负半轴上，8 顶点坐标为(0，0)，对称轴为x轴，焦点坐标为(-4，0），准线方程为x=4． 17 2.在同一坐标系中画出下列抛物线： (1) (2)y2=x； (3)y2=2x. 再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数之间的关系． 【解析】解：如图所示，在同一坐标系下画出抛物线 ，y2=x和y2=2x图象， 由图象可得，当方程中x的系数越大．抛物线的开口就越大。 ___ 18 3.设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点。求|AB|及△OAB的面积 【解析】解：由题意知抛物线C：y2=3x的焦点坐标为 ， 故过F且倾斜角为30°的直线方程为 ， 联立 ，得 ，Δ=12＞0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ， 故 直线AB的方程为 ，即 ， 则原点O到 的距离为 ， 故△OAB的面积为 19 4.过点M(0，4)作直线l与抛物线y2=8x只有一个公共点，这样的直线有几条？ 【解析】解：当直线的斜率不存在时，直线方程为x=0， 此时与抛物线y2=8x只有一个公共点(0，0)，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+4， 由 ，得k2x2+8(k-1)x+16=0， 当k=0时，符合题意； 当k≠0时，由Δ=64(k-1)4-64k2=0，可得 ， 即当 时，符合题意，综上，满足条件的直线有3条． 20 题型一：根据几何性质求抛物线的标准方程 例1.已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，且于圆相交的公共弦长为，求抛物线的方程. 解：设所求抛物线的方程为或，抛物线与圆的交点，()，则，即. 由对称性，知，代入上式，得， 把代入，得， 所以点在抛物线上，点在抛物线上， 可得.于是所求抛物线的方程为或. 典例剖析 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤： 定位置：根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向； 设方程：根据焦点和开口方向设出标准方程； 寻关系：根据条件列出关于的方程； 得方程：解方程，将代入所设方程为所求. 【提醒】求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程. 归纳总结 题型二：抛物线的焦点弦问题 例2.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，求线段的长. 解：由抛物线的方程得 所以根据抛物线的定义可得 典例剖析 1.抛物线的焦半径： 定义：抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段. 公式：为抛物线上一点，为焦点. ①若抛物线，则； ②若抛物线，则； ③若抛物线，则； ④若抛物线，则. 归纳总结 2.抛物线的通径： 通径：线段 长度： 性质：经过焦点；垂直于对称轴. 归纳总结 题型三：抛物线几何性质的应用 例3.已知是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线的方程. 解：由题知，抛物线的焦点. ∵抛物线关于轴对称，，∴为等腰三角形. ∴两点关于轴对称. 设，则.∵的垂心恰为抛物线的焦点， ∴，则，即. 又∵，∴.∴直线的方程为. 典例剖析 过焦点的弦长的求解方法 设过抛物线焦点的弦的端点为,， 则，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出即可. 归纳总结 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 范围 x ≥0，y∈R x ≤0，y∈R y ≥0，x ∈R y≤0，x ∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 顶点坐标 (0，0) 课堂小结 28 $$